Текст книги "Фейнмановские лекции по гравитации"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 22 страниц)

Для того, чтобы разрешить это несоответствие, необходимо включить в теорию избыточность так, чтобы многие различные классические полевые конфигурации описывали одно и то же физическое состояние. Другими словами, это должна быть калибровочная теория. Для безмассового поля спина 2 может быть показано, что необходимый калибровочный принцип является условием общей ковариантности, что приводит к эйнштейновской теории.

В лекции 3 Фейнман построил квадратичное действие безмассового поля спина 2, которое линейным образом связано с сохраняющимся тензором энергии-импульса. Он объясняет калибровочную инвариантность результирующего линейного полевого уравнения в разделе 3.7 и даёт комментарий в разделе 4.5 о том, что можно сделать вывод о нелинейном самовзаимодействии поля, основываясь на требовании калибровочной инвариантности амплитуд рассеяния. Но Фейнман не доводит эту программу до конца. (Он только замечает, что это довольно трудно было бы сделать.) Вместо этого, он использует довольно отличный от этого подхода метод для того, чтобы получить эйнштейновское нелинейное классическое полевое уравнение, метод, основное внимание в котором сосредоточено на непротиворечивости. Так как линейное полевое уравнение для свободного безмассового поля со спином 2 с необходимостью имеет калибровочную инвариантность (для того, чтобы устранить ненужные состояния спиральности), общие модификации такого полевого уравнения (такие, как модификации, которые возникают тогда, когда поле спина 2 связано с материей) не допускают никаких решений. Новые члены в модифицированном уравнении должны удовлетворять нетривиальному условию непротиворечивости, которое существенным образом является требованием того, что новые члены удовлетворяют калибровочной симметрии. Это условие непротиворечивости оказывается достаточным при указании пути в направлении специфического эйнштейновского множества нелинейных связей и соответствующего нелинейного полевого уравнения.

Более подробно: задача, как она сформулирована в разделе 6.2, состоит в том, чтобы найти функционал действия, 𝐹[ℎ] для поля спина 2 такого, что гравитационное полевое уравнение

δ𝐹

δℎ_μν

=

𝑇

^μν

(П.1)

согласуется с уравнением движения вещества. Здесь 𝑇^μν есть тензор энергии-импульса вещества. В лекции 3 Фейнман находит квадратичное выражение для 𝐹, которое удовлетворяет согласованному линейному полевому уравнению до тех пор, пока сохраняется тензор энергии-импульса вещества (для случая специальной теории относительности) 𝑇^μν_,ν. Беспокойство возникает тогда, когда поле ℎ_μν взаимодействует с веществом так, что вещество действует как источник ℎ_μν, уравнение движения вещества модифицируется гравитационными силами и величина 𝑇^μν_,ν не оказывается более нулевой. Таким образом, полевое уравнение для ℎ_μν и уравнение движения вещества оказываются несовместными; эти уравнение не допускают одновременных решений. В этом состоит проблема непротиворечивости (линейной теории).

Используя требования того, что полевое уравнение удовлетворяется тензором ℎ_μν совместно с уравнением движения материи, Фейнман сделал вывод о том, что нелинейные поправки более высокого порядка должны быть добавлены к действию 𝐹. Требование непротиворечивости может быть облачено в форму принципа инвариантности, которому удовлетворяет действие, (с учётом этого принципа действие есть инвариант при общих координатных преобразованиях). После этого фейнмановский анализ стал довольно общепринятым и привёл к заключению о том, что достаточно общее согласованное полевое уравнение, которое включает в себя не более двух производных, есть уравнение Эйнштейна (с космологической постоянной).

Результирующие нелинейные поправки имеют приятную физическую интерпретацию. Без этих поправок гравитация не имеет связи сама с собой. Когда нелинейные поправки включаются в рассмотрение, источник для гравитационного поля (как он рассматривается в плоском пространстве-времени Минковского) есть полный тензор энергии-импульса, включающий вклад, обусловленный собственно гравитационным полем. Другими словами, удовлетворяется (сильный) принцип эквивалентности. Закон сохранения, удовлетворяемый энергией-импульсом вещества, становится эйнштейновским ковариантным законом, 𝑇^μν_;ν=0, который в сущности допускает обмен энергией и импульсом между веществом и гравитацией.

