Текст книги "Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики"

Автор книги: Роджер Пенроуз

сообщить о нарушении

Текущая страница: 27 (всего у книги 47 страниц)

Объективность и измеримость квантовых состояний

Несмотря на то, что мы обычно располагаем только вероятностями для результата некоторого эксперимента, нам кажется, что в квантовомеханическом состоянии есть все же нечто объективное. Часто высказывают утверждение, что векторы состояния – всего лишь удобное представление «нашего знания» о физической системе – или, может быть, вектор состояния описывает на самом деле не одну-единственную систему, а лишь дает вероятностную информацию об «ансамбле» большого числа одинаковым образом приготовленных систем. Такие высказывания поражают меня неразумной робостью относительно того, что квантовая механика должна нам сообщить о «реальности» физического мира.

Некоторая осторожность и сомнение относительно «физической реальности» векторов состояния, по-видимому, проистекает из того, что согласно теории набор измеримых величин строго ограничен. Рассмотрим спиновое состояние электрона, как было описано выше. Предположим, что спиновым состоянием оказывается | α ), но мы этого не знаем, т. е. нам неизвестно «направление» α , вокруг которого как вокруг оси вращается электрон. Можем ли мы определить это направление с помощью эксперимента? Нет, не можем. Лучшее, что мы можем сделать, это извлечь «один бит» информации, т. е. получить ответ на один вопрос типа «да или нет». Мы можем выбрать в пространстве некоторое направление β и измерить спин электрона в этом направлении. В результате измерения мы получим ответ либо ДА, либо НЕТ, но после этого информация о первоначальном направлении спина будет утрачена. Получив ответ ДА, мы будем знать, что теперьсостояние спина пропорционально | β ), а при ответе НЕТ, что теперьсостояние спина имеет направление, противоположное β . Но ни в одном из этих случаев ответ ничего не говорит нам о направлении α до измерения, а лишь дает нам некоторую вероятностную информацию о направлении α .

С другой стороны, в самом направлении α , вокруг которого электрон «вращается как вокруг оси» до того, как произведено измерение, по-видимому, есть нечто полностью объективное [159]159
  Эта объективность является характерной особенностью нашего подхода, если мы всерьез принимаем стандартный квантовомеханический формализм. При нестандартном подходе система могла бы в действительности заранее «знать» результат, выдаваемый в ответ на любое измерение. Это привело бы нас к другой и, очевидно, объективной картине физической реальности.


[Закрыть]. Действительно, мы могли быостановить свой выбор на измерении спина электрона в направлении α , и электрон должен быть приготовлен так, чтобы достоверно(т. е. с вероятностью 100 %) дать ответ ДА, если мы случайно угадаем истинное направление спина! Каким-то образом «информация» о том, что электрон действительно должен дать именно такой ответ, хранится в спиновом состоянии электрона.

Мне кажется, что при обсуждении вопроса о физической реальности в квантовой механике мы должны проводить различие между тем, что «объективно», и тем, что «измеримо». Действительно, вектор состояния системы несомненно не измеримв том смысле, что на основе экспериментов, произведенных над системой, невозможно определить (с точностью до коэффициента пропорциональности), каким является это состояние. Но очевидно, что вектор состояния является (опять-таки с точностью до коэффициента пропорциональности) объективнымсвойством системы, и полностью характеризуется результатами измерений, которые могут бытьпроизведены над системой. В случае одной частицы со спином 1 / 2 , например, электрона, такая объективность не является бессмысленной, так как она сводится просто к утверждению о том, что существует некоенаправление, относительно которого спин электрона точно определен, даже если мы не знаем, каково это направление. (Однако, как мы увидим в дальнейшем, такое представление относительно «объективности» в случае более сложных систем выглядит намного более странным – даже для системы, состоящей всего лишь из двух частиц со спинами 1 / 2 .)

