Текст книги "Хаос и структура"

Автор книги: Алексей Лосев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 52 (всего у книги 62 страниц)

3. В истории логики не раз намечалась и давала интересные результаты позиция той логики, которую можно было бы назвать общим именем структурной. Деспотизм формальной логики и абстрактной метафизики, разумеется, и здесь сделал свое дело, и структурные анализы почти всегда тонули в море традиционной и популярной метафизики. Однако нам здесь совершенно ни к чему замазывать эту весьма принципиальную тенденцию логической мысли; и мы должны признать, что во многих проблемах она удачно конкурирует и с формальной логикой, и с логикой содержания. Конечно, поскольку настоящее исследование имеет совсем другую тематику, разрабатывать нам здесь проблемы структурной логики было бы совсем неуместно. Входить в ее историю и теорию—это значило бы перейти совсем к новому исследованию. Поэтому нам придется ограничиться здесь исключительно краткими соображениями, и притом для единственной цели – формулировать одну из богатейших областей мысли, где может проводиться и проводится изучаемый нами метод бесконечно–малых.

Как показывает самое название, структурная логика исходит не из объемов и не из содержания понятия, но из его структуры. Выше мы говорили о структуре как о единстве теоретического и практического, как о единстве идейного и материального, потому что в структуре обязательно должны быть определенного рода материальные части и эти материальные части должны быть объединены по какому–нибудь определенному принципу. Теперь мы можем сказать, что такое совмещение и объединение материального по какому–нибудь принципу есть то, что обычно называется целым.

Структура, вообще говоря, есть такое целое, части которого связаны между собою каким–нибудь единым принципом (или несколькими такими принципами), так что целое, будучи тем или другим положительным содержанием, не только не сводится на простую сумму его частей, но даже целиком присутствует в каждой своей части, хотя присутствует и в каждой части по–разному. Такое понятие структуры ставит сразу его в промежуточное место между объемной (количественной) и содержательной (качественной) теорией. Структура не есть ни только количество, ни только качество, т. е. ни только форма, ни только содержание. Что вообще такое соотношение между качеством и количеством возможно, у нас это широко известно хотя бы из гегелевского учения о мере. Но мера, конечно, еще не есть структура.

Разрабатывать этот вопрос ввиду его специальности мы здесь не будем. Но мы сделаем только одно замечание, которое должно указать самое направление для возможных здесь изысканий. Именно, почему мы должны считать, что в структуре понятия совмещается его объем и его содержание? И с точки зрения формальной логики, и с точки зрения «логики содержания» внесение нового признака в понятие, т. е. расширение содержания понятия, обязательно связывается с сокращением его объема. Если к признакам понятия «учащийся» мы присоединим признак «учащийся вуза», то новый объем, полученный нами, т. е. «студент», окажется беднее, чем «учащийся» вообще. По учению обеих логик, студентов меньше, чем учащихся вообще. Совсем не то имеем мы в структурной логике. Если в структуре целое как таковое присутствует в каждой своей части (хотя, как сказано, каждый раз и по–разному), то ясно, что присоединение нового признака понятия есть расширение его объема, а не его сужение, поскольку в этом вновь присоединенном признаке дается целое и поскольку он оказывается в силу этого не чем иным, как видом данной общности. Ведь что такое видовое понятие? Это, учит формальная логика, есть соединение рода и видового различия, но этот новый признак, вводимый в понятие, как раз и есть—в качестве того, что он именно признак, – видовое различие, а в качестве того, что в нем отражается целое и общее, которое он теперь характеризует, – соединение этого видового различия с данной родовой общностью. Это нужно себе хорошенько усвоить. Структура понятия есть обязательно соединение и взаимо–пронизание его содержания и его объема.

