Текст книги "Хаос и структура"

Автор книги: Алексей Лосев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 19 (всего у книги 62 страниц)

d) Необходимо заметить, что, в сущности, все три группы аксиом едино–раздельности действуют всегда и везде и речь может идти только о примате ^[46]той или другой группы. Ведь логическая связь, раз она однажды установлена, уже не может исчезнуть в абсолютном смысле. Она может только отступать, она может быть перекрыта и, стало быть, скрыта какими–нибудь внелогическими связями. Но так или иначе, латентно, она всегда как–то присутствует. И вот, можно сказать, что топология выдвигает на первый план аксиомы подвижного покоя, проективная геометрия—аксиомы самотождественного различия и синтетическая геометрия—аксиомы определенности – на общем фоне.

3. Прежде чем, однако, дать диалектические формулы вышевыведенным типам геометрического построения, мы внесем, во–первых, одно уточнение и, во–вторых, попробуем осознать относящийся сюда математический материал.

а) Яснее всего и проще всего положение топологии. Тут невозможно сказать, что исключается коллинеация, т. е. исключаются аксиомы самотождественного различия. Присоединяем теперь к категории подвижного покоя категорию самотождественного различия и оставляем неприсоединенной категорию определенности. Что в этих целях мы получим последовательность точек вместе с сохранением коллинеации, это тоже ясно. Но нельзя ли конкретнее описать значение отсутствия категории определенности? Это сделать можно и нужно, и тут–то и начинается подлинная работа диалектики математической науки.

А именно, в чем, собственно говоря, заключается абстрактность проективной геометрии в сравнении с обычной метрической? Проективная геометрия основана на перспективной точке зрения. Перспектива искажает фигуры; и вот – проективная геометрия синтезирует эти искажения. Она сохраняет коллинеацию как принцип, но она всячески требует коллинеарные связи, занимаясь в то же время только инвариантами в отношении всех этих деформаций. Что нужно для того, чтобы покончить ^[47]эти деформации и чтобы если они есть, то учитывать их как таковые, не отвлекаясь от их специфических свойств? Математика учит, что для этого надо принять во внимание существование бесконечно удаленной точки (или прямой) в качестве центра проекции. При таком центре все лучи зрения окажутся параллельными, и тем самым будет исключена всякая перспективная деформация фигуры. Следовательно, введение бесконечно удаленной точки внесет с собою определенность фигуры. Мы тут начинаем смотреть на фигуру с бесконечности, или, другими словами, начинаем смотреть на нее вне зависимости от расстояния. Проективная геометрия зависит от этого расстояния, хотя и отвлекается от вносимых им деформаций. Та же геометрия, которая построяется при помощи бесконечно удаленной точки, не зависит от этого, и потому изучаемые ею фигуры гораздо строже и конкретнее. Другими словами, категория определенности несет с собою исключение проективности и включение бесконечно удаленной точки. Пока не было определенности, пространственные расстояния вносили в фигуру свои деформации, а, чтобы отвлечься от них, проективной геометрии приходилось принимать во внимание только слишком абстрактные моменты фигуры. Теперь зависимость от пространственных расстояний исключается, и при этом точным диалектическим аналогом внесения бесконечно удаленной точки является внесение категории определенности (т. е. структурной определенности, фигурности) бытия. >

b) Но, как известно, включение бесконечно удаленной точки превращает проективную геометрию не в метрическую, а только в аффинную. Аффинные преобразования отличаются от проективных соблюдением параллельности, т. е. соблюдением углов, в то время как проективные преобразования соблюдают только коллинеацию. Аффинная геометрия поэтому гораздо конкретнее, но все же инвариантом аффинитета является только уточнение параллельных отрезков. Аффинное преобразование есть, следовательно, равномерное растяжение или сжатие пространства по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Поэтому геометрия, названная у нас выше метрической, или синтетической, вовсе не есть объединение трех основных категорий – подвижного покоя, самотождественного различия и определенности бытия. Таковым является пока только аффинная геометрия. Что же такое настоящая метрическая геометрия или, лучше сказать, настоящая синтетическая геометрия, т. е. та, в которой будут исключены даже те параллельные <…>, на которых стоит аффинная геометрия?

c) Вопрос этот крайне важен, и должна быть [в нем ] абсолютная диалектическая точность и ясность. Если мы обратимся к математике, то нас поразит ответ, даваемый ею на вопрос о переходе аффинной геометрии в метрическую. Этот ответ полон глубочайшей тайны; и, по–моему, из математиков еще никто не проанализировал его философски и логически, хотя Штаудт, Клейн и др. достигли полной ясности представления относительно математического значения этого ответа.

