Текст книги "Фейнмановские лекции по гравитации"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 7 (всего у книги 22 страниц)

2.2. Трудности гипотетических теорий

При построении новой теории мы должны побеспокоиться о том, чтобы добиться того, чтобы построенные теории были точными, дающими описание, из которого могут быть сделаны определённые заключения. Мы не хотим следовать моде, которая позволила бы нам менять детали теории в любом месте, в котором мы найдём, что теория противоречит экспериментам или нашим начальным постулатам. Любая неясная теория, которая не является полным абсурдом, может быть поправлена более неясным разговором в каждом случае, в котором возникают несогласованности – и если мы начинаем верить в такой разговор более, чем в (экспериментальное) доказательство, мы будем находиться в плачевном состоянии. Нечто подобного рода происходит с вариантами единой теории поля. Например, может быть, что одна такая теория говорила, что имеется тензор 𝐽_μν, который ”ассоциируется” с электромагнитным тензором. Но что значит такое ”ассоциирование”? Если мы устанавливаем, что эти два объекта идентичны, то такая теория предсказывает неверные эффекты. Но если мы не уточнили, что значит ”ассоциировано”, мы не знаем, что сказано. И разговор о том, что такая ”ассоциация” означает ”предлагать” некоторое новое соотношение, приводит в никуда. Такие неверные предсказания приписываются неверным ”предложениям” скорее, чем неверной теории, и люди сохраняют намерение добавлять новую часть некоторого антисимметричного тензора, которое могло бы как-нибудь устранить недостатки теории. Такой умозрительный разговор заслуживает доверия не больше, чем разговор исследователей чисел, которые ищут случайные соотношения между определёнными величинами, которые должны были бы непрерывно модифицироваться в том случае, если бы значения этих величин измерялись всё с большей и большей точностью сначала первоначально выбранных величин, а затем всё более и более мелких долей этих величин для того, чтобы предлагаемые соотношения не отставали от всё более и более малых неопределённостей в измеряемых величинах.

В этой связи я хотел бы рассказать анекдот, который был частью беседы, произошедшей после коктейля в Париже несколько лет тому назад. Это случилось в то время, когда все дамы таинственным образом исчезли, и я столкнулся лицом к лицу со знаменитым профессором, который торжественно сидел в кресле, окружённый своими студентами. Он спросил: ”Скажите мне, профессор Фейнман, почему Вы уверены в том, что фотон не имеет массы покоя?” Я ответил: ”Конечно, это зависит от массы; очевидно, что если эта масса бесконечно мала, то этот эффект нигде не мог бы проявиться, и я не мог бы опровергнуть его существование, но я был бы рад обсудить, что эта масса не является равной определённой конечной величине. Но условие обсуждения состоит в том, что после того, как я дам аргументы о невозможности такого значения массы, должно быть против правил менять значение массы”. Тогда профессор выбрал значение 10⁻⁶ массы электрона.

Мой ответ состоял в том, что, если мы согласны с тем, что масса фотона связана с частотой как ω=√𝑘²+𝑚², фотоны с различными длинами волн должны были бы путешествовать с различными скоростями. Тогда при наблюдении затменной двойной звезды, которая от нас достаточно удалена, мы должны были бы наблюдать затмение в голубом и красном диапазоне в различное время. Поскольку ничего подобного не наблюдается, мы можем положить верхний предел на эту массу, который, если использовать числа, порядка 10⁻⁹ массы электрона. Мой ответ был переведён профессору. Тогда он захотел узнать, чтобы я сказал, если бы он сказал 10⁻¹² массы электрона. Переводивший студент был смущён таким вопросом, я протестовал, что это против наших правил, но согласился попробовать снова.

Если фотоны имеют малую массу, одинаковую для всех фотонов, большие относительные различия от поведения безмассовых фотонов ожидаются в тех случаях, когда длина волны больше. Так что из резкости известного отражения импульсов радара, мы можем положить верхний предел на массу фотона, который несколько лучше, чем предел, получаемый из аргумента двойной затменной звёздной системы. Оказывается, что эта масса должна быть меньше 10⁻¹⁵ массы электрона.

