Текст книги "Математика. Утрата определенности."

Автор книги: Морис Клайн

сообщить о нарушении

Текущая страница: 30 (всего у книги 38 страниц)

В 1895 г. Феликс Клейн, бывший в то время признанным главой математического мира, также счел необходимым выразить протест против тяги к абстрактной, чистой математике:

Трудно отделаться от ощущения, что быстрое развитие современной мысли таит для нашей науки опасность все более усиливающейся изоляции. Тесная взаимосвязь между математикой и теоретическим естествознанием, существовавшая к вящей выгоде для обеих сторон, с возникновением современного анализа грозит прерваться.

К этой же теме Клейн возвращается в «Математической теории волчка» (1897):

В математической науке назрела насущная необходимость восстановить тесную взаимосвязь между чистой наукой и теми разделами естественных наук, где математика находит наиболее важные приложения, ту взаимосвязь, которая столь плодотворно проявила себя в трудах Лагранжа и Гаусса.

Пуанкаре в «Науке и методе», несмотря на язвительные замечания по поводу некоторых чисто логических построений математиков конца XIX в. (гл. VIII), признает полезность математических исследований о постулатах, о воображаемых геометриях, о функциях со странным ходом. Чем более эти размышления уклоняются от наиболее общепринятых представлений, а следовательно, и от природы и прикладных вопросов, тем яснее они «показывают нам, на что способен человеческий ум, когда он постепенно освобождается от тирании внешнего мира, тем лучше мы познаем ум в его внутренней сущности». Но все же «главные силы нашей армии приходится направлять в сторону противоположную, в сторону изучения природы» ([1], с. 302). В «Ценности науки» Пуанкаре писал:

Нужно было бы окончательно забыть историю науки, чтобы не помнить, что стремление познать природу имело самое постоянное и самое счастливое влияние на развитие математики… Если бы чистый математик забыл о существовании внешнего мира, то он уподобился бы художнику, который умеет гармонически сочетать краски и формы, но у которого нет моделей. Его творческая сила скоро иссякла бы.

([1], с. 223.)

Несколько позже, в 1908 г., ту же тему подхватил Феликс Клейн. Его беспокоило, как бы математики не стали злоупотреблять чрезмерной свободой в создании произвольных математических структур. Произвольные структуры, предостерегал Клейн, – «смерть всякой науки». Аксиомы геометрии «не произвольные, а вполне разумные утверждения, как правило опирающиеся на наше восприятие пространства. Точное содержание геометрических аксиом определяется их целесообразностью». Занимаясь обоснованием аксиом неевклидовой геометрии, Клейн подчеркивал, что аксиома Евклида о параллельных, как того требуют наглядные представления, выполняется лишь с точностью, не превышающей определенные пределы. По другому случаю Клейн заметил, что «тот, кто пользуется привилегией свободы, должен нести и бремя ответственности». Под ответственностью Клейн понимал служение интересам познания природы.

К концу жизни Клейн, возглавлявший математический факультет Гёттингенского университета и созданный при нем институт математики – в то время признанный центр математического мира, – счел необходимым еще раз выразить свой протест против чрезмерного увлечения чистой математикой. В книге «Лекции о развитии математики в XIX в.» (1925) он напомнил об интересе, который Фурье питал к решению практических задач самыми лучшими из существовавших в начале XIX в. математических методов, и противопоставил прикладную направленность интересов основателей математической физики чисто математической утонченности методов и абстрактности идей математики XX в. Далее в «Лекциях» говорится следующее:

Если мне позволено будет пояснить свою мысль примером, я сказал бы, что математика в наши дни напоминает крупное оружейное производство в мирное время. Витрина заполнена образцами, которые своим остроумием, искусным и пленяющим глаз выполнением восхищают знатока. Собственно происхождение и назначение этих вещей, их способность стрелять и поражать врага отходят в сознании людей на задний план и даже совершенно забываются.

([98], с. 104.)

