Текст книги "Математика. Утрата определенности."

Автор книги: Морис Клайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 20 (всего у книги 38 страниц)

Осознание того, что любая дедуктивная система должна содержать неопределяемые понятия, которые можно интерпретировать как угодно, лишь бы вводимые объекты удовлетворяли аксиомам, подняло математику на новый уровень абстракции. Это весьма рано понял Герман Грассман, отметивший в своей «Теории линейной протяженности» (1844), что геометрия не сводится исключительно к изучению реального, физического, пространства. Геометрия – конструкция чисто математическая. Она применима для описания реального пространства, но отнюдь не исчерпывается этой своей интерпретацией. Творцы аксиоматики, работавшие позднее, Паш, Пеано и Гильберт, всячески подчеркивали абстрактность геометрии. Тем не менее, отчетливо сознавая существование неопределяемых понятий, смысл которых ограничен лишь аксиомами, Паш в своих работах мысленно следовал единому образцу геометрии. Пеано, знавший работы Паша, в статье от 1889 г. высказал мысль о возможности многих других интерпретаций геометрии. Гильберт в «Основаниях геометрии» (1899) [50] заявил, что, хотя мы используем такие слова, как точка, прямая, плоскость и т.д., вполне можно было бы говорить о пивных кружках, стульях и любых других предметах, лишь бы они удовлетворяли аксиомам. То, что одна дедуктивная система допускает множество интерпретаций, можно расценивать как весьма благоприятное обстоятельство, позволяющее расширить круг возможных приложений, но вместе с тем оно приводит, как мы увидим в дальнейшем (гл. XII), и к некоторым неприятным последствиям.

Паш великолепно понимал современную аксиоматику. Именно ему принадлежит замечание (важность которого в конце XIX в. не была по достоинству оценена) о том, что во всех случаях необходимо дать доказательство непротиворечивости любой рассматриваемой системы аксиом, т.е. доказательство того, что выбранная система аксиом не порождает противоречащих друг другу теорем. Проблема непротиворечивости возникла в связи с неевклидовыми геометриями и была для них удовлетворительно разрешена. Однако неевклидова геометрия оставалась для многих довольно непривычной областью математики. Что же касается таких старых фундаментальных ее разделов, как арифметика или евклидова геометрия, то всякие сомнения в их непротиворечивости казались чисто академическими. Тем не менее Паш считал необходимым установить непротиворечивость и этих систем аксиом. Ему вторил Фреге, писавший в «Основаниях арифметики» (1884):

Обычно поступают так, будто принятие постулатов само по себе достаточно для того, чтобы все постулаты выполнились. Мы постулируем, что операция вычитания, деления или извлечения корня всегда выполнима, и считаем, что этого вполне достаточно. Но почему мы не постулируем, что через любые три точки можно провести прямую? Почему мы не постулируем, что все законы сложения и умножения остаются в силе для комплексных чисел с тремя единицами точно так же, как они выполняются для вещественных чисел? Это происходит потому, что такого рода постулаты содержат противоречие. Прекрасно! Но тогда первое, что нам необходимо сделать, – это доказать непротиворечивость наших остальных постулатов. А пока это не будет сделано, вся строгость, к которой мы так стремимся, останется столь же зыбкой и призрачной, как лунное сияние.

Пеано и его школа в 90-х годах XIX в. также стали несколько серьезнее относиться к проблеме непротиворечивости. Пеано был уверен в том, что методы, позволяющие доказывать непротиворечивость аксиом, не замедлят появиться.

Над проблемой непротиворечивости математики вполне могли бы задуматься еще древние греки. Почему же она выступила на передний план лишь в конце XIX в.? Как мы уже говорили, создание неевклидовой геометрии в значительной мере способствовало осознанию того, что геометрия является творением человека и лишь приближенно описывает происходящее в реальном мире. При всех неоспоримых достоинствах этого описания его нельзя считать истинным в том смысле, что оно не адекватно внутренней структуре окружающего мира и, следовательно, не обязательно непротиворечиво. Движение за аксиоматизацию математики в конце XIX в. заставило математиков понять, сколь глубокая пропасть отделяет математику от реального мира. Каждая аксиоматическая система содержит неопределяемые понятия, свойства которых задаются только аксиомами. Смысл неопределяемых понятий не зафиксирован раз и навсегда, хотя интуитивно мы представляем себе, что такое точки или прямые. Разумеется, предполагается, что аксиомы выбраны так, чтобы задаваемые им свойства находились в согласии с теми, которые мы интуитивно с ними связываем. Но можем ли мы быть уверенными в том, что нам удалось выбрать аксиомы именно таким образом, что, формулируя их, мы не привнесли некоторое нежелательное свойство (или же оно следует из принятых нами аксиом), которое может привести к противоречию?