Ответ этот таков. Известно, что всякий круг пересекается с бесконечно удаленной прямой в одних и тех же двух постоянных мнимых точках (т. н. циклических точках) и, – соответственно, шар пересекается с бесконечно удаленной плоскостью по одному и тому же мнимому коническому сечению, кругу. Необходимость двух мнимых точек для всякой кривой второго порядка явствует аналитически из того, что пересечение двух кривых второго порядка дает четыре корня двух квадратных уравнений, в то время как вещественно эти кривые пересекаются только в двух точках. И вот оказывается: если присоединить к геометрической системе не только бесконечно удаленную точку (или плоскость), но и упомянутый мнимый круг, то из проективной геометрии вместо аффинной мы получаем метрическую. Этот ответ потрясает; и невозможно успокоиться, покамест не дашь ему достаточной философской интерпретации. Ведь речь ни больше ни меньше как о том, различать ли нам квадрат и прямоугольник или не различать. Ведь аффинная геометрия не различает этого. И вот оказывается: для того, чтобы иметь возможность различать квадрат и прямоугольник, надо ввести существование мнимого круга, по которому всякий вещественный шар пересекается с бесконечно удаленной плоскостью. Это учение производит настоящее мистическое впечатление, как бы ясно мы ни представляли себе, что квадратное уравнение имеет два корня, а два квадратных уравнения имеют четыре корня, что из них два корня мнимые, и т. д. и т. д. Попробуем разобраться здесь философски и диалектически, и это будет первая диалектика перехода от аффинности к метрике, первая – за все время существования и геометрии, и диалектики.

d) Нам надо, чтобы квадрат отличался от прямоугольника и круг от эллипса. Как связаны между собой квадрат и прямоугольник? Прямоугольник есть параллельная проекция квадрата. Следовательно, наш вопрос стоит так: как возможна проекция? Отвлекаясь от проек–тических (.··)> мы должны сказать, что проекция есть отображение первообраза на его инобытие. Что для этого нужно? Для этого 1) нужно, чтобы кроме первообраза было и его инобытие. Для этого 2) нужно, чтобы инобытие приняло на себя первообраз. Для этого 3) нужно, чтобы принятие на себя первообраза инобытием было не чисто образным (ибо тогда мы остались бы в сфере (…) первообраза) и не чисто инобытийным (ибо тогда мы остались бы в сфере только инобытия), но чтобы оно было именно отобразительным понятием, отображением. Что же это значит – принять на себя образ, но принять не вещественно, а образно же? Первообраз и его инобытие встречаются, но эта встреча – не вещественная, а чисто образная, смысловая. Выбирая выражения, более близкие к математике, надо сказать, что первообраз и его инобытие пересекаются, но пересекаются не вещественно, а мнимо. Позже (§ [105—107]) мы разовьем специальное учение о мнимых величинах как величинах именно выразительной (в частности, и отобразительной) структуры.

Итак, отличать квадрат от прямоугольника – значит отличать проектирующее от проектируемого, а это значит признавать существование проекции. Признавать существование проекции – значит признавать существование пересечения двух вещественных фигур в мнимых точках. Все поверхности второго порядка пересекают друг друга в мнимых точках, образующих особый мнимый круг. Поэтому если есть такой мнимый круг, то проекция квадрата в виде прямоугольника возможна и, значит, квадрат отличен от прямоугольника. Если же этого мнимого круга нет, то никакая проекция вообще невозможна и поэтому, берем ли мы квадрат, берем ли прямоугольник, пред нами в обоих случаях нечто совершенно тождественное.

Вот, следовательно, в чем удивительный секрет этого мнимого сферического круга, дающего устойчивость аффинному построению и превращающего его в построение метрическое. Это есть секрет выразительных функций числового бытия. Но тут необходимо еще одно разъяснение.

