Текст книги "Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики"

Автор книги: Роджер Пенроуз

сообщить о нарушении

Текущая страница: 26 (всего у книги 47 страниц)

Гильбертово пространство

Напомним, что в главе 5 для описания классической системы было введено понятие фазового пространства. Каждая точка фазового пространства используется для представления (классического) состояния физической системы как целого. В квантовой теории соответствующим аналогичным понятием является гильбертово пространство [147]147
  Это важное понятие бесконечномерного пространства, с которым нам уже приходилось встречаться в предыдущих главах, ввел Давид Гильберт задолго до открытия квантовой механики и для совершенно других математических целей!


[Закрыть]. Одна точка гильбертова пространства представляет квантовоесостояние системы как целого. Нам необходимо бросить хотя бы беглый взгляд на математическую структуру гильбертова пространства. Надеюсь, что читателя не устрашит такая перспектива. В том, что я намереваюсь сказать, нет ничего математически очень сложного, хотя некоторые идеи могут показаться непривычными.

Наиболее фундаментальное свойство гильбертова пространства заключается в том, что оно представляет собой так называемое векторное пространство, а фактически комплексное векторное пространство. Это означает, что, сложивлюбые два элемента гильбертова пространства, мы получим элемент, также принадлежащий этому же пространству. Кроме того, когда мы производим сложение элементов гильбертова пространства, их разрешается умножать на комплекснозначные веса. Мы должны уметь делать такие операции, ибо они входят в состав только что рассмотренной квантовой линейной суперпозиции, а именно операции, ранее давшие нам фотонные состояния ψ _t + ψ _b, ψ _t– ψ _b, ψ _t+ iψ _b и т. д. По существу, все что мы имеем в виду, используя термин «комплексное векторное пространство», сводится к разрешению образовывать взвешенные суммы указанного типа [148]148
  Для полноты следовало бы также привести все требуемые алгебраические правила, записанные в используемых в тексте обозначениях (Дирака),
  


[Закрыть].

Удобно принять систему обозначений (предложенную главным образом Дираком), согласно которой элементы гильбертова пространства называются векторами состоянияи обозначаются угловыми скобками | ψ ) [149]149
   Угловые скобки, использованные в книге,
  , заменены на круглые
  | x |, | ψ ), | 1 ), | 2 ), | 3 ), | n ), | ↑), | ↓),|→),|←) – за отсутствием в «таблице символов». В элементах изображений (при ипользовании картинок), соответственно, осталось все как есть. Надеюсь, путанницы не возникнет. – Прим верст. fb2


[Закрыть] (важное примечание),

и т. д.

Теперь эти символы обозначают квантовые состояния. Операцию сложения двух векторов состояния мы записываем в виде

или с комплексными весами ω и z

где  ω | ψ ) означает ω х | ψ ) и т. д. Соответствующим образом мы можем записать приведенные выше комбинации ψ _t + ψ _b, ψ _t– ψ _b, ψ _t+ iψ _b в виде

| ψ _t ) + | ψ _b ), | ψ _t ) – | ψ _b ), | ψ _t ) + i | ψ _b ), и т. д.

Мы можем также просто умножить одно состояние | ψ ) на комплексное число ω и получить

ω | ψ )

(в действительности это – частный случай приведенной выше комбинации состояний с комплексными весами при z = 0).

Напомним, что нам разрешается рассматривать комбинации с комплекснозначными весами ω и z и в том случае, когда ω и z – не являются амплитудами вероятности, а лишь им пропорциональны. Соответственно, мы принимаем правило, согласно которому весь вектор состояния можно умножить на отличное от нуля комплексное число, и физическое состояние от этого не изменится. (В результате такого умножения изменились бы значения весов ω и z , но отношение ω: z осталось бы неизменным.) Каждый из векторов

представляет одно и то же физическое состояние, как и любой вектор z | ψ ), где z ≠ 0. Единственный элемент гильбертова пространства, не допускающий интерпретацию как физическое состояние, есть нулевой вектор 0 ( начало координатгильбертова пространства).

