Текст книги "Большая Советская Энциклопедия (ПР)"

Приближение и интерполирование функций

Приближе'ние и интерполи'рование фу'нкций , раздел теории функций, посвященный изучению вопросов приближённого представления функций.

  Приближение функций – нахождение для данной функции f функции g из некоторого определённого класса (например, среди алгебраических многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к f, дающей её приближённое представление. Существует много разных вариантов задачи о приближении функций в зависимости от того, какие функции используются для приближения, как ищется приближающая функция g, как понимается близость функций f и g. Интерполирование функций – частный случай задачи приближения, когда требуется, чтобы в определённых точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции f и приближающей её функции g, а в более общем случае – и значения некоторых их производных.

  Для оценки близости исходной функции f и приближающей её функции g используются в зависимости от рассматриваемой задачи метрики различных функциональных пространств. Обычно это метрики пространств непрерывных функций С и функций, интегрируемых с р- й степенью, L_p , р ³ 1, в которых расстояние между функциями f и g определяется (для функций, заданных на отрезке [а, b ]) по формулам

и

  Наиболее часто встречающейся и хорошо изученной является задача о приближении функций полиномами, т. е. выражениями вида

a_k j_k (x ),

где (j₁ ,..., j_n —заданные функции, a a₁ ,..., a_n — произвольные числа. Обычно это алгебраические многочлены

a_k x_k

или тригонометрические полиномы

а + (a_k coskx + b_k sinkx ).

  Рассматриваются также полиномы по ортогональным многочленам , по собственным функциям краевых задач и т.п. Другим классическим средством приближения являются рациональные дроби P (x )/Q (x ), где в качестве Р и Q берутся алгебраические многочлены заданной степени.

  В последнее время (60—70-е гг. 20 в.) значительное развитие получило приближение т. н. сплайн-функциями (сплайнами). Характерным их примером являются кубические сплайн-функции, определяемые следующим образом. Отрезок [a, b ] разбивается точками a = x₀ < x₁ <... < x_n = b, на каждом отрезке [x_k , x_k+1 ] кубическая сплайн-функция является алгебраическим многочленом третьей степени, причём эти многочлены подобраны так, что на всём отрезке [а, b ] непрерывны сама сплайн-функция и её первая и вторая производные. Оставшиеся свободными параметры могут быть использованы, например, для того чтобы сплайн-функция интерполировала в узлах x_k приближаемую функцию. Улучшение приближения достигается за счёт увеличения числа узлов x_k правильного их расположения на отрезке [а, b ]. Сплайн-функции оказались удобными в вычислительной математике, с их помощью удалось решить также некоторые задачи теории функций.

  Приближённые представления функций, а также сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближений функций (употребляются также названия теория аппроксимации функций и конструктивная теория функций). К теории приближений функций обычно относят также задачи о приближении элементов в банаховых и общих метрических пространствах.

  Теория приближений функций берёт начало от работ П. Л. Чебышева . Он ввёл одно из основных понятий теории – понятие наилучшего приближения функции полиномами и получил ряд результатов о наилучших приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции f (x ) полиномами a_k j_k (x ) в метрике С называется величина

E_n

f –

a_k

где минимум берётся по всем числам а₁ ,..., a_n . Полином, для которого достигается этот минимум, называется полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны). Чебышев установил, что наилучшее приближение функции xⁿ⁺¹ на отрезке [—1, 1] в метрике С алгебраическими многочленами степени n равно 1/2ⁿ , а многочлен наилучшего приближения таков, что для него

xⁿ⁺¹ –  = (1/2ⁿ ) cos (n + 1) arccosx .

  Следующая теорема Чебышева указывает характеристическое свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций: алгебраический многочлен , в том и только в том случае является многочленом наилучшего приближения непрерывной функции f в метрике С [—1, 1], если существуют n + 2 точки -1 £ x₁ < x₂ <... < x_n+2  £ 1, в которых разность f (x ) – 2принимает максимальное значение своего модуля с последовательно чередующимися знаками.

  Одним из первых результатов теории приближений является также теорема Вейерштрасса, согласно которой каждую непрерывную функцию можно приблизить в метрике С как угодно хорошо алгебраическими многочленами достаточно высокой степени.

