Текст книги "Фейнмановские лекции по гравитации"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 22 страниц)

-𝑇'₄₄𝑇₄₄

𝑘²

.

(3.3.3)

Затем, для того, чтобы иметь правильную релятивистскую теорию, необходимо следовать тому, чтобы амплитуда включала в себя полный тензор 𝐓, как мы предполагали в соотношении (3.3.2).

Имеется свойство этого тензора, которое мы не ещё упомянули. След симметричного тензора – инвариантная величина, не обязательно равная нулю. Таким образом, при вычислениях, основываясь на симметричном тензоре с ненулевым следом, мы могли бы взять теорию, которая есть смесь теорий со спином равным 0 и со спином равным 2. Если мы выписываем теорию, использующую этот тензор, мы найдём, когда мы придём к разделению взаимодействия на его поляризации, что очевидно имеется три поляризации вместо двух, которые допустимы для безмассовой частицы со спином 2. Для того, чтобы быть более точными, мы можем получить кроме взаимодействия (3.2.2) другую возможную инвариантную форму, пропорциональную 𝑇^μ_μ(1/𝑘²)𝑇^ν_ν. Мы попытаемся установить соотношения между этими двумя инвариантами таким образом, чтобы не было обмена реальными гравитонами с угловым моментом, равным нулю.

Выпишем в точности все различные члены следующим образом

𝑇'

_μν

1

𝑘²

𝑇

^μν

=

1

ω²-𝑘²

(

𝑇'₄₄𝑇₄₄

–

2𝑇'₄₃𝑇₄₃

–

2𝑇'₄₂𝑇₄₂

–

-

2𝑇'₄₁𝑇₄₁

+

2𝑇'₂₃𝑇₂₃

+

2𝑇'₃₁𝑇₃₁

+

+

2𝑇'₂₁𝑇₂₁

+

𝑇'₃₃𝑇₃₃

+

𝑇'₂₂𝑇₂₂

+

𝑇'₁₁𝑇₁₁

).

(3.3.4)

В электродинамике мы получили упрощение, используя закон сохранения заряда. Здесь мы получаем упрощение, используя закон сохранения энергии, который может быть выражен в импульсном пространстве следующим образом

𝑘

^μ

𝑇

_μν

=

0.

(3.3.5)

В нашей обычной системе координат, где компоненты 𝑘¹ и 𝑘² равны нулю, получаем связь компонентов нашего тензора с индексами 3 и 4

ω𝑇

_4ν

=-

𝑘𝑇

_3ν

.

(3.3.6)

Используя это соотношение для исключения компонентов с индексом 3, мы находим, что амплитуда разделяется на часть, описывающую мгновенное взаимодействие, имеющую характерный числитель 𝑘², и запаздывающую часть со знаменателем (ω²-𝑘²). Для ”мгновенного” члена мы получаем

-

1

𝑘²

⎡

⎢

⎣

𝑇'₄₄𝑇₄₄

⎛

⎜

⎝

1

–

ω²

𝑘²

⎞

⎟

⎠

–

2𝑇'₄₁𝑇₄₁

–

2𝑇'₄₂𝑇₄₂

⎤

⎥

⎦

,

(3.3.7)

и для ”запаздывающего” члена

1

ω²-𝑘²

(

𝑇'₁₁𝑇₁₁

+

𝑇'₂₂𝑇₂₂

+

2𝑇'₂₁𝑇₂₁

).

(3.3.8)

Трансверсальные компоненты тензора 𝐓 предположительно независимы, так что они представляют сумму трёх независимых произведений или трёх поляризаций. Мы видим, что такая теория содержит смесь спина 0 и спина 2. Для того, чтобы исключить часть, соответствующую спину нуль, мы должны добавить к нашей амплитуде член вида

α

𝑇'

^ν

_ν

⎛

⎜

⎝

1

𝑘²

⎞

⎟

⎠

𝑇'

^μ

_μ

.

(3.3.9)

В ”запаздывающем” члене добавляются компоненты тензора следующим образом

α

1

ω²-𝑘²

(

𝑇'₁₁

+

𝑇'₂₂

)(

𝑇₁₁

+

𝑇₂₂

).

