Текст книги "Хаос и структура"

Автор книги: Алексей Лосев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 40 (всего у книги 62 страниц)

Но точно так же предел не есть и та или иная приближенная величина, возникающая на его основе. Эта приближенная величина не есть самый предел, но именно лишь приблизительное выражение предела. Если взять число π, то это π не есть ни 3,14, ни 3,145, ни 3,1415 и т. д. Никакое приближение, как бы оно далеко ни шло, не есть самый предел, но лишь приближение к пределу. Отдельные приближенные выражения предела суть конечные, изолированные количества, никуда не стремящиеся и ни для чего не являющиеся целью и предельной причиной. Предел виртуален, или, что то же, предел есть смысловая цель и задание для некоего числового становления. Каждое же отдельное выражение предела ровно ничего не говорит о самом пределе и, само по себе взятое, ничем принципиально не отличается ни от какого любого числа вообще. Если число, точно выражающее предел, например е, не есть обыкновенное число, но указывает лишь смысловой перво–принцип и потенциальную закономерность становящегося ряда, то число, приблизительно выражающее предел, также есть особое число, если его связывать с пределом, а именно число, стремящееся к пределу, притягивающееся к пределу. Само по себе число 2,1718 не есть предел, выражаемый знаком е, но если рассматривать его в контексте предельных отношений, то оно влечется к пределу так же, как предел является для него неким смысловым магнитом. Итак, предел не есть ни число, точно его выражающее (если брать его само по себе, т.е. как просто число, как таковое), ни число, приближенно его выражающее (если брать его тоже в изолированном виде), ибо предел есть смысловым образом заряженный перво–принцип становления, а не отдельные становящиеся моменты, хотя бы и взятые в самом конце становления.

c) Вполне понятно и то, что предел не есть само становление. Когда мы имеем числовую последовательность, то это есть становление к пределу, но не самый предел. И тут также нельзя оперировать изолированными величинами, хотя бы даже это были и все величины, относящиеся к данной области. Взять все моменты, из которых состоит становление данного ряда, совсем не значит взять предел этого ряда. Это будет ряд, которому свойствен какой–то предел, но не самый предел. Тут также не хватает смысловой заряженности и потенциальной [осмыс ]ленности, и тут также это заменено изолированной структурой (ибо становящийся ряд, взятый как таковой, тоже есть некая неподвижность); становится становящееся, но само становление не становится, оно неподвижно, как и огонь жжется, но огненность есть отвлеченное понятие, оно не огонь и не жжется. Нужно брать не становление, но его исходную закономерность, развертывающуюся в определенной последовательности, потенциальную упорядоченность становления.

d) Не поможет тут также и антитеза внутреннего и внешнего, ибо эта антитеза слишком обща и она входит уже в простое рациональное число, не говоря уже об иррациональности. Предел не есть только внутреннее для приближенного выражения предела как для чего–то внешнего. Конечно, такое <…> вполне правильно, и предел есть на самом деле нечто внутреннее, по отношению к чему всякое приближенное его выражение оказывается чем–то внешним. Но это не только так, и тут еще нет логического определения предела. Это один из моментов определения, но не само определение.

e) Наконец, предел нельзя понимать и как нечто обязательно иррациональное. В вышеприведенных примерах, где пределом оказывается 1 или 0, совершенно ясно, что ни 1, ни 0 не есть иррациональность. Наоборот, эти величины вполне рациональны. Однако предел не есть и нечто обязательно рациональное. Исток рациональности не есть нечто иррациональное. Тут опять вполне уместна аналогия с огнем, который хотя и жжется, но понятие огня не жжется, или с треугольником, который хотя и треуголен, но сама треугольность, понятие треугольника отнюдь не треугольно ^[184]. Но точно так же нет никаких оснований считать предел и <…> обязательно рациональным. Точное числовое выражение предела может быть рационально (как в вышеприведенных примерах 0 и 1), но мы уже знаем, что точное числовое выражение предела как раз не есть предел.

