Текст книги "Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики"

Автор книги: Роджер Пенроуз

сообщить о нарушении

Текущая страница: 31 (всего у книги 47 страниц)

Может показаться, что второе начало действует как некий предвестник упадка, поскольку оно утверждает существование безжалостного универсального физического принципа, напоминающего нам о том, что всякое упорядоченное состояние подвержено непрерывному разрушению. Позднее мы увидим, что это пессимистическое заключение справедливо не всегда!

Что такое энтропия?

Каково же точное определение энтропии физической системы? Мы уже знаем, что это некая мера явного беспорядка – но что означают такие не очень строгие понятия, как «явный» и «беспорядок»? Может возникнуть мысль, что энтропия – это величина, вообще не имеющая четкого физического определения. Кроме того, имеется еще одно обстоятельство, связанное со вторым началом термодинамики, которое еще в большей степени усиливает ощущение нестрогости обсуждаемого понятия: энтропия не остается постоянной и возрастает только в так называемых необратимых системах. Но что значит «необратимых»? На микроскопическом уровне, когда мы принимаем в расчет движения всех частиц, все системы оказываются обратимыми! Обычномы полагаем, что падение стакана со стола и его разбивание, разбалтывание яйца или растворение сахара в кофе – суть процессы необратимые; в то же время, столкновения друг с другом небольшого числа частиц – процесс обратимый, так же, впрочем, как и вообще любой процесс, в котором путем некоторых ухищрений нам удается избежать превращения кинетической энергии в тепло. Термин «необратимый» служит нам, главным образом, лишь для указания на то, что проследить за микроскопическими движениями отдельных частиц или управлять ими было невозможно. Собственно, эти неконтролируемые движения и есть «тепло». Таким образом, может создаться впечатление, будто бы понятие «необратимости» обязано своим происхождением чисто «практическим» соображениям. Мы, конечно, и в самом деле не можем на практикеотделить белок от желтка в разболтанном яйце, хотя подобная процедура и не противоречит законам механики. Поэтому возникает вопрос: а не будет ли все-таки наше определение энтропии зависеть от того, какие процессы практически осуществимы, а какие – нет?

Как уже говорилось в главе 5, физическое понятие энергии, так же как и импульса, и углового момента, имеютвполне четкие математические определения в терминах положений частиц, их скоростей, масс и действующих на них сил. А можем ли мы сходным образом определить понятие «явного беспорядка», которое, в свою очередь, необходимо для придания точного математического смысла понятию энтропии? Очевидно, что «явное» для одного наблюдателя может не быть таковым для другого. И вообще, не находится ли это «явное» в прямой зависимости от точности, с которой тот или иной наблюдатель способен изучать данную систему? Наблюдатель, располагающий более точной измерительной аппаратурой, способен получить намного больше информации о микроскопическом строении системы, чем другой наблюдатель, использующий менее совершенное оборудование. В этом случае один наблюдатель сможет обнаружить больше «скрытого порядка», чем другой, и он, разумеется, зафиксирует более низкий уровень энтропии данной системы, чем его коллега. Может даже сложиться впечатление, что и личные эстетические вкусы каждого из наблюдателей способны оказать решающее влияние на их выбор между «порядком» или «беспорядком». Предположим, что мы пригласили некоего художника, для которого россыпь осколков стекла на полу окажется настоящим произведением «искусства упорядочивания» по сравнению с безобразным, отвратительным стаканом, банально покоящимся на краю стола! Понизится лии в самом деле энтропия системы после ее оценки наблюдателем с таким тонким артистическим восприятием?

Несмотря на все проблемы, связанные с субъективностью некоторых наших суждений, понятие энтропии оказывается замечательным образом применимо всякий раз, когда речь идет о точном научном описании – каковым и является само понятие энтропии! Причина этого заключается в том, что изменения, вызванные переходами системы от порядка к беспорядку, если их выразить в терминах микроскопических положений и скоростей частиц, поистине колоссальны и (почти во всех случаях) превосходят любые заметные на глаз отличия точек зрения на то, что считать «явным порядком» на макроскопическом уровне, а что – нет. В частности, любое заключение художника или ученого, относительно того, какой из стаканов обладает большим порядком – целый или разбитый, практически не имеет никакого отношения к их реальной энтропии. Намного больший вклад в энтропию дает случайное движение частиц, вызывающее незначительное нагревание стакана и воды, и растекание воды после удара стакана с водою о пол.

