Текст книги "Наука, философия и религия в раннем пифагореизме"

Автор книги: Леонид Жмудь

сообщить о нарушении

Текущая страница: 12 (всего у книги 24 страниц)

2.2 Дедуктивное доказательство

Применение доказательства как ничто другое способствовало теоретизации греческой математики, т. е. формулированию теорем в общем виде и отказу от операций с числами. Для строгого и неопровержимого доказательства какого-либо положения (к чему всегда стремились греческие математики) одних практических расчетов или измерений недостаточно, ибо они не являются абсолютно точными, к тому же их можно опровергнуть новыми, еще неизвестными фактами. Стремление к доказательности вело, таким образом, к формулированию общих теорем, справедливых для любых численных соотношений. Одновременно оно направляло развитие греческой математики по геометрическому пути, освобождающему от необходимости операций с числами. Абстрактные отрезки, углы и фигуры были тем материалом, который как нельзя лучше подходил для построений дедуктивного типа.

С введением в математику доказательства связано появление еще одного ее важного качества – аксиоматичности. В основе дедуктивных построений, которым стремятся придать истинный и непротиворечивый характер, по необходимости должны лежать какие-то положения, принимаемые без доказательств. Развитие математической теории естественным образом побуждало греческих математиков к поискам ее аксиоматической основы.[545]545
  Начало этого процесса относится еще к концу VI-первой половине V в. См.: van der Waerden. Postulate, 357.


[Закрыть] Таким образом, можно утверждать, что систематическое применение доказательства было важнейшим фактором формирования теоретической математики, построенной на аксиоматической основе. Но что же заставило греков сделать математику доказательной, если сама она никак не побуждала их к этому?

В поисках истоков логического доказательства обычно называют две сферы общественной жизни, в которых оно могло зародиться: во-первых, философию, во-вторых, политическое и судебное красноречие. Так, например, Сабо полагает, что математика VI-начала V в. развивалась эмпирическим путем, а дедуктивное доказательство, в частности reductio ad absurdum, появилось в результате изысканий Парменида и Зенона.[546]546
  Szabo. Beginnings, passim. См. также: Burkert, 425; Philip, 200.


[Закрыть] На первый взгляд, философия оказывается в более удачном положении, чем математика. Первыми дошедшими до нас образцами дедуктивного доказательства считаются фрагменты Парменида и Зенона. Парменид выдвигает свое основное положение – бытие есть, а небытия нет (28 В 2-4), из которого логическим путем выводит характеристики бытия: неизменность, единство, вневременность и пр., и опровергает альтернативные варианты: возникновение бытия, его качественное разнообразие и пр. Зенон, опровергая возможность движения и множественности, регулярно прибегает к reductio ad absurdum (29 А 25, В 1-2). Парменид, вероятно, был первым философом, подкреплявшим свои идеи логическими доказательствами, но едва ли он изобрел сам дедуктивный метод. Слишком многое говорит о том, что метод этот был воспринят им из математики, в которой он применялся еще со времени Фалеса.

Сабо полагает, что Фалес «доказывал» свои теоремы эмпирическим путем, апеллируя к наглядности геометрических чертежей. Действительно Фалес использовал метод наложения (от которого, кстати, не мог полностью избавиться и Евклид)[547]547
  1,4; 1,8. См.: Heath. Euclid I, 225 f.


[Закрыть] и опирался на факты, истинность которых в ряде случаев наглядна. Но в том-то и дело, что Фалес этой наглядностью не удовлетворился, и его доказательства вовсе не сводились к ее демонстрации. Одно из них, сохранившееся у Аристотеля (An. Prior. 41 b 13-22),[548]548
  Becker О. Das mathematische Denken der Antike. Göttingen 1966, 38 f; Neuenschwander Ε. A. Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids, AHES 9 (1973) 353 f. Упоминаемое в «Метафизике» (1051 а 26) доказательство, вероятно, также принадлежит Фалесу.


[Закрыть] показывает нормальную процедуру логических рассуждений.

ABC – равнобедренный треугольник с вершиной в центре круга. Требуется доказать, что углы при его основании равны. Ζ 1 = Ζ 2, поскольку оба они являются углами полуокружности; Ζ 3 = Ζ 4, поскольку два угла любого сегмента равны между собой. Отняв от равных углов 1 и 2 равные же углы 3 и 4, мы получим, что углы СВА и CAB равны между собой.

Заметим, что для наглядной демонстрации достаточно было перегнуть пополам папирусный чертеж, однако доказательство Фалеса пошло совсем другим путем.

О дедуктивном характере, по крайней мере, части математических выводов Фалеса свидетельствует и Евдем. В одном случае он говорит о доказательстве теоремы, в другом – что она была «найдена» Фалесом, в третьем – что тот не дал научного доказательства. У него же (fr. 133) мы читаем: «Одному Фалес учил более абстрактным образом (καθολικώτερον), другому – более чувственным, наглядным (αίσθητικώτερον)».

