Текст книги "Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики"

Автор книги: Роджер Пенроуз

сообщить о нарушении

Текущая страница: 18 (всего у книги 47 страниц)

Гамильтонова механика

Своими успехами ньютоновская механика обязана не только своей способности исключительно точно описывать физический мир, но и обилию порожденных ею математических теорий. Замечательно, что все ПРЕВОСХОДНЫЕ теории природы оказались весьма щедрыми источниками математических идей. В этом кроется глубокая и прекрасная тайна: все наиболее точные теории в то же время необычайно плодотворны и с точки зрения математики. Не подлежит сомнению, что это свидетельствует о каких-то глубоких связях между реальным окружающим нас миром и платоновским миром математики. (Далее, (в главе 10, «Взгляд на физическую реальность») я постараюсь еще раз вернуться к этому вопросу.) Возможно, ньютоновская механика в этом отношении не имеет себе равных, так как ее рождение привело к возникновению дифференциального и интегрального исчисления. Кроме того, специфическая ньютонианская схема дала рождение массе замечательных математических идей, составляющих классическую механику. Имена многих великих математиков XVIII и XIX веков связаны с развитием этой науки: Эйлер, Лагранж, Лаплас, Лиувилль, Пуассон, Якоби, Остроградский, Гамильтон. То, что принято называть «гамильтоновой теорией» [112]112
  Уравнения, написанные Гамильтоном, – хотя, возможно, не вполне отражавшие его собственную точку зрения – были известны великому итало-французскому математику Жозефу Л.Лагранжу A736-1813) еще за 24 года до Гамильтона. Не менее важным достижением стала примерно в то же время формулировка механики в форме уравнений Эйлера – Лагранжа, согласно которым законы Ньютона можно рассматривать как производные одного основополагающего принципа – принципа стационарного действия (П. Л. М. де Мопертюи.) Обладая огромным теоретическим значением, уравнения Эйлера – Лагранжа имеют к тому же и немалую практическую ценность как мощный инструмент для вычислений.


[Закрыть]включает в себя многое из проделанной ими работы. Сейчас мы вкратце коснемся Общих положений этой теории. Разносторонний и самобытный ирландский математик Уильям Роуан Гамильтон (1805–1865), автор гамильтоновых циклов (обсуждаемых в гл.4, подгл. «Теория сложности»), придал этой теории такую форму, которая особо подчеркивала аналогию с распространением волн. Это указание на существование взаимосвязи между волной и частицей (равно как и форма самих уравнений Гамильтона) сыграло важную роль в последующем развитии квантовой механики. К этой стороне дела я еще вернусь в следующей главе.

В рамках гамильтоновой теории впервые появились «переменные» для описания физической системы. До Гамильтона положениячастиц считались первичными, а скорости считались просто быстротой изменения положения частиц во времени. Напомним, что для задания начального состояния ньютоновской системы нам необходимы положения и скорости всех частиц – только тогда мы можем определить последующее поведение системы. В рамках гамильтоновой формулировки необходимо выбиратьимпульсы, а не скорости частиц. (В гл.5, подгл. «Динамика Галилея и Ньютона» мы отметили, что импульс частицы есть не что иное, как произведение ее скорости на массу.) Само по себе это нововведение может показаться несущественным, но важно здесь другое: положение и импульс каждой частицы в гамильтоновой формулировке надлежит рассматривать как независимые, более или менее равноправные величины. Тем самым, используя гамильтонову формулировку, мы «делаем вид», что импульсы различных частиц не имеют никакого отношения к быстроте изменения переменных, описывающих их относительное положение, а представляют собой отдельный набор переменных – и, как следствие, мы можем считать импульсы совершенно независимыми от изменения положений движущихся частиц. В гамильтоновой формулировке мы располагаем двумя системами уравнений: одна из них говорит нам о том, как изменяются во времени импульсыразличных частиц, другая – о том, как изменяются во времени положениячастиц. И в том, и в другом случае быстрота изменений определяется различными положениями и импульсами в рассматриваемый момент времени.