После этого, профессор снова захотел изменить значение массы и сделать её равной 10⁻¹⁸ массы электрона. После этого вопроса все студенты забеспокоились, я запротестовал, поскольку он нарушает правила, делая эту массу всё меньше и меньше, я не смог бы привести аргументы в некотором случае. Тем не менее, я попытался снова. Я спросил его, согласен ли он с тем, что если фотон имеет малую массу, то из аргументов теории поля потенциал фотона зависит от расстояния как exp(-𝑚𝑟)/𝑟. Он согласился. Тогда Земля имеет статическое магнитное поле, которое, как известно, продолжается в пространство на некоторое расстояние (что известно из поведения космических лучей), на расстояние, по-крайней мере, равное нескольким Земным радиусам. Но это значит, что масса фотона должна быть величиной меньшей, чем та, которая соответствует длине распада порядка 8000 миль или 10⁻²⁰ массы электрона. В этом месте, к моему облегчению, беседа закончилась.

Мы не должны поступать подобным образом при попытках построить теорию гравитации из известных полей, модифицируя величины взаимодействий или вводя новые постулаты в каждом месте, в котором мы обнаружим трудности; мы должны быть готовы выдвинуть определённые теории, использующие известное поведении наших полей, и подготовится к тому, чтобы отвергнуть их, если они окажутся неадекватными.

2.3. Обмен одним нейтрино

Посмотрим можем ли мы получить силу, чем либо похожую на гравитацию, обменом одним нейтрино. Эти пробные теории, которые мы обсуждаем, неточно сформулированы и не полностью исследованы потому, что они не кажутся подходящими, когда мы делаем первые несколько оценок. Может быть, возможно преодолеть эти трудности, которые заставляют нас отвергнуть эти оценки, но я чувствую, что предпочтительнее упорно придерживаться тех правил, относительно которых мы договорились, что мы должны пытаться дать объяснение в терминах известных свойств частиц без каких бы то ни было новых постулатов. Это мне не удалось.

Рис. 2.3.

Обмен нейтрино может обладать потенциалом, который зависит от расстояния как 1/𝑟, поскольку его масса равна нулю. Но так как нейтрино имеет полуцелый спин, одиночный обмен не приводит к статической силе, поскольку после одиночного обмена источник нейтрино не находится больше в том же самом состоянии, в котором он был первоначально. Для того, чтобы получить из обмена силу, а не только рассеяние, необходимо, чтобы диаграмма, включающая этот обмен, могла бы интерферировать с диагональными членами в амплитуде рассеяния, что состоит в том, что произошло бы добавление к амплитуде, которая соответствует тому, что ничего не происходит (2.3). Таким образом, возможность обмена одним нейтрино управляется тем фактом, что половина единицы углового момента не может быть испущена объектом, который остаётся в том же самом внутреннем состоянии, в котором находился исходно.

Рис. 2.4.

Бесспиновый мезон с нулевой массой мог бы привести к потенциалу, пропорциональному 1/𝑟. Наиболее просто вычислить дополнительную энергию взаимодействия в координатном пространстве по сравнению с импульсным пространством. Импульсный пропагатор для такой частицы был бы 1/𝑘². Нейтринный пропагатор имеет вид 1/𝑘 или 𝑘/𝑘², таким образом имеет более высокую степень 𝑘 в числителе; было бы даже ещё труднее связать такой пропагатор с силой типа гравитационной. Для мезона с нулевым спином мы вычисляем диаграмму, интегрируя по всем возможным моментам времени, в которые происходит испускание, и по всем моментам времени захвата, в которые происходит захват мезона, пропагатор δ₊=1/(𝑡²-𝑟²+𝑖ε) (рис. 2.4), дополнительная энергия есть (опуская множители)

𝐸

∝

∫

𝑖𝑑𝑡

𝑡²-𝑟²+𝑖ε

∝

1

𝑟

.

(2.3.1)

В последнем соотношении интегрирование проводится только по времени испускания (или только по времени захвата); повторное интегрирование вводит временной множитель, который представляет нормальное опережение фазы, так что он не представляет энергии взаимодействия.

Мы не установили точно только, как мы ожидаем, чтобы массы появились как множители, но имеется весьма мало смысла делать это, поскольку мы не знаем никаких бесспиновых нейтрино. Эта теория убивается половиной единицы углового момента, переносимого при взаимодействии.

2.4. Обмен двумя нейтрино

Рис. 2.5.