Конечно, студентов меньше, чем учащихся вообще, но это при двух условиях: надо все понятийные отношения свести на чисто количественные; и надо, когда мы говорим об учащихся вообще, забывать о студентах и, когда мы говорим о студентах, забывать об учащихся. При таком подходе действительно «студентов меньше, чем учащихся вообще». Но ведь структура понятия «учащийся» потому и есть структура, что входящие в него виды не исчезают в его безразличной общности, но сохраняются и образуют вместе некую связную картину. «Учащийся» только формально шире по объему, чем «студент». Допустим, что мы всерьез не знаем, что такое «студент». Можно ли в таком случае считать, что с появлением этого нового признака в понятии «учащийся» объем этого понятия не расширился? Покамест мы не знали, что такое «студент», мы, конечно, тем самым и к меньшему количеству учащихся применяли понятие «учащийся». А когда мы узнали, что такое «студент», то понятие «учащийся» стало и применяться нами к гораздо большему числу учащихся. Другими словами, с расширением содержания понятия «учащийся» расширился и его объем. Это, однако, возможно только потому, что, перейдя к понятию «студент», мы не забыли понятия «учащийся», а, наоборот, локализировали его в этом последнем и перенесли на него целиком это понятие «учащийся». Иначе говоря, это обогащение объема понятия «учащийся» вместе с расширением его содержания стало возможным только потому, что мы перестали рассматривать объем и содержание в их разорванности и самостоятельности, но стали рассматривать их как структурное целое: с присоединением каждого нового признака понятия возникает и новое видовое различие этого понятия, т. е. новый вид; а с устранением признака устраняется и соответствующее видовое понятие. Стоит только разорвать эту связь содержания и объема понятия, т. е. мыслить содержание независимо от того, какие объемы реально, конкретно с этим связаны, как уже придется более бедное содержание связывать с более обширным объемом, хотя бы даже мы и не имели реально этих объемов. Только уже зная, что такое «студент», мы можем считать понятие «учащийся» шире понятия «студент» по объему; а не зная этого, как можно судить о размерах объема «учащийся»? Однако если мы уже знаем, что такое «студент», то это знание само стало возможным только потому, что мы перенесли на него понятие «учащийся» (ибо «студент», который был бы не «учащийся», невозможен), т. е. тем самым перенесли на него в некотором роде и все объемы, с ним связанные (ибо если бы на «студента» переносилась бы только часть объема «учащийся», то «студент» опять–таки был бы не «учащимся», а только частью этого «учащегося»). Следовательно, самое суждение «студентов меньше, чем учащихся вообще» возможно только как формализация и обесструктурение другого суждения – «студент есть учащийся». Ибо если действительно студент есть учащийся, а учащиеся—это и школьники, и дошкольники, и учащиеся–единоличники ^[215], то, мысля «студент есть учащийся», мы обязательно примышляем и все эти объемы, связанные с «учащимся вообще», при условии, конечно, если мышление наше ясно и отчетливо и если все виды понятия мы мыслим как единую структуру. А тогда «студент» – более обширный объем, чем «учащийся вообще». Однако и эти все рассуждения о соотношении содержания и объема понятия в его структуре, в сущности, весьма условны и проводятся нами только в отношении и ради приспособления к популярным взглядам на содержание и объем понятия (а взгляды эти есть формальная логика). Если говорить точно, то для структурной логики не существует вовсе никакого содержания, ни объема понятий. Немного ниже—опять–таки из математики – мы увидим, [что] объем всякого понятия всегда бесконечен и что, следовательно, все понятия имеют совершенно один и тот же объем, а содержание понятия разнообразится только своей структурой. Но прежде чем заговорить об этом, укажем конкретно научный пример структурных умозаключений, не имеющих ничего общего ни с объемными, ни с признаковыми операциями.

4. В предыдущем мы уже столкнулись с тем колоссальной важности фактом, что богатейшей наукой, построенной на таких структурных умозаключениях, является химия (хотя примеров таких умозаключений достаточно и во всякой науке).

