Текст книги "Хаос и структура"

Автор книги: Алексей Лосев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 20 (всего у книги 62 страниц)

с) Необходимо также заметить, что здесь мы, как и соответственно выше, в § 2с, в отношении геометрии пришли только к самому общему понятию меры. Собственно говоря, если строго придерживаться рамок нашей общей категории становления, которую мы сейчас изучаем, мы можем утверждать сейчас только то, что существует измеримость множества вообще и больше ничего. Представление множества с точки зрения едино–раздельности, когда мы имеем в качестве самой сложной категории только категорию типа, было совершенно лишено всякого элемента измеримости, или, иначе, мера чистого и основного множества (счетного множества) – нуль. Теперь же мы приходим к тому выводу, что измеримость может быть и не только нулевой, – только об этом и говорит нам категория становления. Если же мы захотели бы исследовать разные типы измеримости, то это было бы равносильно исследованию разных типов становления, т. е. тут нужен был бы выход за пределы самой категории становления. Но это в полной мере совершится только после перехода нашего становления в ставшее и далее, наконец, в выразительную форму.

7. Наконец, бросим взгляд на теорию вероятностей в смысле того, как наличная в ней сфера становления испытывает на себе воздействие аксиом едино–раздельности.

Становление, взятое само по себе, есть процесс, последовательность. Когда мы оформляли его при помощи арифметических действий, мы получали ту или иную последовательность чисел. Когда это оформление совершалось у нас при помощи геометрических построений или теоретико–множественных операций, мы получали последовательность тех или иных вариаций пространства или множеств. В теории вероятностей мы тоже должны получить такую последовательность, которая бы свидетельствовала о размеренности ее с точки зрения тех или иных теоретико–вероятностных операций. Процессуаль–ность вероятностей должна свидетельствовать здесь о некоем постоянном законе, неизменном в данной процессуальное. В арифметической последовательности неизменно то или иное арифметическое действие (напр., умножение на какое–нибудь число в неизменной ^[61]прогрессии); в геометрической последовательности преобразований он имел также тот или иной инвариант. 1де же этот неизменный закон тех или иных операций в последовательности вероятностной?

Здесь мы могли бы говорить по–разному. Дело в том, что всю эту сферу «взаимодействия аксиом едино–раздельности и аксиом непрерывности» можно понимать настолько широко, что ею покроется и вся категория наличного бытия, к которой мы еще не перешли. Этого расширения, однако, мы намеренно не производим, так как в указанной сфере «взаимодействия» есть свой вполне самостоятельный диалектический момент. С этой точки зрения момент индивидуальности мы еще не будем выделять в самостоятельный пункт, как это случится в категории наличного бытия, а будем брать его в его максимальной слитности с самой процессуальностью. Таким <…> теории вероятностей является, прежде всего, т. н. закон больших чисел. Его основная идея заключается в том, что с увеличением числа случайных событий, с которым связан данный факт, устанавливается и вероятность факта, сколь угодно близкая к достоверности. Более того, этот закон формулируется с помощью понятия математического ожидания. Но мы не будем входить в этот вопрос, равно как и в анализ знаменитого неравенства Чебышева и его следствий.

Непосредственно видно, что принцип закона больших чисел иначе конструируется, чем выдвинутые выше математические факты в аналитической сфере «взаимодействия». Но остается самое общее сходство – категория становления в ее сформированное™ при помощи категорий едино–раздельности. Едино–раздельная последовательность массы случайных фактов ведет к установлению специфического процесса, а именно становящегося перехода вероятности в достоверность. В типах геометрии, рассмотренных выше в п[унктах] 2—4, инвариантность дана в процессуальном ряду сразу, здесь же она – в виде достоверности – только еще устанавливается. Тем не менее и здесь поток самого становления вероятности обусловлен определенной едино–раздельной системой (ростом количества «случаев»); и общее место закона больших чисел, несмотря на отдаленность с учением о преобразованиях в арифметике и геометрии, в основе все же сохраняет с ним единство: это становление, рассмотренное с точки зрения нестановящегося.

Понятно также и то, что с законом больших чисел впервые появляется возможность реального измерения вероятностной области вообще, в связи со статистическими вероятностями, средними величинами, дисперсией и пр.