  С начала 20 в. началось систематическое исследование поведения при n ® ¥ последовательности E_n

En

  Для того чтобы функция f    была аналитической на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным рядом, равномерно сходящимся к ней в некоторой окрестности этой точки), необходимо и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраическими многочленами выполнялась оценка

E_n

где q < 1 и А — некоторые положительные числа, не зависящие от n (теорема С. Н. Бернштейна).

  Для того чтобы функция f    периода 2p имела производную порядка r, r = 0, 1,2,..., удовлетворяющую условию

|f ^(r) (x + h ) – f ^(r) (x )| £ M|h |^a,

0 < a < 1, М – некоторое положительное число, или условию

|f ^(r) (x + h ) – 2f ^(r) (x ) + f ^(r) (x – h )| £ M|h |^a

(в этом случае a = 1), необходимо и достаточно, чтобы для наилучших приближений функции f тригонометрическими полиномами была справедлива оценка

Е_п

где А — некоторое положительное число, не зависящее от n. В этом утверждении прямая теорема была в основном получена Д. Джексоном (США), а обратная является результатом исследований С. Н. Бернштейна , Ш. Ж. Ла Валле Пуссена и А. Зигмунда (США). Характеристика подобных классов функций, заданных на отрезке, в терминах наилучших приближении алгебраическими многочленами оказалась невозможной. Её удалось получить, привлекая к рассмотрению приближение функций с улучшением порядка приближения вблизи концов отрезка.

  Возможность характеризовать классы функций с помощью приближений их полиномами нашла приложение в ряде вопросов математического анализа. Развивая исследования по наилучшим приближениям функций многих переменных полиномами, С. М. Никольский построил теорию вложений важных для анализа классов дифференцируемых функций многих переменных, в которой имеют место не только прямые, но и полностью обращающие их обратные теоремы.

  Для приближений в метрике L₂ полином наилучшего приближения может быть легко построен. Для других пространств нахождение полиномов наилучшего приближения является трудной задачей и её удаётся решить только в отдельных случаях. Это привело к разработке разного рода алгоритмов для приближённого нахождения полиномов наилучшего приближения.

  Трудность нахождения полиномов наилучшего приближения отчасти объясняется тем, что оператор, сопоставляющий каждой функции её полином наилучшего приближения, не является линейным: полином наилучшего приближения для суммы f + g не обязательно равен сумме полиномов наилучшего приближения функций f и g. Поэтому возникла задача изучения (по возможности простых) линейных операторов, сопоставляющих каждой функции полином, дающий хорошее приближение. Например, для периодической функции f (x ) можно брать частные суммы её ряда Фурье S_n (f, х ). При этом справедлива оценка (теорема А. Лебега )

||f – S_n

E_n

где L_n — числа, растущие при n ® ¥ как (4/p² ) lnn . Они получили название констант Лебега. Эта оценка показывает, что полиномы S_n

  А. Н. Колмогоров начал изучение нового вопроса теории приближений – задачи о нахождении при фиксированном n такой системы функций j₁ ,..., j_n , для которой наилучшие приближения функций заданного класса полиномами  были бы наименьшими (т. н. задача о поперечнике класса функций). В этом направлении в дальнейшем было выяснено, например, что для ряда важных классов периодических функций наилучшими в указанном смысле системами являются тригонометрические полиномы.

  Теория приближений функций является одним из наиболее интенсивно разрабатываемых направлений в теории функций. Идеи и методы теории приближений являются отправной точкой исследования в ряде вопросов вычислительной математики. С 1968 в США издаётся специализированный журнал «Journal of Approximation Theory».

  См. также Приближение функций комплексного переменного .

  Лит.:Монографии . Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. – Л., 1949; Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; Тиман А. Ф., Теория приближения функций действительного переменного, М., 1960.

  Обзоры. Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947, М. – Л., 1948, с. 288—318; Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 295—379; История отечественной математики, т. 3, К., 1968, с. 568—588.

  С. А. Теляковский.