Мы можем выбрать параметр α так, что ”запаздывающий” член содержит только сумму двух независимых произведений. Соответствующее значение параметра α равно -½ для того, чтобы сделать запаздывающий член равным

1

ω²-𝑘²

⎡

⎢

⎣

1

2

(

𝑇'₁₁

–

𝑇'₂₂

)(

𝑇₁₁

–

𝑇₂₂

)+

2𝑇'₁₂𝑇₁₂

⎤

⎥

⎦

.

(3.3.10)

Имеется два направления поляризации, которые порождаются этими комбинациями элементов тензора

1

√2

(

𝑇₁₁

–

𝑇₂₂

)

и

√

2

(

𝑇₁₁

).

(3.3.11)

Различная нормализация есть результат симметрии нашего тензора; мы можем восстановить симметрию, записывая

√

2

(

𝑇₁₁

)

=

1

√2

(

𝑇₁₁

–

𝑇₂₂

).

(3.3.11a)

Следовательно, возможное решение типа плоской волны, представляющее наш гравитон, имеет вид

ℎ

_μν

=

𝑒

_μν

exp(𝑖𝑘

_σ

𝑥

^σ

)

,

(3.3.12)

где тензор поляризации 𝑒_μν имеет следующие ненулевые компоненты

𝑒₁₁

=

1

√2

,

𝑒₂₂

=-

1

√2

,

𝑒₁₂

=

𝑒₂₁

=

1

√2

.

(3.3.13)

Наше взаимодействие в общем виде

𝑇'

_μν

1

𝑘²

𝑇

_μν

–

1

2

𝑇'

^μ

_μ

1

𝑘²

𝑇

ν

ν

может быть записано как 𝑇'^στ𝑃_στ,μν𝑇^μν, где 𝑃_στ,μν пропагатор для гравитона описывается следующим соотношением:

𝑃

_στ,μν

=

1

2

(

η

_μσ

η

_ντ

+

η

_μτ

η

_νσ

–

η

_μν

η

_στ

)

1

𝑘²

.

Для простоты мы обычно будем предпочитать записывать этот пропагатор как простой множитель 1/𝑘² и представлять взаимодействие виртуальными гравитонами, испущенными источником с амплитудой

ℎ

_μν

=

1

𝑘²

⎛

⎜

⎝

𝑇

_μν

–

1

2

η

_μν

𝑇

^σ

_σ

⎞

⎟

⎠

и со связью ℎ_μν𝑇'^μν для поглощения.

Амплитуда для излучения реального гравитона поляризации 𝑒_στ, если 𝑒^σ_σ, как в соотношении (3.3.13), задаётся внутренним (скалярным) произведением 𝑒_στ𝑇^στ.

3.4. Физическая интерпретация в терминах амплитуд

Рис. 3.3.

Поляризация гравитона есть тензорная величина. Мы можем наглядно представить это понятие с помощью картинок, подобных тем, которые мы использовали в описании давлений; мы рисуем стрелки, показывающие направление, которое ассоциировано с нормалью к поверхности, к осям координат. В этой плоскости, перпендикулярной направлению распространения, мы имеем два давления, изображённые на рис. 3.3. Имеется только две возможности для квадрупольного давления; давления, представляемые стрелками, направленными к началу координат (или от начала координат), представляют собой тип давления в жидкости, которое соответствует спину, равному нулю. ”Давления” (в действительности вращения), представляемые всеми стрелками, поворачивающимися в направлении по часовой стрелке (или против часовой стрелки), соответствует спину 1.

Рис. 3.4.

Давление, представленное на рис. 3.3(a), может относится к осям, которые повёрнуты на угол 45° от исходных осей координат; в этом случае картинка на рис. 3.4 есть ничто иное, как то же самое давление, изображённое на рис. 3.3(a), повёрнутое на угол 45°. Отсюда мы находим, что эти поляризации поворачиваются одна в другую при повороте осей на угол 45°. Если мы поворачиваем на угол 90°, то каждая поляризация переходит в себя; стрелки меняют своё направление, но мы должны думать об осциллирующей зависимости от времени, которая связана с этими поляризациями. Двигаясь этим путём, мы видим, что полное вращение на угол 360° соответствует двум полным циклам фазы – спин равен двум. Существуют две ортогональных линейных комбинации этих двух поляризаций, чьи изменения вращательной фазы ведут себя как exp(2𝑖θ) и exp(-2𝑖θ). Это просто различное разделение ”запаздывающего” члена; методом проб и ошибок мы можем просто представить эти две части

