Текст книги "Разыскания о жизни и творчестве А.Ф. Лосева"

Автор книги: Виктор Троицкий

сообщить о нарушении

Текущая страница: 18 (всего у книги 30 страниц)

3. У последних «как» и «почему»

Пожалуй, о самой глухой «тьме меона» сказано достаточно. Заметнее содержательным обещает быть рассмотрение более дружественного Лосеву окружения. Будем иметь в виду деятельность тех интеллектуалов, которые группировались тогда вокруг уже немногочисленных (легальных и не-) очагов свободной мысли, и в частности вокруг того, что называют Московской математической школой и московского же, но уже нелегального, кружка имяславцев. Однако такое рассмотрение приходится предварять одной важной оговоркой: данный период отечественной истории еще недостаточно изучен. К примеру, лишь совсем недавно были предприняты первые попытки описания реальной духовной атмосферы в упомянутой математической школе ¹¹, весьма, казалось бы, известной школе. Самое интимное и самое важное получало тогда только устную форму, в публикации или в переписку попадали лишь отдаленные намеки и недомолвки, а доверенные бумаге мысли, даже не самые радикальные, вполне могли удостоиться «депонирования» в хранилищах Лубянки ¹². Потому многие предлагаемые ниже сближения и сопоставления носят преимущественно реконструктивный, гипотетический характер – нужно это учесть.

Прежде всего, взаимно обогащающимися перед нами предстают творческие и личные отношения Лосева с математиками Д.Ф. Егоровым и Н.Н. Лузиным. От первого Лосев получал бесценные уроки строгого и сжатого изложения математического материала, от второго – особый интерес к теории меры и проблематике измеримости, а от обоих вместе – важные интуиции теории множеств и функционального анализа. Признанные лидеры Московской математической школы своим творчеством блестяще являли тот самый союз, о коем столько хлопотал и Лосев, – «тот союз философии и математики, который так част в интуитивных глубинах у настоящих философов и математиков и который так редок у тех, кому суждено повторять и распространять философские и математические идеи, но не создавать их впервые», читаем мы в «Диалектических основах математики» (426).

Здесь представляется уместным сказать несколько подробнее о некоторых особенностях духовного пути Н.Н. Лузина. Известно, что еще молодым человеком он пережил мировоззренческий кризис, связанный с необходимостью выбора специальности в науке и, главное, с ранним прикосновением к острейшим проблемам оснований математики (теоретико-множественные парадоксы, проблема континуума). Он отшатнулся от разверзшейся бездны, и даже многолетняя дружба с П.А. Флоренским не принесла облегчения. В своем отчаянном письме к нему Н.Н. Лузин писал, отрекаясь от прежних надежд: «Вы ищете бестрепетного сердца непреложной Истины, оснований всему <…>, а я… я не жду последних „как“ и „почему“, и, боясь бесконечного, я сторонюсь его, я не верю в него» ¹³. Он обманывал себя утешением, что сделался «специалистом» и «стал просто математиком» (констатация из той же переписки с П.А. Флоренским), отчего профессия его, конечно же, только выиграла: многие результаты Лузина вошли в классику мировой математики. Однако те самые «как» и «почему» вновь встали перед ним, «философом от математики» (лузинское самоопределение), когда он близко познакомился с Лосевым – «математиком от философии» (как определили бы мы). Сама жизнь подтолкнула их навстречу друг другу и как бы дополнила их автономные существа до некоего целого, пусть и на короткое время и для разрешения, может быть, одного-единственного вопроса, но зато какого – о природе бесконечного. О чем они спорили вечерами в квартирах на Арбате у Лузина или на Воздвиженке у Лосева? Для Лузина воистину личной и воистину уязвляющей представала «область загадок континуума», разрешить которые он хотел, положив все силы на «уничтожение идеи актуальной бесконечности». И – полный крах вместо ожидаемого триумфа ¹⁴. Для Лосева идея актуальной бесконечности не только изначально близка: «бесконечность в любых ее смыслах, и в научно-математическом, и в философском смысле, была для меня подлинной реальностью, включая сюда и многие мои бытовые переживания» ¹⁵. Она еще подлежала философскому обоснованию, которое, надо признать, автору «Диалектических основ математики» вполне удалось. Потому и понятно, что лосевские рассуждения о подлинно диалектическом, иерархийном устройстве мира бесконечностей или о структуре континуума (да, сама «бесструктурность», сама «неразличимость» и «сплошность» имеют, по Лосеву, свой особый и узнаваемый лик!) выражены в столь торжественной тональности. Так разыгрывается драма идей в ее кульминационных точках.