8. а) Остается сделать одно общее замечание о всей рассматриваемой в последних двух π [унктах ] сфере «взаимодействия», и—мы совсем покинем категорию становления. А именно, если едино–раздельносгь в свете становления еще рисует пока только саму же едино–раздель–ность или само становление, то относительно становления в свете едино–раздельности может возникнуть вопрос: не есть ли это попросту ставшее? Ведь едино–раздельность вносит в становление некоторую запруду и лишает его характера абсолютной текучести. Не есть ли это само ставшее и не перешли ли мы здесь уже за пределы аксиом становления?

Нет, мы еще не перешли к ставшему в собственном смысле, хотя при более суммарном изложении эти тонкости и не имело бы смысла проводить. Ставшее есть остановившееся ставшее, а у нас становление еще не остановилось. Это значит, что мы еще не можем сравнивать результаты процессов становления между собою, но должны находиться внутри становления. Устойчивые моменты, включаемые в становление едино–раздельной сферой, не касаются самого становления вообще, самого принципа становления, но только содержания этого становления. Поэтому в арифметике мы получили возможность модифицировать и комбинировать действия, превращая их в ге или иные преобразования, но мы еще [на] этой стадии не смогли сравнить результаты действий с точки зрения действий как таковых, с точки зрения принципа действий. Мы, напр., еще не знаем коммутативность сложения или умножения. Нет сомнения, что применение операции с невыясненным законом коммутативности есть нечто весьма недостаточное и незрелое. Но это значит только то, что одна категория становления не может обеспечить полноты идеи арифметической операции и что необходимо привлечение дальнейшего. Также и полученные нами типы геометрии предполагают бесконечное вариирование одних элементов и инвариантность других, но ясно, что ограничение этого вариирования и превращение его из становления в ставшее должно привести еще к новым построениям, которые мы и получаем в связи с категорией конгруэнтности. Конгруэнтность превратит и полученные нами отвлеченные инвариантные элементы в структурные принципы, так что не этот инвариант будет рассматриваться на фоне становления (напр., как аффинность рассматривается на фоне параллельных преобразований), но он будет рассматриваться сам по себе в сравнении с другими такими же геометрическими фактами, в результате чего мы сможем накладывать их один на другой и судить об их конгруэнтности, подобии и пр. Все это возможно только потому, что геометрическая фигура превратится тут у нас в ставшее, в бытие наличное.

К этому мы сейчас и обратимся.

b) Для целостности диалектической картины, однако, мы приведем в заключение ту нашу универсальную схематику в рассматриваемой области, которую мы должны были бы привести с самого начала, но которую не приводим ради избежания различных нагромождений, заменивши ее сферой «взаимодействия» двух рядов <…>. Именно, в отношении всей сферы становления необходимо различать наши пять основных диалектических ступеней. То, что мы выше (§ [59]) изобразили как непрерывность вообще, это будет перво–принципом аксиоматики становления. То, что выше мы формулировали как аксиому едино–раздельности, рассмотренную в свете аксиом становления, есть принцип аксиоматики становления. Само становление в свете едино–раздельности необходимо оказывается становлением этой аксиоматики становления. В качестве ставшего, если брать арифметику, очевидно, мы должны выдвинуть разные преобразования, равно как и под выразительной формой ^[62]. Ведь арифметическое становление вообще есть только арифметическая операция, она есть именно принцип становления, и, если перво–принцип арифметического становления есть непрерывность, все остальное, – т. е. и становление принципа, и его ставшее, и его выразительная форма – есть та или иная последовательность операций, или преобразований. Соответственно, в геометрии ^[63]после непрерывности как перво–принципа и после геометрического построения как принципа мы имеем только разные типы геометрических структур. Становление, ставшее и выразительная форма этих структурных построений дает нам в этой развитой установке для становления – топологию, проективную и аффинную геометрию, для ставшего—геометрию подобных преобразований и только для выразительной формы – полную метрическую геометрию (хотя все еще без деталей, которые придут позже). Все эти виды геометрий в переводе на язык арифметики и есть не что иное, как та или иная последовательность преобразований. Наконец, ту же последовательность операций мы должны были бы проводить и в теоретико–множественной, и в теоретико–вероятностной области. Но мы избежали этих слишком (…) для аксиоматики деталей, введя просто сферу взаимодействия аксиом едино–раздельности и становления и приведя для теоретико–множественной последовательности указание на измеримость, а для теоретико–вероятностной – указание на закон больших чисел.

d) АКСИОМА СТАВШЕГО ЧИСЛА (ИЛИ КОНГРУЭНТНОСТИ) § 64. Принцип ставшего числового бытия как принцип конгруэнтности.