Чтобы получить некоторое геометрическое представление этой картины, рассмотрим сначала более привычное понятие «вещественного» вектора. Такой вектор принято изображать просто как стрелку, проведенную на плоскости или в трехмерном пространстве. Сложение двух таких векторов производится по правилу параллелограмма (рис. 6.19).

Рис. 6.19.Сложение и умножение на скаляры векторов в гильбертовом пространстве можно наглядно представить как соответствующие операции для векторов в обычном пространстве

Операция умножения вектора на положительное (вещественное) число сводится в таком представлении просто к умножению длины рассматриваемой стрелки на заданное число (направление стрелки при этом остается неизменным). Если же мы умножаем стрелку на отрицательное число, то направление стрелки изменяется на противоположное. Если число, на которое требуется умножить стрелку, равно 0, то мы получаем нулевой вектор 0, который не имеет направления. (Вектор 0 представлен «нулевой стрелкой», имеющей нулевую длину.) Одним из примеров векторной величины может служить сила, действующая на частицу. Другими примерами могут служить классические скорости, ускорения и импульсы. Существуют также 4-векторы импульса, которые мы рассматривали в конце предыдущей главы. Это – векторы не в двумерном и не в трехмерном пространстве, а в четырехмерном. Но для гильбертова пространства нам понадобятся векторы с гораздо большим числом измерений (в действительности, часто даже бесконечномерные, но для нас это обстоятельство сейчас несущественно). Напомним, что мы всегда использовали стрелки, чтобы изобразить векторы в классическом фазовом пространстве, которое могло иметь очень высокую размерность. Говоря об «измерениях» фазового пространства, как и об «измерениях» гильбертова пространства, мы не имеем в виду обычные пространственные направления. Отнюдь! Каждое измерение гильбертова пространства соответствует одному из различных независимых физических состояний квантовой системы.

Вследствие эквивалентности между | ψ ) и z | ψ ), физическое состояние в действительности соответствует целой прямой, проходящей через начало координат0, (или лучу ) в гильбертовом пространстве (описываемом всеми кратными некоторого вектора), а не просто каким-то конкретным вектором, лежащим на этой прямой. Луч состоит из всех возможных кратных некоторого конкретного вектора состояния | ψ ). (Следует иметь в виду, что речь идет о комплексныхкратных, поэтому прямая в действительности представляет собой комплекснуюпрямую, но об этом пока лучше не беспокоиться!) (См. рис. 6.20.)

Рис. 6.20. Физические квантовые состояния описываются лучами в гильбертовом пространстве

Скоро пред нами предстанет весьма изящная картина такого пространства лучей для случая двумерногогильбертова пространства. Другой предельный случай – бесконечномерное гильбертово пространство. Бесконечномерное гильбертово пространство возникает даже в простой ситуации локализации одной частицы. Тогда для каждого возможного положения, которое могла бы занимать частица, существует целое измерение! Каждое положение частицы определяет в гильбертовом пространстве целую «координатную ось», поэтому с учетом бесконечно многих различных положений частицы мы имеем бесконечно много различных независимых направлений (или «измерений») в гильбертовом пространстве. Импульсные состояния также могут быть представлены в том же самомгильбертовом пространстве. Поскольку импульсные состояния представимы в виде комбинаций конфигурационных состояний, то они соответствуют осям, идущим «по диагонали» – наклоненным относительно осей в конфигурационном пространстве. Совокупность всех импульсных состояний дает нам новую систему осей, и переход от осей конфигурационного пространства состояний к осям импульсного пространства состояний сводится к повороту в гильбертовом пространстве.

Не следует пытаться наглядно представить себе это сколько-нибудь точно. Такая попытка была бы неразумной! Однако некоторые идеи, почерпнутые из обычной евклидовой геометрии, могут оказаться очень полезными. В частности, рассматриваемые нами оси ( либо все оси в конфигурационном пространстве состояний, либо все оси в импульсном пространстве состояний) следует считать взаимно ортогональными , т. е. расположенными под «прямыми» углами друг к другу. «Ортогональность» лучей – понятие, важное для квантовой механики. Ортогональные лучи соответствуют состояниям, которые независимы друг от друга. Различные возможные конфигурационные состояния частицы все взаимноортогональны, как и все различные возможные импульсные состояния. Но конфигурационные состояния не ортогональны импульсным состояниям. Весьма схематично эта ситуация представлена на рис. 6.21.