Но должен ли спин электрона вообщенаходиться в каком-нибудь физически определенном состоянии, прежде чем он будет измерен? Во многих случаях он не имеетопределенного состояния, так как не может рассматриваться как автономная квантовая система. Вместо этого квантовое состояние в общем случае следует рассматривать как описание электрона, неразрывно связанного с большим числом других частиц. Но в особых случаях электрон (по крайней мере, если речь идет о его спине) можнорассматривать сам по себе. Например, в случае, когда спин электрона был точно измерен в некотором (возможно, неизвестном) направлении, а затем электрон в течение некоторого времени оставался невозмущенным, то его спин (в полном соответствии со стандартной квантовой теорией) объективно будет иметьвполне определенное направление.

Копирование квантового состояния

Объективность, но неизмеримость спинового состояния электрона поясняет еще один важный факт: невозможно скопировать квантовое состояние, оставив оригинальное состояние в неприкосновенном виде!Предположим, что мы могли бы изготовить копию спинового состояния электрона | α ). Если бы нам удалось сделать это один раз, то Мы могли бы сделать это еще раз, а затем повторить еще и еще. Результирующая система имела бы огромный угловой момент вполне определенного направления. Это направление (обозначим его α ) могло бы быть установлено с помощью макроскопического измерения. Но тогда оказалась бы нарушенной принципиальная неизмеримостьспинового состояния | α ).

Но если мы готовы разрушить исходное состояние, то скопировать квантовое состояние все же возможно. Допустим, что у нас есть электрон в некотором неизвестном спиновом состоянии | α ) и нейтрон в некотором другом спиновом состоянии | γ ). Вполне законно произвести обмен этими состояниями так, чтобы спиновым состоянием нейтрона стало | α ), а спиновым состоянием электрона | γ ). То, что мы не можем – это изготовить спиновое состояние | α ) в двух экземплярах(если только мы уже не знаем, каково состояние | α ) на самом деле)! (См. также Вутгерс, Цурек [1982].)

Вспомним рассмотренную в главе 1(подгл. «Железо» и «софт», прим.38) «машину для телепортации». Ее работа было основана на принципиальной возможности собрать на удаленной от нас планете полную копию тела и головного мозга какого-нибудь человека. Интригующе интересно предположить, что человеческое сознание может зависеть от некоторых аспектов квантового состояния. Если это так, то квантовая теория запрещала бы нам изготовление копии этого «сознания» без разрушения состояния оригинала – и тем самым можно было бы разрешить «парадокс» телепортации. Возможность существенного влияния квантовых эффектов на функционирование головного мозга будет рассмотрена в двух заключительных главах.

Спин фотона

Рассмотрим теперь «спин» фотона и его связь со сферой Римана. Фотоны действительно обладаютспином, но поскольку они всегда движутся со скоростью света, их спин нельзя рассматривать как вращение вокруг какой-то неподвижной точки; ось спина фотона всегда совпадает с направлением движения. Спин фотона называется поляризацией . Поляризация – это явление, на котором основано действие «поляроидных» солнцезащитных очков. Возьмите два фрагмента поляроида, наложите их один на другой и посмотрите сквозь них. В общем случае вы увидите, что через них проходит некоторое количество света. Держа один из фрагментов неподвижно, поворачивайте другой фрагмент. Количество света, проходящего сквозь поляроиды, будет изменяться. При одной ориентации, когда проходит максимальное количество света, второй поляроид практически ничего не вычитает из светового потока, проходящего сквозь первый поляроид. Но при ориентации, выбранной под прямым углом к первой, свет практически вообще не проходит сквозь поляроиды.

Это явление легче всего понять в терминах волновой картины света. Здесь нам понадобится предложенный Максвеллом способ рассмотрения света как комбинации осциллирующих электрического и магнитного полей. На рис. 6.26 изображен плоскополяризованныйсвет. Электрическое поле осциллирует в плоскости, называемой плоскостью поляризации, а магнитное поле осциллирует в такт с электрическим, но в ортогональной плоскости.

