Текст книги "Стрелы Времени (ЛП)"

Автор книги: Грег Иган

сообщить о нарушении

Текущая страница: 28 (всего у книги 28 страниц)

– Вообще-то, двигаясь по зигзагообразной траектории, внутри коридора можно провести не один эон, но мы остановились на более удачном решении. Если отбросить тень на планету в ортогональном скоплении, то изучив ее поверхность, можно предсказать будущее распределение пыли в этой области пространства. Это самое полезное свойство планеты с обратным ходом времени – она дает безошибочный прогноз.

Валерия не могла обвинить женщину в недостатке воображения. Скорее всего она, как минимум, посещала одну из лекций, на которых Ялда и Евсебио пытались привлечь добровольцев для полета на Бесподобной. Возможно, она даже откликнулась на их призыв, но в последний момент поддалась своему страху.

– Мы на месте, – объявила Клара.

Валерия ожидала увидеть что-то вроде конического сооружения, дополненного парашютами и сконструированного по аналогии с одной из испытательных ракет, которые возвращались, совершив короткий перелет, но Клара, судя по всему, все же не имела отношения к реальному проекту. Объект, расположившийся на песке, в нескольких проминках от дороги, напоминал небольшую кабину на ножках-опорах; верхние части стен были наклонены наружу, поэтому их иллюминаторы смотрели на землю под углом. Потребовались бы немалые вложения просто для того, чтобы доставить сюда эту диковинную конструкцию, но какую выгоду эта женщина надеялась извлечь из своей авантюры?

Вчетвером они проделали утомительный путь по пустыне. Сильвио, казалось, испытывал по отношению к этому фарсу еще большее презрение, чем сама Агата, но ничего не сказал.

– Где двигатели? – спросила Валерия.

– Внизу, разумеется. – Клара указала на нижнюю поверхность сооружения, примерно в поступи над землей. Пригнувшись, Валерия заглянула в пространство между опорами.

– Здесь ничего нет, кроме какого-то… черного зеркалита, – сообщила она. Разглядеть что-либо при свете звезд было непросто, но поверхность показалась ей идеально гладкой и целостной. – Где сопло для выхлопных газов?

– Выхлопных газов нет. Только свет.

– Свет? Ваша ракета летает при помощи света, и никто не увидел, как вы садились?

– Это ультрафиолетовый свет, – продолжала стоять на своем Клара. – Чем быстрее свет, тем меньше тепла образуется при работе двигателя.

Валерия вылезла из-под ракеты и выпрямилась.

– Дайте-ка угадаю: ваш корабль пострадал при посадке, но при должном вложении средств вы сможете привести его в порядок. Ваши инвесторы, конечно, останутся в выигрыше, получив в награду новые изобретения, которые дадут им такое неоспоримое преимущество перед конкурентами–

– Хватит! – в сердцах воскликнул Евсебио. – Неважно, чему ты веришь; эта женщина – мой гость, и я не позволю разговаривать с ней в таком тоне.

– Скептицизм – качество, достойное восхищения, – сказала Клара, – к тому же мы, по-видимому, всех сбили с толку своим ранним прибытием. – Она повернулась к Валерии. – Мой корабль не пострадал. А я обещала вас прокатить.

Валерия изумленно посмотрела на нее.

– Вы хотите…? – Она указала вверх.

– Именно. Евсебио? Составите нам компанию?

– Если вы уверены, что не слишком устали, – сказал он.

– Я не пилот; фотоника – машины – все сделает за нас. Сильвио?

– Спасибо, – отозвался Сильвио, – но мне нужно следить за грузовиком.

Вслед за Кларой Валерия и Евсебио поднялись по небольшой лестнице и вошли в дверь. Валерии скрутило живот; она уже не знала, чему верить, но ей казалось небезопасным позволять этой женщине просто так брать инициативу в свои руки.

Через толстые окна кабины проникало немного звездного света; Валерия смогла различить четыре кушетки и нечто, напоминающее баллон со сжатым воздухом.

