Фейнмановские лекции по гравитации

Текст добавлен: 15 мая 2018, 03:30

Текст книги "Фейнмановские лекции по гравитации"

Автор книги: Ричард Фейнман

Жанры:

Учебники

сообщить о нарушении

Текущая страница: 13 (всего у книги 22 страниц)

Назад к карточке книги

(𝑑𝑠)²

ƒ(𝑥,𝑦)

⎛

⎝

(𝑑𝑥)²

(𝑑𝑦)²

⎞

⎠

(7.6.2)

С одной точки зрения, функция ƒ(𝑥,𝑦) представляет собой множитель, на который меняются линейки, когда мы движемся по поверхности. С другой точки зрения, она очевидно определяет кривизну пространства.

Забавный пример физической ситуации, которая в точности соответствует этим геометриям, придуман одним из студентов Робертсона. Представим себе, что человек делает измерения с помощью линейки на раскалённой пластине, которая в некоторых местах горячее, чем в других. Линейка растягивается или сжимается в зависимости от того, где делаются измерения, в более горячих или более холодных областях на плоскости; очевидно, что соответствующая функция ƒ(𝑥,𝑦) определяется локальной температурой и коэффициентом теплового расширения линейки.

Локальная кривизна поверхности в точке может быть определена с помощью некоторого математического критерия, включающего в себя предельный случай измерений, проделываемых со всё более и более маленькими объектами. Мы могли бы, например, выбрать для сравнения отношения длины окружности к радиусу, отношения площадей кругов к квадратам радиусов; для случая сферических поверхностей эти отношения отличаются от тех, которые получаются на плоской поверхности, на множители (sin θ)/θ, где θ – отношение измеряемого радиуса к радиусу сферы. В пределе всё меньших и меньших кругов эта величина отличается от единицы на величину, пропорциональную площади круга. Этот коэффициент пропорциональности есть 1/𝑅² для сферы (умноженный на 3). Это число (коэффициент, характеризующий изменение площади при отклонении длины окружности от 2π) подходит для описания локальной кривизны, известной как Внутренняя Кривизна или также как Гауссова Средняя Кривизна Площади сферической поверхности, поскольку математика всех этих понятий восходит к Гауссу.

Мы можем легко рассмотреть другие кривые поверхности. Например, легко увидеть, что цилиндрическая поверхность имеет нулевую кривизну, так как цилиндрическая поверхность может быть развёрнута на плоскость без растяжения, очевидно, что отношение длины окружности к радиусу должно быть в точности равно 2π. Для более сложных случаев, если поверхности гладкие, они должны выглядеть как или параболоиды, или как гиперболические параболоиды по инфинитезимальным областям, в которых мы определили внутреннюю кривизну.

Эти поверхности описываются двумя линейными параметрами, радиусами кривизны в двух перпендикулярных плоскостях. В этом случае внутренняя кривизна определяется соотношением 1/(𝑅₁𝑅₂). Эта величина положительная, если поверхность параболическая, или отрицательная, если поверхность – гиперболический параболоид. Мы видим, что эта величина даёт правильное значение кривизны для специальных случаев сферических поверхностей и цилиндрических поверхностей; для сферы оба радиуса равны; для цилиндра один радиус равен бесконечности.

Кривизна четырёхмерного пространства будет определяться аналогичным математическим критерием. Тем не менее, мы едва ли можем ожидать, что мы окажемся в состоянии мысленно построить такие простые картинки и мы должны будем полагаться главным образом на аналитические методы, поскольку наша интуиция вероятно будет нас обманывать. Очень трудно думать о четырёхмерном пространстве специальной теории относительности, даже обладая хорошей интуицией, я считаю, что очень трудно наглядно представить то, что достаточно близко к нему, поскольку имеется знак минус в сигнатуре метрики. А представить себе такое пространство с кривизной было бы ещё труднее. Кривую двумерную поверхность удобно представлять, как кривую поверхность, погружённую в трёхмерное пространство. Но аналогичное описание для кривизны трёхмерного пространства требует концептуального погружения в пространство с шестью измерениями, а проделывая эту процедуру для четырёх измерений, мы должны думать о четырёхмерном пространстве, которое погружено в десятимерный мир. Таким образом, кривизна пространства-времени значительно сложнее, чем кривизна поверхности.