Рис. 6.26.Плоскополяризованная электромагнитная волна

Каждый фрагмент поляроида пропускает свет, плоскость поляризации которого направлена вдоль структуры поляроида. Когда структура второго поляроида ориентирована так же, как структура первого, то весь свет, прошедший сквозь первый поляроид, проходит и сквозь второй. Но когда структуры двух поляроидов образуют прямой угол, то второй поляроид отсекает весь свет, прошедший сквозь первый поляроид. Если же два поляроида ориентированы друг относительно друга под некоторым углом φ , то второй поляроид пропускает долю, равную

cos ² φ ,

света, прошедшего сквозь первый поляроид.

В корпускулярной картине мы должны считать, что каждый индивидуальный фотонобладает поляризацией. Первый поляроид действует как измеритель поляризации, давая ответ ДА, если фотон действительно поляризован в соответствующем направлении. В этом случае фотону разрешается пройти сквозь поляроид. Если же фотон поляризован в ортогональном направлении, то измерение первым поляроидом даст ответ НЕТ, и фотон будет поглощен. (В данном случае «ортогональность» в гильбертовом пространстве соответствует прямому углумежду направлениями в обычном пространстве!) Предположим, что фотон проходит сквозь первый поляроид, после чего второй поляроид задает ему соответствующий вопрос, но уже относительно некоторого другого направления. Угол между этими двумя направлениями равен φ , как в упомянутом выше случае. Тогда мы имеем cos ² φ в качестве вероятноститого, что фотон пройдет сквозь второй поляроид при условии, что он уже прошел сквозь первый поляроид.

Где же здесь появляется сфера Римана? Чтобы получить полный набор состояний поляризации, описываемый комплексными числами, нам необходимо рассмотреть круговуюи эллиптическуюполяризацию. Для классической волны эти разновидности поляризации представлены на рис. 6.27.

Рис. 6.27.Электромагнитная волна с круговой поляризацией. (Эллиптическая поляризация занимает промежуточное положение между плоской (рис. 6.26) и круговой (рис. 6.27) поляризацией.)

При круговой поляризации электрическое и магнитное поля не осциллируют, а согласованно вращаются , по-прежнему образуя между собой прямой угол. При эллиптической поляризации существует некоторая комбинация вращательного и колебательного движений, а вектор электрического поля «вычерчивает» в пространстве эллипс . В квантовом описании каждому индивидуальному фотонуразрешается находиться в любом из спиновых состояний, т. е. быть поляризованным любым из названных выше способов.

Чтобы понять, как набор возможных поляризаций снова образует сферу Римана, представим себе фотон, который движется вертикально вверх. Северный полюс теперь представляет состояние | R ) – правовинтовой спин. Это означает, что электрический вектор движущегося фотона вращается против часовой стрелки относительно вертикали (если смотреть сверху). Южный полюс представляет состояние | L ) – левовинтовойспин. (Фотоны можно представлять вращающимися наподобие ружейной пули, либо слева направо, либо справа налево.) Общее спиновое состояние | R ) + q | L ) представляет собой комплексную линейную комбинацию двух состояний | R ) и | L ) и соответствует точке на сфере Римана, помеченной значением q . Чтобы установить связь между значением q и эллипсом поляризации, мы прежде всего извлечем из q квадратныйкорень и получим другое комплексное число р :

р = √ q

Затем нанесем р вместо q на сферу Римана и рассмотрим плоскость, проходящую через центр сферы перпендикулярно прямой, соединяющей центр сферы с точкой р . Эта плоскость пересекает сферу по окружности, проектируя которую на горизонталь, мы получаем эллипс поляризации (рис. 6.28) [160]160
  Комплексное число – р подходит так же хорошо, как и р , в качестве квадратного корня из q , и дает тот же самый эллипс поляризации. Квадратный корень обусловлен тем, что фотон – безмассовая частица со спином, равным единице, т. е. вдвоебо́льшим фундаментальной единицы ħ / 2 . Для гравитона (еще не открытого кванта гравитации) спин равен двум , т. е. вчетверобо́льше фундаментальной единицы, поэтому нам в приведенном выше описании понадобился бы корень четвертойстепени из q .