е) Для отражения первообраза должно быть инобытие. Если роль первообраза в нашей системе играет само число, (…) числа, конструированный при помощи принципов едино–раздельности, то инобытием этого первообраза является, очевидно, становление, сфера принципа непрерывности. Следовательно, для конструкции метрической геометрии мы выше использовали не только категории самотождественного различия, подвижного покоя и определенности бытия, но и категорию становления. Так оно и должно быть, потому что становление гораздо ближе подходит к метрической операции, чем дескриптивные и чисто смысловые категории едино–раздель–ности. Безусловно, становление входило и в нашу конструкцию топологии, проективной и аффинной геометрии, так как на данной ступени нашей диалектической системы мы обозреваем судьбы становления в связи с отражающимися на нем категориями едино–раздельности. Но во всех этих геометриях становление явно играет второстепенную роль. Оно здесь только обусловливает собою протекание тех преобразований, которыми как таковыми как раз данные типы геометрии и не занимаются и в отношении которых являются ^[48]только их инвариантами. Теперь же мы выдвигаем становление на первый план, рассматривая его вполне наравне с категориями едино–раздельности, т. е. все идеальные категории едино–раздельности действительно оказываются здесь целиком воплощенными в стихии становления, и последнее действительно рассматривается с точки зрения этих категорий полностью и целиком. Что же новое дает нам эта позиция?

Стихия становления может образовать с числовым первообразом абсолютное тождество. Это бывает тогда, когда оно как таковое, в самой своей субстанции, перестает существовать. В нашем случае мы не имеем такого тождества. Становление (инобытие) остается существовать само по себе, и его единственная функция здесь – отображать первообраз. Синтез числового первообраза и его инобытия происходит здесь поэтому не в субстанциональном отношении, а только в смысловом отношении. Здесь первообраз только указывает на свое отображение в инобытии, а инобытие своим отображением указывает на первообраз. Геометрический смысл возможности этого взаимоотображения (или взаимопроектирования) и есть наличие измерения фигур, т. е. их метрическая структура. И значит, только здесь мы можем говорить о синтетической геометрии в указанном смысле, а то, что мы называли выше этим именем, есть, стало быть, только база для настоящей синтетической геометрии.

f) Мы можем сказать еще и по–иному, и это ^[49]может стать резюме нашего исследования.

Покамест была у нас только проективная точка зрения, мы – согласно той категории, которая управляет этой последней, – могли только различать и отождествлять геометрические фигуры и их элементы, т. е. точку понимать как точку, прямую как прямую, плоскость как плоскость <…>, погружая все прочее в хаос становления. Когда мы захотели внести сюда еще и критерий определенного бытия, то, поскольку определенность в геометрии была для нас фигурностью (§ [55 ]), мы должны были заговорить о взаимных отношениях фигур (и их элементов), а не просто только различать и отождествлять их как таковые. Фиксировать же взаимное отношение фигур—значит оперировать с ними как с конечными величинами. Чисто проективная точка зрения выше разделения на конечное и бесконечное. Аффинная же геометрия требует это разделение; отсюда и введение ^[50]бесконечно удаленных элементов. Следовательно, если нам нужно рассмотреть становление в свете едино–раздельности, то мы погружаем всю отвлеченную фигурность, выведенную раньше в качестве чистых категорий, в стихию категорий и – таким способом получаем разные виды становления в свете едино–раздельности. При этом каждый раз берутся именно абстрактные категории едино–раздельности, а не их наглядная воплощенность, как того и требует сама едино–раздельность, которая есть, как мы знаем, начало отвлеченное, идеальное. Сохраняя подвижной покой как отвлеченную категорию, имеем топологию, где все деформируется, кроме последовательности элементов, а сама она понимается – в наглядном смысле – как угодно. Берем самотождественное различие как отвлеченную категорию, оставляя все прочее в становлении, т. е. в сплошной деформации, – получаем проективную геометрию, где сохраняется различие элементов, но—лишь как отвлеченных понятий (прямая везде остается как прямая, т. е. как прямая вообще ^[51]; и не важно, какая именно это будет прямая). Наконец, если мы вводим наличное бытие как категорию и смотрим, что получается при рассмотрении становления в его свете, то мы замечаем, что тут образуется определенность, оформлен–ность, конечность, но пока тоже как принцип, потому что для аффинной геометрии важна не ^[52]цельная и конкретная фигура, но лишь ее конечная определенность вообще. В этом и состоит тайна параллелизма, той, в принципе, конечной определенности фигуры, когда она рассматривается не в виде отвлеченной категории просто, но в виде непрерывного становления, – [рассмотренного с точки зрения отвлеченной категории конечной определенности.