Возьмем и здесь какую–нибудь химическую формулу из самых обыкновенных, напр. H ₂S0 ₄+Cu0 = CuS0 ₄+ H ₂0, т. е. формулируем, что серная кислота в соединении с окисью меди дает медный купорос плюс воду. Разве требуется тут долго разъяснять, что это умозаключение произведено решительно без всяких «включений вида в род» и решительно без всякой «логики содержания»? В предложенной формуле левая и правая стороны абсолютно тождественны по своим «признакам»: те же самые Я, S, О и Си, т. е. водород, сера, кислород и медь, которые фигурируют слева, те же самые они и в правой части. Что же переменилось? Почему в одном случае была серная кислота и окись меди, а в другом появился медный купорос и вода? Мне кажется, даже идиоту ясно, что дело тут вовсе не в отдельных элементах, а в их структуре. Ведь элементы же абсолютно тождественны в обоих случаях, и если что существенно, то исключительно характер их связей, т. е. структура. Значит, химические формулы строятся отнюдь не по типу «логики содержания»: «признаки» тут совершенно одинаковы в обеих сторонах формулы.

Но может быть, химические формулы строятся по типу соотношений рода и вида? Думать так было бы еще бессмысленнее. Где же тут род и где вид? Ни медный купорос, ни вода ни в какой мере не являются здесь ни родом, ни видом ни в отношении серной кислоты, ни в отношении окиси меди. Сравним, напр., серную кислоту и медный купорос. Соотношение этих химических соединений не имеет совершенно никакого отношения к роду и виду. Медный купорос получается в результате замещения в серной кислоте водорода медью. Это замещение имеет чисто структурное значение; тут ничто ни для чего не является ни родом, ни видом.

Следовательно, химические формулы предполагают совершенно особую логику, совершенно специфическое возникновение и объединение понятий. Эта химическая логика ни с какой стороны не есть ни формальная логика объемных включений, ни содержательная логика совокупности признаков. Это царство чисто структурных умозаключений. И для логического осознания такой науки нужна и особая система логики, и особый метод соединения понятий, что и удобно назвать структурной логикой, структурным методом логического мышления. Все это резко противостоит всякому неструктурному анализу, между прочим имевшему место и в самой химии, но в отдаленные времена, до Лавуазье, когда думали построить эту науку на непосредственных качествах вещества, наиболее ярким выражением чего явилась знаменитая теория флогистона. В настоящее время все такие теории могут иметь только музейное, археологическое значение, ибо вся химия, с начала до конца, строится решительным образом по структурному принципу, причем структура эта проводится здесь не только при комбинации тех или иных химических соединений (как в только что приведенном примере), но даже и внутри одного и того же соединения (на этом построена вся органическая химия, с примерами чего мы уже встречались выше, в§ [12]).

Спорить не приходится, что анализ бесконечно–малых вполне применим и к структурному мышлению, поскольку структурное мышление тоже возникает и исчезает непрерывно. Мы для этого приведем сейчас одно из ходячих рассуждений в химии, но суть дела здесь, конечно, гораздо более общая. В учебниках интегрального исчисления приводится пример с вычислением скорости химических реакций. Напр., уксусно–этиловый эфир обмыливается едким натром. Эта реакция происходит по определенной химической формуле, выписывать которую здесь не стоит. Реакция эта имеет ту или иную длительность во времени, зависящую при прочих равных условиях от концентрации реагирующих веществ (а величина этой концентрации измеряется количеством данного вещества в единице объема раствора). Если мы знаем концентрацию уксусно–этилового эфира и едкого натра в начале опыта, а также концентрацию одного из них после истечения определенного времени реакции, то мы можем узнать концентрацию того же химического соединения по истечении любого времени. Концентрация есть, стало быть, функция времени. Было бы нецелесообразно здесь загромождать наше изложение приведением всех математических выкладок, сюда относящихся. Но читателю уже из предложенной наметки должна быть совершенно ясна возможность и необходимость инфинитезимальной обработки структурных понятий химии.

Однако, повторяем, дело не в этом. Нас ведь интересуют не буквально математические интегралы и дифференциалы, по которым имеются десятки и сотни учебников и исследований, но логические интегралы, логические дифференциалы, логические производные. Поэтому там, где в химии применяется математический анализ в буквальном смысле, мы находим для себя как раз менее интересные проблемы. Гораздо интереснее для логики трактовать инфинитезимально самые понятия в химии, не переходя непосредственно к числам, величинам и вычислениям. Для логики имеет третьестепенный интерес вычисление скорости как производной от пути по времени (это область математики и механики, а не логики). Но для нее имеет первостепенный интерес, что самая категория скорости есть производная от пути по времени; и в этом смысле она остается для логики производной даже в тех случаях, когда эту скорость невозможно вычислить математически и когда математически не удается интегрировать ее по времени, чтобы получить путь.