Рис. 6.21.Конфигурационные состояния и импульсные состояния приводят к различному выбору ортогональных осей в одном и том же гильбертовом пространстве

Измерения

Общее правило Rдля измерения(или наблюдения) требует, чтобы различные состояния квантовой системы, которые могут быть одновременно увеличены до классического уровня (на котором система должна выбрать одно из них), всегда должны быть взаимно ортогональны. Набор альтернатив, отобранный в результате полного измерения, образует систему ортогональных базисных векторов. Это означает, что каждый вектор в гильбертовом пространстве может быть (единственным образом) представлен в виде линейной комбинации этих векторов. Для измерения положения, произведенного над системой, состоящей из одной частицы, такие базисные векторы определяют те самые оси в конфигурационном пространстве состояний, о которых мы уже упоминали. Для измерения импульсаэто был бы другой набор, определяющий оси в импульсном пространстве состояний. Для полного измерения любого другого рода этот набор также был бы другим. После измерения состояние системы скачкомпереходит на одну из осей набора, соответствующего данному измерению, причем выбор оси происходит чисто случайным образом. Не существует динамического закона, который сказал бы нам, какая из осей будет выбрана природой. Ее выбор случаен, а значения вероятности определяются квадратами модулей амплитуд вероятности.

Предположим, что над системой, состояние которой | ψ ), произведено некоторое полное измерение, причем базисом для выбранного измерения служит набор

| 0 ), | 1 ), | 2 ), | 3 )….

Так как эти состояния образуют полный набор, то любой вектор состояния и, в частности, | ψ ) можно представить в виде их линейной комбинации [150]е в150
  Не исключается также и случай, когда эта комбинация представляет собой бесконечнуюсумму векторов. Полноеопределение гильбертова пространства (которое, на мой взгляд, слишком формально для того, чтобы здесь вдаваться в его подробности) включает в себя правила, позволяющие оперировать с такими бесконечными суммами.


[Закрыть]

| ψ ) = z ₀ | 0 ) + z ₁ | 1 ) + z ₂ | 2 ) + z ₃ | 3 ) +….

Геометрически коэффициенты z ₀, z ₁, z ₂…. являются величинами ортогональных проекцийвектора | ψ ) на различные оси | 0 ), | 1 ), | 2 ), | 3 )…. (рис. 6.22).

Рис. 6.22.Величины ортогональных проекций состояния | ψ ) на оси | 0 ), | 1 ), | 2 )…. дают требуемые амплитуды z ₀, z ₁, z ₂….

Сразу возникает желание истолковать комплексные числа z ₀, z ₁, z ₂… как искомые амплитуды вероятности, квадраты модулей которых давали бы различные вероятности того, что после измерения наша система будет находиться, соответственно, в состояниях | 0 ), | 1 ), | 2 ), | 3 )…. Однако этого еще нельзя сделать, пока не определена «шкала» различных базисных векторов | 0 ), | 1 ), | 2 )…. Для этого мы должны оговорить, что в некотором смысле эти векторы являются единичными (т. е. имеют единичную длину), и, таким образом, они образуют так называемый ортонормированныйбазис (элементы которого попарно ортогональныи нормированына единицу) [151]151
  Существует важная операция, называемая скалярнымпроизведением (или внутренним произведением) двух векторов, которая может быть использована для того, чтобы очень просто выразить такие понятия, как «единичный вектор», «ортогональность» и «амплитуда вероятности». (В обычной векторной алгебре скалярное произведение равно ab cos v , где а и b – длины векторов, a v – угол между их направлениями.) Скалярное произведение векторов из гильбертова пространства дает комплексноечисло. Скалярное произведение двух векторов состояния | ψ ) и | X ) записывается в виде | ψ | X ). Для него справедливы алгебраические правила
  ,
  
  где черта сверху означает комплексное сопряжение. Числом, комплексно сопряженным с z = х + iy , называется
  , где х и у – действительные числа; обратите внимание на то, что
  .
  Ортогональность векторов состояния | ψ ) и | X ) записывается в виде соотношения
  
  Квадрат длины вектора состояния | ψ ) есть величина
  
  поэтому нормировки | ψ ) к единичному вектору представимо в виде
  
  Если «акт измерения» вызывает скачкообразный переход состояния | ψ ) либо в состояние | X ), либо во что-то, ортогональное | X ), то амплитуда этого скачкообразного перехода в состояние | X ) равна ( X | ψ ) в предположении, что | ψ ) и | X ) нормированы. Без нормировки вероятность скачкообразного перехода из | ψ ) в | X ) можно представить в виде
   (См. Дирак [1947].)