Теперь, чтобы точно сформулировать понятие энтропии, вернемся к идее фазового пространства , введенного в главе 5. Напомним, что фазовое пространство системы имеет, как правило, гигантское число измерений, а каждая его точка изображает с максимальной детализацией мгновенную конфигурацию системы. Подчеркнем, что «одна-единственная»точка фазового пространства определяет одновременно положения и импульсы всехотдельных частиц, составляющих рассматриваемую физическую систему. Все, что нам необходимо сейчас для определения энтропии, это сгруппировать вместе все те микроскопические состояния, которые выглядят совершенно одинаковыми с точки зрения их явных(т. е. макроскопических) свойств. Другими словами, нам необходимо разбить наше фазовое пространство на области (рис. 7.3),

Рис. 7.3.Гранулирование фазового пространства на области, соответствующие макроскопически неотличимым состояниям. Энтропия пропорциональна логарифму фазового объема

в каждой из которых различные точки изображают физические системы, отличающиеся на микроскопическом уровне расположением и скоростями частиц, но которые при этом совершенно неразличимы с точки зрения макроскопического наблюдателя, для которого все точки любой такой конкретной области будут описывать одну и ту жефизическую систему. Подобное разбиение фазового пространства на области называется гранулированием фазового пространства.

После такого группирования некоторые из областей могут приобрести подавляюще огромные размеры по сравнению с другими областями. Рассмотрим, к примеру, фазовое пространство газа, заключенного в ящике. Наибольшая область фазового пространства будет приходиться на состояния, в которых частицы газа практически равномерно распределены по ящику с некоторым характерным распределением скоростей, обеспечивающим однородные давление и температуру. Это характерное распределение, в некотором смысле наиболее случайное из всех возможных, называется распределением Максвелла – по имени Джеймса Клерка Максвелла, которого мы уже упоминали ранее. В этом случае про газ говорят, что он находится в состоянии теплового равновесия. Подавляющая часть точек всего фазового пространства соответствует этому тепловому равновесию, и эти точки изображают всевозможные микроскопические значения координат и скоростей отдельных частиц, которые совместимы с состоянием теплового равновесия. Эта огромная часть является, конечно, только одной из многих областей нашего фазового пространства – но она оказывается (существенно) большей всех других областей, занимая практически все фазовое пространство! Рассмотрим теперь другое возможное состояние этого газа, скажем, такое, в котором весь газ собран в одном из углов ящика. В этом случае мы будем опять иметь целое множество различных микроскопических состояний, каждое из которых описывает газ сосредоточенным в углу ящика. Все эти состояния макроскопически неразличимы, и изображающие их точки фазового пространства заполняют в нем свою область. Однако объем этой области оказывается намного меньшим объема области для состояний теплового равновесия – примерно в

раз (если ящик – это метровый куб, содержащий воздух при нормальных условиях, а область в углу – сантиметровый кубик)!

Чтобы оценить различия в фазовых объемах, рассмотрим упрощенную ситуацию, в которой некоторое количество шаров распределено по большому числу ячеек. Предположим, что каждая ячейка может либо быть пустой, либо содержать один шар. Шары будут моделировать молекулы газа, а ячейки – различные положения молекул в ящике. Выделим небольшое подмножество ячеек, которое будем называть особым ; оно будет соответствовать положению молекул газа в углу ящика. Для определенности условимся, что ровно 1 / 10 часть всех ячеек особая – т. е. в случае, когда имеется n особых ячеек, не особых будет ровно 9n (рис. 7.4).

