Текст книги "Основы кибернетики предприятия"

Автор книги: Джей Форрестер

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 33 страниц)

Сеть оборудования. Сеть оборудования включает производственную площадь, инструмент и оборудование, необходимые для производства товаров. Она показывает, как функционируют заводы и машины, каково имеющееся оборудование, какая часть этого оборудования находится в данный момент в эксплуатации (это необходимо знать для определения уровня производительности), а также каков темп выхода ^орудий производства из строя.

Следует отметить, что в отраслях, производящих средства производства, выпуск оборудования является результатом, в числе прочих факторов, потока материалов, который использован для изготовления соответствующих изделий с помощью оборудования. Производитель оборудования имеет свой парк оборудования, которое используется в производственном процессе.

Связующая сеть информации. Информационная сеть представляет собой последовательность переменных темпов и уровней. В этой книге она поставлена в особое положение по отношению к другим сетям в связи с тем, что она служит для них соединительной тканью.

В общем случае информационная сеть начинается от уровней и темпов в пяти других сетях и заканчивается у функций решений, определяющих темпы в этих сетях. Она переносит информацию от уровня к точкам решений, а также информацию о темпах в других сетях к уровням в сети информации. В самой сети информации существуют уровни и темпы. Например, информация о фактическом текущем, темпе входящих заказов усредняется для определения уровня среднего темпа входящих заказов. Этот уровень относится к сети информации и будет обычно одним из вводов при решении о выдаче заказа в сети заказов.

Величину информационной переменной не следует смешивать с истинной переменной, которую она отображает. Заказы обычно направляются в картотеку невыполненных заказов; информация об уровне среднего темпа заказов и об уровне невыполненных заказов может направляться во многие адреса (места, пункты) внутри фирмы. Информация, так же как и потоки в других пяти сетях, будет часто запаздывать. Как уже отмечалось в разделе 4.2, информация может содержать помехи и искажения. Информация не обязательно идентична по величине «истинной» переменной, которую она отображает.

Сеть информации будет содержать группу различных понятий, являющихся вводами при выработке решений, связанных, например, с требуемым уровнем запасов, с необходимыми размерами проектируемого предприятия, с прогнозом сбыта, с необходимым уровнем числа работников и со сведениями о результатах исследований.

Основная часть модели будет находиться внутри информационной сети. Информация представляет собой основу для принятия решения. Она является тем соединяющим элементом, который заставляет взаимодействовать остальные пять сетей. Во многих экономических моделях и в нашем отношении к учету часто проявляется стремление представить в этой центральной связующей роли денежные средства. Однако, как уже отмечалось выше, сеть денежных средств не обеспечивает соответствующие вводы, необходимые для выработки решений в области практического руководства и экономики. Денежная сеть отражает совокупность совершенных ранее сделок и действует в качестве ограничения, налагаемого на будущие решения, но не оказывает существенной помощи при выработке этих решений.

Тщательное наблюдение за информационной сетью организации важно для понимания ее истинного характера. Ее динамика не может быть отображена без детального рассмотрения потоков, уровней, запаздываний и искажений, которые имеют место в каналах информации внутри отдельных организационных подразделений.

Глава 6

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Структура модели, описанная в главе 5, соответствует простой системе уравнений, достаточной для описания информационных систем с обратной связью. Эти уравнения показывают, каким образом можно определить условия в системе в очередной момент времени, если известны условия для предшествующего момента. В результате вычислений получается система последовательных решений, равномерно распределенных во времени. Уравнения уровней. и уравнения темпов определяют уровни и темпы в базовой структуре модели. Кроме того, используются вспомогательные и дополнительные уравнения и уравнения начальных условий. Интервал времени между решениями, определяемый динамическими характеристиками реальной моделируемой системы, должен быть относительно коротким. Для определения уровней достаточно интегрирования уравнений первого порядка.

