Текст книги "Математика. Утрата определенности."
Автор книги: Морис Клайн
Жанр:
Математика
сообщить о нарушении
Текущая страница: 22 (всего у книги 38 страниц)
Как уже неоднократно случалось в прошлом, математики использовали аксиому выбора бессознательно и лишь гораздо позднее не только поняли, что применяют эту аксиому, но и докопались до причин, побудивших их ее принять. Кантор неявно использовал аксиому выбора в 1887 г. для доказательства теоремы о том, что любое бесконечное множество содержит подмножество с кардинальным числом N 0 .Кроме того, аксиома выбора неявно использовалась при доказательствах многих теорем топологии, теории меры, алгебры и функционального анализа. Например, аксиома выбора находит применение при доказательстве теоремы о том, что в любом ограниченном множестве чисел всегда можно выбрать последовательность, сходящуюся к предельной точке множества. Аксиома выбора используется также для доказательства фундаментальных утверждений, например при построении вещественных чисел из аксиом Пеано для целых чисел. Аксиома выбора применяется и при доказательстве теоремы о конечности множества всех подмножеств конечного множества. В 1923 г. Гильберт назвал аксиому выбора общим принципом, который необходим и неоценим как один из первых элементов теории математического вывода. Пеано первым обратил внимание на аксиому выбора. Еще в 1890 г. он писал, что нельзя бесконечно применять произвольное правило, позволяющее отбирать по одному элементу из каждого множества, сколько бы их ни было. Пеано сформулировал правило выбора для частного случая, т.е. для той задачи (интегрируемости дифференциальных уравнений), рассмотрением которой он занимался, и тем самым устранил возникшую трудность. То, что аксиома выбора действительно является аксиомой, понял в 1902 г. Беппо Леви, а Цермело узнал об этом от Эрхардта Шмидта в 1904 г.
Явное использование Цермело аксиомы выбора вызвало бурю протестов в следующем же номере (за 1904 г.) авторитетного журнала Mathematische Annalen.С критикой аксиомы выбора выступили Эмиль Борель (1871-1956) и Феликс Бернштейн (1878-1956). Вслед за их критическими выступлениями последовал обмен письмами между ведущими математиками того времени Эмилем Борелем, Рене Бэром (1874-1932), Анри Лебегом (1875-1941) и Жаком Адамаром (1865-1963); эти письма были опубликованы на страницах журнала Bulletin de la Société Mathématique de Franceза 1905 г.
Суть критики сводилась к тому, что если не указано правило, по которому из каждого множества выбирается по элементу, то реально выбор не производится и поэтому в действительности новое множество не образуется. В ходе доказательства выбор может изменяться, поэтому доказательство утрачивает силу. По выражению Бореля, выбор без правил представляет собой акт веры; поэтому аксиома выбора лежит за пределами математики. Поясним сказанное на примере, предложенном в 1905 г. Бертраном Расселом. Предположим, что у меня есть сто пар обуви и я из каждой пары выбираю левый ботинок. Правило, которым я руководствуюсь при выборе в этом случае, ни у кого не вызовет сомнений. Но предположим, что у меня имеется сто пар носков и из каждой пары я выбираю по одному носку. В этом случае невозможно указать, какой носок (правый или левый) был выбран из каждой пары, т.е. нельзя сформулировать правило, по которому был произведен выбор. Те, кто отстаивал аксиому выбора, признавали, что правила выбора может и не быть, но не считали его необходимым. По их мнению, акты выбора определены просто тем, что их считают определенными.