Далее, неизбежно приходится говорить об идейном сходстве и преемстве, если в кругу современников Лосева выделять фигуру уже упоминавшегося П.А. Флоренского. Известно, например, сколь высоко Лосев ставил книгу «Мнимости в геометрии» (1922) и неизменное стремление ее автора к принципиальному единению философии и математики. Безусловно близкими для Лосева предстают пифагорейско-платоновские по своим основаниям взгляды Флоренского на число (в начале 20-х годов они получили обобщение в работе «Число как форма»), а также трактовка им канторовской теории множеств (особенно показательна ранняя – 1904 года – статья «О символах бесконечности»). Сближают мыслителей и многие более общие установки: предпочтение диалектики иным философским системам (откуда, к примеру, бодрое и даже деловое восприятие логических антиномий), лишенное формалистики отношение к познавательным категориям («конкретная метафизика» одного, «абсолютная мифология» другого), понимание не только мировоззренческих, но и мироустроительных функций символизма (оба – активные разработчики имяславской доктрины), готовность рассматривать любые факты и явления в единстве структурно-смысловых (Логос) и выравнивающе-десемантизирующих (Хаос) процессов. Да, их одинаково волновали именно последние «как» и «почему», мысленный взор каждого устремлялся в одну и ту же феноменологическую даль, вперялся в одну и ту же глубинную точку. А различие – как же без него, – внешнее различие скорее всего пролегало на сугубо стилистическом уровне. Потому-то Флоренскому, засвидетельствовано, грезились зримые «корни вещей», каковые он «решительно отличал от бесструктурной мажущейся черной массы» ¹⁶, потому-то Лосев прозревал «логические скрепы бытия» там, где большинству рисовалось «безумное марево» и «сплошной туман неизвестно чего» ¹⁷. Поневоле играли свою определяющую роль очевидные несовпадения на уровне психологических особенностей этих личностей. Один, как истинный естествоиспытатель-коллекционер, больше любил разнообразие и неповторимость представших пред ним «реальных абстракций», потому в письмах из Соловков, припоминая важнейшее из содеянного, Флоренский особо выделял исследования «индивидуальности чисел», свое «изучение кривых in concreto» и прилагал к письмам скрупулезно и любовно выполненные рисунки водорослей ¹⁸ – живых в такой же мере, как математические объекты, и, подобно последним, столь же изощренно-структурных. Оттого другой, прирожденный классификатор и любитель категорий, вдохновенно строил свои «таблицы» подобно Линнею или Менделееву, потому в заметках из ГУЛАГа (конечно, в лагерной изоляции, вдали от нивелирующего влияния библиотек может явственнее проступить глас личностной, нутряной сути) Лосев набрасывал схемы именно систем и типологий, первым делом – числовых.