[Закрыть]. Если вектор | ψ ) также нормирован на единицу, то искомые амплитуды действительно станут коэффициентами z ₀, z ₁, z ₂…, вектора | ψ ), а вероятности, которые требуется найти, будут равны | z ₀ | ² , | z ₁ | ² , | z ₂ | ² ….. Если | ψ ) – не единичный вектор, то приведенные выше числа пропорциональны, соответственно, искомым амплитудам и вероятностям. Действительные амплитуды будут равны

где | ψ ) – «длина» вектора состояния | ψ ).

Эта «длина» – положительное действительное число, определенное для каждого вектора состояния ( 0имеет нулевую длину), и | ψ | = 1, если | ψ ) – единичный вектор.

Полное измерение представляет собой весьма идеализированный тип измерения. Например, полное измерение положения частицы потребовало бы от нас способности локализовать частицу с бесконечной точностью, где бы во вселенной она ни находилась! К более элементарному типу измерения относится такое измерение, когда мы просто задаем вопрос типа «да или нет», например, такой: «Расположена ли частица справа (или слева) от некоторой прямой?» или «Лежит ли импульс частицы в некотором интервале?» и т. д. Измерения типа «да или нет» в действительности представляют собой наиболее фундаментальный тип измерения. (Например, используя только лишь измерения типа «да или нет», можно сколь угодно близко подойти к точному значению положения или импульса частицы.) Предположим, что результатом измерения типа «да или нет» оказывается ДА. Тогда вектор состояния должен находиться в области « ДА» гильбертова пространства, которую я обозначу Y(от англ. yes – «да». – Прим. ред.). С другой стороны, если результатом измерения типа «да или нет» оказывается НЕТ, то вектор состояния должен находиться в области « НЕТ» гильбертова пространства, которую я обозначу N(от англ. no – «нет». – Прим. ред.). Области Yи Nполностью ортогональны друг другу в том смысле, что любой вектор состояния из области Yдолжен быть ортогонален любому вектору состояния из области N(и наоборот). Кроме того, любой вектор состояния | ψ ) может быть (единственным образом) представлен в виде суммы векторов, принадлежащих каждой из областей Yи N. Если воспользоваться математической терминологией, то можно сказать, что области Yи Nявляются ортогональными дополнениямидруг друга. Таким образом, | ψ ) однозначно представи́м в виде

| ψ ) = | ψ _Y ) + | ψ _N )

где | ψ _Y ) принадлежит Y, a | ψ _N ) принадлежит N. Здесь | ψ _Y ) означает ортогональную проекциюсостояния | ψ ) на Y, a | ψ _N ) – ортогональную проекцию состояния | ψ ) на N(рис. 6.23).

Рис. 6.23.Редукция вектора-состояния. Измерение может быть описано в терминах пары подпространств Y и N, каждое из которых является ортогональным дополнением другого. После измерения состояние | ψ) скачком переходит в свою проекцию на одно из этих подпространств с вероятностью, задаваемой множителем, показывающим, во сколько раз квадрат длины вектора состояния уменьшается при переходе к проекции

Если результат измерения есть ДА, то | ψ ) скачком переходит в | ψ _Y ), а если результат есть НЕТ, то в | ψ _N ). Если вектор состояния | ψ ) нормирован, то соответствующие вероятности того и другого исхода равны квадратам длин

| ψ _Y | ² и | ψ _N | ² состояний-проекций. Если же вектор | ψ ) не нормирован, то каждый из этих квадратов необходимо разделить на | ψ | ² . (По «теореме Пифагора»

| ψ | ²  = | ψ _Y | ²  + | ψ _N | ² , т. е. сумма вероятностей, как и должно быть, равна единице!) Заметим, что вероятность скачкообразного перехода состояния | ψ ) в состояние | ψ _Y ) определяется отношением, показывающим, во сколько раз квадрат длины вектора | ψ ) уменьшается при таком проецировании.

