Текст книги "Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики"

Автор книги: Роджер Пенроуз

сообщить о нарушении

Текущая страница: 17 (всего у книги 47 страниц)

Великий Иоганн Кеплер (1571–1630), современник Галилея, заметил, что орбиты планет, описываемые ими вокруг Солнца, имеют форму эллипсов, а не окружностей (причем Солнце всегда находится в фокусе, а не в центре эллипса), и сформулировал два других закона, задающих скорости, с которыми планеты движутся по орбитам. Ньютон сумел показать, что три закона Кеплера следуют из его собственной общей модели (с учетом силы притяжения, обратно пропорциональной квадрату расстояния между телами). Кроме того, Ньютон внес многие поправки к кеплеровским эллиптическим орбитам, а также объяснил ряд других эффектов (например, медленное движение оси вращения Земли, замеченное задолго до Ньютона еще древними греками). Чтобы прийти к таким результатам, Ньютону, помимо дифференциального исчисления, пришлось разработать немало дополнительных математических методов. Феноменальный успех, увенчавший эти усилия, во многом объясняется его высочайшим искусством математика и великолепной физической интуицией.

Механистический мир динамики Ньютона

С введением определенного закона для силы (как обратного квадрата расстояния между телами) ньютоновская модель превращается в точную и определенную систему динамических уравнений. Если положения, скорости и массы различных частиц заданы в некоторый момент времени, то их положения и скорости (равно как и массы, которые считаются постоянными) автоматически определены для всех последующих моментов времени. Эта форма детерминизма, которой удовлетворяет мир механики Ньютона, оказала (и все еще продолжает оказывать) глубокое влияние на философскую мысль. Попробуем изучить природу ньютонианского детерминизма чуть более подробно. Что он может сказать нам о «свободе воли»? Мог бы в строго ньютонианском мире существовать разум? Найдется ли в нем место хотя бы компьютерам?

Давайте попытаемся представить более конкретно «ньютонианскую» модель мира. Например, мы можем предположить, что частицы материи допустимо считать математическими точками, т. е. объектами, не имеющими никакой пространственной протяженности. В качестве альтернативы все частицы можно считать твердыми сферическими шариками. И в том, и в другом случае нам придется предположить, что законы действия сил, как в случае ньютоновского закона всемирного тяготения, известны. Мы хотим промоделировать и другие встречающиеся в природе силы, такие как электрическиеи магнитныевзаимодействия (впервые подробно исследованные в 1600 году Уильямом Гильбертом), или сильные ядерныевзаимодействия, которые, как ныне известно, связывают частицы (протоны и нейтроны), образующие атомные ядра. Электрическое взаимодействие похоже на гравитационное, поскольку тоже удовлетворяет закону обратных квадратов, но при этом одинаково заряженные частицы отталкивают(а не притягивают, как в случае гравитационного взаимодействия) друг друга, и величину электрического взаимодействия определяют не массы, а электрические зарядычастиц. Магнитное взаимодействие, так же как и электрическое, «обратно пропорционально квадрату расстояния» [108]108
  Различие между электрическим и магнитным взаимодействиями состоит в том, что индивидуальные «магнитные заряды» (т. е. северные и южные полюсы), по-видимому, не существуют в природе отдельно друг от друга. Магнитные частицы образуют так называемые «диполи», т. е. крохотные магнитики (в которых северный и южный полюсы как бы сливаются вместе).


[Закрыть], но ядерное взаимодействие имеет совершенно другую зависимость от расстояния: оно очень велико на очень малых расстояниях, сравнимых с внутриатомными, и пренебрежимо мало на бо́льших расстояниях.