– Свет, – сказала Клара, и три панели на потолке немедленно засветились. Протянув руку, Валерия коснулась освещенной поверхности; она не чувствовала жара, а свет был неправдоподобно ровным по сравнению с любой лампой.

– Как…? – обратилась она к Валерии.

– Без знаний об энергетических уровнях твердого тела вы бы все равно не поняли ни слова из моих объяснений. Но не переживайте – думаю, за череду или около того я смогла бы ввести вас в курс дела. – Она указал на кушетки. – Тряски быть не должно, но по протоколу на время взлета нужно пристегиваться.

Валерия легла на одну из кушеток, и Клара помогла ей надеть страховочный ремень, после чего уделила внимание Евсебио.

– Завтра надо бы устроить прием в университете, или палатах Совета, – пробормотал он.

– Я буду рада пообщаться с кем угодно и когда угодно, – заверила его Клара. – С кем угодно, кроме тюремщиков.

Она забралась на свою кушетку.

– Пилот? – На стене появилась диаграмма, которая светилась сама по себе – точно так же, как панели на потолке. Спустя мгновение Валерии показалось, что она узнала в ней топографическую карту окрестностей Зевгмы.

Иллюзионисты умели проделывать самые разные трюки при помощи линз и скрытых ламп. Но сейчас близился момент истины, и если эта женщина в надежде поднять эту кабину в воздух припрятала в полу несколько ручников солярита – прямо над панелью из гладкого черного камня, – то единственное, чего она добьется – это испепелит их вместе с кораблем.

– Пилот: составить план вертикального взлета на высоту в пять стезей, с последующим возвращением в исходную точку; максимальное отклонение от стандартной гравитации – одна шестая.

Топографическая карта наклонилась и превратилась в нечто, напоминающее пейзаж, вышедший из-под руки художника. Затем точка обзора поднялась выше, охватив еще большую площадь пустыни; из земли тем временем выросла красная пунктирная линия, вокруг которой появились странные надписи.

– Я вам верю! – второпях воскликнула Валерия. – Нам необязательно это делать! – По правде говоря, она и сейчас сомневалась в словах Клары, но ей не хотелось доказать свою правоту, рискуя сгореть заживо.

Клара ехидно прожужжала.

– Зачем же портить все веселье? Пилот: приступить к выполнению плана.

Валерия ощутила легкое давление, прижавшее ее к кушетке – как будто ей на живот положили маленького ребенка. Она выглянула в окно; кабина действительно поднималась вверх, но при этом в ее движении было какое-то немыслимое изящество. Такое было под силу лишь вернувшимся домой путешественникам с Бесподобной.

Клара приглушила свет, чтобы им было проще видеть, но как только расположенные у дороги холмы исчезли из вида, доступный им пейзаж ограничился лишь неизменной картиной звездного неба.

– Можете встать, если хотите, – объявила Клара, расстегивая свой ремень и поднимаясь на ноги. Евсебио последовал ее примеру, а затем Валерия присоединилась к ним у одного из иллюминаторов. Темная земля быстро исчезала внизу; она уже видела городские огни. Но их движение было настолько плавным, что больше напоминало подъем при помощи блоков и канатов, нежели полет на ракете.

– Простите, что сомневалась в вас, – сказала Валерия. – Простите за то, что вам пришлось пережить.

– Все в порядке, – заверила ее Клара. Путешественница обняла ее за плечи.

– Ялды и правда не стало, – произнесла Валерия. – Много лет назад. Много поколений назад.

– Да. Но ее плоть подарила жизнь четырем замечательным детям, а по духу она стала матерью всем нам.

Евсебио прислонился к окну, закрыв глаза.

Валерия успокоилась.

– Когда мы встретимся со всеми остальными? Когда они прибудут в Зевгму?

– Другие посланники не заставят себя ждать, – сказала Клара. – Как только я доложу о своем возвращении.

– Но как же Бесподобная –?