3. После всех этих отграничений понятие предела становится гораздо более ясным и по крайней мере выясняется та область, где нужно искать определение предела.

Основной вывод предыдущих отграничений сводится к следующему. Предел есть закономерность алогического становления, находящаяся не вне его и не в каком–нибудь отдельном его моменте, но имманентно присущая всему становлению и внутренне оформляющая его протекание. Это, собственно говоря, и есть определение предела. Однако дадим это определение в более расчлененной форме.

а) Ясно до всякого рассуждения, что 1) предел может существовать только там, где даны не просто устойчивые и взаимно изолированные числовые структуры, но – только там, где налична стихия становления. Алогически становящаяся отрицательность только и может обеспечить продвижение к пределу, и без этого становления предел превращается просто в обыкновенное неподвижное и изолированное число. Далее, что такое становление? Становление есть отвлеченное тождество бытия и инобытия, и в нем еще не раскрыто ни то, что становится, ни то, как оно становится. Необходимо, следовательно, чтобы было то, что становится, т.е. необходимо, чтобы становление потеряло свой плоскостной (в смысле предметного безразличия) характер и стало рельефным, перспективным. Для этого надо, чтобы 2) становление было изменением, т.е. чтобы была налична та величина, которая становится, и чтобы становление стало предметно расчлененным. Предела здесь, конечно, еще нет, так как неизвестно еще о способах данности этого изменения. Покамест известно только то, что есть какая–то величина, которая как–то меняется, т. е. есть числовая антитеза внутреннего и внешнего. Спросим себя: можно ли мыслить предел без того, чтобы каждый отдельный момент становления не приближался к этому пределу? Конечно, вполне можно себе представить, что переменная величина стремится к своему пределу прерывно, но тем не менее, проходя через прерывную область, она все же должна приближаться к пределу. Прохождение через прерывную область все же как–то приближает ее к пределу. Нужно только, чтобы в более глубоком смысле непрерывность все же была налична. Если есть прерывность в абсолютном смысле, то это значит, что становление мыслится здесь прерванным в абсолютном смысле, т. е. и предел мыслится как переставший быть пределом. Так нельзя представлять себе существо предела. 3) Становление должно быть не только изменением, но и непрерывным изменением—для того, чтобы образовалось само понятие предела.

b) Будем вдумываться дальше. Что еще надо присоединить сюда и чего не хватает для получения предела? Пусть у нас есть некое непрерывное изменение величины. Не всякая непрерывность имеет предел. Функция синуса, или синусоида, например, возвращается периодически в одни и те же точки и ни к какому пределу не стремится. Значит, из одной непрерывности мы предела не получили. Чего же тут еще не хватает? Очевидно, наша непрерывность должна получить какую–то определенную структуру, и в этой структуре непрерывности, по–видимому, и кроется вся диалектическая загадка предела. В понятии предела мыслится еще направление процесса. Непрерывное изменение должно быть направлено в определенную сторону, чтобы стремиться именно к пределу. Но для этого необходимо, чтобы мы при всей непрерывности изменения все же различали один момент непрерывности от другого. Если мы это различение производим, то мы получаем возможность сравнивать один момент непрерывного изменения с другим; а если есть возможность сравнивать, то есть и возможность судить о направлении изменения. Но что значит различать один момент непрерывности от другого? Это прежде всего значит, что непрерывность везде разная, т.е. что эта непрерывность внутренне прерывна, что она имеет прерывную структуру. Из недр этой непрерывности должна выбиваться наружу, на внешнюю поверхность непрерывного изменения, такая структура, которая бы обеспечила дробление единого непрерывного процесса на любое количество отдельных моментов, определяющих при их взаимном сравнении общую направленность процесса. Эта дробящаяся непрерывность обусловливает собою особую направленность изменения, хотя уже сейчас видно, что и этого еще недостаточно для конструирования категории предела.

4) Должно быть, стало быть, не только становление, изменение и непрерывность, но еще и такое непрерывно–изменчивое становление, которое по своему внутреннему смыслу дало как становление дробящееся.

