Текст книги "Хаос и структура"

Автор книги: Алексей Лосев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 51 (всего у книги 62 страниц)

8. Переходим к этим трем типам числа, или к трем его структурным понятиям, ибо они, очевидно, выражаясь химически, изомерны.

Арифметическое число, или конечное, есть отдельный и простой акт полагания (т. е. «бытие»), и в свете этих раздельных и изолированно–неподвижных актов (это и есть счет, и прежде всего натуральный ряд чисел) предстает общечисловая совокупность бытия, становления и ставшего. Если мы возьмем 1, 2, 3 и т. д., то единица, напр., обязательно есть «нечто» – значит, она есть «бытие»; далее, она обязательно дробима до бесконечности, ибо иначе это уже не будет обыкновенной реальной единицей, – значит, она есть «становление»; и наконец, она есть обязательно и результат такого становления, т. е. и «ставшее». Всю эту целокупность трех основных категорий мы, однако, в случае числа натурального ряда просто полагаем, раздельно, неподвижно–изолированно полагаем, закрывая глаза и на становление, и на ставшее. Вся эта категориальная совокупность дана тут только в свете раздельных полаганий. Можно также сказать, это арифметическое число есть синтез конечного и бесконечного в конечном.

Выдвигание второй и третьей категорий создает еще два новых типа числа. Понимание числа по типу становления создает нам сферу инфинитезимального числа, или становящейся бесконечности, а выдвигание ставшего – сферу трансфинитного числа, или завершенной бесконечности. Всех этих вопросов мы уже касались в предыдущем, и сейчас для нас важно только отграничение инфинитезимального типа числа.

Предложенное отграничение достаточно ясно говорит нам, в чем инфинитезимальный тип совпадает с арифметическим и трансфинитным и в чем резко от них отличается.

Если не гипостазировать понятия метафизически, то вовсе нельзя считать, что в бесконечно–малом математического анализа или даже в непрерывности ровно нет ничего раздельного и изолированно–конечного. Если бы действительно в непрерывно следующей прямой абсолютно не было никакой раздельности, то она просто превратилась бы в одну точку. Ведь как прямая, напр., ни непрерывна, мы все же переходим по ней, т. е. переходим от одной ее точки к другой. Как же это было бы возможно, если бы в непрерывности не было никаких прерывных точек? Самая непрерывность есть не что иное, как сплошное заполнение прерывного. А если этого прерывного нет, то и заполнять нечего, т. е. нет и самой заполненности, нет самой непрерывности. А я думаю, что даже и точки нельзя мыслить вне категории раздельности. Но это уже другое. Важно то, что в бесконечно–малом и в непрерывности обязательно есть раздельность и прерывность, и в этом—тождество анализа с арифметикой.

Равным образом едва ли сейчас найдется такой глупец, который стал бы мыслить натуральный ряд чисел вне всякой непрерывности. Я не буду здесь входить в глубину логической теории натурального ряда, но достаточно будет уже и такого формального соображения. Допустим, что натуральный ряд чисел есть только прерывность. Спросим тогда: что же, эта прерывность в нем везде или не везде? Раз мы сказали, что здесь только прерывность, это значит, что прерывность здесь нигде не прерывается, что прерывность эта дана здесь непрерывно. Если бы прерывность натурального ряда чисел где–нибудь в нем прерывалась, это означало бы, что в этом числовом промежутке мы уже не имели бы раздельного полагания все новых и новых единиц (без чего натуральный ряд немыслим), а получили бы здесь непрерывность и сплошность, т. е. натуральный ряд чисел исчез бы, прекратился бы. Значит, прерывность его непрерывна, как и его непрерывность одинаково прерывна. Каждое число его конечно, но при условии, что оно и бесконечно; и оно бесконечно так, что оно в то же время и конечно.

Все дело тут в том, что арифметика на первый план выдвигает конечное и раздельно–устойчивое, рассматривая бесконечное и непрерывное только как задний фон, а анализ выдвигает бесконечное и непрерывно–становящееся, рассматривая как задний план именно конечное. То, что именно они полагают, одно и то же. Но то, κάκ именно они полагают, это—разное. Это – изомеры, различие которых– чисто структурное.