Таким же отвлеченным принципом, в свете которого рассматривается непрерывное становление, может явиться, наконец, и само становление. Но последнее тут определяет собою уже не просто конечную фигурность, но и отличие одной конечной фигурности от другой (как на стадии проективной геометрии было мало фигуры вообще, а нужно было отличие одной фигуры от другой), потому что, увлекая конечную фигуру в свою стихию, оно тем самым меняет ее на ряд других конечных фигур. Но как возможен этот бесконечный ряд конечных фигур? Он возможен только как нечто единое. Этим единым является, конечно, уже само становление. Однако такое единое есть только порожденное единое, а не самая структура единого. Структура же как единое, т. е. та структура, которая характеризует и каждую отдельную конечную фигурность и есть нечто общее, может быть только мыслимой, а не вещественной. «Чтойность» вещи, взятая как принцип, может быть только мнимой. Та общая индивидуальность, которая определяет собою во всех индивидуумах самое конкретное в них и в то же время есть для них общее, эта индивидуальность есть мнимое. Отсюда – необходимость введения мнимого сферического круга, о котором шла речь выше.

Этот круг образуется путем пересечения любого конечного шара с бесконечно удаленной плоскостью. Но является заблуждением думать, что он, равно как и циклические точки, находится гоже на бесконечном расстоянии. Тогда именно потонуло бы все различие конечных кругов одного от другого. Так как этих конечных кругов бесконечное количество, то они в самом разнообразном смысле пересекаются в бесконечно удаленной плоскости. Поэтому циклические точки и мнимый сферический круг, чтобы обеспечить индивидуальную конкретность каждой конкретной фигуры, должны быть не на бесконечном расстоянии, а только на неопределенном. В самом деле, находя уравнение круга в однородных координатах

<(ξ – ατ) ²+ (η – bx) ^2 —r ²x ²= 0)>

и находя, что пересечение этого круга с бесконечно удаленной прямой <τ = 0> определяется уравнением

<ξ ²+ η ²= 0,>

мы определяем расстояние циклических точек так:

что и есть неопределенность. Так же неопределенно и расстояние циклических точек и от всякой другой конечной точки. На это тонко обратил внимание Ф. Клейн.

g) Наконец, дадим кратчайшее резюме всем рассмотренным типам геометрического построения. Именно, обратим внимание на то, что в топологии имеется в виду не сама фигура, а лишь ее непрерывное становление, и притом становление, которое не позже становящегося, а еще раньше его (поскольку никакая определенная фигура тут еще не фиксируется). Но становление принципа, взятое до самого принципа, есть перво–принцип.

Поэтому мы и можем сказать так. Топология есть наука о пространственном становлении, в котором не становится (инвариантна группе преобразований) только фигура как перво–принцип. Проективная геометрия есть наука о пространственном становлении, в котором не становится только фигура как отвлеченный принцип (как общее понятие). Аффинная геометрия – то же, когда не становится только фигура как определенный принцип, т. е. как конечная фигурность. Общеметрическая геометрия—то же, когда не становится фигура как индивидуально–конечная фигурность. Все это есть, таким образом, разная степень диалектической зрелости становления, зависящая от того, какие и в каких размерах категории воплощаются в этом становлении.