Рихард Курант, сменивший Клейна на посту главы Гёттингенского математического института, а позднее возглавивший Курантовский институт математических наук при Нью-Йоркском университете, также неодобрительно относился к увлечению чистой математикой. Так, предисловие к первому изданию «Методов математической физики» Куранта и Гильберта (1924) Курант начал следующими словами:

Испокон века математика черпала мощные импульсы из тесных взаимоотношений, существующих между проблемами и методами анализа и наглядными представлениями физики. Лишь последние десятилетия принесли с собой ослабление этой связи, математическое исследование стало часто отрываться от своих наглядных истоков и (особенно в анализе) занялось слишком исключительно уточнением своих методов и уточнением своих понятий. Это привело к тому, что у многих представителей анализа исчезло сознание взаимной связи их науки с физикой и другими дисциплинами, а физики, с другой стороны, часто утрачивали понимание проблем и методов математики и даже ее языка и всей сферы ее интересов. Без сомнения, в этой тенденции таится угроза для науки вообще: потоку научного развития грозит опасность все большего разветвления, оскудения и высыхания. Чтобы избежать этой участи, необходимо значительную часть наших усилий направить к тому, чтобы вновь соединить разделенное, выясняя внутренние связи разнородных фактов и объединяющих точек зрения. Только таким путем изучающему открывается возможность действительного овладения предметом, а исследователю подготовляется почва для органического дальнейшего развития.

([104], с. X.)

В 1939 г. Курант писал:

Серьезная угроза самой жизни науки проистекает из утверждения о том, будто математика представляет собой не что иное, как систему заключений, выводимых из определений и постулатов, которые должны быть непротиворечивыми, а в остальном произвольными порождениями свободной воли математиков. Если бы подобное описание соответствовало действительности, то в глазах любого сколько-нибудь разумного человека математика не обладала бы никакой привлекательностью. Она была бы ничем не мотивированной бесцельной игрой с определениями, правилами и силлогизмами. Представление о том, будто разум по своему произволу может создавать осмысленные аксиоматические системы, – полуправда, способная лишь вводить неискушенных людей в заблуждение. Только сдерживаемый дисциплиной ответственности перед органическим целым свободный разум, руководствуясь внутренней необходимостью, может создавать результаты, имеющие научную ценность.

Аналогичное мнение выразил в 1943 г. на страницах журнала American Scientistведущий американский математик того времени Джордж Дэвид Биркгоф (1884-1944);

Я надеюсь, что в будущем все больше физиков-теоретиков будут обретать глубокие познания математических принципов, а математики не станут ограничиваться чисто эстетическим развитием математических абстракций.

Ситуацию, сложившуюся к 1944 г., Джон Л. Синдж, признанный специалист по математической физике, описал (в духе Бернарда Шоу) в пространном предисловии к одной весьма специальной статье, доступной пониманию лишь профессиональных математиков:

Большинство математиков имеют дело с идеями, которые, по всеобщему мнению, принято относить к математике. Математики образуют замкнутую гильдию. Всякий вступающий в нее дает обет оставить все мирское и обычно сдерживает свою клятву. Лишь немногие математики странствуют «на чужбине» в поисках математического пропитания в проблемах, заимствованных непосредственно из других областей науки. В 1744 или в 1844 г. такими странниками было подавляющее большинство математиков. В 1944 г. они составляют столь небольшую часть математиков, что большинству необходимо напоминать о существовании меньшинства и объяснять точку зрения тех, кто его составляет.

Представители меньшинства не желают, чтобы их называли «физиками» или «инженерами», ибо они следуют математической традиции, существующей более двадцати веков и связанной с именами Евклида, Архимеда, Ньютона, Лагранжа, Гамильтона, Гаусса, Пуанкаре. Меньшинство отнюдь не желает умалять работу большинства, но опасается, что если математика будет питаться только собственными соками, то со временем движущие ею стимулы исчерпают себя.

