Текст книги "Наука, философия и религия в раннем пифагореизме"

Автор книги: Леонид Жмудь

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 24 страниц)

Глава 2
Математика

2.1 Греческая математика и Восток

Пифагорейская математика, при всей малочисленности дошедшего материала, занимает столь значительное место в истории античной науки, что вот уже два века служит предметом непрекращающихся споров. Помимо уже упоминавшихся особенностей пифагорейского вопроса, это объясняется еще и тем, что здесь оказываются затронутыми две более общие проблемы: во-первых, возникновение в Греции теоретической математики, во-вторых, влияние на нее восточной традиции. Обе эти проблемы выходят далеко за рамки данной работы, и мы не ставим перед собой задачу их сколько-нибудь подробного анализа.[498]498
  Частично они освещены в статье: Жмудь Л. Я. Раннегреческая математика и Восток, ИМИ 19 (1986) 7-19.


[Закрыть] Но случилось так, что фигура Пифагора, которому античная традиция приписывает, с одной стороны, решающий вклад в становление теоретической математики, а с другой – заимствование математических знаний у египтян, вавилонян и даже финикийцев, оказывается в центре пересечения этих двух проблем. Без учета как современной исследовательской ситуации, так и того исторического фона, на котором развивалась пифагорейская математика, мы едва ли сможем серьезно продвинуться вперед в ее понимании, хотя в ходе этого рассмотрения речь зачастую пойдет о вещах, с ней прямо не связанных.

* * *

Традиционно историю математики начинали с VI-V вв., т. е. с возникновения в Греции нового типа математических изысканий, составивших в дальнейшем сущность математики как теоретической науки. Исследования последних ста лет пролили свет на долгую предысторию математики, представленную культурами Древнего Востока, прежде всего – Шумера, Египта и Вавилона, затем – Индии и Китая. В этих культурах было сделано множество важных открытий, позволявших решать весьма сложные задачи в области строительства, землемерия, составления календаря, распределения и учета рабочей силы и продуктов и т.п. Но сопоставление с математикой Древней Греции отчетливо показывает сугубо эмпирический и вычислительный характер восточной математики. Наиболее развитая ее ветвь, вавилонская, выросшая, как и все прочие, из практической сферы, в ходе своего развития дошла до решения задач, далеко выходящих за пределы жизненных потребностей. В писцовых школах Вавилона решались квадратные уравнения, которые, хотя и были сформулированы в численном виде и носили характер хозяйственных задач, для практических нужд были явно бесполезны. И все же вавилонская математика (равно как и астрономия) оставалась вычислительной, а не теоретической: «В подавляющем большинстве случаев конечная цель исследования заключалась в составлении школьной задачи и указании способов ее решения».[499]499
  Вайман А. А. Шумеро-вавилонская математика. Москва 1961, 211. К подобному же выводу приходит автор проницательного анализа восточной математики Хойруп: то, что мы находим в Вавилоне, это не pure mathematics, a pure computation (H0yrup J. Mathematics and Early State Formation. Roskilde University Centre 1991. Preprint № 2, 44 ff).


[Закрыть]

Коренное отличие греческой математики от самых сложных восточных вычислений состоит в том, что в ней впервые появляются постановка проблем в общем виде и дедуктивное доказательство – качества, позволяющие отделить математическую науку от занятий числами вообще, начинающихся с первых систем устного счета, т. е. действительно с доистории. Без учета этого отличия, на которое неоднократно указывали ведущие специалисты,[500]500
  Becker O. Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung. München 1954, 22; Neugebauer. ES, 49; van der Waerden. Science, 35; Fritz K. von. Grundprobleme der Geschichte der antiken Wissenschaft. Berlin/New York 1971, 335 f.


[Закрыть] историю математики действительно пришлось бы начинать с истории устного счета, ибо критерий, отделяющий науку от донауки, был бы утрачен. Хотя этот критерий, как и многие другие, в какой-то степени условен, он представляется нам важным и плодотворным. Обращаясь к проблеме контактов с Востоком, следует помнить о том, что в греческой математике возник комплекс новых качеств, которых на Востоке не было. В сущности, называя греческую геометрию и восточные вычисления одним и тем же словом «математика», мы имеем в виду разные вещи.