Паш отметил еще одну особенность аксиоматического метода. В любой области математики желательно, чтобы аксиомы были независимыми, т.е. чтобы любую из принятых аксиом нельзя было вывести из остальных, так как аксиома, выведенная из других, является уже не аксиомой, а теоремой. Метод доказательства независимости той или иной аксиомы состоит в указании интерпретации или построении модели, в которой все аксиомы, кроме проверяемой на независимость, выполняются, а проверяемая аксиома не выполняется. (Такая интерпретация не обязательно должна быть совместимой с отрицаниемпроверяемой аксиомы.) Так, для доказательства независимости аксиомы Евклида о параллельных от остальных аксиом евклидовой геометрии можно воспользоваться интерпретацией гиперболической неевклидовой геометрии, в которой выполняются все аксиомы евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельных, а сама аксиома о параллельных не выполняется. Интерпретация, удовлетворяющая проверяемой аксиоме и противоположной аксиоме, не была бы непротиворечивой. Следовательно, прежде чем воспользоваться для доказательства независимости какой-либо аксиомы интерпретацией, или моделью, необходимо убедиться в том, что эта интерпретация, или модель, непротиворечива. Так, независимость аксиомы Евклида о параллельных была доказана на модели гиперболической евклидовой геометрии, реализуемой на поверхности в евклидовом пространстве.

В дальнейшем мы расскажем о сомнениях, неадекватностях и глубоких проблемах, которые породила аксиоматизация математики; однако в начале XX в. аксиоматический метод считался идеалом математической строгости. Никто не превозносил аксиоматический метод больше, чем Гильберт, ставший к тому времени признанным лидером мировой математики. В статье «Аксиоматическое мышление» (1918) он утверждал:

Все, что может быть предметом математического мышления, коль скоро назрела необходимость в создании теории, оказывается в сфере действия аксиоматического метода и тем самым математики. Проникая во все более глубокие слои аксиом… мы получаем возможность все дальше заглянуть в сокровенные тайны научного мышления и постичь единство нашего знания. Именно благодаря аксиоматическому методу математика, по-видимому, призвана сыграть ведущую роль во всем нашем знании.

Аналогичные мысли Гильберт высказывал и в 1922 г.:

Аксиоматический метод поистине был и остается подходящим и неоценимым инструментом, в наибольшей мере отвечающим духу каждого точного исследования, в какой бы области оно ни проводилось. Аксиоматический метод логически безупречен и в то же время плодотворен; тем самым он гарантирует полную свободу исследования. В этом смысле применять аксиоматический метод – это значит действовать, понимая, о чем идет речь. Если ранее, до аксиоматического метода, приходилось действовать наивно, слепо веря в существование определенных отношений, то аксиоматический метод устраняет подобную наивность, сохраняя все преимущества уверенности.

Возможно, создается впечатление, что математики приветствовали установление прочной, строгой основы своей науки. Однако математикам ничто человеческое не чуждо. И далеко не все математики с энтузиазмом приветствовали точную формулировку таких основных понятий, как иррациональное число, непрерывность, производная и интеграл. Многие не поняли новой терминологии и сочли точные определения своего рода причудами, отнюдь не обязательными для понимания математики и даже для строгих доказательств. Те, кто так считал, полагались на свою интуицию, несмотря на сюрпризы, преподнесенные открытием непрерывных, но не дифференцируемых функций и других логически правильных, но противоречащих интуиции математических объектов. Так, в 1904 г. Эмиль Пикар (1856-1941), говоря о строгости в теории дифференциальных уравнений с частными производными, заметил: «Истинная строгость плодотворна и этим отличается от другой строгости, чисто формальной и утомительной, бросающей тень на затрагиваемые ею проблемы». Шарль Эрмит (1822-1901) в письме к Томасу Яну Стильтьесу от 20 мая 1893 г. признавался: «С чувством непреодолимого отвращения я отшатываюсь от достойного всякого сожаления зла – непрерывных функций, не имеющих производных». Пуанкаре (1854-1912), с чьей философией математики нам предстоит познакомиться в следующей главе, жаловался; «В прежние времена новые функции вводились для того, чтобы их можно было применять. Ныне же строят функции, чтобы прийти в противоречие с выводами наших предшественников. Такие функции не годятся ни для чего иного».

