Текст книги "Хаос и структура"

Автор книги: Алексей Лосев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 62 страниц)

Это [т ] перво–принцип и есть носитель всех числовых судеб. Он порождает из себя всякую числовую мысль, всякое числовое бытие. Только тот, кто обладает этим перво–принципом, у кого в душе и в уме бьется этот внутренне–числовой импульс и первоисток, – только тот и есть подлинный математик, только тот и творит математическую науку, только тот и знает математические страсти ума, эти тайны математических зачатий, когда из глубин темных и бурлящих интуиций рождается светлый и солнечный мир математических оформлений. Только так и творили Лейбниц и Ньютон, Эйлер и Гаусс, только это и привело к божественной числовой симфонии Лагранжа, Лежандра, Коши, Римана, Вейерштрасса и Минковского. Число же как простую структуру и чистую схему знают только ремесленники и вычислители. А настоящие математики, как известно, весьма плохие вычислители.

§ 40. Везде и нигде.

Аксиома числового перво–принципа утверждает повсеместную значимость числа как числа во всех судьбах числа вообще, во всех мельчайших деталях математической науки. Что бы ни делалось с числом, какие бы формы оно ни принимало, оно всегда и везде есть прежде всего число. Число есть число – вот удивительная истина, без которой ни в каком виде невозможна математика как наука. Но если это так, то число необходимым образом самотождественно присутствует целиком во всех своих мельчайших проявлениях. Число как число – везде, и оно же – нигде. Везде оно потому, что всякая форма и тип числа есть всегда прежде всего число вообще; если нет числа вообще, то нет и никакого его специального типа или вида. Но оно и нигде, ибо никакая числовая форма, никакое математическое утверждение не было бы возможно, если бы все числовое слилось в абсолютно неразличимое самотождество. Число как перво–принцип поэтому в самом подлинном и в самом буквальном смысле слова находится и везде, и нигде в отдельных числах и числовых операциях; и оно целиком и присутствует, и отсутствует в каждом математическом суждении, в каждой числовой структуре.

Тут та же самая диалектика, что и в вопросе о различимости и неразличимости. Если отвергнуть абсолютно неразличимое самотождество актов и признать в числе только одну раздельность, мы, как доказано выше, приходим к абсолютной тьме, к алогической пыли измельчания и расслоения, рассыпания раздельной структуры тела. Но если бы мы стали утверждать только одну неразличимость числа, то уже малейшее прикосновение диалектики к этому вопросу привело бы нас с абсолютной очевидной необходимостью к признанию в числе именно раздельной структуры, так как всякая неразличимость есть нечто и внутренно неразличимое число есть нечто, т. е. оно отличается от всего прочего чем–нибудь, т. е. чем–то отграничено от прочего, т. е. имеет границу, очертание, т. е. оно есть некая величина, т. е. делимость, т. е. внутренняя различимость, – что и требовалось доказать. Нельзя поэтому пренебрегать в числе ни абсолютной неразличимостью, ни абсолютной различимостью. Одно совершенно предполагает другое, и даже больше того: одно и есть это другое, хотя в то же время не есть. Так же судим мы и о вездепри–сутствии перво–числа. И это в одном и том же смысле и одновременно, сразу.

§ 41. Число и время.

Рисуя эту основную аксиому числового перво–принципа, невозможно обойти молчанием большую проблему об отношении числа и времени. Что обе эти категории находятся в очень близкой связи между собою, это никто отрицать не станет. Описать же подлинное сходство их и расхождение – дело весьма большой трудности.

Число как перво–принцип есть вечно творящая сила расчленения и сочленения. Врываясь в бытие, эта сила разрывает его на раздельные, изолированные моменты и заново объединяет их в новую, уже не возможную только, но вполне действительную координированную раздельность. Первопринцип есть эта мощь числовых становлений. Можно ли го же самое сказать о времени? Тут ясно только одно: время есть некое становление, некое неразличимое и сплошное, хотя и подвижное, становление. Но это не то становление, не чисто числовое становление. Временное становление гораздо «реальнее» числового, гораздо тяжелее, гораздо ближе к физической материи, к органической жизни, гораздо в этом смысле «конкретнее». Это есть перенос числового становления в какую–то новую сферу, потенцированное становление – становление, возведенное в степень.

