Текст книги "Математика. Утрата определенности."

Автор книги: Морис Клайн

В «Теодицее» (1710) Лейбниц утверждал широко распространенную тогда идею о том, что бог есть тот разум, который сотворил наш тщательно спланированный мир. Гармония между реальным миром и миром математики, по Лейбницу, объясняется единством реального мира и бога. На этом же основании Лейбниц решительно отстаивал применимость математики к реальному миру. Cum deus calculat, fit mundus(как господь вычисляет, так мир и устроен). Между математикой и природой существует предустановленная гармония. Вселенная устроена наиболее разумным образом, наш мир – наилучший из всех возможных миров, и рациональное мышление открывает его законы.

Истинное знание внутренне присуще нашему разуму, хотя в отличие от Платона Лейбниц не склонен был ссылаться здесь на предшествующее существование человека. Наши органы чувств не могут научить нас таким необходимым истинам, как то, что бог существует или что все прямые углы равны. Математические аксиомы принадлежат к числу врожденных истин, поскольку являются принципами дедуктивных наук, таких, как механика и оптика, в которых «ощущения, разумеется, необходимы, дабы мы могли составить какое-то представление о чувственных вещах, равно как эксперименты необходимы для установления кое-каких фактов… Но сила доказательства зависит от разумности понятий и истин, которые только и способны научить нас распознавать то, что необходимо…»

Математическая и естественнонаучная деятельность Лейбница была весьма обширной и чрезвычайно ценной. В дальнейшем нам еще представится случай поговорить о ней. Но достижения Лейбница, как и Декарта, были направлены в основном на усовершенствование математического аппарата. Он внес значительный вклад в разработку основ математического анализа, теории дифференциальных уравнений, проницательно указал на важность некоторых зарождавшихся тогда научных понятий, например величины, называемой теперь кинетической энергией(которую он сам именовал живой силой). В то же время нельзя не отметить, что Лейбниц не открыл ни одного фундаментального закона природы. Его философия науки, отводившая первостепенную роль математике, скорее была направлена на то, чтобы побуждать человека к открытию истин.

Хотя ученые XVIII в. значительно расширили границы и математики, и естествознания, найденные ими аргументы в пользу истинности математики и математических законов естествознания в основном повторяли аргументы их предшественников. Несколько членов семейства Бернулли, особенно братья Якоб (1654-1705) и Иоганн (1667-1748), а также сын Иоганна Даниил (1700-1782), Леонард Эйлер (1707-1783), Жан Лерон Д'Аламбер (1717-1783), Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), Пьер Симон Лаплас (1749-1827) и многие другие продолжили математическое исследование природы. Все они развивали методы математического анализа и разработали совершенно новые области, в частности теорию дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных, дифференциальную геометрию, вариационное исчисление, теорию бесконечных рядов и функций комплексного переменного. Все эти первоклассные математические результаты воспринимались как истины и служили более мощными инструментами исследования природы. Как сказал в 1741 г. Эйлер, «полезность математики, обычно известной своими элементарными разделами, не только не иссякает при переходе к высшим ее разделам, но и возрастает по мере развития этой науки».

Цель математических исследований блестящей плеяды ученых XVIII в. состояла в открытии новых законов природы, в более глубоком проникновении в ее основы. Достигнутые успехи были многочисленны и значительны. В астрономии особые усилия прилагались к тому, чтобы продолжить начатую Ньютоном работу по описанию и предсказанию движения небесных тел. Главный теоретический результат Ньютона (вывод эллиптичности орбиты планеты из закона всемирного тяготения), как хорошо сознавал он сам, был бы верен лишь в том случае, если бы вокруг Солнца обращалась только одна планета. Но во времена Ньютона и на протяжении большей части XVIII в. были известны шесть планет. Каждая из них притягивала остальные, а все планеты испытывали притяжение Солнца. Кроме того, у некоторых планет (Земли, Юпитера и Сатурна) были спутники. В результате под действием возмущений эллиптическая орбита искажалась. Какую форму имели истинные траектории планет? Над решением этой проблемы бились все выдающиеся математики XVIII в.

Суть проблемы сводилась к вопросу о взаимном притяжение трех тел. Если бы кому-нибудь удалось изобрести метод, позволяющий определять возмущающее действие третьего тела, то этим методом можно было бы воспользоваться и для определения возмущающего действия четвертого тела и так далее. Тем не менее точное решение общей задачи движения даже трех тел не удалось получить и поныне. Вместо того чтобы искать точное решение, математики стали создавать все более совершенные приближенные методы.

