Текст книги "Математика. Утрата определенности."

Автор книги: Морис Клайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 38 страниц)

Со временем стала жизненно важной сходная проблема, над которой поначалу задумывались лишь немногие. Она сводилась к вопросу о том, существуют ли в физическом пространстве бесконечные прямые. Евклид достаточно осторожно постулировал лишь, что конечный отрезок прямой можно продолжить сколь угодно далеко, – но ведь даже и продолженный отрезок все равно оставался конечным. Тем не менее из рассуждений Евклида следовало, что бесконечные прямые существуют: если бы прямые были конечными, то их нельзя было бы продолжать сколь угодно далеко.

Первые попытки решить проблему, связанную с аксиомой Евклида о параллельных, были предприняты еще математиками Древней Греции. Эти попытки имели двоякую природу. Одни из них сводились к замене аксиомы о параллельных какой-нибудь более очевидной аксиомой. Другие были направлены на то, чтобы вывести аксиому о параллельных из девяти остальных аксиом Евклида: если бы удалось доказать, что пятый постулат Евклида в действительности представляет собой теорему, то все трудности отпали бы сами собой. На протяжении более двух тысячелетий многие десятки крупнейших математиков, не говоря уже о математиках меньшего ранга, безуспешно пытались решить проблему параллельных, предпринимая бессчетные попытки как первого, так и второго рода. История этой проблемы уходит корнями в глубокую древность и изобилует деталями, понятными лишь профессионалу. Мы опустим здесь ее потому, что ей посвящена обширная литература {44}44
  Истории проблематики, связанной с пятым постулатом Евклида, посвящена, в частности, книга Роберто Бонолы «Неевклидова геометрия», впервые вышедшая в 1906 г. на итальянском языке. Английский перевод: Bonola R. Non-euclidean geometry. – N.Y. Dover Publ., 1955 ([26]; см. также [27]).


[Закрыть], и, кроме того, этот вопрос не имеет прямого отношения к интересующей нас теме.

Из многих аксиом, предлагавшихся в качестве замены пятого постулата, упомянем лишь об одной. Ее и поныне приводят в некоторых учебниках геометрии. Этот вариант аксиомы о параллельных принадлежит Джону Плейферу (1748-1819), предложившему ее в 1795 г. (в английском «школьном» варианте «Начал» Евклида). Аксиома Плейфера гласит: существует одна и только одна прямая, проходящая через данную точку P,лежащую вне прямой  l(рис. 4.2), в плоскости, задаваемой точкой Pи прямой l, которая не пересекается с прямой l.

Рис. 4.2.Вариант аксиомы о параллельных, предложенный Джоном Плейфером.

Все аксиомы, предлагавшиеся вместо пятого постулата, на первый взгляд казались проще аксиомы Евклида, но при более внимательном рассмотрении оказывались не более удовлетворительными. Многие из них, в том числе и аксиома Плейфера, содержали утверждения, касающиеся не ограниченной части плоскости или пространства, а всего (бесконечного!) пространства. С другой стороны, аксиомы, предлагавшиеся взамен пятого постулата, которые не содержали прямого упоминания о «бесконечности» – например, аксиома о том, что существует два подобных, но не равных треугольника, – были слишком сложными и, во всяком случае, не были более предпочтительными, чем аксиома о параллельных, приведенная в «Началах» Евклида.

Вместе с тем были предприняты попытки решить проблему параллельных, доказав пятый постулат Евклида, исходя из остальных девяти аксиом. Наиболее значительные результаты здесь получил Джироламо Саккери (1667-1733), священник, член ордена иезуитов и профессор университета в Павии. Идея Саккери состояла в том, чтобы, заменив аксиому Евклида о параллельных ее отрицанием, попытаться вывести теорему, которая бы противоречила одной из доказанных Евклидом теорем. Полученное противоречие означало бы, что аксиома, отрицающая аксиому Евклида о параллельных – единственную аксиому, вызывавшую сомнения, – ложна, а следовательно, аксиома о параллельных Евклида истинна и является следствием девяти остальных аксиом.

Приняв за исходную аксиому Плейфера, эквивалентную аксиоме Евклида о параллельных, Саккери сначала предположил {45}45
  Приводимое ниже описание воспроизводит схему рассуждений Саккери с небольшими изменениями. [В частности, за исходный пункт своих рассуждений Саккери – как позже и Ламберт – принял не аксиому Плейфера, а предположение, равносильное утверждению о равенстве суммы углов треугольника 180°; в опровержение этого предположения утверждалось, что сумма углов треугольника меньше (соответственно больше) 180°. – Ред.]