Нельзя не вспомнить здесь и о фигуре В.Н. Муравьева. Он оставил яркий след в публицистике начала века, примыкая к группе авторов «Вех» и участвуя в другом знаменитом сборнике – «Из глубины», успел издать замечательную философскую работу «Овладение временем как основная задача организации труда» (1924). Однако значительная часть его творчества, остающаяся доныне не опубликованной, явственно свидетельствует: одновременно с Лосевым и рядом с ним трудился мыслитель, интересы которого особенно тяготели к философским основаниям математики. Имя и число, ипостасийный характер учения Георга Кантора, последовательное развертывание числового принципа в диалектическом синтезе единства-множественности – вот только некоторые из тем, затронутых Муравьевым вместе (повторим – одновременно и рядом) с Лосевым. Что же касается нюансов и различий в подходах к этим и подобным темам «философии числа», то их, конечно, надлежит детально обсуждать лишь после должной публикации работ Муравьева ¹⁹. Поэтому мы укажем разве лишь на одну примечательную перекличку. Она связана с главой «О форме бесконечности» из «Диалектических основ математики». Стилистика главы определенно тяготеет к самодостаточной округлости эссе, здесь очевидна заостренность провозглашаемых императивов (совершенно неожиданная среди подчеркнуто нейтрального содержания окружающих глав) и явственен публицистический напор. Иными словами, данный текст носит «вставной» характер и невольно заставляет вспомнить о знаменитых «взрывчатых гнездах» (удачное определение С.С. Хоружего) в повествовательной структуре «Диалектики мифа». Откуда же пришло это «взрывчатое» рассуждение? «Мы изменим природу и космос» (533) – менее всего нужно читать эту декларацию как марксистский лозунг о переделывании действительности, но прежде всего нужно услышать в ней голоса с имяславских собраний 20-х годов. Нужно прислушаться к свидетельству одного из участников таковых, который утверждал о нераздельности субъекта и объекта, мысли и действия, а потому и «основной задачей имяславия» ставил «создание гармонической системы органов осуществления имен человеческих и объединение их в Имени Божьем», который взывал:

«Имя славие, чтобы сохранить то, чего оно достигло, должно стать Имя действием» ²⁰.

4. Аксиоматика и метаматематика

Остается рассмотреть логико-математические работы Лосева, взяв их как целое и как некую, скажем, световую точку на оттеняющем ее фоне мировых исследований в области оснований математики. Такое рассмотрение правомерно по меньшей мере по двум причинам. Во-первых, к началу 40-х годов, когда лосевская «философия числа» приняла известную нам форму, многое существенное в данной области уже произошло и о многом главном сам Лосев имел вполне ясное представление (иными словами, точку на фоне помещать допустимо). Уже не только был исчерпан арсенал наивно-эмпирических определений понятия числа (от Евклида до Локка), была не только создана канторовская теория множеств и достаточно выявлены ее парадоксы, но и выдвинуты едва ли не все идеи для их преодоления ²¹. Почти завершился длинный и трудный путь от Principia mathematica А. Уайтхеда и Б. Рассела (1913) к «Основаниям математики» Д. Гильберта и П. Бернайса (1939), уже начиналась (в том же 1939 году) многолетняя многотомная сага Никола Бурбаки, и уже был получен основной результат К. Гёделя (1931), указующий подобным титаническим усилиям нежданно убедительный предел ²². Во-вторых, эта проделанная целой армией мыслителей работа лишний раз убеждала самого Лосева в том, что подлинно философское осмысление математического материала еще слишком далеко от завершения и что «философию числа» можно и должно строить – ему, здесь и теперь (а нам, следовательно, точку и фон необходимо различать).

Различать так различать. Прежде всего, лосевское понимание природы математических объектов максимально чуждо (еще не вполне изжитому тогда в науке) психологическому подходу, выводящему представление о числе непосредственно из некоторого комплекса переживаний субъекта. Автором «Диалектических основ математики» отрицалась и куда более известная, а для отечественной философской общественности советского периода даже едва ли не единственная, доктрина о научных, в том числе математических понятиях как результате абстракции, отвлечения от материальной действительности. При весьма почтенном возрасте – уже после Аристотеля «математические предметы» надо было рассматривать, «полагая что-то обособленно от привходящих свойств» (Met. 1078 а 15), – и при наличии непрестанно возобновляемой череды апологетов (здесь видное место занимала как раз С.А. Яновская, один из главных идейных оппонентов Лосева), надо подчеркнуть, метод абстракции всегда страдал принципиально важным дефектом: сама установка на абстрагирование имплицитно содержит знание именно того понятия, которое надлежит определить. Это есть, как известно, логический круг. Отметим к случаю, что прямую борьбу с аристотелевским пониманием числа как абстракции Лосев проводил в работах «Диалектика числа у Плотина» (1928) и «Критика платонизма у Аристотеля» (1929) ²³. В этих специальных античных экскурсах он приглашал современного читателя вернуться к старинному спору между Платоном и Аристотелем о природе числа, чтобы заново рассмотреть аргументы сторон и осознанно реабилитировать платонизм в математике.