Далее, в самом числе перво–принцип не есть единственная форма становления. Собственно говоря, это совсем не есть становление. Становление, как мы помним из нашей диалектики, есть категория, возникающая уже после того, когда получено то именно, что становится.

Если нет ничего до становления, невозможно будет и само становление. Становление всегда есть становление становящегося, чего–то. А это «что–то» само позже пер–во–принципа. «Что–то», «нечто», «бытие» – все это выводится уже при наличии первополагаемого бытия, при наличии неразличимого сверх–бытия. Спрашивается: может быть, это становление и есть время? Не есть ли становление, как синтез бытия и небытия, время, реально текучее в физических телах и организмах, в природе и истории? И на этот вопрос надо ответить отрицательно. Это тоже слишком отвлеченное становление, и временное становление опять–таки есть некое возведение в степень этого отвлеченно данного становления. Позже мы увидим, что существует огромная научная область, изучающая как раз такое отвлеченное становление, и она нисколько не есть наука о времени. Это анализ бесконечно–малых. Тут тоже имеются в виду исключительно становящиеся величины, тут это чистое становление как раз и изучается. Однако дифференциальное и интегральное исчисление есть наука о совершенно отвлеченных величинах и функциях, о чисто мысленных величинах и функциях, и можно ни слова не говорить здесь о времени. Конечно, возможны всякие временные аналогии, возможно применение чисел и функций к временным процессам, приложение анализа к механике. Но это нисколько не значит, что бесконечно–малое есть временной процесс. Это не временной, а чисто числовой, т. е. вне–временной процесс, такой же вне–временной, как и неподвижная таблица умножения. В смысле времени анализу и арифметике присуща одна и та же степень подвижности, вернее, одна и та же неподвижность, как бы текучее бесконечно–малое ни отличалось от стабильного арифметического числа. Это различия внутри самого же числа. А число – вполне смысловая и умная структура, не требующая для себя времени и потому вне–временная. Ин–финитезимальная текучесть, взятая сама по себе, вне своих приложений, есть вне–временная [текучесть].

Числовое, вне–временное становление должно еще раз перейти в свое инобытие, как уже однажды перво–принцип перешел в принцип, в бытие, в смысл и как принцип тоже перешел в свое инобытие, в становление. Но ведь за становлением, если его понимать как диалектический синтез бытия и небытия, следует ставшее, или наличное, бытие, факт. Нужно, следовательно, чтобы отвлеченное, чисто смысловое, идеальное становление перешло в сферу факта, стало фактическим, реальным, действительным становлением. И вот только тогда–то и может подняться вопрос о времени. Время не есть вещи, но время есть некий смысл вещей, а именно форма протекания вещей. Однако это уже не прежний идеальный смысл, это смысл, который сам овеществился. Поэтому время и неотделимо от вещей, как и вещи – от времени. Время есть, следовательно, по крайней мере трехплановая структура: оно есть инобытийное воплощение творящей силы перво–принципа (чистый смысл, арифметически неподвижное число); оно есть инобытийное воплощение чистого смысла, арифметически неподвижного и отвлеченного числа (инфинитезимальное становление); и оно есть инобытийное воплощение этого инфинитезимального становления в форму физически текучего и материально становящегося смысла вещей – и эти три плана есть только еще примитивный и весьма общий анализ категории времени, так как самостоятельному анализу времени тут, конечно, не может быть места.

Зато во всем прочем время – максимально близкий, максимально интимный аналог числа. Время так же «пусто», как и число, так же имеет свое собственное содержание, независимое от грубой качественности внешнего мира. Оно так же первично для фактического бытия, как число для смыслового бытия, будучи точно таким же «актом полагания», но только уже совсем в другой области, не в области чистого смысла, но в области физической материи. Оно так же рождает из себя вещи, несет на себе вещи, так же есть перво–принцип их жизни и движения, саморазличия и самообъединения, как число рождает все различия в смысловой сфере, несет на себе всякую идеальную координацию и определяет живую текучесть смысла. Число и время – оба суть животрепещущий пульс бытия; и обе стихии – раньше и первичнее самого бытия, ибо это и есть то, что порождает саму сферу бытия и творит ее индивидуацию. Число и время – мощь и напряженность бытия, лишенная всего внешнего и случайного; это обнаженное сердце бытия, откуда вечно льются животворные и одушевляющие потоки мировой жизни, откуда творится и сама судьба бытия и мира. Число есть смысл времени, а время есть жизнь чисел.