Грубо говоря, первая система гамильтоновых уравнений выражает второй, самый важный закон движения Ньютона (быстрота изменения импульса = силе), тогда как вторая система уравнений Гамильтона говорит нам о том, чему равны импульсы, выраженные в терминах скоростей (быстрота изменения положения = импульс/массу). Напомним, что в формулировках законов движения Галилея – Ньютона использовались ускорения (или быстрота изменения быстроты изменения положения, т. е. уравнения «второго порядка»), тогда как в гамильтоновой формулировке нам достаточно говорить только о быстроте изменения величин (уравнения «первого порядка»). Все гамильтоновы уравнения выводятся всего лишь из одной важной величины: функции Гамильтона Н , представляющую собой полную энергиюсистемы, выраженную в переменных, описывающих положения и импульсы.

Гамильтонова формулировка дает весьма изящное и симметричное описание механики. Выпишем здесь гамильтоновы уравнения просто для того, чтобы понять, как они выглядят, хотя многие читатели, возможно, и не знакомы с принятыми в математическом анализе обозначениями, необходимыми для полного понимания – впрочем, оно сейчас и не требуется. Все, что нам сейчас действительно нужно знать о дифференциальном исчислении, ограничивается пониманием смысла «точки» в левых частях уравнений Гамильтона – она означает быстроту изменения по времени(в первом случае – импульса, во втором случае – положения):

Индекс i здесь использован просто для того, чтобы отличать все различные координаты импульсов ( р ₁ , p ₂ ,  p ₃ ,  p ₄ …) и положений ( х ₁ , х ₂, x ₃ , x ₄ …). Для n частиц, не ограниченных наложенными на них связями, мы получаем  3n координат импульсов и  3n координат положений (по одной координате для каждого из трех независимых направлений в пространстве). Символ ∂ относится к операции «частного дифференцирования» (взятию производной по одной переменной при сохранении постоянных значений всех остальных переменных), а Н , как сказано выше, означает функцию Гамильтона. (Если Вы ничего не знаете о «дифференцировании» – не стоит беспокоиться. Просто рассматривайте правые части уравнений Гамильтона как некие вполне определенные математические выражения, записанные через x _i и p _i .)

Координаты x ₁, x ₂… и, р ₁ , p ₂ ,…. могут на самом деле использоваться для обозначения более общих вещей, а не только обычных декартовых координат для частиц (т. е. когда x _i  – обычные расстояния, измеряемые по трем различным направлениям, расположенным под прямыми углами друг к другу). Например, некоторые из x _i в гамильтоновом случае можно считать углами – тогда соответствующие р _i превращаются в угловыемоменты (см. гл.6, подгл. «Уравнение Шредингера; уравнение Дирака») вместо импульсов – или вообще какими-нибудь совершенно абстрактными величинами. Замечательно, что при этом гамильтоновы уравнения по-прежнему сохраняют в точности ту же форму. Действительно, при подходящем выборе функции Гамильтона Н гамильтоновы уравнения остаются в силе для любойсистемы классических уравнений, а не только для уравнений Ньютона. В частности, они выполняются для теории Максвелла(—Лоренца), к рассмотрению которой мы вскоре приступим. Гамильтоновы уравнения можно записать и для специальной теории относительности. Даже общую теорию относительности (при соблюдении должной осторожности) можно представить в гамильтоновой форме. Кроме того, как мы убедимся в дальнейшем при знакомстве с уравнением Шредингера (см. гл.6, подгл. «Уравнение Шредингера; уравнение Дирака»), гамильтонова формулировка служит отправным пунктом для вывода уравнений квантовой механики. Такое единство формы в структуре динамических уравнений, сохранившееся несмотря на все революционные новшества, введенные в физические теории за минувшие столетия, поистине удивительна!

Фазовое пространство

Форма гамильтоновых уравнений позволяет нам «наглядно представить» эволюцию классической системы, используя весьма мощный и универсальный подход. Попытаемся вообразить «пространство» большого числа измерений, по одному измерению

на каждую из координат x ₁ , x ₂ … p _i , p ₂ …

(Математические пространства часто имеют размерность выше трех.) Такое пространство называется фазовым пространством(рис. 5.10).