[Закрыть], что через точку P,лежащую вне прямой  l(рис. 4.3), не проходит ни одна прямая, параллельная прямой l. Из этой аксиомы и девяти остальных аксиом, принятых Евклидом, Саккери вывел противоречие. Затем Саккери испробовал вторую и единственно возможную альтернативу, предположив, что через точку Pпроходят по крайней мере две прямые pи q,не пересекающиеся с прямой l, сколько бы их ни продолжали.

Рис. 4.3.Аксиома, принятая основоположниками неевклидовой геометрии (Саккери и др.).

Исходя из этой аксиомы, Саккери удалось доказать много интересных утверждений, пока он не дошел до теоремы, показавшейся ему настолько странной, что он счел ее противоречащей ранее полученным результатам. Решив, что ему удалось тем самым доказать выводимость пятого постулата Евклида из девяти остальных аксиом, Саккери выпустил книгу под многозначительным названием «Евклид, избавленный от всяких пятен» ( Euclides ab omni naevo vindicatus,1733). Однако впоследствии математики выяснили, что во втором случае Саккери в действительности не пришел к противоречию и что, следовательно, проблема параллельных по-прежнему остается открытой. Попытки найти подходящую замену евклидовой аксиоме о параллельных или доказать, что она следует из девяти остальных аксиом, были столь многочисленны и тщетны, что в 1759 г. Д'Аламбер назвал проблему параллельных «скандалом в области оснований геометрии».

Постепенно математики начали приходить к правильному пониманию статуса аксиомы Евклида о параллельных. В своей докторской диссертации 1763 г. Георг С. Клюгель (1739-1812), впоследствии профессор университета в Хельмштадте, отлично осведомленный и о книге Саккери, и о многих других попытках «исправить» аксиому о параллельных, высказал весьма ценное соображение о том, что принятие большинством людей аксиомы Евклида о параллельных как истины, не подлежащей сомнению, основано на опыте. Так впервые была явно сформулирована идея о том, что весомость аксиом определяется их соответствием опыту, а не самоочевидностью. {46}46
  Аналогичную мысль в свое время высказывал, правда мимоходом, и Ньютон, но на нее не обратили внимания.


[Закрыть]Клюгель выразил сомнение в том, что пятый постулат Евклида можно вывести из остальных аксиом. Более того, Клюгель понял, что Саккери пришел не к противоречию, а лишь к результатам, поразившим его своей необычностью.

Диссертация Клюгеля привлекла внимание одного из крупнейших математиков XVIII в. – Иоганна Генриха Ламберта (1728-1777), и тот также принялся размышлять над проблемой параллельных. В своей книге «Теория параллельных прямых» (написанной в 1766 г. и опубликованной в 1786 г.) Ламберт, подобно Саккери, рассмотрел две альтернативные возможности. И он также обнаружил, что гипотеза, согласно которой через точку Pвне прямой  l(см. рис.  4.3) не проходит ни одна прямая, параллельная прямой l, приводит к противоречию. Но в отличие от Саккери Ламберт не считал, что альтернативная гипотеза (согласно которой через точку Pпроходят по крайней мере две прямые, параллельные прямой l) приводит к противоречию. Более того, Ламберт понял, что любой набор гипотез, который не приводит к противоречию, порождает некую геометрию. Такая геометрия логически непротиворечива, хотя и не имеет прямого отношения к реальным, физическим фигурам. {47}47
  Окончательного признания возможности неевклидовой геометрии у Ламберта все же не было; по-видимому, впервые решились на этот шаг упоминаемые ниже Ф.К. Швейкарт и его племянник Ф.А. Тауринус. Однако Ламберт высказал провидческую мысль о том, что неевклидова геометрия должна была бы выполняться на сфере мнимого радиуса, если бы такая сфера существовала; впоследствии эта, в то время казавшаяся бессодержательной, идея была реализована даже несколькими различными путями.