Мы знаем из фейнмановских комментариев, сделанных в 1957 году на конференции в Чапел Хилл [DeWi 57], что уже тогда он работал над вычислениями, описанными в лекциях 2-6. Мюррей Гелл-Манн сообщал [Gell 89], что Фейнман и он обсуждали различные вопросы квантовой гравитации в течении рождественских каникул в 1954 – 55 годах, и что уже тогда Фейнман достиг ”значительного прогресса” в этой области.

Требование того, что единственная разумная теория взаимодействующего безмассового поля спина 2 является по существу общей теорией относительности (или хорошо аппроксимируется общей теорией относительности в низкоэнергетическом пределе), довольно часто высказывается и сегодня. (Например, доказывается, что так как теория суперструн содержит безмассовые частицы спина 2, это может быть теория гравитации). Фактически, Фейнман не был самым первым, кто высказал это требование.

Полевое уравнение для свободного безмассового поля спина 2 было выписано Фиртцем и Паули в 1939 году [FiPa 39]. С того времени идея рассмотрения эйнштейновской гравитации, как теории поля спина 2 в плоском пространстве, изредка встречалась в литературе. Тем не менее, насколько мы знаем, первая опубликованная попытка вывести нелинейные связи в теории Эйнштейна в рамках такого подхода появилась в работе Сурая Гупты в 1954 году [Gupt 54]. Гупта заметил, что действие в теории должно подчиняться нетривиальному условию непротиворечивости, которое удовлетворяется в общей теории относительности. Тем не менее, он не привёл никакого детального аргумента в пользу единственности полевого уравнения Эйнштейна.

Грубо говоря, аргумент Гупты состоит в следующем. Мы хотим построить теорию, в которой ”источник”, связанный с безмассовым полем спина 2, есть тензор энергии-импульса, включающий энергию-импульс самого поля спина 2. Если выбрать источник поля таким образом, что он есть тензор энергии-импульса ²𝑇^μν теории свободного поля (которая квадратична по ℎ), то связь этого источника с тензором ℎ_μν приводит к появлению кубического члена в лагранжиане. Из этого кубического члена в лагранжиане может быть выведен соответствующий кубический член ³𝑇^μν в тензоре энергии-импульса, который тогда включается в источник. Этим порождается член четвёртого порядка ⁴𝑇^μν и так далее. Эта итерационная процедура порождает бесконечные ряды, которые могут быть просуммированы для того, чтобы получить полные нелинейные уравнения Эйнштейна. Гупта кратко описал эту процедуру, но на самом деле не довёл её до завершения. Первая полная (и особенно элегантная) версия была опубликована Дезером в 1970 году [Dese 70]. Дезер также заметил, что теория Янга-Миллса может быть выведена, исходя из подобного подхода.

За несколько лет до работы Гупты, Роберт Крайчман, тогда 18-летний студент Массачусетского Технологического Института, также изучал проблемы вывода общей теории относительности как непротиворечивой теории безмассового поля спина 2 в плоском пространстве. Он описал свои результаты в неопубликованной диссертации на степень бакалавра [Krai 47]. Крайчман продолжил исследования по этой проблеме в Институте Перспективных Исследований в 1949 – 1950 годах. Он вспоминает, что хотя он и получил некоторое одобрение от Брайса Де Витта, очень немногие из его коллег поддерживали его усилия. Эта группа определённо включала в себя самого Эйнштейна, который пришёл в ужас от такого подхода к гравитации, отвергавшего его собственное геометрическое понимание, полученное им в результате огромной проделанной работы. Крайчман не публиковал никакие из своих результатов до 1955 года [Krai 55, Krai 56], когда он наконец нашёл вывод, который его удовлетворил. В отличие от Гупты, Крайчман не предполагал, что гравитация взаимодействует с полным тензором энергии-импульса. Скорее всего он, как и Фейнман, выводил свой результат как следствие непротиворечивости полевых уравнений. Кажется вероятным, что Фейнман совершенно ничего не знал о работах Гупты и Крайчмана.