В заключение необходимо сделать одно замечание относительно таких «актов измерения», которые можно производить над квантовой системой. Из самих основ квантовой теории следует, что для любого состояния, скажем, для | X ), существует измерение типа «да или нет» [152]152
  Для тех, кто знаком с операторным формализмом квантовой механики, это измерение (в обозначениях Дирака) определяется ограниченным эрмитовым оператором | X )( X |. Собственное значение 1 (для нормированного | X )) означает ДА, а собственное значение 0 – НЕТ. (Векторы ( X |, | ψ ) и т. д. принадлежат гильбертову пространству, дуальномук исходному.) См. фон Нейман [1955], Дирак [1947].


[Закрыть], результатом которого будет ДА, если измеряемое состояние пропорционально | X ), и НЕТ, если оно ортогонально | X ). Таким образом, введенная выше область Yмогла бы состоять из всех состояний, кратных любому выбранному состоянию | X ). Из этого утверждения, по-видимому, следует весьма сильное заключение о том, что векторы состояния должны быть объективно реальными. Каким бы ни было состояние физической системы (давайте назовем его | X )), существует в принципе выполнимое измерение, для которого | X ) – единственное(с точностью до пропорциональности) состояние, с достоверностьюприводящее к результату ДА. Может оказаться, что для некоторых состояний | X ) выполнить такое измерение будет чрезвычайно трудно, а порою практически «невозможно». Но тот факт, что согласно теории существует принципиальнаявозможность такого измерения, приведет позднее в этой главе к некоторым поразительным следствиям.

Спин и сфера Римана состояний

Величину, которую в квантовой механике принято называть « спином », иногда считают самой «квантовомеханической» из всех физических величин, поэтому мы поступим разумно, уделив ей некоторое внимание. Что такое спин? По существу, спин – это мера, характеризующая вращение частицы. Термин «спин» [153]153
  От английского spin – «вращение». – Прим. ред.


[Закрыть]действительно наводит на мысль о чем-то, напоминающем вращение крикетного шара или бейсбольного мяча. Вспомним понятие углового момента , который, подобно энергии и импульсу, является сохраняющейсявеличиной (см. главу 5 «Динамика Галилея и Ньютона», а также Главу 6 «Начало квантовой теории»). Угловой момент тела остается постоянным во времени до тех пор, пока движение тела не возмущает трение или какие-нибудь другие силы. Он и есть то, чем на самом деле является квантовомеханический спин, но сейчас нас интересует «вращение» отдельнойчастицы самой по себе, а не обращение по орбитам мириад частиц вокруг общего центра масс (как это было бы в случае крикетного шара). Замечательный физический факт состоит в том, что большинство частиц, обнаруживаемых в Природе, действительно совершают «вращение» в только что указанном смысле, причем каждая частица обладает спином, величина которого специфична только для нее [154]154
  В предыдущем описании квантовой системы, состоящей из одной частицы, я прибег к сверхупрощению, проигнорировав спин и предположив, что состояние может быть описано заданием одного лишь пространственного положения. Действительно, существуют некоторые частицы, называемые скалярными, их примерами могут служить ядерные частицы, известные под названием пионов ( π -мезоны, см. гл.5 «Масса, материя и реальность»), или некоторые атомы, для которых спин оказывается равным нулю. Для таких (и только для таких) частиц приведенное выше описание в терминах одного лишь пространственного положения действительно будет достаточным.


[Закрыть]. Но, как мы увидим дальше, спин отдельной квантовомеханической частицы обладает некоторыми весьма экстравагантными свойствами, – совсем не теми, которые мы могли бы ожидать, исходя из своего опыта обращения с закрученным крикетными шарами.