Время ведь тоже есть, в конце концов, счетность или, вернее, некая определенная модификация счетности. И то и другое, число и время, – это реальная, до последней и интимнейшей степени явленная судьба бытия, т. е. само бытие в своих живых и нервных сплетениях и сочленениях.

§ 42. Число и музыка.

Вот почему существует глубочайшая, интимнейшая связь между математикой и музыкой. Музыка ведь есть в обычном понимании искусство времени. Подчеркнем, что музыка в своем специфически музыкальном виде есть искусство именно чистого времени, т. е. необязательны в музыке изобразительные моменты, достаточно только самого времени, только этой взрывной и бурлящей процессуальное. Музыка живописует именно жизнь чисел вне всякой внешней случайности вещей, повествуя судьбу и жизненное становление бытия и мира. Однако об отношении математики и музыки говорить надо слишком много, чтобы мы могли отвлекаться этим предметом в настоящем месте. Желающих углубиться в этот вопрос могу отослать к моей книге «Музыка как предмет логики».

§ 43. Формула перво–принципа.

Наконец, возникает вопрос, как же формулировать в кратчайшей, но в то же время и полнейшей форме эту первую основную математическую аксиому, аксиому числового перво–принципа. Можно' предложить несколько формулировок, из которых мы остановимся только на двух, хотя вторая из них, несомненно, заслуживает предпочтения.

А именно, 1) можно просто сказать, что содержание аксиомы перво–принципа сводится к утверждению «число есть число». Предыдущие рассуждения должны показать, что это не есть тавтология, но это есть определенного рода логический принцип, а именно перво–принцип. Когда мы утверждаем, что число есть число, мы этим фиксируем как раз повсеместную числовую значимость, фиксируем, что число всегда является самим собою, всегда самотождественно, неразличимо с самим собою, всегда есть цельный и оригинальный принцип.

Однако эта формулировка не столь специфична, насколько уполномочивает нас наш общий анализ понятия числа. Число ведь мы трактовали в отличие от всего прочего как то, что связано только с актами полагания смысла и никак не с содержанием полагаемого. Число у нас есть сфера актов полагания. Если отвлечься от всех частичных и специфических модификаций акта полагания, от всех отдельных числовых построений, а взять только их голый принцип, только действительно их голый перво–принцип, то ничего другого сказать не придется, как то, что число есть просто–напросто акт полагания. Тут только нужно кое–что подчеркнуть, чтобы аксиома вышла вполне определенной. Из предыдущего мы знаем прежде всего, что числовые акты в отличие ото всех прочих (напр., временных, пространственных, физических, психических и пр.) суть акты только смысловые. Кроме того, мы все время говорили о том, что в числовом перво–принципе акт полагания мыслится как недифференцированный, безраздельный, неразличимый акт, как супра–акт. Назовем этот акт чистым или абсолютным актом полагания. Тогда, кажется, будет достаточно выпукло представлено смысловое содержание этой исследуемой нами аксиомы перво–принципа и она совместит простоту и предметность своей формулировки с ясностью и достаточной полнотой.

Аксиома числового перво–принципа: число есть чистый акт смыслового полагания.

В заключение заметим только (хотя для внимательного читателя это замечание и вполне излишне): в этой формуле (как и во всех последующих) каждое слово есть строгий и специфический термин и его нельзя понимать «вообще», «как обычно». «Чистый» – это значит недифференцированный, неразличимый, данный как абсолютное самотождество не только сам в себе, но и как обнимающий всю бесконечную сферу чисел в одной неделимой и ни от чего не отличающейся точке. «Акт полагания» – это значит, что в числе имеется в виду не содержание полагаемого, не полагаемое, но положен–ностъ, самый акт полагания, процесс полагания вне всякой предметной или вещественной качественности. Наконец, указание на «смысловое» полагание самым резким образом отличает число от всякого реально существующего бытия, от всего объективного и субъективного и видит в нем только мысленно и осмысленно зримую и понимаемую значимость.

b) АКСИОМЫ ЕДИНО–РАЗДЕЛbНОСТИ ЧИСЛА (ИЛИ ЕГО ИДЕАЛbНОЙ СТРУКТУРЫ) § 44. Необходимые предварительные установки.