[Закрыть].

Рис. 6.28. Сфера Римана (но теперь со значениями √ q ) также описывает состояния поляризации фотона. (Вектор, направленный в точку √ q , называется вектором Стока .)

Сфера Римана со значениями q по-прежнему описывает совокупность поляризованных состояний фотона, но квадратный корень р из q дает нам ее пространственную реализацию.

Чтобы вычислить вероятности, мы можем воспользоваться той же самой формулой 1/2 ( 1 + cos v ), которой мы пользовались для электрона, применив ее к q , а не к р . Рассмотрим плоскую поляризацию. Мы измеряем поляризацию фотона сначала в одном направлении, затем в другом направлении, образующем с первым угол φ . Эти два направления соответствуют двум значениям р на экваторе сферы, стягивающим угол φ в центре сферы. Так как величины р – квадратные корни из величин q , угол v , под которым из центра видны q -точки, вдвоебольше угла, под которым из центра видны p -точки: v = 2φ . Таким образом, вероятность получения ответа ДАпосле второго измерения при условии, что после первого измерения был получен ответ ДА(т. е. вероятность прохождения фотона через второй поляроид при условии, что он прошел сквозь первый поляроид) равна 1/2 ( 1 + cos φ ), что, как показывают несложные тригонометрические преобразования, в точности совпадает с cos ² φ и утверждалось выше.

Объекты с большим спином

Для квантовой системы с числом базисных состояний больше двух пространство физически различимых состояний имеет более сложную структуру, чем сфера Римана. Но в случае спина самой сфере Римана всегда отведена некоторая прямая геометрическая роль. Рассмотрим массивнуючастицу или атом со спином n х ħ / 2 в состоянии покоя. (Для безмассовых частиц со спином, т. е. частиц, которые движутся со скоростью света (как, например, фотон), спин всегда, как было описано выше, представляет собой систему с двумя состояниями. Но у массивной частицы число состояний увеличивается с увеличением спина.) Если мы захотим измерить спин такой частицы в некотором направлении, то обнаружим, что существуют n + 1 различных возможных исходов измерения, в зависимости от того, какая часть от полного спина ориентирована в выбранном направлении. В терминах фундаментальной единицы ħ / 2 возможные результаты для значений спина в выбранном направлении равны n , n – 2 ,  n – 4, …, 2 – n или – n. Следовательно, при n = 2 спин может быть равен (в единицах ħ / 2 ) 2 , 0 или – 2 , а при n = 3 это 3 , 1 , – 1 или – 3 и т. д. Отрицательныезначения соответствуют спину, направленному главным образом в сторону, противоположнуютой, в которой производилось измерение. В случае спина, равного 1 / 2 , т. е. при n = 1 , значение 1 соответствует ответу ДА, а значение – 1 – ответу НЕТ(в приведенных выше описаниях).

Оказывается, хотя я не буду пытаться излагать здесь причины (Майорана [1932], Пенроуз [1987а]), что любое спиновое состояние(с точностью до коэффициента пропорциональности) для спина ħn / 2 однозначно характеризуется (неупорядоченным) набором из n точек насфере Римана, т. е. n (обычно различными) направлениями из ее центра (рис. 6.29). (Эти направления определяются измерениями, которые могут быть произведены над системой: если мы измерим спин в одном из этих направлений, то результат заведомо не будет целиком ориентирован в противоположном направлении, т. е. даст одно из значений n , n – 2 ,  n – 4 , …, 2 – n , но не – n .)

Рис. 6.29.Общее состояние с высшим спином для массивной частицы может быть описано как совокупность состояний со спином 1 / 2 , ориентированных в произвольных направлениях

В частном случае при n = 1 , как в приведенном выше примере с электроном, мы получим одну точку на сфере Римана. Это – просто точка, помеченная значением q в приведенных выше описаниях. Но для состояний с высшим спином картина, как я только что описал, значительно усложняется, хотя надо заметить, что это описание почему-то не очень знакомо физикам.

