Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (НЕ)"
Автор книги: Большая Советская Энциклопедия
Жанр:
Энциклопедии
сообщить о нарушении
Текущая страница: 41 (всего у книги 62 страниц)
Непрерывная группа
Непреры'вная гру'ппа, математическое понятие, как и понятие обыкновенной группы , возникающее при рассмотрении преобразований. Пусть М — множество элементов х какого-либо рода, например чисел, точек пространства, функций и т.п. Говорят, что имеется преобразование f множества М, если каждому элементу x из М поставлен в соответствие определённый элемент
y = f (x ), (1)
также принадлежащий М; при этом предполагается, что для каждого у найдётся такой элемент х, и притом единственный, который удовлетворяет уравнению (1). Т. о., уравнение (1) разрешимо относительно х:
x = f–1 (y ),
и f–1 также есть преобразование множества М. Преобразование f-1 называется обратным к преобразованию f . Преобразование е, переводящее каждый элемент х в себя, е (х ) = х, называется тождественным. Если имеется два преобразования f и g, то последовательное их применение даёт новое преобразование k:
k (x ) = f [g (x )].
Преобразование k называется произведением преобразований f и g:
k = fg.
Умножение некоторого преобразования f на тождественное е не меняет его:
fe = ef = f. (2)
Произведение преобразования f на его обратное f–1 даёт тождественное:
ff—1 = f-1 f = e. (3)
Для любых трёх преобразований имеет место ассоциативный закон:
(fg ) h = f (gh ). (4)
Совокупность всех преобразований множества М является группой. Можно, однако, рассматривать совокупность не всех преобразований, а любую такую совокупность преобразований, что наряду с каждым преобразованием в неё входит обратное к нему, а наряду с каждыми двумя – их произведение. Тогда мы также имеем группу преобразований (подгруппу группы всех преобразований множества М ). Если множество М является непрерывной средой (топологическим пространством ), точнее говоря, если известно, что значит
где x1 , x2 ,...,xn , ... – некоторая последовательность элементов из М , а x также принадлежит М (как это имеет место, например, в множестве чисел или точек), то можно выделить непрерывные преобразования. Преобразование f называется непрерывным, если из (5) следует
Множество всех непрерывных преобразований составляет группу непрерывных преобразований. Во многих случаях (но не всегда) группа непрерывных преобразований сама естественным образом оказывается непрерывной средой, т. е. в ней определяется понятие предельного перехода: можно говорить о том, что некоторая последовательность преобразований сходится к преобразованию. При этом оказывается, что из
следует
Такая группа называется Н. г. преобразований. Пусть М есть множество точек плоскости. Преобразование f называется движением плоскости, если для каждой пары точек х и у из М расстояние между х и у равно расстоянию между f (x ) и f (y ). Преобразование плоскости называется проективным, если точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, также лежащие на одной прямой. Частным случаем проективного преобразования является аффинное, при котором параллельные прямые переходят в параллельные. Здесь мы имеем три простейших геометрических примера Н. г. преобразований: группу движений, группу проективных преобразований и группу аффинных преобразований. Если рассматривать те свойства геометрических фигур на плоскости, которые не меняются при движениях плоскости, то мы получим обычную элементарную геометрию. Аналогично возникают геометрии проективная и аффинная, Ф. Клейном была выдвинута общая точка зрения (см. Эрлангенская программа ), согласно которой геометрия есть наука, изучающая те свойства фигур, которые не меняются при заданной группе непрерывных преобразований. Отсюда – роль теории Н. г. в геометрии. Примем за множество М всевозможные упорядоченные системы по n чисел x1 , x2 , ..., xn , которые будем трактовать как компоненты вектора х. Рассмотрим т. н. линейное преобразование f , переводящее вектор х в вектор у с компонентами y1 , y2 , ..., yn , причём преобразование задаётся формулой
Множество всех линейных преобразований составляет Н. г. преобразований. Можно рассматривать не все линейные преобразования, а, например, такие, которые не меняют длины векторов, т. е. для которых выполнено условие
x12 + x22 +... + xn2 = y12 + y22 +... + yn2 .