с) Не может быть только дробности. Чистая прерывность помешала бы понятию предела. Пробивающаяся изнутри дробность, определяя собою прерывные точки общего процесса становления, не может мешать тому, чтобы непрерывность все же продолжала как–то функционировать. Это, мы сказали, прерывность относительная, т.е. она как–то объединяется с непрерывностью. 5) Предел возникает на почве объединения непрерывных и прерывных моментов становления, направленного к пределу; и стоит только удалить один из этих моментов, как предел тут же сразу и уничтожается, – при удалении непрерывности перестает существовать движение и приближение к пределу, и при удалении прерывности исчезает возможность судить о самом наличии этого приближения. В обоих случаях предел перестает быть пределом или перестает функционировать как предел.

4. а) Можно ли удовлетвориться этим? И этого мало. Непрерывно меняющееся становление, имеющее определенную прерывно–непрерывную структуру, оказывается той или иной комбинацией прерывности и непрерывности. Когда идет речь о пределе, мы, однако, не принимаем во внимание эти прерывные или непрерывные моменты как таковые, хотя им и свойственна определенная структура. Предел – легче и как бы идеальнее всей этой массивной телесности реального становления, т. е. реально построенного числового ряда, или последовательности. Он есть сама комбинация или, вернее, сама ском–бинированность этих моментов, а не самые эти моменты, хотя бы и определенным образом скомбинированные. Существует то или иное чередование прерывных и непрерывных моментов становления, и существует определенный порядок этого чередования, определенный план и закон этого чередования. Вот он–то и интересен для конструкции предела, а не сама стихия становления. Этот план или фигурность становления внедрены в самую гущу становления, и в реальной числовой последовательности они неразрывны – этот план и то, что ему подвержено. Однако, в порядке абстрагирования, ничто не мешает эту смысловую фигурность извлечь из самой последовательности и формулировать самостоятельно. В таком виде, т. е. в виде смысловой закономерности чередования прерывных и непрерывных моментов, становление уже гораздо ближе к пределу, который и надо определить, как 6) структуру, или комбинацию, прерывности и непрерывности.

b) Еще один шаг, и мы получаем точное определение предела. Упомянутая структура, или комбинация, вполне имманентна потоку становления. Но она не только имманентна. Имманентизм становлению есть все же некоторая распределенность по этому потоку становления, распро–стертость в течение потока. Но подобно тому как упомянутая структура прерывностей и непрерывностей извлечена из глубины становления и совлечена с него в некую самостоятельную данность, так необходимо из этой самостоятельно данной структуры тоже извлечь ее идею и смысл и не только извлечь, но и совлечь в новую самостоятельную данность. Всякая фигурность содержит ведь свое целое или свою целость в каждой своей точке, так что сама–то по себе эта цельность имеет вполне определенное и самостоятельное значение. Нужна ли для конструкции категории предела та фигурность со всеми подробностями своего строения? Конечно, не нужна. Надо сжать эту структуру до максимальной плотности – так, чтобы она превратилась вместо развернутого вида в одну заряженную смысловую точку, в одно напряженное задание, готовое излиться каждое мгновение вовне и предопределить собою числовую последовательность—любой длительности и протяжения. Структура непрерывно–прерывного ряда должна исходить из одной напряженной точки, которая не есть уже ни просто прерывность, ни просто непрерывность, но 7) закон и происхождение, рождающее [лоно] и перво–принцип, осмысливающий собою развитую непрерывно–прерывную структуру становления.