Против аксиомы выбора выдвигались и другие возражения. Так, Пуанкаре принимал аксиому выбора, но отвергал предложенное Цермело доказательство полной упорядоченности, поскольку в этом доказательстве используются непредикативные утверждения. Бэр и Борель возражали не только против аксиомы, но и против доказательства, так как из него не видно, как осуществляется полное упорядочение, – доказывается лишь, что оно осуществимо. Брауэр, со взглядами которого на основания математики мы познакомимся в дальнейшем (гл. X), возражал потому, что считал неприемлемыми актуально бесконечные множества. Возражение Рассела сводилось к тому, что множество естественно определять свойством, которым обладают все элементы этого множества, и только они. Так, например, множество людей, носящих зеленую шляпу, можно было бы определить свойством «носящие зеленую шляпу». Но аксиома выбора не требует, чтобы выбранные элементы обладали каким-нибудь определенным свойством. Она лишь утверждает, что каждый элемент выбран из одного из заданных множеств – по одному элементу на каждое множество. Сам Цермело довольствовался интуитивным понятием множества, и поэтому у него не вызывало сомнений, что при любом выборе из каждого множества по одному элементу образуется новое множество.
Единственным стойким защитником Цермело был Адамар. Он утверждал, что аксиома выбора приемлема по тем же причинам, какие он приводил, отстаивая теорию множеств Кантора. По мнению Адамара, для того чтобы утверждать существование объектов, отнюдь не требуется их описывать. Если одного утверждения о том, что объект существует, достаточно для прогресса математики, то это утверждение приемлемо.
В ответ на критические замечания Цермело дал второе доказательство полного упорядочения, также основанное на использовании аксиомы выбора (в действительности Цермело показал, что оба доказательства эквивалентны). Цермело отстаивал использование аксиомы выбора и утверждал, что до тех пор, пока эта аксиома не приводит к противоречию, ее использование в математике вполне допустимо. По словам Цермело, аксиома выбора «имеет исключительно объективный характер, который сразу же ясен». Он признал, что аксиома выбора не вполне самоочевидна, так как в ней говорится о выборе из бесконечно многих множеств, но она научно необходима, поскольку используется для доказательства важных теорем.
Было предложено много эквивалентных вариантов аксиомы выбора. Если аксиому выбора принять наряду с другими аксиомами теории множеств, то эти варианты представляют собой теоремы. Но все попытки заменить аксиому выбора менее спорной аксиомой оказались безуспешными. Маловероятно, что удастся найти удачную замену аксиомы выбора, приемлемую для всех математиков.
Споры вокруг аксиомы выбора по существу сводились к одной главной проблеме: как следует понимать существованиев математике? Одни математики склонны считать «существующим» любое понятие, оказавшееся полезным, если оно не приводит к противоречиям, например обычную замкнутую поверхность, площадь которой бесконечна. Для других математиков «существование» означает четко распознаваемое определение или такое понятие, которое позволяет отождествить или по крайней мере описать его. Одной лишь возможности выбора недостаточно. В дальнейшем эти взаимоисключающие точки зрения стали еще более непримиримыми – мы поговорим о них в следующих главах. Пока же заметим только, что аксиома выбора стала яблоком раздора между математиками.
И тем не менее десятилетия спустя, когда математика значительно расширила свои границы, многие ученые продолжали использовать аксиому выбора. Не утихали и споры по поводу того, можно ли считать аксиому выбора и доказываемые с ее помощью теоремы законной, вполне приемлемой математикой. {104}104
Сомнения по этому поводу подогревались рядом полностью противоречащих нашей интуиции (или очень сильных и «слишком просто» доказываемых) результатов, получаемых с использованием аксиомы выбора Цермело. Наиболее известна здесь, пожалуй, эффектная работа Ф. Хаусдорфа, результат которой, несколько огрубляя, можно описать так: пусть Ш – обыкновенный шар трехмерного евклидова пространства; Хаусдорф разбивает этот шар на четыре множества I, II, III и IV так, что сложив по-другому множества I и II, мы получим из них шар Ш 1, равный Ш; из множеств III и IV также можно сложить равный Ш шар Ш 2. (Ср. гл. XII).