Покидая сферу перво–принципа и переходя к аксиоматике раздельных числовых структур, мы сталкиваемся с целым рядом обстоятельств, без выяснения которых сама аксиоматика осталась бы неясной и необоснованной.

1. Прежде всего, до сих пор в общей теории числа мы оперировали, в сущности говоря, исключительно только с одной общей категорией – с актом полагания. Переходя к математике как самостоятельной науке, мы должны специализировать этот общий термин, подыскавши, как уже говорилось выше, соответствующий математический эквивалент. Логика должна специализироваться, и мы обязаны теперь видеть, где и в чем происходит соответствие этих двух больших областей мысли, математики и логики. Однако у нас будут здесь очень большие затруднения, если мы с самого начала не станем на путь спецификации самого математического предмета. Дело в том, что к этому общему понятию, на почве которого строилось все наше здание, т. е. к понятию акта полагания, и ко всем его изученным нами модификациям можно найти в математике не одно, а целый ряд соответствий. С самого же начала возникает поэтому необходимость говорить не о математике вообще, но о конкретных формах математического предмета, т. е. прежде всего о числе интенсивном, экстенсивном, эйдетическом и историческом, первое понятие о чем дано выше, в § 9. Аксиомы будут совершенно разные – в зависимости от того, о каком числе будет идти речь. Конечно, можно установить и совершенно общие аксиомы, но они едва ли будут чем–нибудь существенно отличаться от пяти основоположений числа, формулированных нами в § 35 при помощи только одного понятия акта полагания и его диалектических модификаций.

Прежде чем приступить к дедукции аксиом, необходимо, следовательно, произвести эту предварительную спецификацию, чтобы аксиомы наши были достаточно конкретны и обоснованны.

Необходимо, стало быть, иметь в виду наше общее разделение математического предмета в § 9. Вспомним его. Число вообще, число как перво–принцип, число как супра–акт и в себе неразличимый, неутвержденный принцип полагается, утверждается. Полагается и утверждается оно сначала в полной своей чистоте, в абсолютной своей различенности и отличенности от всего прочего, т. е. в своей абсолютной раздельности и несвязанности ни с чем прочим, в своей чистой понятийности и категориальное. Никакое инобытие в нем не участвует. Судьба такого акта полагания всецело зависит только от смыслового содержания его самого, и всякое инобытие может играть тут только пассивную роль, роль той арены, тех подмостков, на которых развертывается бесконечная числовая драма. Сюда мы отнесли арифметику, алгебру и анализ, что еще не может быть достаточно ясным из наших кратких предварительных замечаний и что должно стать ясной системой только в результате изложения соответствующих отделов философии числа. Это одна область и одна группа аксиом. Это аксиомы интенсивного числа.

Вторая область, отмеченная нами в § 9, есть инобытие, отрицание первой, т. е. отрицание едино–раздельных и изолированных актов полагания. Единораздельности может противостоять только нераздельность, неразличимость, слитость актов полагания. Но это не та неразличимость, которая есть перво–принцип. Там была неположенная неразличимость, неразличимость «как такая», «вообще». Здесь же мы находимся в сфере реальных актов полагания, и потому здесь неразличимость положенная, утвержденная, распростертая. Там она была перво–прин–цип, рождающий всякое число и всякую числовую операцию; здесь же это геометрический континуум и геометрическая величина вообще. Таково это экстенсивное число и экстенсивная аксиоматика.

Интенсивное и экстенсивное число мы синтезировали в § 9 в эйдетическое число, которым занимается т. н. теория множеств. В определении множеству совсем не повезло в математике. Его определяют настолько общо и тавтологично («совокупность, объединенная в целое», «многое, мыслимое как одно» и т. д.), что такое определение подошло бы решительно ко всякому предмету – реальному, нереальному, возможному, невозможному и т. д. Откладывая детальное развитие понятия множества до соответствующего отдела нашего сочинения, мы должны будем коснуться все же самого существенного, раз вопрос поднят о систематической аксиоматике. И это существенное укажет нам, что множество вбирает в себя континуум, который в геометрическом пространстве дан как овеществленная и самостоятельно гипостазированная инаковость едино–раздельного числа. Эта совмещенность арифметического числа с его инобытием сказывается в том, что отдельные единицы, «входящие» в число, не мыслятся здесь абсолютно самостоятельно, т. е. в зависимости только от своей категориальной значимости, [ч]то они мыслятся так или [иначе] расставленными. Вообще говоря, им свойственна здесь идея порядка. Разумеется, натуральный ряд чисел тоже есть упорядоченность. Но это та упорядоченность, которая зависит только от смыслового содержания самих «единиц», т. е. самих актов полагания, но не от той «плоскости», не от той арены, где происходит их расстановка. Во множестве же, если оно только вообще чем–нибудь отличается от обычного арифметического числа, мы находим взаимоотношение элементов, продиктованное также и формой их взаиморасположения, т. е. формой участия в числе того инобытия, в котором произведены акты полагания, характерные для данного числа. Это будет эйдетическая аксиоматика.