5. Это, наконец, и есть предел в математическом смысле слова. И из этого анализа вполне выясняется диалектическое место предела. Первый из указанных пунктов, становление, заставляет признать существенную роль категории отрицания, вернее, алогически становящейся отрицательности. Второй пункт, изменение, вносит в становление антитезу внутреннего и внешнего, которая, в соединении с третьим пунктом, непрерывностью, свидетельствует о том, что с категорией отрицания тут ставится в ближайшую связь именно иррациональность. Непрерывная величина, как мы знаем, и есть синтез внутреннего и внешнего в условиях иррациональной текучести этого синтеза. Иррациональность, стало быть, погружена здесь в стихию алогически становящейся отрицательности. Четвертый пункт, внутренняя дробность, свидетельствует об участии в категории предела – второго момента иррациональности (кроме чистого отрицания); и предел оказывается так же заинтересованным во втором диалектическом моменте иррациональности, во внутренней дробности, как и в первом, в чистой отрицательности. Пятый и шестой пункты из вышеупомянутых, т.е. чередование непрерывности с прерывностью и фигурная структура этого чередования., подчеркивают синтетическую природу предела и его категориальную самостоятельность, а седьмой, момент перво–принципности, доказывает, что речь идет об иррациональности в ее смысловом перво–истоке, что предел есть перво–единство алогически и непрерывно становящейся числовой дробности. Отсюда и диалектическая формула предела.

Предел есть тождество внутренней дробности и внешней алогически становящейся отрицательности, данное как таковое в своем исходном перво–принципе. Или: предел есть иррациональность, данная в своем исходном перво–прин–ципе. Или еще: предел есть закон (или метод) построения иррациональности, потенциальная закономерность иррациональной стихии.

§ 103. Продолжение.

Если мы пересмотрим основные определения в математике, относящиеся к учению о пределах, то нетрудно будет убедиться, что математика здесь также работает категориями, которые только что были развиты, хотя и формулирует их, конечно, чисто математически, а не диалектически.

1. Прежде всего стоит обратить внимание на интересное определение точки скученности, или точки сгущения. Для этого нужно знать, что такое окрестность. Если мы имеем некую точку А и имеем некую величину ε, могущую стать меньше любой заданной величины, то интервал А– ε…Α + г называется окрестностью точки А. Так вот, точка А называется точкой сгущения множества, если в любой сколько угодно малой окрестности А лежит еще бесконечное количество точек.

Так, для последовательности 1 , точкой сгущения является 0, а для последовательности, содержащей 0 и 1, а также числа, построенные по закону и 1+ (при η целом и положительном), существуют две точки сгущения, а именно 0 и 1, в то время как числа , , будут здесь т.н. изолированными точками, т.е. в окрестности которых совсем нет точек данной последовательности. Это скромное на первый взгляд утверждение о точках сгущения по своему логическому составу предполагает решительно все те категориальные моменты предела, которые мы выше установили. Тут и антитеза внутреннего и внешнего, п[е]рекрытие окрестности внешним точечным слоем; тут и непрерывно алогически становящаяся отрицательность – в переходе от одной точки бесконечного множества к другой на исчезающе ^[185]малом расстоянии; тут и внутренняя дробящая сила – в допущении возможности бесконечного количества точек при прогрессирующем уменьшении окрестности; тут и определенная закономерность строения этого алогического скопления бесконечности – в расположенности точек на исчезающе малых расстояниях. Последнее—смысловая закономерность бесконечного скопления точек – в понятии точки скученности еще не так развито и поставлено, как в [прежних ] математических дефинициях, относящихся к пределу. Однако уже и здесь эта специфическая закономерность, порождаемая пределом, чувствуется вполне ощутительно.

Стоит только обратить внимание на то, что точка скученности в случае, когда она для данного бесконечного множества является единственной и потому и предел этого бесконечного <.··>>—как уже становится ясной вся важность этих рассуждений для понимания категориальной структуры предела вообще.