В предыдущей главе была рассмотрена базовая структура модели, состоящая из уровней и темпов потоков. Для описания этой общей структуры необходима система уравнений, удовлетворяющая пяти требованиям, перечисленным в начале главы 5.

Система уравнений должна соответствовать обстановке и взаимодействиям всех элементов моделируемой системы и процессам выработки решений. Модель должна достаточно полно отражать наши представления о реальной системе. Нет нужды в чрезмерном упрощении этих представлений ради того, чтобы вместить их в рамки структуры модели.

Уравнения, которые здесь будут описаны, образуют основную систему, разработанную в соответствии с уже описанной структурой модели. В этой главе рассматриваются основные классы уравнений, а не особые формы, которые могут принимать отдельные уравнения.

В основном система уравнений состоит из уравнений двух типов, соответствующих уровням и темпам, о которых шла речь в предыдущих главах. В следующем разделе будут дополнительно введены другие типы уравнений, что позволит более наглядно отразить сложные системы; однако эти уравнения при рассмотрении модели не являются основными. Прежде чем перейти непосредственно к уравнениям, рассмотрим вопрос о последовательности вычислений.

6. 1. Последовательность вычислений

Система уравнений записывается вместе с определенными условиями, устанавливающими способ ее решения. Здесь мы будем иметь дело с системой уравнений, которые регулируют изменяющиеся во времени взаимодействия сети переменных. Эта изменчивость предопределяет необходимость периодически решать уравнения для нахождения новых состояний системы.

Для каждого момента времени может существовать специфическая последовательность вычислений, определяемая характером системы уравнений. Последовательность, которая будет использована в данном случае, показана на рис. 6–1, где по оси абсцисс отложено время. Это время разделено на небольшие интервалы равной длины DT. Интервалы времени должны быть достаточно короткими, чтобы можно было принять допущение о постоянстве темпа потока на протяжении интервала, получив при этом удовлетворительное приближение к непрерывно изменяющимся темпам реальной системы. Это означает, что на решения, принятые в начальной точке интервала, не будут влиять изменения, происходящие в течение того же интервала. Новые значения уровней рассчитываются на конец интервала, и по ним определяются новые темпы (решения) для следующего интервала.

6-1. Вычисления для момента времени К.

Ясно, что в принципе мы можем выбрать столь небольшие интервалы времени, что отрезки прямых, проведенных в пределах каждого интервала, будут сколь угодно близко приближаться к любой кривой (см. рис. 6–2).

Рис. 6–2. Аппроксимация переменного уровня с помощью прямолинейных отрезков.

Чем короче и многочисленней будут интервалы, тем более полным будет приближение к кривой. Практически мы будем иметь возможность выбирать интервал столь короткий, сколь это необходимо; однако он должен быть таким, чтобы объем вычислений не превышал возможностей современных вычислительных машин^[30].

Вернемся к рис. 6–1, где последовательным моментам времени даны обозначения J, К и L.

Момент К. используется для обозначения «данного момента времени». Интервал JK только что истек, и информация о нем, как и о предыдущих периодах, может быть использована при решении уравнений. Информация об уровнях и темпах в последующее время вообще недоступна при решении уравнений в настоящий момент времени К.

Для принципа недоступности будущей информации исключений не существует. Прогнозы не представляют собой будущей информации, они являются лишь представлениями о будущем, основанными на полученной ранее информации.

Для целей численного решения основные уравнения модели разделены на две группы: группу уравнений уровней и группу уравнений темпов. При рассмотрении какого-либо интервала времени в первую очередь решаются уравнения уровней, а затем полученные результаты используются в уравнениях темпов. (Вспомогательные уравнения, которые будут рассмотрены ниже, вводятся для удобства в том или ином случае и решаются сразу после решения уравнений уровней – до решения уравнений темпов.)

Уравнения должны решаться для моментов времени, разделенных интервалом DT. Уравнения относятся каждый раз к условным моментам времени J, К и L, причем произвольно принимается, что К представляет «настоящий» момент времени. Другими словами, принимается допущение, что в процессе решения мы как раз достигли момента времени К, но пока еще не решили ни уравнений уровней в момент К, ни уравнений темпов в интервале KL.