7.7. Число величин, инвариантных под действием преобразований общего вида

В четырёхмерной геометрии имеются двадцать коэффициентов, которые описывают кривизну способом, аналогичным тому, которым одна величина 1/(𝑅₁𝑅₂) описывает внутреннюю кривизну двумерной поверхности. Эти двадцать величин определяют физически значимые свойства тензора 𝑔_μν то же, что мы должны сделать, так это упростить тензор 𝑔'_μν разумным выбором координат, таким же способом, каким стало возможным определить геометрию двух измерений одной функцией ƒ(𝑥,𝑦) в соотношении (7.6.2).

Мы видели, что вообще говоря, мы не можем устранить гравитационные поля суперпозицией ускорений, за исключением одной точки. Так как кривизна может быть задана точным определением того, что происходит в инфинитезимальной области вокруг заданной точки, целесообразно изучить соответствующим образом в какой степени может быть упрощён тензор 𝑔_μν. По аналогии с двумерным случаем мы можем полагать, что возможно выбрать координаты (называемые нормальными координатами Римана) таким образом, что пространство вокруг этой точки – плоское, за исключением членов второго порядка малости от расстояния до этой точки. Другими словами, кривая поверхность отрывается от плоскости, которая является касательной к этой поверхности, причём отклонение поверхности от плоскости характеризуется величиной, которая квадратична от значений координат, измеряемых от точки касания; мы ожидаем, что аналогичная ситуация имеет место в четырёхмерном пространстве.

Давайте подсчитаем, сколько величин мы можем точно определить при преобразованиях и насколько мы можем упростить 𝑔'_μν, если мы делаем разложение в ряд функции 𝑔'_μν в окрестности некоторой точки 𝑥₀. Пусть любая точка в пространстве есть 𝑥 тогда имеется следующее разложение в ряд Тейлора функции 𝑔'_μν в окрестности точки 𝑥₀

𝑔'

_μν

(𝑥)

𝑔'

_μν

(𝑥₀)

𝑔'

_μν,τ

(𝑥₀)

(

𝑥

^τ

–

𝑥

𝑔'

_μν,τσ

(𝑥₀)

(

𝑥

^τ

–

𝑥

)(

𝑥

^σ

–

𝑥

)+…

(7.7.1)

Мы должны вычислить метрический тензор 𝑔'_μν(𝑥₀) и его производные согласно правилу, выраженному соотношением (7.4.8), это приводит к

𝑔'

_αβ

(𝑥₀)

⎡

⎢

⎣

∂𝑥^μ

∂𝑥'^α

⋅

∂𝑥^ν

∂𝑥'^β

⋅

𝑔

_μν

⎤

⎥

⎦𝑥₀

𝑔'

_αβ,τ

(𝑥₀)

⎡

⎢

⎣

∂𝑥^μ

∂𝑥'^α

⋅

∂𝑥^ν

∂𝑥'^β

⋅

𝑔

_μν,τ

⎤

⎥

⎦𝑥₀

⎡

⎢

⎣

∂²𝑥^μ

∂𝑥'^α∂𝑥'^τ

⋅

∂𝑥^ν

∂𝑥'^β

⋅

𝑔

_μν

⎤

⎥

⎦𝑥₀

𝑔'

_αβ,τσ

(𝑥₀)

⎡

⎢

⎣

∂𝑥^μ

∂𝑥'^α

⋅

∂𝑥^ν

∂𝑥'^β

⋅

𝑔

_μν,τσ

⎤

⎥

⎦𝑥₀

⎡

⎢

⎣

∂³𝑥^μ

∂𝑥'^α∂𝑥'^τ∂𝑥'^σ

⋅

∂𝑥^ν

∂𝑥'^β

⋅

𝑔

_μν

⎤

⎥

⎦𝑥₀

+ другие члены.