Успехи, достигнутые в XVIII в. даже с помощью приближенных методов, были поистине замечательными. Одним из наиболее драматических событий, подтвердивших точность математических расчетов в астрономии, явилось предсказанное Алекси Клодом Клеро (1713-1765) возвращение кометы, ныне известной под названием кометы Галлея. Эту комету наблюдали несколько астрономов, и в 1682 г. Галлей предпринял попытку определить ее орбиту. Он предсказал, что комета вернется в 1758 г. На заседании Парижской академии наук 14 ноября 1768 г. Клеро объявил, что комета Галлея пройдет ближайшую к Солнцу точку своей орбиты в середине апреля 1759 г. с возможной ошибкой в тридцать дней. Комета появилась на месяц раньше предсказанного срока. Ошибка в один месяц может показаться чудовищной. Не следует забывать, однако, что кометы обычно доступны наблюдениям лишь в течение нескольких дней, а комета Галлея не наблюдалась семьдесят семь лет.

Другими выдающимися успехами астрономия обязана трудам Лагранжа и Лапласа. В движениях Луны и планет наблюдались, некоторые нерегулярности. Они могли означать, что планета удаляется от Солнца на все большее расстояние. Лагранж и Лаплас доказали, что нерегулярности, наблюдаемые в скоростях Юпитера и Сатурна, имеют периодический характер, поэтому движения этих двух планет являются устойчивыми. Научные достижения XVIII в. воплощены в одном из шедевров науки – пятитомной «Небесной механике» Лапласа, печатавшейся в 1799-1825 гг.

Всю свою жизнь Лаплас посвятил астрономии, и, какой бы областью математики он ни занимался, его прежде всего интересовало применение полученных результатов к астрономии. Рассказывают, будто в своих рукописях Лаплас нередко опускал трудные этапы доказательств, заменяя их кратким замечанием: «Нетрудно видеть, что…» Одно не вызывает сомнения в этих рассказах: Лапласу действительно было не до детальной отделки доказательств, он торопился поскорее перейти к астрономическим приложениям. Многочисленные фундаментальные результаты, полученные Лапласом в математике, были не более чем побочными продуктами его титанической деятельности в области естествознания. Дальнейшим развитием их занимались другие.

Не менее драматична и широкоизвестная история открытия Нептуна. Хотя Нептун был открыт в 1846 г., в основе его открытия лежали достижения математики XVIII в. В 1781 г. Уильям Гершель с помощью нового мощного телескопа открыл планету Уран. Но движение Урана оказалось плохо предсказуемым. Алекси Бувар высказал предположение, что движение Урана возмущает какая-то неизвестная планета. Было предпринято много попыток обнаружить положение новой планеты и путем наблюдений, и путем теоретических расчетов ее размеров и орбиты. В 1841 г. двадцатидвухлетнему студенту Кембриджского университета Джону Каучу Адамсу (1819-1892) удалось довольно точно рассчитать массу, размеры и орбиту предполагаемой планеты. О результатах своих вычислений Адамс сообщил знаменитому Джорджу Эйри, занимавшему тогда пост директора Королевской астрономической обсерватории в Гринвиче, но тот не придал расчетам студента особого значения. Одновременно с Адамсом примерно такие же расчеты независимо выполнил еще один молодой астроном – француз Урбен Жан Жозеф Леверье (1811-1877). О том, где следует искать новую планету, он сообщил немецкому астроному Иоганну Галле. Письмо от Леверье Галле получил 23 сентября 1846 г. и в тот же вечер обнаружил Нептун всего в 52 дуговых секундах от места, указанного Леверье. Как можно было сомневаться в правильности астрономической теории, позволяющей делать столь поразительные предсказания? (Точность предсказаний составляла одну десятитысячную процента!)

Помимо астрономии математизации еще во времена греков подверглась оптика. Изобретение в начале XVII в. микроскопа и телескопа очень стимулировало интерес к оптике, и, подобно ученым древней Греции, ни один математик XVII-XVIII в. не обошел оптику своим вниманием. Как мы уже упоминали, Снеллиусу и Декарту удалось открыть в XVIII в. то, что тщетно пытался сделать Птолемей, – закон преломления света; они ответили на вопрос, как ведет себя свет, распространяясь в среде с резко изменяющимися свойствами, например при переходе из воздуха в воду. Оле Рёмер (1644-1710) обнаружил, что свет распространяется с конечной скоростью. Интерес к оптике значительно возрос после того, как Ньютон установил, что белый свет представляет собой смесь всех цветов – от красного до фиолетового. Выход в свет ньютоновской «Оптики» (1704) во многом способствовал прогрессу этой науки и усовершенствованию микроскопов и телескопов. Важнейшим инструментом исследования и на этот раз явилась математика. Оптические исследования продолжали интенсивно развиваться и в XVIII в. Новой значительной вехой в становлении оптики как науки стало трехтомное сочинение Эйлера.