Рис. 5.10.Фазовое пространство. Каждая точка  Q фазового пространства описывает полное состояние некоторой физической системы, включающее в себя мгновенные движения всех ее частей

Для n свободных частиц размерность фазового пространства равна 6n (по три координаты положения и по три координаты импульса для каждой частицы). Читателя может обеспокоить то, что даже для одной-единственнойчастицы размерность фазового пространства оказывается вдвое большей, чем мы обычно привыкли представлять! Но секрет успеха заключается в том, чтобы не пасовать перед трудностями. Конечно, шестимерное пространство действительно имеет бо́льшую размерность, чем та, которую можно с ходу (!) представить – но даже если бы могли себе его представить, то пользы от этого оказалось бы немного. Например, всего лишь для комнаты, полной молекул газа, размерность фазового пространства могла бы равняться, например, такой величине:

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Попытка наглядно представить себе пространство столь высокой размерности заранее обречена на провал! Так что лучше даже и не пытаться делать это даже в случае фазового пространства для одной-единственной частицы. Просто представьте себе несколько расплывчатую трехмерную (или даже всего лишь двумерную) область. Взгляните еще раз на рис. 5.10. Этого вполне достаточно.

А как теперь наглядно представить себе уравнения Гамильтона для фазового пространства? Прежде всего следует помнить о том, что на самом деле изображает одна точка Q фазового пространства. Она соответствует некоторому конкретному набору значений всех координат положений х ₁ , х ₂ …. и всех координат импульсов р ₁ ,  p ₂ , …. То есть, точка Q представляет всю нашу физическую системув определенном состоянии движения, заданного для каждой из образующих ее частиц в отдельности. Уравнения Гамильтона говорят нам о степени быстроты изменения всех этих координат, если их текущие значения известны, т. е. управляют движениями всех отдельных частиц. В переводе на язык фазового пространства уравнения Гамильтона описывают дальнейшее поведение точки Q в этом пространстве, если нам задано ее текущее положение. Таким образом, в каждой точке фазового пространства мы имеем маленькую стрелку (точнее: вектор), которая говорит нам о том, как движется точка Q – а это позволяет описывать эволюцию во времени всей нашей системы. Совокупность всех стрелок образует так называемое векторное поле(рис. 5.11). Следовательно, уравнения Гамильтона определяют векторное поле в фазовом пространстве.

Рис. 5.11.Векторное поле в фазовом пространстве, представляющее эволюцию системы во времени в соответствии с уравнениями Гамильтона

Выясним, как можно интерпретировать в терминах фазового пространства физический детерминизм. В качестве начальных условий при t = 0 мы имели бы конкретный набор значений, заданных для всех координат положений и импульсов, т. е. некоторую определенную точку Q фазового пространства. Чтобы вычислить эволюцию системы во времени, надо просто следовать стрелкам. Таким образом, все поведение нашей системы (независимо от степени ее сложности) описывается в фазовом пространстве всего лишь одной точкой, движущейся по стрелкам, которые она встречает на своем пути. Мы можем считать, что стрелки указывают «скорость» нашей точки Q в фазовом пространстве. Если стрелка «длинная», то точка Q движется быстро, а если «короткая» – то медленно. Чтобы узнать, что наша система делает в момент времени t , мы просто смотрим, куда к этому времени переместилась точка Q , следуя указаниям попутных стрелок. Ясно, что это – детерминистская процедура. Характер движения точки Q полностью определяется гамильтоновым векторным полем.

А как обстоит дело с вычислимостью? Если мы стартовали из вычислимой точки фазового пространства (т. е. из точки, у которой все координаты положения и импульсов являются вычислимыми числами, см. главу 3, «Страна Тор'Блед-Нам»), и с момента начала движения прошло вычислимое время t – то закончим ли мы с необходимостью в точке, которая может быть вычислимым образом получена из t и исходных значений координат? Ответ, очевидно, зависит от выбора функции Гамильтона Н . Действительно, в функцию Н могут входить физические константы– такие, как ньютоновская постоянная тяготения или скорость света, величина которых зависит от выбора единиц; или другие, описывающиеся точными числовыми выражениями – и поэтому, чтобы положительно ответить на поставленный вопрос, необходимо сначала убедиться в том, что все эти постоянные вычислимы. В такомслучае я осмелюсь предположить, что для обычных гамильтонианов (т. е. функций H ), встречающихся в физике, ответ может быть утвердительным. Но это – всего лишь догадка, и вопрос – интересный вопрос! – остается пока открытым. Надеюсь, что со временем он будет изучен более основательно.