2. Более резко этот момент смысловой закономерности ряда, стремящегося к пределу, выражен в известной теореме Больцано – Вейерштрасса. Она гласит: «Каждое ограниченное бесконечное множество точек имеет по крайней мере одну точку скученности». Собственно, тут можно говорить и о неограниченном множестве, так как ничто не мешает находить еще новые точки и даже бесконечное их количество – в окрестности той точки, которая именуется бесконечностью. Другими словами, бесконечную точку тоже нужно считать точкой сгущения. Итак, имеется ли ограниченное или неограниченное множество, в нем всегда есть хотя бы одна точка сгущения, или скученности. Но что это значит? Это значит прежде всего, что тут мы представляем себе перекрытие некоей области, или интервала, бесконечным количеством точек; и, таким образом, уже по одному этому здесь у нас двухплановая структура, не считая момента, объединяющего эти два количественные плана, – т. е. опять тут все та же антитеза внутреннего и внешнего. Эта антитеза заполнена здесь непрерывным и алогическим становлением. И вообще тут обнаруживаются все те моменты, которые нами уже получены. Но тут гораздо ярче, чем в предыдущем понятии точки скученности, выражен момент структурного построения бесконечного множества. А именно, оказывается, что только тогда точки могут оказаться входящими в бесконечное множество, когда все они притягиваются к каким–нибудь центрам или хотя бы только к одному такому центру. Этот центр, или эта точка сгущения, определяет собою специальную структуру взаимного расположения точек, т. е. такую структуру, когда расстояния между точками исчезающе малы. Это есть вполне определенная структура множества; и вот она–то и предопределена пределом. Предел как бы издали располагает особым образом точки бесконечного множества; он есть как бы принцип построения того числового поля, которое именуется данным бесконечным множеством.

3. Еще ярче эта принципная природа предела выражена в признаке Кохии для сходимости ряда, т. е. для наличия в данной последовательности предела. Как известно, признак, установленный Коши для сходимости ряда, гласит следующее. Пусть мы имеем последовательность

1, u ₂, u _n>

где [N] может стать сколько угодно большой величиной. Если абсолютное значение любой разницы n—u _m> может стать меньше сколь угодно малого количества [ε], то упомянутый ряд сходится. Или, точнее, как бы мало ни было [ε], должно существовать такое [Ν], чтобы для всякого <η>Ν> и для всякого N> было

n—u _m/<ε>.

Это условие необходимо и достаточно для сходимости ряда. Предел, стало быть, превращает последовательность чисел в такую упорядоченность, что между двумя его достаточно далекими от начала членами разность может стать менее любой заданной величины. Он создает последовательность как некую текучую иррациональность, распределенную так или иначе в зависимости от числовой величины предела. Упомянутая закономерность и перво–принципность предела на учении Коши о признаке сходимости заметна еще ярче, чем в предыдущих примерах.

4. Особая, специфическая структура сходящегося ряда, выраженная как некий определенный принцип, хорошо, – пожалуй, даже лучше, чем у Коши, – формулирована в признаке сходимости Даламбера. Как известно, по Даламберу, сходимость будет в случае, когда предел отношения между соседними членами ряда n+1> и n> при , будет выражаться правильной дробью

при l) – ряд расходится; когда

§ 104. Переход к мнимости.

1. Теперь мы подошли к огромному и принципиальнейшему вопросу, который до сих пор не нашел для себя почти никакой философской формулировки и остается по настоящий день чисто математической теорией, определяемой только одними математическими интуициями, без всяких признаков логической обработки. Тем не менее, <…> философское понимание этой области имеет фундаментальное значение для диалектического построения всей математики. И это есть проблема мнимых (комплексных) величин.

Диалектика имеет целью конкретное логическое конструирование предмета. Диалектика числа должна дать адекватно логическую конструкцию числа – со всей конкретностью его построения. Конкретность же чего бы то ни было возникает только тогда, когда дан и осмысленно обоснован его реальный образ, его оформление в смысле живого предметного лика.

Те три типа числа, которые возникают на почве внешнего гипостазирования числа (положительное, отрицательное и нуль), равно как и три типа, возникающие из внутреннего гипостазирования (целое, дробное, бесконечное), не могут претендовать на полную конструкцию смыслового образа числа. Эти числовые типы принципиально односторонни. Разумеется, в них не может не быть своего собственного оформления и своего собственного, специфического лика, ибо иначе они не были бы и самими собой. Однако тут нет конкретного оформления с точки зрения отражения в смысловой сфере полного лика числа.