Рис. 7.4.Модель газа в ящике: некоторое количество шаров распределено по значительно большему числу ячеек. Одна десятая часть ячеек отмечены как особые . Эти ячейки выделены в левом верхнем углу

Мы хотим теперь случайным образом распределить m шаров среди всех ячеек и найти вероятность того, что все шары окажутся в особых ячейках. В случае, когда имеется только один шар и десять ячеек (т. е. имеется только одна особая ячейка), эта вероятность, очевидно, равна одной десятой. Тот же результат получится в случае одного шара и любого числа  10n ячеек (т. е. в случае n особых ячеек). Таким образом, для газа, состоящего только из о дногоатома, особая область, соответствующая «газу, собранному в углу ящика», будет иметь фазовый объем, составляющий лишь одну десятуювсего объема «фазового пространства». Однако, если мы увеличим число шаров, вероятность того, что всеони соберутся в особых ячейках, существенно понизится. Скажем, для двухшаров с двадцатью ячейками (две из которых особые) ( m = 2 , n = 2 ) [170]170
  В общем случае n , m вероятность равна
  


[Закрыть], вероятность равна 1 / 190 ; в случае ста ячеек (среди них – десять особых) ( m = 2 ,  n = 10 ) вероятность равна 1 / 110 ; а при неограниченном увеличении числа ячеек с сохранением доли особых вероятность будет стремиться к 1 / 100 .

Таким образом, в случае газа из двух атомов фазовый объем особой области составляет только одну сотуючасть всего «фазового пространства». Для трехшаров и тридцати ячеек ( m = 3 ,  n = 3 ), он будет составлять 1 / 4060 всего фазового объема, а в пределе бесконечного числа ячеек – 1 / 1000 – т. е. для газа из трехатомов объем особой части будет составлять одну тысячнуюобъема всего «фазового пространства». Для четырех шаров в пределе бесконечного числа ячеек вероятность становится равной 1 / 10000 . Для пяти шаров – 1 / 100 000 и т. д. Для m шаров в пределе бесконечного числа ячеек вероятность стремится к 1 / 10 ^m ; т. е. для «газа» из m атомов фазовый объем особой области составляет только 1 / 10 ^m от всего «фазового объема». (Этот результат остается справедливым, если учесть также и импульсы.)

Мы можем применить теперь те же оценки к нашей ситуации с реальным газом в ящике, только в этом случае для особой области нам нужно вместо одной десятой взять одну миллионную ( 1 / 1000000 ) от общего объема ящика (т. е. отношение объемов одного кубического сантиметра и одного кубического метра). В результате, вместо значения 1 / 10 ^m для вероятности обнаружить все частицы газа в особой области, мы получим 1 / 1 000000 ^m , т. е. 1 / 10 ^6m . Для воздуха, взятого при нормальных условиях, в нашем ящике находилось бы около 10 ²⁵ молекул, поэтому мы принимаем m = 10 ²⁵ . Таким образом, особая область фазового пространства, представляющая состояния, в которых весь газ сосредоточен в углу ящика, составляет только

1 / 10 ^{60 000 000 000 000 000 000 000 000}

часть всего фазового пространства!

Энтропия состояния – это мера объемаVобласти фазового пространства, которая содержит все точки, представляющие данное состояние. Ввиду гигантской разницы между объемами, которую мы оценили выше, более удобным оказывается определять энтропию как величину, пропорциональную не самим объемам, а их логарифмам:

энтропия =  k logV.

Использование логарифма делает все возникающие в расчетах числа более обозримыми. Так, к примеру, логарифм [171]171
  Используемый здесь логарифм называется натуральным, т. е. берется по основанию
   е = 2,7182818285 …,
  а не по основанию 10 , однако это различие в нашем случае совершенно несущественно. Натуральный логарифм, x = log n , числа n – это степень, в которую мы должны возвести е , чтобы получить n , т. е. решение уравнения e ^x =  n (см. ссылку 62).


[Закрыть] 10000000 составляет всего-навсего число, близкое к 16 . Величина k – константа, называемая постоянной Больцмана . Ее значение приблизительно равно 10 ^-23 джоулей на один градус Кельвина.