С другой стороны, мне кажется, – по тем же самым причинам, которых я кратко коснулся в связи с бильярдным миром – что этот вопрос не настолько существенен. Ведь чтобы утверждение о невычислимости точки фазового пространства имело смысл, необходимо было бы задавать ее координаты с бесконечнойточностью, т. е. со всеми десятичными знаками после запятой! (Число, записываемое конечнымколичеством десятичных знаков, всегда вычислимо.) Конечный отрезок десятичного разложения любого числа ничего не говорит нам о возможности вычислить оставшуюся часть. Но точность всех физических измерений ограничена возможностями приборов, поэтому они могут дать нам информацию лишь о конечном числе знаков десятичного разложения. Обесценивает ли это само понятие «вычислимого числа» применительно к физическим измерениям?

Действительно, если мы рассматриваем устройство, которое могло бы использовать каким-нибудь полезнымобразом некие (гипотетические) невычислимые составляющие физических законов, то разумно предположить, что оно не должно зависеть от произведения измерений с неограниченной точностью. Но возможно, я сейчас стараюсь рассуждать слишком строго. Предположим, что у нас имеется физическое устройство, которое в силу известных теоретических причин реализует некоторую интересную математическую процедуру неалгоритмического характера. Тогда поведение этого устройства – при условии, что мы имеем возможность точно удостовериться в этом – позволило бы получать правильные ответы на последовательность математически содержательных вопросов, для решения которых не существует алгоритма (подобно вопросам, рассмотренным в главе 4). Любой наперед заданныйалгоритм на определенной стадии такого процесса дал бы сбой – тогда как наше устройство на той же стадиивыдало бы некоторый новый результат. Действительно, это устройство могло бы осуществлять изучение некоторого физического параметра со все большей и большей точностью, необходимой для дальнейшего продвижения по списку вопросов. Однако мы действительнополучим нечто новое от нашего устройства на какой-то конечнойстадии точности, по крайней мере пока нам не удастся найти усовершенствованный алгоритм для ответа на указанную последовательность вопросов: затем нам следовало бы повысить точность, чтобы продвинутся еще дальше – до тех пор, пока наш усовершенствованныйалгоритм не окажется бессилен.

Тем не менее, создается впечатление, что даже все возрастающая точность в определении физического параметра неудобна в качестве способа кодирования информации. Гораздо предпочтительнее было бы получать нашу информацию в «дискретной» (или «цифровой») форме. В этом случае ответы на вопросы, расположенные все дальше и дальше от начала списка, могли бы быть получены путем рассмотрения все большего количества дискретных единиц или, быть может, путем повторного рассмотрения некоторого фиксированногонабора дискретных единиц, где требуемая неограниченная информация распределялась бы по все более длинным временным интервалам. (Мы могли бы представить себе, что эти дискретные единицы построены из частей, каждая из которых может находиться в одном из двух состояний – «вкл.» или «выкл.» – подобных единицам и нулям в описании машины Тьюринга, приведенном в главе 2.) Для этого нам, как представляется, требуются такие устройства, которые могли бы принимать (отличимые) дискретные состояния и, совершив определенные эволюции в соответствии с динамическими законами, снова перейти в один из наборов дискретных состояний. Если бы это было так, то мы могли бы избежать необходимости изучать каждое устройство с произвольно высокой степенью точности.