Физическая природа света оставалась по-прежнему неясной. В то время как Ньютон считал, что свет представляет собой движение частиц (корпускул), а Гюйгенс говорил о волновом движении (хотя у него этот термин вряд ли означал волны), Эйлер первым подошел к анализу световых колебаний с позиций математики и вывел уравнения движения. Отстаивая волновую природу света, Эйлер был единственным ученым XVIII в., осмелившимся выступить против ньютоновской корпускулярной теорий света. Правильность взглядов Эйлера получила в начале XIX в. подтверждение в трудах Огюстена Жана Френеля и Томаса Юнга. Но природа света по-прежнему оставалась невыясненной, и основную надежду оптики продолжали возлагать на математические законы. До возникновения принятой ныне электромагнитной теории света должно было пройти еще полвека.

В XVIII в. перед естествоиспытателями открылись новые области исследований, и в некоторых из них им удалось достичь по крайней мере частичных успехов. Одной из новых областей физики стало математическое описание и анализ музыкальных звуков – акустика. Этот раздел физики имеет довольно длинную историю. Акустика началась с исследования звуков, издаваемых колеблющейся (скрипичной) струной. Свое веское слово о законах колебания струны сказали Даниил Бернулли, Д'Аламбер, Эйлер и Лагранж, существенно расходившиеся во мнениях по некоторым вопросам математического анализа. {34}34
  Оживленная дискуссия между Д. Бернулли, Эйлером и Д'Аламбером по поводу исследования колебаний струны (в которой каждый из этих трех выдающихся ученых был несогласен с двумя другими) связана с тем, что в XVIII в. не было еще полной ясности относительно определения понятия функции: дискуссия весьма способствовала внесению ясности в этот важный вопрос.


[Закрыть]И хотя спор удалось разрешить лишь в начале XIX в., после появления трудов Жана Батиста Жозефа Фурье (1768-1830), тем не менее и в XVIII в. был достигнут колоссальный прогресс. Наши современные представления о том, что каждый музыкальный звук состоит из основного тона (первой гармоники) и обертонов (высших гармоник) с частотами, равными целым кратным частоты первой гармоники, созданы трудами великих ученых XVIII в. Такое представление о звуке лежит в основе разработки всей современной звукозаписывающей и передающей аппаратуры: телефона, фонографа, радио и телевидения.

С XVIII в. берет начало еще одна область математической физики – гидродинамика,занимающаяся изучением течений жидкостей и газов, а также изучением движения тел в жидкости. Еще Ньютон рассмотрел и решил задачу о форме, которую должно иметь тело, чтобы при движении в жидкости оно испытывало наименьшее сопротивление. Классическим трудом в этой области математической физики по праву считается «Гидродинамика» Даниила Бернулли (1738). В этой работе Бернулли, в частности, отметил, что гидродинамику можно было бы использовать для описания тока крови по артериям и венам человеческого тела. Вслед за сочинением Бернулли вышел в свет основополагающий труд Эйлера (1755), в котором он вывел уравнения движения несжимаемой жидкости. В этой работе Эйлер писал:

Если нам не дано достичь полного знания о движении жидкости, то причину неудачи надлежит приписывать не механике и не недостаточности известных законов движения. Нам недостает [математического] анализа, поскольку вся теория движения жидкости теперь свелась к исследованию аналитических формул.

В действительности гидродинамика в том виде, в каком ее рассматривал Эйлер, была существенно неполной, и за последующие семьдесят лет в нее было внесено немало поправок и дополнений. Так, например, Эйлер полностью пренебрегал вязкостью.(Вода течет быстро и может считаться невязкой жидкостью, тогда как, скажем, масло течет медленно и обладает заметной вязкостью. {35}35
  Ясно, что создатели гидродинамики Эйлер и Д'Аламбер ничего не знали о так называемых турбулентныхтечениях с нерегулярным, случайным характером движения отдельных частиц жидкости (для создания теории таких течений тогда еще не существовало подходящего математического аппарата); игнорирование этого обстоятельства приводило их даже к некоторым парадоксам, в то время неразрешимым.


[Закрыть]) Тем не менее мы можем с полным правом утверждать, что именно Эйлер стал основателем гидродинамики, применимой к движению судов и самолетов.