Взглянем теперь, каков был уровень математики вскоре после 480-440 гг., на которые падает деятельность Парменида и Зенона. Известно, что Демокриту принадлежала книга Περί άλογων γραμμών και ναστών (D.L. ΙΧ,47), следовательно, несоизмеримые отрезки были уже открыты. Гиппократ Хиосский (ок. 440 г.) занимался проблемой удвоения куба, которой должна была предшествовать соответствующая проблема в планиметрии – удвоение квадрата, тесно связанная с открытием несоизмеримости. Из фрагмента Гиппократа о квадратуре луночек (Eud. fr. 140) можно заключить, что он знал немалую часть положений I—IV книг Евклида.[549]549
  Van der Waerden. Science, 135.


[Закрыть] Ясно также, что они были доказаны еще до него, ибо строгость доказательств самого Гиппократа была оправдана только в том случае, если положения, на которые он опирался, имели ту же логическую форму и завершенность, что и его собственные. Гиппократу же Евдем приписывает первые «Начала» (fr. 133), в которых известные в то время теоремы и проблемы были, по всей вероятности, сведены воедино и выстроены в логической последовательности. Все это демонстрирует такую зрелость тогдашней математики, которую нельзя объяснить, полагая, что дедуктивный метод проник в нее из философии только в конце первой половины V в.

Согласно убедительной реконструкции ван дер Вардена, «Началам» Гиппократа предшествовал пифагорейский учебник математики, содержавший основу первых четырех книг Евклида.[550]550
  Van der Waerden. Postulate, 343 ff. Об этом писали и раньше: Tannery. Geomerie, 81; Rey A. Les mathematiques en Grece au milieu du Ve siecle. Paris 1935, 58 ff. См. также: Heath. Mathematics I, 165 ff. Такая реконструкция подтверждается и историческими свидетельствами о близости Гиппократа к пифагорейцам (42 А 5; Iam. Comm. math, sc., p. 78.1).


[Закрыть] Таким образом, мы вплотную подходим к пифагорейской математике начала V в., откуда Парменид и Зенон могли почерпнуть идею дедуктивного доказательства – ведь согласно традиции, учителем Парменида был пифагореец Аминий (28 А 1). Все это позволяет нам с полным основанием присоединиться к выводу, сделанному еще Т. Гомперцем: «Система Парменида обязана своей формой математике Пифагора».[551]551
  Gomperz. Griechische Denker, 139. См. также: Heiberg I. L. Naturwissenschaften und Mathematik im klassischen Altertum. Leipzig 1912, 10; Burnet, 69; Rey: Jeunesse, 191, 202 f; Reidemeister K. Das exakte Denken der Griechen. Leipzig 1949, 10; Cherniss. Characteristics, 336; Taran L. Parmenides. Princeton 1965, 4.


[Закрыть]

В истории науки можно найти множество примеров того, как одна научная отрасль заимствует методы, оказавшиеся успешными в других областях знания. Но никто не будет перенимать метод, если его применение не дало ощутимых результатов на материале той области, где он возник. Между тем дедуктивное доказательство в философии элеатов, да и вообще в философии, отнюдь не обладает такой логической убедительностью и неопровержимостью, как в математике.[552]552
  Зайцев. Культурный переворот, 182 сл.


[Закрыть] Ни Пармениду, ни Зенону не удалось, собственно, ничего доказать, они лишь пытались это сделать. Уже их младшие современники атомисты отвергают идею о том, что небытия (т. е. пустоты – κενόν) нет: их космос состоит именно из пустоты и движущихся в ней атомов. Не имели успеха, да и не могли иметь, и попытки Зенона опровергнуть возможность движения и множественности, хотя поднятые им проблемы во многом стимулировали развитие философии. Влияние элеатов на последующих философов объясняется глубиной и смелостью их мысли, а не дедуктивными построениями. Разве не были восприняты некоторые идеи Гераклита, стиль рассуждений которого очень далек от доказательности? Словом, после сравнения весьма скромных успехов дедуктивного метода в философии с тем, что он дал математике, вопрос «у кого он был заимствован?» кажется риторическим.[553]553
  Убедительную критику тезиса Сабо см.: Knorr W. R. On the Early History of Axiomatics: The Interaction of Mathematics and Philosophy in Greek Antiquity, J. Hintikka, ed. Theory Change, Ancient Axiomatics and Galileo Methodology. V. I. Dordrecht 1981, 145 ff.


[Закрыть]

Не более убедительна и гипотеза, связывающая зарождение дедуктивного доказательства с красноречием, политическим или судебным. Дело даже не в том, что начало риторики принято относить ко второй трети V в., а свое полное развитие она получила еще позже, – в конце концов, греки могли аргументированно излагать свои взгляды и во времена Фалеса. Но там, где речь идет о жизненных интересах, логические аргументы не могут иметь решающей силы – а именно с этой ситуацией мы сталкиваемся в народном собрании и в суде.[554]554
  Зайцев. Культурный переворот, 185.