Многие авторы тех определений и доказательств, ошибочность которых стала очевидной, принялись утверждать, будто имели в виду именно тот смысл, к которому привела строгая теория. К подобному приему прибегал даже такой выдающийся математик, как Эмиль Борель. Другие возражали против, как они говорили, «выискивания блох». В одной из своих работ, опубликованной в 1934 г., Годфри Гарольд Харди назвал строгость неотъемлемым элементом математики. Другие математики не понимали природы математической строгости и, опасаясь неприятностей, поносили ее. Некоторые даже поговаривали об анархии в математике. Новые идеи, в частности те, которые способствовали установлению математической строгости, математики воспринимали ничуть не менее предвзято, чем обычно люди воспринимают любые новшества.

Успехи в области оснований математики обнаружили еще одну сторону математических творений. Строгость не только удовлетворяла потребностям математики XIX в., но и позволила нам кое-что понять в развитии математики. Предполагалось, что обоснованные по последнему слову «математической техники» строгие структуры гарантируют «доброкачественность» математики, но эти гарантии оказались необоснованными. Ни одна теорема арифметики, алгебры или евклидовой геометрии не была изменена в результате пересмотра оснований, и только некоторые теоремы математического анализа пришлось сформулировать точнее. Например, прежде чем воспользоваться производной непрерывной функции, современным математикам приходится вводить дополнительную гипотезу о том, что эта функция дифференцируема. В действительности все новые аксиоматические структуры и строгость лишь подтвердили то, в чем и без того не сомневались математики. Аксиомы позволили доказать уже известные, а не какие-то новые теоремы, так как «старые» теоремы в подавляющем большинстве были правильными. В целом это означало, что в основе математики лежит не логика, а здравый смысл и интуиция. Строгость, по выражению Жака Адамара, лишь освящает то, что завоевано интуицией. Герман Вейль назвал строгость гигиеной, с помощью которой математик поддерживает здоровье и силу своих идей.

Как бы то ни было, к началу XX в. строгость снова стала играть заметную роль в математике и служить, хотя и с большим запозданием, гарантией прочности и обоснованности достижений, накопленных математикой за много столетий. Математики могли наконец во всеуслышание заявить, что исполнили свой долг по отношению к стандарту, установленному древними греками, и не без облегчения отметить, что, за исключением незначительных поправок, здание, построенное ими на эмпирической или интуитивной базе, теперь было в основном подкреплено логикой. При мысли об этом математиков охватывало ликование и даже самодовольство. Оглядываясь в прошлое, они могли указать несколько кризисных ситуаций (иррациональные числа, математический анализ, неевклидова геометрия, кватернионы) и поздравить себя с тем, что всякий раз им удавалось успешно разрешить возникавшую проблему.

На II Международном конгрессе математиков, состоявшемся в 1900 г. в Париже, с докладом на пленарном заседании выступил Анри Пуанкаре, соперничающий тогда с Гильбертом в борьбе за лидерство в математике. Несмотря на скептическое отношение к ценности некоторых усовершенствований в основаниях математики, Пуанкаре не без гордости заметил:

Достигли ли мы абсолютной строгости? Ведь на каждой стадии эволюции наши предки также верили в то, что достигли ее. Если они ошибались, то не ошибаемся ли и мы, подобно им?.. В новейшем анализе – если мы пожелаем взять на себя труд быть строгими – находят место силлогизмы и обращения к этой интуиции чистого числа, единственной интуиции, которая не может обмануть нас. Можно сказать, что ныне достигнута абсолютная строгость.

([1], с. 163-164.)