История этой проблемы показывает, что Восток нередко рассматривался едва ли не как родина греческой математики. Объясняется это, вероятно, не только свидетельствами античных авторов о восточных заимствованиях в математике, но и отсутствием письменных источников, касающихся греческой практической и вычислительной математики VIII—VI вв., т. е. того фона, на котором возникли первые теоретические изыскания Фалеса и Пифагора. До нас не дошли ни хозяйственные тексты этой эпохи, ни учебные задачи, которые в таком изобилии находят на египетских папирусах и вавилонских табличках, и об уровне практической математики греков можно судить лишь косвенно, по остаткам архитектурных памятников и инженерных сооружений.[501]501
  См., например: Hahn R. What Did Thaies Want To Be When He Grewup? B. P. Hendley, ed. Plato, Time, and Education: Essays in Honor of R. S. Brumbaugh. Albany 1987, 116 ff.


[Закрыть] Открытия Фалеса и Пифагора казались многим возникшими едва ли не на пустом месте – отсюда естественное стремление видеть в них результаты заимствования. Неясность причин зарождения теоретической математики и удивительная быстрота, с которой она сформировалась, заставляли обращаться к древним культурам Востока, способным, как казалось, объяснить этот удивительный феномен.

Сами греки, как уже отмечалось, были склонны приписывать восточное происхождение многим областям своей культуры, в том числе и математике.[502]502
  См. выше, 1,3.1.


[Закрыть] Авторы V-IV вв. единодушно называют родиной геометрии Египет. Так, Геродот говорит, что геометрию создали египтяне, движимые практическими нуждами землемерия и администрирования (11,109). Евдем Родосский, автор первой истории геометрии, также считал, что именно практические потребности привели к возникновению геометрии у египтян и арифметики у финикийцев (fr. 133). По его словам, Фалес, побывав в Египте, первым принес геометрию в Грецию, а Пифагор впервые превратил ее в теоретическую науку. Аристотель, напротив, полагал, что и теоретическая математика возникла в Египте, среди жрецов, имевших достаточно времени для занятий проблемами, не связанными с жизненными нуждами (Met. 981 b 23). Особый интерес представляет фрагмент Демокрита (fr. 14 Luria), в котором он утверждает, что никто не превзошел его в построении линий с доказательствами, даже египетские гарпедонапты («натягиватели веревок» – т. е. землемеры). По-видимому, престиж египетской геометрии был действительно высок, если талантливый математик Демокрит ставил себе в заслугу победу в соревновании с египетскими землемерами.

Вполне естественно, что и в XIX в. родиной почти всех математических достижений греков до Евклида продолжали считать Египет – страну, чье культурное наследие привлекало к себе все возрастающий интерес.[503]503
  Справедливости ради стоит упомянуть имя французского историка математики XVIII в. Монтюкла, который очень скептически относился к идее о восточных корнях греческой математики, справедливо предполагая, что геометрия на Востоке ограничивалась лишь несколькими весьма элементарными понятиями: Montucla J. F. Histoire des mathematiques. T. 1. Paris 1798, 49, 101 f.


[Закрыть] Немецкая школа истории математики следовала в основном этим положениям,[504]504
  Bretschneider. Op.cit., 15 f, 43 f; Hankel H. Zur Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter. Leipzig 1874, 91 f.


[Закрыть] которые окончательно были сформулированы в капитальном труде М. Кантора: египтяне знали почти все теоремы, традиционно приписываемые Фалесу и Пифагору; различие между египетской и греческой математикой состоит лишь в методе – индуктивном у первой и дедуктивном у второй.[505]505
  Cantor Μ. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. 4. Aufl. Bd I. Leipzig 1880, 109, 112 f, 140.


[Закрыть] Издание в 70-х гг. XIX в. математического папируса Ринда, показавшего очень примитивный характер египетской геометрии, и критика чрезмерных увлечений Востоком, прозвучавшая со стороны такого авторитета, как Целлер,[506]506
  Zeller, 21 ff.