Не столь однозначно отрицательным было отношение Лосева к логицизму. С одной стороны, ему безусловно импонировали начинания некоторых выдающихся ученых, приступивших на рубеже XIX и XX веков к строительству оснований математики на аксиоматических принципах. Действительно, подобно тому как приверженцы методов Пеано и Гильберта получали многочисленные математические истины из немногих базовых утверждений-аксиом, так и Лосев последовательно (от немногих содержательных посылок ко многим формальным и неформальным следствиям) выводил и отдельные математические понятия, и развернутые теоремы, и целые типологии математического знания. Громадное древо математики произрастает из малого зерна, с нею по мере роста развертываются и ее аксиомы. Тут действительно уместны высказывания подобного «ботанического» окраса, ибо сама аксиоматика, по Лосеву, «основана на последовательном созревании категорий» (404). Однако, с другой стороны, для него были неприемлемы многие изначальные, родовые особенности гильбертовской школы. Это и демонстративный формализм, т. е. сосредоточение на проблемах непротиворечивости вывода при игнорировании содержательных интерпретаций (для философа, многому научившегося у В.С. Соловьева, подобная позиция попросту безжизненна), это и установка на строго обозримые «финитные» методы рассуждений (потому формалистам предписывалось навсегда «изгнать» важнейшую идею актуальной бесконечности), это, наконец, рискованная самозамкнутость гильбертовской теории доказательств. Последняя особенность требует отдельного комментария.

Гильбертовская программа спасения классической математики от парадоксов, по определению С. Клини (1967), состоит в следующем: математика «должна быть сформулирована в виде формальной аксиоматической теории, после чего следует доказать ее непротиворечивость, т. е. установить, что в этой формальной аксиоматической теории нельзя доказать противоречие»; сами доказательства при этом становятся «предметом специальной математической дисциплины, названной Д. Гильбертом метаматематикой, или теорией доказательств» ²⁴. Данная программа полагалась к реализации для арифметики, функционального анализа и, в перспективе, геометрии. Уже над отдельными фрагментами математики старательно возводились ажурные конструкции гильбертовой метаматематики (это оказалось изнурительно трудным занятием), когда подоспели знаменитые теоремы Гёделя. Здесь выяснилось, во-первых, что во всякой математической теории можно сформулировать вполне осмысленное (правильное), но недоказуемое и, вместе, неопровержимое утверждение, т. е. внутри всякой такой теории, содержательно достаточно богатой, гарантировано присутствие сомнительной ее составляющей. Потому доказательство «изнутри» невозможно. Выяснилось, во-вторых, что непротиворечивость данной формальной теории доказывается только в рамках иной, более развернутой формальной теории, та в свою очередь нуждается в новом расширении, и т. д. Потому доказательство непротиворечивости «извне» всегда незавершимо. Таким образом, было строго доказано наличие принципиальных ограничений на строгость доказательств в математике. Это фактически указывало на необходимость выхода за пределы метаматематики (по Гильберту) в объемлющие ее области, причем по двум путям: либо пытаться преодолеть барьер, поставленный результатами Гёделя, за счет отказа от прежнего экстремизма и создания новых формальных методов и повторного (через них) обращения к проблеме существования математических объектов, либо развивать более содержательную «метаматематику», действительно конструируя такие объекты из некоторых первооснов и уже не прибегая к математическим формализмам. Первым путем и по сей день следуют многие специалисты по основаниям математики ²⁵, по второму пути пошел Лосев и больше, кажется, никто.

Тут у нас настает момент уточнения терминологии. В самом деле, насколько правильно будет связывать «метаматематику» впрямую с именем Лосева? Ведь мы знаем, что сам автор называл свое учение либо, вполне определенно, «диалектическими основами математики» (как в названии основной своей книги по философским вопросам математики), либо, вполне общо, «философией числа» (этим обозначением мы и сами уже пользовались в предыдущем изложении). Кроме того, термин еще и «занят» под название сугубо математической дисциплины, введенной, как сказано, Давидом Гильбертом. И все-таки смысловой пласт этого термина «метаматематика» слишком богат и ценен, чтобы отказываться от него, доверяясь лишь формальным доводам.