Может быть мы всё ещё можем получить теорию гравитации путём обмена двух нейтрино, так что они могут иметь диагональные расчётные элементы. Нет ясного пути, идя по которому, можно увидеть, почему энергия взаимодействия между двумя большими объектами должна была бы быть в точности пропорциональна их массам, хотя очевидно, что она была бы, по крайней мере, грубо пропорциональна числу частиц в каждом из них. Оставляя в стороне это обстоятельство (или возвращаясь назад, если что-либо работает не так, как следует), мы будем говорить, что взаимодействие двух объектов пропорционально произведению 𝑚₁⋅𝑚₂, умноженному на взаимодействие одной пары частиц. Мы продвигаемся много дальше, чем в предыдущем случае, но делаем это несколько более аккуратно, поскольку результаты более интересные. Амплитуда того, что испускается пара нейтрино за время 𝑑𝑡 есть 𝐺'𝑑𝑡. Амплитуда того, что одно нейтрино испускается из одной точки в другую равна 1/(𝑡²-𝑟²+𝑖ε) Мы введём массы взаимодействующих частиц 𝑚₁, 𝑚₂ говоря, что эти массы должны представлять общее число частиц так, что энергия между двумя массами равна

𝐸

=

𝑚₁

𝑚₂

𝐺'²

∫

𝑖𝑑𝑡

(𝑡²-𝑟²+𝑖ε)²

.

(2.4.1)

Этот интеграл может быть весьма легко взят, либо вычислением вычетов в полюсах или простым дифференцированием интеграла (2.3.1), так что энергия равна

𝐸

=

𝑚₁

𝑚₂

𝐺'²π

2

1

𝑟²

,

(2.4.2)

где 𝑟 расстояние, разделяющее частицы. Таким образом, мы обнаруживаем, что обмен двумя нейтрино приводит значение энергии, которое неправильно зависит от расстояния. Это заключение приводит к выводу, что теория выглядит безнадёжно. Но надежда возникает вновь, если мы анализируем ситуацию несколько дальше. Оказывается, что мы можем получить член, который зависит как 1/𝑟, рассмотрением обмена между тремя массами. Три частицы могут обмениваться двумя нейтрино между любыми из трёх пар и новым способом (рис. 2.5). Положим, что первое испускание имело место при 𝑡=0, а другие вершины имели место в моменты времени 𝑡 и 𝑠. Тогда во взаимодействие вовлечена была бы энергия

𝐺'³

𝑚₁

𝑚₂

𝑚₃

𝑖²

∫

𝑑𝑠 𝑑𝑡

(𝑠²-𝑟₁₂)(𝑡²-𝑟₂₃)[(𝑠-𝑡)²-𝑟₃₁]

.

(2.4.3)

Этот интеграл может быть вычислен последовательным интегрированием в каждом из полюсов и результат равен

𝐸

=-

𝐺'³

𝑚₁

𝑚₂

𝑚₃

π²

1

(𝑟₁₂-𝑟₂₃-𝑟₁₃)𝑟₁₂𝑟₂₃𝑟₁₃

.

(2.4.4)

Если одна из масс, скажем масса номер 3, существенно удалена, так что 𝑟₁₃ много больше, чем 𝑟₁₂, то мы, действительно, получаем, что взаимодействие между массами номер 1 и номер 2 обратно пропорционально величине 𝑟₁₂.

Что же такое масса 𝑚₃? Это, очевидно, может быть некоторая эффективная средняя величина по всем другим массам во вселенной. Влияние удалённых масс, сферически распределённых вокруг масс 1 и 2, проявилось бы как интеграл по средней плотности; мы бы имели

𝐸

=-

𝐺'³𝑚₁𝑚₂π²

𝑟₁₂

∫

4πρ(𝑅)𝑅²𝑑𝑅

2𝑅³

,

(2.4.5)

где 𝑅 – большое значение расстояния 𝑅≈𝑟₁₂≈𝑟₂₃ Для простой оценки мы можем взять плотность, равной константе внутри сферы; мы выполним интегрирование от некоторого начального значения радиуса, которое, тем не менее, достаточно большое по сравнению со значением 𝑟₁₂. Вклад всех масс вне сферы с этим минимальным значением радиуса является чем-то типа

𝐸

=-

𝑚₁𝑚₂

𝑟₁₂

2π³

𝐺'³

ln

⎛

⎜

⎝

𝑅₀

𝑅_𝑖

⎞

⎟

⎠

ρ

.

