Текст книги "Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики"

Автор книги: Роджер Пенроуз

сообщить о нарушении

Текущая страница: 16 (всего у книги 47 страниц)

Евклидова геометрия

Евклидова геометрия – это, попросту говоря, тот самый предмет, который мы изучаем в школе как «геометрию». Однако я подозреваю, что большинство людей склонны считать евклидову геометрию областью математики, а вовсе не физической Теорией. Разумеется, евклидова геометрия является в том числеи математикой – но все же это не единственная возможная математическая геометрия. Та геометрия, которую придумал Евклид, очень точно описывает физическое пространство нашего с вами мира, но это – не логически необходимое следствие, а всего лишь (почти точно) наблюдаемое свойство физического мира.

Действительно, существует другая геометрия, называемая геометрией Лобачевского(или гиперболической) [103]103
  Николай Иванович Лобачевский 1792–1856) один из нескольких математиков, независимо друг от друга открывших этот тип геометрии (альтернативный геометрии Евклида). Имена остальных: Карл Фридрих Гаусс 1777–1855), Фердинанд Швейкард и Янош Бойяи.


[Закрыть]которая во многом похожа на евклидову геометрию, но имеет при этом и некоторые интригующие отличия. Напомним, в частности, что в евклидовой геометрии сумма углов треугольника всегда равна 180°. В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180°, причем отличие суммы углов от 180° пропорционально площади треугольника (рис. 5.1).

Рис. 5.1.а) Треугольник в евклидовом пространстве,

б) Треугольник в пространстве Лобачевского

Замечательный голландский художник Мориц К. Эшер создал несколько мозаик, очень тонко и точно передающих суть геометрии Лобачевского. Одна из этих мозаик представлена на рис. 5.2.

Рис. 5.2.Пространство Лобачевского, изображенное

Эшером в виде мозаики. (Все рыбы – как черные,

так и белые – должны считаться конгруэнтными.)

Каждую черную рыбу, в соответствии с геометрией Лобачевского, следует считать имеющей такой же размер и такую же форму, что и любая другая черная рыба. Для белых рыб – аналогично. Геометрия Лобачевского не может быть абсолютно точно воспроизведена на евклидовой плоскости, отсюда – кажущееся скопление рыб вблизи круговой границы. Представьте себе, что вы находитесь внутри мозаики где-то у этой окружности. Тогда геометрия Лобачевского должна для вас выглядеть точно такой же, как если бы находились в центре или в каком-то другом месте мозаики. То, что выглядит как «граница» мозаики в этом евклидовом представлении, в действительности находится «на бесконечности» в геометрии Лобачевского. Граничную окружность вообще не следует рассматривать как часть пространства Лобачевского – равно как и никакую часть евклидовой области, лежащую за ее пределами. (Это остроумное представление плоскости Лобачевского принадлежит Пуанкаре. Его достоинство заключается в том, что форма очень маленьких фигур при этом не искажается – изменяются только их размеры.) «Прямыми» в геометрии Лобачевского (вдоль которых расположены некоторые из рыб на мозаике Эшера) служат окружности, пересекающие круговую границу под прямыми углами.

Вполне может быть, что геометрия Лобачевского действительно выполняется для нашего мира в космологических масштабах (см. главу 7, «Космология и Большой взрыв»). Но коэффициент пропорциональности между дефицитом углов и площадью треугольника в этом случае чрезвычайномал, а для обычных масштабов евклидова геометрия дает превосходное приближение геометрии Лобачевского. В самом деле, как мы увидим далее в этой главе, общая теория относительности Эйнштейна говорит нам о том, что геометрия нашего мира действительноотклоняется от евклидовой геометрии (хотя и «нерегулярно», т. е. более сложно, чем геометрия Лобачевского) на масштабах, значительно уступающих космологическим, хотя по обычным меркам нашей повседневной жизни эти отклонения всеравно будут ничтожно малы.