[Закрыть] привели к гораздо более сдержанной оценке успехов египтян и степени их влияния на греков. Как удачно сформулировал Лурье: «Все исследователи сходились в главном: 1) что самый факт влияний на раннюю греческую геометрию надо признать несомненным; 2) что существенного значения это не имело, так как если греки и позаимствовали некоторые числовые данные у египтян, то логически отчетливая последовательная система доказательств – самостоятельная заслуга греческого гения».[507]507
  Лурье С. Я. К вопросу о египетских влияниях на греческую геометрию, АИНТ1 (1933) 45.


[Закрыть]

Новое звучание эта проблема приобретает в 30-х гг. нашего века в связи с дешифровкой математических текстов вавилонян. Уровень вавилонской математики оказался гораздо более высоким, чем египетской, а ряд ее проблем носил сходство с математикой греков. Это склонило многих ученых к убеждению, что истоки греческой науки следует искать именно здесь.[508]508
  Neugebauer. ES, 145 ff; van der Waerden. Science, 87 ff, 94 ff, 118 ff; Pythagoreer, 17 f. Разница в позициях Нейгебауера и ван дер Вардена состоит в том, что первый полностью отрицает традицию о Фалесе и Пифагоре, а второй видит в них посредников между восточной и греческой математикой.


[Закрыть] В особенности это касается так называемой «геометрической алгебры», изложенной во II книге Евклида, в которой видят геометрическую переформулировку вавилонских методов решения квадратных уравнений в численном виде.

Возвращаясь к античным свидетельствам, отметим, что один из главных уроков, которые преподали нам египтология и ассириология, состоит в следующем: утверждениям греков о восточной математике и астрономии можно доверять лишь в том случае, если они подтверждаются данными самих восточных текстов. Из последних же вытекает, что тезис о прямой преемственности греческой математики от восточной должен быть окончательно оставлен. Спорить можно лишь о степени использования некоторых данных, тем или иным путем пришедших с Востока, и об их роли в становлении раннегреческой науки. Отдельные данные в ней действительно использовались, но масштабы этих заимствований никак не следует преувеличивать, а их влияние на развитие собственно математических изысканий вообще едва различимо.

Геродот и Евдем, указывая на практический характер египетской геометрии, безусловно были более близки к истине, чем Аристотель. Вопреки его мнению, геометрия формировалась здесь отнюдь не в среде жрецов и никогда не была их прерогативой.[509]509
  Heath Т. L. Mathematics in Aristotle. Oxford 1949, 195 f; Griffiths J. G. Herodotus and Aristotle on Egyptian Geometry, CR 2 (1952) 10-11.


[Закрыть] К тому же Аристотель не прав и по существу: после более чем столетнего изучения египетской математики нет оснований предполагать наличие в ней чего-либо похожего на теорию или доказательство. Греки не могли заимствовать в Египте научные идеи, которых там не было, и их высокая оценка египетской геометрии говорит лишь о том, что они были знакомы с ней лишь понаслышке.[510]510
  Viola Т. Le opinioni che gli antichi Greci avevano sulla matematica delle culture precedenti, C. Mangione, ed. Scienza e filosofia: Saggi in onore L. Geymonat. Müano 1985, 809-820.


[Закрыть] Почти все достоверные сведения о египетских заимствованиях относятся к практической математике, причем к арифметике, а не к геометрии.[511]511
  B схолиях к платоновскому «Хармиду» (Charm. 163е), восходящих, вероятно, к Гемину, упоминается о египетских способах умножения и деления, а также операциях с дробями (см.: Heath. Mathematics I, 14, 41 f, 52 f). Таннери, привлекший этот текст, отмечал, что греческие методы более совершенны (Tanery. Geometrie, 48 f). Поскольку наши сведения основаны преимущественно на папирусах эллинистического и римского времени или на трудах Герона и Диофанта, остается под вопросом, когда именно египетские методы проникли в Грецию. См.: H0yrup J. Sub-Scientific Mathematics: Undercurrents and Missing Links in the Mathematical Technology of the Hellenistic and Roman Worlds. Roskilde University Centre 1990. Preprint № 3. Самый ранний известный мне случай представления дробей «по-египетски» отмечен на греческом папирусе из Египта, датируемом началом III в.: Fowler D. Η., Turner Ε. G., Hibeh Papyrus i 27: An Early Example of Greek Arithmetical Notations, EM 10 (1983) 352.