Если мы вспомним, что выше говорилось о категории ставшего, или, что то же, о категории «наличного бытия» (§ 21), то применение ее в области аксиоматики влечет за собою очень важное построение, которое гоже еще пе нашло в математике и в математической философии настоящего расчленения.

1. Что становление требует ставшего, что эти категории одна другую предполагают, об этом не будем долго разговаривать. Все сомнения, которые возможны в этом вопросе, рушатся уже от простейшей установки: если есть становление, то есть и ставшее. Ибо становиться может только нечто. Но это нечто не то, которое было до становления, и потому если мы становление противопоставим чисто идеальной структуре, бывшей еще до становления, то тем самым мы вернемся назад, и ни на шаг диалектический процесс от этого вперед не продвинется, хотя идеальное и противостоит становлению как бытию вне–идеальному, алогическому. Следовательно, дальнейшее движение мысли получится только тогда, когда мы становлению противопоставим такое нечто, которое хотя и не будет самим становлением, но как–то его в себя вместит как подчиненный момент. Должно возникнуть такое нестановящееся, которое вместило в себя всю стихию становления и которое уже не просто идеально неподвижно, но неподвижно в смысле реальном, неподвижно в смысле становления, в смысле результата становления. А это и есть ставшее.

Ставшее – то, что стало, т. е. остановилось; следовательно, оно – неподвижно. Однако эта неподвижность в отличие от идеально–смысловой неподвижности есть неподвижность как результат становления. Поэтому ставшее есть синтез идеальной неподвижности и вне–идеального становления. Другими словами, в ставшем мы различаем то, что стало после становления, и то, что было до становления, но оказалось втянутым в его алогический процесс. Эти два момента тут и отождествляются. Сначала мы имеем просто идеальную структуру, взятую как такая. Потом она вовлекается в стихию становления. Мы не теряем ее из глаз; и, через какие бы этапы становления она ни проходила, мы видим все ту же самую идеальную структуру, узнаем ее, несмотря на ее самоотчуждение в инобытийной алогичности. Разумеется, с ней не может не происходить тех или иных изменений, потому что иначе становление было бы пустой и незначащей категорией и не для чего было бы и вводить ее в диалектику. Значит, идеальная структура, вовлеченная в процесс становления и остающаяся самой собою (ибо мы ее везде узнаем), в то же время сплошь меняется, перекрывается новым слоем. И вот, допустим, она остановилась, ее становление закончилось. И что же? Оказывается, и в этом покойном состоянии мы все еще видим не что иное, как именно ее же, узнаем ее, фиксируем ее так же, как и до становления; но тут же мы видим и то новое, что наросло на ней, фиксируем результат пребывания в становлении, рассматриваем то инобытие, которым она перекрылась и с которым она теперь отождествилась.

И она обязательно отождествилась сама с собой, со своим наросшим инобытием. Если бы идеальное не отождествлялось с реальным в процессе становления, то в реальном становлении мы не узнали бы становящегося идеального. И получилось бы, что идеальное вовсе не становится, а пребывает в своей идеальной сфере как абсолютно изолированная неподвижность; о реальном же становящемся вовсе нельзя было бы сказать, что оно есть нечто (так как «нечто» само по себе есть как раз нестановящийся идеальный предмет), т. е. о реальном становящемся совсем ничего нельзя было бы сказать. Все, сказанное о реальном становлении, уже есть нечто, и нечто – не становится, оно есть просто смысл и больше ничего. Итак, идеальное в процессе своего становления отождествляется с реальным. Когда же процесс окончился и становление превратилось в ставшее, то и в ставшем мы находим 1) прежнее абсолютно то же самое идеальное, 2) результат становящегося процесса в виде некоего инобытийного перекрытия первоначального идеального и 3) отождествление того и другого в некую цельную и неделимую предметность.