Помимо влияния на будущее собственно математики изоляция математиков лишила остальные науки поддержки, на которую в прежние времена они неизменно рассчитывали… Изучение природы породило (и, по-видимому, продолжает порождать) несравненно более трудные проблемы, чем те, которые математики придумали, находясь в кругу своих собственных идей. Ученые, занимавшиеся изучением естественных наук, полагались на математиков в надежде, что те обратят свою энергию на решение этих трудных проблем. Ученым-естественникам известно, что математики искусно используют готовые средства, но этим их не удивишь – ученые и сами владеют готовыми, средствами едва ли не с меньшим искусством. В математиках их привлекают некие особые черты – присущие математикам логическая изощренность и умение видеть общее в частном и частное в общем…

При все том математики выступают в роли направляющей и дисциплинирующей силы. Именно математики дали естествознанию методы вычислений: логарифмы, дифференциальное и интегральное исчисление, дифференциальные уравнения и т.д. Но этим вклад математиков в естествознание далеко не исчерпывается. Математики наделили естествознание общим планом, неотступно следили за логичностью естественнонаучного мышления. По мере возникновения каждой новой науки математики подводили (или по крайней мере пытались подводить) под нее надежное логическое основание – подобное тому, что Евклид подвел под египетское землемерие. В руки математиков попадал необработанный камень с множеством посторонних вкраплений. Из рук математиков выходил великолепно ограненный и отполированный бриллиант.

Здание современной науки гудит от кипучей деятельности, какой наука не знала в прежние времена. Нет никаких видимых признаков упадка. И только самые наблюдательные смогли заметить, что часовой покинул свой пост. Он не отправился на покой – работает, как всегда, не покладая рук, но работает только для себя…

Итак, окончен бал. Сколько радости было, пока он длился!.. Природа по-прежнему продолжает подкидывать глубокие проблемы, но они уже не доходят до математиков. В ожидании противника они сидят в своей башне из слоновой кости, вооруженные до зубов, но противник так и не появляется. Природа не ставит перед математиками четко сформулированных проблем. Добыть ясно поставленную задачу можно, лишь вооружившись киркой и лопатой, и тот, кто боится испачкать руки, никогда ни одной сколько-нибудь стоящей задачи не найдет.

Изменения и смерть в мире идей столь же неизбежны, как и в делах человеческих, и любящему истину математику не пристало делать вид, будто их нет, когда в действительности они имеют место. Невозможно искусственно стимулировать глубокие источники интеллектуальной деятельности. Что-то либо захватывает наше воображение, либо не затрагивает его, и в последнем случае никакими усилиями не удастся раздуть пламя. Если математики действительно утратили издавна присущую им особенность и видят перст божий не в движении звезд, а в доведении до пределов мыслимого совершенства и без того точной логики, то все попытки вернуть их в старое убежище обречены на провал, не говоря уже о том, что такие попытки означали бы по существу отрицание права человека на свободу разума. Но каждый начинающий математик, формулирующий свою собственную философию (а этот этап наступает в жизни каждого математика), должен принимать решение, располагая всей полнотой фактов. Он должен понимать, что, следуя тенденциям современной математики, становится наследником великой традиции, но наследует не все ее состояние. Часть наследства перешло в другие руки и навсегда потеряна для него…

Наша наука началась с математики и, несомненно, недолго протянет после того, как из нее изымут математику (если такое изъятие вообще возможно). В нашем столетии множится число лабораторий для массового производства фактов. Останутся ли добываемые факты просто фактами или обратятся в науку, зависит от того, в какой степени они войдут в соприкосновение с духом математики.

Джон фон Нейман был обеспокоен судьбами математики настолько, что счел нужным предостеречь своих коллег. Свою позицию он изложил в очерке «Математик» (1947), часто цитируемом, но все же не привлекшем должного внимания:

На достаточно большом удалении от своего эмпирического источника и тем более во втором и в третьем поколении, когда математическая дисциплина лишь косвенно черпает вдохновение из идей, идущих от «реальности», над ней нависает смертельная опасность. Ее развитие все более и более определяется чисто эстетическими соображениями; она все более и более становится искусством для искусства. Само по себе это неплохо, если она взаимодействует с примыкающими математическими дисциплинами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если данная математическая дисциплина находится под влиянием людей с исключительно развитым вкусом. Но существует серьезная угроза, что математическая дисциплина будет развиваться по линии наименьшего сопротивления, что вдали от источника поток разветвится на множество ручейков и дисциплина превратится в хаотическое нагромождение деталей и сложностей. Иначе говоря, при большом отделении от эмпирического источника или после основательного абстрактного «инбридинга» математической дисциплине грозит опасность вырождения. При зарождении новой математической дисциплины ей обычно свойствен классический стиль. Когда же она начинает обретать черты барокко, то это сигнал опасности…