[Закрыть] Очевидно, что эти арифметические приемы, как правило, весьма примитивные, заимствовали и применяли отнюдь не ученые люди, а купцы или мореплаватели, которых связывали с Востоком куда более тесные связи, чем греческих математиков. Хотя и примеров подобных заимствований весьма мало, эта сторона культурных контактов представляется более плодотворной почвой для их поиска, чем путешествия на Восток ученых. Лаже в тех случаях, когда о них достоверно известно, возможность прямых «научных контактов» кажется весьма маловероятой.

Языковой барьер был здесь едва ли не самым главным препятствием: чтобы разобраться в вавилонской или египетской математике, нужно было изучать чужой язык и сложнейшую письменность. На Востоке писцов, занимавшихся вычислениями, обучали долгие годы – мог ли грек освоить их за время краткой поездки?

Об упорном нежелании греков учить чужие языки и вникать в суть чужих теорий хорошо известно.[512]512
  Momigliano A. Alien Wisdom: The Limits of Hellenisation. Cambridge 1972, 7 f; Werner J. Zur Fremdsprachenproblematik in der griechisch-römischen Antike, С. W. Müller e.a., Hrsg. Zum Umgang mit fremden Sprachen in der griechisch-römischen Antike. Stuttgart 1992, 1-20. Вернер приводит слова Галена, отмечавшего, что в старину бывали такие удивительные люди, которые владели двумя языками; при этом имелся в виду Анахарсис! Первый известный нам перевод на греческий язык, перипл карфагенянина Ганнона, был сделан только в IV в., но переводил ли его грек, неизвестно.


[Закрыть] Оно ярко проявилось и в эпоху эллинизма, когда контакты греков с Востоком стали гораздо интенсивней, чем раньше: всякому, кто хотел быть доступным, греческой публике, приходилось писать на ее родном язке. Чужой язык мог выучить человек, которому он был необходим для профессиональной деятельности: врач или наемник, служивший при дворе восточного царя, купец, часто бывавший в восточных странах, или греческий колонист, живший в Египте.[513]513
  Впрочем, переводчиками при греческих солдатах в Египте были местные жители (Hdt. 11,154). Ксенофонт упоминает в «Анабасисе» (IV,8.4) о негреческих рабах-переводчиках. См.: Werner. Op.cit., 12 f.


[Закрыть] Но даже в более позднее время нам не известен ни один греческий авор, который бы знал египетский язык и письменность, – даже среди тех, кто действительно побывал в этой стране и оставил о ней сочинения.[514]514
  Iversen. Op.cit, 41 f.


[Закрыть] При всем желании нельзя обнаружить ничего египетского в тринадцати книгах Евклида, а ведь он прожил в Александрии большую часть жизни. То же самое справедливо и в отношении других математиков III в. – Архимеда, Эратосфена, Аполлония из Перги, каждый из которых в принципе мог ознакомиться с математикой Востока.

Нет никаких сведений и о том, чтобы кто-нибудь из греческих ученых знал аккадский язык. Р. Шмит, проанализировав все упоминания об ' Ασσύρια / Περσικά / Χαλδαικά γράμματα, приходит к выводу, что, хотя греки и знали о существовании клинописи, никакого различия между ее видами (вавилонским, древнеперсидским, арамейским) они не делали, воспринимая клинопись просто как некое «восточное письмо».[515]515
  Schmitt R. Assuria grammata und ähnliche: Was wüsten die Griechen von Keilschrift und Keilinschriften?, Zum Umgang mit fremden Sprachen, 21-35. Ни об одном греке, знавшем вавилонскую клинопись, Шмит не упоминает.


[Закрыть] Отчетливые следы заимствования вавилонских астрономических данных и вычислительных приемов видны лишь с середины II в.,[516]516
  Neugebauer. Η AM А II, 584 ff. См. ниже, IV.4.1


[Закрыть] уже после того, как появились труды некоторых вавилонских астрономов, написанные по-гречески. Фигура же греческого ученого, изучавшего в VI-V вв. египетскую иеро-глифику или аккадскую клинопись в надежде проникнуть в тайны чужих знаний, остается лишь плодом научного воображения и не имеет отношения к реальным контактам между Востоком и Западом в ту эпоху.