4. а) В качестве добавления скажем еще, что, поскольку принцип становления вносит возможность разнообразных комбинаций логически выведенных аксиом независимо от их чисто логической взаимосвязи (включая и саму непрерывность), вполне мыслимо конструирование геометрии и без всякого принципа непрерывности. Гильберт построил т. н. неархимедову геометрию, содержащую в себе все аксиомы, как раз за исключением аксиомы непрерывности ^[53]. И тем же самым занимался раньше его еще Веронезе ^[54], объединявший неархимедову арифметику и геометрию с теорией трансфинитных чисел Кантора. Хотя подобное построение по существу своему еще более оригинально и неожиданно, чем открытие Лобачевского (так как у последнего изменена только метрика, а [в] неархимедовой же геометрии нарушен самый континуум), все же формально и философски тут все совершенно обычно, и неархимедова геометрия – только одна из многочисленных диалектических теорий ^[55]вообще.

b) Все предыдущие установки являются только принципом для реального построения диалектики геометрии, которое мы даем в дальнейшем. Там все эти аксиоматические принципы должны вырасти в зрелую систему. Здесь же от этого, конечно, необходимо воздерживаться, и может идти речь только о самых принципах. Это положение дела и можно зафиксировать следующим образом.

I. Становление конструируется —

a) по типу подвижного покоя (т. е. порядка следования элементов), остающегося неизменным в условиях бесконечного становления прочих категорий (iтопология: любые свойства геометрических фигур инвариантны в отношении с любым непрерывным преобразованием);

b) по типу подвижного покоя (порядка следования) и самотождественного различия (взаимопринадлежности, сопряжения элементов), остающихся неизменными в условиях неопределенного становления категории определенности {проективная геометрия: любые свойства фигуры инвариантны в отношении к группе коллинеаций);

c) по типу подвижного покоя, самотождественного различия и определенности бытия, остающихся неизменными в условиях неопределенного функционирования самого становления, т. е. в условиях, когда категория становления еще не положена как самостоятельная {аффинная геометрия: любые свойства фигуры инвариантны к параллельному проектированию).

II. Становление конструируется по типу трех указанных основных категорий едино–раздельности с сохранением собственного принципа как инобытийного и потому с превращением его в то, чем измеряется фигура {метрическая геометрия: любое свойство фигуры инвариантно к абсолютно–измерительным операциям). Следовательно, фиксируется наиобщая и наиабстрактная метрика – та, которая гипостазирует идеальную фигурность во всей ее целостности, минуя те ее искажения, которые возникают от неполного числа категорий едино–раздельности. Эта метрика, однако, может быть и иной (она возникает уже в связи с принципами конгруэнтности и параллельности).

III. Становление конструируется по типу трех указанных основных категорий едино–раздельности, но без сохранения своего собственного принципа и как самостоятельного, и как подчиненного; это становление, нарушающее самый принцип непрерывности, становление непрерывности (неархимедова геометрия).

В таком виде можно было бы представить аксиоматическую диалектику основных типов геометрических построений, основанную на едино–раздельности и непрерывности.

5. Систематический обзор геометрии с точки зрения диалектики покажет нам, вообще, весьма большое разнообразие в комбинировании, а также и в формах развития основных аксиом. Мы, например, ничего не сказали о геометрии без всякой категории подвижного покоя. Однако вполне возможна геометрия, в которой отсутствуют аксиомы подвижного покоя. Таковой является геометрия Римана, являющаяся не чем иным, как сферической геометрией, а на сфере о трех диаметрах в одной диаметральной плоскости совершенно нельзя сказать, какой из них находится между двумя другими. Идея порядка здесь не имеет смысла, как неприменима она еще и к мнимым точкам (последние вообще не мыслятся размещенными в пространстве).

Так же, развивая начала проективной геометрии, мы столкнулись бы, например, с теоремой Дезарга. Если прямые, соединяющие попарно вершины двух треугольников, расположенных в двух плоскостях и не имеющих общей вершины, сходятся в одной точке, то соответственные стороны этих треугольников пересекаются в грех точках, расположенных на одной прямой, а именно на прямой пересечения плоскостей треугольников. Иначе можно было бы сказать,, что если два треугольника, принадлежащие различным плоскостям, перспективны, то они также и соответственны. Эту теорему можно доказать, исходя из аксиомы самотождественного различия плоскости и из аксиомы конгруэнтности на плоскости (категорию конгруэнтности мы пока еще не вывели, см. ниже, §66.4). Однако ее можно доказать и на основании других аксиом самотождественного различия, но только применяя их не к плоскости, а к пространству. Гильберт же доказал теорему Дезарга при помощи только одних проективных аксиом плоскости, т. е. при помощи наших аксиом самотождественного различия, притом только плоскостных. Для этого, конечно, необходимо соответствующим образом расширить понятия точки, прямой и плоскости. ^[56]Но тогда возможна недезаргова геометрия, наглядным примером которой Пуанкаре приводит луч, идущий по прямой через эллипс, но изгибающийся внутри его в дугу и выходящий из него тоже по прямой.