Только там, где в числе привлечены сразу и его внутренняя и его внешняя стихия, может быть впервые поставлен вопрос о конкретном лике, или образе, числа. Это элементарно очевидно. Только с привлечением внутреннего содержания числа к его внешне субстанциальной данности может начаться рассуждение о границе числа, об очертаниях числа, о его конкретном образе и форме. Но и тут не всякая конструкция в одинаковой мере построяет конкретный образ числа.

2. В рациональном числе, там, где впервые зародилась антитеза внутреннего и внешнего, граница между этим внутренним и внешним не может, конечно, не наличествовать (иначе не было бы и самой антитезы), но она тут только присутствует, наличествует, существует, а не положена диалектически. Рациональное число уже предполагает, что такая граница есть, но пользуется оно этой границей как некоей абсолютной данностью, положенной неизвестно кем и чем и имеющей неизвестное происхождение. В понятии рационального числа ровно ничего не говорится о том, какова эта граница и какие смысловые категории затронуты для ее порождения. В рациональном числе 1) положена сама эта антитеза и 2) дана эта антитеза на стадии неразвернутого тезиса, т. е. когда внутреннее и внешнее прикреплены одно к другому в качестве отвлеченных принципов и внешне [е ] еще не расползлось в бесконечность становления и не увлекло с собою внутренней структуры числа. Граница, таким образом, здесь вполне на месте, но о ней ничего не известно, кроме того, что она существует. В рациональном числе фигурирует только самый факт границы, и, как всякий факт, он есть тут абсолютная данность, еще не возведенная на степень понятия, не вобранная в сферу чистого смысла.

Иррациональное число также немыслимо без антитезы внутреннего и внешнего, без различения внутреннего и внешнего и, стало быть, без наличия границы между ними, т. е. немыслимо без границы вообще. Однако и здесь нельзя говорить о том, что граница положена как смысловая категория. Единственное отличие иррациональной границы от рациональной – то, что здесь она дана в становлении, в движении. В рациональном числе граница существует между взаимно прикрепленными сторонами, внутренней и внешней. В иррациональном же числе внешнее инобытие перешло в становление и увлекло с собою внутреннюю стихию, отчего последняя утеряла свою целостность и превратилась в дробность. Но эта становящаяся граница здесь так же не фиксирована категориально, как и неподвижная граница в рациональном числе. Она предполагается здесь уже данной и используется как данность, хотя и неизвестен тот смысловой акт, в результате которого она идеально возникла.

3. Однако в пределах иррациональных структур уже намечается разная степень конкретности границы и оформления. В чисто иррациональном числе граница только становится, и больше ничего о ней тут не известно. Но в понятии непрерывности эта становящаяся граница внутреннего сливается с самим числом и, таким образом, полагается вместе с ним, полагается в меру его собственной положенности. Раньше граница вовсе не была положена, а бралась готовой, как положенная неизвестно каким смысловым актом. В непрерывной величине она слита с числом настолько интимно, что ее становление оказывается уже становлением самого числа, а положенность числа оказывается уже и положенностью ее самой. В непрерывности стихия границы, т. е. сама очер–ченность, оформленность, вошла во внутреннее содержание числа и объединилась с ним, и получилась некая оформленность, или образность, но – пока на ^[186]стадии текучего и алогического, сплоченно–неразличенного становления. Если бы граница, очерченность, образность были положены как такие, мы имели бы категориальную структуру границы, и диалектика числа как конкретного смыслового образа была бы в основном закончена. Но тут граница и очерченность положены вместе с самим числом, и потому предстоит еще диалектика разделения этих двух моментов, прежде чем будет получена чистая и конкретная смысловая фигурность числа.