Во всяком случае, когда достигается стадия барокко, единственное спасительное средство я вижу в том, чтобы снова вернуться к источнику, произвести омолаживающую инъекцию идей более или менее прямого эмпирического происхождения. Я убежден, что такая эмпирическая «подпитка» была необходимым условием сохранения неувядаемой молодости и жизнеспособности математики в прошлом и что аналогичное утверждение остается в силе и в будущем.

([105], с. 95.)

Однако тенденция к превращению математики в своего рода искусство для искусства не была приостановлена. Математики продолжали все дальше отходить от естествознания и следовать своим собственным курсом. Чистые математики имеют обыкновение посматривать сверху вниз, как на презренных ремесленников, на тех, кто занимается прикладной математикой, видимо, стараясь заглушить таким образом муки совести. Трубный глас техники, жалуются они, заглушает сладкие звуки чистой математики. В то же время чистые математики чувствуют, что необходимо дать ответ на критику, подобную той, которую мы воспроизвели выше. Однако, давая такой ответ, они – возможно, по незнанию, а может быть, и умышленно искажая историю – утверждают, что многие из величайших достижений прошлого обязаны своим появлением чисто математическим интересам и тем не менее впоследствии нашли себе применение. Но присмотримся внимательнее к тем примерам, которые чистые математики заимствуют из истории. Так ли чиста та математика, которую они называют чистой?

Чаще всего в качестве подходящего примера чистые математики ссылаются на греческие работы о конических сечениях:параболе, эллипсе и гиперболе. По мнению чистых – математиков, эти кривые были исследованы греками, в первую очередь Аполлонием, ради удовлетворения чисто математического интереса. Тем не менее восемнадцать столетий спустя Кеплер доказал, что именно по коническим сечениям движутся вокруг Солнца планеты. Однако хотя ранняя история конических сечений доподлинно и неизвестна, но все же по свидетельству такого авторитетного историка, как Отто Нейгебауэр (р. 1899), параболы, эллипсы и гиперболы впервые возникли в работах, посвященных конструкции солнечных часов. Известно, что древние действительно использовали в солнечных часах эти кривые. Задолго до того, как Аполлоний посвятил коническим сечениям свой классический труд (гл. I), было известно, что параболы позволяют фокусировать падающий на них солнечный свет. Следовательно, физические приложения конических сечений в оптике – области науки, которой греки уделяли немало внимания, – несомненно, послужили толчком к некоторым из исследований по геометрии конических сечений.

Коническими сечениями греки занимались задолго до Аполлония в связи с решением знаменитой задачи об удвоении куба – построении ребра куба вдвое большего объема, чем данный куб. Для греческой геометрии, в которой единственный способ доказать существование того или иного объекта сводился к его построению, такого рода задачи имели первостепенное значение.

Разумеется, Аполлоний доказал сотни теорем о конических сечениях, не имеющих не только непосредственных приложений, но даже потенциально неприменимых. В этом отношении он мало чем отличался от современных математиков, которые, напав на благодатную тему, начинают разрабатывать ее либо по причинам, о которых говорилось выше, – из желания побольше узнать о чем-то важном либо из стремления ответить, так сказать, на интеллектуальный вызов.