– Сама гора приземляться не будет. Мы с радостью примем гостей, но большинство путешественников не станут переселяться на родную планету.

– Они останутся внутри? – изумилась Валерия.

– Некоторые – да, – ответила Клара. – Такая жизнь для них привычна. Часть жителей, вероятно, поселится на Солнце, на противоположной от двигателей стороне, если там окажется безопасно.

Валерия опустила глаза на глубокий провал, поделивший Зевгму надвое; с такой высоты при свете звезд он казался едва заметной царапиной.

– Расскажите мне о своей семье, – взмолилась она, обращаясь к Кларе. – Об отце, о брате и сестре, о вашем ко.

Клара замешкалась.

– Такой семьи у меня нет.

– Они все умерли? – Валерия была в ужасе.

– Нет, нет. Конечно нет.

– Значит… вы соло? – Если у нее нет отца, значит ее мать прошла через спонтанное деление, как и мать самой Валерии, Туллия. – Но при этом у вас нет ни брата, ни сестры?

– У большинства из нас всего один ребенок, – сказала Клара. – Моя мать отторгла меня; я отторгла свою дочь.

Валерия поняла. От осознания последствий у нее закружилась голова, но затем ее наполнило прекрасное ощущение нового мира, раскинувшегося перед ее глазами.

Евсебио отвернулся от окна.

– А у кого же тогда рождаются сыновья?

Клара ненадолго задумалась.

– Я говорила о матери и дочери, но на самом деле это не совсем подходящие слова. Мы всеми силами старались жить, как мужчины и женщины, но это ни к чему ни привело, поэтому в итоге мы объединили оба пола в единое целое. – Моя «мать» воспитывала меня так, как подобает отцу – точно так же, как я сама воспитывала свою «дочь».

– Получается, вы истребили всех мужчин, – оторопело произнес Евсебио.

– Не больше, чем всех женщин, – подчеркнула Клара. – Разве я женщина, если могу дать обет ребенку? Разве я мужчина, если могу изваять этого самого ребенка из собственной плоти?

Евсебио, казалось, стало дурно, но он постарался соблюсти приличия.

– Это ваш выбор, – сказал он. – Если мы собираемся принять вашу помощь, то должны уважать вашу культуру.

– Могу ли я стать отцом для своей дочери – и дожить до того момента, когда у нее появятся собственные дети?

– Да, – ответила Клара.

– А как же мой ко?

– Это вам придется решать между собой. Он сможет стать отцом вашего ребенка, если вы оба этого захотите.

– И я продолжу жить? Он может меня инициировать, и я смогу жить дальше?

– Да.

Валерия опустила глаза на светящуюся точку, которая была ее городом.

– Кто же все это сделал? Мы должны узнать их истории.

– Узнаете, – пообещала Клара. – У нас были неплохие архивариусы, но мне кажется, что перевод потребует совместных усилий.

– Сколько поколений длилось ваше путешествие? – спросил Евсебио.

– Примерно дюжину.

– Дюжину, – повторил он. – Целую эру.

Все это выросло из амбициозных начинаний Евсебио – и притом не за четыре года, а всего за один. Валерия подумала, что он, должно быть, чувствует себя так, будто вышел из дома всего на день, а по возвращении вместо своих детей увидел целую плеяду потомков, у каждого из которых в голове роились свои собственные, диковинные идеи.

– Сколько же людей прожили свою жизнь и умерли внутри горы, так не увидев окончания пути?

Клара сжала ее плечо.

– Много.

Валерия представила их, поколение за поколением, выстроившихся в одну линию, идущую сквозь года. Фермеры и физики, изобретатели и конструкторы инструментов, ремонтники, мельники и уборщики, биологи и астрономы. Скрытые за ее протянутым к небу большим пальцем и навеки отделенные непреодолимой пропастью.

– Хотелось бы мне с ними поговорить, – сказала она. – Выразить свою признательность. Сказать им, что их труды не прошли даром, что в итоге все закончилось хорошо.

– Если вы этого действительно хотите, – сказала Клара, – то наверняка найдете способ осуществить задуманное.