Если ученые XVIII в. нуждались в дополнительном подтверждении того, что мир основан на математических принципах и устроен наилучшим образом и что все творения природы созданы по замыслу единого архитектора – господа бога, то они обрели это подтверждение в одном математическом открытии. Герон (гл. I) доказал, что свет, двигаясь из точки  Pв точку Qи отражаясь в зеркале, распространяется по кратчайшему пути. Так как скорость света при этом постоянна, то кратчайший путь означает и кратчайшее время распространения света.

Один из величайших математиков XVIII в. Пьер Ферма (1601-1665), опираясь на весьма скудные экспериментальные данные, сформулировал принцип наименьшего времени: свет, идущий из одной точки в другую, распространяется по такому пути, на преодоление которого уходит наименьшее время.Очевидно, что таким сотворил свет господь бог, наделив его способностью не только неукоснительно следовать математическим законам, но и распространяться по пути, требующему минимальных затрат времени. Ферма окончательно уверовал в правильность своего принципа, когда ему удалось вывести из него закон преломления света, открытый ранее Снеллиусом и Декартом.

К началу XVIII в. математики располагали уже несколькими впечатляющими примерами того, как природа пытается «максимизировать» или «минимизировать» те или иные важные характеристики физических процессов. Христиан Гюйгенс, первоначально возражавший против принципа Ферма, доказал, что тот же самый принцип верен и для света, распространяющегося в среде с непрерывно изменяющимися свойствами. Даже первый закон Ньютона, утверждающий, что всякое находящееся в состоянии движения тело, если на него не действуют никакие силы, движется по прямой, стали рассматривать как еще одно свидетельство «принципа экономии», выполняющегося в природе.

Ученые XVIII в. были убеждены в том, что совершенная Вселенная не терпит напрасных затрат, – и потому каждое действие природы для достижения конечного результата должно быть наименьшим из возможных; на этой основе они принялись за поиск общего принципа. Первую формулировку такого принципа предложил Пьер Луи Моро де Мопертюи (1698-1759), математик, возглавлявший экспедицию в Лапландию, цель которой заключалась в измерении по меридиану длины дуги в один градус. Произведенные экспедицией измерения показали, что Земля сплюснута у полюсов, как предсказывали на основе теоретических соображений Ньютон и Гюйгенс. Открытие Мопертюи устранило возражения против теории Ньютона, выдвинутые Жаном Домиником Кассини и его сыном Жаком. Мопертюи был удостоен почетного титула «сплюснувший Землю». По меткому выражению Вольтера, Мопертюи сплющил Землю и обоих Кассини.

В 1740 г., занимаясь теорией света, Мопертюи провозгласил свой знаменитый принцип наименьшего действия,опубликовав статью под названием «О различных законах природы, казавшихся несовместимыми». Мопертюи исходил из принципа Ферма, но, поскольку не существовало единого мнения относительно того, в какой среде скорость света больше – в воде (как считали Декарт и Ньютон) или в воздухе (как полагал Ферма), Мопертюи отказался от наименьшего времени и заменил его новым понятием – действием.Под действием Мопертюи понимал интеграл (определяемый в математическом анализе) от произведения массы, скорости и пройденного расстояния. Согласно принципу наименьшего действия, все явления природы происходят так, что действие оказывается минимальным. Предложенное Мопертюи определение действия нуждается в некоторых уточнениях: Мопертюи не указал, по какому интервалу времени надлежит вычислять интеграл, и в каждом из найденных им приложений принципа в оптике и в некоторых задачах механики придавалдействию разный смысл.

Хотя в обоснование своего принципа Мопертюи привел несколько физических примеров, он отстаивал принцип наименьшего действия и по теологическим мотивам. Законы движения материи должны обладать совершенством, достойным божьего замысла, и принцип наименьшего действия удовлетворял этому критерию, так как показывал, что природа действует наиболее экономным образом. Свой принцип Мопертюи провозгласил универсальным законом природы и первым научным доказательством существования и мудрости бога.

Величайший из математиков XVIII в. Леонард Эйлер, состоявший с Мопертюи в переписке (1740-1744) по поводу принципа наименьшего действия, согласился с ним в том, что бог, должно быть, построил Вселенную в соответствии с каким-то фундаментальным принципом и что существование такого принципа свидетельствует о направляющем персте божьем. Свое мнение Эйлер выразил так: «Поскольку наш мир устроен наисовершеннейшим образом и является творением всеведущего творца, во всем мире не происходит ничего такого, в чем не было бы воплощено какое-либо правило максимума или минимума».