[Закрыть]

Работа Ламберта и некоторых других авторов, в частности учителя Гаусса, профессора Гёттингенского университета Абрахама Г. Кестнера (1719-1800), заслуживают особого упоминания. Эти ученые были убеждены, что пятый постулат Евклида невозможно доказать, исходя из девяти остальных его аксиом, т.е. утверждали, что аксиома о параллельных независима от остальных аксиом. Кроме того, Ламберт был убежден, что, приняв альтернативную аксиому, противоречащую аксиоме Евклида, можно построить логически непротиворечивую геометрию, хотя и не высказал каких-либо утверждений о применимости такой геометрии. Все трое – Клюгель, Ламберт и Кестнер – близко подошли к признанию возможности неевклидовой геометрии.

Самым выдающимся математиком среди тех, кто работал над решением проблемы, возникшей в связи с аксиомой Евклида о параллельных, был Гаусс. Он прекрасно знал о безуспешных попытках доказать или опровергнуть аксиому о параллельных, ибо такого рода сведения не составляли секрета для гёттингенских математиков. Историю проблемы параллельных досконально знал учитель Гаусса Кестнер. Много лет спустя (1831) Гаусс сообщил своему другу Шумахеру, что еще в 1792 г. (когда Гауссу было всего лишь 15 лет) он понял возможность существования логически непротиворечивой геометрии, в которой постулат Евклида о параллельных не выполняется. Но вплоть до 1799 г. Гаусс не прекращал попыток вывести постулат Евклида о параллельных из других, более правдоподобных допущений и считал евклидову геометрию истинной геометрией физического пространства, хотя и сознавал возможность существования других логически непротиворечивых – неевклидовых – геометрий. Однако в письме Гаусса к другу и собрату по профессии Фаркашу Бойаи от 16 декабря 1799 г. мы читаем:

Я лично далеко продвинулся в моих работах (хотя другие занятия, совершенно не связанные с этой темой, оставляют мне для этого мало времени). Однако дорога, которую я выбрал, ведет скорее не к желательной цели, а к тому, чтобы сделать сомнительной истинность геометрии. Правда, я достиг многого, что для большинства могло бы сойти за доказательство, но это не доказывает в моих глазах ровно ничего;например, если бы кто-либо мог доказать, что возможен такой прямоугольный треугольник, площадь которого больше любой заданной, то я был бы в состоянии строго доказать всю геометрию.

Большинство сочтет это за аксиому, я же нет. Так, могло бы быть, что площадь всегда будет ниже некоторого данного предела, сколь бы удаленными друг от друга в пространстве ни были предположены три вершины треугольника.

([24], с. 101-102.) 

Примерно с 1813 г. Гаусс начал работать над своей неевклидовой геометрией, которую он называл сначала антиевклидовой,затем астральной(т.е. звездной– возможно, выполняющейся на далеких звездах; это название принадлежало Фердинанду Карлу Швейкарту (1780-1859), независимо от Гаусса пришедшему к тем же идеям) и, наконец, неевклидовой геометрией.Гаусс пришел к убеждению, что построенная им геометрия логически непротиворечива и применима к физическому миру.

В письме от 8 ноября 1824 г. к своему другу Францу Адольфу Тауринусу (1794-1874) Гаусс сообщал:

Допущение, что сумма углов треугольника меньше 180°, приводит к своеобразной, отличной от нашей [евклидовой] геометрии; эта геометрия совершенно последовательна; я развил ее для себя совершенно удовлетворительно… Предложения этой геометрии отчасти кажутся парадоксальными и непривычными человеку, даже несуразными; но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного.

([24], с. 105.) 

В письме к математику и астроному Фридриху Вильгельму Бесселю, отправленному 27 января 1829 г., Гаусс еще раз высказал убеждение, что постулат о параллельных не может быть выведен из других аксиом Евклида.

Мы не будем подробно рассматривать специфические особенности того варианта неевклидовой геометрии, который был создан Гауссом (см., например, [28], с. 193-294). Он не оставил полного дедуктивного изложения своей теории, а доказанные им теоремы во многом напоминали те, с которыми мы вскоре встретимся, когда перейдем к работам Лобачевского и Бойаи. В письме к Бесселю Гаусс признается, что вряд ли когда-нибудь опубликует свои открытия в этой области, опасаясь, как он выразился, вызвать крики беотийцев (беотийцы – древнегреческое племя, чья тупость вошла в поговорку). Не следует забывать, что в начале XIX в. лишь немногие математики постепенно подошли к заключительному этапу создания неевклидовой геометрии, а мыслящий мир в основном пребывал в уверенности, что евклидова геометрия – единственно возможная. То немногое, что нам известно о работах Гаусса по неевклидовой геометрии, собрано по крохам из его писем к друзьям, двух коротких заметок в Göttingische gelehrte Anzeigenза 1816 г. и 1822 г. и из нескольких записей, датированных 1831 г., найденных среди бумаг Гаусса после его смерти.