Такие преобразования составляют группу линейных ортогональных преобразований. Группы линейных преобразований играют весьма важную роль, в частности находят своё приложение в квантовой механике.
Современное развитие теории групп показало, что при изучении группы целесообразно бывает отвлечься от того факта, что элементы её являются преобразованиями, а следует трактовать группу просто как множество элементов, в котором установлена операция умножения, т. е. каждой паре элементов группы поставлен в соответствие элемент, называемый произведением исходных: k = fg, причём в качестве аксиом выдвигаются условия (2), (3), (4). Элемент e , раньше бывший тождественным преобразованием, теперь называется единицей группы. Вместо обратного преобразования появляется обратный элемент. Существование единицы и обратного элемента теперь являются аксиомами. Если для любых двух элементов f и g верно fg = gf, то группа называется коммутативной. Для того чтобы получить Н. г., следует предположить, что элементы её составляют топологическое пространство и что операция умножения непрерывна, т. е. выполнено условие (6), которое теперь выдвигается как аксиома. Так возникло в математике новое, абстрактное понятие непрерывной, или, что то же самое, топологической группы. Логически оно слагается из операции перемножения и операции предельного перехода. Так как обе эти операции весьма часто встречаются в математике, то понятие Н. г. принадлежит к числу важных и находит многочисленные приложения. Важнейшим типом Н. г. являются группы Ли (С. Ли — основоположник теории Н. г.). Если в окрестности единицы группы можно ввести координаты, т. е. каждый элемент f задать числами f1 , f2 ,..., fr — его координатами, то закон умножения k = fg можно записать для элементов, близких к единице, в координатной форме:
ki = ji (f1 , f2 ,..., fr , g1 , g2 ,..., gr ), (7)
i = 1, 2,..., r,
где ji — непрерывная функция всех переменных. Если ещё предположить, что функции j, трижды непрерывно дифференцируемы, то мы придём к понятию группы Ли. Если считать, что координаты единицы все равны нулю, т. е. если принять единицу за начало координат, то, разлагая в ряд Тейлора правую часть соотношения (7), получим
Числа
называются структурными константами группы Ли, и к изучению их полностью сводится изучение группы Ли.
Лит.: Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973 (имеется библ.).
Л. С. Понтрягин.
Непрерывная дробь
Непреры'вная дробь, цепная дробь, один из важнейших способов представления чисел и функций. Н. д. есть выражение вида
где a – любое целое число, a1 , a2 ,..., an ,... – натуральные числа, называемые неполными частными, или элементами, данной Н. д. К Н. д., изображающей некоторое число a, можно прийти, записывая это число в виде
где a – целое число и 0 < 1/a1 < 1, затем, записывая в таком же виде a1 и т. д. Число элементов Н. д. может быть конечным или бесконечным; в зависимости от этого Н. д. называют конечной или бесконечной. Н. д. (1) часто символически обозначают так:
[а ; a1 , a2,..., an ,... ] (бесконечная Н. д.) (2)
или
[а ; а1 , a2,..., an ] (конечная Н. д.). (3)
Конечная Н. д. всегда представляет собой рациональное число; обратно, каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной Н. д. (3); такое представление единственно, если потребовать, чтобы an ¹ 1. Н. д. [а ; a1 , a2 ,..., ak ] (k £ n ), записанную в виде несократимой дроби pk /qk , называют подходящей дробью порядка k данной Н. д. (2). Числители и знаменатели подходящих дробей связаны рекуррентными формулами:
pk+1 = ak+1pk + pk-1, qk+1 = ak+1qk + qk-1,
которые служат основанием всей теории Н. д. Из этих формул непосредственно вытекает важное соотношение
pk qk-1 – qk pk-1 = ± 1.