В своем убеждении, что все явления природы происходят таким образом, что максимизируют или минимизируют некоторую функцию, вследствие чего и основные физические принципы должны содержать какую-то максимизируемую или минимизируемую функцию, Эйлер пошел еще дальше Мопертюи. Бог, несомненно, более искусный математик, чем могли себе представить ученые XVI-XVII вв., считал он. Религиозные убеждения также укрепляли Эйлера во мнении, что бог возложил на человека миссию познавать божественные законы, используя ниспосланный ему дар мышления. Книга природы открыта перед нами, но написана она на языке, который мы понимаем не сразу, а лишь после того, как ценой немалых усилий и страданий с любовью выучим его. Язык этот – математика. А поскольку наш мир – наилучший из всех возможных миров, его законы также должны блистать красотой.

Более точную и общую форму принципу наименьшего действия придал Лагранж. Действие фактически свелось к энергии. Из обобщенного принципа наименьшего действия удалось получить решения многих новых задач механики. (Принцип наименьшего действия по существу стал центральным принципом вариационного исчисления– новой области математического анализа, основателем которой стал Лагранж, опиравшийся на труды Эйлера.) Дальнейшее обобщение принципа наименьшего действия было предложено «вторым Ньютоном» Британии – Уильямом Роуаном Гамильтоном (1805-1865). Этот принцип и поныне является одним из наиболее универсальных принципов, лежащих в основе механики. По образу и подобию принципа наименьшего действия аналогичные принципы, получившие название вариационных, были сформулированы и в приложении к другим областям физики. Однако, как мы увидим, во времена Гамильтона ученые уже отказались от заключений Мопертюи и Эйлера, считавших, что принцип наименьшего действия включен божественным провидением в схему природы. Некоторое представление об изменениях, происшедших в толковании принципа наименьшего действия, можно составить по «Истории доктора Акакия», в которой высмеивается этот принцип, рассматриваемый как доказательство существования бога. Но ученые XVIII в. все еще были глубоко убеждены в том, что наличие столь всеобъемлющего принципа может означать одно: мир сотворен (разумеется, господом богом) в соответствии с этим принципом.

Величайшие мыслители XVIII в. отнюдь не двусмысленно утверждали господство математики. Вот, например, как сформулировал тезис о примате математики выдающийся математик Жан Лерон Д'Аламбер, главный сотрудник Дени Дидро (1718-1784), в своей статье, написанной для знаменитой французской «Энциклопедии»: «Истинная система мира познана, развита и усовершенствована». Нужно ли говорить, что естественный закон был законом математическим?

Более известно высказывание Лапласа:

Состояние Вселенной в данный момент можно рассматривать как результат ее прошлого и как причину ее будущего. Разумное существо, которое в любой момент знало бы все движущие силы природы и взаимное расположение образующих ее существ, могло бы – если бы его разум был достаточно обширен для того, чтобы проанализировать все эти данные, – выразить одним уравнением движение и самых больших тел во Вселенной, и мельчайших атомов. Ничто не осталось бы сокрытым от него – оно могло бы охватить единым взглядом как будущее, так и прошлое.

Уильям Джеймс в своем «Прагматизме» следующим образом описывает умонастроение математиков того времени:

Когда были открыты первые математические, логические и физические закономерности, первые законы, проистекавшие из этих открытий, ясность, красота и упрощение настолько захватили людей, что они уверовали в то, будто им удалось доподлинно расшифровать непреходящие мысли Всемогущего. Его разум громыхал громовыми раскатами и эхом отдавался в силлогизмах. Бог мыслил коническими сечениями, квадратами, корнями и отношениями и геометризовал, как Евклид. Бог предначертал законы Кеплера движению планет, заставил скорость падающих тел возрастать пропорционально времени, создал закон синусов, которому свет должен следовать при преломлении… Бог измыслил архетипы всех вещей и придумал их вариации, и когда мы открываем любое из его чудесных творений, то постигаем его замысел в самом точном предназначении.

Убеждение в том, что природа сотворена по математическому плану и творец ее – господь бог, выражали не только ученые, но и поэты, например английский поэт, эссеист и государственный деятель Джозеф Эддисон (1672-1712) в своем «Гимне»:

 
Бескрайней чаши глубина,
Небес эфирных синева,
Звезд бесконечный хоровод
Хвалу Создателю поет.
Своей могучею десницей
Бог правит солнца колесницей,
И свет летит во все края,
Хвалу Всевышнему творя.
…
Планет кружащихся венец —
Твое созданье, о Творец.
Той вестью полны,
Катят по океанам волны.
 

К концу XVIII в. математика была подобна гигантскому дереву, прочно стоявшему на почве реальности, с корнями двухтысячелетней давности, с раскидистыми ветвями. Высоко вздымалось древо математики над всеми областями человеческого знания. Никто не сомневался, что в таком виде это дерево будет жить вечно – разве что крона его будет становиться все пышнее.