Пуанкаре повторил эти преисполненные гордости слова в одном из очерков, составивших его книгу «Ценность науки» (1905) [1]. И эта гордость вполне понятна, если учесть, какая проницательность потребовалась, чтобы добиться строгости в различных разделах математики. Наконец-то математика обрела основания, которые с радостью приняли все, за исключением нескольких тугодумов. Математикам было чему радоваться.

Один из персонажей «Кандида» Вольтера философ доктор Панглосс даже в ожидании повешения твердит о «лучшем из миров». Так и математики, не ведая, что вскоре их ожидает взрыв ими же заложенного сокрушительного заряда, с энтузиазмом рассуждали о том, что достигли наилучшего из возможных состояний. Между тем тучи уже сгущались, и если бы математики, собравшиеся в 1900 г. на конгресс, не были так поглощены заздравными тостами, то они без труда бы заметили их.

Но и среди участников достопамятного конгресса 1900 г. нашелся человек, который прекрасно понимал, что в основаниях математики разрешены далеко не все проблемы. На этом конгрессе Давид Гильберт выступил с знаменитым докладом, где перечислил 23 проблемы [51], решение которых, по его мнению, девятнадцатое столетие завещало двадцатому. Первая из названных проблем состояла из двух частей. Георг Кантор ввел трансфинитные числа для обозначения мощности (числа элементов) бесконечных множеств. В этой связи Гильберт предложил доказать, что трансфинитное число, выражающее мощность множества всех вещественных чисел, является ближайшим к трансфинитному числу, выражающему мощность множества всех целых чисел. К этой проблеме мы вернемся в гл. IX.

Во второй части первой проблемы Гильберта говорилось о необходимости поиска метода, который позволил бы переупорядочить вещественные числа, чтобы их множество стало вполне упорядоченным. С понятием вполне упорядоченного множества мы подробнее познакомимся в дальнейшем, а пока достаточно лишь сказать, что если множество всех вещественных чисел вполне упорядочено, то в любой извлеченной из него подпоследовательности должен существовать первый элемент. При обычном упорядочении вещественных чисел это требование не выполняется: например, если мы рассмотрим все числа, которые больше, например, 5, то в этом подмножестве первый элемент отсутствует.

Вторая проблема Гильберта была более очевидной и имела более широкое значение. Мы уже упоминали о проблеме непротиворечивости, поднятой в связи с неевклидовыми геометриями, и о доказательствах их непротиворечивости, исходивших из предположения о непротиворечивости евклидовой геометрии. Используя аналитическую геометрию, Гильберт показал, что евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива арифметика. И содержание второй проблемы Гильберта составляло требование дать доказательство непротиворечивости арифметики.

Обе части первой проблемы Гильберта были известны еще Кантору. Паш, Пеано и Фреге обращали внимание также и на проблему непротиворечивости. Но только Гильберт в своем докладе, 1900 г. в полной мере продемонстрировал фундаментальный, непреходящий характер этих проблем. Большинство математиков, слушавших доклад Гильберта, несомненно, считали проблемы непротиворечивости тривиальными, несущественными, своего рода математическими курьезами и придавали большее значение другим проблемам, сформулированным Гильбертом. Что же касалось непротиворечивости арифметики, то она ни у кого не вызывала сомнений. То, что многие сомневались в непротиворечивости неевклидовой геометрии, вполне понятно, если учесть, сколь необычной и даже противоречащей интуиции была эта геометрия. Но вещественные числа находились в обращении более пяти тысяч лет, и о них было доказано бесчисленное множество теорем. Никаких противоречий при этом обнаружено не было. Аксиомы вещественных чисел приводили к хорошо известным теоремам. Как же система аксиом вещественных чисел могла быть противоречивой?

Но всякие сомнения в том, насколько мудро поступил Гильберт, включив названные выше проблемы в число 23 наиболее важных проблем и, более того, отведя им почетные первые места, вскоре рассеялись. Тучи, собравшиеся над математикой, закрыли теперь весь горизонт. Началась гроза, и некоторые математики услышали раскаты грома. Но даже Гильберт не мог предвидеть все неистовство бури, обрушившейся на здание математики.

IX
Изгнание из рая: новый кризис оснований математики

В математике нет настоящих противоречий.

Гаусс

Логика – это искусство уверенно совершать ошибки.