Прежде всего, для частиц определенного типа величинаспина всегда одна и та же . Изменяться (причем очень странным образом, о чем мы вскоре узнаем) может только направление спина. Это резко контрастирует с крикетным шаром, который может быть закручен всеми возможными способами как угодно сильно или слабо в зависимости от того, как он был запущен! Для электрона, протона или нейтрона величина спина всегда равна ħ / 2 , т. е. ровно половиненаименьшего положительного значения, которое по Бору было изначально допустимым для квантованной величины углового момента атомов. (Напомним, что допустимыми значениями были 0 , ħ , 2ħ , 3ħ ….) Здесь же нам требуется половина фундаментальной единицы ħ , и, в некотором смысле, ħ / 2 сама по себе есть даже более фундаментальная единица. Такая величина углового момента не была бы допустима для объекта, состоящего только из орбитальных частиц, не вращающихся самих по себе. Такая величина может возникнуть только потому, что спин – это внутренне присущеесвойство самой частицы (т. е. он не является результатом орбитального движения ее «частей» вокруг некоторого центра).

Частица со спином, равным нечетномукратному ħ / 2 (т. е. ħ / 2 , 3ħ / 2 или 5ħ / 2 и т. д.) называется фермионом и обладает любопытной квантовомеханической особенностью: полный поворот на 360° переводит ее вектор состояния не в себя, а в себя со знаком минус!Многие частицы, встречающиеся в природе, относятся к числу фермионов, и мы еще узнаем позднее о них и их необычных свойствах, столь жизненно важных для нашего существования. Остальные частицы со спином, равным четномукратному ħ / 2 , т. е. целому кратному ħ (а именно 0 , ħ , 2ħ , 3ħ …), называются бозонами . При повороте на 360° вектор состояния бозона переходит точно в себя .

Рассмотрим частицу с половинным спином , т. е. со значением спина ħ / 2 . Для определенности я буду называть такую частицу электроном , но ею с таким же успехом мог бы быть протон или нейтрон, а также атом подходящего вида. («Частица» может состоять из отдельных частей, если ее можно рассматривать квантовомеханически как единое целое с вполне определенным полным угловым моментом.) Предположим, что наш электрон покоится, и рассмотрим только его спиновое состояние. Пространство квантовомеханических состояний (гильбертово пространство) оказывается в этом случае двумерным , поэтому мы можем выбрать базис, состоящий всего лишь из двух состояний. Я обозначу их |↑)и |↓), чтобы указать, что в состоянии |↑)спин вращается слева направо относительно вертикального направления снизу вверх, в то время как в состоянии |↓)спин вращается слева направо относительно вертикального направления сверху вниз(рис. 6.24).

Рис. 6.24.Базис спиновых состояний электрона состоит всего лишь из двух состояний. В качестве них принято выбирать состояния спин вверх и спин вниз

Состояния |↑)и |↓)взаимно ортогональны, и мы считаем их нормализованными ( |↑| ² и |↓| ² = 1 ). Любое возможное состояние спина электрона представимо в виде линейной суперпозиции, например, ω|↑) + z|↓), именно этих двух ортонормированных состояний |↑)и |↓), т. е. состояний спин вверх и спин вниз .

Нужно сказать, что в состояниях спин вверхи спин внизнет ничего особенного. С тем же успехом мы могли бы описывать спин, вращающийся слева направо вокруг любого другого направления, например, слева-направо|→)и противоположного ему справа-налево|←). Тогда (при подходящем выборе комплексных весов) мы получили бы для |↑)и |↓) [155]155
  Здесь и выше я предпочел не загромождать формулы множителями типа 1 / √2 , которые нужны, если мы требуем, чтобы векторы |→)и |←)были нормированными.


[Закрыть]:

|→)= |↑) + |↓)и |←)= |↑)– |↓).

Это позволяет нам по-новому взглянуть на ситуацию. Любое спиновое состояние электрона есть линейная суперпозиция двух ортогональных состояний |→)и |←),т. е. спинов направои налево. Можно выбрать какое-нибудь совершенно произвольное направление, например, вектор состояния.