Второй, наиболее часто приводимый пример чистой математики, впоследствии нашедшей, однако, немаловажные приложения, – неевклидова геометрия.По словам тех, кто ссылается на этот пример, получается, будто математики создали неевклидову геометрию, размышляя на досуге над тем, что произойдет, если изменить евклидову аксиому о параллельных. Но утверждать подобное – значит игнорировать более чем двухтысячелетнюю историю науки. Аксиомы Евклида считались самоочевидными истинами о реальном физическом пространстве (гл. I). Аксиома о параллельных, весьма произвольно и своеобразно сформулированная Евклидом, стремившимся избежать исходного предположения о существовании параллельной, по сравнению с остальными аксиомами была куда как менее очевидной. Многие усилия, затраченные на поиск более приемлемого варианта аксиомы, привели в конце концов к открытию: аксиома о параллельных не обязательно должна быть истинной – другая аксиома о параллельных, отличающаяся от евклидовой (и, следовательно, неевклидова геометрия), может так же хорошо описывать физическое пространство. Итак, подчеркнем главное: попытки доказать истинность аксиомы Евклида о параллельных предпринимались не для «услаждения мозгов, поднаторевших в умозрительных рассуждениях», а для того, чтобы удостовериться в истинности геометрии, лежащей в основе тысяч и тысяч теорем чистой и прикладной математики.

Чистые математики нередко ссылаются также на работы Римана, который обобщил известную в его время неевклидову геометрию и указал на существование целого семейства неевклидовых геометрий, получивших впоследствии название римановых геометрий(или геометрий римановых пространств). И в этом случае чистые математики полагают, будто Риман создал свои геометрии лишь с той целью, чтобы «посмотреть, что можно сделать». Думающие так глубоко заблуждаются. Как мы уже говорили, усилия математиков, направленные на устранение малейших сомнений в адекватности евклидовой геометрии окружающему нас миру, увенчались созданием неевклидовой геометрии, оказавшейся столь же пригодной для описания свойств физического пространства, как и евклидова геометрия. Существование двух различных геометрий заставило математиков задуматься над вопросом о том, что, собственно, нам достоверно известно о физическом пространстве? Этот вопрос послужил для Римана отправным пунктом для размышлений. Отвечая на него, Риман в своей лекции [106] 1854 г., которая была опубликована лишь после его смерти, развил общую теорию, включающую классическую геометрию Евклида и неевклидову геометрию Лобачевского – Бойаи в качестве частных случаев. Вследствие ограниченности наших физических знаний римановы геометрии могли оказаться столь же полезными для описания физического пространства, как и евклидова геометрия. Риман предвидел, что пространство и материю нужно рассматривать в неразрывной связи. {157}157
  В последней части «Применение к пространству» замечательной лекции [106] Риман сам подробно обсуждает приложимость к (будущей) физике предложенных им геометрических схем.


[Закрыть]Следует ли удивляться после этого, что Эйнштейн счел риманову геометрию полезной? Предвидение Римана относительно физичности предложенной им геометрии отнюдь не умаляет остроумного применения, которое нашел римановой геометрии Эйнштейн. Применимость римановой геометрии явилась следствием работы над решением наиболее фундаментальной из физических проблем, которыми когда-либо занимались математики, – выяснением природы физического пространства.

Нельзя не упомянуть еще об одном примере. Одно из интенсивно развивающихся направлений современной математики – теория групп.По мнению чистых математиков, теория групп также была создана «из любви к искусству». Понятие группы ввел в математику Эварист Галуа (1811-1832), хотя неявно оно встречалось в работах Лагранжа, норвежца Абеля и итальянца Паоло Руффини (1765-1822). Внимание Галуа привлекла по существу самая простая и практически важная задача всей математики – разрешимость простых алгебраических уравнений, таких, как квадратное уравнение

3 x ²+ 5 x+ 7 = 0,

кубическое уравнение

4 x ³+ 6x ²− 5 x+ 9 = 0

и уравнения более высоких степеней. Уравнения такого типа встречаются в тысячах физических задач. К тому времени, когда эта задача привлекла внимание Галуа, математики научились решать в радикалах общие алгебраические уравнения от первой до четвертой степени (т.е. выражать корни таких уравнений через их коэффициенты с помощью конечного числа алгебраических операций), а Нильс Хенрик Абель (1802-1829) доказал неразрешимость в радикалах общего алгебраического уравнения пятой степени

ax ⁵+ bx ⁴+ cx ³+ dx ²+ ex+ f = 0,

где a, b, c, d, e и f– любые вещественные (или комплексные) числа, а также и уравнений более высоких степеней. Галуа задался целью выяснить, почему общие уравнения пятой и выше степени неразрешимы в радикалах и почему частные уравнения сколь угодно высокой степени могут оказаться разрешимыми. Решая эту задачу, Галуа создал теорию групп. Нужно ли удивляться, что понятие, возникшее из решения столь фундаментальной проблемы, как решение алгебраических уравнений, оказалось применимым ко многим другим математическим и физическим задачам? Можно с уверенностью сказать, что теория групп не была «придумана», а родилась на прочной и вполне реальной физико-математической основе.