[Закрыть]Аксиома выбора стала предметом активного обсуждения и уступала в этом отношении лишь аксиоме Евклида о параллельных. По замечанию Лебега, оппонентам не оставалось ничего другого, как поносить друг друга, ибо прийти к соглашению они не могли. Сам Лебег, несмотря на отрицательное и скептическое отношение к аксиоме выбора, все же пользовался ею, по его собственному выражению, «дерзко и осторожно», полагая, что будущее покажет, кто прав.
Но в первые же годы XX в. математиков стала беспокоить еще одна проблема. Сначала она не представлялась достаточно фундаментальной, но по мере распространения канторовской теории трансфинитных кардинальных и ординальных чисел становилась все более острой и настоятельно требовала своего решения.
В своих последних работах Кантор построил теорию трансфинитных кардинальных чисел на основе теории ординальных чисел. Например, кардинальное число множества всех возможных конечных множеств (точнее, множество всех конечных ординальных чисел) равно N 0. Кардинальное число всех возможных множеств ординальных чисел, содержащих лишь считанное число ( N 0) элементов, равно N 1 .Продолжая эту последовательность, Кантор получал все большие кардинальные числа, которые обозначил N 0, N 1, N 2, …. Кроме того, каждое очередное кардинальное число непосредственно следовало за предыдущим (было ближайшим к предыдущему кардинальным числом). Но в самом начале своих работ по трансфинитным числам Кантор показал, что множество всех вещественных чисел насчитывает 2 N0членов (эту величину принято кратко обозначать c) и что 2 N0больше, чем N 0. Вопрос, который тогда же поставил Кантор, заключался в следующем: с каким членом последовательности алефов совпадает c? Так как кардинальное число N 1следует непосредственно за N 0, кардинальное число cбольше или равно N 1. Кантор высказал предположение, что c = N 1. Это предположение, впервые сформулированное в 1884 г. и опубликованное в том же году, получило название гипотезы континуума. {105}105
Можно взять множество с кардинальным числом N 1и рассмотреть множество всех его подмножеств, кардинальное число которого обозначается через 2 N1. Как доказал Кантор, 2 N1 > N 1. Можно предположить, что 2 N1= N 2и что 2 N n = N n+1 . Такое предположение называется обобщенной гипотезой континуума.
[Закрыть]Эта гипотеза допускает также другую, несколько более простую формулировку: не существует трансфинитного числа, заключенного между N 0и c(кардинальное число любого бесконечного подмножества множества вещественных чисел либо равно N 0, либо равно с). {106}106
Вариант гипотезы континуума, приведенный в скобках, не требует обращения к аксиоме выбора.
[Закрыть]В первые десятилетия XX в. вокруг гипотезы континуума развернулась бурная дискуссия, но проблема так и не была решена. Помимо того что гипотеза континуума дала возможность доказать новые теоремы, она приобрела особое значение, так как позволила глубже понять бесконечные множества, взаимно-однозначное соответствие и аксиому выбора и тем самым способствовала лучшему обоснованию теории множеств.
Итак, в начале XX в. перед математиками встало несколько трудных проблем. Требовалось устранить уже обнаруженные противоречия. Но еще более важным представлялось доказать непротиворечивость всей математики, ибо без этого нельзя было гарантировать, что в будущем не возникнут новые противоречия. Все эти проблемы имели решающее значение для судеб математики. Многие ученые продолжали считать неприемлемой аксиому выбора и ставили под сомнение доказанные на ее основе теоремы. «Нельзя ли доказать те же теоремы, исходя из более приемлемой аксиомы, и полностью отказаться от аксиомы выбора?» – этот вопрос беспокоил умы. Необходимо было также доказать или опровергнуть гипотезу континуума, важность которой по мере развития математики становилась все более очевидной.