Мы должны были бы указать на то, что анализ Фейнмана весьма далёк от наиболее общего анализа, который можно было бы провести (анализ Фейнмана является существенно менее общим, чем анализ Крайчмана). Фейнман предполагал некоторый частный вид для действия вещества (которое соответствует действию для релятивистской частицы) и далее предполагал строго линейную связь поля вещества спина 2 (которая была бы невозможна для более общего действия для материи). В частности, отметим, что все физические предсказания теории не меняются, если проводится нелинейное локальное переопределение поля спина 2; мы вольны сделать замену ℎ_μν(𝑥) на ℎ_μν(ℎ(𝑥))=ℎ_μν(𝑥)+𝑂(ℎ(𝑥)²). Фейнман косвенным образом устранил эту свободу для того, чтобы делать подобные переопределения исходя из требования, что взаимодействие с материей должно быть линейно по ℎ. (Полевые переопределения рассматривались детально Боулваром и Дезером [BoDe 75].) Значительно более общий анализ условия непротиворечивости для полевого уравнения проводился позднее Волдом [Wald 86] и привёл его в конце концов к заключениям, аналогичным тем, к которым пришли Крайчман и Фейнман.

Совершенно другой подход к выводу формы гравитационного взаимодействия был разработан Вейнбергом [Wein 64а, Wein 64b]. Сделав весьма разумные предположения об аналитических свойствах амплитуд рассеяния при гравитон-гравитон взаимодействии, Вейнберг показал, что теория взаимодействующей безмассовой частицы со спином 2 может быть лоренц-инвариантной, только если частицы взаимодействуют с материей (включая взаимодействие с самой собой) с некоторой универсальной силой, другими словами, только если удовлетворяется сильный принцип эквивалентности. До известной степени аргументация Вейнберга – наиболее глубокая и мощная, так как свойство того, как гравитон взаимодействует с тензором энергии-импульса, выводится из других более общих принципов. Как только принцип эквивалентности установлен, можно продолжить построение эйнштейновской теории [Wein 72].

Наконец, существует вопрос о том, как должны быть исключены члены в лагранжиане, включающие в себя производные выше второго порядка от тензора ℎ_μν. В лекциях Фейнмана этому вопросу уделено очень мало внимания, за исключением замечания в разделе 6.2, что включение членов с двумя производными (или менее) приведёт к ”наипростейшей” теории. (См. также в разделе 10.3 связанное с этим замечание в слегка другом контексте.) Фейнман, по-видимому, не предвосхитил современную точку зрения [Wein 79], что члены с более высокими производными обязательно присутствуют в лагранжиане, но эти члены оказывают пренебрежимо малое влияние на предсказания теории, когда кривизна пространства-времени мала. Философия, лежащая в основе этой точки зрения, состоит в том, что лагранжиан эйнштейновской теории является просто ”эффективным лагранжианом”, который описывает низко-энергетическую феноменологию более фундаментальной теории – теории, которая могла бы включать в себя новые степени свободы (суперструны?) на масштабах длины порядка планковской длины 𝐿_𝑃=(𝐺ℏ/𝑎²)^½≃10^-33 см. В эффективном лагранжиане допускаются все члены, согласованные с общими принципами, включая члены с произвольным числом производных. Тем не менее, основываясь на соображениях размерности, член с более высокими производными имеет коэффициент, пропорциональный более высокой степени 𝐿_𝑃. Таким образом, в процессе, включающем в себя характерный радиус кривизны порядка 𝐿, члены в лагранжиане с четырьмя производными дают эффекты, которые подавлены по сравнению с эффектами, вызываемыми членами со второй производной, подавлены множителем порядка (Lp/L)², который чрезвычайно мал для любых разумных процессов. В таком случае мы можем понять, почему усечённая теория, включающая только члены со второй производной и ниже, была бы в замечательном согласии с экспериментом.

С другой стороны, то же самое рассуждение также приводит к ожиданию появления ”космологического” члена (в котором нет производных) с коэффициентом порядка 1 в единицах 𝐿_𝑃. То, что космологическая постоянная является фактически необычайно малой сравнительно с такими наивными ожиданиями, остаётся одной из великих неразрешённых тайн физики гравитации [Wein 89].

Геометрия

После проведения исследований в целях построения разумной теории, которая описывает взаимодействия безмассовых полей спина 2 в плоском пространстве, Фейнман не отказался от того, чтобы высказать восхищение (как в разделе 8.4), что получившаяся в результате теория имеет геометрическую интерпретацию: ”… этот факт состоит в том, что поле спина 2 имеет геометрическую интерпретацию; это не является чем-то легко объяснимым, это является просто удивительным.” В лекциях 8-10 при развитии теории используется геометрический язык, который является более традиционным, чем тот подход, который использовался в его более ранних лекциях.