Факт путешествия в Египет Фалеса оспорить трудно,[517]517
  Диодор (1.38) называет его автором одной из теорий, объясняющих разливы Нила, которую Геродот (11,20) приписывает своим предшественникам. Перипатетик Иероним Родосский (III в.) утверждает, что Фалес измерил высоту пирамиды по длине ее тени (fr. 40).


[Закрыть] но из того, что известно о математике Фалеса, никак не вытекает вывод о его заимствованиях в этой области. О двух теоремах, которыми занимался Фалес, сообщает Евдем (fr. 134, 135), две другие упоминает Прокл (In Eucl., p. 157, 250), черпавший свои сведения из того же Евдема, хотя, вероятно, и опосредованным способом.[518]518
  Becker. Grundlagen., 24 ff; Heath. Mathematics I, 128 ff; Euclid I, 36 f.


[Закрыть] Еще одну называет писательница I в. Памфила (D.L. 1,24). Сведения эти неоднократно отвергались как недостоверные,[519]519
  См., например: Dicks D. R. Thaies, CQ 53 (1959) 294-309.


[Закрыть] но этому противоречит детальность и, точность информации Евдема, который явно опирался на надежную традицию.[520]520
  Burkert, 416.


[Закрыть] Можно полагать, что он узнал о теоремах Фалеса из каких-то ранних доксографических сочинений, скорее всего, из книги софиста Гиппия Элидского, на которого он сам ссылался (fr. 133).[521]521
  Snell B. Die Nachrichten über Lehre des Thaies und die Anfänge der griechischen Philosophie– und Literaturgeschichte, Philologus 96 (1944) 170-182; См. также: Classen С. J. Bemerkungen zu zwei griechischen 'Philosophiehistorikern' Philologus 109 (1965) 175-178; Patzer A. Der Sophist Hippias als Philosophiehistoriker. München 1986, 108 f.


[Закрыть] О наличии этой традиции до Евдема говорят и стихи Аристофана, который не стал бы называть Фалеса великим геометром (Nub. 180; Αν. 1009), если бы среди афинян V в. эта репутация не была прочно утвердившейся.

Согласно Евдему, Фалес доказывал, что диаметр делит круг пополам, а угол, опирающийся на диаметр, – прямой; утверждал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны; открыл равенство накрест лежащих углов и, наконец, доказал теорему о равенстве треугольников по двум углам и стороне. Что же из этого можно соотнести с египетской математикой? Ровным счетом ничего. Нужно ли было Фалесу ездить в Египет, чтобы убедиться, что диаметр делит круг пополам? Этот элементарный факт эмпирически доступен любому ребенку, который делит на две части лепешку или круглый кусок сыра. В равенстве накрест лежащих углов легко удостовериться способом наложения, так же как и в равенстве углов в равнобедренном треугольнике. Как отмечал фон Фриц, теоремы, приписываемые Фалесу, «либо прямо связаны с проблемой симметрии, либо такого рода, что первый шаг доказательства явно основан на соображении симметрии, а второй, который приводит доказательство к выводу, является простым сложением или вычитанием».[522]522
  Fritz К. von. The Discovery of Incommensurability by Hippasos of Metapontum, Annals of Mathematics 46 (1945) 259.


[Закрыть]

Итак, мы видим, что греки отнюдь не утруждали себя поисками материала для доказательств, более того – они начали с доказательства таких вещей, которые до них никому и в голову не приходило доказывать.[523]523
  Интересно, что еще в начале XX в. Цейтен писал: «Трудно найти какой-нибудь смысл в утверждении Евдема, будто Фалес доказал, что диаметр делит круг на две равные части: в те времена вовсе не считали необходимым доказывать столь очевидную вещь» (Zeuthen Η. G. Die Mathematik im Altertum und im Mittelalter. Leipzig 1912, 35).


[Закрыть] Ведь египетские геометры тоже знали на практике тот факт, что диаметр делит круг пополам, но они не испытывали ни малейшей потребности в его строгом доказательстве. «Действительно оригинальной и революционизирующей идеей греческой геометрии было стремление найти доказательство 'очевидных' математических фактов».[524]524
  Stenius E. Foundations of Mathematics: Ancient Greek and Modern, Dialectica 32 (1978) 258.