Уравнения уровней показывают, каким образом можно определить уровни в момент К, основываясь на знании уровней в момент J и темпов на протяжении интервала JK. В момент времени К, когда решаются уравнения уровней, вся необходимая информация может быть получена и получается из предшествующего интервала времени.

Уравнения темпов решаются в настоящий момент К после того, как решены уравнения уровней. Поэтому значения уровней в настоящий момент К могут служить вводами для уравнений темпов^[31].

Величины, определяемые из уравнений темпов (решений), относятся к темпам потоков, на которые мы будем воздействовать в течение предстоящего интервала KL.

Постоянство темпов в пределах интервала DT определяет собой постоянную скорость изменения уровней в течение этого интервала времени. Наклон прямых на рис. 6–1 пропорционален темпам и связывает между собой значения уровней в моменты времени J, К и L.

После определения уровней в момент К и темпов для интервала KL время «индексируется». Это означает, что положения точек J, К, L на рис. 6–1 сдвигаются на один интервал времени вправо. Уровни, только что вычисленные для момента времени К, считаются теперь уровнями в момент J. Темпы для интервала KL становятся темпами для интервала JK. «Настоящий момент времени» К сдвигается таким образом на один интервал времени продолжительностью DT. Всю последовательность вычислений можно теперь повторить для определения нового состояния системы в момент времени более поздний, чем для предшествующего состояния, на величину DT. Модель следит за изменением системы во времени таким образом, что окружающая среда (уровни) обусловливает решения и действия (темпы), которые в свою очередь воздействуют на окружающую среду. Таким образом, взаимодействия внутри системы происходят в соответствии с «описанием», которое было принято за основу при составлении уравнений модели.

6. 2. Символы, используемые в уравнениях

Для выражения величин в уравнениях модели нужно выбрать символы, которые имели бы наиболее мнемонический характер, то есть напоминали бы нам общепринятую терминологию, связанную с повседневной практической деятельностью. Отчасти для того, чтобы согласовать символы с общепринятыми, отчасти в связи с ограниченным числом символов, которые могут быть напечатаны выходными устройствами цифровых вычислительных машин, мы будем пользоваться для обозначения переменных и констант в модели только группами прописных букв английского алфавита и арабскими цифрами. Так, численность работников предприятия А будет обозначаться EPLTA; наличие товаров на складе № 5 может быть обозначено INVW5; наличие товаров, необходимое в звене розничной торговли, могло бы быть обозначено IDR. Темп выпуска готовой продукции предприятием можно обозначить MOF.

В силу ограниченных эксплуатационных возможностей печатающих устройств вычислительных машин мы не будем пользоваться ни подстрочными, ни надстрочными индексами.

6. 3. Обозначение времени в уравнениях

Следует договориться об обозначении времени, чтобы можно было установить тот момент, к которому относятся количественные значения величин в уравнениях. В литературе, посвященной данным вопросам, время часто обозначается небольшими подстрочными индексами. Так как это не совсем согласуется с возможностями пишущей машинки и вовсе не соответствует возможностям печатающих устройств многих вычислительных машин, то для обозначения времени мы будем пользоваться одной или двумя прописными буквами, следующими за обозначением переменной и отделенными от него точкой.

Так, в предыдущих примерах уровень работающих в момент времени J будет EPLTA.J, а в момент К – EPLTA.K. Следует отметить, что для обозначения времени используется одна буква, поскольку значения уровней определяются только для фиксированных моментов времени – соответственно J или К. Уровни (и вспомогательные переменные, которые будут рассмотрены ниже) будут иметь обозначение времени одной буквой.

Темпы, напротив, будут отмечаться двумя буквами. Например, темп выпуска готовой продукции, имеющий место в интервале времени от J до К, обозначается MOF.JK, а темп, который будет иметь место в течение последующего интервала, обозначается MOF.KL^[32].