Кроме того, теория групп была вызвана к жизни не только работами Галуа. Возможно, от внимания чистых математиков ускользнула работа французского кристаллографа Огюста Браве (1811-1863) по структуре кристаллов типа кварца, алмаза и горного хрусталя. Эти вещества состоят из различных атомов, расположенных по определенной схеме, многократно повторяющейся в объеме кристалла. Атомы в кристаллах таких веществ, как поваренная соль и обычные минералы, расположены особым образом. В простейшем случае (поваренной соли) можно считать, что соседние атомы расположены в вершинах куба. С 1848 г. Браве занялся изучением преобразований (поворотов кристалла вокруг какой-либо оси), трансляций (параллельных переносов, или сдвигов) или отражений, переводящих кристалл в себя. Такие преобразования образуют различные группы. Камил Жордан (1833-1922), обративший внимание на работу Браве, дополнил и обобщил ее в своей работе 1868 г. и в своем труде «Трактат о подстановках» ( Traité des substitutiones,1870), сыгравшем существенную роль в распространении понятия группы в среде математиков, использовал заимствованные из кристаллографии соображения наряду с другими аргументами, подтверждающими важность изучения теории групп.

Работа Браве навела Жордана на мысль об изучении бесконечныхгрупп – групп вращений и параллельных переносов. Бесконечные (непрерывные)группы обрели известность после знаменитой лекции [107] Феликса Клейна, прочитанной в Эрлангенском университете в 1872 г. и тогда же опубликованной, где он предложил различать все известные в то время геометрии по допускаемым ими группами «движений» и по инвариантам этих «движений». Так, евклидова геометрия занимается изучением тех свойств фигур, которые остаются инвариантными при поворотах, параллельных переносах и преобразованиях подобия (см., например, [108]). Занимавшую в 1872 г. умы математиков проблему, чем отличаются известные и столь непохожие друг на друга геометрии и какая из них соответствует физическому пространству, вряд ли можно отнести к чистой математике. Немало работ по применению дискретных и непрерывных групп к классификации методов решений дифференциальных уравнений {158}158
  Классификация дифференциальных уравнений по свойственным им группам симметрии была произведена великим норвежским математиком Софусом Ли (1842-1899), который построил своеобразную «теорию Галуа для дифференциальных уравнений», где вопрос о решимости алгебраического уравнения в радикалах заменялся вопросом о решимости дифференциального уравнения «в квадратурах» (т.е. с применением операции интегрирования). В свое время эта теория пользовалась очень большой популярностью, но затем в связи с наступлением века ЭВМ, поставившего совсем по-другому вопрос о решении дифференциальных уравнений, была почти забыта. Взрывоподобный рост интереса к учению Ли о «группах симметрии дифференциальных уравнений», выразившийся, в частности, в появлении большого числа посвященных этой теме книг (см., например, [109]) и диссертаций, относится к последним десятилетиям; это связано с той большой ролью, которую играют соображения симметрии в современной физике.


[Закрыть]вошло в математику, прежде чем в 90-х годах XIX в. было сформулировано современное понятие группы. {159}159
  Артур Кали дал общее (абстрактное) определение группы еще в работах 1849-1854 гг. [у Э. Галуа фигурировали только группы подстановок. – Ред.], но значение этого понятия было оценено по достоинству лишь после того, как оно стало широко применяться в математике и естественных науках (о некоторых применениях мы упоминали выше).