Проблемы, с которыми столкнулись математики в начале XX в., были весьма серьезными, однако при других обстоятельствах они вряд ли вызвали бы столь сильные потрясения. Правда, противоречия в любом случае пришлось бы разрешать, но выявленные к началу XX в. противоречия относились к теории множеств – новому разделу математики, и математиков не оставляла надежда, что в свое время его удастся строго обосновать. Что же касается опасений обнаружить в классической математике новые противоречия, возможно связанные сиспользованием непредикативных определений, то к началу XX в. проблему непротиворечивости удалось свести к проблеме непротиворечивости арифметики, а то, что арифметика непротиворечива, ни у кого не вызывало сомнений. Вещественные числа находились в обращении более пяти тысяч лет, и относительно их было доказано огромное число теорем; при этом никаких противоречий никогда обнаружено не было. То обстоятельство, что какая-то аксиома, в данном случае аксиома выбора, использовалась неявно и что ее продолжали применять, подавляющее большинство математиков не беспокоило. Движение за аксиоматизацию, развернувшееся в конце XIX в., обнаружило, что многие аксиомы использовались неявно. Гипотеза континуума была в то время не более чем деталью теории Кантора, а некоторые математики целиком отвергали канторовскую теорию множеств. Математикам приходилось сталкиваться и с гораздо более серьезными трудностями, но они никогда не теряли присутствия духа. Например, в XVIII в., полностью сознавая принципиальный характер трудностей, возникших при попытках обосновать математический анализ, математики тем не менее продолжали создавать на основе дифференциального и интегрального исчисления новые обширные разделы математики и лишь впоследствии подвели под свои построения прочный фундамент, в основе которого лежало понятие числа.
Проблемы теории множеств можно было бы сравнить с запалом, который приводит к воспламенению заряда, вызывающего взрыв бомбы. Некоторые все еще верили, что математика представляет собой свод незыблемых истин. Они надеялись доказать это, и Фреге предпринял попытку осуществить подобные намерения. Кроме того, возражения против аксиомы выбора были вызваны не только тем, что утверждает сама аксиома. Математики, в частности Кантор, вводили все новые абстрактные понятия, обладавшие, по их утверждениям, той же степенью достоверности, какой обладает, например, понятие треугольника. Другие отвергали абстрактные понятия, считая их далекими от реальности и потому неспособными нести сколько-нибудь полезную нагрузку. Дискуссия по поводу теории множеств Кантора, аксиомы выбора и аналогичных понятий свелась к основному вопросу: в каком смысле можно утверждать, что математические понятия существуют?Должны ли они соответствовать реальным физическим объектам, являясь их идеализацией? Эту проблему рассматривал еще Аристотель. Он, как и большинство греческих мыслителей, считал, что математические понятия непременно должны иметь реальные прототипы. Именно из-за отсутствия физических реализаций Аристотель отвергал и существование бесконечного множества как «готовой» совокупности элементов и правильный семиугольник, который не удавалось построить циркулем и линейкой, что заставляло античных математиков считать его «непостроимым», т.е. в определенном смысле «не существующим». С другой стороны, последователи Платона – а Кантор был одним из них – полагали, что идеи существуют в некоем объективном «мире идей» и не зависят от человека. Человек лишь открывает эти идеи.
Другой гранью проблемы существования был смысл доказательств существования.Например, Гаусс доказал, что любое алгебраическое уравнение n-й степени с вещественными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один (комплексный, а может, и вещественный) корень. Но из приведенного Гауссом доказательства не было ясно, каким образом можно вычислить этот корень. Аналогично Кантор доказал, что вещественных чисел больше, чем алгебраических (корней алгебраических уравнений с целыми коэффициентами). Следовательно, должны существовать трансцендентныеиррациональные числа, не являющиеся алгебраическими. Но такое доказательство существования не позволяло назвать и тем более вычислить хотя бы одно трансцендентное число. Некоторые математики начала XX в. (Борель, Бэр, Лебег) считали чистые доказательства существования бессмысленными. По их мнению, доказательство существования должно позволять математикам вычислять существующие величины с любой степенью точности. Такие доказательства существования получили название конструктивных.
