Текст книги "Фейнмановские лекции по гравитации"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 5 (всего у книги 22 страниц)

В Пасадине у Фейнмана был фургон, на боках которого и сзади были нарисованы фейнмановские диаграммы. Изображение этого фургона приведено в книге [Syke 94]. Когда я впервые увидел этот фургон в 1981 году на стоянке вблизи Аудитории Бекмана в КАЛТЕХ’е, я не знал, что он принадлежит Фейнману. Потребовалось всего несколько секунд, чтобы понять, что этот фургон принадлежал Фейнману потому, что (1) номерной знак содержал неправильно написанное слово QUANTUM, которое было написано как ”QANTUM”,¹ и (2) диаграмма на задней стороне фургона, единственная диаграмма с обозначениями, имела все индексы в нижнем положении. Фейнман утверждал, что КЭД уже имеет свой номерной знак и что слово QUANTUM является слишком длинным. (С другой стороны, я помню, что Фейнман довольно часто писал слово ”gauge” ("калибровка”) как ”guage”). На этой диаграмме величина η_μν была пропущена у пропагатора для фотона, отсюда следует, что гамма-матрицы, связанные с вершинами, должны были размечаться с одним индексом вверху и одним индексом внизу. Заглянув в одно из окон фургона и увидев там сзади кипу сена, моё подозрение, что этот фургон принадлежит Фейнману, подтвердилось.

¹ Занятно было бы заметить, что если перевести эту историю на русский язык, то у Фейнмана на номерном знаке вместо слова ”КВАНТ” было написано слово ”КАНТ”, хотя, конечно, всем известно, что фамилия этого крупнейшего философа на немецком (и английском) языке пишется иначе. (Прим. перев.)

Брайен Хатфилд

Лекция 1

1.1. Полевое приближение гравитации

В этой серии лекций обсудим гравитацию во всех её аспектах. Фундаментальный закон гравитации, открытый Ньютоном, утверждает, что гравитационные силы пропорциональны гравитирующим массам и обратно пропорциональны квадратам расстояний. Этот закон впоследствии был модифицирован Эйнштейном так, чтобы он стал релятивистским. Изменения, которые необходимо сделать для того, чтобы теория была релятивистская, фундаментальны. Нам известно, что массы частиц не являются постоянными в теории относительности, таким образом, фундаментальный вопрос заключается в том, как изменение массы меняет закон гравитации.

Эйнштейн сформулировал свой закон гравитации в 1911 г., тем самым, предмет нашего обсуждения не нов, и физические результаты, которые мы должны объяснить, впервые были замечательно объяснены уже самим Эйнштейном. Поэтому обычный курс теории гравитации начинается с установления основных законов теории, т.е. так, как это было сделано Эйнштейном. Такая процедура, однако, не является универсальной, и по педагогическим соображениям в настоящих лекциях будет использоваться несколько другой подход для изложения теории. В настоящее время студенты-физики знают кое-что о квантовой теории, мезонах и других элементарных частицах, которые не были известны в то время, когда Эйнштейном была создана общая теория относительности. Физика в большой степени состояла из теории гравитации и электродинамики, и именно электродинамика вызвала к жизни создание теории относительности, так что проблема состояла в том, чтобы внести теорию гравитации в общую канву открытий, сделанных при изучении электродинамики.

Эйнштейновская теория гравитации, которая, как утверждается, явилась величайшим открытием в теоретической физике, заключается в красивых соотношениях, связывающих гравитационные эффекты с геометрией пространства, что было довольно увлекательной идеей. Видимая простота гравитационных и электрических сил, например состоящая в том, что и те, и другие следуют закону обратных квадратов, который может понять любой ребёнок, приводит к тому, чтобы у каждого из этих ”детей” появилась мечта о том, что когда он подрастёт, он найдёт дорогу к геометризации электродинамики. Таким образом, поколения физиков делали попытки создания так называемых единых теорий поля, которые могли бы объединить гравитацию и электродинамику в рамках единой теории. Ни одна из созданных теорий не была успешной, и мы не будем обсуждать их в этих лекциях. Большая часть из этих теорий являлась просто математическими игрушками, создаваемыми математически мыслящими людьми, у которых было довольно слабое знание физики, большая часть из этих теорий непонимаема. Сам Эйнштейн также работал над этими теориями, и его сочинения на эту тему, по крайней мере, имеют некоторый смысл, тем не менее, успешной теории поля, которая бы объединяла гравитацию и электродинамику, не существует.

В случае создания подобной единой теории такой успех был бы кратковременным, поскольку в настоящее время в физике заключено существенно больше, чем только электродинамика и гравитация, и нам нужно было бы побеспокоиться об объединении мезонов, каонов и нейтрино и всех других тридцати и более элементарных частиц, которые сейчас известны. Таким образом, подобное объединение электродинамики и гравитации не было бы таким великим достижением, как это представлялось ранее, поскольку в мире есть много другого, кроме электричества и гравитации.