Константы не будут иметь обозначения времени, так как они не изменяются от одного интервала времени к другому. Постоянное запаздывание, связанное с доставкой товаров в розничную торговую сеть, может быть обозначено DSR.

6. 4. Классы уравнений

Уравнения уровней и темпов уже рассматривались при описании основных свойств используемой ниже структуры динамической модели.

Были перечислены и другие типы уравнений, которыми удобно пользоваться, но которые не вносят в модель новых динамических характеристик. Это вспомогательные и дополнительные уравнения и уравнения начальных условий. Рассмотрим форму этих уравнений.

Уравнения уровней. Уровни представляют собой переменное по величине содержимое резервуаров в системе. Как уже отмечалось, они существовали бы и в том случае, если бы система была приведена в состояние покоя и все потоки в ней остановились бы. Значения уровней определяются заново для каждого из последующих интервалов решений; предполагается, что между моментами времени, для которых решаются уравнения, уровни изменяются с постоянной скоростью, но их значения в этом промежутке времени не вычисляются.

Вот пример типичного уравнения уровня:

.

6–1, L

Символы обозначают следующие переменные:

IAR – фактический запас товаров в розничной торговой сети (единицы), где слово «фактический» употребляется в отличие от «требуемый» и других понятий о запасе товаров;

DT – приращение времени (недели), интервал времени между решениями системы уравнений;

SRR – поставки товаров в розничную торговую сеть (единицы в неделю);

SSR – продажа товаров в розничной торговой сети (единицы в неделю)^[33].

Обозначение «6–1, L» справа указывает, что данное уравнение является первым в главе 6 (всем уравнениям присвоен цифровой шифр) и что оно описывает уровень («L»)^[34].

Уравнение устанавливает прямую количественную зависимость, согласно которой запас товаров 1AR в момент времени К будет равен предыдущему значению IAR.J плюс произведение разности между темпами входящего потока SRR.JK и исходящего потока SSR.JK на продолжительность интервала времени DT, в течение которого существуют эти темпы. Короче говоря, то, что есть в торговой сети, равно тому, что в ней было, плюс то, что поступило, и минус то, что было из нее отдано^[35].

Следует заметить, что все члены уравнения имеют размерность «единицы» товаров. В скобках правой части уравнения «единицы» получаются при умножении времени, выраженного в долях недели, на темпы потока в единицах в неделю.

Темпы потока всегда измеряются числом единиц за какой-либо интервал времени, такой, как день, неделя или месяц, но не в периодах, кратных интервалу решений DT; единицы времени для темпов и интервала DT должны быть одними и теми же, например недели или месяцы. Уравнение сохраняет силу и не зависит от интервала решений DT, пока интервал не превышает максимальной величины, которая будет рассмотрена ниже. При изменении интервала решений не требуется вносить изменения в формулировку уравнения или в какие-либо входящие в него константы. Вводя интервал DT непосредственно в уравнение мы можем использовать в модели те же общепринятые единицы измерения времени, что и в реальной системе.

Сравнения уровней не зависят одно от другого; решение каждого из них зависит только от информации, касающейся предшествующего момента времени. Поэтому порядок решения уравнений уровней не имеет никакого значения. При решении какого-либо уравнения уровня в момент времени К не используется никакой информации из других уравнений уровней, решаемых для того же момента времени. Уровень в момент К зависит от его предыдущего значения в момент У и от темпов потока в течение интервала

Переменные, относимые к классу уровней, могут иметь такие единицы измерения, как «единицы в неделю», так что поначалу может показаться, что мы имеем дело с темпами. Тогда следует применить испытание системы приведением ее в состояние покоя, как это было сделано в разделе 5.1, где мы установили, что средние темпы представляют собой по существу уровни, а не темпы.

Уравнения темпов (функции решений). Уравнения темпов определяют темпы потоков между уровнями в системе. Уравнения темпов являются «функциями решений», что будет подробно рассмотрено ниже, в главе 9.