С этой точки зрения общие категории химии, будучи чисто структурными, имеют для инфинитезимальной логики огромный интерес, несмотря на невозможность здесь чисто вычислительного подхода и даже именно благодаря этой невозможности. В этом смысле химия—замечательная область и какое–то царство структурного инфинитезимализма.

Правда, весь этот химический инфинитезимализм предполагает такое широкое применение в этой науке принципа непрерывности, какого она фактически не допускает в настоящее время. Однако можно с полной уверенностью утверждать, что такое всеобъемлющее применение принципа непрерывности в химии есть вопрос недалекого будущего. Антично–средневековая проблема превращения элементов в настоящее время принципиально разрешена в положительном смысле. И если еще не наблюдалось превращение решительно всех химических элементов и если наука еще очень далека от технического овладения этим превращением, то ясно, что здесь дело касается уже не принципиальной стороны вопроса. Для нас достаточно уже того, что радий в природе самостоятельно превращается в нитон, нитон—в радий А, радий А – в радий В и потом последовательно– в радий С, Д F и, наконец, G, который является изотопом свинца. Это есть не что иное, как самый настоящий распад вещества, происходящий в силу излучения определенного рода лучей. Сам радий тоже есть продукт распада еще более тяжелых элементов – урана и тория. Существует разработанное учение о скорости этих превращений, совершающихся самостоятельно в природе; и исчисляются (между прочим, огромные) промежутки времени, в течение которых происходит превращение той или иной массы данных элементов. Конечно, о всеобщей превращаемости химических элементов в настоящее время рано говорить. Но очень важно, что мы находим излучение и у металла калия, в результате какового мы получаем такой калиевый ряд элементов: калий, хлор, фосфор, алюминий, натрий, фтор, азот, бор, литий. Точно так же очень важно, что мы имеем еще подобного же рода кальциевый ряд, тоже излучающийся в результате последовательного превращения элементов: кальций, аргон, сера, кремний, магний, неон, кислород, углерод, бериллий, гелий. Всего этого материала более чем достаточно для проведения принципа непрерывности в химии, а значит, и для инфинитезимальной интерпретации структурных понятий вообще.

Ко всему этому нужно прибавить еще и то, что как раз явление структуры особенно удобно рассматривать с точки зрения метода бесконечно–малых, поскольку на нем построено огромное здание такой науки, как современная органическая химия, насчитывающая в настоящее время уже за миллион разного рода органических веществ. Эти органические вещества открываются здесь почти каждый день, и их не успевают даже регистрировать. Вещества, которые, казалось, не имеют между собою ничего общего, получают разного рода промежуточные звенья и структуры, мало похожие одна на другую, то там, то здесь сближаются. Идея непрерывности, без которой невозможно применение метода бесконечно–малых, таким образом, может считаться вполне реальной как для химии вообще, так и особенно для органической химии.

Но бросим беглый взгляд на то, что такое структура в химии.

Прежде всего известно, что всякий химический элемент—это не что иное, как та или иная система протонов и электронов. Протон – положительно заряженное ядро водорода, а электрон – отрицательно заряженная масса, вращающаяся вокруг атомного ядра. Следовательно, все химические элементы, а это значит и вся материя, есть в основе только водород, данный в той или иной структуре. Уже начальный, исходный атом, атом водорода, есть определенного рода структура: один протон и один вращающийся около него электрон. Атомный номер водорода равен единице, и с него начинается периодическая система элементов. Дальше идет гелий: заряд ядра – 2, масса ядра в 4 раза больше водорода, вращаются 2 электрона со взаимным наклоном орбит, как предполагают, в 120°. Дальше идет литий: 3 электрона, из которых два вращаются, как у гелия, а третий имеет очень удлиненную орбиту. И т. д. и т. д.