Тот факт, что евклидова геометрия, казалось бы, столь точно отражает структуру «пространства» нашего мира, вводил нас (и наших предшественников!) в заблуждение, заставляя думать, будто евклидова геометрия является логической необходимостью или будто мы обладаем внутренней интуитивной способностью априоридогадаться, что евклидова геометрия должнабыть применима к миру, в котором мы живем. (Так утверждал даже великий философ Иммануил Кант.) Реальный разрыв с евклидовой геометрией наступил только с созданием Эйнштейном общей теории относительности, появившейся на свет много лет спустя. И тогда стало понятно, что евклидова геометрия вовсе не является логической необходимостью, и что ее весьма точное (хотя и далеко не абсолютное) соответствие структуре нашего физического пространства – не более, чем результат эмпирических наблюдений!Евклидова геометрия действительно была (ПРЕВОСХОДНОЙ) физическойтеорией. И это в дополнение к тому, что евклидова геометрия – изящный и логически непротиворечивый раздел чистой математики.

Здесь угадывается определенное сходство с философской концепцией Платона (изложенной примерно в 360 году до н. э. – почти за пятьдесят лет до появления НачалЕвклида – знаменитого сочинения по геометрии). С точки зрения Платона объекты чистой геометрии – прямые, окружности, треугольники, плоскости и т. п. – могут быть лишь приблизительно реализованы в реальном мире физических вещей. Эти математически точные объекты чистой геометрии обитают в другом мире – платоновском идеальном мирематематических понятий. Платоновский мир состоит не из осязаемых вещей, а из «математических объектов». Этот мир доступен нашему восприятию не обычным физическим путем, а посредством интеллекта. Человеческий разум контактирует с миром Платона всякий раз, когда открывает математическую истину, постигая ее с помощью математических рассуждений и интуитивных догадок. Идеальный мир Платона рассматривался как отличный от нашего материального мира – более совершенный, но при этом столь же реальный. (Вспомним сказанное в главах 3 и 4, с. 89, 101 о платоновской реальности математических понятий.) Таким образом, хотя идеальные объекты чистой евклидовой геометрии можно исследовать с помощью мысли, логически выводя при этом их свойства – отсюда вовсе не следует, что для «несовершенного» физического мира, воспринимаемого нашими органами чувств, неукоснительное следование этому идеалу является необходимостью. Располагая в свое время достаточно скудными данными, Платон, по-видимому благодаря какому-то чудесному озарению, смог предугадать, что, с одной стороны, математику следует изучать и понимать ради самой математики, и что нельзя требовать полного и точного соответствия математических объектов объектам физического опыта; а с другой – что функционирование реального внешнего мира в конечном счете может быть понято только в терминах точной математики, т. е. в терминах платоновского идеального мира, «доступного через интеллект»!

Платоном в Афинах была основана Академия, в задачи которой входило дальнейшее развития таких идей. Среди элиты, выросшей из числа членов этой Академии, был и необычайно влиятельный и знаменитый философ Аристотель. Но здесь нас будет интересовать другой человек, принадлежащий к платоновской Академии – математик и астроном Евдокс, несколько менее известный, чем Аристотель, но, по моему глубокому убеждению, гораздо более проницательный ученый, один из величайших мыслителей античности.

В евклидовой геометрии есть одна очень важная и тонкая составляющая, которая, на самом деле, является очень существенной и которую сегодня мы вряд ли вообще отнесли бы к геометрии! (Математики охотнее назвали бы это «анализом», чем «геометрией».) Речь идет о введении действительных чисел. Евклидова геометрия использует длины и углы. Чтобы иметь возможность использовать такую геометрию, нам необходимо понимать, какого рода «числа» нужны для описания этих самых длин и углов. И здесь новая идея была предложена Евдоксом (ок. 408–335 гг. до н. э.) в IV веке до н. э. [104]104
  Евдокс был также создателем ПОЛЕЗНОЙ теории движения планет, просуществовавшей 2000 лет, развитой позднее Гиппархом и Птолемеем и потому впоследствии получившей название птолемеевой системы!


[Закрыть]) Греческая геометрия переживала «кризис» из-за открытия пифагорейцами таких чисел, как √2 (последнее необходимо для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата через длины его сторон), не представимых в виде дроби, т. е. отношения двух целых чисел. Для древних греков было важно иметь возможность формулировать их геометрические меры (отношения) в терминах (отношений) целых чисел, чтобы оперировать геометрическими величинами в соответствии с правилам арифметики. В основном, идея Евдокса заключалась в том, чтобы дать метод описания отношений длин (т. е. действительных чисел!) в терминах целых чисел. Евдоксу удалось сформулировать в рамках операций над целыми числами такие критерии, которые позволяли решать, является ли одно из отношений длин больше другого или их можно считать в точности равными.