1

4

(

𝑇'₁₁

–

𝑇'₂₂

+

𝑖2𝑇'₁₂

)(

𝑇₁₁

–

𝑇₂₂

–

𝑖2𝑇₁₂

)+

+

1

4

(

𝑇'₁₁

–

𝑇'₂₂

–

𝑖2𝑇'₁₂

)(

𝑇₁₁

–

𝑇₂₂

+

𝑖2𝑇₁₂

).

(3.4.1)

Эти части характеризуются спином 2, проекция ±2 тензоров очевидна, когда мы сравниваем форму этих произведений с произведением гармонических многочленов; мы знаем, что (𝑥±𝑖𝑦)(𝑥±𝑖𝑦) очевидно характеризуются спином 2 и проекцией ±2; эти произведения равны 𝑥𝑥-𝑦𝑦±2𝑖𝑥𝑦, которые имеют ту же структуру, что и члены в соотношении (3.4.1). Таким образом, мы приходим к выводу, что при α=-1/2, наши гравитоны имеют только две возможных поляризации. Эта возможно правильная теория, эквивалентная теории поля спина 2, которую ранее рассматривали теоретики Паули и Фирц и выразили на языке полевых лагранжианов [FiPa 39].

Мы подходим к теории со спином 2, исходя из аналогий с теорией со спином 1; таким образом мы без объяснений предполагаем существование гравитонных плоских волн; так как плоские волны фотона представляются полюсами пропагатора, и пропагатор гравитона также имеет полюсы ω=±𝑘. Но соответствующие наблюдательные свидетельства отсутствуют; мы не наблюдали ни гравитонов; ни даже классических гравитационных волн.

Имеются некоторые проблемы, которыми мы пренебрегли полностью в настоящее время, но к которым мы вернёмся позднее. Источники электромагнетизма сохраняются, и энергия также сохраняется, которая есть источник гравитации. Но это сохранение совершенно другого характера, так как фотон – незаряжен, следовательно, он не является источником самого себя, тогда как гравитон содержит энергию, равную ℏω, и следовательно, он сам является источником гравитонов. Мы говорим об этом, как о нелинейности гравитационного поля.

В электромагнетизме мы можем вывести полевые уравнения (уравнения Максвелла), которые несогласованы, если заряд не сохраняется. До сих пор мы избегали обсуждения полевого уравнения для гравитации, поскольку мы беспокоились только об амплитудах, но не о самих полях. Также нам необходимо уже обсудить, является ли теория, которую мы можем написать, зависимой от калибровки, и можем ли мы написать вообще полевое уравнение, соответствующее максвелловским уравнениям ∂𝐹^μν/∂𝑥^ν=𝑗^μ

Имеются некоторые физические свойства нашей теории, которые могут быть обсуждены без полевых уравнений, просто из рассмотрения формы взаимодействия. Запишем полное выражение, соответствующее α=-1/2:

2

⎡

⎢

⎣

𝑇'

_μν

⎛

⎜

⎝

1

𝑘²

⎞

⎟

⎠

𝑇

^μν

–

1

2

𝑇'

^ν

_ν

⎛

⎜

⎝

1

𝑘²

⎞

⎟

⎠

𝑇

^μ

_μ

⎤

⎥

⎦

=

=-

1

𝑘²

⎡

⎢

⎣

𝑇'₄₄𝑇₄₄

⎛

⎜

⎝

1

–

ω²

𝑘²

⎞

⎟

⎠

+

𝑇₄₄

(

𝑇'₁₁

+

𝑇'₂₂

)+

+

𝑇'₄₄

(

𝑇₁₁

+

𝑇₂₂

)-

4𝑇'₄₁𝑇₄₁

–

4𝑇'₄₂𝑇₄₂

⎤

⎥

⎦

–

-

1

𝑘²-ω²

[(

𝑇'₁₁

–

𝑇'₂₂

)(

𝑇₁₁

–

𝑇₂₂

)+

4𝑇'₁₂𝑇₁₂

].