В разделе 9.3 Фейнман замечает, что он не знает геометрической интерпретации тождества Бианки, и он кратко описывает, как можно было бы обнаружить этот геометрический смысл. Геометрическая интерпретация, которую он представляет, была в явном виде описана в работе французского математика Эли Картана в 1928 году [Cart 28]; тем не менее, она была неизвестна широким кругам физиков, даже кругам профессиональных релятивистов в 1962 году. Эта геометрическая интерпретация была высказана на языке дифференциальных форм, на котором Фейнман не говорил. Интерпретация Картана состояла в том, что ”граница границы равна нулю”, как было в конце концов извлечено из идей Картана Чарльзом Мизнером и Джоном Уилером в 1971 году, что сделало эту интерпретацию широко доступной; см. например, часть 15 монографии [MTW 73] на техническом уровне и часть 7 книги [Whee 90] на популярном уровне.

Космология

Некоторые из идей Фейнмана о космологии имеют современное звучание. Хороший пример – это его внимание к вопросу о происхождении материи. Идея о непрерывном образовании вещества в стационарной космологической модели серьёзно не раздражает его (он замечает в разделе 12.2, что в космологии Большого Взрыва существует проблема (причём довольно неприятная), как объяснить, откуда берётся вся материя в самом начале). В разделе 1.2 и вновь в разделе 13.3 он подчёркивает, что полная энергия вселенной могла бы быть в действительности равной нулю, и что образование вещества возможно, поскольку энергия покоя вещества на самом деле сокращается энергией гравитационного потенциала. ”Дух захватывает от мысли о том, что ничего не стоит образовать новую частицу…”. Это близко к популярному взгляду на то, что вселенная есть ”бесплатный обед”, ничто или почти ничто взрывается до космологического размера, проходя через чудо инфляции [Guth 81]. Фейнман беспокоился более о необходимости несохранения барионного числа, если вселенная возникает из ”ничего”.

Фейнман также выразил предпочтение для ”критического” значения плотности в разделе 13.1, и этот предрассудок довольно широко распространён сейчас [LiBr 90]. В разделе 13.2 он дал интересный (и качественно правильный) аргумент в поддержку того, что плотность близка к критической: он замечает, что существование скоплений и сверхскоплений галактик приводит к тому, что ”гравитационная энергия того же самого порядка, что и кинетическая энергия расширения, это позволяет мне предположить, что средняя плотность должна быть очень близка к критической плотности всюду.” В 1962 году это был довольно непривычный аргумент.

Очевидно, что уже в начале 60-х годов Фейнман признал необходимость новых фундаментальных принципов физики, которые могли бы обеспечить нас предварительным описанием начальных условий вселенной. В начале этих лекций, в разделе 2.1, он отклоняется на обсуждение оснований статистической механики, чтобы выразить убеждение в том, что второй закон термодинамики должен иметь космологическое происхождение. Отметим его утверждение ”…вопрос состоит в том, как в квантовой механике описать ту идею, что состояние вселенной в прошлом было чем-то особенным.” (Подобная интуитивная догадка также появилась в книгах ”Фейнмановскиелекции по физике” [Feyn 63а] и ”Характер физических законов” [Feyn 67], которые были датированы тем же самым периодом.) Таким образом, по-видимому, Фейнман предвидел то увлечение квантовой космологией, которое начало овладевать вниманием значительной части физического сообщества около двадцати лет назад. Он также выражает в разделах 1.4 и 2.1 неприемлемость копенгагенской интерпретации квантовой механики в космологическом контексте.

Сверхзвёзды

В 1962 – 63 годах, когда Фейнман читал свои лекции по гравитации, КАЛТЕХ был взволнован новыми открытиями ”сильных радиоисточников”.