[Закрыть] В то время как греческая математика отталкивалась в своих доказательствах от вещей очевидных и всеми признаваемых истинными, для политической и судебной аргументации такой общей основы нет. Хорошо известно, что в Афинах один и тот же человек часто писал убедительные речи pro и contra, а обвиняемые в тяжких преступлениях приводили в суд жену и детей, больше надеясь смягчить судей их несчастным видом и плачем, чем своими аргументами. Трудно представить себе, чтобы в этой атмосфере могло зародиться стремление строго следовать фактам и ни в чем не грешить против логики.

Итак, едва ли можно сомневаться в том, что математика не заимствовала дедуктивное доказательство у философии или риторики, – оно зародилось в ней самой. В то же время дедуктивный метод, в отличие от просто логических рассуждений, не является чем-то внутренне присущим обращению с числами и фигурами: на Древнем Востоке (включая Индию и Китай) математика развивалась без него. Следовательно, пытаясь ответить на вопрос, почему Фалес стал искать дедуктивное доказательство простых математических фактов, мы вынуждены будем обратиться к причинам, внешним по отношению к математике.

Наиболее убедительный ответ на этот вопрос предлагает, на наш взгляд, концепция греческого культурного переворота, развитая Зайцевым. Одно из ее центральных положений состоит в том, что в Греции VIII-V вв. в силу специфических исторических условий впервые в истории человечества получили общественное одобрение все формы творчества, все виды продуктивной духовной деятельности, в том числе и лишенные непосредственного утилитарного значения.[555]555
  Там же, 117 сл.


[Закрыть] Только в такой атмосфере Фалес, влиятельный и богатый человек, мог, не будучи профессионалом (какими были египетские и вавилонские писцы), взяться за доказательство того, что диаметр делит круг пополам. Более того, он не просто взялся, а приобрел на этом поприще общественное признание: традиция сохранила его славу как математика и донесла до нас суть теорем, которыми он занимался. Значит, общественная и культурная атмосфера той эпохи поощряла авторов даже таких открытий, которые не имели практической ценности, – тем самым создавались мощные стимулы для новых поисков в этой области.

Вторым важным фактором культурного переворота был особый тип соревновательности, присущий тогдашнему греческому обществу, а именно такой, в котором главной признавалась победа, дававшая славу, а не связанные с нею материальные блага – их зачастую могло и не быть. Этот дух чистого соперничества зародился в греческой агонистике, а затем распространился и на сферы интеллектуального творчества – сначала на литературу, вслед за ней на философию и науку, удесятеряя силы тех, кто стремился к истине.

Став на путь свободного исследования, не стесненного узким практицизмом и корпоративным духом, математики очень быстро убедились в том, что лишь применение строгого логического доказательства позволяет добиться на этом поприще неопровержимых и, следовательно, общепризнанных результатов, – а только последние и могли принести славу. Эмпирический, вычислительный метод, доступный грекам в то время, не обладал такой убедительной силой и не мог дать столь интересных результатов, следовательно, он был ненадежным средством в достижении успеха. Сколько бы ни измерял Фалес углы при основании равнобедренного треугольника, всегда оставалась возможность возразить, что один из них больше или меньше другого. Иное дело – дедуктивное доказательство: любой скептик мог самостоятельно пройти по всем его этапам и убедиться в его неопровержимости. История геометрии VI-V вв. позволяет проследить последовательное вытеснение из нее приемов, опиравшихся в основном на чувственное восприятие, и решительную победу дедуктивного метода.[556]556
  Reidemeister. Op.cit, 51 f; von Fritz. Grundprobleme, 419.


[Закрыть] Бесспорность достигнутых с его помощью результатов была настолько очевидна и притягательна, что вслед за математиками к нему обращаются философы.

Таким образом, причины «отрыва» греческой математики от ее эмпирической основы следует видеть именно в воздействии социально-психологических стимулов, придавших ее развитию совершенно новое направление, а не в особых чертах греческого характера (рационализме, ясности ума, особой одаренности в математике), на которые так часто ссылаются. Высокий уровень вычислительных приемов вавилонян ясно показывает, что природа не обделила их математическими способностями – все дело в том, в каком направлении они использовались.

2.3 Пифагор как математик

Прежде чем обратиться к математике Пифагора, вернемся еще раз к уже обсуждавшейся проблеме. Зачастую даже те, кто признает, что Пифагор занимался математикой, оставляют открытым вопрос о его конкретном вкладе в эту науку. Сложность реконструкции этого вклада видят обычно в том, что в пифагорейской школе было принято приписывать свои научные достижения ее основателю,[557]557
  Allman. Op.cit., 21; Heath. Euclid I, 411; Guthrie I, 149. 61 II,2.2.