2. Однако и эта картина отождествления еще не полна. Когда строилась диалектика идеального, то идеальное и было самим бытием. Идеальное, рассматриваемое само по себе, не нуждалось ни в каком носительстве, ни в какой иноприродной к себе субстанции. Идеальное и есть само для себя субстанция. Но когда зашла речь о становлении, идеальное уже потеряло свою собственную субстанцию. Оно ведь стало осуществляться и воплощаться заново, и его субстанцией оказалось не оно же само, но уже становящееся инобытие, сама стихия становления. Идеальное теперь оказывается несомым при помощи реального; реальное оказывается его новой субстанцией и телом; ведущим оказалось реальное, становящееся инобытие, а идеальное – только пассивно плывущим по этим неугомонным волнам становления.

Следовательно, в ставшем мыслится два плана. Один – это то реальное, алогическое, инобытийное, что и есть самая субстанция становления. Мы не ошибемся, если назовем этот план протяжением, не вкладывая в этот термин только одно геометрическое содержание. Ведь протяженность и есть алогически (т. е. нерасчленен–но) ставшее, результат алогического становления. Еще неизвестно, что именно стало, т. е. еще нет никакой идеальной структуры, которая именно становилась, а есть только самая стихия становления, достигшая ступени ставшего, т. е. остановившаяся. Другой план ставшего – это то идеальное, смысловое, расчлененное, что было вовлечено в процесс становления и что, несмотря ни на какие инобытийно–становящиеся судьбы, мы все же узнали в окончательном результате становления. Это идеальное оказалось тем же самым, которое было и до становления. Новая субстанция ничего в нем не повредила. Оно осталось тем же. Становление, правда, много раз переносило его с места на место, но оно везде и постоянно, несмотря на инобытийную вовлеченность, оказывается самим собою, без всяких изменений.

3. Эта отождествленность идеального самого по себе с идеальным в разные моменты его инобытийного и реального становления, или отождествление идеального с самим собою в разные моменты его реального протяжения, и есть его конгруэнтность. Когда в геометрии утверждается, что при равенстве двух соответствующих сторон треугольников и угла между этими сторонами самые треугольники конгруэнтны, то это значит только то, что треугольник везде остается самим собою, что его структура совершенно не зависит от того «места», где мы ее мыслили осуществленной. Пусть мы имеем какие–нибудь две пересекающиеся прямые и, следовательно, углы между ними. Покамест не поднимался вопрос о ставшем, т. е. реальном протяжении, мы могли оперировать с этим углом как угодно. Неудивительно, что в чистой мысли он, удаленный от всего реального и пребывающий в смысловой изоляции, ровно никак не меняется и был просто самим собою и больше ничего. Совсем другое дело, однако, если мы захотим мыслить его реально протяженным. Пусть мы берем для этого какую–нибудь произвольную прямую и пусть строим на ней наш первоначальный, никуда не двигавшийся, идеальный угол. Вот мы начертили из какой–нибудь точки этой прямой произвольную дугу и на ней откладываем расстояние, равное величине первоначального угла. Получит ли линия, соединяющая отметку этого расстояния с центром нашей дуги, однозначное значение и образуется ли таким образом угол, равный нашему первоначальному углу? Если пространство везде одинаково и не деформирует проводимых на нем линий и вообще фигур и если самые фигуры таковы, что ничего не теряют от своего пространственного передвижения, то мы можем поручиться, что новый угол будет абсолютно равен первоначальному, т. е., говоря вообще, что обе фигуры, первоначальная (как первообраз) и вновь построенная на новом участке пространства (как отображение), будут конгруэнтны.

Отсюда перво–принцип ставшего числового бытия мы можем формулировать так: всякое число так или иначе определено с точки зрения конгруэнтности. Оно, конечно, может и совсем исключать момент конгруэнтности. Однако это возможно только тогда, когда известно, что такое конгруэнтность. Если мы, например, строим геометрию без аксиомы конгруэнтности, то это не значит, что конгруэнтности нет, но это значит, что конгруэнтность есть и она осуществима и что только в данном случае мы от нее воздерживаемся.

§ 65. Аксиома ставшего числового бытия в арифметике.

Теперь перейдем к обзору явлений конгруэнтности с математической точки зрения.