(2.4.6)

Этот логарифм является некоторой величиной, которая не может быть многим больше, чем 50 или 100, так как характерное значение внешнего радиуса может быть равно 𝑇𝑐=10¹⁰ световых лет 10²⁸ см. Такая энергия действует подобно гравитации; можем ли мы опровергнуть это? Да, и двумя способами. Во-первых, величина этого логарифмического члена становится сравнимой с величиной всей силы (2.4.2), пропорциональной 1/𝑟³, на расстояниях больших, чем те, на которых ньютоновский закон гравитации уже проверен. Более того, если мы рассматриваем влияние Солнца на гравитационное взаимодействие между Землёй и Луной, мы обнаруживаем, что это влияние должно было бы приводить к наблюдаемым отклонениям в орбитальном движении, так как расстояние от Земли до Солнца меняется при движении Земли вдоль своей орбиты. Мы оцениваем этот эффект следующим образом. Мы хотим сравнить вклад Солнца во взаимодействие Земля – Луна со вкладом всех остальных звёзд. Это влияние зависит от массы и обратно пропорционально кубу расстояния. Для логарифма меньшего, чем 1000, вклад Солнца превосходит в 10¹² вклад звёзд для любой разумной оценки плотности звёзд! Таким образом, мы можем пренебречь вкладом звёзд. Но таких больших возмущений, которые бы соответствовали изменению эффективной гравитационной константы, которое бы возникало от ±2 процентной вариации расстояния между Землёй и Солнцем, не наблюдалось в системе Земля – Луна.

Рис. 2.6.

Но можно ли всё-таки спасти эту теорию? Представляется, что процессы более высокого порядка могли бы снять эти трудности, например процесс, включающий 4 нейтринных линии или даже более высокие порядки, мог бы быть вычислен. Ясно, что член, изображённый на рис. 2.6, мог бы дать вклад порядка 𝑚₃², т.е. квадрата числа частиц окружающих масс, и, следовательно, влияние удалённой туманности могло бы значительно превзойти влияние Солнца. Этот факт мог бы быть ещё более справедливым для более высоких порядков теории. Мы должны, следовательно, суммировать диаграммы различных порядков, типа изображённых на рис. 2.7.

Рис. 2.7.

Тем не менее, насколько я могу судить из статистики Ферми, члены различных порядков оказываются противоположными по знаку и никакого удовлетворительного результата не получается.

Чтобы объяснить эту идею более формально, мы полагаем, что в теории (где есть, скажем, скаляр ψ) с квадратичной связью ψφ²ψ математическое ожидание для произведения двух полевых переменных φ(1)φ(2) в состоянии при наличии многих туманностей может определяться соотношением

〈φ(1)φ(2)〉

=

δ

₊

(𝑆₁₂²)

+

𝐶

(2.4.7)

где первый член есть обычный вакуумный член, а 𝐶 возникает от взаимодействия с удалённой туманностью. Величина 𝐶 практически не зависит от 1 и 2, если они (1 и 2) близки по сравнению с радиусом вселенной.

Тем не менее, я думало, что для спина 1/2 не может возникать 𝐶. Для фотонов такой член, даже если он возникает, не имел бы желаемого эффекта, т.к. насколько я могу видеть, этот член не является квадратичным для связи фотонов.

Итак, теория с двойной нейтринной парой не привела к плодотворному результату. Однако, мы научились кое-чему, работая с этой теорией от начала до конца, что представляет собой весьма замечательную идею. Если мы построим теорию гравитации, основанную на взаимодействии трёх тел, в которой одно тело достаточно далеко удалено от других двух тел, закон 1/𝑟 будет выполняться, если квант поля имеет целый спин, и величина потенциала будет пропорциональна количеству вещества в удалённом теле. Эти туманности, которые до сих пор не влияли на наши физические законы, могут играть важную роль в гравитационном взаимодействии!

Тем не менее, для того, чтобы построить такую теорию, мы должны были бы предположить существование бозона с нулевой массой, который взаимодействует квадратично со всей остальной материей во вселенной, и должны были бы вернуться к вопросу, почему сила в точности пропорциональна массе. Но кажется, что нет смысла следовать по такому извилистому пути, когда мы не достигли цели с использованием известных частиц. Если предположить существование новой частицы, мы можем построить абсолютно хорошую теорию, предполагая существование частицы с нулевой массой и со спином 2, которая взаимодействует линейно с веществом.