Ясно, следовательно, что различие всех элементов чисто структурное, а не непосредственно–качественное. Ибо непосредственное качество всех элементов одно и то же, а именно водород. Но раз так, то всякий химический элемент есть структурная функция водорода. И значит, можно говорить и о бесконечно–малых приращениях этого аргумента и этой функции, и об их отношении, о пределе этого отношения, т. е. о производной. Так как производная от функции есть, как мы знаем, принцип ее становления, то, во–первых, производной от всякого химического элемента является, очевидно, принцип того или иного его конкретного свойства или поведения. Наиболее ярким выражением такой химической производной является валентность, т. е. способность атома присоединять к себе различное количество других атомов, ибо способность эта, очевидно, играет основную роль в поведении атома на фоне других атомов. Валентность – великолепный пример на производную чисто структурного типа. Но это значит, что сам атом данного химического элемента, являющийся функцией водорода, есть интеграл от валентности по водороду, а каждое его отдельное конкретное свойство (атомный вес, температура плавления, температура кипения и пр.) есть дифференциал.

Во–вторых, эти же самые категории бесконечно–малого можно представить и иначе (вероятно, их можно представить еще и многими другими способами). А именно, поскольку производная от функции есть метод становления последней, а всякая структура тоже может рассматриваться как метод и предел известного рода становления, то вместо валентности в качестве производной можно выдвигать и силу структуры. Если независимое переменное у нас водород, т. е. положительно заряженное ядро водорода, т. е. протон, а функция—электрический заряд какого–нибудь элемента, то именно структурное строение всякого такого атома есть то, к чему стремится изменение протона, когда из водорода и возникает данный новый элемент. Но если структура атома, т. е. взаимоотношение протонов и электронов, есть в данном случае производная, то интегралом явится сам данный атом в полноте своих физико–химических свойств, а дифференциалом—тот же атом с тем или иным отдельным свойством.

Эта инфинитезимальная система кроется уже и в самом водороде. Если водородный атом как целое есть функция электрического заряда его ядра, то в условиях непрерывности мы получаем и соответствующую валентность водорода, в то время как самая его структура есть интеграл, а всякое реальное свойство—дифференциал.

Но метод бесконечно–малых, применимый на атоме водорода, применим и на любом химическом элементе, применим, очевидно, также и на химических соединениях, и на химических реакциях. Если считать аргументом вступающие в реакцию вещества, а функцией—результаты этой реакции, то мы уже видели, что тут можно ставить вопрос о скорости реакции, и эта скорость может пониматься здесь как самая настоящая производная (в логическом смысле слова). Но вовсе не обязательно говорить только о скорости. Производная здесь есть вообще то или иное направление химической реакции, как и в логике (мы видели) производная есть предельное направление его становления. Если так, то прежде всего опять–таки сама же структура химического соединения или химической реакции должна рассматриваться как производная от данного химического соединения или реакции. Если независимое переменное – «медь, сера, кислород», а функция – «медный купорос», то производная здесь—метод получения медного купороса, т. е. присоединение одного атома меди и одного атома серы.

Но можно эту производную понимать и иначе. Так, три основных типа химических реакций—реакции разложения, соединения и замещения – тоже являются хотя и очень общими, но, несомненно, в логическом смысле именно производными от результата химической реакции по ее реагентам. Но тогда результат химической реакции есть интеграл, а отдельные химические свойства, из которых он состоит, суть дифференциалы. Пусть из серы и железа мы получаем новое вещество, не делимое ни на серу, ни на железо, ни вообще на какие–нибудь части железа. «Сера и железо» есть тут независимое переменное, аргумент; «сернистое железо» есть функция; тип данной реакции (соединение)—производная; сернистое железо как предел суммы всех моментов данной реакции – интеграл; отдельные его свойства и отличия—дифференциалы. Все эти категории, конечно, не могут не быть отражением, т. е. повторением, того, что говорит и самая обычная химия, ибо кто же станет отрицать, что результат реакции есть функция реагентов или что из отдельных свойств этого результата складывается и сам результат? Однако тут мы вводим бесконечно–малые отношения и связи. И – самая обычная картина самой обыкновенной и элементарной химической реакции оказывается погруженной в атмосферу непрерывного становления. Только в этом одном и заключается вся новость. И так как непрерывность эта не может не быть во всякой химической реакции, то логический метод бесконечно–малых ровно ничего не создает тут нового (и это было бы фантастической метафизикой, если бы логический метод вообще что–нибудь в абсолютном смысле создавал); он только подчеркивает и оттеняет для мысли то, что и без него дано в самой материи, во всех этих химических реакциях.