Предположим, что мы остановили свой выбор на модели твердых сферических шариков, потребовав, чтобы при столкновении частиц шарики просто идеально упругоотражались. Иначе говоря, они должны разлетаться после столкновения без какой бы то ни было потери энергии (или полного количества движения (импульса)), как если бы они были идеальными бильярдными шарами. Нам необходимо также точно задать, какие силыдолжны действовать между шариками. Для простоты мы можем положить, что сила, с которой один шарик действует на любой другой, направлена по прямой, соединяющей центры шариков, а величина силы определяется длиной отрезка между центрами шариков. (Для ньютоновской гравитацииэто предположение выполняется автоматически в силу замечательной теоремы, доказанной Ньютоном; а для других видов сил оно может быть наложено в качестве дополнительного требования.) Если шарики сталкиваются только попарно, а тройные столкновения, как и столкновения более высокого порядка, не происходят, то все вполне определено, и исход столкновения непрерывно зависит от начального состояния (т. е. достаточно малые изменения в начальном состоянии приводят лишь к малым изменениям в конечном). Скользящие столкновения рассматриваются как предельный случай прохождения шариков в непосредственной близости друг от друга. Проблема возникает при рассмотрении тройных столкновений и столкновений более высоких порядков. Например, если происходит одновременное столкновение трех шариков А , В и С , то вся картина значительно меняется в зависимости от того, какое из попарных соударений мы рассматриваем сначала: шарика А с шариком В , а сразу же после этого – С с В ; или же мы считаем, что сначала сталкиваются шарики А и С , а затем шарик В сталкивается с шариком А (рис. 5.8).

Рис. 5.8.Тройное соударение. Поведение частиц в результате столкновения существенно зависит от того, какие частицы сталкиваются первыми, поэтому исход столкновения не зависит непрерывным образом от начальных данных

В нашей модели существует индетерминизм , когда происходит тройное столкновение! Если угодно, то мы можем просто исключитьтройные столкновения и столкновения более высокого порядка как «в высшей степени (бесконечно) невероятные». Это дает вполне непротиворечивую схему, но потенциальная проблема тройных столкновений означает, что результирующее поведение частиц может не зависеть непрерывным образом от начального состояния.

Поскольку такое положение дел нас не совсем удовлетворяет, то мы можем отдать предпочтение картине точечныхчастиц. Но для того, чтобы избежать некоторых теоретических трудностей, возникающих в рамках этого подхода (бесконечные силц и бесконечные энергии при столкновении частиц), необходимо сделать дополнительные предположения, в частности о том, что на коротких расстояниях силы, действующие между частицами, всегда становятся отталкивающими. Тогда мы можем обеспечить невозможность столкновения любой пары частиц. (Оно также помогает нам избежать проблемы определения поведениячастиц при столкновении!) Но для большей наглядности я все-таки буду рассматривать модель твердых сферических шариков, ибо, как мне кажется, подобная «бильярдная» картина для большинства из нас подсознательно как раз и является рабочей моделью реальности!

Подчеркнем (игнорируя проблему столкновения нескольких шариков), что ньютонианская [109]109
  Эту модель связывают с именем Ньютона, но, как и в случае с «ньютоновской» механикой в целом, это – всего лишь удобный ярлык. Собственные взгляды Ньютона на истиннуюприроду физического мира, по-видимому, отличались куда меньшим догматизмом и куда большей гибкостью. (Наиболее ярым сторонником «ньютоновской» модели, как представляется, был Р. Г. Бошкович A711-1787).)


[Закрыть]бильярдная картина реальности в действительности является детерминистскоймоделью. Слово «детерминистская» надлежит понимать в том смысле, что физическое поведение системы с математической точки зрения полностью определено во все моменты времени в будущем (или в прошлом) положениями и скоростями шариков (во избежание некоторых проблем предположим, что число шариков конечно) в какой-то один момент времени. Таким образом, создается впечатление, будто в таком бильярдном мире нет места для разума, который своей «свободной волей» мог бы влиять на поведение материальных объектов. Если мы верим в «свободу воли», то, по-видимому, вынуждены будем усомниться в возможности описания нашего реальногомира в рамках бильярдной модели.

Мучительный вопрос о «свободе воли» проходит через всю эту книгу – хотя при обсуждении большинства затронутых в ней тем он остается на заднем плане. В этой главе ему предстоит сыграть определенную, но небольшую роль (связанную с проблемой передачи сигналов со сверхсветовой скоростью в теории относительности). Вопросом о свободе воли мы займемся непосредственно в главе 10, и читатель несомненно будет разочарован моим вкладом в эту проблему. Я действительно считаю, что вопрос о свободе воле представляет собой реальную, а не вымышленную проблему – но она в высшей степени нетривиальна и ее трудно сформулировать адекватно. Вопрос о детерминизмев физической теории, безусловно, важен, однако я убежден, что он не является камнем преткновения. Например, мир может быть детерминистским, но невычислимым. Иначе говоря, будущее может определяться прошлым, но точно рассчитать его при этом будет в принципеневозможно. В главе 10 я попытаюсь изложить аргументы, показывающие, что действие нашего наделенного сознанием разума неалгоритмично(т. е. невычислимо). Соответственно, свобода воли, которой мы наделены (по нашему глубокому убеждению), должна быть тесно связана с какой-то невычислимой составляющей законов, управляющих тем миром, в котором мы живем. Независимо от того, принимаем ли мы или отвергаем такую точку зрения на свободу воли, интерес для нас представляет вопрос именно о вычислимостиданной физической теории (например, ньютоновской динамики), а не о том, является ли она детерминистской. Вопрос о вычислимости отличен от вопроса о детерминизме. Утверждение о том, что это – два совершенно разных вопроса, как раз и служит одним из основных тезисов в данной книге.