В течение 30 лет астрономы были озадачены выяснением природы этих наиболее сильных из всех объектов, излучающих в радиодиапазоне. В 1951 году Уолтер Бааде [Baad 52] использовал новый оптический 200-дюймовый телескоп КАЛТЕХ’a на горе Паломар для того, чтобы открыть наиболее яркий из радиоисточников – Лебедь A (Cygnus А), который не являлся (как это ожидали астрономы) звездой в нашей собственной Галактике, но был связан с некоторой особенной, довольно удалённой галактикой. Двумя годами позже Р.К.Дженнисон и М.К.Дас Гупта [JeDG 53], изучая источник Лебедь А с помощью нового радиоинтерферометра в Джодрелл Бенк, Англия, открыли, что большая часть радиоволн приходит не от внутренней части галактики, а от двух гигантских полостей, расположенных с противоположных сторон от галактики, которые имеют размер около 200 000 световых лет и около 200 000 световых лет между этими полостями. Радиоинтерферометр КАЛТЕХ’а, расположенный в ущелье Оуэнса, вошёл в строй в конце 50-х годов, и в 1962-63 годах, времени чтения лекций Фейнмана, этот интерферометр использовался совместно с оптическим 200-дюймовым телескопом на горе Паломар для того, чтобы идентифицировать многие другие радиоисточники с двойными полостями. Некоторые, как и Лебедь А, размещены в центре галактик; другие объекты размещены на звездоподобных точечных источниках света (которые, как обнаружил 5 февраля 1963 сотрудник КАЛТЕХ’а Мартин Шмидт, имеют гигантские значения красного смещения [Schm 63], а позже в том же году Хонг Йи Чиу, назвал эти объекты квазарами). В 1962 году и в начале 1963 года, тогда как астрономы КАЛТЕХ’а соревновались друг с другом для того, чтобы провести новые и лучшие наблюдения этих странных объектов и проинтерпретировать их спектры, астрофизики соревновались в построении моделей этих объектов.¹

¹ Для ознакомления с дальнейшими историческими деталями, см., например, часть 9 [Thor 94] и ссылки в этой книге.

Одна особенно многообещающая модель была представлена летом 1962 года сотрудником Кембриджа Фредом Хойлом и сотрудником КАЛТЕХ’а Уильямом Фаулером [HoFo 63]. В рамках этой модели предполагается, что мощность для каждого сильного радиоисточника приходит от сверхмассивной звезды в центре галактики. Громадная величина энергии радиополостей (оценённая Джеоффри Бербиджем как 10⁵⁸ – 10⁶⁰ эрг, т.е. эквивалент энергии 10⁴ – 10⁶ солнечных масс) требует, чтобы эта система управлялась бы сверхмассивной звездой, имеющей массу ~ 10⁶ – 10⁹ солнечных масс. По сравнению с верхним пределом массы нормальных звёзд, равным ~ 100 солнечных масс, эти объекты Хойла – Фаулера были на самом деле ”сверхмассивными.” Эти объекты стали называться в некоторых кругах сверхзвёздами.

Где-то в начале 1963 года (вероятно в феврале или марте) Фред Хойл делал доклад на семинаре (SINS)¹ в Лаборатории излучения (Лаборатории Келлога) КАЛТЕХ’а о модели сверхзвезды для сильных радиоисточников. Во время, когда задавали вопросы, Ричард Фейнман высказал возражение о том, что эффекты общей теории относительности должны были бы делать все сверхзвёзды неустойчивыми, по крайней мере, в том случае, если они невращающиеся. Они должны были бы коллапсировать для того, чтобы образовать то, что в настоящее время называется чёрными дырами.

¹ ”Stellax Interiors and Nucleosynthesis” – ”внутреннее строение звёзд и нуклеосинтез” – серия семинаров, которые организовал и проводил Фаулер.

Хойл и Фаулер находились в сомнении, но в течение нескольких месяцев они и независимо от них Ико Ибен [Iben 63] (старший научный сотрудник в Лаборатории Келлога, в которой работал Фаулер) проверили и убедились в том, что Фейнман наиболее вероятно был прав. С. Чандрасекар из Чикагского Университета независимо открыл неустойчивость в рамках общей теории относительности и вполне определённым образом проанализировал эту неустойчивость.

По словам Хойла и Фаулера замечание Фейнмана было ”громом среди ясного неба”, полностью неожиданным и не имело видимого основания, за исключением изумительной физической интуиции Фейнмана. На Фаулера это произвело такое впечатление, что он описывал этот семинар и интуитивную догадку Фейнмана многим коллегам по всему миру, добавляя, тем самым, ещё одну (правдивую) историю к легенде Фейнмана.