[Закрыть]

К аналогичному выводу приводит изучение и всех других понятий и теорий, якобы являющихся продуктом чистой математики: матриц тензорного исчисления, топологии. Например, вся современная алгебра обязана своим происхождением кватернионам Гамильтона (гл. IV). Мотивы создания абстрактной алгебры прямо или косвенно были связаны с физическими соображениями, и ее творцы неусыпно заботились о приложениях, которые могут иметь вводимые ими понятия. Следовательно, история неоспоримо свидетельствует, что любая математическая дисциплина, намеренно создаваемая как область чистой математики и лишь впоследствии нашедшая различные применения, как правило, возникала при исследовании реальных физических проблем или проблем, имеющих непосредственное отношение к изучению природы. Часто случается, что «хорошая математика», создание которой первоначально было стимулирование потребностями физики, находит новые приложения, которых не предвидели творцы теории. Так математика возвращает свой долг естествознанию. Новых, непредвиденных приложений следует ожидать заранее. Не удивляемся же мы, что молотком, который был изобретен для того, чтобы крушить горные породы, можно также и забивать гвозди. Неожиданные естественнонаучные приложения математики возникают по той простой причине, что математические теории с самого начала имеют физическую подоплеку а отнюдь не обязаны своим происхождением пророческому прозрению всеведущих математиков, сражающихся разве лишь с собственным духом. Неизменный успех абстрактных математических теорий отнюдь не случаен.

Рассказывают, что один из выдающихся английских математиков – Годфри Гарольд Харди (1877-1947) – однажды провозгласил тост: «За чистую математику! Да не найдет она никаких приложений!». {160}160
  Характерно даже название, которое дал Харди своему учебнику [110] (классического) математического анализа. [Заметим, что, вероятно, не меньше 90% всех упоминаний имени воинственного адепта «чистой» математики Харди в современной научной, научно-популярной и учебной литературе связано не с его на самом деле выдающимися достижениями в теории чисел, а с единственным «греком» – с выполненной в молодости несложной работой прикладного характера (так называемый закон Харди – Вейнберга популяционной генетики – см., например, [111]).]


[Закрыть]Леонард Юджин Диксон (1874-1954), пользовавшийся непререкаемым авторитетом в Чикагском университете, говаривал: «Слава богу, теория чисел не запятнана никакими приложениями».

В статье о математике, написанной во время второй мировой войны (1940), Харди утверждал:

Считаю своим долгом заявить с самого начала, что под математикой я понимаю настоящуюматематику, математику Ферма и Эйлера, Гаусса и Абеля, а не то, что выдают за математику в инженерной лаборатории. Я имею в виду не только «чистую» математику (хотя именно она интересует меня в первую очередь) – Максвелла и Эйнштейна, Эддингтона и Дирака я также причисляю к «чистым» математикам.

Прочитав эти строки, повторенные в книге Xарди «Апология математика», можно было бы подумать, что он, по крайней мере частично, приемлет прикладную математику. Но далее у Харди говорится следующее:

В понятие чистой математики я включаю всю совокупность математических знаний, обладающих непреходящей эстетической ценностью, какой обладает, например, греческая математика, которая вечна потому, что лучшая ее часть, подобно лучшим произведениям литературы, и через тысячи лет продолжает приносить тысячам людей эмоциональное удовлетворение.

Харди и Диксон могут покоиться с миром, ибо история подтвердила правильность их высказываний. Их чистая математика, как и всякая математика, созданная ради самой себя, почти заведомо не найдет никаких приложений. {161}161
  Этот тезис можно и оспаривать: так, например, в теории кодирования,имеющей огромное прикладное значение в условиях современной недостаточности пропускной способности большинства линий связи, большую роль играет абстрактная алгебра(в частности, так называемые конечные поля Галуа), конечные геометрии(геометрии в плоскостях или пространствах, содержащих всего конечное число точек) и прочие разделы «абстрактной» математики, созданные вне всякой связи с возможными их приложениями (ср., например, [112] или статью [113]). Также и такие области математики, как топологияили алгебраическая геометрия,(не говоря уже о функциональном анализе), совсем еще недавно считавшиеся чисто абстрактными, в последнее время стали активно изучаться (и применяться) физиками (см., например, [114]; ср. [103]).