Нам кажется, здесь мы имеем замечательный образец проникновения практики в самые недра мышления. Дело обстоит вовсе не так, что мышление существует само по себе, а потом уже оно применяется на практике. Но дело обстоит так, что без практики мышление не может осуществиться и вообще не может даже просто начаться. Вот перед нами т. н. конечное число натурального ряда и бесконечно–малое математического анализа, или попросту прерывность и непрерывность. По существу, по смыслу прерывность и непрерывность есть совершенно одно и то же; складывается то и другое совершенно из тех же самых категорий. Но вот практика повелительно перетасовывает эти категории, дает им разное направление, по–разному их осмысливает. И в результате – из одного и того же «теоретического» построения – получаются две таких колоссальной важности установки, как прерывность и непрерывность.

Так же точно можно было бы отграничить инфинитезимальный тип числа от трансфинитного, который, наоборот, отвергает чистое становление и базируется на таком бесконечном становлении, которое уже остановилось, закончилось, завершилось. И тут точно так же нетрудно установить пункты тождества и пункты различия.

Вывод: инфинитезимальный тип числа, ничем не отличаясь абстрактно–теоретически от числа арифметического и от числа трансфинитного, резко расходится с ними своей собственной смысловой комбинацией, повелительно вызванной к жизни исключительно практическими потребностями мышления. Является ли данное и единственное «множество» конечным или бесконечным, прерывным или непрерывным, становящимся или устойчивым, это вопрос практики. Число «пять» может быть и конечным числом натурального ряда, и дифференциалом, и интегралом, и производной в зависимости от практики мышления. Само по себе «пять» ровно ничего не значит, или, если выражаться точно, оно ровно ничего не значит познавательно для числа. Всякий смысл есть всегда смысл чего–нибудь, что уже не есть просто самый смысл, но дается самостоятельно, практически. Такое же абстрактно–теоретическое «пять» есть только голый смысл, без того, что им осмысливалось бы. А в таком случае оно уже не есть смысл и никакого познавательного значения для числа не имеет (точно так же, как неизвестно, что за химическое соединение Н ₃С ₈0, если при этом не задана никакая структура).

Идем дальше.

9. Теперь мы отбрасываем в сторону как арифметическое, так и трансфинитное построение числа и сосредоточиваемся исключительно на инфинитезимальном. Что мы тут должны предпринять, чтобы получить конкретные результаты? Конкретность требует ясных разграничений и четких переходов между разграниченными элементами. Число, как первейшее такое разграничение, является, согласно предыдущему, как раз таким переходом от одного к другому. Ясно, что и в инфинитезимальной области первичное различение должно быть именно таково: одно (бытие, «нечто», «это», акт полагания, изолированное и простое утверждение), становление (переход) и ставшее (исчерпавшее себя и первичное одно и потому остановившееся, завершившееся одно). Здесь также только практика может решить, когда и где применить ту или другую категорию и каково различие возникающих здесь инфинитезимальных чисел.

Именно соответственно этим трем категориям мы получаем здесь три основных инфинитезимальных понятия: бесконечно–малое, непрерывность и предел. Тут, разумеется, может идти долгий спор по части терминологии. Однако, по–видимому, не должно вызывать сомнения, что если мы берем становление с точки зрения «бытия», т. е. с точки зрения «нечто», «этого», то тут мы должны получить «становящееся нечто», «становящееся это», некое бытие или что бы то ни было именно в процессе непрерывного становления. Но что же это тогда такое, если не бесконечно–малое, которое как раз и определяется как то, что «может стать» меньше любой заданной величины? Нам кажется, что также ясна и непрерывность, которая есть становление как именно становление, т. е. положенное ^[214], утвержденное становление, и предел, который определяется именно как то, к чему вечно стремится переменная величина, и в котором стремление, следовательно, взято именно с точки зрения ставшего.

Мы опять–таки настаиваем на том, что теоретически совершенно не существует никакой разницы между бесконечно–малым, непрерывностью и пределом, ибо теоретический и смысловой состав этих категорий совершенно один и тот же. И только практика может решить вопрос, на что тут можно и нужно обратить внимание, какую категорию акцентировать, подчеркивать, класть в основу и какую отодвигать, брать только в виде фона, допускать только как материал для осмысления другими категориями. Словом, эти категории тоже изомерны.