Лекция 3

3.1. Спин гравитона

Ранее мы обсуждали с точки зрения воображаемых венерианских учёных возможные интерпретации гравитации на языке известных полей. Мы предполагаем, что эти учёные знают общие свойства различных вариантов теории поля; они пытаются отыскать поля, обладающие характеристиками гравитации. Для того, чтобы сделать различие между разными возможностями, нам необходимо вспомнить следующие свойства гравитации; что большие массы притягивают с силой, пропорциональной инерции и обратно пропорциональной квадрату расстояния; также, что масса и инерция характеризуют значение энергии, так что энергия связи атомов и ядер имеет гравитационное поведение, аналогичное энергии покоя.

Мы можем представить себе, что одна группа теоретиков, специалистов по теории поля, пыталась интерпретировать гравитацию в терминах известных частиц, как мы это делали на предыдущей лекции, и эта попытка провалилась. Другая группа теоретиков, специалистов по теории поля, начала выводить некоторые свойства нового поля, которое вело бы себя как гравитация.

Во-первых, обнаруживается, что гравитация обладает дальнодействием, что автоматически означает, что энергия взаимодействия зависит от расстояния как 1/𝑟. Не существует другой подобной возможности в теории поля. Это поле переносится посредством обмена частицей, которую ниже будем называть гравитоном. Она должна иметь массу 𝑚=0, так что сила, пропорциональная 1/𝑟², следует из из данного взаимодействия. Следующая догадка, которую мы должны сделать перед тем, как мы сможем начать работать в теории поля, состоит в том, что необходимо определить спин гравитона. Если спин равен 1/2 или полуцелый, то мы столкнёмся с трудностями, которые обсуждались в последней лекции (разделе 2.3), и где не было обнаружено интерференции между амплитудами одиночного обмена и не было обмена взаимодействием. Таким образом, спин гравитона должен быть целым, т.е. некоторое число из последовательности 0, 1, 2, 3, 4, … . Любое из этих значений спина давало бы взаимодействие, пропорциональное 1/𝑟, так как радиальная зависимость определяется исключительно массой. Для того, чтобы выбрать между различными возможными значениями спина, мы должны посмотреть на более тонкое различия между эффектами, обусловленными гравитонами с различными значениями спина. Мы можем себе представить, что наша группа теоретиков, специалистов по теории поля, разделила между собой эту работу так, что одни вывели возможные заключения из гипотезы, что спин равен нулю, другие анализировали возможность того, что спин равен 1, другие, что спин равен 2, 3 или даже 4. Затраты труда, связанные с обсуждением деталей теории для более высоких значений спина, значительно больше, чем для более низких значений спина, так что мы будем обсуждать эти значения в порядке возрастания.

Теория, в которой спин частицы равен 1, в большой степени то же самое, что и электродинамика. Нет ничего такого, что запрещало бы существование двух полей со спином 1, но гравитация не может быть одним из этих полей, потому что одно из следствий спина 1 заключается в том, что одинаковые заряды отталкиваются, а противоположные притягиваются. Это фактически свойство всех теорий с нечётным спином; и наоборот, обнаружено, что теории с чётным спином описывают силы притяжения, так что нам надо рассматривать только значения спинов 0 или 2 и возможно 4, если теория со спином 2 окажется неудовлетворительной; нет нужды работать с более сложными вариантами теории до той поры, пока не обнаружено, что более простые теории оказываются неадекватными.

Рис. 3.1.

Отклонение теорий гравитации со спином гравитона, равным 0, делается на основании гравитационного поведения энергии связи. Мы не намереваемся обсуждать здесь все детали до конца; мы приведём аргументы по аналогии, а затем приступим напрямую к построению теории со спином гравитона, равным 2. Зададим следующий вопрос: каково притяжение между движущимися объектами; больше оно или меньше, чем для статических объектов? Мы можем, например, вычислить взаимное притяжение двух масс газа; экспериментальное исследование гравитации приводит к выводу, что эта сила больше в том случае, если газ горячее (рис. 3.1).