Для каждой бесконечной Н. д. существует предел
называемый значением данной Н. д. Каждое иррациональное число является значением единственной бесконечной Н. д., получаемой разложением a указанным выше образом, например
(е – 1)/2 = [0, 1,6, 10,14, 18,...];
квадратичные иррациональности разлагаются в периодические Н. д.
Основное значение Н. д. для приложений заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями числа a, то есть, что для любой другой дроби m /n, знаменатель которой не более gk имеет место неравенство |n a – m | > |gk a – pk l; при этом |qk . – pk | < 1/qk+1. Нечётные подходящие дроби больше a, а чётные – меньше. При возрастании k нечётные подходящие дроби убывают, а чётные возрастают.
Н. д. используются для приближения иррациональных чисел рациональными. Например, известные приближения 22 /7 , 355 /113 для числа p (отношения длины окружности к диаметру) суть подходящие дроби для разложения p в Н. д. Следует отметить, что первое доказательство иррациональности чисел е и p было дано в 1766 немецким математиком И. Ламбертом с помощью Н. д. Французский математик Ж. Лиувилль доказал: для любого алгебраического числа a степени n можно найти такую постоянную l, что для любой дроби x /y выполняется неравенство |a – x /y | > l/уn . С помощью Н. д. можно построить числа a такие, что разность |a – pk /qk | делается меньше a/gk , какую бы постоянную l мы ни взяли. Так, используя Н. д., можно строить трансцендентные числа. Недостатком Н. д. является чрезвычайная трудность арифметических действий над ними, равносильная практической невозможности этих действий; например, зная элементы двух дробей, мы не можем сколько-нибудь просто получить элементы их суммы или произведения.
Н. д. встречаются уже в 16 в. у Р. Бомбелли . В 17 в. Н. д. изучал Дж. Валлис ; ряд важных свойств Н. д. открыл Х. Гюйгенс , занимавшийся ими в связи с теорией зубчатых колёс. Многое сделал для теории Н. д. Л. Эйлер в 18 в.
В 19 в. П. Л. Чебышев , А. А. Марков и др. применили Н. д., элементами которых являются многочлены, к изучению ортогональных многочленов .
Лит.: Чебышев П. Л., Полное собрание сочинений, 2 изд., т. 1, М. – Л., 1946; Хинчин А. Я., Цепные дроби, 2 изд., М. – Л., 1949; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, пер. с лат., т. 1, М. – Л., 1936; Стилтьес Т. И., Исследования о непрерывных дробях, пер. с франц., Хар. – К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbrüchen, 2 Aufl., Lpz. – B., 1929; Wall Н. S., Analytic theory of continued fractions, Toronto – N. Y. – L., 1948.
Непрерывная разливка стали
Непреры'вная разли'вка ста'ли, процесс получения из жидкой стали слитков-заготовок (для прокатки, ковки или прессования), формируемых непрерывно по мере поступления жидкого металла с одной стороны изложницы-кристаллизатора и удаления частично затвердевшей заготовки с противоположной стороны.
Н. р. с. имеет следующие преимущества перед обычной разливкой: на 10—15% сокращается расход металла на 1 т годного проката вследствие уменьшения обрези головной и донной частей заготовки; сокращаются капитальные затраты на сооружение металлургического завода, так как исключаются парк чугунных изложниц, отделения для их подготовки и извлечения слитков из изложниц, дорогостоящие блюминги или слябинги , на которых крупные слитки обжимаются в заготовку для последующей прокатки; создаются условия для полной механизации и автоматизации процесса разливки; благодаря ускорению затвердевания повышается степень однородности металла, улучшается его качество.