Наконец, существенно новую отрасль аксиоматики представляют собой аксиомы теории вероятностей. Эта теория символизирует собой переход от идеального числа в сферу биолого–социологической действительности, и тут должен фигурировать учет той «случайности» и самопроизвольности, которая так отличает жизнь и организм от всякой механической области.

Эти четыре ряда аксиом вполне специфичны. Вырастая на общем логическом скелете и внутренно определяясь общесмысловой логической последовательностью и системой, они тем не менее совершенно специфичны, ибо специфичны те области, для которых они призваны быть первыми основоположениями. Эту специфичность мы и должны сберечь во что бы то ни стало.

2. Стоит также предпослать конкретной аксиоматике раздельного числа и еще одну установку. Так как задачей аксиоматики является подыскание математического эквивалента для общедиалектических схем, то, разумеется, с первого же шага ^[18]мы должны будем расстаться с нашим постоянным термином «акт полагания» и вместо него употреблять то, что ближе к конкретной математике, хотя и соблюдая все еще необходимую для аксиоматики общность.

Что делалось у нас с актом полагания? Покинув сферу неразличимого перво–акта, он стал раздельным в себе и раздельным в сравнении со всем прочим. Пусть он со всей своей раздельностью перешел в «становление» и через «ставшее» стал некоторой «выразительной» формой. Всем этим диалектическим моментам должна соответствовать чисто математическая терминология. Если остановиться на самом общем, что тут происходит с актом полагания, то можно сказать, что акт полагания, разделяясь и дробясь в себе, отделяется и от других актов, хотя и вступает с ними в ту или другую связь. Иначе говоря, акт полагания начинает входить во взаимоотношение с самим собою и во взаимоотношение с другими актами. Но что значит быть во взаимоотношении с самим собою? Это значит быть целым и иметь части. И такое представление во многих отношениях и достаточно. Нам же невозможно сейчас остановиться на этом, так как тут фиксируются только весьма частные факты и не соблюдается общность, необходимая для аксиоматики. Наиболее общими терминами, рисующими взаимоотношение едино–раздельного акта с самим собою, будут термины «совокупность», «элемент» и «отношение». Позже мы увидим, что «совокупность» и «целое», равно как и «элемент» и «часть», – пары терминов, самым резким образом отличающихся между собой; также полезно на нашей ступени общности оставить термин «отношения», вводя спецификацию уже при анализе только отдельных областей.

Итак, самое общее положение вещей, с которыми имеет дело математическая аксиоматика, – взаимоотношение совокупностей со своими элементами, к чему, само собой разумеется, прибавляется и взаимоотношение самих совокупностей. Отныне мы можем уже не употреблять общелогический термин «акт полагания», а можем заменить его рассуждением о взаимоотношении совокупностей с их элементами и о взаимоотношении самих совокупностей. Правда, там, где ясность изложения будет требовать, мы не станем брезговать и этой общедиалектической терминологией.

Необходимо всячески подчеркивать, что эти три термина – «совокупность», «элемент» и «отношение» – суть только самые общие термины аксиоматики. Мы сейчас же увидим, как они специфицируются и по отдельным числовым областям, и в порядке собственного диалектического развития понятия «совокупность».

1. САМОТОЖДЕСТВЕННОЕ РАЗЛИЧИЕ § 45. Аксиома самотождественного различия в арифметике.