Уравнение темпа решается на основе данных о существующих в настоящее время величинах уровней в системе, которые часто включают в себя уровень, из которого исходит поток с данным темпом, и тот уровень, к которому он направлен. В свою очередь темпы потоков являются причиной изменений в уровнях. Уравнения темпов могут по типу решений относиться к «явным» или «неявным»^[36]. Какая-либо разница в структуре самих уравнений при этом отсутствует.

В отношении уравнений темпов важно отметить, что они регулируют действия, которые должны произойти в системе за следующий интервал времени. В момент времени К уравнение темпа решается, чтобы определить то действие, которое будет управлять темпом потока в течение предстоящего интервала времени KL. В принципе уравнения темпов зависят только от значений уровней в момент времени К^[37]. (На практике темпы, относящиеся к последнему, только что закончившемуся интервалу времени JK, могут иногда с достаточной степенью точности использоваться вместо уровня, характеризующего средний темп, в том случае, когда усреднение производится для очень короткого интервала времени.)

Уравнения темпов, как и уравнения уровней, на протяжении каждого интервала времени решаются независимо одно от другого. Взаимодействие в системе происходит при последующем воздействии темпов на уровни, которые затем в свою очередь оказывают влияние на темпы в более поздние интервалы времени. Уравнение темпа определяет действие, которое будет совершаться непосредственно в следующий момент. Если момент действия существенно близок (то есть продолжительность интервала решений DT существенно мала), то очевидно, что решение не может испытывать на себе влияния других решений, принимаемых в тот же момент времени в других частях системы^[38]. Поэтому уравнения темпов независимы друг от друга и могут решаться в любой последовательности. Поскольку они зависят от значений уровней, вся группа уравнений темпов решается после того, как решены уравнения уровней.

Примером уравнения темпа может служить уравнение запаздывания исходящего потока, имеющее вид показательной функции первого порядка. Объяснение уравнения будет дано в главе 8, здесь же мы рассмотрим лишь его форму:

,

6.2, R

где

OUT – темп исходящего потока (единицы в неделю);

STORE – количество, находящееся в настоящее время в запаздывании (единицы);

DELAY – константа, средняя продолжительность времени, необходимого для преодоления запаздывания (недели).

Это второе наше уравнение представляет собой уравнение темпа, о чем свидетельствует буква «R» в его шифре. Уравнение определяет величину темпа «OUT» и показывает, какое значение он будет иметь на протяжении следующего интервала времени KL. Темп должен быть равен величине уровня «STORE» в настоящий момент К, деленной на константу, названную «DELAY» (без какого-либо обозначения времени, поскольку это константа). Ко времени решения уравнения количественные значения для STORE и DELAY должны быть, конечно, известными.

Вспомогательные уравнения. Уравнение темпа может нередко стать очень сложным, если его действительно формулировать лишь на основе одних уровней, как это утверждалось до сих пор. К тому же темп может быть часто лучше определен, если пользоваться одним или несколькими понятиями, имеющими самостоятельный смысл и характеризуемыми в свою очередь уровнями системы. Часто бывает удобно разбить уравнение темпа на отдельные части, которые мы будем называть вспомогательными уравнениями. Вспомогательное уравнение оказывает большую помощь при решении задачи приведения модели в полное соответствие с действительной системой, так как с его помощью можно определить в отдельности многие факторы, принимаемые в расчет при выработке решения.

Вспомогательные уравнения являются промежуточными; они могут быть подставлены одно в другое (если имеется несколько «слоев» вспомогательных уравнений) и далее – в уравнения темпов^[39]. Путем алгебраической подстановки вспомогательные переменные могут быть исключены из уравнений, что достигается ценой увеличения сложности уравнений темпов и потери в то же время простоты и ясности значения отдельных уравнений модели.