Но более значительный вклад, чем Гаусс, в создание неевклидовой геометрии внесли два других математика: Н.И. Лобачевский и Я. Бойаи (Я. Больяй). В действительности их работы явились как бы эпилогом длительного развития новаторских идей, высказанных их предшественниками, однако, поскольку Лобачевский и Бойаи первыми опубликовали дедуктивные изложения новой системы, их принято считать создателями неевклидовой геометрии. Русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) учился в Казанском университете, где впоследствии (1827-1846) он состоял профессором и ректором. Его взгляды на основании геометрии сложились к 1826 г., и он изложил их в цикле статей и двух книгах. Янош Бойаи (1802-1860), сын Фаркаша Бойаи, был офицером австро-венгерской армии. Свою работу (объемом в 26 страниц) по неевклидовой геометрии [29] под названием «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида, что a prioriникогда решено быть не может, с прибавлением, к случаю ложности, геометрической квадратуры круга» Бойаи опубликовал в качестве приложения к первому тому латинского сочинения своего отца «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики» (Tentamen juventutem studiosam in elementa Matheoseos).Хотя эта книга вышла в 1831-1832 гг. {48}48
  Книга Tentamenвышла в свет в 1832 г., однако уже в 1831 г. Я. Бойаи имел на руках оттиски своего Приложения (Appendix)к книге, один из которых он сразу же отправил Гауссу. Впрочем, Гаусс не получил этой работы и ознакомился с ней, лишь прочитав экземпляр книги своего друга Фаркаша Бойаи.


[Закрыть], т.е. после первых публикаций Лобачевского, вышедших в свет в 1829-1830 гг., Я. Бойаи, по-видимому, разработал свои идеи о неевклидовой геометрии уже в 1825 г. и убедился, что новая геометрия непротиворечива. В письме к отцу от 23 ноября 1823 г. Янош сообщает: «Я совершил столь чудесные открытия, что не могу прийти в себя от восторга».

Гаусс, Лобачевский и Бойаи поняли, что аксиома Евклида о параллельных не может быть доказана на основе девяти остальных аксиом и что для обоснования евклидовой геометрии необходимо принять какую-то дополнительную аксиому о параллельных. А поскольку дополнительная аксиома не зависит от остальных, то, во всяком случае, логически вполне допустимо принять противоположное ей утверждение – и далее выводить следствия из новой системы аксиом.

С чисто математической точки зрения содержание работ Гаусса, Лобачевского и Бойаи очень просто. Мы ограничимся здесь рассмотрением варианта неевклидовой геометрии, предложенного Лобачевским, так как все трое сделали по существу одно и то же. Лобачевский смело отверг аксиому Евклида о параллельных и принял допущение, высказанное еще Саккери. Пусть задана прямая AB и точка Pвне ее (рис. 4.4). Тогда все прямые, проходящие через точку P,распадаются по отношению к прямой ABна два класса: класс прямых, пересекающих AB,и класс прямых, которые ABне пересекают. К числу последних принадлежат две прямые pи q,разделяющие наши два класса прямых. Сказанному можно придать более точный смысл. Если P– точка, находящаяся от прямой ABна расстоянии а (а– длина перпендикуляра PD,опущенного из точки Pна прямую AB),то существует острый угол α,такой, что все прямые, составляющие с перпендикуляром PDугол, меньший α,пересекаются с прямой AB,а все прямые, составляющие с PDугол, больший или равный α,не пересекаются с AB.Две прямые pи q,образующие с PDугол α,называются параллельными по Лобачевскомупрямой AB,а угол α = (α(a))называется углом параллельности(отвечающим отрезку PD = a). Прямые, проходящие через точку P(отличные от параллельных прямых pи q) и не пересекающиеся с прямой AB,называются расходящимися с ABпрямыми (или сверхпараллельными ей;в евклидовой геометрии они были бы параллельны прямой AB). Если понимать параллелизм по Евклиду, т.е. называть параллельными любые две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются между собой, то в геометрии Лобачевского через точку Pпроходит бесконечно много прямых, параллельных AB.