Вычислима ли жизнь в бильярдном мире?

Позвольте мне сначала показать на умышленно абсурдном искусственном примере, что вычислимость и детерминизм – понятия различные. Для этого я продемонстрирую «игрушечную модель вселенной», которая детерминистична, но не вычислима. Пусть «состояние» этой вселенной в любой «момент времени» описывается как пара натуральных чисел ( m , n ). Пусть Т _u – фиксированная универсальная машина Тьюринга, например, та, которая описана в главе 2 («Универсальная машина Тьюринга»). Чтобы решить, какое состояние этой вселенной наступит в следующий «момент времени», нам необходимо спросить, остановится ли действие машины Тьюринга Т _u на m или не остановится (в обозначениях главы 2, «Неразрешимость проблемы Гилберта»  Т _u ( m ) ≠ □ или Т _и ( m ) = □). Если машина Тьюринга Т _и останавливается, то состояние в следующий момент времени есть ( m + 1 , n ). Если же машина Тьюринга не останавливается, то состояние в следующий момент времени должно быть ( n + 1 , m ). В главе 2 было показано, что не существует алгоритма для решения проблемы остановки машины Тьюринга. Следовательно, не может быть алгоритма предсказания «будущего» в рассматриваемой модели вселенной, несмотря на то, что эта модель вполне детерминистична [110]110
  Рафаил Соркин разъяснил мне, что в некотором смысле эволюция этой конкретной игрушечной модели может быть сделана «вычислимой» в целом таким же способом, как (скажем) ньютоновские системы. Рассмотрим последовательность вычислений С ₁, C ₂, С ₃…, которые позволят нам рассчитывать поведение нашей системы в (неограниченном) будущем со все возрастающей точностью(см. с.146). В данном случае мы можем предположить, что С _n определяется при помощи машины Тьюринга, которая выполняет действие Т _u ( m ) в течение N шагов, и положить Т _u( m ) = □, если она не остановилась на N -ом шаге. Однако, было бы нетрудно модифицировать нашу игрушечную модель таким образом, чтобы провалить подобные «вычисления» – для этого достаточно рассмотреть эволюцию, где выражение Т _u ( т ) = □ заменено на дважды квантифицированные утверждения вроде « T ( q ) останавливается при всех q ». (Нерешенная задача, связанная с наличием бесконечного множества пар простых чисел, отличающихся на « 2 », может служить примером такого утверждения.)


[Закрыть].

Разумеется, описанную выше модель не следует принимать всерьез, но она показывает, что вопрос все же существует и на него необходимо найти ответ. Относительно любойдетерминистской физической теории мы сможем спросить, вычислима она или нет. Действительно, вычислим ли ньютонианский бильярдный мир?

Вопрос о физической вычислимости отчасти зависит от того, какого рода информацию о данной системе мы хотим получить. Я могу придумать целый ряд вопросов о конкретной физической системе, на которые – как мне кажется– в случае ньютоновской бильярдной модели не существует вычислимого (т. е. алгоритмически получаемого) ответа. Одним из таких вопросов мог бы быть следующий: столкнется ли когда-нибудь шарик А с шариком В ? Имеется в виду, что в качестве начальных условийнам в некоторый момент времени ( t = 0 ) задаются положения и скорости всех шариков; и задача состоит в том, чтобы, исходя из этих данных, выяснить, сталкиваются или не сталкиваются шарики А и В в некоторый последующий момент времени ( t > 0 ). Чтобы придать задаче бо́льшую конкретность (хотя и сделав ее при этом не особенно реалистичной), мы можем предположить, что все шарики имеют одинаковый радиус и одинаковую массу и что, скажем, сила, действующая между шариками, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Одна из причин, по которой я сделал предположение о невозможности алгоритмически получить ответ на этот вопрос, заключается в том, что сама модель несколько напоминает «бильярдную модель для вычисления», предложенную Эдвардом Фредкином и Томмазо Тоффоли (Фредкин, Тоффоли [1982]). В их модели шарики (вместо того, чтобы попарно взаимодействовать по закону обратных квадратов) были ограничены различными «стенками», но упруго отражались при столкновениях друг с другом – по аналогии с теми ньютоновскими шариками, которые я только что описывал (рис. 5.9).