Одним из важнейших следствий использования логарифма в определении энтропии является ее аддитивность в случае независимых систем. Другими словами, полная энтропия двух независимых физических систем, рассматриваемых как одна система, равна суммеих энтропий. (Это и есть основное свойство логарифмической функции: logАВ= logА+ logВ. Если эти подсистемы находятся в состояниях, изображающихся областями с объемами Аи Вв соответствующих им фазовых пространствах, то объем фазового пространства для составной системы будет равен произведению их объемов АВ, поскольку каждое микроскопическое состояние одной системы должно быть независимо учтено вместе с каждым микроскопическим состоянием другой; и, следовательно, энтропия составной системы, очевидно, будет равна именно сумме энтропий отдельных систем.)

Те гигантские отличия между размерами различных частей фазового пространства, о которых говорилось выше, в терминах энтропии будут выглядеть более скромно. Энтропия нашего кубического метра газа, как следует из предыдущих рассмотрений, оказывается всего на 1400 Дж/ К(= 14k х 10 ²⁵ ) больше энтропии того же газа, сосредоточенного в кубическом сантиметре «особой» области (так как

составляет примерно 14 х 10 ²⁵ ).

Для того, чтобы определить реальные значения энтропии для указанных областей фазового пространства, нам осталось бы только немного позаботиться о выборе системы единиц (метры, джоули, килограммы, градусы Кельвина и т. д.). Однако, на самом деле, здесь было бы совсем неуместным заботиться об этом: для тех чудовищно огромных значений энтропии, которые я буду рассматривать в дальнейшем, выбор системы единиц не играет особой роли. Все же для определенности (и для специалистов), я скажу, что буду пользоваться так называемой естественной системой единиц, которая следует из законов квантовой механики и в которой постоянная Больцмана оказывается равной единице :

k = 1 .

Второе начало в действии

Предположим, что мы привели некоторую систему в особое начальное состояние, например, поместили газ в один из углов ящика в начальный момент времени. В следующее мгновение этот газ начнет стремительно расширяться и занимать все больший и больший объем. Через некоторое время он достигнет состояния теплового равновесия. Как описывается этот процесс на языке фазового пространства? В каждый момент времени микроскопическое состояние нашего газа, зависящее от положений и скоростей всех его молекул, изображается определенной точкой фазового пространства. По мере того, как газ расширяется, эта точка как-то блуждает в фазовом пространстве, при этом точная траектория ее блужданий будет полной историей всех молекул газа. Эта точка стартует из некоторой ничтожно малой области, а именно, той, которая включает в себя всевозможные начальные микроскопические состояния, соответствующие газу, сосредоточенному в одном из углов ящика. Далее наша движущаяся точка проходит последовательность областей фазового пространства, объемы которых монотонно возрастают, что является отражением процесса расширения газа внутри ящика. По мере расширения газа, точка продолжает свое путешествие, попадая в области фазового пространства все больших и больших объемов, причем каждый новый объем будет превосходить все предшествующие по своим размерам в огромное число раз (рис. 7.5)!

Рис. 7.5.Второе начало термодинамики в действии: с течением времени точка фазового пространства попадает в области все больших и больших объемов. Следовательно, энтропия постоянно возрастает

Всякий раз, когда точка оказывается в очередном большем объеме, у нее практически нет никаких шансов вернуться в какой-либо из предыдущих объемов меньших размеров. В конце концов, она оказывается внутри области фазового пространства наибольшего объема, соответствующей тепловому равновесию.

Этот объем занимает почти все фазовое пространство. И едва ли кто-то будет сомневаться в том, что наша точка фазового пространства в процессе своих случайных блужданий не вернется ни в какую из областей меньшего размера за любое разумное время. Можно также утверждать, что газ, достигнув состояния теплового равновесия, останется в нем практически навсегда. Мы видим, таким образом, что энтропия системы как логарифмическая мера ее фазового объема, должна так же монотонно возрастать с течением времени, как и сам фазовый объем [172]172
  Было бы, конечно, неверным утверждать, что наша точка фазового пространства вообще никогда не достигнет ни одной из предшествующих областей меньшего объема. Если мы подождем достаточно долго, точка может снова оказаться внутри одного из них, несмотря на его ничтожно малый объем (в соответствии с теоремой о возвращении Пуанкаре .) Однако, в подавляющем большинстве случаев, соответствующие масштабы времен будут чудовищно велики, порядка
  
  лет, в случае газа, собравшегося в сантиметровом кубике в одном из углов ящика. Это на много порядков больше времени существования вселенной. Я не собираюсь обсуждать эту возможность в дальнейшем из-за ее практической нереализуемости.