Рис. 4.4.Угол параллельности.

Затем Лобачевский доказывает несколько ключевых теорем. Если угол αравен π/2,то мы приходим к евклидовой аксиоме о параллельных. Если угол αострый, то при неограниченном росте  aон монотонно убывает и стремится к нулю. Сумма углов треугольника всегда меньше 180° и стремится к 180°, когда площадь треугольника неограниченно убывает. Два подобных треугольника, имеющих одинаковые углы, всегда конгруэнтны.

Ни один обширный раздел математики и даже ни один крупный математический результат никогда не были детищем лишь одного какого-либо человека. В лучшем случае кто-то один делал решающий шаг или высказывал ту или иную важную идею. Также и неевклидова геометрия развивалась совместными усилиями многих известных и неизвестных математиков. Если под неевклидовой геометриейпонимать вывод следствий из системы аксиом, содержащей опровержение евклидовой аксиомы о параллельных, то честь ее создания следует приписать Саккери, причем даже он использовал результаты многих своих предшественников, пытавшихся найти подходящую замену аксиоме Евклида. Если под неевклидовой геометрией понимать осознание возможности других геометрий, отличных от евклидовой, то пальму первенства в ее создании следует отдать Клюгелю и Ламберту. {49}49
  Саккери твердо считал, что доказал 5-й постулат Евклида; поэтому его никак нельзя считать создателем неевклидовой геометрии. Клюгеля и Ламберта в том контексте, в каком упоминает их автор, уместнее заменить Швейкартом и Тауринусом (ср. прим. {47}); однако малочисленность их публикаций на эту тему, которую они вскоре оставили (Ф.К. Швейкарт вообще был по специальности юристом, а не математиком), делает сомнительным их приоритет в создании неевклидовой геометрии. Более основательна стандартная точка зрения, приписывающая это выдающееся открытие Лобачевскому [первый публичный доклад на эту тему (1826); первая публикация (1829-1830)], Бойаи (явно независимая от Лобачевского публикация 1831-1832 гг.) и Гауссу.


[Закрыть]Но самое важное утверждение о неевклидовой геометрии состоит в том, что она точно так же, как и евклидова геометрия, позволяет описывать свойства физического пространства.Геометрия физического пространства вовсе не обязательно должна быть евклидовой; более того, тот факт, что в физическом пространстве реализуется именно евклидова геометрия, нельзя гарантировать никакими априорными соображениями. {50}50
  И даже никакими экспериментами тоже; утверждение о существовании одной или многих прямых, проходящих через точку P и не пересекающих AB,апеллирует к представлению о всем (бесконечном!) пространстве и потому непроверяемо; опыты же с измерением суммы углов треугольника в принципе могут помочь установить отличие этой суммы от 180°, но никогда – равенство 180°; ведь всегда можно опасаться, что полученное нами значение столь близко к 180° лишь потому, что выбранный треугольник слишком мал.


[Закрыть]Осознание этого важного факта не требует никаких математических ухищрений, потому что все необходимое уже было сделано раньше, и первым, кто постиг эту истину, был Гаусс. {51}51
  Лобачевский и Гаусс независимо осознали, что геометрия реального (физического) пространства может быть как евклидовой, так и неевклидовой. (Бойаи, заинтересованного в первую очередь в, так сказать, «логическом статусе» новой геометрии, эта постановка вопроса занимала меньше.)


[Закрыть]

Один из биографов Гаусса утверждает, что тот пытался проверить свой вывод о пригодности неевклидовой геометрии к описанию реального мира. Гаусс обратил внимание на то, что в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180°, а в неевклидовой – меньше 180°. В течение нескольких лет Гаусс занимался топографической съемкой Ганновера и имел доступ ко всем данным, полученным при съемке. Вполне возможно, что он воспользовался этими данными для проверки суммы углов треугольника. В знаменитой работе от 1827 г. Гаусс отметил, что сумма углов треугольника, образованного тремя горными вершинами, Брокеном, Хоэхагеном и Инзельбергом, превышает 180° примерно на 15". Этот результат сам по себе ничего не доказывал, так как ошибки измерения были гораздо больше 15"; поэтому правильное значение суммы углов вполне могло быть равно 180° или быть меньше 180°. Гаусс, по-видимому, понимал, что выбранный им треугольник слишком мал для решающей проверки, так как в его (Гаусса) неевклидовой геометрии отклонение суммы углов треугольника от 180° пропорционально площади треугольника. Существенное отклонение от 180° можно было бы обнаружить в треугольнике гигантских размеров, какие возможны разве что в астрономии. И все же Гаусс был убежден, что новая геометрия применима к описанию физического мира ничуть не хуже, чем евклидова геометрия.