1. Явление числовой конгруэнции легче всего демонстрируется на т. н. коммутативном законе a + b = b + a. Когда мы складываем два числа, то оказывается, что сумма совершенно не зависит от порядка слагаемых. Что это значит и почему это возможно? Это значит, что для слагаемого совершенно не важно то место, где оно находится. Место это ничего нового в количественную характеристику слагаемого не привносит. Однако это не значит, что место само по себе есть полное ничто и никакой роли в сложении не играет. Наоборот, самый процесс сложения возможен только в силу наличности вообще разных «мест» для слагаемого. «Место» есть тот инобы–тийный фон, на котором разыгрывается вся картина данного арифметического действия. Без него не было бы и самого сложения. Однако единственная функция этого инобытийного фона заключается только в гипостазирова–нии слагаемых, и тут совершенно отсутствуют всякие функции какого бы то ни было количественного воздействия на гипостазированные числа. Кроме тог–о, инобытие здесь вполне нейтрально к порядку этих слагаемых и форме их взаиморасположения. Это значит, что идеально–числовая структура совершенно не зависит от своего инобытийного становления. Мы ее можем полагать при любой форме этого последнего, и она в идеальном смысле, т. е. в смысле своего отвлеченного количества, совершенно никак не меняется. Она всегда тождественна сама с собою, т. е. она всегда сама с собою конгруэнтна.

2. Однако здесь мы указали только на коммутативный закон в сложении. Этот «закон счета», как известно, далеко не единственный. Существуют еще ассоциативный и дистрибутивный законы; и кроме того, все эти законы применимы как к операциям сложения, так и к операциям умножения.

а) Вот обычная их арифметическая формулировка.

I. КОММУТАТИВНЫЙ (ПЕРЕМЕСТИТЕЛbНЫЙ) ЗАКОН:

a) в сложении —

a + b = b + a,

b) в умножении —

а · b – b а

II. АССОЦИАТИВНЫЙ (СОЧЕТАТЕЛbНЫЙ) ЗАКОН:

a) в сложении —

a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b,

b) в умножении —

a (b–c) =(а–b) · с = (а · с) – b

III. ДИСТРИБУТИВНЫЙ (РАСПРЕДЕЛИТЕЛbНЫЙ) ЗАКОН В УМНОЖЕНИИ:

a) а · (b + с) = а · b + а · с,

b) (a + b) – c = a–c + b–c

Это обычный вид формулировки, как он дается в арифметике. Не преследуя философских целей, он, конечно, и не может давать нам полной логической ясности и обоснованности, и нас при этом заметно беспокоят вопросы: почему тут эти, а не другие законы, почему тут только сложение и умножение и пр.? Это заставляет, с логической точки зрения, взглянуть на них несколько иначе при всей их непосредственной арифметической очевидности. Арифметически–то они очевидны, но логически они совсем не очевидны.

b) Начнем с конца. Дистрибутивный закон, очевидно, есть частный случай законов сложения – умножения вообще. Если мы имеем произведение а · [d] и если [d] есть не что иное, как некая сумма b + с, то само собой очевидно, что а · (b + с) = а · b + а · с. Отсюда, хотя в нашем случае дистрибутивность умножения используется совсем для других логических целей (не просто для иллюстрации законов самого сложения и вычитания), все же, взятая сама по себе, она вполне доказуема на основании категории только простого сложения и умножения.

Дистрибутивный закон показывает, что совокупность можно распределить между частями другой совокупности так, что это никак не повлияет на общий результат операции с такими совокупностями.

С другой стороны, ассоциативный закон, как легко заметить, есть частный случай коммутативного закона. Если мы знаем, что a + b = b + a, то стоит только представить, что b равняется какой–нибудь сумме с + а, как делается очевидным и ассоциативный закон. В самом деле, если a + b = b + a, то, значит, в смысле объединения с а одинаковым образом ведут себя и отдельные части этого b. Ведь, когда говорится b, не имеется в виду, какое оно, большое или малое, часть чего–нибудь или само дано как целое. Если ему свойственна такая общность, то под этим b можно понимать и с, т. е. одно из слагаемых нашего общего b. А это и значит, что а и с могут свободно обменяться местами без влияния на общую сумму, т. е. обнаруживается действие коммутативного закона. Равным образом и закон a(b–c) = (ab) – c есть тоже лишь логическое следствие того же самого коммутативного закона, стоит только в коммутативном законе один из сомножителей представить как произведение новых сомножителей. Точнее будет сказать, что если в коммутативном законе одна совокупность может быть поставлена на место другой, то по ассоциативному закону одна совокупность может быть поставлена на место элемента другой совокупности.