[Закрыть].

Может показаться, что, наконец-то, мы обрели ключ к пониманиювторого начала термодинамики! В самом деле, мы можем предположить, что наша точка фазового пространства движется совершенно хаотически, и, стартуя из некоторого крохотного объема фазового пространства, соответствующего малому значению энтропии, будет в дальнейшем с большой вероятностью попадать внутрь все больших и больших объемов, соответствующих все возрастающим значениям энтропии.

Есть, однако, нечто странное в том выводе, к которому, похоже, мы пришли путем такого рассуждения. Похоже, мы пришли к выводу с явной асимметрией во времени. Если энтропия возрастаетв прямомнаправлении времени, то, следовательно она должна убыватьв обратномнаправлении. Но откуда взялась эта временна́я асимметрия? Мы абсолютно уверены в том, что не использовали в наших рассуждениях никаких несимметричных во времени законов и соображений. Эта временна́я асимметрия, на самом деле, является прямым следствием того обстоятельства, что наша система начала эволюционироватьиз особого (низкоэнтропийного) состояния, и наше наблюдение за ее последующейэволюцией выявило факт возрастания ее энтропии. Такое возрастание, конечно же, находится в полном соответствии с поведением систем в нашей реальной вселенной. Но мы могли бы с равным успехом применить те же самые рассуждения и для обратного направления времени. Именно, мы могли бы опять создать некоторое низкоэнтропийное состояние в начальный момент времени, но теперь задаться вопросом: какова наиболее вероятная последовательность состояний, предшествующихэтому начальному состоянию?

Попробуем теперь порассуждать в таком обратном направлении. Как и ранее, выберем в качестве низкоэнтропийного состояния газ, сосредоточенный в одном из углов ящика. В этом случае наша точка фазового пространства будет в начальный момент времени находиться в той же ничтожно малой области фазового пространства, что и ранее. Но теперь мы попробуем проследить за ее предыдущейисторией. Если мы представим, что эта точка, также как и ранее, движется совершенно хаотично, мы обнаружим, по мере наблюдения за последовательностью ее прошлых состояний, что сначала она достигает того же значительно большего объема фазового пространства, что и ранее, соответствующего некоторой промежуточной стадии расширения не в состоянии теплового равновесия. Затем, проходя через последовательность областей с монотонно растущими и сильно отличающимися друг от друга объемами, в самом удаленном прошлом она попадает в тот самый наибольший объем, соответствующий тепловому равновесию. Теперьмы, очевидно, приходим к следующему наиболее вероятному сценарию предшествующей истории газа, сосредоточенного в некоторый момент времени в одном из углов ящика: находясь в состоянии теплового равновесия, газ начинает все больше и больше концентрироваться в направлении одного из углов ящика и, наконец, весь собирается в небольшом объеме в этом углу. Во время подобного процесса энтропия должна была бы убывать: ее начальное значение в тепловом равновесии велико, затем оно непрерывно падает до тех пор, пока не достигнет очень низких значений, соответствующих газу, собранному в небольшом объеме в углу ящика.