[Закрыть] поэтому мы и не в состоянии выделить часть, принадлежащую именно Пифагору.

Как было показано выше,61 эта идея не подтверждается ни ранними, ни поздними источниками. Мы не знаем ни одного пифагорейца, который бы действительно приписывал свои математические открытия главе школы. Единственное упоминание об этом обычае в античной традиции принадлежит Ямвлиху и представляет собой его собственный домысел. Будь Ямвлих прав, картина пифагоровой математики выглядела бы следующим образом: число открытий, приписываемых Пифагору, явно превышало бы возможности одного человека; с его именем связывались бы открытия, сделанные уже после его смерти и выходящие за пределы доступных ему сведений; одни и те же открытия приписывались бы и Пифагору, и некоторым его ученикам (как это случилось, например, с платоновским «Послезаконием»). Соответствует ли реальности эта картина? Обратимся сначала к наиболее ранней части традиции – авторам IV в.

1. Согласно Исократу, Пифагор заимствовал свою философию у египтян, точнее, у египетских жрецов (Bus. 28). Это, разумеется, выдумка Исократа, но чрезвычайно интересно то, как описывалась им эта «жреческая философия». Она, помимо всего прочего, состояла и в обучении астрономии, арифметике и геометрии (Bus. 23). Все это, конечно, не имеет отношения к деятельности жрецов, но хорошо согласуется с тем, что говорят другие источники о преподавании математических дисциплин в пифагорейской школе V в.[558]558
  Morrison, Origin, 201 ff.


[Закрыть] Очевидно, что Исократ проецировал на жрецов то, что знал о пифагорейцах.

2. Ученик Платона Ксенократ свидетельствует об открытии Пифагором численного выражения гармонических интервалов: «Пифагор открыл, что и музыкальные интервалы возникают не без участия числа... Затем он исследовал, при каких обстоятельствах интервалы бывают созвучными и несозвучными и как вообще возникает все гармоническое и негармоническое» (fr. 9). Хотя Ксенократ и не говорит здесь, о каких именно интервалах идет речь, из более поздних источников следует, что имелись в виду первые три: октава (2:1), квинта (3:2) и кварта (4:3).[559]559
  Gaud. Intr. harm. 11; Theon. Sm. Exp., p. 56.


[Закрыть] Поскольку Пифагор выразил музыкальные интервалы через численные соотношения с помощью теории пропорций, естественно предположить, что она была развита им еще до его акустических исследований.[560]560
  Barbera C. A. The Persistence of Pythagorean Mathematics in Ancient Musical Thought. Chapel Hill 1982. Сабо полагает, что теория пропорций возникла при исследовании музыкальных интервалов: Szabo Α. La teoria pitagorica delle proporzioni, PdP (1971) 136-141.


[Закрыть] Математическая теория музыки окончательно сформировала квадривиум дисциплин, преподававшихся в пифагорейской школе: арифметика, геометрия, астрономия и гармоника. Заслуга создания этого комплекса математических наук принадлежит не Феодору из Кирены или Гиппию из Элиды, преподававшим квадривиум во второй половине V в., а Пифагору,[561]561
  Loria G. Le scienze esatte nell`antica Grecia. Milano 1914, 29; Marrou H. Histoire de Veducation dans Vantiquite. Paris 1965, 99, 267, 272.


[Закрыть] связавшему музыку не только с математикой, но и с астрономией – в известной доктрине о небесной гармонии.

3. В одном из фрагментов монографии Аристотеля о пифагорейцах говорится: «Пифагор, сын Мнесарха, первоначально посвятил себя занятию математическими науками, в частности числами (τα μαθήματα και τους αριθμούς),[562]562
  См.: Heidel. Pythagoreans, 8 n. 12; Pitagorici I, 33.


[Закрыть] но впоследствии не удержался и от чудотворства Ферекида» (fr. 191). Судя по тому, что занятия числами оговариваются особо, Аристотель мог знать о преобладании арифметики и теории чисел в математических исследованиях Пифагора.

4. В историческом введении к «Метафизике» Аристотель пишет: «Одновременно с этими философами (Левкиппом и Демокритом) и раньше их так называемые пифагорейцы были первыми, кто, занявшись математическими науками, продвинул их вперед; воспитавшись (έντραφέντες) на них, пифагорейцы стали считать их начала началами всех вещей» (Met. 985 b 23 f). Кого имел в виду Аристотель, говоря о математиках, живших до Левкиппа и Демокрита? В первой трети V в. нам известен лишь один пифагорейский математик, Гиппас, который, впрочем, считал началом всего огонь, а не число – об этом писал сам Аристотель (Met. 984 а 7). Больше ни с каким конкретным лицом отождествить этих так называемых пифагорейцев не удается. Означает ли это, что Аристотель имел в виду всю раннюю школу в целом, включая и ее основателя, либо здесь прямо подразумевается сам Пифагор, как полагал Егер?[563]563
  Jaeger. Paideia I, 163, 456.