Способ получения продукции непосредственно из жидкого металла (так называемая бесслитковая прокатка ) был предложен в 1855 Г. Бессемером . Экспериментальные работы, проведённые в этой области в ряде стран, не дали положительных результатов. Более перспективным оказался способ получения из жидкого металла не готового изделия, а промежуточной заготовки с размерами, как правило, меньшими, чем при отливке в изложницу. В 30-х гг. 20 в. начало развиваться непрерывное литьё через водоохлаждаемую изложницу-кристаллизатор заготовок из цветных металлов и сплавов, главным образом алюминиевых и медных. Стальные заготовки таким методом были впервые получены З. Юнгансом (Германия) в 1939. В СССР работы по освоению Н. р. с. были начаты в 1944, а в 1955 на Горьковском заводе «Красное Сормово» введена в эксплуатацию первая промышленная установка Н. р. с. (УНРС). В 1973 в СССР на 21 заводе имелось 36 УНРС; во всём мире работает свыше 500 УНРС (1973). Кроме СССР, большое распространение этот способ получил в США, Японии, ФРГ и Италии.
При Н. р. с. жидкий металл поступает в сквозную изложницу-кристаллизатор (рис. 1 ). Стенки кристаллизатора (изготовляемого обычно из меди) интенсивно охлаждаются водой, циркулирующей по имеющимся в них каналам. В начале процесса в кристаллизатор вводится временное дно – так называемая затравка. Металл затвердевает у стенок кристаллизатора и у затравки, и оболочка заготовки начинает извлекаться из кристаллизатора с заданной скоростью. Сверху в кристаллизатор непрерывно подаётся жидкий металл в таком количестве, чтобы его уровень был постоянным в процессе всей разливки. Для уменьшения усилий вытягивания кристаллизатору сообщается возвратно-поступательное движение по продольной оси, а на его стенки подаётся смазка. Поверхность жидкого металла предохраняется от окисления слоем синтетического шлака или защитной атмосферой из инертного газа. Выходящая из кристаллизатора заготовка с жидкой сердцевиной попадает в зону вторичного охлаждения, где на её поверхность подаётся из форсунок распылённая вода. После затвердевания по всему сечению заготовка разрезается на части требуемой длины. Расстояние L (м ) от уровня металла в кристаллизаторе до места, где заканчивается кристаллизация заготовки толщиной а (м ), отливаемой со скоростью v (м/мин ), равно: L = (240—340) a2 ×v. Значение коэффициента пропорциональности зависит от профиля и размера заготовки и от марки разливаемой стали.
До 1963 в промышленном масштабе применялись УНРС вертикального типа (рис. 2 , а), у которых формирование заготовки и резка её осуществлялись на вертикальном участке. При отливке заготовок относительно большой толщины участок её резки располагается на расстоянии 15—20 м от кристаллизатора, а общая высота установки может превышать 40 м. Для размещения такой установки требуется сооружение башен или колодцев. Стремление уменьшить высоту УНРС привело к созданию установок радиального (рис. 2 , б) и криволинейного (рис. 2 , в) типов. На радиальных УНРС кристаллизатор и направляющие устройства вторичного охлаждения расположены на дуге определённого радиуса (обычно радиус равен 30—40 толщинам отливаемой заготовки). В конце радиального участка заготовка проходит через правильно-тянущие ролики и выводится в горизонтальное положение, в котором производится резка на мерные длины. На УНРС криволинейного типа кристаллизатор и часть зоны вторичного охлаждения имеют постоянный радиус; затем радиус увеличивается и происходит постепенное выпрямление заготовки.
УНРС радиального и криволинейного типов, у которых неполностью затвердевшая заготовка выходит на горизонтальный участок, позволяют значительно повысить скорость разливки при крупных сечениях заготовки, так как участок резки может быть расположен на достаточно большом расстоянии от кристаллизатора (30—35 м ). Общая высота таких установок, как правило, не превышает 12 м.