В этом описании есть нечто весьма удивительное. Часто высказывают мнение, что в некотором подходящем пределе квантовые описания атомов (или элементарных частиц, или молекул) с необходимостью переходят в классические ньютоновские описания, когда система увеличивается в размерах и усложняется. Но в такой формулировке такое утверждение просто неверно. Ибо, как мы только что видели, спиновые состояния объекта с большим угловым моментом соответствуют большому числу точек, разбросанных по сфере Римана [161]161
  Точнее, угловой момент описывается комплексными линейными комбинациями таких наборов из различного числа точек, так как суперпозиции могут включать несколько различных значений полного спинов – в случае какой-нибудь сложной системы. Все это приводит к картине, еще менее похожей на картину классического углового момента!


[Закрыть]. Мы можем мысленно представлять себе спин объекта как состоящим из целого множества спинов 1 / 2 , ориентированных по всем различным направлениям, задаваемыми этими точками. Лишь весьма немногие из таких комбинированных состояний, а именно когда большинство точек концентрируются вместе в небольшой области на сфере (т. е. когда большинство спинов 1 / 2 направлены примерно в одном и том же направлении), соответствуют реальным состояниям углового момента, которые мы обычно обнаруживаем у классических объектов, например, у крикетных шаров. Мы могли бы ожидать, что если выбрать спиновое состояние, в котором полный спин окажется равным (в единицах ħ / 2 ) некоторому очень большому числу, а в остальном это выбор будет «случайным», то начнет возникать нечто похожее на классический спин. Но в действительности все происходит совсем не так. В общем случае квантовые спиновые состояния с большим полным спином совсем не похожи на классические спиновые состояния!

Как же в таком случае следует устанавливать соответствие с угловым моментом из классической физики? Хотя большинство квантовых состояний с большим спином не похожина классические состояния, они представляют собой линейные комбинации (ортогональных) состояний, каждое из которых похожена классическое состояние. Каким-то образом над системой оказывается произведенным «измерение», и состояние «скачком» переходит в то или другое состояние, похожее на классическое. Ситуация здесь аналогична той, которая складывается с любым другим классически измеримым свойством системы, а не только с угловым моментом. Именно этот аспект квантовой механики должен вступать в игру всякий раз, когда система «выходит на классический уровень». Более подробно я расскажу об этом в дальнейшем, но прежде чем мы сможем обсудить такие «большие» или «сложные» квантовые системы, нам необходимо хотя бы несколько разобраться в том странном способе, которым квантовая механика пользуется при рассмотрении систем, состоящих более чем из одной частицы.

Многочастичные системы

Квантовомеханические описания многочастичных состояний, к сожалению, очень сложны. В действительности такие описания чрезвычайно сложны. О них необходимо думать в терминах суперпозиций всех различных возможных расположений всех отдельных частиц! Это приводит к огромному числу возможных состояний – гораздо большему, чем в случае поля в классической теории. Мы уже видели, что квантовое состояние даже одной частицы, а именно волновая функция, обладает сложностями такого рода, которые характерны для всего классического поля. Эта картина (требующая для своего задания бесконечно большого числа параметров) гораздо сложнее, чем классическая картина одной частицы (для задания состояния которой требуется всего лишь небольшое число параметров – точнее, шесть параметров, если частица не обладает внутренними степенями свободы, например, спином; см. главу 5, «Гамильтонова механика»). Такая ситуация может показаться достаточно плохой, и можно было бы думать, что для описания квантового состояния двух частиц понадобится два поля , каждое из которых описывало бы состояние каждой частицы. Ничего подобного! Как мы увидим далее, в случае двух и более частиц описание квантового состояния становится гораздо сложнее.