(7.7.2)

Мы видим, что для упрощения 𝑔'_μν мы рассматриваем только разложение до второго порядка малости, мы должны выбрать наши преобразования таким образом, чтобы частные производные, появляющиеся в соотношениях (7.7.2), имели определённые значения. Мы можем точно определить следующие величины в нашем преобразовании

Шестнадцать величин

⎡

⎢

⎣

∂𝑥^μ

∂𝑥'^α

⎤

⎥

⎦𝑥₀

Сорок величин

⎡

⎢

⎣

∂²𝑥^μ

∂𝑥'^α∂𝑥'^β

⎤

⎥

⎦𝑥₀

Восемьдесят величин

⎡

⎢

⎣

∂³𝑥^μ

∂𝑥'^α∂𝑥'^β∂𝑥'^γ

⎤

⎥

⎦𝑥₀

(7.7.3)

(Заметим, что порядок производных не имеет значения.) Другая сторона медали состоит в том, что количество величин и производных метрического тензора является следующим:

Имеется 10 компонент

𝑔'

_μν

(𝑥₀).

Имеется сорок первых производных

𝑔'

_μν

(𝑥₀,τ).

Имеется сто вторых производных

𝑔'

_μν

(𝑥₀,τσ).

(7.7.4)

Сначала мы можем попытаться сделать так, чтобы выполнялось равенство 𝑔'_μν(𝑥₀)=η_μν. Это соотношение включает в себя только первые производные [∂𝑥^μ/∂𝑥'^α]_𝑥₀. У нас есть 10 условий, которым необходимо удовлетворить с помощью 16 свободных параметров. Мы можем легко удовлетворить этим условиям, и у нас останется ещё свободными 6 степеней свободы. Эти шесть параметров являются параметрами специальной теории относительности, преобразований Лоренца и вращений (вектор скорости, ось вращения и угол), которые могут определять преобразования, оставляющие η_μν неизменным. Далее мы можем сделать так, чтобы все 40 производных 𝑔'_μν,τ(𝑥₀) в точности обращались в нуль, используя сорок величин

⎡

⎢

⎣

∂²𝑥^μ

∂𝑥'^α∂𝑥'^β

⎤

⎥

⎦𝑥₀

Производная 𝑔_μν появляется в уравнении движения для минимального действия ∫𝑑𝑠. То, что эти производные могут в некоторой точке обращаться в нуль, означает, что все гравитационные силы могут быть устранены в любой выделенной точке пространства и в некоторый момент времени выбором подходящих ускорений.

Получившийся в конце концов результат состоит в том, что остаются двадцать линейных комбинаций вторых производных типа 𝑔'_μν,τσ, которые не могут быть устранены таким преобразованием. Это те величины, которые должны описывать детальное поведение приливных сил. В следующей лекции мы приступим к построению этих двадцати величин через компоненты тензора 𝑔_μν, заданные в какой бы то ни было системе координат, которую мы выбрали для исходного анализа.

Лекция 8

8.1. Преобразования компонент тензора в неортогональных координатах

В большей части предыдущих рассуждений можно было использовать упрощённое обозначение для суммирования тензорных компонент, поскольку мы всегда имели дело с координатными системами, которые были ортогональны. В частности, мы всегда использовали правило суммирования по повторяющимся индексам

𝐴

_μ

𝐵

^μ

𝐴₄𝐵⁴

–

𝐴₃𝐵³

–

𝐴₂𝐵²

–

𝐴₁𝐵¹

(8.1.1)

В ортогональных координатных системах эти суммы являются инвариантными скалярными величинами; хорошо знакомый частный случай представляет собой суммирование, которое определяет собственное время в специальной теории относительности

(𝑑𝑠)²

(𝑑𝑡)²

–

(𝑑𝑥)²

–

(𝑑𝑦)²

–

(𝑑𝑧)²

(8.1.2)

Для более общих координатных систем, рассматриваемых нами теперь, которые ускоряются, скручиваются и сжимаются, собственное время определяется через произведения координатных смещений и метрический тензор (7.4.7); мы видим, что конструкция скалярных инвариантов следует правилу, которое более сложно, чем правило, задаваемое соотношением (8.1.1). Координатные смещения являются прототипами того, что мы будем называть контравариантными компонентами вектора. Для удобства обозначений будем записывать компоненты с помощью верхних индексов, например 𝑑𝑥^μ. Что является важным, так это закон преобразования этих контравариантных векторных компонентов при изменении системы координат. Для координатных интервалов этот закон описывается следующим соотношением:

𝑑𝑥'

^μ

∂𝑥'^μ

∂𝑥^α

𝑑𝑥

^α

(8.1.3)

Определим векторную функцию, которая представляет собой набор четырёх переменных, которые имеют характер координатных смещений и преобразуются таким же самым образом, как мы меняем координаты

𝐴

^μ

(𝑥')

∂𝑥'^μ

∂𝑥^α

𝐴

^α

(𝑥)

(8.1.4)

Мы называем величины 𝐴^μ контравариантными компонентами вектора. Мы можем очень легко распространить эти определения на тензоры более высокого ранга; например, тензор есть функция, которая преобразуется таким же самым образом, как и скалярное произведение двух векторов, т.е.