[Закрыть] Во всяком случае, данный пассаж еще раз свидетельствует о том, что Аристотелю было известно о занятиях математикой и ее преподавании в раннепифагорейской школе.

5. Во фрагменте из сочинения Аристоксена «Об арифметике» мы читаем: «Пифагор ценил исследование чисел (или «учение о числах» – ή περι τούς αριθμούς πραγματεία)[564]564
  В «Гармонике» Аристоксена πραγματεία регулярно употребляется в значении «область знаний», «сфера исследования» (Harm. 1,1-2 Масгап).


[Закрыть] больше, чем кто бы то ни было другой. Он продвинул его вперед, отведя от практических расчетов и уподобляя все вещи числам» (fr. 23).[565]565
  Близость слов Аристоксена к приведенному выше пассажу из «Метафизики» отнюдь не умаляет ценности этого свидетельства (расе Frank, 260 п. 1; Burkert, 414 f). В вопросах, касающихся пифагорейцев, Аристоксен менее всего зависел от своего учителя. Поскольку он располагал информацией, идущей непосредственно из пифагорейских кругов, ему не нужно было переписывать из «Метафизики», подставляя «Пифагор» вместо «пифагорейцы». Такое предположение тем более неправдоподобно, что и сам Аристотель упоминал о математических занятиях Пифагора (fr. 191).


[Закрыть] В последующей части фрагмента говорится о четных и нечетных числах, причем дается их типично пифагорейское определение.[566]566
  των δέ αριθμών άρτιοι μέν είσιν οί είς ϊσα διαιρούμενοι, περισσοί δέ οΐ εις άνισα χαΐ μέσον έχοντες. Такое же определение мы встречаем у Ямвлиха (In Nie. p. 12). См.: Knorr, 53. Верли без серьезных оснований отрицает принадлежность Аристоксену второй части фрагмента (fr. 23, com. ad loc). См. также: Burkert, 414 п. 77.


[Закрыть] Нельзя ли полагать, что под ή περί τους αριθμούς πραγματεία Аристоксен имел в виду теорию четных и нечетных чисел, сохранившуюся в IX книге Евклида? Как блестяще показал Беккер, эта теория относится к самому древнему пласту пифагорейской математики.[567]567
  Becker О. Die Lehre von Geraden und Ungeraden im IX. Buch der Euklidischen Elemente, Q&S В 3 (1934) 533-553. См. также: Reidemeister. Op.cit, 31 ff, 43; van der Waerden, 397.


[Закрыть] Опираясь на фрагмент Аристоксена, неучтенный Беккером, ее можно связывать непосредственно с Пифагором. По всей видимости, ему же принадлежит и примыкающее к этой теории построение фигурных чисел с помощью гномона.

6. Прокл в комментарии к I книге Евклида приводит знаменитый «Каталог геометров» (In Euch, p. 64 if), материал которого восходит в основном к Евдему.[568]568
  Из современных работ авторство Евдема оспаривают: Lan С. Е. Eudemo у el 'catalogo de geometras' de Procio, Emerita 53 (1985) 127-157; Lasserre F. De Leodamas de Thasos ά Philippe d'Oponte. Napoli 1987, № 1 Τ la, № 20 F 15a. Лассер полагает, что автором каталога был Филипп Опунтский. Критику этой гипотезы см.: Gaiser К. Philodems Academica. Supplementum Platonicum 1. Stuttgart 1988, 89 ff.


[Закрыть] О Пифагоре здесь говорится следующее: «После них (Фалеса и Мамерка. – Л.Ж.) Пифагор преобразовал философию геометрии, придав ей форму образования свободного человека, рассматривая ее начала абстрактным образом и исследуя теоремы с нематериальной, интеллектуальной точки зрения (άολως καί νοερώς). Он же открыл теорию иррациональных величин (или теорию пропорций. – Л.Ж.) и конструкцию космических фигур» (Eud. fr. 133).

Если первая часть этого пассажа, уже цитированная нами выше, серьезных проблем не вызывает, то вторая, начинающаяся со слов «придав ей форму», носит явные следы неоплатонической терминологии (άολως и νοερώς).[569]569
  См.: De Vogel. Philosophia, 88 ff.


[Закрыть] Как показывает сравнение этого пассажа с параллельным местом из Ямвлиха, его начало у обоих авторов совпадает, далее же следуют их собственные добавления или переложения текста Евдема. Однако у Прокла, в отличие от Ямвлиха, сохранилось и упоминание о двух конкретных открытиях Пифагора. Содержалось ли оно в тексте Евдема? В сущности, у самого Прокла не было никаких особых оснований приписывать Пифагору чужие открытия, более того, он даже сомневался, принадлежит ли тому теорема, носящая его имя (In Eucl, p. 426).[570]570
  Панпифагореизм, характерный для Ямвлиха, почти не заметен у Прокла: Mueller I. Iamblichus and Proclus' Euclid Commentary, Hermes 115 (1987) 334-348.