(3.4.2)

(Если потребуется, то член (ω²/𝑘²)𝑇'₄₄𝑇₄₄ может заменяться на 𝑇'₄₃𝑇₄₃ или на (𝑇₄₄𝑇'₃₃ + 𝑇₃₃𝑇'₄₄)). Мы уже обсудили запаздывающий член и его поляризации. Теперь проанализируем первый член. Тензор 𝐓 – тензор давления; для медленных частиц пространственные компоненты порядка 𝑣/𝑐, так что ньютоновский закон представляется только одним своим произведением 𝑇₄₄𝑇'₄₄. Другие произведения представляют собой что-то подобное магнетизму. Заметим, что при таком разделении они появляются как члены, описывающие мгновенное взаимодействие. Запаздывающие эффекты, движущиеся волны появляются только при чётных степенях 𝑣/𝑐.

Мы можем думать, что члены, описывающие мгновенное взаимодействие типа магнитного, могли бы давать наблюдаемые эффекты, например, могло бы быть небольшое изменение в гравитационном взаимодействии между двумя колёсами, если мы вращаем их всё быстрее и быстрее. Рассматриваемая теория действительно предсказывает подобные эффекты, но практически подобные силы не только были бы очень, очень малы, но они также были бы скрыты множеством других эффектов. Магнитные силы, такие как притяжение между двумя проводящими ток проволочками, достаточно просто наблюдать только потому, что эффекты кулоновского взаимодействия взаимно уничтожаются очень, очень точно при наличии равных величин положительного и отрицательного зарядов. Но все гравитационные силы притягивающие, так что нет надежды на подобное взаимное уничтожение этих сил. Для вращающихся колёс трудность была бы в том, что упругое давление вещества вносило бы добавку в члены, описывающие энергию взаимодействия, колеса бы управлялись слегка по разному и т.д. В добавление к этому, мы можем думать, что обычное гравитационное взаимодействие довольно трудно измерить, и что эффекты типа магнитных могут быть меньше на некоторое отношение (𝑣/𝑐)² такое, как отношение магнитных сил к кулоновским. Силы между проволочками, проводящими ток, порядка грамма веса, в то время как кулоновские взаимодействия между частицами в проволочках (в случае, если бы они взаимно не уничтожались) порядка миллиардов миллионов тонн.

Возможно пронаблюдать эффекты, обусловленные таким членом типа магнитного, если мы рассмотрим гравитационное взаимодействие частиц, движущихся со скоростью света или с близкой к ней скоростью. Предположим, что 𝑇'_μν обусловлен стационарным источником, таким как Солнце, так что остаётся только компонент 𝑇'₄₄, и мы рассмотрим гравитационное взаимодействие между Солнцем и быстрой частицей, которая движется со скоростью 𝑣, близкой к скорости света 𝑐, так что её тензор давления имеет компоненты, такие как 𝑇₁₁=(𝑣²/𝑐²)𝑇₄₄. Затем в соотношении (3.4.2) мы видим, что энергия взаимодействия больше, чем обусловленная только 𝑇₄₄ на множитель 1+𝑣²/𝑐² или на множитель 2 для фотона. Таким образом, так как фотон движется в сильном гравитационном поле, то он движется как частица, обладающая большей энергией, чем можно было бы предсказать, исходя из ньютоновской теории. Отклонение луча света звезды тогда, когда луч проходит вблизи поверхности Солнца, в два раза больше, чем величина, получаемая при анализе изменения импульса в рамках ньютоновской теории гравитации. Земляне провели подобный эксперимент и обнаружили, что наблюдаемая величина угла отклонения больше, чем величина, получаемая в рамках ньютоновской теории, на множитель, который очень близок к 2. И хотя данный наблюдательный факт достаточно несовершенен и не во всем согласован, он предполагает действительный эффект в направлении, предсказываемом нашей теорией.¹

¹ B 1970-х годах были проведены наблюдения по измерению отклонений гравитационным полем Солнца положений радиоисточников с помощью радиоинтерферометров с очень большой базой и предсказания ОТО были подтверждены с точностью до 1 – 3 % процентов [Заха 97*]. (Прим. перев.)