Лобачевского также интересовала проблема применимости его геометрии к физическому пространству – и он аргументировал ее применимость к геометрическим фигурам очень больших размеров. Таким образом, к 30-м годам XIX в. неевклидову геометрию не только признали в узком кругу математиков, но и сочли применимой к физическому пространству.

Вопрос о том, какая геометрия лучше всего соответствует физическому пространству (этот вопрос больше всего волновал Гаусса), способствовал появлению еще одного творения человеческого разума – новой геометрии, еще более склонившей математический мир к убеждению, что геометрия физического пространства может быть неевклидовой. Создателем новой геометрии стал Георг Барнхард Риман (1826-1866), ученик Гаусса, занявший впоследствии пост профессора математики в Гёттингене. Хотя работы Лобачевского и Бойаи не были в деталях известны Риману, о них был осведомлен Гаусс, и Риман, возможно, знал о сомнениях своего учителя относительно того, что геометрия реального мира непременно должна быть евклидовой.

Гаусс предложил Риману выбрать для пробной лекции, которую тот должен был прочитать для получения звания приват-доцента, тему об основаниях геометрии. Риман прочитал свою лекцию в 1854 г. на философском факультете Гёттингенского университета. На лекции присутствовал и Гаусс. В 1868 г. – уже после смерти Римана – его лекция была опубликована под названием «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» ([24], с. 309-325). В ней Риман подробно анализировал проблему структуры пространства. Сначала он рассмотрел вопрос о том, что достоверно известно о физическом пространстве. Риман поставил вопрос так: какие данные и условия заранее заложены в самом понятии пространства до того, как мы опытнымпутем устанавливаем, какими свойствами может обладать физическое пространство? Из этих данных и условий, приняв их за аксиомы, Риман намеревался вывести остальные свойства пространства. Аксиомы и логические следствия из них можно было бы считать априорными и необходимыми истинами. Все остальные свойства пространства подлежали эмпирическому исследованию. Риман попытался показать (и в этом состояла одна из главных целей его программы), что аксиомы Евклида в действительности имеют эмпирическое происхождение, а не являются самоочевидными истинами. Риман избрал аналитический подход (опирающийся на математический анализ и некоторые его высшие разделы) из опасения, что при геометрических доказательствах нас могут вводить в заблуждение чувственные восприятия и мы можем предположить такие свойства и факты, которые явно не участвуют в доказательстве.

Предложенный Риманом подход к анализу структуры пространства отличался большой общностью, и для наших целей нет необходимости входить здесь в его детали. Исследуя априорные свойства пространства, Риман ввел некое представление, которое впоследствии стало еще более важным, а именно различие между отсутствием границ («безграничностью») и бесконечностью пространства. (Например, поверхность сферы не имеет границ, но она не бесконечна.) Безграничность, подчеркнул Риман, на эмпирическом уровне воспринимается легче, чем бесконечная протяженность.

Идея Римана о пространстве, не имеющем границ, но не бесконечно протяженном, послужила стимулом к созданию еще одной элементарной неевклидовой геометрии, известной ныне под названием удвоенной эллиптической геометрии. {52}52
  Ее чаще называют сферической– трехмерную сферическую (или удвоенную эллиптическую) геометрию можно трактовать как геометрию (трехмерной) сферической поверхности шара четырехмерного евклидова пространства.


[Закрыть]Сначала и сам Риман и Эудженио Бельтрами (1835-1900) рассматривали новую геометрию как применимую к некоторым поверхностям, например таким, как сфера, на которой роль «прямых» играют дуги больших кругов. Но под влиянием работ Кэли и других авторов математикам пришлось примириться с мыслью, что удвоенная эллиптическая геометрия, как и геометрия Гаусса, Лобачевского и Бойаи, может описывать наше трехмерное физическое пространство, в котором роль прямой играет след, оставленный краем линейки.