Вспомогательные уравнения решаются на момент времени К после решения уравнений уровней, поскольку для решения вспомогательных уравнений, как и для решения уравнений темпов, часть которых они собой представляют, используются данные о значениях уровней в тот же момент времени. Они должны быть решены прежде уравнений темпов, поскольку получаемые при этом результаты необходимы для подстановки в уравнения темпов.

В отличие от уравнений темпов и уровней вспомогательные уравнения нельзя решать в произвольной последовательности, так как одни вспомогательные уравнения могут быть составными частями других, а два или более вспомогательных уравнений могут образовывать «цепочку», которая должна решаться в определенном порядке таким образом, чтобы решение одного уравнения могло быть использовано при решении последующих. Если формулировка уравнений правильна, то должна существовать возможность такой последовательной подстановки. Система вспомогательных уравнений не должна быть замкнутой; это указывало бы на недопустимую и ненужную формулировку уравнений.

Ниже показана цепь из двух вспомогательных уравнений между двумя уровнями и уравнением темпа:

,

6-3, A

где RSR – уровень, a AIR – константа,

,

6–4, А

где IAR – уровень, a DHR и DUR – константы,

,

6-5, R

где UOR – уровень.

Следует заметить, что в уравнении 6–3, А (индекс «A» применяется в шифре вспомогательных уравнений) уровень RSR в момент времени К используется в качестве ввода для вспомогательной переменной IDR в момент времени К-Выражения AIR, DHR и DUR – константы. В тот же момент времени К, IDR является вместе с другим уровнем вводом для вспомогательной переменной DFR. В свою очередь DFR используется вместе с другим уровнем в уравнении темпа 6–5,R для определения темпа SSR.

Отметим, что уравнение 6–3 может быть подставлено в уравнение 6–4 и далее в уравнение 6–5; тогда получим:

.

6-6, R

Таким образом, могут быть исключены вспомогательные уравнения, а темп выражен только через уровни и константы.

В главе 13 уравнения 6–3, 6–4 и 6–5 рассматриваются применительно к обстановке на промышленном предприятии. Каждое из этих вспомогательных уравнений определяет имеющую самостоятельный смысл переменную, важную для отражения системы. Наши представления о системе были бы безнадежно затемнены, если бы мы действительно производили подстановку, выполненную в уравнении 6–6.

Вспомогательная переменная в принципе зависит только от уже известных уровней и от других вспомогательных переменных, значения которых могут быть вычислены до того, как они понадобятся. Как отмечалось в отношении уравнений темпов, значения темпов, относящиеся к предшествующему интервалу времени JK, могут быть иногда использованы во вспомогательных уравнениях; хотя это, строго говоря, неверно, однако при определенных условиях такой метод может дать достаточно хорошее приближение к средним значениям, получаемым для коротких интервалов времени.

Дополнительные уравнения. Дополнительные уравнения применяются при определении переменных, не являющихся частью структуры модели, но используемых при печати и графическом изображении величин, представляющих интерес для понимания поведения модели. Мы можем пожелать собрать информацию (например, о сумме запасов в целой системе), которая не используется в процессе выработки какого-либо решения в модели. Обозначение «S» указывает на дополнительное уравнение.

Уравнения начальных условий. Уравнения начальных условий используются для определения исходных значений всех уровней (и некоторых темпов), которое должно быть произведено до начала первого цикла решения уравнений. Они также используются в начальный момент времени для вычисления значений одних констант, исходя из значений других. Уравнения начальных условий решаются только один раз перед началом каждого проигрывания модели. Обозначение «N» указывает на уравнение начальных условий.

6. 5. Интервал решений

Интервал решений должен быть достаточно коротким, чтобы его величина не влияла сколько-нибудь серьезно на результаты вычислений. Его следует выбирать по возможности максимально большим с тем, чтобы не допускать увеличения загрузки вычислительной машины там, где это не вызвано необходимостью.