Возникает вопрос: действительно ли гамильтоновы системы ведут себя подобным образом? Необходимым условием для этого, видимо, должна быть некоторая устойчивость в поведении системы, позволяющая четко устанавливать, в каком из таких дискретных состояний находится наше устройство. При этом желательно будет зафиксировать это состояние (по крайней мере на некоторый достаточно продолжительный период времени) и добиться того, чтобы оно (устройство) не дрейфовало из одного состояния в другое. Кроме того, если система оказывается в этих состояниях с небольшой погрешностью, то нам бы не хотелось, чтобы погрешности накапливались; наоборот: мы будем требовать, чтобы такие погрешности со временем сглаживались. К тому же, наше искомое устройство должно было бы состоять из частиц (или каких-то других подэлементов), которые с необходимостью описывались бы в терминах непрерывных параметров, причем каждое отличимое «дискретное» состояние покрывало бы некоторый диапазонзначений этих непрерывных параметров. (Например, можно представлять разные дискретные состояния с помощью частицы, лежащей либо в одном, либо в другом ящике. Чтобы указать, что частица действительно находится в одном из них, мы будем говорить, что координаты положения частицы принадлежат определенному диапазону значений.) С точки зрения фазового пространства это означает, что каждая из «дискретных» альтернатив должна соответствовать некоторой областив фазовом пространстве так, чтобы различные точки фазового пространства, принадлежащие одной и той же области, отвечали бы одному и тому жесостоянию нашего устройства (рис. 5.12).

Рис. 5.12.Область в фазовом пространстве соответствует диапазону возможных значений пространственных координат и импульсов всех частиц. Такая область может представлять отдельное отличимое состояние (т. е. «альтернативу») какого-нибудь устройства

Предположим теперь, что наше устройство стартует из точки фазового пространства, принадлежащей некоторой области R ₀ . которая соответствует одной из таких возможностей. Мы будем считать, что область  R ₀ перемещается вдоль гамильтонова векторного поля до тех пор, пока в момент времени t она не переходит в область R _t  Представляя себе такое развитие событий, мы тем самым описываем эволюцию нашей системы во времени при всехвозможных начальных состояниях, соответствующих одной и той же альтернативе (рис. 5.13).

Рис. 5.13.С течением времени область  R ₀ фазового пространства, увлекаемая вдоль векторного поля, переходит в новую область R _t . Это может служить описанием эволюции во времени некоторого определенного состояния нашего устройства

Вопрос об устойчивости(в том смысле, в каком мы трактуем устойчивость здесь) сводится к вопросу о том, остается ли с ростом t область R _t локализованной или начинает расплываться по всему фазовому пространству. Если область R _t со временем сохраняет конечный объем, то мы будем говорить, что наша система демонстрирует устойчивое поведение. Точки фазового пространства, близкие друг к другу (настолько, что они соответствуют конкретным физическим состояниям системы, которые существенно похожи друг на друга), остаются близкими, и погрешности в указании их положения со временем не увеличиваются. Любое чрезмерно сильное расплывание начальной области  R ₀ в результате приводит к появлению непредсказуемой составляющей в поведении системы.

А что вообще можно сказать о гамильтоновых системах? Стремятся ли области фазового пространства расплываться со временем или все-таки нет? Казалось бы, при такой общей постановке проблемы сказать о ней можно будет немного. Однако для гамильтоновых систем существует весьма красивая теорема, принадлежащая выдающемуся французскому математику Жозефу Лиувиллю (1809–1882), которая утверждает, что объемлюбой области фазового пространства должен оставаться постоянным при любых изменениях состояния системы, происходящих в соответствии с уравнениями Гамильтона. (Разумеется, размерность «объема» следует понимать в смысле размерности фазового пространства.) Следовательно, объем каждой области R _t должен быть таким же, как объем исходной области R ₀ . На первый взгляд теорема Лиувилля позволяет утвердительно ответить на вопрос об устойчивости гамильтоновых систем. В силу того, что размерисходной области (в смысле ее объема в фазовом пространстве) не может возрастать, создается впечатление, будто наша исходная область не может со временем расплываться по всему фазовому пространству.

Однако такое впечатление обманчиво, и, немного поразмыслив над этим, мы поймем, что в действительности может произойти прямо противоположная ситуация! На рис. 5.14 я попытался наглядно изобразить такое поведение системы, которое можно было бы ожидать в общем случае.

Рис. 5.14.Несмотря на то, что – согласно теореме Лиувилля – объем фазового пространства сохраняется постоянным, он, как правило, будет расплываться в результате чрезвычайно сложной эволюции системы во времени

Представим себе, что начальная область  R ₀ невелика и имеет «приемлемую» форму – достаточно гладкую, лишенную причудливых выступов – которая указывает на то, что при описании состояний, принадлежащих этой области, чрезмерно высокая точность совсем необязательна. Но с течением времени область R _t начинает деформироваться и растягиваться – сначала принимая форму, напоминающую амебу, а затем образуя причудливые отростки, которые простираются далеко в стороны, замысловато извиваясь то в одном, то в другом направлении.