Заметим прежде всего, что построения Лосева нигде не расходятся с математическими данными. Автор даже с некоторой (методологически оправданной) назойливостью и монотонностью вновь и вновь показывает, где и как его содержательная аксиоматика, его «основоположения числа» естественно перерастают в аксиомы и теоремы самой математики. Можно сказать, философская метаматематика Лосева проделывает свой отрезок пути и заканчивается там, где начинает собственно математика, – в изощрениях профессионалов-нефилософов. Логически Лосев оказался раньше, впереди, прежде специалистов по математике и ее основаниям. Исторически имелась уже математика со всеми ее достижениями, принципиальными кризисами, необозримостью тем и предметов, когда явились на свет (точнее, от света, «в стол» московского одиночки) построения новой метаматематики. Эта ситуация определенно повторяет одну весьма давнюю историю – вспомним происхождение явно родственного «метаматематике» термина. Последний возник случайно, когда Андроник Родосский (I в. до Р.Х.), заново упорядочивая и переписывая труды Аристотеля, вслед за группой сочинений «о природе» (ta phisika) поместил другую группу под условным названием «то, что после физики» (ta meta ta phisika). С тех пор наука, «исследующая первые начала и причины» (Met. 982 b 10) и самим Аристотелем величаемая «первой философией», стала «метафизикой». То, что в материальном мире занимало локус «после», в мире идей оказалось «до».

Впрочем, это только аналогия, пусть и полезная. О самом прямом вхождении лосевской «философии числа» (как метаматематики) в традицию «наук о первоначалах», как и о справедливости притязаний на многообещающую семантику греческой приставки «мета», легче судить, если привлечь к нашему терминологическому рассмотрению книгу С.Л. Франка «Предмет знания» (1915). Автор книги ставит перед собой задачу построения единой «теории знания и бытия», предпочитает называть ее «не онтологией, а старым и вполне подходящим аристотелевским термином „первой философии“», себя относит опять-таки «к старой, но еще не устаревшей секте платоников» и особо выделяет в последней фигуры Плотина и Николая Кузанского ²⁶. Не правда ли, тут узнаются и предпочтения Лосева? Но еще больше согласий и перекличек обнаруживается в главе «Время и число» книги Франка. В основу построений здесь кладется «всеединство» («единство целого», «единство единства и множественности»), которое и рассматривается как тот «подлинный источник, из которого может быть выведено понятие числа», одно из основных понятий «первой философии». Это всеединство – источник единственный, ибо только на этом пути не возникает логический круг, ибо только отправляясь от всеединства, замечает Франк, «мы действительно не предполагаем математических понятий единого и многого, а восходим к тому, в чем, как таковом, этих моментов еще нет и из чего они должны возникнуть» ²⁷. Далее следовало непосредственное «выведение числа из всеединства». Именно этой части «Предмета знания» Лосев посвятил специальный комментарий в книге «Музыка как предмет логики» (1927), где он строил концепцию числа с опорой на пример трактата Плотина (Эннеады VI.6 «О числах») и обнаруживал согласованность конструкций – своей, Франка и Плотина. Это и неудивительно: «одни и те же предпосылки приводят при правильном методе и к тождественным результатам» ²⁸.

Лосевская метаматематика, в основе которой лежат глубокие неоплатонические интуиции, получала, таким образом, мощную поддержку и примером непосредственного предшественника. Но этого мало. В своем построении и анализе «числовых структур бытия» Лосев сумел избежать одного существенного перекоса «первой философии» по Франку, на который в свое время было указано некоторыми наиболее проницательными критиками. Так, в рецензии на книгу «Предмет знания» Н.А. Бердяев отмечал неоправданный «монизм» теории Франка, подчеркивал упрощенность решения проблемы «изменения, творческого движения, возникновения нового, небывалого», напоминал о неустранимом присутствии во всеединстве не только «света» как творящего начала, но и «тьмы», «темных волн безосновной основы бытия», и в итоге определял: «Знание потому имеет творческую природу, что оно должно одолевать этот вечный напор тьмы, пронизывать его светом, оформлять его изначальный хаос» ²⁹. Для Лосева было уже естественно относиться к извечной «меональной тьме» не только с пониманием, но и чрезвычайно конструктивно: «из этого становящегося мрака как из некоей глины будем созидать те или иные смысловые фигурности» (501), – возглашает он фундаментальный принцип строительства математических объектов и повсеместно проводит его в практике своей метаматематики. Применительно совсем к другой области знания, еще в «Диалектике художественной формы», лет за десять до «Диалектических основ математики», легко отыскиваются те же мотивы и установки. К примеру (тоже почти инструкция по применению):