[Закрыть] Если Прокл связывал некие открытия с Пифагором, то сведения о них он должен был почерпнуть из предшествующей традиции. Поскольку Евдем, как мы знаем, упоминал в своем труде и о пропорциях, и об иррациональных величинах, и о правильных многогранниках, то вполне резонно предположить, что к нему восходит по крайней мере часть этой информации.

Хотя чтение «теория пропорций» (των ανά λόγων πραγματεία) является широко принятым, оно опирается лишь на одну из рукописей комментария Прокла,[571]571
  Историю вопроса см.: Heath. Mathematics I, 84 f, 154 f; Stamatis E. S. Die Entdeckung der Inkommensurabilität durch Pythagoras, Platon 29 (1977) 188.


[Закрыть] в других же стоит «теория иррациональных величин» (των άλογων πραγματεία). Тем не менее, если даже у самого Прокла стояла των άλογων πραγματεία, чтение των άνά λόγων πραγματεία могло восходить к тексту Евдема, а затем, уже в виде исправления, появиться в одной из рукописей Прокла. В пользу этого говорят не столько филологические, сколько историко-математические соображения. Применительно ко времени Пифагора вообще нельзя говорить о «теории» иррациональных величин, но лишь об открытии иррациональности √2, и Евдем едва ли мог этого не знать. Теория пропорций тесно связана с акустическими исследованиями Пифагора и с его математическими открытиями: по-видимому, опираясь на нее, он доказал свою знаменитую теорему. Кроме того, о знакомстве Пифагора с теорией пропорций говорят и другие авторы.[572]572
  Nicom. Intr. arith., 11,22; Iam. In Nie, p. 118.


[Закрыть] Если бы Пифагор открыл иррациональность √2, то связь столь известного открытия с не менее знаменитым именем безусловно нашла бы какое-то отражение в греческой литературе. Однако до Прокла никто об этом не писал, все сведения так или иначе связаны с именем Гиппаса.[573]573
  Свидетельства см.: von Fritz. Discovery; Knorr, 50 f. Стаматис, тем не менее, относит это открытие к Пифагору (Stamatis. Op.cit). О том, почему Прокл сделал выбор в пользу Пифагора, см. ниже, IV,2.4.


[Закрыть] Словом, если у Евдема что-то упоминалось, то скорее теория пропорций; вместе с тем мы в состоянии установить ее принадлежность Пифагору и не опираясь на Евдема.

Непросто обстоит дело и с конструкцией космических тел, т. е. пяти правильных многогранников. Евдем едва ли стал бы приписывать Пифагору конструкцию всех пяти тел: в схолиях к Евклиду (XIII, 1) говорится, что первые три тела (пирамиду, куб и додекаэдр) открыли пифагорейцы, а октаэдр и икосаэдр – Теэтет. Эта информация, как сейчас общепризнанно, восходит к Евдему. Построение же додекаэдра связывается в традиции с Гиппасом (18 А 4), кроме того, оно предполагает открытие иррациональности, которое едва ли было сделано Пифагором. Из всего этого с определенной степенью вероятности можно заключить, что к Пифагору относится лишь построение двух первых многогранников: куба и пирамиды.[574]574
  Пифагорейская акусма о том, что самая совершенная фигура – круг, а самое совершенное тело – шар (D.L. VIII, 13), подразумевает знание, по крайней мере, нескольких многогранников. О пирамиде писал Демокрит (Archim. Be method., prooem. = fr. 125 Luria).


[Закрыть]

Версия о том, что Пифагор – автор конструкции всех пяти тел, встречается еще до Прокла, в доксографической традиции (Aet., 11,6.5 = 44 А 15), и восходит, по-видимому, к Посидонию, т. е. к платонической интерпретации пифагореизма, а не к Феофрасту, как полагал Дильс (DK I, 403.8).[575]575
  Burkert, 70 η. 113. Вместе с тем стоит отметить, что еще Спевсипп писал о пяти правильных многогранниках в книге «О пифагорейских числах» (fr. 28). Это связано, вероятно, с тем, что ученики Платона считали «Тимей», в котором упоминались эти тела, «пифагорейским» диалогом.


[Закрыть] Но кто именно внес в каталог эту фразу, Прокл или предшествовавший ему компилятор, сказать трудно. Так или иначе, ясно, что только поздние авторы связывают с Пифагором чужие открытия, а не ранние пифагорейцы – свои.

7. Согласно эпиграмме Аполлодора-логистика, Пифагору принадлежит доказательство теоремы, носящей его имя. Единодушие, с которым все античные свидетельства называют Пифагора автором этой теоремы, отсутствие иных претендентов, а также ее тесная связь с другими его открытиями, в частности с теорией пропорций, говорят в пользу достоверности слов Аполлодора.