Объем при этом действительно сохраняется, но тот же самый объем может теперь истончиться и распределиться по обширной области фазового пространства. Практически аналогичная картина будет наблюдаться в случае с капелькой чернил, попавшей в большую емкость с водой. В то время, как реальный объем чернильной жидкости остается неизменным, она постепенно истончается, распределяясь по всему объему емкости. Вероятно, подобным образом ведет себя и исходная область  R ₀ в фазовом пространстве. Она не обязательно должна расплываться по всемуфазовому пространству (эта предельная ситуация известна под названием «эргодической») – но вполне может в конце концов занять область, значительно превышающую ее первоначальный объем. (Дальнейшее обсуждение см. в книге: Дэвис [1974].)

Трудность заключается в том, что сохранение объема отнюдь не влечет за собой сохранение формы: малые области имеют тенденцию деформироваться, и их деформации простираются на большие расстояния. В многомерных пространствах проблема расплывания начальной области гораздо более серьезна, чем в пространствах малой размерности, так как «направлений», по которым расплываются отдельные части нашей области, гораздо больше. На самом деле, вместо того, чтобы «помочь» нам держать область R _t под контролем, теорема Лиувилля создает фундаментальную проблему! Не будь теоремы Лиувилля, можно было бы представить, что бесспорная тенденция к расплыванию области в фазовом пространстве могла бы (при соответствующих обстоятельствах) компенсироваться уменьшением полного объема. Но теорема Лиувилля говорит нам, что такое уменьшение невозможно, и нам остается только мириться с таким поразительным свойством – универсальным для всех классических динамических (гамильтоновых) систем нормального типа! [113]113
  В действительности, ситуация еще более «осложняется» в результате того, что лиувиллевский объем в фазовом пространстве – всего лишь один из целого семейства «объемов» различного числа измерений (называемых инвариантами Пуанкаре), которые остаются постоянными в ходе эволюции системы, описываемой уравнениями Гамильтона. Однако я был немного несправедлив в оценке всеобщности моих утверждений. Можно представить себе систему, в которой физические степени свободы (дающие вклад в какой-то из объемов фазового пространства) могут быть «заброшены» за пределы области наших интересы (например, они могут относиться к излучению, уходящему на бесконечность), так что объем той части фазового пространства, которую мы непосредственно изучаем, мог бы, на самом деле, уменьшиться.


[Закрыть]

Помня о неизбежном расплывании исходной области в фазовом пространстве, уместно спросить: а как в таком случае вообще возможно делать предсказания в классической механике? Это действительно непростой вопрос. Расплывание начальной области говорит нам о том, что независимо от степени точности, с которой мы знаем начальное состояние системы (конечно, в разумных пределах), тенденция к возрастанию погрешностей со временем сделает нашу исходную информацию практически бесполезной. В этом смысле классическая механика в принципе непредсказуема. (Вспомним введенное выше понятие «хаоса».)

Чем же в таком случае объяснить явный успех ньютоновской механики? Говоря о небесной механике (т. е. движении небесных тел под действием сил гравитации), в качестве наиболее вероятной причины можно назвать, наверное, то, что, во-первых, небесная механика занимается изучением сравнительно небольшого числа связанных тел (Солнца, планет и их естественных спутников – лун), между которыми имеется большой разброс по массе, поэтому в первом приближении возмущающим действием менее массивных тел на более массивные можно пренебречь и рассматривать только взаимодействие несколькихмассивных тел друг на друга; во-вторых, законы движения, применимые к отдельным частицам, образующим эти тела, как нетрудно видеть, работают и на уровне самих тел, вследствие чего с очень хорошим приближением Солнце, планеты и луны можно, в свою очередь, рассматривать как частицы и не беспокоиться по поводу малых движений отдельных составляющих небесных тел! [114]114
  Этот второй факт следует считать исключительной удачей для науки, ибо без него динамическое поведение больших тел могло бы остаться непостижимым и никак не указывало бы на конкретный вид тех законов, которые управляют поведением отдельных частиц. Как мне кажется, Ньютон столь упорно настаивал на своем третьем законе в том числе и потому, что без третьего закона динамическое поведение было бы просто невозможно перенести с микроскопического уровня на макроскопический. Наряду с этим, не менее важное значение для развития естествознания имело еще одно «чудесное» совпадение, касающееся закона обратных квадратов: оказалось, что этот закон – единственный из всех степенных законов (описывающих убывающие с расстоянием силы) для которого орбиты движения вокруг центрального тела в общем случае имеют простую геометрическую форму. Что делал бы Кеплер, если бы сила всемирного тяготения была бы обратно пропорциональна не квадрату, а кубу расстояния?