Квантовое состояние одной (бесспиновой) частицы определяется комплексным числом (амплитудой) для каждого возможного положения, которое может занимать частица. Частица обладает амплитудой, чтобы находиться в точке А, и амплитудой, чтобы находиться в точке В, и амплитудой, чтобы находиться в точке С, и т. д. Подумаем теперь о двух частицах. Первая частица может находиться в точке А, а вторая, например, – в точке В. Возможность такого события должна была бы иметь некоторую амплитуду. С другой стороны, первая частица могла бы находиться в точке В, а вторая – в точке А, и такое расположение частиц также должно иметь некоторую амплитуду; возможно, что первая частица могла бы находиться в точке В, а вторая – в точке Сили, может быть, обе частицы могли бы находиться в точке А. Каждый из этих возможных вариантов должен иметь некоторую амплитуду. Следовательно, волновая функция должна быть не просто парой функций положения (т. е. парой полей), а одной функцией двух положений!

Чтобы получить некоторое представление о том, насколько сложнее задать функцию двух положений по сравнению с двумя функциями положения, представим себе ситуацию, в которой существует лишь конечный набор допустимых положений. Предположим, что разрешены ровно 10 положений, заданных (ортонормированными) состояниями

Тогда состояние | φ ) одной частицы было бы какой-то линейной комбинацией

где различные коэффициенты z ₀, z ₁, z ₂ ,….,  z ₉ дают, соответственно, амплитуды того, что частица находится попеременно в каждой из 10точек. Десять комплексных чисел задают состояние одной частицы. В случае двухчастичного состояния нам понадобилось бы по одной амплитуде для каждой пары положений. Всего существуют

10 ² = 100

различных (упорядоченных) пар положений, поэтому нам потребовались бы 100комплексных чисел! А если бы у нас были только два одночастичных состояния (т. е. «две функции положения», а не «одна функция двух положений», как в приведенном выше примере), то нам понадобилось бы всего лишь 20комплексных чисел.

Пронумеруем эти 100комплексных чисел следующим образом

а соответствующие (ортонормированные) базисные векторы [162]162
  Математически можно сказать, что пространство двухчастичных состояний есть тензорное произведение пространства состояний первой частицы и пространства состояний второй частицы. Таким образом | X )| ψ ), есть тензорное произведение состояний | X ) и | ψ )


[Закрыть]

Тогда общее двухчастичное состояние можно было бы представить в виде

Такое обозначение состояний в виде «произведения» имеет следующий смысл: если | α ) – возможное состояние первой частицы (не обязательно состояние с определенным положением) и если | β ) – возможное состояние второй частицы, то состояние, в котором первая частица находится в состоянии | α ), а вторая – в состоянии | β ), можно представить в виде

| α ) | β ).

«Произведения» можно также брать между любыми другими парами квантовых состояний, а не обязательно между парами одночастичных состояний. Таким образом, мы всегда интерпретируем состояние-произведение | α ) | β ) (не обязательно состояний отдельных частиц) как конъюнкцию

«первая система находится в состоянии | α )» и

«вторая система находится в состоянии | β )»

(Аналогичная интерпретация справедлива и относительно | α ) | β ) | γ ) и т. д.; см. далее.) Однако общее двухчастичное состояние в действительности не имеет вид «произведения». Например, оно может быть представимо в виде

| α )| β ) + | ρ )| σ ),

где | ρ ) – еще одно возможное состояние первой системы,

а | σ ) – еще одно возможное состояние второй системы. Это состояние представляет собой линейную суперпозицию , а именно: суперпозицию первой конъюнкции состояний | α ) и | β ) плюс вторая конъюнкция состояний | ρ ) и | σ ), и не может быть представлено в виде простого произведения (т. е. как конъюнкция двух состояний). Еще один пример – состояние | α )| β ) – | ρ )| σ ) описывало бы другую такую линейную суперпозицию. Заметим, что квантовая механика требует проведения четкого различия между смыслом слов «плюс» и «и». И в обращении с этими словами нам следует быть более осторожными!

В случае трех частиц ситуация во многом аналогична. Чтобы задать общее трехчастичное состояние в приведенном выше примере, где имеются только 10возможных положений, нам потребовалось бы теперь 1000комплексных чисел! Полный базис для трехчастичных состояний состоял бы из следующих элементов:

| 0 )| 0 )| 0 ), | 0 )| 0 )| 1 ), | 0 )| 0 )| 2 ), …, | 9 )| 9 )| 9 ).