Он также является линейной комбинацией спинов |↑)и |↓)с некоторыми комплексными коэффициентами, скажем,

а любое спиновое состояние было бы представимо в виде линейной комбинации этого состояния

и ортогонального ему [156]156
   комплексно сопряженные чисел ω и z . (см. прим.151)


[Закрыть]состояния

(Заметим, что понятие «ортогональный» в гильбертовом пространстве не обязательно означает «образующий прямой угол с…» в обычном пространстве. Ортогональные вектора состояния в гильбертовом пространстве в данном случае соответствуют диаметрально противоположным направлениям, а не образующим друг с другом прямой угол.)

Каково геометрическое соотношение между направлением в пространстве, определяемым спином

и двумя комплексными числами ω и z ? Так как физическое состояние, задаваемое спином

останется неизменным, если мы умножим

на любое ненулевое комплексное число, то значение имеет только отношениечисла z к числу ω . Обозначим это отношение через

q = z / ω .

Тогда q будет обычным комплексным числом за исключением того, что теперь ему разрешено принимать значение q  = ∞, чтобы не упускать из рассмотрения ситуацию с ω = 0 , т. е. когда спин направлен вертикально вниз. Если q ≠ ∞, то мы можем представить q как точку на плоскости Аргана, как мы делали это в главе 3. Представим себе, что эта плоскость Аргана расположена горизонтально в пространстве, причем действительная ось направлена вправо в вышеуказанном смысле (т. е. в направлении спинового состояния |→)). Представим теперь сферу единичного радиуса, центр которой совпадает с началом координат плоскости Аргана, а точки 1 , i,  – 1 , – i лежат на экваторе этой сферы. Рассмотрим точку, совпадающую с южным полюсом этой сферы, который мы обозначим ∞. Осуществляя проекцию из южного полюса, мы отобразим всю плоскость Аргана на нашу единичную сферу. В результате любая точка q на плоскости Аргана окажется поставленной в соответствие единственной точке q на этой сфере, лежащей на прямой, соединяющей эти две точки с южным полюсом (рис. 6.25).

Рис. 6.25.Сфера Римана, представленная как пространство физически различных спиновых состояний частицы со спином 1 / 2 . Сфера Римана стереографически спроецирована из ее южного полюса ( ∞) на плоскость Аргана, проходящую через экватор сферы

Такое соответствие называется стереографической проекцией и обладает многими красивыми геометрическими свойствами (например, сохраняет углы и отображает окружности в окружности). Такая проекция позволяет нам параметризовать точки сферы комплексными числами вместе с ∞, т. е. множеством возможных комплексных отношений q . Сфера, параметризованная таким образом, называется сферой Римана . Геометрический смысл сферы Римана для спиновых состояний электрона состоит в том, что направление спина, задаваемое соотношением

определяется реальным направлением из центра в точку q = z / ω , как показано на изображении сферы Римана. Заметим, что северный полюс соответствует состоянию |↑), задаваемому соотношением z = 0 , т. е. q = 0 , а южный полюс – состоянию |↓), задаваемому соотношением ω = 0 , т. е. q = ∞. Самая правая точка сферы Римана помечена значением q  = 1 , что соответствует состоянию |→)= |↑) + |↓)а самая левая точка сферы Римана соответствует q = – 1 , что дает спиновое состояние |←)= |↑)– |↓). Самая дальняя задняя точка сферы Римана помечена значением q = i , соответствующим состоянию |↑) + i|↓), в котором спин направлен прямо от нас, а самая близкая точка сферы Римана помечена значением q = – i , соответствующим состоянию |↑)– i|↓), в котором спин направлен прямо к нам. Произвольная точка, помеченная q , соответствует состоянию |↑) +  q|↓).

Как все это связано с измерением, которое можно было бы произвести над спином электрона? [157]157
  Существует стандартная экспериментальная установка, известная как прибор Штерна-Герлаха, которую можно использовать для измерения спинов атомов. Атомы выпускаются в пучок, который проходит в сильно неоднородном магнитном поле, направление неоднородности которого задает направление, в котором производится измерение спина. Пучок расщепляется на два (для атома со спином 1 / 2 или на большее число частей – для атома с бо́льшим спином), один пучок дает атомы с ответом ДАна измерение спина, а другой – атомы с ответом НЕТна измерение спина. К сожалению, по некоторым техническим причинам, не имеющим отношения к интересующим нас вопросам, такой прибор не может быть использован для измерения спина электрона, и поэтому приходится прибегать к косвенной процедуре (см. Мотт, Мэсси [1965]). По этой и по другим причинам я предпочитаю не вдаваться в подробности относительно того, как в Действительности измеряют спин электрона.