Перво–акт полагает себя и переходит из неразличимости в едино–раздельность, в бытие, если понимать этот термин в самом общем смысле. Кроме того, имея в виду, что дальше будет реализация этого едино–раздельного бытия в становление и ставшее, можно с достаточной выразительностью назвать его идеальным и соответствующие аксиомы – аксиомами идеальной структуры числа. Ибо перво–принцип уже не идеален; идея есть разумная раздельность, а он выше этого, т. е. выше, общее и самой идеи.

1. В этой области, однако, где утвержден акт в своей едино–раздельности, мы произвели в § 26 весьма важное членение, которое послужит нам путеводной нитью в установке аксиом. Именно, в § 26 мы видели, что «акт полагания» более конкретно может быть охарактеризован при помощи категорий различия, тождества, движения и покоя. Акт полагания не только есть или не есть он сам и свое иное («бытие» и «инобытие»); акт полагания, если он действительно есть едино–раздельность, или координированная раздельность, также различен с собою самим и со своим инобытием и тождествен с самим собою и со своим инобытием; он, кроме того, покоится сам в себе и в ином и движется сам в себе и в своем ином. Это разъяснено в § 26. Удобнее всего, как мы приняли в § 27, эти чисто смысловые (в отличие от алогизма становления) категории распределять так: бытие с инобытием, или определенное бытие; самотождественное различие и подвижный покой. Это подразделение чисто смысловой (или идеальной) сферы акта полагания мы и применим к нашей аксиоматике.

2. Начнем с категории самотождественного различия. Мы уже знаем, что отныне число у нас есть не что иное, как определенно оформленная совокупность элементов. Что получится для интенсивного числа, если в этом общем понятии совокупности элементов выставить на первый план категорию самотождественного различия? Заметим, что проведение аксиоматики решительно по всем детальным областям сейчас было бы нецелесообразно, так как то, что можно было бы считать аксиомой, т. е. основоположением, во многих отделах математики излагается в виде настоящих теорем; часто нам пришлось бы в этой главе об аксиоматике предвосхищать значительную долю содержания самых этих отделов. Поэтому в интенсивном числе мы ограничимся пока аксиомами арифметики (минуя алгебру и анализ), в экстенсивном числе – обыкновенной геометрией (минуя разные другие виды геометрии) и в эйдетическом числе – теорией множеств (минуя развитую теорию теоретико–множественного континуума и топологию).

Самотождественное различие арифметической совокупности с самой собой и с другими совокупностями указывает на то, что в самой совокупности 1) все элементы различны между собою и с самой совокупностью и 2) в то же время, все вместе взятые, тождественны с нею. Тут важна специфическая особенность интенсивного числа – быть зависимым только от своего самостоятельного, чисто смыслового, т. е. в данном случае количественного, содержания и не зависеть от своего инобытия. Если бы тут была зависимость от инобытия и элементы не только бы значили каждый согласно своему смысловому содержанию (количеству), а еще зависели бы от взаимной расстановки, тогда и сама совокупность была бы не просто количественной совокупностью, но содержала бы в себе еще специфическую, т. е. чисто эйдетическую, цельность. И тогда отдельный элемент, даже взятый сам по себе, уже содержал бы в себе энергию целости, а вся совокупность была бы не арифметическим числом, но «множеством». В арифметическом, т. е. чисто интенсивном, числе совокупность равняется своим элементам только в том случае, если их взять все полностью. Взятые вместе, они и есть эта совокупность; и ничего в совокупности нет иного, кроме суммы этих элементов.

3. Строго говоря, целое никогда и нигде не равняется сумме частей, и в арифметике число тоже не есть сумма всех своих единиц. Но мы помним: интенсивная совокупность есть нулевая в смысле своей инобытийности, в смысле участия инобытия (поскольку тут играет роль только само понятие элементов, т. е. их количественная значимость). Примышлять нулевую инобытийность не значит продолжать рассматривать целое как простую сумму его частей. Как только мы, взявши простую сумму всех частей, примыслим тут, что это взятие есть нулевое в смысле инобытийности, так мы тем самым уже перестали иметь дело с голой суммой всех частей. Мы уже тем самым отличили ее как таковую от всего прочего, т. е. превратили в целость. Целость эта, разумеется, инобы–тийно–нулевая, а не инобытийно–содержательная, которая во «множестве» является уже источником для специфического упорядочивания множеств.