В этом месте мы могли бы приступить к вычислению в деталях таких эффектов, как и рассмотренный выше, а также многих других задач, таких как комптоновское рассеяние гравитонов, эффектов, связанных с движением Меркурия вокруг Солнца, для того, чтобы найти порядки величин гравитационных эффектов и определить, какие эксперименты могли бы быть возможными. Тем не менее, возможно предпочтительнее приступить к описанию самого гравитационного поля на языке полевого лагранжиана и полевых уравнений, чем на языке амплитуд.

3.5. Лагранжиан для гравитационного поля

Теперь мы будем изучать нашу теорию на языке лагранжиана, исследуя сами поля, а не просто амплитуды. Сначала вновь рассмотрим ситуацию в электродинамике. Здесь действие есть

𝑆

_𝐸

=-

∫

𝑑τ

⎡

⎢

⎣

1

4

⎛

⎜

⎝

∂𝐴_μ

∂𝑥^ν

–

∂𝐴_ν

∂𝑥^μ

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

∂𝐴^μ

∂𝑥_ν

–

∂𝐴^ν

∂𝑥_μ

⎞

⎟

⎠

+

𝑗

^μ

𝐴

_μ

⎤

⎥

⎦

.

(3.5.1)

Именно из такого лагранжиана мы в конце концов выводим полевые уравнения; мы хотим получить гравитационный аналог соотношения 𝐴_μ=-(1/𝑘²)𝑗_μ.

Нетрудно сделать предположение о форме второго члена, описывающего взаимодействие. Мы предполагаем, что этот член равен -λℎ_μν𝑇^μν. Здесь аналогия для членов, в которые вовлечены производные, не так очевидна; просто имеется слишком много индексов, которые могут быть переставлены слишком большим числом способов. Мы будем должны написать общую форму для лагранжиана, как сумму по всем возможным способам записи полевых производных, подставляя произвольные коэффициенты перед каждым членом, т.е. записывая его следующим образом:

𝑎

⎛

⎜

⎝

∂ℎ^μν

∂𝑥_σ

⋅

∂ℎ_μν

∂𝑥_σ

⎞

⎟

⎠

+

𝑏

⎛

⎜

⎝

∂ℎ^μσ

∂𝑥_ν

⋅

∂ℎ_μν

∂𝑥_σ

⎞

⎟

⎠

+

𝑐

⎛

⎜

⎝

∂ℎ^μ_μ

∂𝑥_ν

⋅

∂ℎ^σ_ν

∂𝑥_σ

⎞

⎟

⎠

+… .

(3.5.2)

Наша теория не будет полна до тех пор, пока мы не придумаем некоторый критерий для определения значений коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, ….

Возможно мы можем сделать предположение по некоторой аналогии с электромагнетизмом. Если мы вычисляем вариацию общего лагранжиана (3.5.1) по отношению к 𝐴, мы получаем дифференциальное уравнение, связывающее поля и ток

∂

∂𝑥_ν

∂

∂𝑥^ν

𝐴

_μ

–

∂

∂𝑥_ν

∂

∂𝑥^μ

𝐴

_ν

=

𝑗

_μ

.

(3.5.3)

Для экономии записи далее мы будем показывать такие дифференцирования (градиенты), просто указывая индексы координат после запятой; уравнение, которое приведено выше, имеет следующий вид:

𝐴

_μ,ν

^,ν

–

𝐴

_ν,μ

^,ν

=

𝑗

_μ

.

(3.5.4)

Закон сохранения заряда выражается вычислением дивергенции 𝑗_μ, равной нулю. Но мы можем заметить, что уравнения Максвелла для этого поля несогласованы, за исключением закона сохранения заряда, и что градиент от выражения в левой части соотношения (3.5.4) тождественно равен нулю. С использованием правильного лагранжиана электромагнитного поля, закон сохранения заряда может быть выведен как следствие полевых уравнений. Так как левая часть уравнения (3.5.4) удовлетворяет этому тождеству, его дивергенция также равна нулю:

𝐴

_μ,ν

^,νμ

–

𝐴

_ν,μ

^,νμ

=

0.