[Закрыть]Тем не менее полностью исключить всякую применимость чистой математики «по Харди и Диксону» мы не можем. Ребенок, наугад наносящий мазки краски на холст, может создать шедевр, соперничающий с картинами Микеланджело (скорее с произведениями современного искусства!), а обезьяна, нажимающая как попало клавиши пишущей машинки, может, как заметил Артур Эддингтон, создать пьесу, сравнимую по своим художественным достоинствам с пьесами Шекспира. Когда работают тысячи чистых математиков, вряд ли можно поручиться, что хотя бы один из полученных результатов случайно не окажется полезным для каких-либо приложений. Тот, кто ищет на улице золотые монеты, может найти мелкие медные монетки. Но интеллектуальные усилия, не соотнесенные с реальностью, почти заведомо оказываются бесплодными. Как заметил Джордж Биркгоф, «по-видимому, новые математические открытия, совершаемые по подсказке физики, всегда будут наиболее важными, ибо природа проложила путь и установила каноны, которым должна следовать математика, являющаяся языком природы». Но природа не сообщает свои секреты громогласно, а шепчет еле слышно – и математик должен чутко прислушиваться, усиливать слабый голос природы и доносить услышанное до всеобщего сведения.

Несмотря на убедительные свидетельства истории, некоторые математики продолжают утверждать, что чистая математика в будущем непременно найдет приложения и что независимость математики от естественных наук якобы расширяет ее перспективы. Этот тезис недавно (1961) был повторен профессором Гарвардского, Йельского и Чикагского университетов Маршаллом Стоуном. В статье «Революция в математике» Стоун, воздав должное значению математики для естественных наук, далее говорит;

Хотя в нашей концепции математики и в наших взглядах на нее по сравнению с началом XX в. произошло несколько важных изменений, лишь одно из них вызвало подлинный переворот в наших представлениях о математике – открытие полной независимости математики от физического мира… Математика, как мы сейчас понимаем, не имеет ни одной обязательной связи с физическим миром, помимо той смутной и несколько загадочной, что неявно содержится в утверждении о том, что процесс мышления происходит в мозгу. Без преувеличения можно сказать, что открытие независимости математики от внешнего мира знаменует собой одно из самых значительных интеллектуальных достижений в истории математики…

Сравнивая современную математику с той, какой она была в конце XIX в., нельзя не удивляться, как быстро выросла наша математика и количественно, и качественно. Вместе с тем нельзя не отметить, как быстро она развивалась, как все больше места в ней отводилось абстракции и все больше внимания уделялось введению и анализу емких математических структур. Как показывает более внимательное рассмотрение, именно новая ориентация математики, ставшая возможной лишь благодаря ее отходу от приложений, и была подлинным источником необычайной жизнеспособности и роста математики за последнее столетие…

Современный математик предпочитает определять предмет своей науки как изучение общих абстрактных схем, каждая из которых представляет собой здание, построенное из вполне определенных абстрактных элементов, скрепленных произвольными, но однозначно определенными соотношениями… По мнению математика, ни сами системы, ни предоставляемые логикой средства для изучения их структурных свойств не имеют прямой или необходимой связи с физическим миром… Лишь в той степени, в какой математика освободилась от уз, связывающих ее в прошлом с теми или иными конкретными аспектами реальности, она может стать гибким и мощным инструментом, столь необходимым для вторжения в области, лежащие за пределами известного. Уже сейчас можно было бы привести многочисленные примеры, подтверждающие сказанное…

Далее Стоун приводит в качестве примеров генетику, теорию игр и математическую теорию связи. В действительности же эти примеры вряд ли могут служить подтверждением его тезиса. Все названные им науки возникли в результате применения классической математики, стоявшей на прочном физическом основании. {162}162
  Стоун, видимо, имел в виду совершенно новые разделы математической науки (математическую теорию связи, или теорию информации; теорию кодирования; теорию игр), возникшие сравнительно недавно в связи с их применениями, в далее развивавшиеся как чисто абстрактные области знания, бурный прогресс которых, безусловно, стимулировался возможностями немедленного использования полученных в этих направлениях результатов (осуществляющегося, однако, чаще всего, не математиками, а техниками, экономистами или биологами).


[Закрыть]