Некоторых математиков беспокоило еще одно обстоятельство. Аксиоматизация математики была осуществлена как формальный ответ на интуитивное принятие многих очевидных фактов. Правда, аксиоматизация помогла избавиться от противоречий и неясностей, в частности в математическом анализе. Но сторонники аксиоматизации настаивали также на явных определениях, формулировках аксиом и доказательствах того, что было очевидно на интуитивном уровне – настолько очевидно, что прежде никто даже не осознавал, в какой мере те или иные рассуждения опираются на интуицию (гл. VIII). Возникшие в результате аксиоматизации дедуктивные построения оказались весьма сложными и громоздкими. Так, построение теории рациональных и в особенности иррациональных чисел на основе аксиоматики целых чисел изобиловало множеством деталей и отличалось большой сложностью. Все это вызывало тягостное чувство у некоторых математиков, в частности у Леопольда Кронекера (1823-1891), считавшего все эти новомодные теории излишне сложными и искусственными. Кронекер первым из выдающихся математиков своего времени пришел к заключению, что с помощью логических средств невозможно создать разумную теорию, выходящую за рамки интуиции, подсказываемой здравым смыслом.
Другим камнем преткновения стала математическая логика, бурное развитие и все расширяющиеся границы которой заставили математиков осознать, что обращение к законам логики не может оставаться неформальным и осуществляться лишь от случая к случаю. Работы Пеано и Фреге показали математикам необходимость тонко различать понятия, используемые в математических рассуждениях, например проводить различия между элементом, принадлежащим какому-то классу, и классом, входящим в другой класс. {107}107
Сегодня это различие отражается в существовании двух разных символов: 
(например, x A) и 
( B A), используемых уже и в школьных учебниках математики.
[Закрыть]Проведение такого рода различий современники Фреге считали чрезмерным педантизмом. По их мнению, эти различия скорее затрудняли, чем облегчали, работу математика.
Гораздо более важным было то, что многие математики начали сомневаться в неограниченной применимости принципов логики, хотя в конце XIX в. эти сомнения еще никто не высказывал явно. Что гарантирует применимость принципов логики к бесконечным множествам? Если принципы логики есть продукт человеческого опыта, то нельзя не спросить, распространяются ли они на те чисто рациональные построения, которые не имеют опытной основы.
Разногласия между математиками по поводу затронутых нами проблем начались задолго до наступления XX в. Новые парадоксы лишь усугубили уже существовавшие расхождения в мнениях. Через многие годы математики с тоской вспомнят о коротком, но счастливом периоде, предшествовавшем появлению противоречий, – периоде, о котором Поль Дюбуа-Реймон отозвался как о времени, когда математики «еще жили в раю».
X
Логицизм против интуиционизма
Открытие парадоксов теории множеств и осознание того, что аналогичные парадоксы могут встретиться и в уже существующей классической математике (хотя пока они и не обнаружены), заставили математиков всерьез заняться проблемой непротиворечивости. Весьма насущным вдруг стал вопрос о том, какой смысл имеет в математике глагол «существовать», поднятый, в частности, в связи с вольным использованием аксиомы выбора. Все более широкое применение бесконечных множеств при перестройке оснований математики и создании ее новых разделов вновь оживило старые разногласия по поводу законности использования актуально бесконечных величин и множеств. Начавшееся в конце XIX в. движение за аксиоматизацию математики все эти кардинальные проблемы просто оставляло в стороне.
Но сколь ни важны были эти и другие вопросы, которых мы коснулись в предыдущей главе, не только они привели к пересмотру оснований собственно математики. Проблемы, о которых идет речь, подобно ветру, раздули тлевшие угли и заставили их вспыхнуть ярким пламенем. Еще до начала XX в. было провозглашено и даже разработано несколько радикально новых подходов к математике. Но поскольку они до времени оставались в тени, большинство математиков не восприняли их всерьез. Однако в первые десятилетия XX в. в битву за новые подходы к математике вступили гиганты. Они разделились на враждующие лагери и вступили в открытое противоборство.