Неизвестный автор

Итак, после многовековых блужданий в тумане математикам как будто бы удалось к началу XX в. придать своей науке ту идеальную структуру, которая была декларирована Аристотелем и, казалось, осуществлена Евклидом в его «Началах». Математики наконец-то полностью осознали необходимость неопределяемых понятий; определения были очищены от неясных или вызывавших какие-либо возражения терминов; некоторые области математики были построены на строгой аксиоматической основе; на смену умозаключениям, опиравшимся на интуитивные соображения или эмпирические данные, пришли надежные, строгие, дедуктивные доказательства. Даже законы логики были расширены настолько, что охватывали теперь те типы рассуждений, которые ранее математики использовали неформально и порой неявно, хотя, как показывал опыт, эти рассуждения всегда приводили к правильным результатам. Как уже говорилось, в начале XX в. у математиков были поводы торжествовать. Но пока они праздновали свои победы, уже назревали события, которые в дальнейшем лишили математиков покоя в гораздо большей степени, чем создание неевклидовой геометрии и кватернионов в первой половине XIX в. По меткому замечанию Фреге, «едва здание было достроено, как фундамент рухнул».

Случившееся нельзя было считать полной неожиданностью: еще Гильберт обратил внимание математиков на то, что некоторые проблемы в основаниях математики оставались нерешенными (гл. VIII). Самой важной из этих проблем, по мнению Гильберта, была проблема установления непротиворечивости тех или иных аксиоматизируемых разделов математики. Гильберт отчетливо понимал, что аксиоматический метод базируется на исходном списке неопределяемых понятий, а также аксиом, которым эти понятия должны удовлетворять. Интуитивно смысл всех фигурирующих в математической теории понятий и аксиом был вполне ясен. Такие математические понятия, как точка, прямая и плоскость, имеют вполне конкретные физические аналоги, а аксиомы евклидовой геометрии содержат некоторые физически ясные утверждения, касающиеся этих понятий. Тем не менее, как подчеркивал Гильберт, абстрактная, чисто логическая схема евклидовой геометрии не требует, чтобы понятия точки, прямой и плоскости были привязаны к какой-то одной, например «физической», интерпретации. Что же касается аксиом, то их формулируют, вкладывая в них как можно меньше, с тем чтобы извлечь из них возможно больше. И хотя аксиомы принято формулировать так, чтобы их физический смысл не вызывал сомнений, тем не менее существует опасность, что сформулированные даже самым тщательным образом аксиомы могут оказаться противоречивыми, т.е. привести к противоречию. Паш, Пеано и Фреге сознавали эту опасность, и в своем докладе на II Международном математическом конгрессе 1900 г. Гильберт также обратил внимание математиков на это обстоятельство.

Слабости абстрактной формулировки понятий, отношений и фактов, заимствованных из физической реальности, можно проиллюстрировать на таком примере, конечно весьма грубо отражающем суть дела. Представим себе, что было совершено какое-то преступление (многие, возможно, согласились бы с тем, что математика – это преступление). Следователь, которому поручено раскрыть преступление, располагает неопределяемыми понятиями: преступник, время совершения преступления и т.д. Все обнаруживаемые в ходе следствия факты следователь скрупулезно записывает. Это его аксиомы. Затем следователь начинает делать логические выводы в надежде, что это позволит ему выдвинуть какие-то версии. Весьма вероятно, что его выводы, хотя они и основаны на правдоподобных предположениях относительно происходивших событий, окажутся противоречивыми, так как исходные предположения либо не соответствуют подлинным событиям, либо недостаточно точно их отражают. В реальной же (физической) ситуации никаких противоречий нет и быть не может. Было совершено преступление, был преступник. Но логические выводы могут привести следователя, скажем, к заключению, что преступник одновременно и низкого роста (около 1,5 м), как следует из анализа следов преступления, и высокого роста (около 1,8 м), как показывает кто-то из свидетелей.