Приближение функций комплексного переменного

Приближе'ние фу'нкций ко'мплексного переме'нного, раздел комплексного анализа, изучающий вопросы приближённого представления (аппроксимации) функций комплексного переменного посредством аналитических функций специальных классов. Центральная проблематика относится к приближению функций полиномами и рациональными функциями. Основными являются задачи о возможности приближения, скорости приближения и аппроксимационных свойствах различных способов представления функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным полиномам и полиномам Фабера, разложений в непрерывные дроби и т.п.). Теория приближений тесно связана с др. разделами комплексного анализа (теорией конформных отображений, интегральными представлениями, теорией потенциала и др.); многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются, по существу, глубокими результатами о свойствах аналитических функций и природе аналитичности.

  Одним из первых результатов о полиномиальной аппроксимации является теорема Рунге, согласно которой любая функция, голоморфная в односвязной области плоскости комплексного переменного z, может быть равномерно аппроксимирована на компактных подмножествах (см. Компактность ) этой области посредством полиномов от z. Общая задача о возможности равномерного приближения полиномами ставится так: для каких компактов К в комплексной плоскости любая функция f, непрерывная на К и голоморфная на множестве внутренних точек К, допускает равномерную аппроксимацию на К (с любой степенью точности) посредством полиномов от z. Необходимым и достаточным условием возможности такой аппроксимации является связность дополнения компакта К. Эта теорема для компактов без внутренних точек была доказана М. А. Лаврентьевым (1934), для замкнутых областей – М. В. Келдышем (1945) и в общем случае – С. Н. Мергеляном (1951).

  Пусть Е_п = E_n (f, K ) — наилучшее приближение функции f на компакте К посредством полиномов от z степени не выше n (в равномерной метрике). Если К — компакт со связным дополнением и функция f    голоморфна на К, то последовательность {Е_п } стремится к нулю быстрее некоторой геометрической прогрессии: E_n < qⁿ , < q = q

 < 1 (n > N ). Если f    непрерывна на К и голоморфна во внутренних точках К, то скорость её полиномиальной аппроксимации зависит как от свойств f    на границе К (модуль непрерывности, дифференцируемость), так и от геометрических свойств границы К.

  Другие направления исследований – равномерные и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями, весовые приближения полиномами, приближения полиномами и рациональными функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике, связанной с приближением функций нескольких комплексных переменных.

  Лит.: Уолш Д.-Л., Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ., М,, 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968; Смирнов В. И.. Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного переменного, М. – Л., 1964; Мергелян С. Н., Приближения функций комплексного переменного. в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917—1957, т. 1, М., 1959, с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. 1, К,, 1970, с. 112—78.

  А. А. Гончар.

Приближённое интегрирование

Приближённое интегри'рование определённых интегралов, раздел вычислительной математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых интегралов .

  Пусть y = f (x ) — непрерывная функция на отрезке [a, b ] и интеграл

  Если для функции f (x ) известны значения первообразной F (x ) при x = а и х = b, то по формуле Ньютона – Лейбница

I (f ) = F (b ) – F (a )

  В противном случае приходится искать др. пути вычисления l

. Одним из путей является построение квадратурных формул, приближённо выражающих значение I

 в виде линейной функции некоторого числа значений функции f (x ) и её производных. Квадратурной формулой, содержащей только значения функции f (x ), называют выражение вида

S_n

=

 A_k f (x_k ),

в котором точки x_k , k = 1, 2,..., n, x_k Î [a, b ], называют узлами, а коэффициенты A_k – весами.

  Для каждой непрерывной функции f (x ) значение I

 может быть вычислено с помощью сумм Sn

с любой точностью. Выбор квадратурной формулы определяется классом W, к которому относят конкретную функцию f (x ), способом задания функции и имеющимися вычислительными средствами. Погрешностью квадратурной формулы называется разность

R_n

= I

 – S_n

.

  Квадратурная формула содержит 2n + 1 не зависящих от функции f (x ) параметров: n, x_k , A_k (k = 1, 2,..., n ), которые выбирают так, чтобы при f Î W погрешность её была допустимо малой. Точность квадратурной формулы для f Î W характеризует величина rn (W) – точная верхняя грань ½Rn

½ на множестве W:

.