8. Наконец, последнее заслуживающее внимания свидетельство: Герон Александрийский (Geom. 8, р. 218), а вслед за ним и Прокл (In Euch., p. 428) приписывают Пифагору метод определения длины сторон прямоугольного треугольника (пифагоровы тройки). Известно, что оба они пользовались сочинением Евдема, к нему, вероятно, и восходит эта информация.[576]576
  Heath. Mathematical, 252; Euclid I, 36; von Fritz. Discovery, 252.


[Закрыть] Иной источник здесь трудно предположить.

Итак, мы можем предварительно очертить круг тех конкретных математических проблем, к решению которых Пифагор был, скорее всего, лично причастен: теория пропорций, теория четных и нечетных чисел, теорема Пифагора, метод определения пифагоровых троек и построение двух правильных многогранников. Разумеется, нельзя полагать, что этим и исчерпываются все открытия Пифагора в математике. Фрагментарные свидетельства авторов IV в. служат лишь фундаментом для дальнейшей реконструкции математики Пифагора, в ходе которой необходимо привлекать как более поздние сведения, так и внутреннюю логику развития самой математики.

Но прежде чем двигаться дальше, отметим, во-первых, непротиворечивость приведенных выше свидетельств и тесную взаимосвязь математических проблем, о которых они сообщают, а во-вторых, то, что все открытия Пифагора вполне соответствуют уровню греческой математики конца VI в. Пифагорейская математика первой половины V в. (открытие иррациональности, теория приложения площадей и т.д.) закономерно продолжает исследования основателя школы, но все это связывается не с ним, а либо с пифагорейцами в общем, либо конкретно с Гиппасом. Следовательно, ни внутри пифагорейской школы, ни за ее пределами не существовало стремления приписывать Пифагору чужие научные достижения, по крайней мере в области математики.

Но, может быть, эта тенденция проявилась в более поздний период, так что с течением времени Пифагора делали автором все новых и новых открытий? Однако и это предположение не подтверждается известным нам материалом.

Историки рубежа IV—III вв. Антиклид и Гекатей Абдерский, говоря о занятиях Пифагора математикой, не приводят никаких конкретных деталей (FGrHist 140 F 1; 264 F 25). Каллимах упоминает об изучении треугольников и открытии Пифагором какой-то «фигуры» (fr. 191, 58-62 Pfeiffer). В его словах принято видеть намек на знаменитую теорему, что косвенно подтверждает раннюю датировку эпиграммы Аполлодора. Плутарх, цитируя эту эпиграмму, затруднялся решить, к чему именно она относится: к теореме Пифагора или к теории приложения площадей, которую он считал более важным открытием (Non posse. 11,1094 b; Quest, conv. 720 a). Совершенно ясно, что Плутарх не располагал никаким источником, прямо называющим Пифагора автором этой теории.

Никомах пишет о том, что Пифагору были известны арифметическая, геометрическая и гармоническая пропорции (Intr. arith. 11,22) и три средних пропорциональных (ibid., 11,28). Ямвлих к этому добавляет, что при Пифагоре среднее гармоническое называлось «подпротивным» (ύπεναντία), а начиная с Гиппаса его стали называть гармоническим (In Nicom., p. 100). В другом месте Ямвлих говорит, что Пифагору была также известна «музыкальная» пропорция, которую он «вывез из Вавилона» (ibid., р. 118). Наконец, он приписывает Пифагору открытие дружественных чисел, у которых сумма делителей одного равна другому, например 220 и 284 (ibid., р. 35).

Вот, собственно говоря, и все, что говорит античная традиция о математических открытиях Пифагора, остальные свидетельства мы уже приводили выше. Нетрудно заметить, что за пределы области, очерченной авторами IV в., выходит лишь сообщение Ямвлиха о дружественных числах. Никто из античных писателей не соединяет с Пифагором никаких грандиозных достижений и не приписывает ему ничего такого, что в принципе не могло бы ему принадлежать. Обнаруживаемое единодушие, пожалуй, достойно удивления, и его едва ли нарушают слова Прокла о теории иррациональности и пяти правильных многогранниках, особенно если учитывать, что он жил через тысячу лет после Пифагора.

Несколько забегая вперед, отметим, что такую же картину мы наблюдаем и в гармонике, и в астрономии. С последней, правда, дело обстоит несколько сложнее, однако и здесь можно показать, что разногласия источников проистекают из-за естественных искажений, с которыми мы сталкиваемся в тысячах других случаев, а не в силу особого характера пифагорейской школы.

* * *

Вернемся теперь к тому, о чем уже упоминалось выше: к тесной взаимосвязи всех математических открытий Пифагора. Конечно, сама по себе она не является прочным основанием для реконструкции: хорошо известно, что решения двух логически связанных проблем могут отстоять друг от друга на многие десятилетия. И все же эта взаимосвязь еще раз подтверждает достоверность собранных выше свидетельств.