Рис. 5.9.«Переключатель» (конструкции А. Ресслера) в компьютере Фредкина – Тоффоли на бильярдных шарах. Если шар попадает в переключатель через вход В , то в дальнейшем он покидает переключатель через выход D или Е в зависимости от того, попадает ли другой шар в переключатель через вход А (предполагается, что шары попадают в переключатель через входы А и В одновременно)

В модели Фредкина – Тоффоли все основные логические операции компьютера могут выполняться с помощью шариков. Модель позволяет имитировать вычисления, производимые любой машиной Тьюринга: конкретный выбор машины Тьюринга Т _u определяет конфигурацию «стенок» и т. д. в машине Фредкина – Тоффоли; начальное состояние движущихся шариков соответствует информации на входной ленте машины Тьюринга; а содержимое на выходной ленте соответствует конечному состоянию шариков. Таким образом, можно, в частности, спросить: останавливается ли когда-нибудь такая-то и такая-то машина Тьюринга? «Остановка» может быть сформулирована как состояние при котором шарик А сталкивается, в конце концов, с шариком В . То, что на этот вопрос невозможно ответить алгоритмически (см. гл.2 «Неразрешимость проблемы Гильберта»), по крайней мере наводит на мысльо том, что ньютоновский вопрос «сталкивается ли когда-нибудь шарик А с шариком В ?», который был поставлен мной первоначально, тоже не может быть разрешен алгоритмически.

В действительности, ньютоновская задача является гораздо более каверзной, чем задача, поставленная Фредкином и Тоффоли. Эти авторы могли задавать состояние своей модели с помощью дискретныхпараметров (т. е. при помощи утверждений «да или нет» типа «шарик либо находится в данном туннеле, либо не находится»). Но в полной ньютоновской задаче начальные положения и скорости шариков необходимо задавать с бесконечной точностью в терминах координат, которые являются действительными числами, а не принимают дискретные значения. Таким образом, мы снова сталкиваемся со всеми проблемами, которые нам уже приходилось рассматривать, когда в главе 4 мы пытались ответить на вопрос, рекурсивно ли множество Мандельброта. Что означает«вычислимость», когда в качестве входных и выходных данных допускаются непрерывно изменяющиеся параметры? [111]111
  В главе 4 «Является ли множество Мандельброта рекурсивным?»(примечание 86) высказывалось предположение о том, что теория Блюма – Шуба – Смэйла [1989], вероятно, даст возможность решить некоторые из этих вопросов в математически более приемлемом виде.


[Закрыть]Проблему можно слегка облегчить, предположив, что все начальные положения и скорости заданы рациональнымичислами (хотя нельзя ожидать, что координаты и компоненты скорости останутся рациональными в более поздние рациональные моменты времени t ). Напомним, что рациональное число представимо в виде отношения двух целых чисел и, следовательно, определяется в дискретных конечных терминах. Используя рациональные числа, мы можем сколь угодно точно аппроксимировать любые наборы начальных данных, которые собираемся использовать в своих вычислениях. И предположение о том, что при рациональных начальных данных может не существовать алгоритма, позволяющего определить, столкнутся в конце концов или нет шарики А и В , – отнюдь не лишено смысла.

Однако на самом деле, когда говорят: «Ньютонианский бильярдный мир не вычислим», имеют в виду совсем другое. Та модель, которую я сравниваю с ньютонианским бильярдным миром – а именно, «бильярдный компьютер» Фредкина – Тоффоли – действует как вычислительный алгоритм. В конечном счете, это и было квинтэссенцией идеи Фредкина и Тоффоли – что их модель должна вести себя как (универсальный) компьютер! Вопрос, который я пытаюсь сейчас прояснить, сводится к следующему: можно ли представить себе, что человеческий мозг, используя некоторые подходящие «невычислимые» физические законы, работает в определенном смысле «лучше», чем машина Тьюринга? Бесполезно пытаться использовать что-нибудь вроде следующего утверждения:

«Если шарик А никогда не сталкивается с шариком В , то ответ на Ваш вопрос будет: „нет“».