[Закрыть]Выберем некоторое направление в пространстве и обозначим его а. Если мы измеряем спин электрона в этом направлении, то ответ ДАозначает, что электрон (теперь) действительно вращается слева направо вокруг направления а, в то время как ответ НЕТозначает, что электрон вращается слева направо вокруг направления, противоположного α .

Предположим, что мы получили ответ ДА, и обозначим результирующее состояние | α ). Если мы просто повторим измерение, используя в точности такое же направление α , как прежде, то с вероятностью 100 % обнаружим, что ответ будет ДА. Но если при втором измерении мы изменим направление и выберем новое направление β , то обнаружим, что вероятность ответа ДА(состояние перепрыгивает в | β )) будет несколько меньшей, и существует некоторая возможность появления во втором измерении ответа НЕТ(состояние перепрыгивает в направление, противоположное β ). Как нам вычислить эту вероятность? Ответ на этот вопрос содержится в предписаниях, приведенных в конце предыдущего раздела. Вероятность ответа ДАдля второго измерения оказывается равной

1 / 2 ( 1 + cos v )

где v – угол между направлениями [158]158
  Пытливый читатель может самостоятельно проверить геометрию, приведенную в тексте. Проще всего, если мы сориентируем сферу Римана так, чтобы α -направление было направлением «вверх», а β -направление лежало в плоскости, натянутой на направления «вверх» и «вправо», т. е. задаваемой параметром q = tg ( v/2 ) на сфере Римана, а затем воспользуемся формулой
  
  для вероятности перехода скачком из | ψ ) в ( X |. (См. прим. 151.)


[Закрыть] α и β . Соответственно, вероятность ответа НЕТдля второго измерения равна

1 / 2 ( 1 – cos v )

Отсюда видно, что если второе измерение производится под прямым углом к первому, то вероятность составляет 50 % в обоих случаях ( cos 90° = 0 ); результат второго измерения полностью случаен! Если угол между двумя измерениями острый, то ответ ДАболее вероятен, чем ответ НЕТ. Если этот угол – тупой, то ответ НЕТболее вероятен, чем ДА. В предельном случае, когда направление β противоположно направлению α , вероятность равна 0 для ответа ДАи 100 % для ответа НЕТ, т. е. результат второго измерения заведомо обратен результату первого измерения. (См. Фейнман и др. [1965] для дальнейшего знакомства со спином.)

Сфера Римана действительно играет фундаментальную (но не всегда признанную) роль в любой квантовой системе с двумя состояниями, описывая (с точностью до коэффициента пропорциональности) набор возможных квантовых состояний. Для частицы с полуцелым спином ее геометрическая роль особенно очевидна, так как точки сферы соответствуют возможным пространственным направлениям спиновых осей.

Увидеть роль сферы Римана во многих других ситуациях труднее. Рассмотрим фотон, только что прошедший через две щели или отразившийся от полупосеребренного зеркала. Состояние фотона есть некоторая линейная комбинация типа

| ψ _t ) + | ψ _b ), | ψ _t ) – | ψ _b ) или | ψ _t ) + i | ψ _b )

двух состояний | ψ _t ) и | ψ _b ), описывающих две совершенно различные локализации. Сфера Римана по-прежнему описывает набор физически различных возможностей, но теперь лишь абстрактно . Состояние | ψ _t ) представлено северным полюсом («верхушкой») сферы, а состояние | ψ _b ) – южным полюсом («дном») сферы. Соответственно, состояния | ψ _t ) + | ψ _b ), | ψ _t ) – | ψ _b ) и | ψ _t ) + i | ψ _b ) представлены различными точками на экваторе, и в общем случае состояние ω | ψ _t ) + z | ψ _b ) представлено точкой, задаваемой отношением q = z / ω . Во многих случаях (как и в рассматриваемом примере) возможности «богатства сферы Римана» довольно глубоко упрятаны, не имея прямого отношения к геометрии пространства!