На УНРС отливаются заготовки квадратного сечения размером от 50x50 до 300x300 мм, плоские слябы толщиной от 50 до 300 мм и шириной от 300 до 2000 мм, круглые заготовки (сплошные и с внутренней полостью) диаметром от 100 до 550 мм, из которых получают трубы, сортовой и листовой прокат, поковки. Большая степень химической однородности по длине и поперечному сечению непрерывнолитых заготовок обеспечивает стабильные механические свойства и повышает надёжность работы металлоизделий. Благодаря своим преимуществам Н. р. с. принята в качестве основного способа разливки во всех вновь сооружаемых сталеплавильных цехах и будет широко использоваться при реконструкции действующих заводов. Наибольшая производительность УНРС обеспечивается при их работе в сочетании с кислородными конвертерами. В этом случае достигается равенство циклов выпуска стали из конвертера и разливки её на УНРС, благодаря чему жидкий металл может подаваться на установку непрерывно в течение длительного времени. В цехах с современными дуговыми печами, продолжительность плавки в которых выдерживается достаточно точно, также может быть организована разливка так называемым методом «плавка на плавку» (одна установка непрерывно принимает металл от нескольких печей). Перспективны агрегаты, в которых Н. р. с. совмещается с непрерывной прокаткой в едином потоке. При этом снижаются затраты энергии, повышаются качество слитка и выход годного, сокращается цикл производственных операций от выплавки стали до получения готового проката. Такие агрегаты уже вступили в эксплуатацию, как в СССР, так и за рубежом. В соответствии с прогнозом развития чёрной металлургии, к 1990 в СССР непрерывным способом будет разливаться около 60% всей выплавляемой стали; при этом мощностей по её производству потребуется на 30 млн. т меньше, чем при обычной разливке.
Лит.: Бойченко М. С., Рутес В. С., Фульмахт В. В., Непрерывная разливка стали, М., 1961; Шварцмайер В., Непрерывная разливка, пер. с нем., М., 1962; Германн Э., Непрерывное литье, пер. с нем., М., 1961; Теория непрерывной разливки. Технологические основы, М., 1971.
Д. П. Ефтеев.
Рис. 2. Схемы УНРС вертикального (а), радиального (б) и криволинейного (в) типов.
Рис. 1. Принципиальная схема УНРС: 1 – сталеразливочный ковш; 2 – промежуточный ковш (предназначен для снижения и стабилизации напора металла, поступающего в кристаллизатор, и для распределения металла по нескольким кристаллизаторам на многоручьевых установках); 3 – кристаллизатор; 4 – зона вторичного охлаждения с устройствами для направления заготовки и подачи воды; 5 – тянущие валки; 6 – слиток; 7 – устройство для разрезки заготовки (кислородные резаки или ножницы); 8 – устройство для выдачи заготовки.
Непрерывная функция
Непреры'вная фу'нкция,функция , получающая бесконечно малые приращения при бесконечно малых приращениях аргумента. Однозначная функция f (x ) называется непрерывной при значении аргумента x , если для всех значений аргумента х, отличающихся достаточно мало от x , значения функции f (x ) отличаются сколь угодно мало от её значения f (x ). Точнее, функция f (х ) называется непрерывной при значении аргумента x (или, как говорят, в точке x ), если каково бы ни было e > 0, можно указать такое d > 0, что при |х – х | < d будет выполняться неравенство |f (x ) – f (x )| < e. Это определение равносильно следующему: функция f (x ) непрерывна в точке x , если при х, стремящемся к x , значение функции f (x ) стремится к пределу f (x ). Если все условия, указанные в определении Н. ф., выполняются только при х ³ х или только при х £ х , то функция называется, соответственно, непрерывной справа или слева в точке x . Функция f (x ) называется непрерывной н а отрезке [а , b ], если она непрерывна в каждой точке х при а < х < b и, кроме того, в точке а непрерывна справа, а в точке b — слева.
Понятию Н. ф. противопоставляется понятие разрывной функции . Одна и та же функция может быть непрерывной для одних и разрывной для других значений аргумента. Так, дробная часть числа х [её принято обозначать через (х )], например
является функцией разрывной при любом целом значении и непрерывной при всех других значениях (рис. 1 ), причём в целочисленных точках она непрерывна справа.