Но тогда нетрудно уловить и общую схему этих трех законов счета: коммутативный закон требует независимости арифметической операции от перемены порядка различных совокупностей; ассоциативный закон требует независимости от перемены одной совокупности на любой элемент другой; и, наконец, дистрибутивный закон требует равноправия в общей операции двух раздельных совокупностей с равномерным распределением одной из них по всем элементам другой. Все же эти три арифметических закона порождены одной общеарифметической аксиомой: закон конгруэнтности числа есть закон получения его из элементов, различающихся между собою исключительно только своей чисто количественной значимостью и абсолютно тождественных в смысле какого бы то ни было инобытия, какого бы то ни было своего инобытийного положения. Итак, можно дать следующую формулу этой аксиоме.

3. а) Чтобы дать общую и строгую логическую формулу аксиомы ставшего наличного бытия в арифметике, будем рассуждать так. Ставшее есть то, что остановилось. Покамест оно не остановилось, оно было только становлением. Становление, по самому существу своему, неопределенно. Оно идет неизвестно откуда и неизвестно куда. То есть чистый алогизм бытия, в котором, как в таковом, невозможны никакие расчленения. Невозможно применить к нему, например, категорию тождества; и нельзя даже сказать, тождественно ли оно себе самому, ибо оно в каждый момент все разное и разное и его невозможно поймать ни в какой точке; в нем все плывет сплошно. Но вот оно остановилось, т. е. мы перешли к ставшему. Это значит прежде всего, что становление оказалось чем–то, и прежде всего самим собою, оно стало тождественным с самим собою. Ставшее есть тождество становления с самим собою. Но что надо для того, чтобы установить тождество становления с самим собою? Для этого надо вернуться с конечной точки становления к первоначальной; и если оба направления становления окажутся тождественными по своему процессу и по своему результату, то искомое тождество и будет установлено. Итак, ставшее есть не что иное, как тождество направлений становления в смысле их общего результата.

К этому сводятся и указанные выше законы счета. Единственное, что утверждает коммутативный закон, – это тождество направления производства арифметической операции. О разных вариациях этого направления и об их тождестве в смысле результата говорят и другие два закона. Следовательно, мы могли бы сказать так.

Аксиома ставшего наличного бытия в арифметике: арифметический счет имеет своим основанием тождество направлений своего становления. Другими словами, арифметический счет зависит только от количественной характеристики чисел при любом инобытийном воспроизведении. Или: арифметический счет характеризуется законами коммутативным, ассоциативным и дистрибутивным в операциях сложения и умножения.

b) Впрочем, можно дать в кратчайшей и тем не менее превосходной формуле арифметическую интерпретацию конгруэнтности, не прибегая даже к самим законам счета, а только имея их в виду вообще. А именно, что мы, собственно говоря, делаем, когда пишем формулы этих трех законов в п. 2а? Пусть, например, мы высказали a + b = b + a. Что это значит? Это значит, что была некая величина с, которая составлялась из а и b. Мы сложили а и получилось с. Чтобы формулировать на этом основании коммутативный закон, мы должны были (α + b) приравнять к (b + α) на основании равенства того и другого с третьей величиной с. Пусть мы имеем: α+ (6 + c) = (a+b) + c. Чтобы вывести этот ассоциативный закон, мы должны были сначала вычислить левую часть этого равенства, определивши искомую сумму, например, как [d]; затем мы должны были вычислить правую часть и найти сумму для правой части. Только когда в обоих случаях у нас получилось то же самое [d], мы можем сказать, что ассоциативный закон в сложении верен. Так же точно мы поступаем и во всех законах счета, как сложения, так и умножения. Нетрудно заметить, что в глубине этих трех законов лежит одна огромной важности идея и она–то и есть настоящая идея арифметической конгруэнтности, если ее понимать в максимальной общности и отвлеченности, минуя все конкретные формы, в которых она может являться. Эта идея следующая:

две или несколько величин, равные порознь третьей величине, равны между собою.