Частные трехчастичные состояния имели бы вид произведений трех сомножителей

| α )| β )| γ )

(где | α ), | β ) и | γ ) – не обязательно состояния с определенным положением), но для общего трехчастичного состояния нам понадобилось бы построить суперпозицию большого числа состояний типа этих простых «произведений». Соответствующая схема получения общего состояния для четырех и более частиц должна быть очевидна.

До сих пор мы рассматривали случай различимых частиц, когда все частицы: «первая», «вторая», «третья» и т. д. принадлежат к разным типам. Одна из поразительных особенностей квантовой механики заключается в том, что в случае «тождественных» частиц правила коренным образом меняются. Действительно, правила становятся такими, что в самом прямом смысле частицы определенного типа должны быть не просто почти тождественными, а в точности тождественными. Это относится ко всем электронам и ко всем фотонам. Но оказывается, что все электроны тождественны друг другу совсем не так , как тождественны все фотоны! Различие заключается в том, что электроны принадлежат к так называемым фермионам, тогда как фотоны принадлежат к бозонам. Эти два класса частиц надлежит рассматривать весьма различным образом.

Прежде чем я окончательно запутаю читателя этими словесными несуразностями, позвольте мне попытаться объяснить, как действительно следует характеризовать фермионные и бозонные состояния. Правило состоит в следующем. Если | ψ ) – состояние, содержащее некоторое число фермионов определенного типа, то при перестановке любых двух фермионов | ψ ) должно перейти в – | ψ ):

| ψ ) → – | ψ )

Если состояние | ψ ) содержит некоторое число бозонов определенного типа, то при перестановке любых двух бозонов | ψ ) должно перейти в | ψ ):

| ψ ) → | ψ )

Отсюда следует, что никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же состоянии. Действительно, если бы какие-нибудь два фермиона находились в одном и том же состоянии, то их перестановка вообще никак не сказывалась бы на полном состоянии системы, следовательно должно было бы выполняться – | ψ )=| ψ ) т. е. | ψ )= 0 , что не допустимо для квантового состояния. Это свойство известно как принцип запрета Паули [163]163
  Блестящий австрийский физик Вольфганг Паули, сыгравший выдающуюся роль в развитии квантовой механики, выдвинул свой принцип запрета в 1925 году в качестве гипотезы. Полная квантовомеханическая теория того, что мы ныне называем «фермионами», была разработана в 1926 году выдающимся физиком Энрико Ферми и великим Полем Дираком, с которым мы уже несколько раз встречались по ходу изложения. Статистическое поведение фермионов соответствует «статистике Ферми – Дирака» (отличной от «статистики Больцмана» – классической статистики различимых частиц). «Статистика Бозе – Эйнштейна» бозонов была разработана для рассмотрения фотонов замечательным индийским физиком Шатьендранатом Бозе и Альбертом Эйнштейном в 1924 году.


[Закрыть], а его следствия для структуры вещества имеют фундаментальный характер. Действительно, все главные составляющие вещества: электроны, протоны и нейтроны принадлежат к числу фермионов. Не будь принципа запрета, вещество бы просто сколлапсировало!

Вернемся к нашему примеру с 10положениями и предположим теперь, что у нас есть состояние, состоящее из двух тождественных фермионов. Состояние | 0 )| 0 ) исключается в силу принципа Паули (при перестановке первого множителя со вторым оно переходит в себя вместо того, чтобы переходить в себя со знаком минус). Кроме того, состояние | 0 )| 1 ) также само по себе должно быть исключено, так как при перестановке множителей знак минус не появляется; но это легко можно исправить, если заменить произведение | 0 )| 1 ) комбинацией

| 0 )| 1 ) – | 0 )| 1 ).