Послесловие

Гравитация и космология в Ортогональной Вселенной по сути подчиняются тому же самому уравнению, которое определяет геометрию нашей собственной Вселенной – речь идет о соотношении между кривизной пространства-времени и плотностью/потоком материи и энергии, которое было предложено Эйнштейном в 1916 году. Решения уравнения Эйнштейна, которые описывают нашу Вселенную, содержат три пространственных и одно временное измерение, однако само по себе это уравнение можно легко адаптировать на случай четырех пространственноподобных измерений.

Ньютоновская гравитация с ее обратноквадратичным законом притяжения, так же, как и в нашей Вселенной, служит неплохой аппроксимацией воздействия массы на кривизну. Единственное отличие в масштабе планетарных систем касается тех же самых нюансов, которые в конечном счете удалось понять, благодаря общей теории относительности, возникшей как часть нашей собственной истории – только здесь соответствующие эффекты меняются на обратные. Прецессия орбит вблизи массивных тел в Ортогональной Вселенной противоположна прецессии орбиты Меркурия, получившей объяснение в теории Эйнштейна. И если Эйнштейн предсказал вдвое больший – по сравнению с ньютоновской теорией – угол отклонения световых лучей под действием Солнца, то в релятивистской теории Лилы отклонение света оказывается меньше, чем в классической теории, которая во Вселенной романа связывается с именем Витторио.

В космологии между решениями с временным измерением и без такового имеются куда более радикальные отличия. Так, в нашей Вселенной не существует аналога высокоэнтропийного состояния, в котором мировые линии звездных скоплений могут быть с равной вероятностью направлены вдоль любого вектора в 4-пространстве, а доводы, посредством которых персонажи трилогии доказывают или опровергают неизбежность энтропийного градиента, существенно отличаются от аргументов в пользу возможных объяснений низкой энтропии, которой наша Вселенная обладала в состоянии Большого взрыва.

И все же самые удивительные следствия проистекают из требования конечности Ортогональной Вселенной по всем направления 4-пространства, которое приводит к тому, что история всей Вселенной рано или поздно возвращается к своему начальному состоянию – вне зависимости от того, как именно выбирается это состояние и какое из направлений принимается за ось «времени».

Дополнительные материалы к роману можно найти на сайте www.gregegan.net.

Приложение 1. Единицы измерения

Приложение 2. Свет и цвета

Названия цветов переведены таким образом, чтобы длина волны последовательно уменьшалась при переходе от «красного» к «фиолетовому». В Ортогональной Вселенной эта последовательность сопровождается уменьшением временной частоты света. В нашей Вселенной действует обратная зависимость: чем меньше длина волны, тем больше ее частота.

Минимальная длина световой волны λ_min составляет около 231 пикколомизера; такой свет движется с бесконечной скоростью и соответствует «ультрафиолетовому пределу». Максимально возможная временная частота света ν_max примерно равно 49 генеросоциклам на одну паузу; это «инфракрасный предел», которому соответствует неподвижный свет.

Все оттенки света порождаются одной и той же структурой волновых фронтов, по-разному ориентированных в 4-пространстве.

На приведенной диаграмме AB обозначает расстояние между фронтами волны в 4‑пространстве; это расстояние постоянно и не зависит от цвета. AD – это длина световой волны (расстояние между фронтами в данный момент времени), а BE – ее период (интервал времени между фронтами в данной точке пространства).

