Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (НЕ)"

Неявные функции

Нея'вные фу'нкции, функции, заданные соотношениями между независимыми переменными, не разрешенными относительно последних; эти соотношения являются одним из способов задания функции. Например, соотношение

  x² + y² – 1 = 0

задаёт Н. ф.

  y = у (х ),

соотношения

  x = rcosjsinJ, y = rsinjsinJ, z = rcosJ

задают Н. ф.:

  r = r(x , у,z ), j = j(x , y, z ), J = J(х, у, z ).

В простейших случаях соотношения, задающие Н. ф., могут быть разрешены в классе элементарных функций , т. е. удаётся найти элементарные функции, удовлетворяющие этим соотношениям. Так, в первом из приведённых выше примеров имеем:

а во втором:

  Вообще же таких элементарных функций найти не удаётся. Н. ф. могут быть как однозначными, так и многозначными. Не всякое соотношение (или система соотношений) между переменными задаёт Н. ф. Так, если ограничиваться лишь действительными значениями переменных, то соотношение x² + y² + 1 = 0 не задаёт Н. ф., так как не удовлетворяется ни одной парой действительных значений х и у; соотношение же e^xy = 0 вообще не удовлетворяется ни одной парой действительных или комплексных значений х и у. Теорема существования Н. ф. в её простейшей формулировке утверждает, что если функция F (x, y ) обращается в нуль при паре значений х = x _{, у} = y [F (x _{, y} ) ¹ 0] и дифференцируема в окрестности точки (x _{, y} ), причём F’_x (х, у ) и F’_y (х, у ) непрерывны в этой окрестности и F’_y (x _{, y} ) ¹ 0, то в достаточно малой окрестности точки x _{существует одна и только одна однозначная непрерывная функция у = у (х ), удовлетворяющая соотношению F (x, y ) = 0 и обращающаяся в y при x = x ; при этом y '(x ) = —F’x (x, y )/F’y (x, у ).}

  Для приближённого вычисления значений Н. ф. вблизи точки x_{, где её значение y уже известно, широко применяются степенные ряды. Так, если F (x, у ) — аналитическая функция [т. е. может быть разложена в окрестности точки (x , y ) в сходящийся двойной степенной ряд] и F’y (x , y ) ¹ 0, то Н. ф., заданная соотношением F (x, y ) = 0, может быть получена в виде степенного ряда}

сходящегося в некоторой окрестности точки х = х _. Коэффициенты c_k , k = 1, 2,..., могут быть найдены либо подстановкой этого ряда в соотношение F (x , у ) = 0, либо последовательным дифференцированием этого соотношения по х. Например, если Н. ф. задана соотношением

  y⁵ + xy – 1 = 0, x _{= 0, y = 1,}

то

и

откуда

c _{= 1, c1 = —¹ /5c^-3 , c2 = —2c1²c^-1 – ¹ /5c1c^-4 = —¹ /25 и т.д.}

  Если соотношение F (x, у ) = 0 может быть представлено в виде у = а + х j(у ), где j(y ) – аналитическая функция, то Н. ф. у = у (х ), заданная этим соотношением и принимающая значение а при х = 0, разлагается в ряд Лагранжа

сходящийся в некоторой окрестности точки х = 0. Например, из соотношения у = а + x siny (так называемое Кеплера уравнение ) можно получить:

  Вычисление значений Н. ф. в общем случае может быть произведено по методу последовательных приближений.

  Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 1, 22 изд., М., 1967; т. 3, ч. 2, 8 изд., М., 1969; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 2, М., 1970.

Неясыти

Нея'сыти (Strix), род птиц отряда сов. 12 видов. Распространены в Европе, Северной Африке, Азии и Америке. В СССР – 3 вида. Обыкновенная Н. (S. aluco) – длина тела 41—46 см, весит 0,45—0,68 кг; обитает в лесах и парках в средней полосе и на Ю. Русской равнины и Юго-Западной Сибири, на Кавказе горах Средней Азии. Уральская, или длиннохвостая, Н. (S. uralensis) – длина тела 50—58 см, весит 0,56—0,95 кг, и бородатая Н. (S. nebulosa) – длина тела около 65 см, весит 0,7—1,2 кг, населяют хвойные леса Русской равнины, Сибири и Дальнего Востока. Зимой совершают нерегулярные кочёвки. Гнездятся в дуплах, старых гнёздах сорок, ворон и др. птиц, иногда на земле. В кладке 3—4 белых яйца; насиживает самка около 1 месяца; птенцов кормят оба родителя. Питаются Н. главным образом мышевидными грызунами, реже птицами, лягушками, ящерицами или насекомыми.

Обыкновенная неясыть.

Назад к карточке книги "Большая Советская Энциклопедия (НЕ)"