4. Итак, самотождественное различие элементов в арифметической совокупности определяет собой абсолютную изолированность этих элементов друг от друга, так что арифметическое число есть сосгавленность из таких элементов, которые но смыслу своему совершенно чужды один другому. Этот же результат можно выразить и иначе. Именно, каждые два (или несколько) взаимно изолированных элемента могут быть объединены в самостоятельную совокупность, смысловое (т. е. чисто количественное) содержание которой ничем не будет отличаться от их простой суммы. Однако, строго говоря, мы еще не имеем права употреблять такую категорию, как «сумма»; анализ ее—дело нашего дальнейшего исследования. Потому покамест и не стоил вводить этот термин в нашу формулу. Тогда получаем такую формулу.

Аксиома самотождественного различия в арифметике: арифметическое число есть совокупность абсолютно изолированных элементов.

К этому необходимо прибавить, что, может быть, точнее и яснее было бы говорить здесь о самотождественной совокупности; элементы совокупности различны и взаимно изолированы, а в самой совокупности они отождествляются, так что, хотя она дана сама по себе как единый и нераздельный акт, она все же по смыслу своему равна всем тем элементам, из которых она состоит. Это и есть самотождественное различие. Однако мы не станем соблюдать здесь педантизм в абсолютной мере. Термин «совокупность» уже достаточно говорит о том, что элементы как–то тождественны на лоне чего–то общего и цельного; и, пожалуй, не стоит загромождать и без того тяжелую терминологию разными тонкостями там, где более или менее можно без них обойтись.

5. Если есть а и есть Ъ, то по этой аксиоме должно быть и некое с, состоящее из этих а и b. Или, выражаясь конкретнее, но при помощи не вполне ясных пока терминов, будем иметь

а + b = с.

Тут мы говорим о «сложении». Но разумеется, раз есть сложение, то возможны и все другие действия. Поэтому лучше не прибегать к этой буквенной формуле, а считать ее только примером. На точность может рассчитывать только приведенная общая аксиома.

6. Аксиома не должна вскрывать полностью содержание науки. Она есть только, как мы знаем, предустановка этого содержания и его максимально обобщенная форма. В свете аксиомы науки должна рассматриваться и вся наука. Поэтому не все, что дается в самой науке, очевидно уже на степени аксиомы. Аксиома – только предустановка, а применение ее в конкретном содержании науки может быть весьма сложным и даже неожиданным. Такая сложность заметна, напр., в применении анализируемой аксиомы к трем принципиальным категориям – к «нулю», «единице» и «бесконечности». Разумеется, полное понимание этого вопроса может быть только после существенного и достаточно обстоятельного анализа этих проблем, что и будет дано нами в своем месте. Сейчас же мы ограничимся только самыми общими установками, соответственно общности аксиоматики.

Именно, приложима ли данная аксиома к нулю или нет? Другими словами, можно ли рассматривать нуль как некое числовое самотождественное различие, как самотождественную совокупность абсолютно изолированных моментов? На первый взгляд это, конечно, невозможно. Однако нуль не есть уж такая абсолютная пустота, о которой и сказать ничего нельзя. «Пустота» – это понятие относительное. Если мыслится что–нибудь пустое, это значит, что возможно где–то и как–то не–пустое и даже прямо наполненное, но что оно в данном случае отсутствует. А так как нас интересует именно мыслимость, то ясно, что момент наполненности как–то должен примышляться и в нуле. Но что такое наполненность? Это ведь и есть совокупность. Нуль мыслится только тогда, когда мыслится и некая совокупность. А так как нуль есть величина, стоящая в ряду натуральных чисел, то отсюда необходимо делать вывод, что это именно арифметическая совокупность, т. е. тождество абсолютно изолированных элементов в условиях их чистой и самостоятельной, а не инобытийной значимости. Итак, идея нуля оформляется только при помощи понятия арифметической совокупности. Правда, понятие это участвует в нуле оригинально, и эта оригинальность определяется всецело своеобразием категории самого нуля. Тут дело не в арифметической совокупности, которая – как принцип – та же самая, что и вообще во всяком арифметическом числе, но дело в своеобразии той сферы, где этот принцип совокупности осуществлен. Заметим, что в теории множеств нуль вообще и нуль–множество тоже отличаются между собой. И это различие совершенно правильное, хотя и проведено в теории множеств (как и большинство [других ее] проблем) вполне слепо и наивно.