На самом деле интуиция Фейнмана не возникала без труда. Здесь, как и где-нибудь в другом месте, эта интуиция основывалась на огромном объёме детальных вычислений, проводимых из-за любознательности Фейнмана. И в этом случае, в отличие от других, Фейнман оставил нам моментальный снимок его напряжённой работы, в результате которой им было сделано открытие: это лекция 14 в этом томе.

Мы собрали вместе обстоятельства, окружающие лекцию 14, главным образом основываясь на записках января 1963 года Ико Ибена и на его воспоминаниях, кроме того, на беседе между Фейнманом и Торном, произошедшей где-то в районе 1971 года, и фрагментах воспоминаний Джеймса Бардина, Стивена Фраучи, Джеймса Хартля и Уильяма Фаулера.

Где-то в конце 1962 года или в начале января 1963 года Фейнману должно было придти в голову, что на сверхзвёзды Хойла – Фаулера должны были бы оказывать сильное влияние силы общей теории относительности. Согласно запискам Ибена, Фейнман пришёл в его комнату в Лаборатории Келлога где-то до 18 января, поднял вопрос о том, как влияет общая теория относительности на сверхзвёзды, показал Ибену уравнения общей теории относительности, которые описывают структуру сверхзвезды и которые Фейнман выписал для самого себя, исходя из первых принципов, и спросил о том, как астрофизики, такие как Ибен, действуют при построении ньютоновских звёздных моделей из аналогичных ньютоновских уравнений. После этого обсуждения, Фейнман ушёл и вернулся где-то на неделе (21 – 25 января). "Фейнман ошарашил меня”, вспоминал Ибен, ”тем, что он пришёл и сказал мне, что он [уже] решил … уравнения. Он сказал мне, что он провёл некоторые консультации с компьютерной фирмой и решил эти уравнения в реальное время, как это должно было бы быть сделано на поколении компьютеров типа рабочей станции”.

В понедельник 28 января, имея только несколько дней для того, чтобы обдумать численные решения (и, предположительно, затратив достаточно много времени на различные другие дела, так как он должен был готовить лекцию для второкурсников в тот же самый понедельник), Фейнман прочитал лекцию 14 из этой книги. (Заметим, что это было всего за восемь дней до открытия Мартином Шмидтом красных смещений квазаров.)

Лекция 14 пришлась на середину усилий Фейнмана, направленных на то, чтобы представить себе, как должны вести себя сверхзвёзды, эта лекция была до того, как он осознал, что эффекты общей теории относительности дестабилизируют эти сверхзвёзды. Как результат, посвящённые интерпретации фрагменты лекции 14 (разделы 14.3 и 14.4) в большой степени неверны, но несмотря на это представляется интересным указать те пути, которые использовал Фейнман при своём интуитивном подходе к решению этой задачи.

Фейнман никогда не просматривал напечатанную Мориниго и Вагнером версию лекции 14; и в 1971 году, когда он одобрил лекции 12 – 16 для распространения, он скорее всего забыл, что часть лекции 14, связанная с интерпретацией, представляет собой отчёт о рассуждениях, которые однако не принесли достойного плода.

Фейнман начал свою лекцию 14 введением модели сверхзвезды, "которая очень проста, но может, тем не менее, обладать огромным множеством атрибутов реальных процессов. После того, как мы поймём, как обходиться с решением такой простой задачи, мы можем позаботиться об усовершенствованиях в модели.” (Усовершенствования – это учёт влияния электрон-позитронных пар, испускания нейтрино, ядерного горения, вращения, неустойчивостей – будут добавлены позднее в 1963 -64 годах Ибеном [Iben 63], Куртисом Майклом [Mich 63], Фаулером [Fowl 64] и Бардиным [Bard 65] при значительных обсуждениях с Фейнманом и постановке им некоторых задач.)