𝑇

^μν

(𝑥')

∂𝑥'^μ

∂𝑥^α

∂𝑥'^ν

∂𝑥^β

𝑇

^αβ

(8.1.5)

Когда мы сравниваем закон преобразования для метрического тензора с определением (8.1.5), мы видим, что 𝑔_μν не есть величина такого же рода, так как производные появляются в ”перевёрнутом виде”. Тем не менее, мы определили матрицу, которая является обратной к матрице 𝑔_μν,

𝑔

^να

𝑔

_αβ

^ν

_β

(8.1.6)

Нетрудно показать, что эта обратная матрица на самом деле составляет контравариантный тензор, так что и надлежит записывать его с двумя индексами, как мы и предчувствовали.

Аналогично предыдущему, нетрудно показать, что суммы

𝑔

_μν

𝑑𝑥

^μ

𝑑𝑥

^ν

(𝑑𝑠)²

(8.1.7)

и 𝑔_μν𝐴^μ𝐴^ν являются скалярными инвариантами; это происходит потому, что производные появляются в правильном порядке в одном случае и в ”перевёрнутом виде” в другом случае, так что после суммирования получаются δ-символы Кронекера.

Это наводит на мысль, что мы можем использовать метрический тензор 𝑔_μν Для того, чтобы определить векторные компоненты иного рода, имеющие другой закон преобразования

(а)

𝐴

_β

𝑔

_αβ

𝐴

^α

(б)

𝐴

_β

(𝑥')

∂𝑥^μ

∂𝑥'^β

𝐴

_μ

(𝑥)

(8.1.8)

которые мы будем называть ковариантными компонентами вектора. Скалярные инварианты, которые могут быть порождены суммированием, есть

𝐴

_β

𝐵

^β

(8.1.9)

При преобразованиях с индексами, которые мы проводим, будет важно следить за верхними и нижними индексами; в общем случае, будут допустимы суммирования только по одному нижнему и одному верхнему индексу. Например, в специальном случае ортогональных координат специальной теории относительности собственное время может быть теперь записано, как

(𝑑𝑠)²

_μν

𝑑𝑥

^μ

𝑑𝑥

^ν

(8.1.10)

Тензор η_μν – диагональный и имеет компоненты (1,-1,-1,-1).

Всякий раз, когда векторная величина появляется в физической задаче, например векторный потенциал в электродинамике, эта величина будет появляться в качестве или ковариантного, или контравариантного вектора. Но мы можем всегда построить один из другого, используя метрический тензор; мы можем всегда опустить или поднять индексы по своему желанию, умножая на величины 𝑔_μν или на компоненты матрицы, обратной к этой матрице. Можно построить тензоры, которые были бы частично ковариантны, частично контравариантны; такие тензоры имеют несколько верхних индексов, несколько нижних, и важно записать эти индексы таким образом, чтобы не было вопроса относительно их порядка

𝑔

_μα

𝑇

^μν

𝑇

_α

^ν

(8.1.11)

Для специального типа симметрических тензоров 𝑔_μν или 𝑔^μν мы можем ослабить это правило, так как поднятие или опускание индекса производит просто δ-символ Кронекера

𝑔

^μα

𝑔

_αν

^μ

_ν

(8.1.12)

Мы не будем утомлять себя тем, чтобы вновь рассматривать доказательства этих соотношений, поскольку они получены много лет тому назад и могут быть найдены во множестве книг. Все они использовались Эйнштейном, который придумал эти обозначения, что упростило работу с ними, и он является ”надёжным малым” (”reliable guy”), когда придумывает подобные штуки. Перемещение индексов, поднятие их или опускание, есть нечто мнемонические, так как это соответствует перемещению индексов в производных, которые определяют эти преобразования, в соотношениях (8.1.3), (8.1.4), (8.1.5) и (8.1.8).