Вряд ли математики сочли бы ключевой проблемой доказательство непротиворечивости нескольких аксиоматических структур, если бы не дальнейшее развитие событий. К началу XX в. математики отчетливо сознавали, что в вопросах непротиворечивости они не могут полагаться на «физическую реализуемость» математики. Ранее, когда евклидова геометрия считалась геометрией реального физического пространства, мысль о том, что непрерывная дедуктивная цепочка теорем может когда-нибудь привести к противоречию, казалась дикой. Но к началу XX в. стало ясно, что евклидова геометрия представляет собой лишь логическую структуру, возведенную на фундаменте из примерно двадцати аксиом, не данных нам богом или природой, а сформулированных человеком. В такой системе вполне могли быть и противоречащие друг другу теоремы. Подобное открытие обесценивало многое из того, что было достигнуто ранее: достаточно было где-нибудь оказаться двум взаимно исключающим теоремам, как их могли использовать для доказательства новых противоречий и полученные в таком случае новые теоремы не имели бы смысла. Гильберт отверг столь страшную возможность, доказав, что евклидова геометрия непротиворечива, если непротиворечива логическая структура арифметики, т.е. система вещественных чисел. Предложенное Гильбертом доказательство в тот период еще не вызывалось насущной необходимостью и потому не привлекло особого внимания математиков (гл. VIII).

Но к всеобщему ужасу в самом начале XX в. противоречия были обнаружены в теории, лежащей в основе наших представлений о числе и далеко простирающейся за пределы арифметики. К 1904 г. выдающийся математик Альфред Принсхейм (1850-1914) имел все основания утверждать, что истина, поиском которой занимается математика, – это не больше и не меньше как непротиворечивость. И когда в работе 1918 г. Гильберт вновь подчеркнул важность проблемы непротиворечивости, у него были теперь для этого гораздо более веские доводы, чем в 1900 г.

Новой теорией, которая привела к противоречиям и открыла многим глаза на противоречия, существовавшие в более старых областях математики, была теория бесконечных множеств.Наведение математической строгости в анализе привело к необходимости учитывать различие между сходящимися(т.е. имеющими конечную сумму) и расходящимисябесконечными рядами. Некоторые из таких рядов, например бесконечные ряды тригонометрических функций, названные рядами Фурье– в честь активно использовавшего их Жозефа Фурье, стали играть важную роль и при попытке строгого обоснования анализа породили немало проблем. К решению этих проблем и приступил Георг Кантор (1845-1918). Логика исследования привела его к рассмотрению теории числовых множеств, в частности к введению мощностей таких бесконечных множеств, как множество всех нечетных чисел, множество всех рациональных чисел (включающее в себя положительные и отрицательные целые числа, а также дроби) и множество всех вещественных чисел.

Кантор порвал с многовековой традицией уже тем, что рассматривал бесконечные множества как единые сущности, притом сущности, доступные человеческому разуму. Начиная с Аристотеля математики проводили различие между актуальной бесконечностьюобъектов и потенциальной бесконечностью.Чтобы пояснить эти понятия, рассмотрим возраст Вселенной. Если предположить, что Вселенная возникла в какой-то момент времени в далеком прошлом и будет существовать вечно, то ее возраст потенциально бесконечен: в любой момент времени возраст Вселенной конечен, но он продолжает возрастать и в конце концов превзойдет любое число лет. Множество (положительных) целых чисел также потенциально бесконечно: оборвав счет, например, на миллионе, мы всегда можем затем прибавить к нему 1, 2 и т.д. Но если Вселенная существовала в прошлом всегда, то ее возраст в любой момент времени актуально бесконечен. Аналогично множество целых чисел, рассматриваемое в «готовом виде» как существующая совокупность, актуально бесконечно.

Вопрос о том, следует ли считать бесконечные множества актуально или потенциально бесконечными, имеет длинную историю. Аристотель в своей «Физике» ([6], т. 3, с. 59-221) утверждал: «Остается альтернатива, согласно которой бесконечное имеет потенциальное существование… Актуально бесконечное не существует». По мнению Аристотеля, актуальная бесконечность не нужна математике. Греки вообще считали бесконечность недопустимым понятием. Бесконечность – это нечто безграничное и неопределенное. Последующие дискуссии нередко лишь затемняли существо дела, так как математики говорили о бесконечности как о числе, не давая явного определения понятия бесконечности и не указывая свойства этого понятия. Так, Эйлер довольно легкомысленно утверждал в своей «Алгебре» (1770), что 1/0 – бесконечность, хотя и не счел нужным определить, что такое бесконечность, а лишь ввел для нее обозначение ∞. Без тени сомнения Эйлер утверждал также, что 2/0 вдвое больше, чем 1/0. Еще больше недоразумений возникало в тех случаях, когда речь шла об использовании символа ∞ для записи пределов при n,стремящемся к бесконечности (например, для записи того, что предел 1/ nпри n,стремящемся к ∞, равен 0). В подобных случаях символ ∞ означает лишь, что nнеограниченно возрастает и может принимать сколь угодно большие (но конечные!) значения, при которых разность между 0 и 1/ nстановится сколь угодно малой. Необходимость в обращении к актуальной бесконечности при таких предельных переходах не возникает.