Так или иначе, но Штаудт доказал теорему Дезарга исключительно лишь при помощи «аксиом сочетания», примененных к пространству. А этот факт и значит, что проективная геометрия вырастает прежде всего на категории самотождественного различия.

Точный анализ подобных конструкций уже далеко выходит за пределы простой аксиоматики.

6. Что касается теории множеств, то предыдущая геометрическая дедукция типов становления с точки зрения категорий едино–раздельности, очевидно, должна дать руководящий принцип и для соответствующей дедукции моментов теоретико–множественной области.

a) Весьма наглядным делается, прежде всего, место теоретико–множественной топологии в системе аксиоматических установок вообще. Именно, под топологией понимается наука, изучающая те свойства множеств, которые сохраняются в условиях взаимно–непрерывного соответствия. Что в центре внимания здесь стадия непрерывности, это ясно; и что в условиях этой непрерывности мы соблюдаем только последовательность элементов ( = категорий подвижного покоя), отвлекаясь от всякой фигурности, это тоже ясно. Что же касается аффинных и проективных [множеств] (в смысле аналогии с проективной геометрией), то здесь также, по–видимому, принципиально возможны соответствующие построения.

Особо поговорим о метрических множествах, т. е. о понятии меры в применении к теории множеств.

b) Мы уже знаем (§ [ ]), что понятие меры возникает только в связи с категорией становления, и ниже, в § 66.2, мы этот вопрос развернем диалектически по поводу аксиом конгруэнтности. Сейчас нам важен тут только один принцип: становление структуры, если оно действует как самостоятельный принцип, застилает самую структуру новым слоем, который, будучи сравниваем с самой структурой, является ее измерением, или мерой. Математики поступают в определении меры весьма просто и наивно, за что, впрочем, в данном случае можно только похвалить. Можно было бы говорить и еще проще, не прибегая к нагромождению ненужных обозначений (к тому же обязательно греческими буквами) и пр.

Математики рассуждают так ^[57]. Мера множеств, лежащих на данном сегменте, есть не что иное, как более общее понятие длины отрезков этого сегмента. Пусть какое–нибудь множество F входит в S. Так как обычно берется интервал [0,1 ], то мера множества μ(F) равняется 1—мера (S– F),т. е. мера F + мера (S—F) = мере S=1. Мера μ(F) есть нижняя граньмножества всех мер μ(G), т. е. всех мер любой «области» G, которая содержит F. Мера этой области μ(G) есть, наоборот, верхняя граньвсех мер любого замкнутого множества F, лежащего в этой области. Если взять произвольное множество G⊃ Ε, то нижнюю грань множества всех неотрицательных чисел, изображающих меру области можноназвать внешней мероймножества μ*(E) a верхнюю грань всех неотрицательных чисел, дающих меру для F⊂ E, можно назвать его внутренней меройμ*(E). Когда внутренняя мера множества равняется его внешней мере, то множество измеримо, и данное число его внутренней или внешней меры есть его мера вообще. Попросту говоря, если я буду измерять данный объем изнутри и его же извне и оба размера измерения совпадут, то это значит, что данный объем действительно измерим и существует некая определенная количественная величина, которая его изображает (или измеряет). Ясно видно, что измеримость множества связывается именно с возможностью его перекрытия, т. е. покрытия новымслоем, т. е. с введением момента становления.