Тут [все три ] дедуцированных нами закона арифметического счета суть только проявления этой общеарифметической идеи конгруэнции; и они вырастают из нее как из своего глубокого и последнего основания. Эта идея есть и наилучшая арифметическая интерпретация той общедиалектической аксиомы ставшего числового бытия, которая дедуцирована выше.

Когда говорится, что две величины, равные порознь третьей величине, равны между собою, то, очевидно, предполагается, что эти две величины по крайней мере по внешнему своему виду различные, так как, будь они равны с самого начала, не было бы смысла и выставлять эту аксиому. Следовательно, обе эти величины имеют полное право быть внешне различными. Однако что же это значит? Могут ли они быть количественно различными? Конечно, нет. Могут ли они стоять на любом месте? Да, они могут стоять на любом месте, но этот принцип нельзя понимать в абсолютном смысле. Если бы тут был абсолютный принцип безразличия порядка действий, тогда можно было бы в математическом выражении числитель писать вместо знаменателя и обратно, показатель степени – вместо основания и обратно, и т. д. Конечно, не эту нелепость утверждает аксиома конгруэнтности. Но тогда что же остается? Сказано совершенно точно: тождество направлений становления. Становление есть тут, как известно, действие, арифметическая операция, но не в смысле количественной значимости вовлеченных в эту операцию чисел и не в смысле порядка отдельных моментов операции. Поскольку становление есть инобытийно–алогическое, т. е. сплошно–непрерывное, развертывание, под ^[64]становлением в смысле арифметической операции можно понимать только вариирование операции в условиях полной сохранности ее смысловой структуры. Это и заставляет геометров связывать конгруэнцию с понятием движения и перемещения и утверждать, что конгруэнтность есть неизменность фигуры при перенесении ее в любое место. Тут как раз и имеется в виду алогическое становление фигуры (ее перемещение) при условии сохранности ее структуры. Точно то же имеем мы и в арифметике. Две величины, равные порознь третьей, могут обладать именно разными направлениями своего становления (например, а + b и b + а) в этом и заключается то, что мы выше назвали разницей внешнего вида величин. Таким образом рассматриваемое арифметическое положение действительно с огромной точностью воспроизводит в арифметических терминах общедиалектическую аксиому конгруэнтности.

4. Необходимо отдавать себе полный логический отчет в диалектической последовательности и назревании числовой мысли в арифметике. Когда мы строили аксиомы едино–раздельности, арифметика созрела у нас до степени категории счета. Что надо для счета? Для этого нужно, чтобы каждое число было сформировано внутри себя самого и чтобы ясно было отношение сформированных чисел между собою. Первое было определено категориями самотождественного различия и подвижного покоя. Второе было дано через закон определенности числового бытия. Но, получивши идею арифметического счета, мы, в сущности, получили не что иное, как возможность бесконечно двигаться вперед и назад по натуральному ряду чисел. Надо было внести какие–нибудь диф–ференции в это безразличное движение по натуральному ряду, т. е. надо было получить возможность не просто выхватывать те или иные числа из этого ряда, но надо было уметь пользоваться и разными комбинациями этих чисел. Для этого надо было внести моменты становления в самую категорию счета. Получились разнообразные арифметические действия. Последние и есть ведь не что иное, как самый обыкновенный счет, но только с различными дифференциациями внутри себя, т. е. в условиях различного комбинирования чисел. Но ведь числа твердо держатся каждое на своем месте в общем натуральном ряду чисел. Если мы допускаем любое их комбинирование, то возникает вопрос: не прикованы ли они к своему месту настолько крепко, что каждый отрыв их от данного места и приковывание к новому месту влекут за собою их собственную деформацию? Чтобы этот «отрыв» и это новое полагание не мешали их чисто количественным отношениям, требуется нейтральность инобытия, несущего на себе эти комбинации чисел и заново осуществляющего их на любом участке числового протяжения. Но это значит, что требуется не только непрерывность чисел и действий над ними, но еще и конгруэнтность как чисел, так и действий. А для этого надо воспользоваться категорией ставшего.