Мы знаем, как это происходит в электродинамике. Электрические силы не меняются при случайном движении частиц. Теперь энергия взаимодействия пропорциональна ожидаемому значению оператора γ_𝑡, который равен 1/√1-𝑣²/𝑐². Так как потенциал, следующий из этого оператора, не является зависимым от скорости, то коэффициент пропорциональности должен быть √1-𝑣²/𝑐². Это означает, что энергия взаимодействия, следующая из оператора1, соответствующего полю со спином 0, была бы пропорциональна √1-𝑣²/𝑐². Другими словами, теория со спином гравитона, равным 0, предсказывала бы, что взаимодействие между массами горячего газа было бы меньше, чем для холодного газа. Аналогичным способом может быть показано, что теория со спином гравитона, равным 2, приводит к энергии взаимодействия, которая имеет 1/√1-𝑣²/𝑐² в знаменателе, что согласуется с экспериментальными результатами о влиянии на гравитацию энергии связи. Таким образом, теория со спином гравитона 0 должна быть отвергнута, и нам необходимо рассматривать спин гравитона 2 для того, чтобы иметь теорию, в которой взаимодействие будет пропорционально величине энергии.

3.2. Амплитуды и поляризации в электродинамике, типичной полевой теории

Сейчас наша программа состоит в том, чтобы построить теорию со спином гравитона 2 по аналогии с другими теориями поля, которые у нас есть. В этом месте мы могли бы перейти на взгляд Эйнштейна на теорию гравитации, так как он получил правильную теорию, но будет более поучительно и проще для нас изучить свойства теории, если мы поддерживаем фантазию венерианских учёных для того, чтобы предположить свойства правильной теории. Поэтому, предполагая, что многие учёные сегодня могут придти к правильной теории гравитации, мы отнюдь не умаляем достижение Эйнштейна. В настоящее время у нас есть ретроспективный, хорошо развитый формализм, которого не было пятьдесят лет назад, и у нас есть указание Эйнштейна на правильное направление теории. Очень трудно представить себе, чтобы мы делали, если бы мы не знали того, что мы знаем, когда мы знаем то, что знаем, но давайте продвинемся дальше и сделаем предположения о правильной теории по аналогии с электродинамикой.

В теориях со скалярным, векторным и тензорным полями (другой способ обозначения спина 0, 1, 2) поля описываются скалярной, векторной или тензорной потенциальными функциями

Спин

0

𝑋

Скалярный потенциал

Спин

1

𝐴

_μ

Векторный потенциал

Спин

2

ℎ

_μν

Симметричный тензорный потенциал

Другая теория могла бы следовать из предположения, что тензор – антисимметричный; это не привело бы к чему-то, напоминающему гравитацию, скорее к теории, напоминающей электромагнетизм; шесть независимых компонент антисимметричного тензора могли появиться как два пространственных вектора.

Рис. 3.2.

Источник электромагнетизма – векторный ток 𝑗_μ, который связывается с векторным потенциалом уравнением

𝐴

_μ

=-

1

𝑘²

𝑗

_μ

.

(3.2.1)

Сделаем преобразование Фурье и используем импульсное представление. Оператор Даламбера в импульсном представлении есть просто 𝑘². Вычисление амплитуд в электромагнетизме делается с помощью пропагаторов, связывающих токи, способом, изображённым диаграммами, такими, как на рис. 3.2. Вычислим амплитуды для таких процессов как функцию релятивистских инвариантов, и ограничим наш ответ, как предписывается законами сохранения импульса и энергии. Суть электромагнетизма состоит в детальном описании взаимодействия между током и полем, т.е. 𝑗^μ𝐴_μ; на языке источников это становится взаимодействие между двумя токами

-𝑗'

_μ

1

𝑘²

𝑗

^μ

.

(3.2.2)

Координатные оси могут быть выбраны таким образом, что вектор 𝑘_μ может быть выражен как

𝑘

^μ

=

(ω,𝑘,0,0)

.

(3.2.3)

Заметим, что мы используем упорядочение индекса 4, 3, 2, 1 так, что

𝑥

^μ

=

(𝑡,𝑧,𝑦,𝑥)

,

𝐴

_μ

=

(𝐴₄,𝐴₃,𝐴₂,𝐴₁)

.

(3.2.4)

Тогда ток-ток взаимодействие, когда незаряженные частицы имеют 4-импульс 𝑘^μ задается соотношением

-𝑗'

_μ

⎛

⎜

⎝

1

𝑘²

⎞

⎟

⎠

𝑗

_μ

=

–1

ω²-𝑘²

(

𝑗'₄𝑗₄

–

𝑗'₃𝑗₃

–

𝑗'₂𝑗₂

–

𝑗'₁𝑗₁

).