Говорится: бесконечно–малое есть то, что может стать меньше любой заданной величины, или что имеет своим пределом нуль. А что такое предел? Предел для переменной величины есть то, разница между чем и переменной величиной может стать меньше любой величины, или, что то же, стремится к нулю. А что такое непрерывность, напр. непрерывная функция? Функция непрерывна в данной точке тогда, когда бесконечно мало ее приращение в случае бесконечной малости приращения ее аргумента. Вот три определения. По своему категориальному составу это совершенно одно и то же определение: везде тут 1) то, что стремится к пределу, 2) предел, к которому происходит стремление, и 3) самое стремление. В первой категории на первом плане то, что стремится, но тут же указано и на самое стремление, и на предел этого стремления. Во второй категории подчеркнуто то, куда стремление, но тут же сказано и о том, что именно стремится, и о самом стремлении. И наконец, в третьей категории подчеркнуто самое стремление (или, точнее, соотношение двух стремлений, поскольку определялась непрерывная функция), но тут же сказано и о бесконечно–малом, т. е. о нулевом пределе, не говоря уже о том, что стремится тут именно аргумент и функция, т. е. нечто. Следовательно, основное и существенное содержание понятий бесконечно–малого, непрерывности и предела—одно и то же. Не то, что эти понятия только предполагают одно другое, но они просто тождественны по содержанию, и разница тут только в порядке и форме комбинации одних и тех же категорий, т. е. разница тут только, следовательно, структурная. Только практика может решить, где тут бесконечно–малое, где предел и где чистая непрерывность.

10. Только после всех этих разграничений и различений мы можем судить о месте дифференциала, производной и интеграла на фоне общелогической теории числа.

Разумеется, поскольку мы вовсе не задаемся тут целью дать логику математического анализа как системы, а интересуемся только некоторыми его категориями в применении к логике, мы не будем подробно анализировать все эти три, только что полученные нами категории – бесконечно–малого, непрерывности и предела, а сосредоточимся только на последней.

Мы берем инфинитезимальную категорию предела и смотрим на нее теми же самыми расчленяющими глазами, какими смотрели и на число вообще, и на его инфинитезимальный тип. Тут мы тоже расчленим 1) «то, что», 2) «то, как» и 3) «то, куда», т. е. «нечто» (бытие), становление и ставшее.

Будем говорить о пределе (а всякий предел уже есть соединение того, что стремится к пределу, с самим этим стремлением, т. е. синтез конечного и бесконечного) и будем его рассматривать, считать как «то, что стремится к пределу». Как предел, это есть нечто устойчивое и, в частности, конечное. Однако в то же время это не есть конечное в абсолютном смысле, но' то, что само вовлечено в стихию непрерывного и бесконечного становления. Это дифференциал, который как таковой есть переменная величина, но который в основе все же есть синтез конечного и бесконечного, и синтез – типа предела, поскольку в его основе лежит производная (а она всегда есть предел).

Далее, продолжаем говорить о пределе. Но на этот раз пусть наш предел будет не тем, что еще только стремится к своему пределу, но самим этим стремлением, или становлением. Это есть производная, которая есть прежде всего предел; но это не просто предел, предполагающий соответствующее становление, а предел отношения двух становлений, т. е. такой предел, который предполагает рассмотрение одного становления с точки зрения другого становления, т. е. основан на становлении становления, т. е. рассматривает становление именно как становление. Совершенно ясно, что в ряду инфинитезимальных категорий предельность тут дана с сугубым выдвиганием на первый план именно становления. Производная в логическом смысле есть именно метод становления дифференциала некоторым новым пределом, который и есть интеграл.

Интеграл тоже есть прежде всего предел, как и дифференциал и производная, т. е. одинаково с ними синтез конечного и бесконечного. Однако из трех основных категорий в нем подчеркнуто не то, что становится, и не самое становление, но ставшее, то, чем стало становящееся, исчерпавши всю свою бесконечность и тем дойдя до своего предела.