(3.5.5)

Подобное условие используется для того, чтобы определить величину коэффициентов 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, … относительно друг друга. Мы будем выписывать общий лагранжиан, выводить дифференциальные полевые уравнения путём вариации лагранжиана и требовать, что, так как дивергенция тензора 𝐓 обращается в нуль, полевые величины, которые равны этому тензору, должны иметь дивергенцию, которая равна нулю тождественно. Это условие будет влиять на однозначный выбор значений коэффициентов. Мы проведём ниже алгебраические вычисления подробно, устанавливая значения коэффициентов таким образом, что полевые уравнения согласованы, если только

𝑇

^μν

_,ν

=

0.

(3.5.6)

3.6. Уравнения гравитационного поля

Вывод уравнений начнём с выписывания всех возможных произведений нашего полевого тензора ℎ_μν. На каждом шагу имеют место значительные упрощения, если мы используем симметрию тензора ℎ_μν при комбинации различных членов. Если два тензорных индекса отличны от индекса производной, мы имеем два различных произведения

1.

ℎ

_μν,σ

ℎ

^μν,σ

2.

ℎ

_μν,σ

ℎ

^μσ,ν

Если имеются два индекса, которые равны, мы можем иметь три возможных произведения

3.

ℎ

^μν

_,ν

ℎ

^σ

_μ,σ

4.

ℎ

^μν

_,ν

ℎ

^σ

_σ,μ

5.

ℎ

^ν

_ν,μ

ℎ

_σ

^σ,μ

Не все пять произведений необходимо рассматривать, произведение п. 2 может быть опущено, поскольку оно может быть преобразовано в произведение п. 3 интегрированием по частям. Таким образом, предполагаем, что лагранжиан имеет следующий вид

𝑆

=

∫

𝑑τ

⎡

⎣

𝑎

ℎ

^μν,σ

ℎ

_μν,σ

+

𝑏

ℎ

^μν

_,ν

ℎ

^σ

_μ,σ

+

𝑐

ℎ

^μν

_,ν

ℎ

^σ

_σ,ν

+

+

𝑑

ℎ

^ν

_ν,μ

ℎ

_σ

^σ,μ

–

λ

𝑇

^μν

ℎ

_μν

⎤

⎦

.

(3.6.1)

Теперь мы вариируем эту сумму четырёх произведений по отношению к тензору ℎ_αβ для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее полевые производные с тензором источника 𝑇_αβ. Таким образом, приходим к следующему результату (необходимо помнить, что δℎ_αβ симметричен по индексам α, β, так что симметричная часть его коэффициентов должна быть равна нулю)

𝑎2

ℎ

_αβ,σ

^,σ

+

𝑏

(

ℎ

_ασ,β

^,σ

+

ℎ

_βσ,α

^,σ

)

+

+

𝑐

(

ℎ

^σ

_σ,αβ

+

η

_αβ

ℎ

^μν

_,νμ

)

+

𝑑2

η

_αβ

ℎ

^σ

_σ,μ

^μ

=-

λ𝑇

_αβ

.

(3.6.2)

Мы берём производную каждого из этих членов по отношению к индексу β, тогда требование, что дивергенция левой части должна быть равна нулю, приводит к следующему уравнению

2𝑎

ℎ

^αβ,σ

_,σβ

+

𝑏

ℎ

^ασ,β

_,σβ

+

𝑏

ℎ

^βσ,α

_,σβ

+

𝑐

ℎ

^σ

_σ

^,αβ

_β

+

+

𝑐

ℎ

^μν

_,μν

^α

+

2𝑑

ℎ

^σ

_σ,μ

^,μα

=

0.

(3.6.3)

Теперь объединяем члены с одним и тем же множителем и берём значение соответствующего коэффициента равным нулю; получаем следующие соотношения, которые включают в себя перестановку и смену индексов:

ℎ

^αβ,σ

_,σβ

(2𝑎+𝑏)

=

0,

ℎ

^βσ,α

_βσ

(𝑏+𝑐)

=

0,

ℎ

^σ

_σ,β

^αβ

(𝑐+2𝑑)

=

0.

(3.6.4)

Если мы выбираем масштаб для наших результатов такой, что 𝑎=½, мы получаем

𝑎

=

1

2

,

𝑏

=

–1

,

𝑐

=

1

,

𝑑

=-

1

2

.