(3.2.5)

Закон сохранения заряда, который утверждает, что четыре-дивергенция тока равна нулю, в пространстве импульсов становится ограничением

𝑘

_μ

𝑗

^μ

=

0.

(3.2.6)

В этой специальной системе координат, которую мы выбрали, это ограничение связывает третий и четвёртый компонент этих токов соотношениями

ω𝑗⁴

–

𝑘𝑗³

=

0,

или

𝑗³

=

ω

𝑘

𝑗⁴

.

(3.2.7)

Если мы подставляем выражение для 𝑗₃ в выражение амплитуды (3.2.5), мы получаем, что

-𝑗'

_μ

⎛

⎜

⎝

1

𝑘²

⎞

⎟

⎠

𝑗

^μ

=

𝑗'₄𝑗₄

𝑘²

1

ω²-𝑘²

(

𝑗'₁𝑗₁

+

𝑗'₂𝑗₂

).

(3.2.8)

Теперь мы можем дать интерпретацию двум членам этого уравнения. Четвёртый компонент тока есть просто плотность заряда; в этой ситуации, когда у нас есть стационарные заряды, это единственный ненулевой компонент. Первый член не зависит от частоты, и когда мы делаем обратное преобразование Фурье для того, чтобы преобразовать выражение в пространство взаимодействия, мы находим, что полученное соотношение представляет мгновенно действующий кулоновский потенциал

(𝐹.𝑇.⁻¹)

⎡

⎢

⎣

𝑗'₄𝑗₄

𝑘²

⎤

⎥

⎦

=

𝑒²

4π𝑟

δ(𝑡-𝑡')

.

(3.2.9)

Это выражение всегда представляет собой главный член в пределе малых скоростей. Этот член кажется мгновенным, но это только потому, что разделение на два члена, которое мы сделали, очевидно, не является ковариантным. Общее взаимодействие на самом деле ковариантная величина; второй член представляет поправки к мгновенному кулоновскому взаимодействию.

Во взаимодействие между двумя токами всегда вовлечены виртуальные фотоны. Мы можем узнать кое-что о свойствах реальных фотонов из анализа полюсов амплитуды взаимодействия, которая имеет место при ω±𝑘. Конечно, любой фотон, который участвует в физическом эффекте, может рассматриваться как виртуальный фотон, так как он не наблюдается до тех пор, пока не произойдёт взаимодействие, так что наблюдаемые фотоны никогда не характеризуются соотношением ω±𝑘. Тем не менее, нет трудностей в приближении к этому пределу; физически мы знаем фотоны, которые приходят от Луны или Солнца, для которых относительная разница между величинами ω и 𝑘 очень, очень мала. Если мы полагаем, что мы наблюдаем фотоны от удалённых галактик, которые находятся от наблюдателя на расстоянии в миллионы световых лет, мы понимаем, что это должно придать тот физический смысл, чтобы думать, что мы близки к полюсу так, что для этих фотонов не может быть никакого физического эффекта не являющимся похожим на полюсный член. Вычет полюсного члена при ω=𝑘 есть сумма двух членов, каждый из которых есть произведение двух множителей. Кажется, что существует один тип фотонов, которые взаимодействуют с токами 𝑗₁ и 𝑗'₁ и другой тип фотонов, которые взаимодействуют с токами 𝑗₂ и 𝑗'₂ Пользуясь обычным языком, мы описываем данную ситуацию, говоря, что имеются две независимые поляризации для фотонов.

Круговая поляризация есть ничто иное, как линейные комбинации плоскополяризованных фотонов, соответствующих разделению суммы произведений (𝑗'₁𝑗₁+𝑗'₂𝑗₂) в различном базисе, таким образом мы имеем

(𝑗'₁𝑗₁+𝑗'₂𝑗₂)

=

1

√2

(𝑗₁+𝑖𝑗₂)

1

√2

(𝑗'₁+𝑖𝑗'₂)*

+

+

1

√2

(𝑗₁-𝑖𝑗₂)

1

√2

(𝑗'₁-𝑖𝑗'₂)*

.