Чтобы окончательно удостовериться в том, что шарик А действительно никогда не сталкивается с шариком В , пришлось бы прождать вечность! Разумеется, машины Тьюринга ведут себяименно так.

На самом деле, существуют, по-видимому, достаточно весомые указания в пользу своего рода вычислимостиньютонианского бильярдного мира (по крайней мере, если оставить в стороне проблему множественных столкновений). Способ, которым мы пользуемся для того, чтобы рассчитать поведение такого мира, сводится к введению аппроксимаций. Мы могли бы предположить, что центры шариков по определению располагаются в узлах некоторой точечной решетки, причем координаты узлов измерены, например, с точностью до сотых долей единицы. Время также можно считать «дискретным»: все допустимые моменты времени должны быть кратными некоторой небольшой единице (обозначаемой, скажем, Δ t ). Это приводит к разным дискретным возможностям для «скоростей» (разностей между значениями положений точек на решетке В два последовательных разрешенных момента времени, деленных на Δ t ). Соответствующие приближения для. ускорений вычисляются с использованием закона силы, и, в свою очередь, используются для получения значений «скоростей». После чего с требуемой точностью вычисляются новые положения шариков в узлах решетки в следующий допустимый момент времени. Вычисления производятся до тех пор, пока сохраняется указанная точность. Вполне может оказаться, что точность будет потеряна раньше, чем мы успеем рассчитать состояние системы для достаточно большого числа моментов времени. В этом случае процедура начинается снова со значительно более мелкой пространственной решеткой и более частыми допустимыми моментами времени. Это позволяет достичь большей точности – и рассчитать поведение системы в более отдаленном будущем. Такой прием дает возможность математически описывать ньютоновский бильярдный мир (игнорируя множественные столкновения) сколь угодно точно, и в этом смысле можно сказать, что ньютонианский мир действительно вычислим.

Но в то же время можно сказать и обратное: что в некотором ( практическом) смысле этот мир «невычислим», поскольку точность, с которой могут быть известныначальные данные, всегда ограничена. Действительно, такого рода задачам всегда присуща некоторая (и весьма значительная) «нестабильность». Очень небольшое изменение в начальных условиях может привести к возникновению чудовищных изменений в конечном состоянии. (Всякий, кто пытался загнать в лузу бильярдный шар, стремясь ударить его промежуточным шаром, поймет, что я имею в виду!) Сказанное становится очевидным, когда происходят (последовательные) столкновения, но такие неустойчивости в поведении могут встречаться и в случае действия ньютоновского тяготения на расстоянии (если гравитирующих тел больше двух). Для обозначения этого типа неустойчивости часто используется термин «хаос», или «хаотическое поведение». Например, хаотическое поведение важно, когда речь заходит о погоде. Хотя ньютоновские уравнения, управляющие стихиями, хорошо изучены, долговременный прогноз погоды печально известен своей ненадежностью!

Все это не похоже на тот тип «невычислимости», который можно было бы каким-то образом «использовать». Невычислимость в данном случае обусловлена просто тем, что из-за существования предела точности, с которой может быть известно начальное состояние, будущее состояние в принципе не поддается точному расчету на основании известных начальных условий. На самом деле, в этом случае к будущему поведению системы примешивается случайный элемент– и только. Если же работа мозга все-таки опирается на полезныеневычислимые составляющие физических законов, то последние должны быть совершенно другими – и более конструктивными – по своей природе. Поэтому я не буду называть «хаотическое» поведение такого рода «невычислимостью», предпочитая использовать термин «непредсказуемость». Наличие непредсказуемости – весьма общее явление для тех детерминистских законов, которые, как мы вскоре убедимся, действительно возникают в (классической) физике. Но мы скорее уж предпочтем минимизироватьнепредсказуемость, чем «использовать» ее в конструкции мыслящей машины!

Обсуждая в общем и целом вопросы вычислимости и непредсказуемости, нам будет полезно принять более широкую, чем прежде, точку зрения на природу физических законов. Это позволит рассматривать не только схему ньютоновской механики, но и более поздние теории, пришедшие ей на смену. И сперва нам стоит окинуть беглым взглядом замечательную формулировку законов механики, предложенную Гамильтоном.