В общих чертах идея Евдокса сводится к следующему: если a , b , c и d – четыре длины, то критерием, позволяющим утверждать, что отношение а/b большеотношения c/d , будет существование таких целых чисел М и N , что длина а , сложенная сама с собой N раз, больше длины b , сложенной сама с собой М раз, – тогда как длина d , сложенная сама с собой М раз, больше длины с , прибавленной к самой себе N раз [105]105
  В современных обозначениях это утверждение означает, что существует дробь, а именно M/N , такая, что а/b > M/N > c/d . Такая дробь, лежащая между действительными числами а/b и c/d при условии, что а/b > c/d , может быть найдена всегда, поэтому критерий Евдокса действительно выполняется.


[Закрыть]). Соответствующий критерий можно аналогичным образом использовать для установления противоположного неравенства а/b < c/d . А искомый критерий равенства а/b  = c/d просто отвечает случаю, когда ни один из двух критериев ( а/b > c/d и а/b < c/d ) не может быть выполнен!

Совершенно точная абстрактная математическая теория действительных чисел была построена только в XIX веке такими математиками, как Дедекинд и Вейерштрасс. Но в действительности, предложенная ими процедура опиралась на те же идеи, которые были открыты Евдоксом примерно двадцатью двумя столетиями раньше! Сейчас нам не обязательно заниматься подробным изучением этой современной теории. Я кратко коснулся ее основных моментов в главе 3 (подглава «Действительные числа»), где для большей наглядности изложения предпочел использовать более привычное десятичное разложение действительных чисел. (В действительности, десятичное разложение была введено Стевином в 1585 году.) Следует также заметить, что хорошо знакомая нам десятичная запись была неизвестна древним грекам.

Однако, между теориями, предложенными Евдоксом с одной стороны, и Дедекиндом и Вейерштрассом – с другой, существует важное различие. Древние греки рассматривали действительные числа как изначально данные– в терминах (отношений) геометрических величин – т. е. как свойства «реального» пространства. Древним грекам было необходимо иметь возможность описывать геометрические величины арифметически, чтобы затем в рамках законов и правил арифметики проводить строгие рассуждения над этими геометрическими величинам, а также их суммами и произведениями – существенными составляющими столь многих замечательных геометрических теорем древних. (На рис. 5.3 в качестве иллюстрации приведена знаменитая теорема Птолемея, хотя Птолемей открыл ее гораздо позже эпохи, в которую жил Евдокс. Теорема Птолемея устанавливает соотношение, которому удовлетворяют расстояния между четырьмя точками на окружности; в ее формулировке с необходимостью используются как понятие суммы, так и понятие произведения.) Критерии Евдокса оказались необычайно плодотворными и, в частности, позволили древним грекам строго вычислять площади и объема.

Рис. 5.3.Теорема Птолемея

Но для математиков XIX века – и, разумеется, для современных математиков роль геометрии изменилась. Для древних греков и, в частности, для Евдокса, «действительные» числа были объектами, извлеченнымииз геометрии физического пространства. Ныне мы предпочитаем считать, что действительные числа логически более первичны, чем геометрия. Это позволяет нам конструировать всевозможные различныетипы геометрии, каждый из которых исходитиз понятия числа. (Ключевой идеей была идея координатной геометрии, введенная в XVII веке Ферма и Декартом. Координаты можно использовать для определениядругих типов геометрии.) Любая такая «геометрия» должна быть логически непротиворечивой, но не обязательно должна иметь прямое отношение к физическому пространству нашего эмпирического опыта. Конкретную физическую геометрию мы, по-видимому, постигаем через идеализациюэмпирического опыта (т. е. в зависимости от наших экстраполяций на бесконечно большие или бесконечно малые размеры, – см. главу 3, подглава «„Действительность“ действительных чисел»). Проводимые ныне эксперименты достаточно точны и приводят нас с необходимостью к заключению, что наша «извлеченная из эмпирического опыта» геометрия в действительности отличается от евклидова идеала (см. гл.5, конец подглавы «Общая теория относительности Эйнштейна») и согласуется с геометрией, требуемой в общей теорией относительности Эйнштейна. Однако, несмотря на изменения в наших взглядах на геометрию физического мира, возникших в настоящее время, понятие действительного числа, выдвинутое Евдоксом двадцать три столетия назад, по существу осталось неизменным и является существенным ингредиентом как теории Эйнштейна, так и теории Евклида. В действительности это понятие служит существенным ингредиентом всех современных серьезных физических теорий!