Отбросим всякое становление и возьмем только голую структурность множества, т. е. едино–раздельность актов числового полагания (признавая только такое становление, которое абсолютно имманентно самой отвлеченной структуре множества и еще не выделено в особую категориальную положенность). Тогда мы получим в качестве идеального образца просто натуральный ряд чисел и то, что называется счетным множеством (т. е. множество, эквивалентное множеству всех натуральных чисел). Какова будет мера всякого счетного множества? Его мера = 0; и это ясно само собой, хотя математики делают вид, что они это «доказывают». Это ясно так же, как и то, что мера множества из одной точки равняется нулю. Возьмем отрезок [0; 1 ] и на нем множество всех отрицательных чисел. Какова мера этого множества? Ясно, что мера эта равна единице. Вообще говоря, всякое замкнутое множество (т. е. содержащее в себе все свои предельные точки) и всякое совершенное множество (т. е. содержащее в себе все свои предельные точки и никаких других), если мера его будет больше нуля, всегда будет несчетно.

Употребляя совсем обывательскую терминологию (а она всегда прекрасна, если правильно отражает интуитивную картину жизни), можно сказать так. Когда есть просто идеальная структура, она несжимаема и нера–сширяема и плотность ее дана раз навсегда. Когда дается ее инобытийно становящийся аналог, то этот аналог можно деформировать как угодно. На то он и есть инобытие, становление. И вот, я могу эти точки, из которых состоит множество и о взаимном расстоянии которых раньше не было речи (или шла речь в переносном смысле слова), располагать на том или ином расстоянии одна от другой, располагать их гуще или реже. Вот эта плотность распределения и есть мера. Ясно, что различия «плотности» предполагают введение принципа инобытия в абсолютную «плотность» (или, если угодно, абсолютную разреженность ^[58]) абстрактного, идеального множества. Но инобытие в сравнении с абсолютной различенностью структуры есть некая неразличимость; неразличимость же есть сплоченность, сплоченность есть континуум, г. е. несчетное множество. Следовательно, наличие <…> меры, превышающей нуль, уже предполагает несчетное множество.

b) Измеримость множества есть, таким образом, результат его непрерывности. К этому сводятся основные положения теории измеримых множеств, которые, по Н. Лузину ^[59], звучат так.

Во всяком измеримом множестве Μ меры μ, μ>0 содержится такое совершенное множество Ρ, что

mes Ρ>μ – ε,

где ε>0, малое как угодно.

Всякое измеримое множество Μ меры, большей нуля, есть сумма конечного, или счетного, числа совершенных множеств Pi, Pi, … не имеющих попарно общих точек, и нуль–множеств [а ]N.

Измеримое множество обладает точками плотности и точками сгущения. Точка а есть точка плотности множества, если отношение

где δ – интервал, содержащий а внутри, стремится к 1, когда δ стремится к нулю. Та же самая точка есть точка разрежения, если это отношение стремится к нулю вместе с δ.

Если mes М= 1, всякая точка области [0, 1 ] есть точка плотности, и, если mes М = 0, всякая точка есть точка разрежения.

Обращаясь к геометрической аналогии, мы находим, что никакое измеримое множество Μ меры 1 не может быть равномерно расположенным на области [0, 1 ]. Тут всегда будет, по крайней мере, одна точка плотности и одна точка разрежения, т. е. на этой области имеются два интервала равной длины и неперекрывающиеся, из которых один насыщен точками Μ, а другой пустует или беден ими ^[60]. Таким образом, всякое измеримое множество меры не 0 и не 1 не будет равномерно покрывать область [0, 1 ], но «будет лежать на ней как бы сгустками, будучи слишком уплотненным в одних частях этой области и слишком разреженным в других».

Соответственно надо говорить и о последовательности измеримых функций (такова теорема Д. Ф. Егорова о наличии совершенного множества с равномерной сходимостью последовательности функций) и вообще об измеримых функциях. Для того, чтобы функция /(х), конечная почти всюду на [0, 1 ], была измеримой функцией, необходимо и достаточно, чтобы, как бы мало ни было положительное число ε, существовало на [0, 1 ] совершенное множество Р, обладающее свойствами:

1. f(x) непрерывна на Р,

2. mes Р> 1 – ε.

Совершенно ясно, что во всех этих представлениях меры мы все время имеем дело с непрерывностью, т. е. со становлением, но только это не просто становление (иначе у нас получился бы теоретико–множественный континуум), но становление, рассмотренное с точки зрения едино–раздельности, т. е. измеряемое становление.