Поскольку цель Фейнмана состояла в изучении эффектов общей теории относительности, его модель сверхзвезды была полностью общерелятивистская, в отличие от предыдущих моделей Хойла – Фаулера, которые были ньютоновыми. С другой стороны, там, где Фаулер и Хойл включили в рассмотрение вклад и газа, и излучения в давление звезды и внутреннюю плотность энергии, Фейнман упрощает модель, игнорируя вклад газа в давление 𝑝_газ и во внутреннюю энергию ε_газ. Это представляется разумным, так как основное внимание Фейнмана сосредоточено на сверхзвезде с массой 𝑀=10⁹𝑀_sun, а Хойл и Фаулер показали, что в ньютоновском пределе сверхзвезды сильно радиационно-доминировали при

β

≡

𝑝_газ

𝑝_{излучение}

=

2ε_газ

ε_{излучение}

=

=

8,6

⎛

⎜

⎝

𝑀_sun

𝑀

⎞½

⎟

⎠

≃

3×10

^-4

⎛

⎜

⎝

10⁹𝑀_sun

𝑀

⎞½

⎟

⎠

.

(П.2)

(Здесь для простоты мы предполагаем, что газ является чистым водородом). Поскольку такие звёзды в большой степени являются конвективными, их энтропия на нуклон есть величина, не зависящая от радиуса, что означает в свою очередь, что величина β есть 8х(Постоянная Больцмана)/(энтропия на нуклон), есть также величина, не зависящая от радиуса; и этот факт остаётся справедливым и для общерелятивисткого случая, как отдавал себе в этом отчёт Фейнман, хотя уравнение (П.2) меняется на множитель порядка единицы.

Пренебрегая вкладом 𝑝_газ и ε_газ, Фейнман приступил в разделе 14.1 и 14.2 лекции 14 к построению общерелятивистских уравнений, описывающих структуру сверхзвёзд, он сообщает, что он проинтегрировал их численно и представил результаты в таблице 14.1. Эта таблица может быть проинтерпретирована с помощью уравнений (14.2.1), в которых параметр Фейнмана τ есть

τ

=

4/3

энтропия на нуклон

=

=

⎛

⎜

⎝

масса покоя нуклона

Постоянная Больцмана

⎞

⎟

⎠

β

6

≃

1800β

,

(П.3)

так как Фейнман использует единицы, в которых масса покоя нуклона и температура 10⁹ °К кладутся равными единице.

При обсуждении моделей Фейнмана и его (неверной) интерпретации их, полезно было бы использовать рисунок П.1. Этот рисунок показывает некоторые признаки семейства моделей сверхзвёзд, которые построил Фейнман (толстая кривая), совместно с их продолжением на ультрарелятивистский режим (верхняя тонкая линия) и их продолжением на почти ньютоновский режим (нижняя тонкая линия) – эти продолжения были вычислены позднее Ибеном [Iben 63], Фаулером [Fowl 64], Бардиным [Bard 65] и Тупером [Тоор 66]. По вертикальной оси откладывается гравитационная энергия связи звезды со знаком ”минус”; по горизонтальной оси откладывается радиус звезды. В практически ньютоновском режиме (затенённая область кривой связи энергии), который Фейнман не исследует, нельзя пренебрегать величинами 𝑝_газ и ε_газ, энергия связи задаётся (как показал Фаулер [Fowl 64], как отклик на "гром среди ясного неба” Фейнмана) следующим тонким балансом между газовым давлением (первым членом) и эффектами общей теории относительности (второй член):

𝑀-𝑀_rest

𝑀_rest

≃-

3β

8

⎛

⎜

⎝

2𝑀

𝑅

⎞

⎟

⎠

+

1,3

⎛

⎜

⎝

2𝑀

𝑅

⎞²

⎟

⎠

.

(П.4)

Здесь 2𝑀 – радиус Шварцшильда чёрной дыры с той же самой массой, что и масса сверхзвезды.

При интерпретации моделей в разделе 14.3 Фейнман начал с того, что спросил об эволюции сверхзвезды, состоящей из фиксированного количества нуклонов (т.е. фиксированной нуклонной массы покоя 𝑀_rest), которая постепенно излучает тепловую энергию, что, тем самым, приводит к уменьшению полной массы 𝑀 и делает звезду более плотно связанной. Он обнаружил странную эволюцию: когда звезда излучает, её радиус увеличивается (движение вниз и направо по толстой кривой на рис. П.1) и её температура в центре уменьшается. Это противоречит поведению большей части других звёзд, которые, когда они излучают, сжимаются и нагреваются, в том случае, если в них не происходит горения термоядерного топлива. (Если вместо того, чтобы иметь дело с полностью релятивистской областью слева от точки минимума кривой связи, Фейнман сохранил бы учёт влияния газа и провёл вычисления в почти ньютоновской области справа, он обнаружил бы противоположное поведение: сверхзвезда должна была бы сжиматься и нагреваться, когда она излучает).