Мы и тут настаиваем на полном существенном тождестве дифференциала, производной и интеграла. И только практика решает, что тут надо выдвинуть из трех моментов, одинаково данных во всех трех случаях, то ли, что стремится к пределу, самое ли стремление или то, куда идет это стремление, или его предел. Все дело, следовательно, в структуре этих понятий или, точнее, в разных структурах одного и того же понятия.

Можно сказать еще и так, как мы сказали, выставивши метрическую точку зрения на инфинитезимальное число. Можно сказать, что различие дифференциала, производной и интеграла зависит от того, чем мы будем их измерять, от единицы измерения. Это есть только другой способ для выражения принципа практики. Мы можем измерять общее инфинитезимальное число, взятое как предел, при помощи отдельных «единиц». Мы можем взять самую эту операцию «счета». И мы можем взять результат, то, что получается после такого инфинитезимального счета наших инфинитезималь–ных единиц. Из общего инфинитезимального числа, взятого по типу предела, получаются три указанные выше категории—дифференциала, производной и интеграла.

11. Сделаем сводку всего нашего анализа инфинитезимальных категорий на фоне общего учения о числе, и мы убедимся, как сложно здесь сплетение логических точек зрения, руководимое практикой, и как глубоки те простейшие и элементарнейшие понятия, которые дает математический анализ на первых же страницах своих учебников. Вот эта сводка.

А. а) То, что становится чем–то.

б) То, чем становится нечто.

в) Становление чего–то чем–то.

Б. I. Арифметическое число.

II. Трансфинитное число.

III. Инфинитезимальное число.

1. Бесконечно–малое.

2. Непрерывность.

3. Предел.

а) Дифференциал.

б) Производная.

в) Интеграл.

Таким образом, каждая из этих изученных нами категорий– дифференциала, производной и интеграла—состоит по крайней мере из пяти разных пластов.

1) Прежде всего, в основе всего и в качестве наиболее абстрактной наметки залегает общекатегориальный слой первого логического расчленения вообще: мы тут имеем самое первое полагание бытия, которое тут же стремится к другому полаганию, т. е. становящееся, становление и ставшее в их целокупной данности и вза–имоотраженности.

2) Далее, эта общекатегориальная структура выступает в числовом виде, т. е. с отвлечением от чистой качественности, и только в виде самих актов полагания с невниманием к тому, что именно полагается. В этом общечисловом слое мы различаем три разных типа.

3) Общечисловая структура выступает далее в виде инфините–зимальной: все числовые категории погружаются в стихию чистого и безраздельного становления.

4) Из этого последнего слоя образуется еще новый: под действием принципа предела. Тут и залегают изучаемые нами категории дифференциала, производной и интеграла.

5) Эти последние категории выступают раздельно и самостоятельно.

Это логическое раскрытие инфинитезимальных категорий есть не что иное, как перевод на логический язык того, что говорится в математике. Возьмем, напр., интеграл. Интеграл есть предел суммы. Это значит, что, во–первых, это есть некоторое предельное понятие вообще. Как раз это имеется нами в виду в четвертом пункте, где интеграл рассмотрен нами под принципом предела. И так как не всякий предел есть интегральный предел, то для отражения того, что это именно предел суммы, мы, во–вторых, ввели различение с дифференциалом и производной: интеграл есть предел как ставшее, в то время как дифференциал есть то, что только еще становится пределом, а производная – метод этого становления. Это наш пятый пункт. Таким образом, наши четвертый и пятый пункты можно отбросить только в том нелепом случае, если интеграл, во–первых, не считать пределом и, во–вторых, не считать пределом суммы.

Далее, существует не только предел суммы как результат некоего специфического становления, но и числовое становление вообще. Раз переменная величина может бесконечными способами стремиться к своему пределу, то, значит, существует и становление вообще. Интеграл как предел суммы есть только частный случай общего учения о бесконечно–малом, непрерывно стремящемся к пределу. Отсюда наш третий – общеинфинитезимальный слой интеграла. Как можно было бы отвергать его? Это значило бы, что интеграл как предел суммы есть единственная инфинитезимальная категория и что нет никакой общеинфинитезимальной области, куда входили бы и другие пределы, другие способы стремления к пределу.