[Закрыть] В этом, собственно, и заключался переход от практической и вычислительной математики к теоретической науке.

Четыре теоремы Фалеса, связанные с углами и треугольниками, никак не могут соотноситься с египетской математикой еще и потому, что египтяне никогда не занимались сравнением углов по величине и подобием треугольников. Ни в египетской, ни в вавилонской математике вообще не было понятия угла как измеряемой величины.[525]525
  Vogel К. Vorgriechische Mathematik. Hannover 1958-1959. Т. I, 72; Т. II 23 η. 2, 39 η. 4. Известное деление круга на 360 градусов появилось в вавилонской астрономии не ранее III в. (Neugebauer. ES, 25). См. также: Szabo Α., Maula Ε. ΕΓΚΛΙΜΑ. Untersuchungen zur Frühgeschichte der antiken griechischen Astronomie, Geographie und Sehnentafeln. Athen 1982, 189 ff.


[Закрыть] По определению Гэндза, геометрия египтян была «линейной», в отличие от «угловой» геометрии греков, в которой углы впервые стали объектом измерения.[526]526
  Gands S. The Origin of Angle-Geometry, Isis 12 (1929) 452-482.


[Закрыть] Гэндз полагал, что заслуга введения «угловой» геометрии принадлежит Фалесу и его школе и справедливо видел в этом начало математической теории.

Помимо крайней ненадежности сведений о путешествии Пифагора в Египет характер его математических занятий также не дает оснований видеть в них результат заимствования. Пожалуй, единственное, что могло хотя бы в какой-то степени соотноситься с египетской математикой, – это теорема Пифагора. Во всяком случае, неоднократно высказывалось предположение, что египтянам была известна если не сама теорема, то, по крайней мере, тот факт, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 – прямоугольный. Свойства этого треугольника были известны не только в Вавилоне, но и в Индии, и в Китае, т. е. везде, где существовала сколько-нибудь развитая математическая культура. Но как раз в египетской математике ничто не указывает на знакомство с этим или каким-либо иным частным случаем теоремы Пифагора.[527]527
  Heath. Euclid I, 352; Gillings R. J. Mathematics in the Time of Pharaohs. Cambridge 1972, 238, 242.


[Закрыть]

По поводу сообщения Демокрита можно предположить, что во время поездки в Египет он в самом деле пытался доказывать гарпе-донаптам какие-то теоремы, действуя через местных переводчиков, знавших греческий. Означает ли это, что и они, в свою очередь, доказывали ему теоремы? Сам термин гарпедонапты (землемеры) указывает на сугубо практический характер занятий, для которых доказательство теорем было вещью явно бесполезной.[528]528
  Gands S. Die Harpedonapten oder Sielspanner und Sielknüpfer, Q&S 1 (1930) 255-277; Vogel. Op.cit. I, 59 n. 4.


[Закрыть] Едва ли можно сомневаться в том, что эта попытка установления прямых «научных контактов» окончилась безрезультатно для той и другой стороны.

Если в подтверждение тезиса о египетском влиянии можно привести как данные античной традиции, так и факты реальных контактов, пусть даже и крайне незначительные, то в случае с Вавилоном мы не располагаем даже этим. В греческой литературе VI-IV вв. нет ни одного упоминания о вавилонской математике, трудно даже сказать, знали ли о ней вообще. Из области элементарной математики и техники вычислений того времени невозможно привести ни одного надежного факта вавилонского влияния.[529]529
  О некоторых следах влияния на астрономию см. ниже IV,4.1.


[Закрыть] Наконец, никто из авторов этой эпохи не упоминает о поездке Фалеса или Пифагора в Вавилон.[530]530
  Первое упоминание о заимствовании Пифагора из математики Вавилона мы находим у Ямвлиха (In Nicom. 118.23 f), который писал, что философ вывез оттуда «музыкальную пропорцию», т. е. 12:9 = 8:6. Между тем у вавилонян не было даже понятия пропорции: Becker О. Frühgriechische Mathematik und Musiklehre, AfM 14 (1957) 156-164.