Одно из направлений получило название «логистическая школа». Если не вдаваться в подробности, то основной тезис логицистов сводился к утверждению, что математика полностью может быть выведена из логики. В начале XX в. большинство математиков видели в законах логики незыблемые, вечные истины. Но если законы логики истинны, рассуждали логицисты, то истинна и математика. А поскольку истина непротиворечива, продолжали они, то математика также должна быть непротиворечивой.
Как и обычно, когда речь идет о создании нового большого направления в науке, прежде чем логистика обрела строгую форму и привлекла широкое внимание, потребовались значительные усилия многих ученых. Мысль о том, что математика выводима из логики, восходит по меньшей мере к Лейбницу. Лейбниц различал истины основания (или необходимые истины) и истины факта (или случайные истины) (гл. VIII). Суть этого различия он пояснил в письме к своему другу Косте. Истина именуется необходимой,если противоположное утверждение приводит к противоречию. Если же истина не является необходимой, то она называется случайной.Утверждения о том, что бог существует {109}109
Мы уже указывали на своеобразный характер религиозности Лейбница, для которого бог играл роль гаранта истинности логики, но, «создав однажды» Вселенную, далее никак не вмешивался в ее функционирование. (Разумеется, Лейбниц и не подозревал, что возможных логических систем существует много; осознание этого обстоятельства заставило бы его полностью пересмотреть всю свою религиозно-философскую систему.)
[Закрыть], что все прямые углы равны между собой и т.д., – необходимые истины. Утверждения о том, что я сам существую, или о том, что в природе встречаются тела, в которых можно указать углы, в точности равные 90°, – случайные истины. Эти утверждения могут быть как истинными, так и ложными – и в том и в другом случае Вселенная не перестанет существовать. Господь бог, по мнению Лейбница, выбрал из бесконечно многих возможностей ту, которую счел наиболее подходящей. Поскольку математические истины необходимы, они должны быть выводимы из логики, принципы которой также необходимы и незыблемо истинны во всех возможных мирах.
Лейбниц не осуществил программу вывода математики из логики, как не осуществили ее в течение последующих почти двухсот лет все те, кто высказывал аналогичные убеждения. Так, Рихард Дедекинд голословно утверждал, что число невыводимо из интуитивных представлений о пространстве и времени, а является «непосредственной эманацией законов чистого разума». По мнению Дедекинда, из числа мы выводим точные понятия пространства и времени. Дедекинд начал развивать свой тезис, но не особенно преуспел в этом [47].
Наконец, за осуществление основного тезиса логицизма принялся находившийся под влиянием идей Дедекинда Готлоб Фреге, который внес немалый вклад в развитие математической логики (гл. VIII). Фреге относил математические законы к числу так называемых аналитических суждений.Такие суждения утверждают не более того, что неявно заложено в принципах логики, являющихся априорными истинами. Математические теоремы и их доказательства позволяют нам выявить это неявное. Не вся математика применима к реальному миру, но вся математика заведомо состоит из необходимых истин. Построив в своей работе «Исчисление понятий» (1879) логику на основе явно сформулированных аксиом, Фреге в «Основаниях арифметики» (1884) и в двухтомном сочинении «Основные законы арифметики» (1893-1903) приступил к выводу из логических посылок арифметических понятий, определений и правил. В свою очередь из законов арифметики можно вывести алгебру, математический анализ и даже геометрию, так как аналитическая геометрия позволяет выразить геометрические понятия и свойства геометрических фигур на языке алгебры. К сожалению, символика Фреге была чрезвычайно сложной и непривычной для математиков, в силу чего работы Фреге оказали слабое влияние на современников. Известна история о том, что как раз в то время, когда Фреге завершил работу над вторым томом «Основных законов арифметики» (1902), он получил (такова ирония судьбы!) письмо от Бертрана Рассела. В этом письме Рассел писал, что, к сожалению, Фреге использовал в своем труде понятие (множество всех множеств), применение которого недопустимо, ибо оно приводит к противоречию. В конце второго тома Фреге отметил: «Вряд ли с ученым может приключиться что-нибудь худшее, чем если у него из-под ног выбьют почву в тот самый момент, когда он завершит свой труд. Именно в таком положении оказался я, получив письмо от Бертрана Рассела, когда моя работа уже была почти закончена». Фреге ничего не знал о парадоксах, обнаруженных за то время, пока он писал свою книгу.