Нет фундаментального физического различия между ковариантными и контравариантными компонентами вектора; они имеют одинаковое физическое содержание и меняется только их представление. Для случая двух измерений мы можем легко показать графически, как представления векторов отличаются. Так как преобразования определяются как инфинитезимальные перемещения, нам нет нужды беспокоиться о кривизне пространства; всё, что здесь заключено, это наличие ортогональности или её отсутствие. Если оси координат не пересекаются под прямым углом, то имеется два способа проектирования физического смещения на оси: или перпендикулярно на ось, или параллельно другим осям, как показано на рис. 8.1. Мы видим, что тензорные компоненты описывают отсутствие ортогональности координат в заданной точке.

Рис. 8.1.

8.2. Уравнения, определяющие инварианты 𝑔_μν

Теперь, когда у нас есть лучшее понимание роли метрического тензора, мы можем приступить к изучению того, какие величины могут быть построены из него, причём величины, остающиеся инвариантными при инфинитезимальных координатных преобразованиях.

То, что мы собираемся сделать сейчас, в точности совпадают с тем, что мы делали некоторое время назад при построении лагранжиана. Предположим, что мы делаем небольшое изменение в координатах

𝑥

^μ

𝑥'

^μ

(𝑥')

(8.2.1)

где предполагаются, что ζ^μ достаточно малы, так что нам необходимо сохранять только члены первого порядка малости по ζ^μ. Тогда для производных справедливы следующие соотношения

∂𝑥^α

∂𝑥'^μ

∂ζ^α

∂𝑥'^μ

(8.2.2)

Когда мы вычисляем новые компоненты 𝑔'_μν мы получаем произведение двух таких производных

𝑔'

_μν

(𝑥')

𝑔

_αβ

(𝑥'+ζ)

⎛

⎜

⎝

∂ζ^α

∂𝑥'^μ

⎞

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝

∂ζ^β

∂𝑥'^ν

⎞

⎟

⎠

(8.2.3)

Если мы оставляем только члены нулевого порядка и первого порядка малости по ζ^μ, то получаем

𝑔'

_μν

(𝑥')

𝑔

_μν

(𝑥')

𝑔

_αν

∂ζ^α

∂𝑥'^μ

𝑔

_μβ

∂ζ^β

∂𝑥'^ν

∂𝑔_μν

∂𝑥'^σ

^σ

(8.2.4)

Новые компоненты 𝑔'_μν равны старым компонентам 𝑔_μν плюс некоторые члены порядка ζ^μ Когда теперь мы спрашиваем, какие функции 𝑔_μν допускаются, если настаиваем, чтобы их форма осталась инвариантной, мы видим, что мы приходим к той же самой задаче, которую решили в лекции 6. Математическая задача является той же самой как и тогда, когда мы пытались найти лагранжиан, который приводил к сохраняющемуся тензору энергии-импульса.

Таким образом, имеется более чем одна точка зрения, которая приводит к одному и тому же уравнению и которая имеет то же самое физическое содержание. Мы обнаружили, что преобразование, которое возникло тогда, когда мы искали лагранжиан для гравитации, появляется также в решении чисто геометрической задачи. Мы предполагаем, следовательно, что некоторые физические и геометрически звучащие критерии эквивалентны; самосогласованность предыдущего подхода, к которому мы пришли, исходя из требования равной нулю дивергенции, должна быть эквивалентна тому условию, которое мы накладываем сейчас. В чем состоит физическая значимость инвариантов 𝑔_μν?

Уравнения движения могут быть выведены из вариационного принципа

∫

𝑑𝑠

∫

⎛

⎜

⎝

𝑔

_μν

(𝑥)

𝑑𝑥

^μ

𝑑𝑥

^ν

⎞½

⎟

⎠

(8.2.5)

Эти вычисления могут быть проведены до конца путём введения параметра 𝑢 так что квадратный корень под интегралом становится более точно определённой величиной

∫

𝑑𝑢

⎛

⎜

⎝

𝑔

_μν

(𝑥)

𝑑𝑥^μ

𝑑𝑢

𝑑𝑥^ν

𝑑𝑢

⎞½

⎟

⎠

(8.2.6)

Когда решение вариационной задачи проведено до конца, получается следующее уравнение геодезических

𝑑²𝑥^ν

𝑑𝑠²

στ

𝑑𝑥^σ

𝑑𝑠

𝑑𝑥^τ

𝑑𝑠

(8.2.7)

где

στ

𝑔

^μν

[στ,ν]

Так как вид этого уравнения остаются неизменным при изменении метрического тензора при произвольном преобразовании, то эти уравнения должны быть инвариантами метрики 𝑔_μν, которая содержит в себе физику данной проблемы.