Пятая книга НачалЕвклида бьша, по существу, изложением описанной выше «теории пропорций», введенной Евдоксом. Эта книга имела принципиально важное значение для всего многотомного сочинения Евклида в целом. На самом деле, НачалаЕвклида, впервые увидевшие свет около 300 года до н. э., должны считаться одним из сочинений, оказавших наибольшее влияние в истории человечества. Именно Начала Евклида установили эталон для почти всего последующего естественнонаучного и математического мышления. Методы Началбыли дедуктивными, изложение начиналось с четко сформулированных аксиом, которые предполагались «самоочевидными» свойствами пространства; из аксиом выводились многочисленные следствия, многие из которых были важными и поразительными, и совсем не самоочевидными. Не подлежит сомнению, что НачалаЕвклида имели огромное значение для последующего развития естественнонаучного мышления.

Величайшим математиком древности несомненно был Архимед (287–212 гг. до н. э.). Остроумно используя теорию пропорций Евдокса, Архимед вычислил площади и объемы многих фигур и тел различной формы, например, сферы и более сложных геометрических форм, в том числе парабол или спиралей. Ныне для этих целей мы использовали бы дифференциальное и интегральное исчисление, но Архимед жил и творил примерно за 19 веков до создания математического анализа, разработанного Ньютоном и Лейбницем! (Можно было бы сказать, что добрая половина – «интегральная» половина – математического анализ была известна еще Архимеду!) Степень математической строгости, достигнутой Архимедом в своих рассуждениях, была безупречной даже по современным стандартам. Работы Архимеда оказали глубокое влияние на математиков и естествоиспытателей последующих веков, в частности, в значительной мере на Галилея и Ньютона. Архимед также ввел (ПРЕВОСХОДНУЮ?) физическую теорию статики (т. е. теорию, занимающуюся изучением законов поведения тел, находящихся в состоянии равновесия, например, законов рычага и законов плавающих тел) и развил статику как дедуктивную науку, аналогично тому, как Евклид изложил науку о геометрическом пространстве и геометрию твердых тел.

Современником Архимеда, которого я также считаю необходимым отметить, был Аполлоний (ок. 262–200 гг. до н. э.), великий геометр, отличавшийся глубиной озарений и остроумием. Ему мы обязаны исследованием теории конических сечений (т. е. эллипсов, парабол и гипербол), которая оказала весьма сильное влияние на Кеплера и Ньютона. Оказалось, что именно эти кривые, что весьма примечательно, необходимы для описания планетных орбит!

Динамика Галилея и Ньютона

Глубоким прорывом, принесенным в естествознание XVII веком, стало понимание движения. Древние греки достигли замечательного понимания статики вещей – твердых геометрических тел или тел, находящихся в состоянии равновесия(т. е. в состоянии, в котором все действующие на тело силы уравновешены, и движения нет), но не имели хорошего представления о законах, управляющих поведением реально движущихся тел. Чего недоставало древним грекам, это хорошей теории динамики, т. е. теории, описывающей тот красивый способ, каким природа управляет изменениями положения тел от одного момента времени к другому. Частично (но отнюдь не полностью) это объясняется тем, что у древних греков не было никаких сколь-нибудь точных средств измерения времени, т. е. достаточно хороших «часов». Такие часы необходимы для точного хронометрирования изменений в положении тел. Это позволило бы точно определить скорости и ускорения тел. Наблюдения, произведенные Галилеем в 1583 году, показали, что в качестве надежного средства хранения точного времени можно было бы использовать маятник. Этот факт имел далеко идущие последствия для самого Галилея (и для развития всего естествознания в целом!), так как позволял осуществить точное [106]106
  Но, по-видимому, Галилей часто использовал в своих наблюдениях водяные часы для измерения времени (см. Барба [1989]).


[Закрыть]хронометрирование движения. Примерно через сорок пять лет – с публикацией в 1638 году Бесед и математических доказательств, касающихся двух новых отраслей наукиГалилея – начал развиваться новый предмет – динамика , и началась трансформация от древнего мистицизма к современной науке!