[Закрыть]И снова нам удается свести все к рассмотрению системы из «небольшого» количества тел, где расплывание начальной области в фазовом пространстве становится несущественным.

Помимо небесной механики и поведения запущенных тел (камней, пуль, ядер, и т. д.), что можно рассматривать как ее частный случай, а также изучения простых систем, содержащих небольшое число частиц, – основные методы, использовавшиеся ньютоновской механикой, очевидно, не могут быть вообще отнесены к разряду «детерминистско-предсказуемых» в том смысле, о котором мы говорили выше. Общую ньютоновскую схему используют скорее для построения моделей, изучение которых позволяет делать выводы о поведении системы в целом. Некоторые точные следствия из законов движения, такие, как законы сохранения энергии, импульса и углового момента, действительно выполняются на любых масштабах. Кроме того, существуют статистические свойства, которые можно комбинировать с динамическими законами, управляющими отдельными частицами, и использовать их для общего прогнозирования поведения системы. (См. обсуждение термодинамики в главе 7; эффект расплывания в фазовом пространстве, рассмотрением которого мы занимались выше, находится в достаточно тесной взаимосвязи со вторым началом термодинамики – и при соблюдении надлежащей осторожности эти идеи действительно можно использовать для прогнозирования.) Искусно проделанное самим Ньютоном вычисление скорости звука в воздухе (слегка подправленное столетие спустя Лапласом) – хороший тому пример. Но весьма редко случается, чтобы детерминизм, присущий ньютоновской (или, в более широком смысле, гамильтоновой) динамике, реально использовался на практике.

Эффект расплывания начальной области в фазовом пространстве приводит к еще одному замечательному следствию. Только подумайте: ведь он свидетельствует о том, что классическая механика, на самом деле, не в состоянии адекватно описать наш с вами мир! Я несколько преувеличиваю – но не так уж сильно. Классическая механика может достаточно точно описывать поведение жидких тел – главным образом газов, хотя (с приемлемой степенью точности) и собственно жидкостей – в том случае, когда интерес представляют общие «усредненные» свойства систем частиц; но она испытывает затруднения при попытке объяснить структуру твердых тел, которая отличается более высокой организацией. Проблемой здесь становится невозможность описать феномен сохранения твердым телом своей формы несмотря на то, что оно состоит из мириадов точечноподобных частиц, структура относительного расположения которых постоянно нарушается из-за расплывания начальной области в фазовом пространстве. Как мы теперь знаем, для того, чтобы разобраться в строении твердых тел, необходима квантовая теория, поскольку квантовые эффекты могут каким-то образом предотвратить расплывание портрета системы в фазовом пространстве. Это – весьма важный вопрос, к которому мы еще вернемся в дальнейшем (см. главы 8 и 9).

Затронутая нами тема имеет не менее важное значение и для вопроса о построении «вычислительной машины». Эффект расплывания в фазовом пространстве относится к разряду явлений, которые необходимо контролировать. Нельзя позволить слишком сильно расплываться той области фазового пространства, которая соответствует «дискретному» состоянию вычислительного устройства (такой, например, как описанная выше область R ₀ ). Напомним, что даже в «бильярдном компьютере» Фредкина– Тоффоли требовались некоторые специально вводимые извне твердые стенки, необходимые для правильной работы компьютера. Объяснить «цельность» объекта, состоящего из множества частиц, можно в действительности только с помощью квантовой механики. Создается впечатление, что даже «классическая» вычислительная машина должна заимствовать некоторые принципы из квантовой физики – иначе она просто не сможет работать эффективно!