Наконец, для демонстрации структурного значения инфините–зимального метода необходимо привлечь и то понимание структуры, на котором основана органическая химия и с которым мы уже имели случай встретиться выше. Тут даже не требуется химической реакции, и, главное, эта органическая структура как раз выступает здесь наиболее ярко, будучи единственным фактором для данного химического вещества в сравнении с другим, состоящим из тех же самых элементов. Инфинитезимальная интерпретация могла бы быть приведена здесь в таком виде.

Будем принимать в качестве независимого переменного то «теоретическое», так сказать, соединение, в котором еще нет никакой структуры и, значит, которой не соответствует никакое конкретное химическое вещество, напр. хотя бы C ₁₄H ₁₀· В таком случае функцией нужно считать те конкретные химические соединения, антрацен и фенантрен, которые оба состоят из C ₁₄H ₁₀и отличаются между собою структурой объединения элементов. Ясно, что производной в таком случае явится именно структура этих соединений; но так как эта структура здесь не одна, то здесь лучше говорить об общем структурном типе, намеченном для антрацена и фенантрена, т. е. о т. н. скелетном типе, об изомерии скелета. Разные реальные структуры, возможные здесь, могут рассматриваться как то или иное приближение к идеальному скелетному типу, как то или иное его выражение. Тогда интеграл – это самое C ₁₄H ₁₀, но не как механическая смесь молекул, а как предельная совокупность всех структурных возможностей этого соединения. Соответственно и дифференциал здесь – всякая отдельная такая структурная возможность, в частности, эти же антрацен и фенантрен, равно как и все промежуточные возможности, могущие быть как результат общей непрерывности.

5. Вообще говоря, структурная логика является наименее разработанным типом логики, хотя редкая система философии не касалась структурных форм под тем или другим названием. Свести все эти данные воедино, выработать строгие и точные принципы структурного понятия, структурного суждения и структурного умозаключения, четко отделить структурный метод логики от объемного и признакового – вся эта огромная работа еще предстоит, и, собственно говоря, только после нее можно было бы четко рассуждать о применении метода бесконечно–малых к структурной логике. Поэтому если говорить строго, то предложенное нами только что рассуждение является весьма и весьма предварительным. Это – первый шаг и первый опыт в области загадочной и малоразработанной.

Одно только можно сказать с полной уверенностью: ясные и строгие достижения точных наук являются одним из наиболее эффективных принципов для построения и логики вообще и в частности структурной логики. Для разъяснения того, что такое структура и как понимать структуру с точки зрения метода бесконечно–малых, конечно, можно было бы привлечь любой материал, напр. хотя бы из художественной области, где вопросы архитектоники играют первостепенную роль. Однако тут пришлось бы еще убеждать в наличии самых этих материалов и взывать к эстетическому чувству читателей. Гораздо целесообразнее использовать вместо этого точный и строго научный материал отдельных устоявшихся наук. В органической химии не только установлен точнейшим образом самый факт структуры, но имеется подробная классификация этих структур и вообще богато разработана теория химических связей. Разве может логика пройти мимо всех этих фактов без внимания? И разве логическая структура не есть просто отражение химической (в данном случае) структуры—для той философии, по которой всякое вообще мышление есть не что иное, как отражение бытия?

Один результат мы можем формулировать с полной ответственностью, хотя по необходимости он пока очень общий: структура мышления так же погружена в непрерывную текучесть, как и все на свете, и поэтому к ней, как и ко всему, тоже приложим метод бесконечно–малых. И это уже во всяком случае так, как бы мы ни понимали самое структуру. Гарантией этого являются точные науки, и прежде всего химия, где и сама эта категория на первом плане и где уже давно поставлен вопрос о непрерывной превращаемости элементов в связи с отмеченным фактом их радиоактивности. Но конечно, это далеко не единственная наука, где так четко объединяется структурность с непрерывностью.