Позвольте мне выделить всего лишь четыре наиболее важные физические идеи, введенные Галилеем. Первая идея Галилея заключалась в том, что сила, действующая на тела, определяет ускорение, а не скорость. Что в действительности означают термины «ускорение» и «скорость»? Скоростьчастицы – или какой-нибудь точки тела – это темп изменения во времени положения этой частицы или точки. Скорость обычно принято считать векторнойвеличиной, иначе говоря, необходимо принимать во внимание не только величину, но и направлениескорости (в противном случае мы используем термин «величина скорости», см. рис. 5.4).

Рис. 5.4.Скорость, величина

скорости и ускорение

Ускорение (также векторная величина) – это темп изменения, скорости во времени. Таким образом, ускорение в действительности есть скорость изменения скорости измененияположения во времени! (Древним было трудно понять сущность понятия «ускорение», так как у них не было адекватных «часов», и они не располагали соответствующими математическими идеями относительно «темпа изменения».) Галилей установил, что сила, приложенная к телу (в случае, исследуемом Галилеем – сила тяжести), управляет ускорением этого тела, но не управляет непосредственно его скоростью, как полагали древние, например, Аристотель.

В частности, в отсутствие приложенной к телу силы его скорость постоянна. Следовательно, неизменяемое движение тела по прямой есть результат отсутствиясилы (первый закон движения Ньютона).

Тела в свободном движении продолжают сохранять состояние равномерного прямолинейного движения, и для того, чтобы они пребывали в этом состоянии, никакой силы не требуется. Действительно, одно из следствий из выведенных Галилеем и Ньютоном законов движения состояло в том, что равномерное прямолинейное движение физически полностью неотличимо от состояния покоя (т. е. отсутствия движения): не существует локального способа, позволяющего отличить равномерное прямолинейное движение от покоя! Галилей особенно четко сформулировал это утверждение (даже более четко, чем Ньютон) и дал ему весьма наглядное описание, использовав образ корабля в море (см. Дрэйк [1953], с. 186–187):

«Закройтесь вместе с вашим приятелем в кают-компании под палубой большого судна, прихватив с собой мух, бабочек и каких-нибудь других мелких летающих существ. Возьмите также с собой большой сосуд с водой, в котором бы плавала рыбка; подвесьте бутылку, из которой вода капля за каплей вытекала бы в подставленный снизу широкий сосуд. Пока судно будет стоять, внимательно присмотритесь к тому, как мелкие твари летают в каюте с одинаковой быстротой по всем направлениям. Рыбка также плавает одинаково охотно по всем направлениям; капли из бутылки падают в подставленный снизу сосуд… Внимательно пронаблюдав все эти явления, вы пускаетесь в плавание. Судно идет с любой скоростью, какая вам будет угодна. До тех пор и поскольку движение судна будет прямолинейным и равномерным без рысканья то в одну, то в другую сторону, вы не обнаружите ни малейших изменений в наблюденных ранее явлениях и не сможете отличить ни по одному из них, движется ли судно или стоит на месте… Капли будут, как и прежде, падать в подставленный снизу сосуд, ничуть не отклоняясь к корме, хотя пока капли находятся в воздухе, судно успевает пройти значительное расстояние. Рыбка в воде будет плавать вперед (по ходу движения судна) так же часто, как и назад, и с одинаковой легкостью подплывать к корму, в каком бы месте у стенок сосуда он бы ни был насыпан. Наконец, мухи и бабочки будут по-прежнему летать по всем направлениям, не отдавая предпочтения ни одному из них, не скапливаясь ближе к корме, как бы от усталости, будучи вынужденными следовать курсу судна, от которого они будут отделены на протяжении продолжительных интервалов времени, в течение которых они находятся в воздухе».