Все это, конечно, имеет совсем мало общего с тем, что происходит в действительности в нашей вселенной! Энтропия никогда не убывает подобным образом; она возрастает . Если бы в некоторый момент времени газ действительно был бы сконцентрирован в одном из углов ящика, то, скорее всего, ранее, газ надежно удерживался в этом углу перегородкой, которую затем внезапно убрали. А может быть, газ удерживался там самопроизвольно, будучи охлажденным до температуры его твердого или жидкого состояния, а затем был очень быстро разогрет и, в результате, перешел в газообразную фазу. В любом случае, энтропия этих предшествующих состояний была бы даже еще ниже , чем исходного. Второе начало, несомненно, оставалось бы справедливым и в этих случаях, и энтропия бы все время возрастала – т. е. при обратномтечении времени она бы, как нетрудно понять, убывала. Теперьмы отчетливо видим, что наше предыдущее рассуждение приводит нас к совершенно неправильному заключению о том, что наиболее вероятной предысторией газа, сконцентрированного в некоторый момент времени в углу ящика, была его эволюция из начального состояния теплового равновесия с монотонным убыванием энтропии вплоть до того момента, когда весь газ собрался в углу; в то время как в нашем реальном мире этот способ оказывается чрезвычайно маловероятным. В действительности, газ должен был начинать свою эволюцию из состояния с гораздо меньшимзначением энтропии и энтропия должна была монотонно возрастать, проходя через все свои промежуточные значения вплоть до момента времени, когда весь газ соберется в углу.

Таким образом, наши рассуждения, опирающиеся на свойства случайных блужданий точки в фазовом пространстве, оказываются вполне удовлетворительными, когда мы применяем их для предсказания будущей эволюции системы и совершенно неудовлетворительными для восстановления ее прошлой эволюции. Именно, мы получаем, что наиболее вероятным будущимгаза, который начинает эволюционировать из угла ящика, будет его конечное состояние теплового равновесия, а не внезапное появление перегородки или внезапное замерзание или сжижение газа. Столь странные сценарии будущего как раз и могли бы послужить примерами процессов, протекающих с понижением энтропии, которые совершенно исключаются нашей трактовкой процессов в фазовом пространстве. Но в направлении прошлого, именно такие «странные» сценарии и могли бы иметь место и, более того, они совсем не выглядят странными. Наши рассуждения, связанные с представлением процессов в фазовом пространстве, дали нам совершенно неправильный ответ при попытке применить их к обратному направлению времени!

Очевидно, все это бросает тень сомнения на наши исходные рассуждения. Получается, что мы не обрели никакого ключа к пониманию второго начала. Единственный достоверный вывод, который мы можем сделать из наших рассуждений, заключается в следующем: если фиксировано какое-либо начальное низкоэнтропийное состояние (скажем, газ, собранный в углу ящика), то в отсутствии каких-либо факторов, ограничивающих систему, следует ожидать возрастания энтропии в обоихнаправлениях времени по отношению к энтропии данного состояния (рис. 7.6).

Рис. 7.6.Если мы интерпретируем ситуацию, изображенную на рис. 7.5 в обратном направлении времени, мы «восстановим» такое прошлое, в котором энтропия должна возрастать от ее настоящего значения. Это катастрофически противоречит наблюдениям

Это утверждение не сработало в нашем случае в направлении прошлого именно из-за того, что подобные ограничения имелись. Безусловно существовало нечто, ограничивающее систему в прошлом. Это было что-то такое, что просто вынудилоэнтропию быть низкой в прошлом. Таким образом, стремление энтропии к возрастанию в будущем совсем неудивительно. Высокоэнтропийные состояния, в некотором смысле – состояния «естественные», которые не требуют какого-либо объяснения причин своего существования. Настоящей загадкой являются низкоэнтропийные состояния в прошлом. А что ограничивало наш мир и сделало его энтропию в прошлом столь низкой? Именно повсеместное присутствие состояний с ничтожно малой энтропией и есть самый удивительный факт той действительной вселенной, в которой мы живем, хотя такие состояния настолько привычны для нас, что мы, как правило, перестаем им удивляться. Мы сами представляем собой системы с пренебрежительно малой энтропией. Все вышеизложенные соображения подводят нас к мысли о том, что мы можем легко объяснить стремление энтропии увеличиваться с течением времени для системы, начинающей эволюцию из некоторого заданногонизкоэнтропийного состояния. Но что действительно достойноудивления, так это тот факт, что энтропия оказывается монотонно убывающей по мере того, как мы продолжаем ее измерять во все более и более отдаленном прошлом этой системы!