8.3. О предположении, что пространство есть в точности плоское

Давайте попробуем обсудить, что мы узнали при выяснении того, что различные подходы, которые мы использовали, приводят к одним и тем же результатам. Точка зрения, которой мы до сих пор придерживались, состоит в том, что пространство описывается как пространство специальной теории относительности, которое для удобства мы будем называть галилеевым. В таком галилеевом пространстве могут существовать гравитационные поля ℎ_μν, которые приводят к тому, что линейки меняются в своей длине и скорости хода часов увеличиваются или уменьшаются. Так что говоря о результатах экспериментов мы вынуждены делать различия между масштабами действительных измерений, физическими масштабами и масштабами, с использованием которых написана эта теория, т.е. галилеевыми масштабами.

Теперь положение состоит в том, что именно физические координаты должны всегда воспроизводить одни и те же результаты. Может быть удобным для того, чтобы написать теорию в начале, предположить, что измерения делаются в пространстве, которое в принципе галилеево, но после того, как мы получим предсказываемые реальные эффекты, мы видим, что галилеево пространство не имеет смысла.

Это приводит к тому, что для нас не имеет смысла заявлять, что выбор координат, который сделал кто-либо другой, является сумасшедшим и бестолковым просто потому, что этот выбор не выглядит для нас галилеевым. Если он настаивает на трактовке такого выбора как галилеева и приписывает кривизну полям, он также абсолютно оправдывается, и это наше пространство выглядит бестолковым для него. Для любого физического результата получается один и тот же ответ независимо от того, какое исходное нанесение меток задано для положений объектов. Следовательно, мы видим, что это может быть философское улучшение, если мы могли бы сформулировать нашу теорию от начала таким способом, что нет галилеева пространства, которое входит в точное определение физики; мы всегда имеем дело с физическим пространством действительных измерений.

Мы можем снова порассуждать о человеке, который делает измерения с помощью физической линейки на раскалённой пластине. Линейка очевидно меняет длину при её передвижении от более горячих областей к более холодным. Но всё это имеет смысл только потому, что мы знаем нечто, что может измерять расстояния без такой зависимости от температуры, а именно свет. Если мы с помощью световых измерений можем вписать ”истинно евклидову” координатную систему на пластину, человек на раскалённой пластине мог бы оценить для нас величину температурного поля, т.е. поля, которое могло бы описывать, как линейка меняет свою длину при передвижении её по раскалённой пластине. Если, тем не менее, мы обманываем его и вписываем искажённую систему координат на пластине, но продолжаем говорить ему, что система координат евклидова, он даст описание другого температурного поля. Но нет способа, с помощью которого мы могли бы одурачить его, вписывая произвольные координатные системы на пластине, так что мы будем всегда менять результаты физических измерений, которые он проделывает полностью самостоятельно. Пока он использует только длины линеек в приведённых расстояниях, он будет всегда приходить к одним и тем же ответам независимо от того, к каким бы сумасшедшим температурным полям он мог бы придти, используя координаты, которые мы могли бы ему определить.

Эта ситуация совершенно ясна для случая раскалённой пластины, как для евклидова, так и неевклидова пространства, но только потому, что мы предположили, что тепло не оказывает влияния на световые измерения. Для случая гравитации, однако, мы знаем, что нет масштаба, который бы не искажался, т.е. нет такого ”света”, который бы не искажался гравитацией, и с помощью которого мы могли бы определить галилееву координатную систему. Таким образом, все координатные системы эквивалентны, и они отличаются только тем, что различные величины для полей необходимы для описания скорости хода часов или масштабов длин. Как только мы сконцентрировались на описании физических измерений, координатная система, используемая вначале, исчезает, так как она служит только для удобной расстановки меток, как метки в книгохранилище.