Бертран Рассел независимо наметил ту же программу и, работая над ее осуществлением, узнал о работах Фреге. В своей «Автобиографии» (1951) Рассел признает также, что на него оказали влияние взгляды Пеано, с которым он встретился на II Международном конгрессе математиков в Париже в 1900 г.:
Конгресс стал поворотным пунктом в моей интеллектуальной жизни, потому что на нем я встретил Пеано. Я уже знал его имя и некоторые из его работ… Мне стало ясно, что используемые им обозначения представляют собой тот самый инструмент анализа, на поиск которого я затратил не один год, и что, изучив обозначения Пеано, я обрету новый мощный аппарат, о создании которого давно мечтал.
В «Принципах математики» (1-е изд. – 1903) Рассел говорит прямо: «Тот факт, что вся математика есть не что иное, как символическая логика, – величайшее открытие нашего века».
В начале XX в. Рассел, как и Фреге, надеялся, что если фундаментальные законы математики удастся вывести из логики, то поскольку логика, несомненно, является сводом нетленных истин, математические законы также окажутся истинными – и тем самым проблема непротиворечивости будет разрешена. В книге «Мое философское развитие» (1959) Рассел писал, что стремился прийти к «совершенной математике, не оставляющей места для сомнений».
Разумеется, Расселу было известно, что Пеано вывел свойства вещественных чисел из аксиом для целых чисел. Знал он и о том, что Гильберт предложил систему аксиом для всей системы вещественных чисел. Однако во «Введении в математическую философию» (1919) Рассел заметил по поводу аналогичного подхода Дедекинда: «Метод постулирования того, что нам требуется, обладает многими преимуществами, но такими же преимуществами обладает воровство перед честным трудом». В действительности Рассел был озабочен тем, что постулирование десяти или пятнадцати аксиом о числах отнюдь не гарантирует их непротиворечивость и истинность. По выражению Рассела, постулируя, мы излишне полагаемся на счастливый случай. В то время как Рассел в начале XX в. не сомневался, что принципы логики – истины и поэтому они непротиворечивы, Уайтхед в 1907 г. предостерегал: «Невозможно формально доказать непротиворечивость самих логических посылок».
Многие годы Рассел считал, что принципы логики и объекты математического знания существуют независимо от разума и лишь воспринимаются разумом. Знание объективно и неизменно. Свою позицию Рассел ясно изложил в книге «Проблемы философии» (1912).
Когда дело касалось проблемы истины в математике, Рассел готов был пойти еще дальше, чем Фреге. В юности Рассел был убежден, что математика служит источником истин о реальном мире. Рассел не мог указать, какая из конфликтующих геометрий (евклидова или неевклидова) истинна, – тем более что обе соответствуют реальному миру (гл. IV), – но в «Очерке оснований геометрии» (1898) ему удалось найти несколько математических законов (например, закон, согласно которому физическое пространство должно быть однородно,т.е. должно всюду обладать одинаковыми свойствами), являющихся, по его мнению, истинами. В то же время трехмерность пространства Рассел считал эмпирическим фактом. Тем не менее существует объективный реальный мир, о котором мы можем получать точные знания. Поэтому-то Рассел и пытался найти математические законы, которые вместе с тем должны быть физическими истинами. Эти математические законы должны были следовать из логических принципов.