Далее, инфинитезимальная область, как построенная согласно принципу числового становления, уже тем самым предполагает, что существуют и другие способы числового построения. И опять–таки только при том бессмысленном предположении, что, кроме инфини–тезимального построения числовой области, не существует никакого другого построения, можно было бы отвергать наш второй слой в изучаемых категориях. Раз есть инфинитезимальная структура, значит, есть и общечисловая структура. И она очень ощутительна, ибо только она отличает число от понятия. Число «равнодушно» к своему качественному заполнению. Оно предполагает только самые акты реальности без внимания к тому, что такое сама эта реальность. Система таких актов реальности и образует число, общечисловую структуру бытия и мышления. И это наш второй пункт. Отрицание его есть утверждение того, что, кроме инфинитезимальной числовой структуры, нет никакой другой числовой структуры и что она не есть только вид этой общечисловой структуры.

Наконец, невозможно отрицать и того, что сама общечисловая структура интеграла тоже есть только вид некоей еще более общей смысловой структуры. Отрицать это – значит утверждать, что всякое бытие только и есть числовое бытие и что всякое мышление только и есть числовое мышление. Чтобы избежать этой нелепости, приходится в глубине общечисловой структуры интеграла видеть еще общелогическую, общекатегориальную структуру. И она, оказывается, есть не что иное, как первичное логическое определение вообще, когда мы находим самое общее «нечто» в его «переходе» в «иное». Знать, что именно эта общелогическая структура лежит в основе интеграла, – это очень важно. Это возводит категорию интеграла к первичным логическим установкам вообще и делает его глубочайше укорененным и в мышлении, и в бытии. Это наш первый пункт.

Такие же—соответственно – пять слоев нетрудно наметить и в понятии производной, и в понятии дифференциала. В пятом слое они резко отличаются друг от друга. В четвертом – они уже неразличимы, но зато все вместе резко отличны от инфинитезимальной области в ее общности, будучи ее специфическим выражением. В третьем—они слиты с инфинитезимальной областью вообще, но зато все вместе резко отличаются от арифметической и трансфинитной области. Во втором—они сливаются с этими областями в одно неразличимое целое, но зато оказываются все вместе резко отличными от сферы общекатегориальной. И наконец, в первом своем слое они совпадают с общекатегориальной областью, с некоторыми первичными логическими категориями, дальше которых идти уже некуда. Дальше вообще логика (не говоря уже о математике) кончается и начинается само бытие, отражением которого и являются эти первичные логические установки.

12. Весь этот логический анализ трех категорий—дифференциала, производной и интеграла—есть, повторяем, только попытка, и попытка, далекая от всяких абсолютных претензий. Можно и должно возражать против нее по ее содержанию. Однако в логике недопустимо одно возражение, которое тем не менее обывателю приходит прежде всего на ум: «Это очень сложно! Это схоластика!» Дело в том, что простота и ясность жизненная, к сожалению, очень мало соответствуют простоте и ясности научной и логической. Казалось бы, какая это «простая и ясная» вещь – кривизна линии, кто же ее не понимает? Однако это обывательское представление о кривизне для математики и логики—только смутное понятие. И кому кажется, что тут и объяснять нечего, пусть он развернет учебник дифференциального исчисления и попробует разобраться в главе о кривизне. Без хорошей математической подготовки за курс средней школы он, можно сказать наперед, ровно ничего не поймет в этой главе. А кто ж не знает того, что такое кривизна! Все видели, как висит веревка, привязанная за оба конца. И тут тоже найдется немало таких противников схоластики, которые забракуют всякое расчленение такого «простого и ясного» факта. Но такое отношение к «простым и ясным» фактам есть реакционное мракобесие против науки, ибо ясно, что никакая житейская простота и ясность фактов не могут удержать математику от нового—научного—их разъяснения. И то, что эта прикрепленная в обоих концах веревка располагается по цепной линии, связанной с гиперболическим косинусом, это обстоятельство есть то, за что нужно только благодарить математиков и механиков.