(3.2.10)

По-прежнему, мы видим здесь, что имеется два типа фотонов. Преимущество такого разделения становится очевидным, когда мы рассматриваем вращение координатной системы вокруг направления движения фотона 3. Фотоны с круговой поляризацией вращаются вокруг себя, потому что они меняют только фазу при повороте системы координат на угол θ эти фазы равны exp(𝑖θ) и exp(-𝑖θ).

Квантово-механические правила, описывающие поведение систем под действием вращения, говорят нам, что системы, имеющие такое свойство, находятся в состоянии с определённым значением углового момента; фотоны, которые меняют фазу как exp(𝑖θ), имеют проекцию углового момента 1, а фотоны с изменением фазы exp(-𝑖θ) – проекцию, которая равна -1.

Мы могли бы ожидать, что если фотоны имеют спин, равный 1, то мог бы существовать третий тип фотонов, имеющих проекцию спина, равную 0. Тем не менее, может быть показано, что для релятивистской теории частиц с нулевой массой покоя разрешены только два состояния проекции, имеющие максимальное и минимальное значения проекции вдоль направления распространения. Этот общий результат, справедливый для частиц с любым спином, был доказан Вигнером. Мы не будем приводить здесь это доказательство, но просто для тех случаев, которые нас интересуют, фотона сейчас и гравитона ниже, покажем существование этих двух состояний точным разделением этого взаимодействия.

Можно было бы возразить, что мы показали существование двух состояний для токов, которые являются операторами источника в большей степени, чем для самих фотонов. Но одно влечёт за собой другое, так как амплитуда процесса испускания фотон с круговой поляризацией -1 задаётся оператором тока (𝑗'₁-𝑖𝑗'₂)/√2 и т.д. Если мы вращаем систему координат, то амплитуда для процесса излучения не должна бы меняться, так что, мы приходим к требованию соответствующего изменения фазы для самих фотонов. Действительная поляризация фотонов, возможно, наилучшим образом определяется проекциями векторного потенциала в выделенных направлениях, таких как 𝑒_μ (𝑒_μ – единичный вектор). Взаимодействие такого фотона с током 𝑗^μ, т.е. амплитуда поглощения или испускания такого фотона задаётся соотношением

-𝑒

_μ

𝑗

^μ

=

(проекция

𝑗

^μ

вдоль

𝑒

_μ

)

(3.2.11)

3.3. Амплитуды для обмена гравитона

Выпишем амплитуды для обмена гравитоном по простой аналогии с электродинамикой. Мы должны будем обратить особое внимание на мгновенные нерелятивистские члены, так как только эти члены выявляются в существующих экспериментальных наблюдениях гравитации. Полная теория даёт нам как члены, описывающие мгновенное взаимодействие (аналогичное кулоновскому взаимодействию), так и поправки, которые появляются как запаздывающие волны; мы должны будем разделить эти запаздывающие эффекты для вычислений наблюдаемых эффектов.

Мы предполагаем, что оператор Даламбера в импульсном пространстве есть 𝑘² по простой аналогии с уравнением (3.2.1) мы ожидаем, что тензор поля устанавливает соотношение с тензором источника следующим образом

ℎ

_μν

=

1

𝑘²

𝑇

_μν

.

(3.3.1)

Какое это может быть взаимодействие? Так как электродинамика описывает токи, предположим, что тензоры источника появляются в энергии взаимодействия следующим образом

𝑇'

_μν

⎛

⎜

⎝

1

𝑘²

⎞

⎟

⎠

𝑇

^μν

.

(3.3.2)

Теперь наша задача состоит в том, чтобы описать частные характеристики тензора 𝐓 так, чтобы воспроизводились характеристики гравитации. A priori возможно, что тензор 𝐓 включает в себя градиенты, который и есть вектор 𝐤. Если в тензор включены только градиенты, то в результирующей теории нет монополей; простейшими объектами могут быть диполи. Мы хотим, чтобы тензор 𝐓 был таким, как в нерелятивистском пределе, а плотность энергии появлялась по аналогии с плотностями заряда 𝑇₄₄. Как хорошо известно, мы имеем в электромагнетизме тензор давления, чья компонента 𝑇₄₄ является в точности плотностью энергии электромагнитного поля. Следовательно, очень вероятно, что имеется некоторый общий тензор, чей компонент 𝑇₄₄ является плотностью полной энергии; это будет задавать ньютоновский закон гравитации в пределе малых скоростей, энергия взаимодействия при этом