(3.6.5)

Предположительно, теперь мы получили правильный лагранжиан для гравитационного поля. Как следствие из этого лагранжиана мы получим в конце концов полевое уравнение.

3.7. Определение символов

Манипуляции с тензорными величинами становятся всё более скучными в той работе, которой мы занимаемся; и для того, чтобы не увязнуть в алгебре со многими индексами, могут быть разработаны некоторые упрощающие приёмы. В настоящее время не очевидно, что определения, которые мы делаем, полезны; подтверждение этому проявится в их более позднем использовании.

Определим оператор ”черта” для произвольного тензора второго ранга следующим образом:

𝑋

_μν

=

1

2

(

𝑋

_μν

+

𝑋

_νμ

)-

1

2

η

_μν

𝑋

^σ

_σ

.

(3.7.1)

Для симметричного типа, такого как 𝐡, это правило проще, потому что два члена в первой скобке равны

ℎ

_μν

=

ℎ

_μν

–

1

2

η

_μν

ℎ

^σ

_σ

,

(3.7.2а)

ℎ

μν

=

ℎ_μν

.

(3.7.2б)

Заметим, что оператор ”черта” является своим собственным обратным оператором для симметричного тензора.

Определим также использование неиндексированного тензорного символа, чтобы представить его след

ℎ

=

Th(𝐡)

=

ℎ

^σ

_σ

,

ℎ

^σ

_σ

=-

ℎ

.

(3.7.3)

Используя такие обозначения, можно записать полевые уравнения (3.6.2) с учётом (3.6.5) в симметризованном варианте

ℎ

_μν,σ

^,σ

–

2

ℎ

_μσ,ν

^,σ

=-

λ

𝑇

_μν

.

(3.7.4)

Для того, чтобы получить соотношение для 𝑇_μν, мы просто берём оператор ”черта” от обеих частей последнего уравнения.

Следующим шагом мы попробуем найти что-либо аналогичное свойствам калибровочной инвариантности электродинамики для того, чтобы упростить решение уравнения (3.7.4). В электродинамике полевые уравнения имеют вид:

𝐴

^μ,ν

_,ν

–

𝐴

_ν

^,νμ

=

𝑗

^μ

,

(3.7.5)

следствие которых состоит в возможности описания полей так же хорошо на языке нового четыре вектора 𝐴'_μ, получаемого из вектора 𝐴_μ добавлением градиента скалярной функции 𝑋

𝐴'

_μ

=

𝐴

_μ

+

𝑋

_,μ

.

(3.7.6)

Какое свойство было бы аналогичным свойством тензорного поля? Мы предполагаем, что следующее свойство может быть справедливым: (мы должны быть внимательны для того, чтобы сохранить наши тензоры симметричными) подстановка

ℎ'

_μν

=

ℎ

_μν

+

𝑋

_μ,ν

+

𝑋

_ν,μ

(3.7.7)

в левую часть уравнения (3.7.4) не меняет вид этого уравнения. Доказательство этого факта оставляем в качестве упражнения.

С использованием свойства калибровочной инвариантности, было бы проще получить уравнения для полей в определённой калибровке, что более подходяще, что-то типа лоренцевой калибровки в электродинамике. По аналогии с выбором

𝐴

^ν

_,ν

=

0,

(3.7.8)

мы сделаем следующий выбор (который будем называть условием Лоренца)

ℎ

^μσ

_,σ

=

0.

(3.7.9)

Таким образом, получаем полевые уравнения, связывающие оператор ”черта” от тензора 𝐓 с полями

ℎ

^μν,σ

_,σ

=-

𝑘²

ℎ

^μν

=-

λ

𝑇

^μν

,

(3.7.10)

или решая ℎ_μν=(λ/𝑘²)𝑇_μν. Немедленно получаем, что амплитуда взаимодействия такого тензора 𝐡 с другим источником 𝑇'_μν от λℎ_μν𝑇'^μν в лагранжиане, имеет следующее выражение

λ²

𝑇'

_μν

⎡

⎢

⎣

1

𝑘²

⎤

⎥

⎦

𝑇

^μν

.

Итак, мы получили в точности то, что мы получили прежде при обсуждении амплитуд непосредственно.