Есть один случай, в котором имеет смысл галилеева или евклидова координатная система, это предельный случай нулевой гравитации или предельный случай однородной температуры на раскалённой пластине. В этом случае физические и евклидовы расстояния описываются одной и той же геометрией. Если мы первоначально исходили из искривлённого нанесения меток положений, то мы могли бы обнаружить, что некоторое координатное преобразование не позволяет нам описать измерения без использования поля. Это существенное упрощение, но вновь это упрощение не обусловлено внутренней справедливостью евклидова описания геометрии, но тем фактом, что она соответствует определённой физической ситуации, которая обладает определённой физической простотой.

Если силы равны нулю всюду, то и символы Γ должны быть равны нулю всюду. Если эти силы не всюду равны нулю, то нет возможности определения ”наилучшей” системы координат. Однако возможно сделать их локально равными нулю (согласно принципу эквивалентности!).

8.4. О соотношениях между различными подходами к теории гравитации

Одна из своеобразных особенностей теории гравитации состоит в том, она имеет и полевую интерпретацию, и геометрическую интерпретацию. Так как эти интерпретации на самом деле являются двумя аспектами одной и той же теории, мы могли бы предположить, что венерианские учёные, после развития их полной полевой теории гравитации, могли бы в конце концов придти к геометрической точке зрения. Мы не можем быть абсолютно уверены в этом, так как никто никогда ещё не смог объяснить индуктивное рассуждение, никто не смог объяснить как продолжить анализ, когда мы знаем очень мало, для того, чтобы знать существенно больше.

В любом случае истина состоит в том, что поле спина 2 имеет геометрическую интерпретацию; это не является чем-то легко объяснимым, это удивительный факт. Геометрическая интерпретация не является действительно необходимой или существенной для физики. Возможно, что такое полное совпадение может быть понято как представление некоторого рода калибровочной инвариантности.

Возможно, что отношения между этими двумя точками зрения на гравитацию могли бы стать ясными после того, как мы обсудим третью точку зрения, исходя из которой, мы должны исследовать общие свойства полевых теорий при преобразованиях. Такая точка зрения будет рассматриваться нами много позже, мы обсуждаем этот вопрос здесь для того, чтобы получить ощущения тех возможных направлений, которые должны быть учтены при попытках понять, как гравитация может быть и геометрией, и полем.

Давайте сейчас и рассмотрим, что такое калибровочная инвариантность. Как обычно утверждается в электродинамике, это означает, что если мы заменяем векторный потенциал 𝐴 на

𝐴'

𝐴

∇𝑋

(8.4.1)

уравнения поля и физические эффекты остаются неизменными, выраженными через новый векторный потенциал 𝐴'. Этот факт может быть связан со свойством фазовой инвариантности амплитуд. Давайте теперь посмотрим, что происходит с квантово-механическими амплитудами; совершенно ясно, что если мы используем

ψ'

exp(𝑖𝑎)

при вычислении вероятности, то ничего не меняется в предсказываемой физике. В общем константа 𝑎 не приводит к появлению различий в предсказаниях. Что же происходит, если вместо константы о мы используем функцию 𝑋, которая меняется от точки к точке в пространстве? Уравнения всегда включают в себя градиенты ψ, которые есть

∇ψ'

exp(𝑖𝑋)

(

∇ψ

𝑖ψ∇𝑋

(8.4.2)

Однако оператор (∇-𝑖𝐴') оставляет функцию такой, что она изменилась только по фазе

(∇-𝑖𝐴')ψ'

exp(𝑖𝑋)

(∇-𝑖𝐴)ψ

(8.4.3)

Так что если имеется векторное поле, которое взаимодействует так, как мы предполагали, уравнения являются инвариантными при зависящих от пространства-времени фазовых преобразованиях этих ψ полей.

Теория векторного мезона Янга – Миллса является попыткой распространить идею калибровочного преобразования рассмотрением таким же способом инвариантности ядерного взаимодействия при изменении изотопического спина. Если амплитуда протона представляется величиной ψ, тогда

ψ'

exp(𝑖𝒓⋅𝒂)

(8.4.4)

описывает объект, который частично является протоном, частично нейтроном. Если 𝒂 есть постоянный вектор в изоспиновом пространстве, то инвариантность ядерных сил по отношению к изменениям изотопического спина означает, что новый объект ψ' действует во всех ядерных реакциях как ψ. Предложение Янга и Миллса состоит в том, что поле должно быть добавлено к лагранжиану таким способом, чтобы пространственно-зависимая фазовая замена (𝒂→𝑿) не приводила к различиям в уравнениях.