  Пусть

  Квадратурная формула, для которой W_n (W) = r_n (W), называется оптимальной на классе П. Веса и узлы в оптимальной квадратурной формуле могут быть произвольными или подчинёнными определённым связям.

  Различают два класса квадратурных формул: элементарные и составные. Разработано несколько методов построения элементарных квадратурных формул. Пусть w_q (x ), q = 0, 1,..., – полная система функций в классе W, и любая f (x ) Î Q достаточно хорошо приближается линейными комбинациями первых функций w_q (x ). Пусть l (w_q ), q = 0, 1, 2,..., можно вычислить точно. Для каждого n параметры квадратурной формулы можно определить из требования, чтобы

I (w_q ) = S_n (w_q ), q = 0, 1,..., m,

для возможно большего значения m. В методе Ньютона – Котеса в квадратурной формуле выбираются узлы x_k , а определению подлежат веса A_k . В методе Чебышева на веса A_k заранее накладываются некоторые связи [например, A_k = (b -а )/n ], а определению подлежат узлы x_k . В методе Гаусса определяются и веса A_k и узлы x_k . В методе Маркова j узлов (j < n ) считают заранее известными, а определяют веса и оставшиеся узлы. Точность полученных такими методами квадратурных формул существенно повышается при удачном выборе функций w_q (x ).

  Формулы Ньютона – Котеса строятся на основе системы функций w_q = x^q , q = , 1,...; узлы x_k разбивают отрезок интегрирования на равные части. Примерами таких формул являются прямоугольников формула , трапеций формула и Симпсона формула .

  Поскольку заменой переменной интегрирование по [а, b ] сводится к интегрированию по отрезку [-1, 1], то для определения весов и узлов элементарных формул на [а, b ] достаточно знать их для отрезка [-1, 1]. В случае составных формул исходный интеграл представляется в виде:

и для вычисления интегралов по отрезкам [a_i , a_i+1 ] применяются элементарные квадратурные формулы.

  В формулах Гаусса m = 2n – 1, а при а = — 1, b = 1 узлы x_k являются корнями Лежандра многочленаP_n (x ) степени n, а

A_k = 2(1 – x²_k )^-1 (P’_n (x_k ))^-2

  Квадратурная формула Чебышева существует при A_k = l/n, l = b – а и x_k Î [a, b ] лишь для n = 1,..., 7, 9; в ней m = n – 1. Применение равных весов минимизирует вероятностную ошибку, если значения f (x ) содержат независимые случайные ошибки с одинаковой дисперсией.

  При вычислении интегралов от функций с периодом l наиболее употребительны квадратурные формулы типа Гаусса:

.

  Существуют квадратурные формулы для вычисления интегралов вида

где р (х ) — фиксированная, т. н. весовая функция. Её подбирают так, чтобы для всех f Î W функции f (x ) хорошо приближалась линейными комбинациями функций w_q (x ).

  Для приближённого вычисления неопределённых интегралов их представляют как определённые интегралы с переменным верхним пределом и далее применяют указанные выше формулы.

  Таблицы узлов и весов, а также оценки погрешности квадратурных формул приводятся в специальных справочниках.

  Квадратурные формулы вычисления кратных интегралов иногда называются кубатурными формулами. Кратные интегралы можно вычислять как повторные интегралы, применяя описанные квадратурные формулы. Т. к. при увеличении кратности существенно возрастает количество узлов, то для вычисления кратных интегралов разработан ряд специальных формул.

  Вычисление интегралов на ЭВМ обычно осуществляется с помощью стандартных программ. В случае однократных интегралов наиболее употребительны стандартные программы с автоматическим выбором шага.

  Лит.: Крылов В. И., Приближенное вычисление интегралов, 2 изд., М., 1967; Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973; Никольский С. М., Квадратурные формулы, М., 1958; Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычисления, 3 изд., ч. 1, М., 1966; Соболев С. Л., Введение в теорию кубатурных формул, М., 1974; Коробов Н. М., Теоретикочисловые методы в приближенном анализе, М., 1963.

  В. И. Лебедев.

Назад к карточке книги "Большая Советская Энциклопедия (ПР)"