(Для нормировки оба члена можно было бы умножить на общий множитель 1 / √2 .) Это состояние правильно изменяет знак при перестановке первой частицы со второй, но теперь состояния | 0 )| 1 ) и | 0 )| 1 ) уже не независимы. Вместо этих двух состояний нам теперь разрешается иметь только одно состояние! Всего существует

1 / 2  ( 10 х 9 ) = 45

состояний такого рода – по одному на каждую неупорядоченную пару различных состояний из | 0 ), | 1 )…., | 9 ). Таким образом, для задания двухфермионного состояния в нашей системе необходимы 45 комплексных чисел. В случае трех фермионов нам требуются 3 различные позиции, и базисные состояния выглядят следующим образом

Всего таких состояний ( 10 х 9 х 8 ) / 6= 120 , поэтому для задания трехфермионного состояния необходимы 120 комплексных чисел.

Для пары тождественных бозонов независимые базисные состояния бывают двоякого рода, а именно такие, как

| 0 )| 1 ) + | 1 )| 0 ),

и такие, как

| 0 )| 0 )

(которое теперь разрешается), что дает всего 10 х 11 / 2 = 55 базисных состояний. Таким образом, для задания двухбозонных состояний требуется 55 комплексных чисел. Для трех бозонов существуют базисные состояния трех различных типов и для задания каждого из них требуются ( 10 х 11 х 12 ) / 6= 220 комплексных чисел, и так далее.

Разумеется, для того, чтобы донести до читателя основные идеи, я рассматривал упрощенную ситуацию. Более реалистическое описание потребовало бы целый континуум состояний с определенным положением, но существенные идеи остаются такими же. Еще одно небольшое осложнение связано с наличием спина . Для каждой частицы со спином 1 / 2 (такая частица с необходимостью является фермионом) в каждом положении существовало бы 2 возможных состояния. Обозначим их «↑» (спин «вверх») и «↓» (спин «вниз»). Тогда в рассматриваемой нами упрощенной ситуации мы получаем не 10, а 20базисных состояний

а в остальном рассуждать следует так же, как было сделано только что (таким образом, для двух таких фермионов необходимо взять ( 20 х 19 ) / 2= 190 чисел, для трех – ( 20 х 19 х 18 ) / 6= 1140 и т. д.).

В главе 1 я упоминал о том, что согласно современной теории, если частицу из тела человека поменять местами с аналогичной частицей из кирпича в стене его жилища, то ничего не произойдет. Если бы эта частица была бозоном, то, как мы знаем, состояние | ψ ) действительно осталось бы совершенно не изменившимся. Если бы эта частица была фермионом, то состояние | ψ ) в результате обмена частиц перешло бы в – | ψ ) физически тождественное состоянию | ψ ). (В случае необходимости изменение знака можно устранить с помощью простой меры предосторожности, а именно: при замене одной частицы на другую, повернуть одну из двух частиц на 360° вокруг ее оси. Напомним, что фермионы изменяют знак при таком повороте, а состояние бозонов остается неизменным!) Современная теория (существующая примерно с 1926 года) действительно сообщает нам нечто глубокое относительно индивидуального тождества мельчайших «кирпичиков» физической материи. Строго говоря, мы не можем говорить об «этом конкретном электроне» или об «индивидуальном фотоне». Утверждать, что «первый электрон находится здесь, а второй – там», означает утверждать, что состояние имеет вид | 0 )| 1 ), что, как мы уже знаем, недопустимо, если речь идет о фермионном состоянии! Однако вполне допустимо утверждение о том, что «существует пара электронов, один из которых находится здесь, а другой – там». Вполне «законно» говорить о множестве всех электронов или всех протонов, или всех фотонов (хотя даже такое утверждение игнорирует взаимодействиямежду различными типами частиц). Индивидуальные электроны являются неким приближением такой полной картине, как, впрочем, и индивидуальные протоны или индивидуальные фотоны. Для большинства целей этого приближения вполне достаточно, но существуют различные ситуации, при которых оно не срабатывает – убедительными контрпримерами могут служить сверхпроводимость, сверхтекучесть и излучение лазера.