Как такие идеи могут быть связаны с гравитацией? Уравнения физики являются инвариантными, когда мы делаем координатные замены с любыми постоянными значениями 𝑎^μ

𝑥'

𝑥

^μ

𝑎

^μ

(8.4.5)

Для того, чтобы сделать формально более похожими фазовые и изоспиновые преобразования, можно было бы воспользоваться импульсным представлением, так что оператор сдвига есть

exp(𝑖𝑝

_μ

𝑎

^μ

)

С другой стороны, возможно исследовать, каким образом уравнения физики могут быть сделаны инвариантными в том случае, когда мы допускаем зависящие от координат в пространстве переменные смещения (𝑎^μ→ζ^μ) Исследование будет проводиться для более полного лагранжиана; новые члены, которые необходимы, являются в точности теми же самыми, что и для гравитационного поля. Таким образом, гравитация является тем полем, которое соответствует калибровочной инвариантности по отношению к преобразованиям смещения.

8.5. Кривизна как величина, относящаяся к касательному пространству

Мы можем рассмотреть данный вопрос геометрически, как Эйнштейн, и обратиться к кривизне и таким понятиям, которые выражаются на языке предельного перехода для величины радиуса и длины окружности. Только для того, чтобы показать, что подобный подход не является слишком сложным, мы используем его. Теперь, когда мы осознаем, что мы делаем, мы можем сделать более общие координатные преобразования. Мы говорили о том, каково было число производных. У нас была возможность сказать, что мы можем положить

𝑔

μν

_μν

(8.5.1)

путём соответствующего выбора шестнадцати первых производных ∂𝑥^α/∂𝑥'^ν. Мы предполагаем также, что мы можем выбрать сорок вторых производных (∂²𝑥^α/∂𝑥'^μ∂𝑥'^ν) таким образом, что все первые производные

𝑔

μν

равны нулю. Тогда имеется восемьдесят выбранных третьих производных и сотня вторых производных величины 𝑔_μν. Есть двадцать линейных комбинаций этих вторых производных, причём эти комбинации могут иметь геометрическое определение. Они не могут быть устранены преобразованием координат. То, что мы будем искать – это выражение для двадцати таких величин на языке исходных величин 𝑔_μν. Мы делаем данную процедуру в три шага, возвращаясь назад, так сказать. Сначала мы предполагаем, что выбрали первые и вторые производные (в выбранной точке путём преобразования к римановым нормальным координатам) таким образом, что

𝑔

μν

_μν

𝑔

μν,σ

и находим выражение для двадцати величин. Затем мы будем беспокоиться о том, как мы можем добиться выполнения этих условий и так выбрать новые координаты, исходя из произвольных начальных координат, чтобы получить эти двадцать величин через исходные величины 𝑔_μν.

Рис. 8.2.

Сначала мы обсудим геометрически определяемые величины в терминах координат в касательном пространстве в точке. То, что мы делаем в пространстве с четырьмя измерениями, аналогично следующей ситуации в двумерном пространстве. Искривлённое пространство можно рассматривать как поверхность и сравнить геометрию поверхности в данной точке с геометрией, рассматриваемой с касательной плоскости, как показано на рис. 8.2. Исходные координат ты на искривлённом пространстве вообще говоря неортогональны и не являются соответствующим образом ориентированными для того, чтобы допустить простейшее описание геометрии на языке инварианта 1/(𝑅₁𝑅₂) Первый шаг состоит в том, чтобы определить эту внутреннюю кривизну на языке исходной геометрии.

Только вторые производные начинают описывать в данной точке отклонение искривлённого пространства от плоского. Величины, характеризующие кривизну пространства, являются в точности мерой рассогласования между поверхностью и касательной плоскостью. Эти величины дают описание самого существенного характера пространства в заданной точке. Так как мы включили в рассмотрение только первые, вторые и третьи производные координат, то мы имеем достаточно общее преобразование в следующем виде:

𝑥

^α

𝑥'

^α

𝑎

^α

_μν

𝑥'

^μ

𝑥'

^ν

𝑏