Поэтому как бы «просты» ни были сами по себе эти операции дифференцирования и интегрирования (с ними знакомится уже студент–первокурсник), это нисколько не мешает их логической сложности. Можно даже выставить такое общее наблюдение: чем проще и яснее жизненное явление, тем труднее бывает его логически описать. Чего проще красный, синий, зеленый цвет! Но дать логическое их понятие очень трудно.

Однако нужно, конечно, согласиться с тем, что очень плоха та логика, которая только и остается в пределах сложных конструкций и не ведет к познанию жизненной простоты соответствующего явления. Наша логика и исходит из этой простоты, и кончает ею, оставляя за собой право пользоваться разными сложными конструкциями на пути от этой первой и наивной простоты к простоте последней и мудрой. Мы исходим из того, что мышление есть отражение материи, и на этом строим всю логику. Теперь, после разнообразных логических построений, мы опять приходим к действительности, но приходим обогащенные, уже вооруженные точными понятиями одной из точнейших человеческих наук. Мы приходим к жизненно–логическому значению основных категорий математического анализа.

13. ТРИ АСПЕКТА ТЕОРИИ БЕСКОНЕЧНО–МАЛЫХ В ПРИМЕНЕНИИ К ЛОГИКЕ

Если бросить общий взгляд на пройденный нами путь, то с точки зрения главнейших направлений в логике может быть справедливо указано, что у нас кое–что остается весьма слабо расчлененным, и прежде всего что у нас в отчетливой форме не проведено различение логики объемной, логики содержания и логики структурной. Несомненно, в нашей характеристике метода бесконечно–малых для логики мы использовали все эти три исторические системы логики. Однако до сих пор у нас не было повода производить в тщательной форме это различение и мы нерасч–лененно пользовались всеми тремя типами логики. Сейчас не мешает дать это в более точном и критическом освещении.

1. Несомненно, во всех наших рассуждениях о методе бесконечно–малых в логике мы стояли преимущественно на объемной точке зрения. Объясняется это тем, что к такой точке зрения математика особенно склонна; и это для нее вполне естественно ввиду количественной природы самой этой науки. Когда математики говорят о пределе и о стремлении к нему, то, конечно, они имеют в виду исключительно величины. К пределу приближается не что иное, как именно переменная величина. Наращение функции и аргумента мыслится здесь также в виде наращения величины. Это и заставило нас говорить прежде всего о родах и видах, когда мы захотели связать инфинитезимальные категории с логическими. Понятие у нас, вступая в становление, дробится, делится, и, конечно, делится прежде всего объемно. Производная есть принцип деления понятия, и деления прежде всего объемного: в результате возникают именно видовые различия и виды. Интегрирование ведет нас к общности, но опять–таки главным образом к родовой общности. Почти везде мы так и говорим: интеграл—родовая общность, производный принцип деления рода на виды, дифференциал – видовое различие.

Эта объемная интерпретация метода бесконечно–малых сама собой напрашивается при сравнении математического анализа с логикой; и, повторяем, она есть самый простой и самый естественный результат этого сравнения, поскольку математика есть не что иное, как именно чисто количественная дисциплина. Невозможно спорить против права объемной логики на существование; и то, что мы ею воспользовались при переводе инфинитезимальных категорий на язык логики, это само по себе не только не должно вызывать никаких сомнений, но во всех отношениях может только приветствоваться.

2. Однако, отдавши всяческую дань объемной логике, мы ни в каком случае не можем считать этот объемный аспект единственным и исключительным. В истории нашей науки было еще одно сильное направление – это т. н. логика содержания, правда, несравненно менее популярная, чем логика объемная, но, собственно говоря, менее популярная только по недоразумению, ибо ее логические ресурсы нисколько не менее значительны, а во многом даже заслуживают предпочтения. Применение метода бесконечно–малых в логике в целях построения логики содержания поэтому заслуживает всяческого внимания, и мы его кое–где проводили в предыдущем рассуждении, хотя и несравненно меньше, чем того оно заслуживало бы.