Большинство математиков (Галилей, Лейбниц, Коши, Гаусс и другие) отчетливо понимали различие между потенциально бесконечными и актуально бесконечными множествами и исключали актуально бесконечные множества из рассмотрения. Если им приходилось, например, говорить о множестве всех рациональных чисел, то они отказывались приписывать этому множеству число – его мощность. Декарт утверждал: «Бесконечность распознаваема, но не познаваема». Гаусс писал в 1831 г. Шумахеру: «В математике бесконечную величину никогда нельзя использовать как нечто окончательное; бесконечность – не более чем façon de parle[манера выражаться], означающая предел, к которому стремятся одни величины, когда другие бесконечно убывают».

Таким образом, введя актуально бесконечные множества, Кантор выступил против традиционных представлений о бесконечности, разделяемых великими математиками прошлого. Свою позицию Кантор пытался аргументировать ссылкой на то, что потенциальная бесконечность в действительности зависит от логически предшествующей ей актуальной бесконечности. Кантор указывал также на то, что десятичные разложения иррациональных чисел, например числа √2, представляют собой актуально бесконечные множества, поскольку любой конечный отрезок такого разложения дает лишь конечное приближение к иррациональному числу. Сознавая, сколь резко он расходится во взглядах со своими предшественниками, Кантор с горечью признался в 1883 г.: «Я оказался в своего рода оппозиции к общепринятым взглядам на математическую бесконечность и к нередко отстаиваемым суждениям о природе числа».

В 1873 г. Кантор не только занялся изучением бесконечных множеств как «готовых» (т.е. реально существующих) сущностей, но и поставил задачу классифицировать актуально бесконечные множества ([15]*, [53]). Введенные Кантором определения позволяли сравнивать два актуально бесконечных множества и устанавливать, содержат ли они одинаковое, «число элементов» или нет. Основная идея Кантора сводилась к установлению взаимно-однозначногосоответствия между множествами. Так, 5 книгам и 5 шарам можно сопоставить одно и то же число 5 потому, что книги и шары можно разбить на пары, каждая из которых содержит по одной, и только одной книге, и по одному, и только одному, шару. Аналогичное разбиение на пары Кантор применил, устанавливая взаимно-однозначное соответствие между элементами бесконечных множеств. Например, взаимно-однозначное соответствие между положительными целыми числами и четными числами можно установить, объединив те и другие в пары:

1 2 3 4 5 …,

2 4 6 8 10 …

Каждому целому числу при этом соответствует ровно одно четное число (равное удвоенному целому), а каждому четному числу соответствует ровно одно целое число (равное половине четного). Следовательно, в каждом из двух бесконечных множеств – множестве целых чисел и множестве четных чисел – элементов столько же, сколько в другом множестве. Установленное соответствие (то, что все множество целых чисел можно поставить во взаимно-однозначное соответствие с частью этого множества) казалось неразумным предшественникам Кантора {99}99
  Впрочем, еще Галилей, исходя из сходных соображений, утверждал, что квадратов начальных чисел имеется столько же, сколько и самих натуральных чисел.


[Закрыть]и заставляло их отвергать все попытки рассмотрения бесконечных множеств. Но это не испугало Кантора. С присущей ему проницательностью он понял, что бесконечные множества могут подчиняться новым законам, не применимым к конечным совокупностям или множествам, подобно тому как, например, кватернионы подчиняются законам, не применимым к вещественным числам. И Кантор определил бесконечное множество как такое множество, которое можно поставить во взаимно-однозначное соответствие со своим собственным (т.е. отличным от всего множества) подмножеством.