14. ЖИЗНЕННО–ЛОГИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Именно во всех этих рассуждениях мы не должны забывать, что инфинитезимальные понятия не только просто имеют некое отношение к действительности, но что вековое развитие наук о природе доказало их совершенно неотъемлемую связь с нею. Мы их рассматривали в применении к логике, т. е. к науке о мышлении. Но бесконечно–малое есть неотъемлемое достояние реальной действительности еще и до всякого мышления и без всякого мышления. Надо иметь в виду, что и без построения логики как науки мы в нашем самом обыкновенном чувственном опыте постоянно интегрируем и дифференцируем и не можем не интегрировать, не можем не дифференцировать.

1. В самом деле, меняются ли вещи или нет, движутся или нет? Можно ли остановить непрерывное становление вещей или нельзя этого сделать? Казалось бы, на это может быть только один и совершенно недвусмысленный ответ. Но стоит только допустить, что вещи непрерывно меняются, как тотчас же возникает вопрос: а как же мы узнаем эту вещь, если она вся целиком и непрерывно меняется. Как она может оставаться тою же вещью, если мы только что признали, что она сплошь становится и меняется? Ясно, что все ее изменения мы относим к какому–то ее ядру или центру, а не просто их забываем. Мы их, несомненно, суммируем. И как же происходит это суммирование? Вовсе не так, что все слагаемые остаются твердыми и неподвижными. Эти слагаемые расплываются в целом вещи, ибо вещь мы имеем все же как такую, как единичную, из каких бы слагаемых ни складывалось ее движение. С другой стороны, могут ли все эти бесконечно–малые изменения вещи быть таковыми в ней раз навсегда и сливаться в неразличимую массу? Это тоже невозможно, так как вещи реально меняются, и мы отчетливо воспринимаем это изменение. Так что же такое в конце концов реальное восприятие реально движущейся вещи, когда ни становление не дробится на дискретные части, ни дискретные части не теряют своей значимости в том целом, что называется восприятием вещи?

Я не знаю, как тут обойтись без процесса интегрирования и дифференцирования. Возводя изменения вещи к ее целому и прослеживая, как от них нарастает это целое, мы не делаем ничего другого, как просто–напросто интегрируем вещь и интегрируем наше восприятие вещи. Ведь надо же когда–нибудь гносеологу и логику всерьез обратить внимание на то, что такое, напр., длина дуги с точки зрения интегральною исчисления. Длиной дуги кривой линии называется здесь предел периметра вписанной в нее ломаной, когда число звеньев этой последней бесконечно возрастает, а сами звенья бесконечно умаляются. Все наши отдельные, изолированные восприятия частей этой длины есть не что иное, как эти вот звенья ломаной, то большие, то маленькие. Как из них составить восприятие целой длины данной дуги? Только путем перехода к пределу через суммирование отдельных отрезков в условиях их бесконечного дробления. Но раз так, то что же это может значить иное, как [не] то, что восприятие длины всякой дуги есть интегрирование. А ведь мы же на каждом шагу в обыденной жизни судим о длине тех или иных кривых в тех или иных границах. Далее, разве можно в логике проходить мимо того, как интегральное исчисление понимает площади и объемы тел? О площади мы уже говорили. Но было бы так же просто рассказать и об объеме тела, как о некоторого рода интеграле. Разве это не значит, что воспринять объем тела можно только путем бессознательного интегрирования его элементов? С другой стороны, кто же не наблюдал скорость движения тела и не сравнивал проходимый им путь с этой скоростью? Кто не сравнивал скоростей двух или нескольких тел, движущихся одновременно? Чем мы занимаемся, идя по людной улице, как не тем, что все время оцениваем движение трамвая, автомашин, велосипедов, лошадей, пешеходов? А известно ли всем, кто занимается логикой, что скорость есть первая производная от пути по времени?