В удвоенной эллиптической геометрии прямая не ограничена, хотя длина ее не бесконечна. Более того, в удвоенной эллиптической геометрии вообще нетпараллельных. Так как в новой геометрии остается в силе часть аксиом евклидовой геометрии, некоторые ее теоремы сохраняют тот же вид, что и теоремы, известные нам из «Начал» Евклида. Например, теорема о том, что два треугольника конгруэнтны, если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, дословно переносится в удвоенную эллиптическую геометрию, как и другие признаки конгруэнтности треугольников. Но основная часть теорем удвоенной эллиптической геометрии отличается как от теорем евклидовой геометрии, так и от теорем геометрии Гаусса – Лобачевского – Бойаи. Так, одна из теорем этой необычной геометрии утверждает, что все прямые имеют одинаковую длину и каждые две из них пересекаются в двух точках. Другая теорема гласит, что все перпендикуляры к данной прямой пересекаются в двух точках. Сумма углов треугольника в удвоенной эллиптической геометрии всегда больше 180°, но она, убывая, стремится к 180°, когда площадь треугольника приближается к нулю. Два подобных треугольника обязательно конгруэнтны. Что же касается применимости удвоенной эллиптической геометрии к физическому миру, то все аргументы относительно применимости ранее созданной неевклидовой геометрии, впоследствии получившей название гиперболической геометрии,равным образом относятся и к ней. {53}53
  Впоследствии Феликс Клейн рассмотрел еще одну простую неевклидову геометрию, родственную удвоенной эллиптической геометрии, но отличающуюся от нее тем, что здесь уже любые две прямые пересекаются в одной точке. Клейн назвал такую геометрию просто эллиптической.[Риман, который рассматривал строение геометрий лишь в «малом», в окрестности одной точки пространства, не ставил вопроса о глобальной структуре введенных им пространств; именно это и позволяет – как весьма часто делают – считать его создателем и эллиптической геометрии. – Ред.]


[Закрыть]

На первый взгляд мысль о том, что любая из этих странных геометрий могла бы соперничать с евклидовой геометрией и даже быть более ценной в приложениях к реальной Вселенной, кажется нелепой. Но Гаусс имел смелость рассмотреть и такую возможность. Независимо от того, использовал ли он результаты измерений, приведенные в его работе 1827 г., для проверки применимости неевклидовой геометрии к реальному миру, Гаусс был первым, кто не только с уверенностью заявил, что неевклидова геометрия применима к физическому пространству, но и осознал, что мы более не можем быть уверены в истинностиевклидовой геометрии. Трудно утверждать, находился ли Гаусс под непосредственным влиянием идей Юма. Во всяком случае, предпринятую Кантом попытку опровергнуть Юма Гаусс не считал достаточно серьезной. Не следует забывать, однако, что Гаусс жил во времена, когда истинность математических законов была поставлена под сомнение, и он не мог не ощущать влияния той духовной атмосферы, в которой он жил, как все мы не можем не дышать воздухом, который нас окружает. Новые взгляды, пусть незаметно для него самого, проникали в сознание Гаусса. Если бы Саккери родился на сто лет позже, возможно, и он пришел бы к тем же выводам, что и Гаусс.

Насколько можно судить, сначала Гаусс сделал заключение, что во всей математике нет ничего истинного. В письме к Бесселю от 21 ноября 1811 г. он утверждал:

Не следует забывать о том, что эти функции [комплексного переменного], подобно всем математическим конструкциям, являются всего лишь нашими творениями и что в тот момент, когда утрачивает смысл определение, с которого мы начали разработку их теории, следует спрашивать себя, не «что такое эти функции», а какое допущение удобнее принять, чтобы введенное нами понятие функции сохранило смысл.

Но отказаться от сокровищ было не так-то легко. Гаусс, по-видимому, подверг пересмотру проблему истины в математике и счел, что он нашел твердую почву, на которой можно возводить фундамент. В письме Гаусса к Генриху Вильгельму Ольберсу (1758-1840), написанному в 1817 г., говорится:

Я все более убеждаюсь в том, что [физическая] необходимость нашей [евклидовой] геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим разумом и для человеческого разума. Может быть, на том свете мы сможем постичь структуру пространства, пока непостижимую. А до тех пор геометрию надлежит помещать в один класс не с арифметикой, носящей чисто априорный характер, а с механикой, истины которой требуют экспериментальной проверки.