Прямоугольные треугольники ACB и ABD подобны, поскольку углы при вершине A равны. Отсюда следует, что AC/AB = AB/AD, или:

AC = (AB)²/AD

Кроме того, прямоугольные треугольники ACB и EAB также подобны, так как имеют общий угол при вершине B. Следовательно, BC/AB = AB/BE, или

BC = (AB)²/BE

Применив к прямоугольному треугольнику ACB теорему Пифагора, имеем:

(AC)² + (BC)² = (AB)²

Подставим сюда два предыдущих выражения:

(AB)⁴/(AD)² + (AB)⁴/(BE)² = (AB)²

Поделив обе части уравнения на (AB)⁴, получаем:

1/(AD)² + 1/(BE)² = 1/(AB)²

Поскольку AD – это длина световой волны, то 1/AD – это ее пространственная частота κ, или количество волн, приходящихся на единицу длины. Поскольку BE – это период световой волны, то 1/BE – это временная частота ν, количество циклов, приходящихся на единицу времени. А поскольку AB – это фиксированное расстояние между волновыми фронтами, то 1/AB выражает максимальную частоту света ν_max, то есть ту частоту, которую мы получаем в инфракрасном пределе, когда период волны равен AB.

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов пространственной и временной частот является постоянной величиной:

κ² + ν² = ν_max²

При выводе мы опирались на предположение, что время и пространство выражаются в одних и тех же единицах. В приведенной выше таблице мы однако же используем традиционные единицы, которые существовали до открытия вращательной физики Ялды. Данные, собранные Ялдой на горе Бесподобная, показали, что если временной интервал отождествляется с расстоянием, пройденным голубым светом за соответствующее время, то соотношение между пространственной и временной частотами принимает простую форму, упомянутую выше. Таким образом, множитель, соответствующий переходу от традиционных единиц к «геометрическим», равен скорости голубого света u_blue, и, следовательно,

(u_blue × κ²) + ν² = ν_max²

Значения в таблице выражены в различных единицах измерения, которые были выбраны таким образом, чтобы все количественные показатели состояли из двух или трех цифр. Если мы добавим множитель для согласования единиц измерения, то соотношение примет вид:

(78/144 × κ²) + ν² = ν_max²

Теперь скорость света определенного оттенка можно выразить простым отношением расстояния, пройденного светом, к длине соответствующего интервала времени. Импульсы света на первой диаграмме проходят расстояние AC за время BC, поэтому u = AC/BC. Воспользовавшись выведенными соотношениями между AC, BC и пространственной частотой κ, а также BC, BE и временной частотой ν, мы получим:

u = κ/ν

С традиционными единицами измерения эту формулу опять-таки можно использовать только после добавления соответствующего переводного коэффициента:

u = (u_blue × κ)/ν

После подстановки частот из приведенной выше таблицы, последнее выражение принимает вид:

u = (78/144 × κ)/ν

Скорость, о которой до сих пор шла речь, – это безразмерная величина, зависящая от наклона линии, описывающей историю светового импульса на пространственно-временной диаграмме. (На наших диаграммах временная ось вертикальна, а пространственная горизонтальна, поэтому скорость фактически обратна наклону). Домножив безразмерную скорость на 78, то есть скорость голубого света, выраженную в пропастях на паузу, мы получаем значения в традиционных единицах, приведенных в таблице.

Приложение 3. Умножение и деление векторов

Путешественники Бесподобной придумали способ умножения и деления четырехмерных векторов, позволяющий построить на их основе полноценную числовую систему, похожую на более знакомые нам вещественные и комплексные числа. В нашей культуре эта система носит название кватернионов и была открыта Уильямом Гамильтоном в 1843 г. Подобно тому, как вещественные числа образуют одномерную прямую, а комплексные числа – двумерную плоскость, кватернионы формируют четырехмерное пространство, что делает их идеальной числовой системой для описания геометрии в четырех измерениях. В нашей Вселенной полноценное использование кватернионов невозможно в силу принципиального отличия между временем и пространством, однако в Ортогональной Вселенной геометрия 4-пространства и арифметика кватернионов органично сочетаются друг с другом.