«В сфере смысла, где слиты в единое и сплошное тождество категория и ее внутреннее инобытие, вполне позволительно выделять поочередно то самую категорию, подчиняя ей ее инобытие, то ее инобытие, подчиняя ей его категорию» (здесь речь шла о классификации искусств по «категориальному» и «меональному» принципам).

Или там же прочтем и учтем лосевскую похвалу Шопенгауэру за то, что «он больше всех других почувствовал как раз алогическую основу мира в отличие от всякой оформленности» ³⁰.

5. Диалектика как точная наука

Мы рассмотрели и дальнее, и ближнее окружение лосевской «философии числа», то окружение, в драматическом притяжении-отталкивании с которым она и оформилась. По ходу рассмотрения уже были, конечно, получены некоторые содержательные характеристики самого ядра, центра всех соотнесений. Теперь пришла пора сосредоточить наше внимание специально на этом центре, в его смысловой точке.

Только сделаем одно предваряющее замечание. Приходится констатировать, что Лосеву не удалось реализовать в полном объеме свой замысел строго диалектического обоснования математики. Причинами тому следует указать как обстоятельства общего плана (вряд ли подобное грандиозное предприятие по силам одному человеку, даже при самых благоприятных внешних условиях), так и частные биографические особенности печального свойства, о которых уже говорилось выше. Добавим еще одно: значительная часть довоенных рукописей периода максимальной активности автора на философско-математическом поприще погибла летом 1941 года в результате прямого попадания фашистской авиабомбы в дом на Воздвиженке, где была квартира Лосева. Чего-то не успел сделать или не дали, толкая под руку, что-то было уничтожено, готовое. Потому теперь приходится заниматься реконструкцией общей панорамы математических знаний, как она представлялась автору «Диалектических основ математики» (особо ценны для нашей задачи параграфы 9, 34, 80 книги), а также отыскивать следы прежних замыслов в более позднем творчестве философа. По ходу этих операций будут видны и общие контуры всей конструкции, и зияющие места утраченных ее деталей.

Математика как феномен культуры

Проведя начальное тематическое разделение (33) по сферам:

a) философии чистой математики,

b) философии математического естествознания,

c) культурно-социальной истории числа,

Лосев сосредоточил свой анализ на первой сфере, вынужденно «оставляя пока в стороне естествознание, психологию, социологию, теорию самой диалектики числа и историю» (35). Характерно это «пока». Нам не известны лосевские работы, специально посвященные «временно покинутым» темам, однако интерес к социально-культурным типологиям вообще, к «физиогномике» математических воззрений в частности можно проследить в его творчестве на протяжении всей жизни. В тех же «Диалектических основах математики» нетрудно обнаружить примеры напряженного внимания автора к социально-исторической обусловленности тех или иных математических построений. На них особо обращает внимание читателей первый и самый чуткий рецензент книги – В.М. Лосева (14). Или взять один из таких «бродячих» сюжетов в творчестве Лосева, как логику исчисления бесконечно малых. В роли своеобразного пробного камня она многократно привлекалась философом то для характеристики мировоззренческого стиля Возрождения (с его богоборческим лозунгом quo non ascendam) и вообще пресловутого «прогрессизма» новоевропейской культуры, то для анализа телесных интуиций античности, то для понимания ранней истории представлений о дискретности, пределе и континууме. В своем неизменно типологическом отношении к различным проявлениям духа, к различным культурам Лосев предстает несомненным продолжателем усилий О. Шпенглера, для которого «то, что выражается в мире чисел», всегда «есть стиль души», души выражающейся ³¹. Метаматематика обязана быть еще и морфологией культуры.