Под логикой содержания, конкретно говоря, надо подразумевать логику не объемов понятия, а признаков понятия. Если подойти к понятию с точки зрения его признаков и ограничить операции над ним операциями с его признаками, то получается ряд интересных построений, вступающих в резкий антагонизм с построениями объемными. Так, напр., суждение с точки зрения логики содержания приходится принимать не в виде включения подлежащего в объем сказуемого, но в виде включения сказуемого в содержание подлежащего. «Снег бел» – это значит не то, что «снег» включается в число белых предметов, но то, что признак белизны включается в число признаков «снега». С точки зрения объемной логики нельзя делать того заключения по четвертой фигуре силлогизма, которое было бы наиболее естественным: «Алмаз—углерод, углерод горюч; следовательно, алмаз горюч», в то время как с точки зрения логики содержания этот силлогизм вполне правилен, поскольку здесь мы находим только последовательную цепь признаков, вносимых в первоначальное понятие «алмаз». И т. д. и т. д. Словом, везде тут идет речь о возникновении и соединении признаков, об образовании ими понятия и о взаимоотношении понятий, рассматриваемых только лишь как совокупность признаков.

Допускает ли такая признаковая интерпретация понятия применение метода бесконечно–малых? Обязательно допускает, и даже требует. И мы его провели выше в одном из самых центральных мест нашего исследования. Сейчас только надо это тщательно отграничить от объемной интерпретации и не давать здесь такого нерасчлененного изложения, которое получалось у нас выше (ввиду преждевременности этого различения для предыдущего этапа нашего исследования).

Что такое интеграл с этой новой точки зрения «логики содержания»? Ясно, это уже не родовое понятие как предел обобщения видов, но понятие как предел суммы его признаков. Признаки понятия с этой точки зрения должны мыслиться наподобие тех «элементарных прямоугольников», из которых математики конструируют площадь криволинейной трапеции: признаки эти должны постепенно сужаться, а число их должно постепенно расти; и, когда каждый из них станет бесконечно малым, а общее число их станет бесконечно большим, тогда, суммируя их, мы и переходим к пределу, который есть искомый нами интеграл, т. е. понятие как предел суммы признаков, как предельная совокупность признаков.

Чем окажется при такой точке зрения производная? Как и в объемной логике, она здесь есть только принцип становления понятия, или принцип его развертывания; если угодно, это есть принцип, или основание, его деления. Однако речь тут пойдет уже не об объемном делении, т. е. не о таком, откуда мы получили бы виды данного понятия. Развертывание здесь должно мыслиться содержательно; это есть основание деления, или становления, по содержанию, становления признакового. Мы ведь уже встречались с тем фактом, что одно и то же понятие может иметь разные системы существенных признаков в зависимости от той или иной (объективно обоснованной) точки зрения. Но даже если бы данное понятие обладало и единственной системой существенных признаков, все равно эта последняя определялась бы своим вполне определенным признаком. Пусть вода определяется как Н ₂0. Это значит, что в основу ее определения положен принцип химического соединения. Пусть она определяется с точки зрения температуры своего кипения и замерзания. Это есть определение с физической точки зрения. И т. д. Ясно, следовательно, что всегда существует тот или иной принцип развертывания понятия по его содержанию, основание подбора и разделения его признаков. Очевидно, если в объемной логике основание деления понятия мы соединяли с производной математического анализа, то для «логики содержания» производной понятия является тоже принцип развертывания этого понятия, но развертывания содержательного. Это принцип подбора и разделения признаков данного понятия.

Но тогда должно стать ясным и что такое дифференциал понятия в «логике содержания». Если в объемной логике это есть видовое различие, то здесь, очевидно, это есть каждый отдельный признак понятия. Как там все виды подчиняются одному принципу деления понятия, так здесь все признаки понятия подчиняются своему единому принципу. И если принцип этот есть предел, а то, что ему подчинено, непрерывно и бесконечно стремится к этому пределу, то признаки тут тоже есть нечто текучее, сплошно стремящееся, так что один признак, несомненно, переходит в другой; и надо его закрепить в этой его бесконечно малой текучести, чтобы о нем можно было говорить как о чем–то определенном. Это и есть дифференциал понятия, определяемого в «логике содержания» через совокупность признаков. Это отдельный признак, данный со всей той бесконечной текучестью, которая нужна ему для стремления к пределу, и со всей той конечной определенностью, без которой он вообще не мог бы быть чем–нибудь. Это и есть в данном случае дифференциал понятия.