В том варианте, который применяется жителями Бесподобной, главные направления четырехмерного пространства-времени называются Восток, Север, Верх и Будущее, а соответствующие им противоположные направления – Запад, Юг, Низ и Прошлое. Будущее играет роль единицы: при умножении или делении произвольного вектора на Будущее он не меняется. При возведении в квадрат любого из трех других главных направлений – Восток, Север и Верх – всегда получается Прошлое, или минус единица, поэтому в данной числовой системе существуют три независимых квадратных корня из минус единицы; для сравнения, в системе комплексных чисел такой корень всего один – это i. (Разумеется, что при возведении в квадрат противоположных направлений – Запад, Юг и Низ – также получается Прошлое по аналогии с тем, как в системе комплексных чисел квадрат –i также равен –1, однако эти направления не считаются независимыми квадратными корнями).

Умножение в данной системе не обладает свойством коммутативности: a × b, вообще говоря, не совпадает с b × a.

Каждому ненулевому вектору v соответствует обратный вектор, обозначаемый v^-1, и удовлетворяющий следующему соотношению:

v × v^-1 = v^-1 × v = Будущее

Так, Восток^-1 = Запад, Север^-1 = Юг, Верх^-1 = Низ, а Будущее^-1 = Будущее. В первых трех случаях обратный вектор совпадает с противоположным, но в общем случае это неверно.

Векторное частное w / v определяется как результат умножения (справа) на v^-1 :

Поскольку умножение не обладает свойством коммутативности, при вычислении обратного вектора или частного двух векторов необходимо внимательно следить за порядком аргументов. Обращение произведения двух векторов меняет их порядок на противоположный:

(v × w)^-1 = w^-1× v^-1

Перемена мест сомножителей гарантирует, что исходные векторы будут взяты в надлежащем порядке и дадут в итоге результат, равный Будущему.

(v × w)^-1 × (w^-1× v^-1) = v × Будущее× v^-1 = Будущее

(w^-1× v^-1)× (v × w)^-1 = w^-1 × Будущее× w = Будущее

Аналогичным образом порядок меняется и при делении на произведение векторов:

u / (v × w)= u × (v × w)^-1 = u × w^-1× v^-1 = (u / w)/ v

Хотя в таблицах умножения и деления приведены только результаты для четырех главных векторов, эти операции применимы к любым векторам (исключение составляет деление на нулевой вектор). В общем случае произвольный вектор можно представить в виде суммы векторов, кратных четырем главным направлениям:

v = a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее

Здесь a, b, c, d  – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D:

w = A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее

Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей:

v × w =

= (a ∙ Восток + b ∙ Север + c ∙ Верх + d ∙ Будущее)× (A ∙ Восток + B ∙ Север + C ∙ Верх + D ∙ Будущее) =

×

= aA∙ Восток × Восток + aB∙ Восток × Север +

+ aC∙ Восток × Верх + aD∙ Восток × Будущее +

+ bA∙ Север × Восток + bB∙ Север × Север +

+ bC∙ Север × Верх + bD∙ Север × Будущее +

+ cA∙ Верх × Восток + cB∙ Верх × Север +

+ cC∙ Верх × Верх + cD∙ Верх × Будущее +

+ dA∙ Будущее × Восток + dB∙ Будущее × Север +

+ dC∙ Будущее × Верх + dD∙ Будущее × Будущее =

= (aD + bC – cB + dA) ∙ Восток +

+ (–aC + bD + cA + dB) ∙ Север +

+ (aB – bA + cD + dC) ∙ Верх +

+ (–aA – bB – cC + dD) ∙ Будущее

Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного аналога теоремы Пифагора. Для обозначения длины вектора v мы будем использовать запись |v|. Через компоненты четырех главных направлений она выражается следующим образом:

|v|² = a² + b² + c² + d²

При умножении двух векторов длина их произведения совпадает с произведением длин сомножителей:

|v × w| = |v||w|

Для заданного вектора v часто полезным оказывается понятие сопряженного вектора, который мы будем обозначать v^* и определять как вектор, компоненты которого по трем пространственным направлениям противоположны соответствующим компонентам v, а временная компонента совпадает с временной компонентой v:

v^* = – a ∙ Восток – b ∙ Север – c ∙ Верх + d ∙ Будущее

Умножение исходного вектора на сопряженный к нему дает очень простой результат:

v × v^* = (a² + b² + c² + d²) ∙ Будущее = |v|² ∙ Будущее

Поскольку Будущее в этой числовой системе играет роль единицы, то для вектора v единичной длины сопряженный вектор v^* будет совпадать с обратным v^-1. Если же длина вектора v отлична от единицы, то обратный вектор также можно выразить через сопряженный, разделив последний на квадрат длины:

v^-1 = v^* / |v|²

В силу этой тесной взаимосвязи между сопряженным и обратным векторами нетрудно увидеть, что при вычислении сопряженного произведения их порядок нужно поменять на противоположный так же, как и в случае с делением:

(v × w)^* = w^*× v^*

Спроецировав на направление Будущее произведение вектора v и сопряженного вектора w^*, можно получить полезную информацию о геометрических свойствах векторов v и w:

Проекция v × w^* на Будущее = aA + bB + cC + dD = |v||w| cos (угол между v и w)

Величина, стоящая в правой части первого равенства, и представляющая собой сумму произведений четырех компонент (a, b, c, d) вектора v на соответствующие компоненты (A, B, C, D) вектора w, называется скалярным произведением векторов v и w. Как показывает второе равенство, скалярное произведение зависит только от длина векторов и угла между ними.

Любой поворот четырехмерного пространства можно описать парой фиксированных векторов g и h, причем для осуществления поворота заданный вектор нужно умножить слева на g, а затем поделить справа на h. Иначе говоря, поворот вектора  выражается так:

v → g × v / h

Так, поворот, меняющий местами Север и Юг, а также Будущее и Прошлое, оставляя неизменными все векторы, перпендикулярные этой четверке, можно описать с помощью пары g = Юг, h = Север. Как доказать, что эта операция действительно является поворотом? Во-первых, она, как легко убедиться, не меняет длину вектора v, поскольку |g| = |h| = |h^-1| = 1 и

|g × v / h| = |g||v||h^-1| = |v|

Кроме того, мы можем выяснить, как та же самая операция, примененная к двум векторам, влияет на угол между ними, применив ее к v × w^*:

v → g × v / h

w → g × w / h

v × w^* → (g × v / h) × (g × w / h)^* =

= g × v × h^-1 × (g × w × h^-1)^* =

= g × v × h^-1 × h × w^* × g^-1 =

= g × (v × w^*) × g^-1

Поскольку g × Будущее/ g = Будущее, то эта операция не меняет проекцию  на вектор Будущее. А так как данная проекция определяет угол между v и w – вместе с их длинами, которые, как нам уже известно, остаются неизменными, – то неизменным остается и этот угол.

Все повороты, ограниченные тремя пространственными измерениями, можно описать как частный случай исходной формулы, положив в ней h = g:

v → g × v / g

Например, повороту на 180⁰ в горизонтальной (Север-Восток) плоскости соответствует g = Верх.

Два других особых случая вращения достигаются при h = Будущее, то есть умножении слева на g:

v → g × v

и g = Будущее, при котором поворот сводится к делению на h:

v → v / h

Обе операции всегда осуществляют поворот сразу в двух ортогональных плоскостях – причем на один и тот же угол. Например, при умножении слева на Восток происходит поворот на 90⁰ как в плоскости Будущее-Восток, так и в плоскости Север-Верх.

Рассмотрим поворот, который описывается величинами g и h, преобразующими векторы в соответствии со стандартной формулой:

v → g × v / h

Существуют еще две разновидности геометрических объектов, которые описываются с помощью кватернионов, но при этом не являются векторами, поскольку при том же самом повороте подчиняются другим правилам преобразования:

l → g × l

r → h × r

Эти любопытные объекты называются «спинорами»: l – «левым», а r – «правым». В нашем мире математика спиноров не так проста, как в случае Ортогональной Вселенной, но обе математические системы, тем не менее, довольно похожи, а спиноры и в той, и в другой Вселенной играют ключевую роль при описании поведения некоторых фундаментальных частиц в процессе поворота.