Философия чистой математики

Область собственно математики, с точки зрения философа, разделяется также на три сферы (40):

a) общая теория (логика) числа, исследующая перво-принципы числа, число как таковое, сущность числа,

b) философия математических дисциплин, специальная теория числа, теория числа в частности, числа как явления,

c) философия теории вероятностей и математической статистики, исследующая число в казусах, в жизни, в действительности.

Дошедшая до нас часть «Диалектических основ математики» вполне представляет всю общую теорию числа (§ 10–78) и дает переход к специальным вопросам (§ 81 и далее). Отдельного исследования «числа в жизни», т. е. специального рассмотрения теоретико-вероятностной проблематики автор не оставил, однако о многом мы имеем возможность судить: в «Диалектических основах математики» каждый шаг лосевской аксиоматики получал завершение и разъяснение именно на материале данного слоя математической реальности.

Специальная теория числа

Здесь также проводится классическое триадное разделение (429–435):

a) науки о бытии или сущности числа, об интенсивном числе (арифметика, алгебра, анализ),

b) науки об инобытии или явлении числа, об экстенсивном числе (геометрия),

c) теория множеств как наука о синтезе арифметической и геометрической ипостасей числа, об эйдетическом числе.

Второй и третий разделы, строго говоря, нужно отнести к утратам. Исчез, например, целый том по геометрии, о котором Лосев несколько раз упоминает (227, 302) и куда отсылает за подробностями. Однако примем в расчет, что логико-диалектической проработкой геометрических идей автор занимался уже на страницах книги «Античный космос и современная наука». С тем же упреждением осваивалась и теоретико-множественная проблематика, если иметь в виду раннюю «Музыку как предмет логики». Словом, уже дошедшего – много. Даже одно только напоминание о глубинном единстве наглядно-геометрических и счетно-арифметических подходов, убедительно демонстрируемое лосевской метаматематикой, будет весьма кстати сегодня, когда философы и математики все еще бьются над во многом уже решенными, оказывается, вопросами. Для примера укажем тему оппозиции «арифметического» (Rechnen) и «геометрического» (Zeichnen), о которой всерьез заговорил за рубежом Д. Фанг, а у нас – К.И. Вальков ³². Пора на самом деле «обратиться к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диалектики» (389), а не замирать, по Фангу, в безмолвном ужасе перед сфинксом «единой и неделимой и, в конечном итоге, непостижимой тотальности» математики или же вместо одной крайности – излишней «арифметизации» впадать в другую – в крайность «геометризма» ³³.

Бытие числа (интенсивное число)

Науки о бытии или сущности числа можно представить, согласно Лосеву, в виде диалектической триады (442):

a) арифметика и алгебра как учения о неизменной сущности числа, о постоянных величинах и их функциях,

b) дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления как учения об инобытийной изменчивости числа, о переменных величинах и их функциях в скалярной форме,

c) векторное и тензорное исчисления как учения о действительности числа, о числе синтетическом, ориентированном, направленном.

Здесь второй и третий разделы, если опираться только на «Диалектические основы математики», также следует считать утраченными. Однако достаточно определенный анализ, касающийся диалектической сущности, например, дифференциала и интеграла также отыскивается в книге «Музыка как предмет логики». Утрату содержательной части второго раздела отчасти восполняет сохранившаяся работа Лосева «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно-малых».

Арифметика и алгебра

Внутри первой сферы интенсивного числа Лосев выделяет очередную триадическую структуру (430, 446):

a) арифметика как учение о непосредственной сущности числа в ее бытии, о числе в себе,

b) алгебра как учение о непосредственной сущности числа в ее инобытии, о числе функционально выраженном,

c) алгебраический анализ (теории форм, инвариантов и др.) как учение о непосредственной сущности числа в ее становлении.

Как следует из публикуемого «Содержания» первой книги «Диалектических основ математики» (23), степень детализации построений лосевской метаматематики была столь велика, что к темам алгебры переход планировался лишь в самом конце обширного тома. Все дальнейшее кануло в Лету. Да и от собственно арифметической части книги сохранилось далеко не все. Так что, предприняв еще одно посещение мира числовых триад, нам остается назвать и последние структуры, и последние утраты.