В «Принципах математики» Рассел обобщил свои взгляды в отношении физической истинности математики. По его словам, «все утверждения относительно всего реально существующего, например пространства, в котором мы живем, относятся к экспериментальной или эмпирической науке, а не к математике; утверждения, относящиеся к прикладной математике, возникают в тех случаях, когда в утверждениях, относящихся к чистой математике, одно или несколько переменных полагают равными некоторым константам…» Даже в этом варианте Рассел продолжал верить, что какие-то основополагающие физические истины содержатся в математике, выводимой из логики, В ответ на замечания скептиков, утверждавших, что абсолютных истин не существует, Рассел заявил: «Математика служит вечным укором подобному скептицизму, ибо ее здание, возведенное из истины, противостоит неколебимо и неприступно всему оружию сомневающегося цинизма».
Идеи, в общих чертах намеченные Расселом в «Принципах математики», были подробно развиты им совместно с Алфредом Hopтом Уайтхедом {110}110
Рассчитанное на самого широкого читателя изложение взглядов А. Уайтхеда (а частично и Б. Рассела) на математику можно найти в (к сожалению, сейчас уже труднодоступной) книге [57].
[Закрыть](1861-1947) в трехтомном труде «Основания математики» ( Principia Mathematica[95]*, 1-е изд. – 1910-1913 гг.). Так как именно в этом фундаментальном труде содержался окончательный вариант изложения позиции логистической школы, ознакомимся хотя бы бегло с его содержанием.
Авторы начинают с построения самой логики. Они тщательно формулируют аксиомы логики и выводят из них теоремы, используемые в последующих рассуждениях. Как и подобает любой аксиоматической теории (гл. VIII), построение логики начинается с неопределяемых понятий. Назовем некоторые из них: понятие элементарного высказывания, присвоение элементарному высказыванию значения истинности, отрицание высказывания, конъюнкция и дизъюнкция двух высказываний, понятие пропозициональной функции.
Рассел и Уайтхед снабдили неопределяемые понятия пояснениями, хотя и подчеркнули, что эти пояснения не входят в логическое построение теории. Под высказыванием и пропозициональной функцией они понимали то же, что и Пирс. Например, «Джон – человек» – высказывание, « x– человек» – пропозициональная функция. Под отрицанием понималось высказывание «Неверно, что …», в котором многоточием обозначено отрицаемое высказывание; так, если pесть высказывание «Джон —человек», то под его отрицанием, обозначаемым символом ~p,понимается высказывание «Неверно, что Джон – человек» или «Джон не человек». Под конъюнкцией двух высказываний pи q,обозначаемой p∙ q,Рассел и Уайтхед понимали составное высказывание « pи q», а под дизъюнкцией pи q,обозначаемой p/q, – составное высказывание « pили q». Смысл связки «или» здесь такой же, как в объявлении «Обращаться по телефону 22-22-38 или 22-22-39», означающем, что обращаться можно либо по телефону 22-22-38, либо по телефону 22-22-39, но можно и по тому, и по другому (неисключающее «или»). В предложении «Это лицо – мужчина или женщина» связка «или» имеет иной, более привычный, смысл: либо мужчина, либо женщина, но, разумеется, никак не мужчина и женщина одновременно (исключающее «или»). Математики используют «или» в первом (неисключающем) смысле, хотя иногда «или» употребляется только во втором смысле. {111}111
Создатель современной алгебраической структуры математической логики Дж. Буль в качестве основных операций над высказываниями использовал конъюнкцию и исключающую дизъюнкцию (которую сегодня чаще называют «симметрической разностью» высказываний pи q).
[Закрыть]Например, в предложении «Треугольник ABC– равнобедренный или четырехугольник PQRS– параллелограмм» связка «или», как правило, неисключающая, а в предложении «Каждое отличное от нуля вещественное число положительно или отрицательно» связка «или» исключающая – ведь имеющиеся у нас дополнительные сведения о положительных и отрицательных числах говорят нам, что одно и то же число не может быть одновременно и положительным, и отрицательным. Итак, в «Основаниях математики» высказывание « pили q» означает, что pи qоба истинны, или что pложно, a qистинно, или что pистинно, a qложно.