[Закрыть] Чтобы в такой ситуации говорить о «восточной первооснове» греческой математики, нужно располагать вескими доводами, в то время как сам Нейгебауер признает, что его точка зрения – лишь гипотеза, не подтвержденная никакими документальными свидетельствами.[531]531
  Neugebauer. ES, 147.


[Закрыть] Справедливость этой оценки хорошо видна на примере «геометрической алгебры».

Исследуя II книгу Евклида, трактующую так называемое приложение площадей,[532]532
  Евдем приписывал приложение площадей «пифагорейской музе» (fr. 137), имея в виду пифагорейских математиков первой половины V в.


[Закрыть] математики еще в XVIII в. обнаружили, что ее предложения могут быть переформулированы алгебраически, в виде тождеств и квадратных уравнений. Например, предложение 11,2 можно рассматривать как тождество (а + b)с = ас + bc, а приложение площади с недостатком означает построение на данном отрезке а такого прямоугольника ах, что при отнятии от него квадрата х² получается данный квадрат b² (в алгебраической интерпретации ах – x² = b²). Со времени Цейтена теоремы II книги и сходные с ними предложения VI книги принято называть «геометрической алгеброй» и видеть в ней геометрическую переформулировку алгебраических проблем.[533]533
  Zeuthen Η. G. Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum. Kopenhagen 1886, 6 ff.


[Закрыть]

Содержание теории приложения площадей действительно совпадает с основными типами квадратных уравнений, которые вавилоняне умели решать еще во II тыс. до н.э. Однако математическая близость обоих методов может быть объяснена как генетическим родством, так и типологическим сходством. Какой путь предпочтительнее? В первом случае необходимо доказать, что: 1) теоремы II книги были переведены с алгебраического языка на геометрический, а не что их можно переформулировать; 2) Пифагор или какой-то другой математик VI-V вв. действительно побывал в Вавилоне и обучился местной математике; 3) в то время реально имелась возможность перевода вавилонских методов на язык геометрии.

Доказательство каждого из этих пунктов наталкивается на очень серьезные трудности. Все больше историков математики склоняется к тому, что приложение площадей вовсе не было переформулировкой алгебраических методов, а возникло на греческой почве в ходе решения чисто геометрических проблем.[534]534
  Szabo A. The Beginnings of Greek Mathematics. Dordrecht 1968, 332 ff; Un-guru S. On the Need to Rewrite the History of Greek Mathematics, AHES 15 (1975) 67-114; idem. History of Ancient Mathematics, AHES 70 (1979) 555-565; Mueller J. Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclids Elements. Cambridge 1981, 170 f, 179; Unguru S., Rowe D. E. Does the Quadratic Equation Have Greek Roots?, Libertas Mathematica 1 (1981) 1-49.


[Закрыть] Вавилонские решения сложны, требуют специального интереса и специальной же подготовки и потому едва ли могли проникнуть в Грецию, передаваясь из рук в руки (как это было, вероятно, с данными, позволившими Фалесу «предсказать» дату солнечного затмения). О греческом математике, устроившемся в обучение к вавилонскому «коллеге», говорить всерьез не приходится. Помимо всего прочего, у нас нет данных о том, чтобы подобный тип математики практиковался в Вавилоне в VI в.: все наличные тексты относятся к старовавилонскому периоду.[535]535
  Vogel. Op.cit. II, 12 n. 3; Gericke H. Mathematik in Antike und Orient. Berlin 1984, 43; Hoyrup. Mathematics, 52 ff.


[Закрыть] Наконец, можно ли предположить, что за две с лишним тысячи лет до того, как Декарт создал аналитическую геометрию, нашелся человек, сумевший перевести вавилонские задачи на язык геометрических теорем?[536]536
  Зайцев. Культурный переворот, 177. Отметим, что недавно Хойруп предложил новую, более «геометрическую» трактовку вавилонских задач (H0yrup J. Algebra and Naive Geometry. An Investigation of Some Basic Aspects of Old Babilonian Mathematical Thought, Altorient. Forschungen 17 [1990] 27-69, 262-354). Если это и приближает нас к лучшему пониманию вавилонских методов, то никак не делает их более доступными для восприятия греков.