В непрерывной величине фигурность числа положена вместе с самим числом и алогически расплылась в нем. Прерывная величина вносит различения в эту алогическую растворенность фигуры числа в самом числе. В категории же предела впервые останавливается это бесконечное алогическое стремление и фиксируется как некая ставшая структура. Оформленность и образность, вошедшие в непрерывной и прерывной величине внутрь структуры и придавшие ей определенную смысловую содержательность (пока на стадии алогического становления), в понятии предела впервые фиксируются в своей едино–совокупной положенности, в своей ставшей, а не просто становящейся смысловой данности. Оттого предел есть ставшая фигурность внутреннего и внешне положенного числа, пребывающего во взаимно несоизмеримом подвижном алогизме. Предел есть положенность такой границы, такой структуры и числового очертания, когда этими границами и структурами определяется алогический процесс становления числа, по существу своему бесконечный. Непрерывность и прерывность слиты здесь в один процесс стремления выразить некую общую структуру становления, и эта структура и есть граница, предел – и в общем, и в специально–математическом смысле этого последнего слова.

4. Итак, мы получили до сих пор оформление числа, положенное в неразрывном единстве с самим числом, с его внутренно–внешним содержанием. Разная степень конструкции этого оформления зависит от разной степени конкретности самого числа. Ниже (§ []) мы увидим на трех типичных пределах – <…> как эта нарастающая конкретность числа, взятого вместе с его фигурностью, чувствуется вполне осязательно. Если предел <…> есть стихия числа (единицы) в его общеэнергийной выявлен–ности, где сама явленность, т. е. сама очерченность и фигурность, еще пока растворена во внутрённо–внешнем содержании числа и где нет раздельного фиксирования формы как таковой и числа как такового, то в пределе (…) начинается, рождается, а в пределе (…) завершается и наглядно рисуется такая оформленность числа, которая хотя и пребывает в полной с ним неразрывности, но уже осязательно на нем обрисовывается, выпукло на нем выступает и оказывается в значительной мере доступной для изолированного созерцания. В понятии (…) дано наиболее наглядно это совокупное содержание границы величины и ее внутреннего содержания – в конкретно выявленном взаимоотношении того и другого. Здесь наиболее зрелый плод совокупного полагания вещи вместе с ее смысловой образностью и очерченностью.

5. Следовательно, остается только отбросить то, ради чего данная образность есть образность, и мы получим уже чистую самостоятельную числовую образность, созерцаемую не на чем–нибудь другом и не в отношении чего–нибудь другого, а вполне самостоятельно, образность как таковую, как новую и самодовлеющую субстанцию. В категориях непрерывности, прерывности и предела числовая образность была хотя и положена, но эта положенность была связана здесь с формой и степенью положенности самого числа и потому получала не общую, а частную, вполне специфическую структуру. Это мешало числовой образности быть свободной структурой, и ее нельзя было вписать в таблицу основных математических категорий как самодовлеющую. Она тут пока еще играет второстепенную роль, и значение ее вполне прикладное. Но исключим из этого едино–совокупного обстояния образа–вещи числа его «вещественную» стихию и сосредоточимся на образности как таковой, на образности как самоцели, и – мы получаем уже совершенно новую категорию числа, вполне свободную и самоцельную; и тут уже не будет антитезы внутреннего и внешнего как основного и единственного фактора (при котором граница была бы чем–то второстепенным, хотя и само собою разумеющимся), но тут будет обратная тому ситуация: основную и единственную роль играет здесь сама граница, сама образность и оформление, а антитеза внутреннего и внешнего оттесняется здесь назад и начинает играть роль только смыслового фона, совершенно необходимого и очень нужного, но второстепенного и как бы окаймляющего выпукло данную и резко выступившую вперед очерченность и фигурную сконст–руированность.

Число, данное как чисто смысловая образность и фигурность числа, как отделенная от его внутренно–внешне–го содержания чистая его структурность, и есть мнимое, или комплексное, число.

К анализу этой глубочайшей категории математики мы теперь и обратимся.

§ 105. [с)] Мнимая (комплексная) величина. Общее понятие.

Мнимая величина может быть рассматриваема с разнообразных точек зрения, и в самой математике дается отнюдь не какое–нибудь одно–единственное ее определение, хотя, безусловно, все эти различия являются только разными сторонами одной и той же диалектической конструкции, и надо уметь их так связать, чтобы действительно получалась единая конструкция.

Назад к карточке книги "Хаос и структура"