Этот замечательный факт, получивший название принципа относительности Галилея , имеет в действительности решающее значение для наполнения копернианскойточки зрения динамическим смыслом. Николай Коперник (1473–1543) и древнегреческий астроном Аристарх (ок. 310–230 гг. до н. э.; не путать с Аристотелем!) за восемнадцать веков до Коперника выдвинули гипотезу о том, что Солнце покоится, а Земля движется, вращаясь вокруг своей собственной оси и обращаясь по орбите вокруг Солнца. Почему мы не ощущаем этого движения, которое происходит со скоростью около нескольких сотен тысяч километров в час? До того, как Галилей выдвинул свою динамическую теорию, этот вопрос действительно представлял настоящую и глубокую загадку для сторонников копернианской картины мироздания. Если бы была верна более ранняя «аристотелевская» версия динамики, согласно которой реальная скоростьсистемы в ее движении сквозь пространство влияла бы на динамическое поведение системы, то движение Земли заведомо было бы чем-то непосредственно очевидным для нас. Относительность Галилея позволяет понять, каким образом Земля может находиться в движении, хотя это движение не будет чем-то воспринимаемым нами непосредственно [107]107
  Строго говоря, сказанное относится к движению Земли лишь постольку, поскольку его можно считать приближенно равномерными, в частности, без вращения. Действительно, вращательное движение Земли создает (относительно малые) динамические эффекты, которые могут быть обнаружены. Самые заметные из такого рода эффектов – отклонение ветров в северном и южном полушариях в различные стороны. Галилей полагал, что такая неравномерность «ответственна» за приливы.


[Закрыть]).

Заметим, что в рамках галилеевой относительности не существует локального физического смысла, который можно было бы придать понятию «в покое». Это приводит к важным следствиям относительно того, как надлежит рассматривать пространство и время. Интуитивная картина пространства и времени состоит в том, что «пространство» представляет собой своего рода арену, на которой происходят физические события. Физический объект может в один момент времени находиться в одной точке пространства, а в более поздний момент времени может оставаться в той же точке или оказаться в другой точке пространства. Представим себе мысленно, что точки пространства каким-то образом могут сохранять свое положение от одного момента времени до следующего момента так, что имеет смысл говорить о том, изменил ли некоторый объект свое положение в пространстве или не изменил. Но галилеева относительность учит нас, что «состояние покоя» не имеет абсолютного характера и поэтому невозможно придать смысл выражению «одна и та же точка пространства в два различных момента времени». Какая точка евклидова трехмерного пространства физической реальности в один момент времени является «той же» точкой евклидова трехмерного пространства в другой момент времени? На этот вопрос невозможно ответить. Создается впечатление, что для каждого момента времени нам необходимо иметь совершенно «новое» евклидово пространство! Этому можно придать смысл, если рассмотреть четырехмерную пространственно-временну́юкартину физической реальности (рис. 5.5).

Рис. 5.5.Галилеево пространство-время: частицы, движущиеся равномерно и прямолинейно, изображены в виде прямых

Трехмерные евклидовы пространства, соответствующие различным моментам времени, в этой картине действительно рассматриваются отдельно друг от друга, но все эти пространства объединены, образуя совместно полную картину четырехмерного пространства-времени. Истории частиц, движущихся равномерно и прямолинейно, описываются прямыми (называемыми мировыми линиями) в пространстве-времени. В дальнейшем я еще вернусь к проблеме пространства-времени и относительности движения в контексте эйнштейновской специальной теории относительности. Мы увидим, что довод в пользу четырехмерности обретает в этом случае гораздо бо́льшую силу.

Третья из великих догадок Галилея стала ключом к началу понимания закона сохранения энергии . Галилея главным образом интересовало движение объектов под действием силы тяжести. Он заметил, что если тело стартует из состояния покоя, то идет ли речь о свободно падающем теле, или о колеблющемся маятнике произвольной длины, или о теле, соскальзывающем по наклонной плоскости, скорость движения всегда зависит только от расстояния по вертикали, пройденного телом от начального положения. Кроме того, достигнутая скорость всегда в точности достаточна для возвращения тела на ту высоту, с которой оно начало двигаться. Теперь мы должны были бы сказать, что энергия, запасенная телом на исходной высоте над поверхностью земли (гравитационная потенциальная энергия), может превращаться в энергию движения тела (кинетическую энергию, которая зависит от величины скорости тела), а та, в свою очередь, – в потенциальную энергию, причем в целом энергия не утрачивается и не приобретается.