Одним из важных звеньев между арифметикой, геометрией и гармоникой была теория пропорций.[577]577
  Allman. Op.cit., 48 f; Szabo. Beginnings, 99 ff; Teoria, 136 ff.


[Закрыть] Пифагору, безусловно, были известны три средние пропорциональные: арифметическое c=(a+b)/2, геометрическое c=√ab и гармоническое c=2ab/(a+b) также «музыкальная» пропорция a : (a+b)/2 = 2ab/(a+b) : b, прямо связанная с его акустическими исследованиями.[578]578
  Van der Waerden. Science, 95. 83См. ниже, IV,3.2.


[Закрыть] По сообщению Гауденция (Intr. harm. 11), восходящему к более ранним источникам,83 Пифагор открыл численное выражение гармонических интервалов путем деления струны монохорда в отношении 12:6, 12:8, 12:9. Данные отношения присутствуют и в «музыкальной» пропорции, где средние члены являются арифметическим и гармоническим средним между крайними (6:9 = 8:12). Эту же пропорцию использовал и Гиппас в своем опыте с медными дисками (Aristox. fr. 90).[579]579
  Там же.


[Закрыть]

Интересное подтверждение принадлежности Пифагору теории пропорций нашел Г. Френкель.[580]580
  Fraenkel. Op.cit.


[Закрыть] Он показал, что некоторые идеи Гераклита выражены в форме геометрической пропорции, например: бог/человек = человек/ребенок (22 В 79), бог/человек = человек/обезьяна (22 В 82-83). Френкель резонно предположил, что Гераклит не сам нашел геометрическую пропорцию, а воспринял ее у ранних пифагорейцев.

Арифметическую теорию пропорций, приложимую к соизмеримым величинам, Пифагор, скорее всего, использовал и при доказательстве своей знаменитой теоремы.[581]581
  Heath. Mathematics I, 147 f; Euclid I, 353 f; Neuensch wander. Erste vier Bücher, 369; van der Waerden, 359. 87Reidemeister. Op.cit., 31 f; Knorr, 138; van der Waerden, 396 f.


[Закрыть] Ход ее, согласно реконструкции Хита, таков. Исходя из того, что в подобных треугольниках ABC, ABD и A CD стороны пропорциональны, мы получаем следующие равенства:

Складывая их, мы получаем: АВ²+АС² = BC(BD + DC), или АВ²+ AC² = DC².

Следующий раздел пифагоровой арифметики – это учение о четном и нечетном, ставшее первым образцом теории чисел. Как считал Беккер, а вслед за ним большинство историков греческой математики,87 оно сохранилось у Евклида почти в неизменном виде (IX,21-34). Приведем для примера первые пять положений этого учения (в сокращенной форме):

21. Сумма четных чисел будет четной;

22. Сумма четного количества нечетных чисел будет четной;

23. Сумма нечетного количества нечетных чисел будет нечетной;

24. Четное число минус четное число есть четное;

25. Четное число минус нечетное число есть нечетное. Доказательства этих предложений опираются на определения

VII книги и строго логически следуют друг за другом. Хотя Евклид иногда представлял числа в виде отрезков (впрочем, это было скорее исключением, чем правилом), а пифагорейцы пользовались счетными камешками (ψήφοι), суть дела от этого не меняется. Беккер, а еще более подробно Кнорр демонстрируют, что сохраненные Евклидом доказательства (а не только сами предложения) легко иллюстрируются при помощи псефов.[582]582
  Becker. Lehre, 538; Knorr, 141 f.


[Закрыть]

Абсолютно неправдоподобно, чтобы Пифагор выдвигал данные предложения без доказательств, которые были добавлены кем-то позднее: сами предложения в большинстве своем очевидны любому, кто знаком с элементарными вычислениями. Аристоксен или Аристотель, говоря о пифагоровой арифметике, едва ли ставили бы ему в заслугу «открытие» или «иллюстрацию» того факта, что сумма четных чисел всегда будет четной, если бы это и сходные с ним предложения не были доказаны. Точно так же, как Фалес в геометрии, Пифагор начал в арифметике с доказательства простейших фактов, которые раньше не считали нужным доказывать. Насколько быстро он продвинулся в разработке дедуктивного метода, показывает следующий факт: четыре предложения этого учения (IX,30-31, 33-34) доказываются от противного. Первым на это обратил внимание Сабо, но он отказался признать, что эти доказательства столь же древние, как и предложения.[583]583
  Szabo. Beginnings, 247.


[Закрыть] Единственный, в сущности, аргумент, который он приводит, – отсутствие исторических свидетельств – критики не выдерживает. Источников по раннегреческой математике так мало, что ожидать свидетельств для каждого доказательства было бы совершенно утопичным.