Гаусс в отличие от Канта не считал законы механики истинами. Как и большинство ученых, Гаусс разделял взгляды Галилея, утверждавшего, что эти законы основаны на опыте. В письме Гаусса Бесселю от 9 апреля 1830 г. содержится следующее признание:

По моему глубокому убеждению теория пространства занимает в нашем знании совершенно иное место, нежели чистая математика [оперирующая с числами]. Во всем нашем знании нет ничего такого, что сколько-нибудь убедительно доказывало бы абсолютную необходимость (и следовательно, абсолютную истинность), столь характерную для чистой математики. Нам остается лишь смиренно добавить, что если число – это продукт нашего разума, то пространство – это реальность, лежащая вне нашего разума, которой мы не можем предписывать свои законы.

Гаусс считал носителем истины арифметику и, следовательно, основанные на арифметике алгебру и математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисление и высшие разделы анализа), так как арифметические истины легко постигаются нашим разумом.

Мысль о том, что евклидова геометрия – это геометрия реального пространства, т.е. абсолютная истина о пространстве, настолько глубоко вошла в сознание людей, что любые идеи противоположного толка, в частности идеи Гаусса, на протяжении многих лет отвергались. Математик Георг Кантор говорил о законе сохранения невежества. Не так-то легко опровергнуть любое неверное заключение, коль скоро к нему пришли и оно получило достаточно широкое распространение, причем чем менее оно понятно, тем более упорно его придерживаются. На протяжении почти тридцати лет после выхода в свет работ Н.И. Лобачевского и Я. Бойаи математики, за редкими исключениями, игнорировали неевклидовы геометрии: их считали своего рода курьезом. Некоторые математики не отрицали, что неевклидовы геометрии логически непротиворечивы; другие же были убеждены, что новые геометрии не могут не содержать противоречий и потому бесполезны. {54}54
  Хорошо известно, как страдал Лобачевский от непризнания его работ в официальных кругах, в частности в Российской академии наук; не получил никакого признания и AppendixЯ. Бойаи. Характерно также, что еще в 1869-1870 гг. видный французский математик, академик Жозеф Бертран (1822-1900) печатал в «Докладах» Парижской академии наук свои «опровержения» неевклидовой геометрии, к которым он относился с полной серьезностью.


[Закрыть]Почти все математики считали, что единственно верной геометрией физического пространства должна быть евклидова геометрия.

Однако математики забыли о боге – и всемогущий геометр не стал открывать им, какой из нескольких конкурирующих геометрий он руководствовался при сотворении мира. Математикам не оставалось ничего другого, как попытаться установить истинную геометрию мира своими силами. Но вот после смерти Гаусса в 1858 г., когда его репутация была необычайно высокой, становятся известными материалы, обнаруженные среди бумаг «короля математиков», а опубликованная в 1868 г. лекция Римана (1854) убеждает многих математиков в том, что и неевклидова геометрия может быть геометрией физического пространства и что любые априорные утверждения о том, какая из геометрий является истинной, лишены всяких оснований. Уже одно то, что появились несколько противоречащих друг другу геометрий, само по себе было ударом. Еще более сильный шок вызвала полная невозможность указать, какая из геометрий истинна, и даже установить, истинна ли хоть какая-нибудь одна из них. Стало ясно, что математики сформулировали казавшиеся им правильными аксиомы геометрии, руководствуясь своим весьма ограниченным опытом, и ошибочно сочли эти аксиомы самоочевидными истинами. Математики оказались в положении, о котором можно сказать словами Марка Твена: «Человек – животное религиозное. Только обретя сразу несколько религий, он приобщился к истинной религии».

Постепенно математики приняли неевклидову геометрию и вытекавшие из ее существования выводы о границах истинности геометрии; однако это произошло отнюдь не потому, что кому-то удалось каким-то образом подкрепить аргументы в пользу применимости неевклидовой геометрии к физическому пространству. Скорее всего неевклидова геометрия была принята по той простой причине, о которой на заре XX в. говорил создатель квантовой механики Макс Планк: «Новая научная истина побеждает не потому, что ее противники убеждаются в ее правильности и прозревают, а лишь по той причине, что противники постепенно вымирают, а новое поколение усваивает эту истину буквально с молоком матери».