Закон сохранения энергии – очень важный физический принцип. Это – не независимое физическое требование, а следствиеиз законов движения Ньютона, до которых мы скоро дойдем. На протяжении столетий все более понятные формулировки закона сохранения энергии делались Декартом, Гюйгенсом, Лейбницем, Эйлером и Кельвином. Позднее в этой главе и в главе 7 мы еще вернемся к закону сохранения энергии. Оказывается, что в сочетании с галилеевским принципом относительности закон сохранения энергии приводит к другим законам сохранения, имеющим немалое значение: закону сохранения массы и закону сохранения количества движения ( импульса ). Количество движения частицы равно произведению ее массы и ее скорости. Знакомые примеры сохранения количества движения возникают при рассмотрении реактивного движения, когда увеличение направленного вперед количества движения ракеты в точности уравновешивается направленным назад количеством движения выхлопных газов (обладающих меньшей массой, но зато большей скоростью). Отдача ружья при выстреле – еще одно проявление закона сохранения количества движения. Еще одним следствием из законов движения Ньютона служит закон сохранения углового момента ( момента количества движения ), описывающий постоянство вращения системы вокруг собственной оси. Вращение Земли вокруг собственной оси, равно как и вращение теннисного мяча вокруг собственной оси, не затухают благодаря закону сохранения их угловых моментов. Каждая частица, образующая любое тело, вносит свой вклад в полный угловой момент тела, причем величина этого вклада равна произведению количества движения частицы на расстояние ее от оси вращения (длину перпендикуляра, опущенного из точки, где находится частица, на ось вращения). (Следовательно, угловую скорость свободно вращающегося объекта можно увеличить, сделав объект более компактным. Это приводит к поразительному, но хорошо знакомому действию, часто исполняемому спортсменами на льду и воздушными гимнастами на трапеции. Прижав к себе руки или поджав ноги, они резко увеличивают скорость вращения просто вследствие закона сохранения углового момента!) Как будет показано в дальнейшем, масса, энергия, количество движения (импульс) и угловой момент принадлежат к числу важных для нас понятий. Наконец, мне следовало бы напомнить читателю о пророческой догадке Галилея, понявшего, что в отсутствие атмосферного сопротивления все тела под действием силы тяжести падают с одной и той же скоростью. (Возможно, читатель вспомнит известную легенду о том, как Галилей сбрасывал с наклонной башни в Пизе по несколько предметов одновременно.) Три столетия спустя то же самое озарение привело Эйнштейна к обобщению принципа относительности на ускоренные системы отсчета и стало, как мы увидим в конце этой главы, краеугольным камнем его необычайной общерелятивистской теории относительности.

На мощном фундаменте, заложенном Галилеем, Ньютону удалось возвести величественнейший храм. Он сформулировал три закона, управляющие поведением материальных тел. Первый и второй законы Ньютона по существу совпадали с законами, открытыми Галилеем: если на тело не действует никакая сила, то тело продолжает равномерно двигаться по прямой; если на тело действует какая-нибудь сила, то произведение массы тела на ускорение (т. е. скорость изменения количества движения тела) равно этой силе. Заслуга собственно Ньютона состояла в осознании необходимости третьего закона движения: сила, с которой тело А действует на тело В , в точности равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой тело В действует на тело А (иными словами, «для каждого действия всегда существует равное по величине противодействие»), Три закона движения Ньютона образуют основу основ. «Ньютоновская вселенная» состоит из частиц, движущихся в пространстве, где действуют законы евклидовой геометрии.

Рис. 5.6.Сложение векторов по правилу параллелограмма

Ускорения этих частиц определяются действующими на них силами. Сила, приложенная к каждой из частиц, получается путем сложения (по правилу сложения векторов, см. рис. 5.6) всех сил, действующих на данную частицу со стороны всех остальныхчастиц. Чтобы система была хорошо определенной, необходимо задать некоторое четкое правило, которое позволяло бы установить, какая сила действует на частицу А со стороны другой частицы В . Обычно мы требуем, чтобы эта сила действовала по прямой, соединяющей частицы А и В (рис. 5.7).

Рис. 5.7.Сила, действующая между двумя частицами, направлена по прямой между ними (и по третьему закону Ньютона сила, действующая на частицу А со стороны частицы В , всегда равна по величине и противоположна по направлению силе, действующей на В со стороны А )

Если речь идет о гравитационной силе, то между А и В возникает сила притяжения, величина которой пропорциональна произведению масс частиц А и В и обратно пропорциональна квадрату расстояния между частицами: закон обратных квадратов. Для других типов сил зависимость от взаимного расположения частиц может быть другой, и величина силы в этом случае будет зависеть не от масс частиц, а от какого-то иного их свойства.