Простейшими функциями переменного х, непрерывными при всяком значении x , являются многочлены, синус (у = sin x), косинус (у = cos x), показательная функция (у = ax , где а — положительное число). Сумма, разность и произведение Н. ф. снова дают Н. ф. Частное двух Н. ф. также есть Н. ф., за исключением тех значений х, для которых знаменатель обращается в нуль (так как в таких точках рассматриваемое частное не определено). Например,
есть Н. ф. для всех значений х, кроме нечётных кратных p/2, при которых cosх обращается в нуль.
Н. ф. обладают многими важными свойствами, которыми и объясняется огромное значение этих функций в математике и её приложениях. Одно из важнейших свойств выражается следующей теоремой: для всякой функции, непрерывной на отрезке [а, b ] можно найти многочлен, значения которого отличаются на этом отрезке от значений функции менее чем на произвольно малое, наперёд заданное число (теорема о приближении Н. ф. многочленами). Справедлива также и обратная теорема: всякая функция, которую на некотором отрезке можно с произвольной степенью точности заменить многочленом, непрерывна на этом отрезке.
Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нём и достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значения (см. Наибольшее и наименьшее значения функций ). Кроме того, она принимает на этом отрезке все значения, лежащие между её наименьшим и наибольшим значениями. Функции, непрерывные на отрезке, обладают свойством равномерной непрерывности . Всякая функция, непрерывная на некотором отрезке, интегрируема на нём, т. е. является производной другой Н. ф. Однако не всякая Н. ф. сама имеет производную. Геометрически это означает, что график Н. ф. не обязательно обладает в каждой точке определённым направлением (касательной); это может произойти, например, потому, что график имеет угловую точку (рис.2 , функция у = |x |), или потому, что он совершает в любой близости точки О бесконечно много колебаний между двумя пересекающимися прямыми (рис. 3 , функция
при х ¹ 0 и y = 0 при x = 0).
Существуют Н. ф., не имеющие производной ни в одной точке (первый пример такого рода был найден Б. Больцано ). Представление о графике подобной функции даёт рис. 4 , где изображены первые этапы построения, состоящего в неограниченно продолжающейся замене средней трети каждого прямолинейного отрезка двузвенными ломаными; соотношения длин подбираются так, чтобы в пределе получить Н. ф.
Функция F (x , у, z,... ) нескольких переменных, определённая в некоторой окрестности точки (x , y ,z ,...), называется непрерывной в этой точке, если для любого e > 0 можно указать такое d > О, что при одновременном выполнении неравенств: |x – x | < d, |у – у | < d, |z – z | < d,... выполняется также и неравенство:
IF (x , у,z ,...) – F (x , y , z ,... )| < e.
Такая функция будет непрерывной по отношению к каждому аргументу в отдельности (если остальным аргументам приданы определённые числовые значения). Обратное, однако, неверно: функция F (x :, у, z, ...), непрерывная по каждому аргументу в отдельности, может и не быть Н. ф. этих аргументов. Простейший пример этого даёт функция F (x , у ), равная xy/ (x2 + y2 ), если x2 + y2 ¹ 0, и равная 0 при x = у = 0. Она непрерывна по x при любом фиксированном значении y по y – при любом фиксированном значении х. В частности, она непрерывна по x при у = 0 и по y при x = 0. Если же положить, например, у = х ¹ 0, то значение функции будет оставаться равным x2 / (x2 + y2 ) = 1 /2 , т. е. нельзя будет указать такого числа d > 0, чтобы при одновременном выполнении неравенств |х | < d, |у | < d выполнялось неравенство |ху/ (х2 + y2 )| < e. На Н. ф. нескольких переменных распространяются все основные теоремы, относящиеся к Н. ф. одного переменного.
Лит.: Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, М., 1953; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970.
Рис. 1 к ст. Непрерывная функция.
Рис. 3 к ст. Непрерывная функция.
Рис. 4 к ст. Непрерывная функция.
Рис. 2 к ст. Непрерывная функция.