[Закрыть]

В самой гипотезе о заимствовании численных решений квадратных уравнений едва ли есть какая-то необходимость: в древнекитайской математике, например, имеются задачи, очень похожие на теоремы II книги Евклида, но возникли они, по всей видимости, без всякого внешнего влияния.[537]537
  Березкина Э. И. Математика Древнего Китая. Москва 1980, 11, 255.


[Закрыть] То же самое справедливо и в отношении метода расчета «пифагоровых троек» – численного значения сторон в прямоугольном треугольнике, в котором также видят результат вавилонского влияния. Между тем найденный Пифагором метод органически связан с его исследованиями четных и нечетных чисел: это видно хотя бы потому, что он справедлив только для нечетных чисел.[538]538
  См. ниже, IV,2.3.


[Закрыть] Нам известна вавилонская таблица с целым рядом таких троек,[539]539
  Neugebauer. ES, 36 ff.


[Закрыть] но знали ли вавилоняне общий метод для их расчета и как заполнить лакуну между VI в. и эпохой Хаммурапи; к которой относятся вавилонские тексты, остается неясным.

Вызывает возражение и сама постановка вопроса в таком виде. Резонно ли за сходством отдельных математических положений видеть непременно чье-то заимствование, а не результат независимого развития? Основы математики носят универсальный характер и коренятся в способности человеческого разума к логическому постижению объективного строения мира. Если математики разных культур, отталкиваясь от этих универсальных принципов, приходят к сходным результатам, само по себе это не может быть аргументом в пользу заимствования.[540]540
  Противоположная точка зрения в ее наиболее крайнем варианте выражена в недавней книге ван дер Вардена, нашедшего общую основу всех пяти математик древности в культуре мегалитических памятников Ш-начала II тыс. до н.э. на территории Британии (Waerden В. L. van der. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Berlin/New York 1983).


[Закрыть] Обнаружив в разных регионах два сосуда одинаковой формы, расцветки и узора, естественно предположить некую связь между ними, ибо этого сходства могло и не быть и оно требует какого-то объяснения. Если же в Египте и Китае мы находим одинаковую формулу объема усеченной пирамиды с квадратным основанием, то предполагать здесь влияние или общий источник вовсе не обязательно,[541]541
  Ср.: Waerden B. L. van der. On Pre-Babylonian Mathematics, AHES 23 (1980) 19 ff.


[Закрыть] ибо существует только одна верная формула данного объема, и тот, кто захочет ее найти, в принципе может это сделать. На мысль о внешних влияниях нас могут навести либо факты, говорящие о том, что в данной традиции эта формула не могла быть выведена, либо такое совпадение частных деталей, которое трудно объяснить независимым развитием.

Признавая восточные вычисления первым этапом развития математики, а греческую дедуктивную геометрию – вторым, мы видим между ними логическую связь, но следует ли отсюда историческая преемственность? Ведь при этом из поля зрения выпадает греческая практическая математика, которая, хотя и не была столь развита, как вавилонская, несомненно включала в себя многие факты, служившие материалом для доказательств первых математиков.[542]542
  См.: Hahn. Op.cit., 116 ff.


[Закрыть] Характерно, что вся терминология греческой математики – местного происхождения (за исключением слова «пирамида»), причем многие термины пришли из практической сферы.[543]543
  Mugler Ch. Dictionnaire historique de la terminologie geometrique des grecs. T. I-II. Paris 1958-1959.


[Закрыть] Это еще раз ставит под сомнение реальность заимствований – они, как правило, оставляют свой след и в языке.

Теория отнюдь не обязательно появляется на определенном этапе развития эмпирической математики. Отсутствие теории во всех математиках древности, кроме греческой, показывает, что причины, приведшие к зарождению и развитию практической или вычислительной математики, не могут вызвать стремление к дедуктивному доказательству. Если греки начали с доказательства вещей, бесполезных для практической жизни и слишком простых для демонстрации технической виртуозности,[544]544
  Этот мотив Хойруп считает одним из важнейших стимулов в развитии вавилонскими писцами все более сложных типов вычислений (Hoyrup. Mathematics, 48).


[Закрыть] значит импульсы, приведшие к этому, шли из иных сфер общественной жизни.