Рис. П.1. Энергия связи звезды, состоящей из водорода. На вертикальной оси слева отложена отрицательная величина относительной энергии связи, т.е. (𝑀-𝑀_rest)𝑀_rest, где 𝑀 – полная масса звезды и 𝑀_rest – полная масса покоя всех нуклонов звезды; по горизонтальной (верхней) оси отложен радиус звезды в единицах радиуса Шварцшильда 2𝑀 чёрной дыры с той же самой массой. Масштабы, отложенные на левой оси и верхней оси, справедливы в белой области для сверхзвёзд любой массы, но в (почти ньютоновской) затенённой области только при 𝑀=10⁶𝑀_sun На вертикальной правой оси отложена отрицательная величина от относительной энергии связи в единицах массы Солнца 𝑀_sun; на нижней горизонтальной оси отложена величина 𝑅/2𝑀, умноженная на отношение β газового давления и полного давления. Правый и нижний масштабы оказываются справедливыми для сверхзвёзд любой массы в почти ньютоновский затенённой области, но они оказываются неверными в полностью релятивистской белой области. Вертикальный масштаб является арктангенсом, т.е. он почти линеен при |(𝑀-𝑀_rest)𝑀_rest|≲1, и логарифмическим при |(𝑀-𝑀_rest)𝑀_rest|≳1. Толстая часть кривой следует из вычислений Фейнмана, изложенных в лекции 14, тонкие части связаны с работами Ибена [Iben 63], Фаулера [Fowl 64], Бардина [Bard 65] и Тупера [Тоор 66].

Фейнман поставил вопрос о том, являются ли его модели сверхзвёзд устойчивыми. ”Устойчивость нашей звезды не изучена [количественно]”, подчёркивает он и затем продолжает представлять исходные рассуждения по данному вопросу: ”[Модели, которые имеют] одно и то же количество нуклонов и одно и то же значение τ [одно и то же значение энтропии], могут сравниваться как по значению радиуса, так и по температуре в центре. Факт, состоящий в том, что очевидно имеется минимальное значение радиуса [наиболее левый изгиб на рис. П.1], … является очень соблазнительным; звезда может иметь устойчивую конфигурацию”. Здесь Фейнман интуитивно идёт к методу анализа устойчивости, создание которого было завершено год или более спустя Джеймсом Бардиным, когда он стал аспирантом Фейнмана. Завершённая Бардиным версия аргумента Фейнмана [Bard 65, ВТМ 66] показала, что когда мы движемся вдоль кривой, описывающей энергию связи, ограничивая себя только фиксированными значениями массы 𝑀_rest, энтропия меняется от одной модели к другой, за исключением области в окрестности каждого минимума или максимума связи, где конфигурация является стационарной. Это означает, что звезда обладает модой деформации с нулевой частотой для каждого значения минимума или максимума, модой, которая переносит сверхзвезду от одной равновесной модели к другой с тем же самым значением энтропии, энергии связи и массой покоя. Это в свою очередь означает, что одна мода радиальных колебаний меняет устойчивость в каждом экстремуме связи. Анализируя эти конфигурации и рассматривая моды собственных функций, которые должны иметь место, Бардин выводит, что если кривая связи поворачивается по часовой стрелке, когда по ней перемещаемся через экстремум, тогда эта мода становится неустойчивой; если эта кривая поворачивается против часовой стрелке, тогда эта мода становится устойчивой. (Это утверждение является справедливым вне зависимости от того направления, в котором мы движемся по кривой.) Анализ Бардина, приложенный к рис. П.1, показывает, что практически ньютоновские модели в нижнем правом углу (которые сжимаются, когда они излучают) являются устойчивыми, и они должны терять устойчивость и коллапсировать для того, чтобы образовать чёрную дыру, когда они достигают минимума кривой связи; эти модели за точкой минимума (включая все модели Фейнмана) обладают одной неустойчивой модой радиальной пульсации; эти модели за первым пиком в кривой связи (верхняя левая часть рис. П.1) обладают двумя неустойчивыми модами и т.д.