Основное требование ограничения продолжительности интервала вытекает из характера построения системы уравнений. Уровни определяют темпы, а темпы определяют уровни, но система уравнений является «открытой»; под этим подразумевается, что каналы обратной связи остаются в течение интервала решений DT закрытыми. Поэтому интервал должен быть достаточно коротким, чтобы изменения в уровнях между моментами решений не привели к недопустимой дискретности темпов.

В большинстве наших систем допустимый интервал между вычислениями будет определяться запаздываниями, имеющими форму показательной функции (см. главу 8). Как мы увидим, интервал обязательно должен быть меньше продолжительности любого запаздывания первого порядка; желательно, чтобы он был меньше его половины. Поскольку запаздывания третьего порядка наиболее употребительны и поскольку они эквивалентны трем последовательным запаздываниям первого порядка, каждое из которых составляет одну треть запаздывания третьего порядка, интервал решений должен быть меньше одной шестой общей продолжительности самого короткого запаздывания третьего порядка в рассматриваемой системе.

Сформулированное правило является эмпирическим. Наилучший способ проверки правильности выбора интервала решений состоит в варьировании его величины и наблюдении за влиянием ее на результаты вычислений.

Особым критерием, определяющим максимально допустимую величину интервала решений, является взаимосвязь между значениями уровней и темпами потоков, входящих в эти уровни и исходящих из них. Интервал решений должен быть достаточно коротким, чтобы суммарный входящий или исходящий поток не вызывал больших изменений в содержании уровня за один интервал решений. Например, если возможен высокий темп исходящего потока при небольшой величине содержимого в уровне, то интервал решений должен быть достаточно коротким с тем, чтобы только часть содержимого уровня могла быть исчерпана за один интервал решений. Если интервал настолько велик, что на его протяжении из уровня может быть изъято содержимое в большем количестве, чем имелось в нем в начале интервала, то в конце интервала содержимое уровня будет выражаться отрицательной величиной, что не имеет смысла.

Есть другое, более существенное соображение, которое теоретически влияет на величину интервала решений. Теория проб, описывающая прерывистые потоки в системах с обратной связью, устанавливает определенную зависимость между величиной интервала проб (в данном случае – интервала решений) и такими, представляющими интерес для понимания системы характеристиками, как «поле допуска». (Оно показывает, насколько велики могут быть колебания в действиях системы.) Интервал решений должен быть существенно короче периода колебаний тех компонентов системы, которые отличаются наиболее короткой периодичностью, определяемой путем вычислений. Можно полагать, что применение приведенного выше эмпирического правила всегда будет приводить к интервалу, достаточно короткому, чтобы можно было точно отобразить отдельные компоненты, и что этот интервал будет меньше максимально допустимого, исходя из характеристик системы в целом.

6. 6. Избыточность информации, заключенной в обозначениях типа уравнения и времени

Обозначение времени, добавляемое к обозначениям переменных в уравнениях, содержит в себе часть такой же информации, которая уже передается индексом, характеризующим тип уравнения (то есть L, R, А и т. д.). Действительно, в уравнениях уровней (L) значения переменных определяются для момента времени К на основе значений переменных величин в правой части уравнения, относящихся к моменту времени J и интервалу JK. Вспомогательные уравнения (А), по которым определяются значения величин в момент времени К, используют информацию об уровнях и других вспомогательных переменных в этот момент времени (а также, если это целесообразно, информацию о темпах в интервале JK). Уравнения темпов (R) дают значения темпов в интервале KL на основе значений уровней и вспомогательных переменных, относящихся к моменту времени К (а также, если это целесообразно, на основе значений темпов за предыдущий интервал JK).

Таким образом, создается некоторая избыточность информации, заключенной, с одной стороны, в обозначении типа уравнений, а с другой – в обозначении времени; однако опыт показывает, что в противном случае может легко возникнуть путаница в определении типов уравнений и в обращении с обозначениями времени. Поэтому для большей ясности следует использовать оба вида обозначений.

6. 7. Интегрирование уравнений первого порядка вместо интегрирования уравнений более высокого порядка