Наш педагогический подход является наиболее близким для теоретиков, специалистов в физике элементарных частиц, которые довольно часто используют различные поля, так что для них довольно просто понять, что вселенная образована двадцатью девятью или тридцатью одним полями, объединёнными в одном уравнении; феномен гравитации добавляет ещё одно поле в общий ”котёл”; это такое поле, которое было пропущено при предыдущих рассмотрениях; гравитационное поле является только одним из тридцати других, поэтому объяснение гравитации состоит в объяснении трёх процентов всех известных полей.

Мы даже можем описать наш подход, пользуясь приёмами научной фантастики. Представим себе, что в некоторой малой области вселенной, скажем, на такой планете, как Венера, живут учёные, которые знают всё о других тридцати полях во вселенной, которые уже знают всё, что знаем мы о нуклонах, мезонах и др., но не знают о гравитации. И вдруг производится новый замечательный эксперимент, который показывает, что большие незаряженные массы притягиваются друг к другу с очень-очень слабой силой. И что стали бы тогда делать венериане для того, чтобы объяснить этот замечательный дополнительный экспериментальный факт? Они вероятно попытались бы интерпретировать новый эксперимент в терминах теории поля, что было бы для них весьма привычным.

1.2. Характеристики феномена гравитации

Рассмотрим некоторые экспериментальные факты, которые венерианский теоретик должен был бы обсудить при создании теории, объясняющей этот новый замечательный эксперимент.

Рис. 1.1.

Прежде всего фактом является то, что сила притяжения определяется законом обратных квадратов расстояний. Что касается наших знаний об этом законе, то он известен очень-очень точно на основании изучения орбит планет. Кроме того, мы знаем, что сила пропорциональна массам объектов. Этот факт был известен Галилео Галилею, который обнаружил, что все тела падают с одинаковым ускорением. Насколько хорошо нам это известно? В принципе, что надо делать, абсолютно ясно; сначала мы определяем массу как инерцию данного объекта, которую мы измеряем, прикладывая к ней известные силы и измеряя ускорения. Затем мы измеряем притяжение, обусловленное гравитацией, например взвешиванием, и затем сравниваем результаты. Такие эксперименты, измеряющие силы и ускорения, должны были бы быть очень трудными для их проведения с достаточной точностью, однако имеются другие пути проверки закона Галилея с точностью до 10⁻⁸, один из которых был проделан Этвешем. Такой эксперимент может быть реализован путём сравнения гравитационной силы Земли с центробежной силой, обусловленной вращением Земли. Ясно, что возникновение центробежной силы представляет собой чистый эффект инерции. В принципе гиря отвеса, находящегося на некоторой широте, не равной 0° или 90°, направлена не на центр Земли. Действительно, гиря отвеса не направлена к центру также и потому, что Земля имеет несферическую форму, но все эти факторы могут быть учтены при проведении сравнения сил. В любом случае, при некотором промежуточном значении широты (не совпадающим с экваториальным или полярным) гиря отвеса отклоняется в направлении, которое определяется результатом действия гравитационной и центробежной силы. Если же сделать гирю отвеса из некоторого другого материала, который имеет другое отношение инерциальной и гравитационной массы, то отвес мог бы отклониться на несколько отличный от первоначального угол. Мы можем, таким образом, сравнивать различные вещества; например, если сделать первую гирю из меди, а вторую из водорода (конечно, может оказаться трудным изготовить гирю из чистого водорода, однако без труда её можно было бы изготовить из полиэтилена), мы можем проверить постоянство инерциальной и гравитационной массы.

В реальном эксперименте не измеряются разности столь малых углов, а измеряются вращающие моменты; такие малые вращающие моменты являются более удобными для измерений потому, что кварцевые нити обладают для этого весьма подходящими свойствами, являясь достаточно тонкими и в то же время способными выдерживать достаточно большую нагрузку. Как это обычно делается, два тела, сделанные из двух различных материалов, подвешиваются на концах стержня, а стержень подвешивается в своей средней точке; если компоненты сил, перпендикулярные гравитационным силам, не равны, то имеется некоторый результирующий вращающий момент, который может быть измерен. Опубликованные результаты недавнего эксперимента Дикке показали, что эффекта нет, и сделан вывод, что отношение инерциальной массы к гравитационной является константой с точностью 10⁻⁸ для самых различных веществ от кислорода до свинца.

Подобный эксперимент может быть проведён путём сравнения гравитационной силы, обусловленной влиянием Солнца, с инерциальными силами, связанными с нашим орбитальным движением вокруг Солнца. Находясь на Земле, мы вовлечены во вращение в пространстве с фантастической скоростью вдоль орбиты Земли, и единственная причина не замечать этого движения состоит в том, что все другие объекты, нас окружающие, также движутся по той же орбите; если бы гравитационное притяжение не было бы в точности то же самое для различных объектов, то эти объекты должны были бы стремиться к тому, чтобы иметь различные орбиты, и существовали бы эффекты, которые были бы связаны с этими различиями. Общий эффект выглядел бы как наличие небольшой силы в направлении Солнца. Такой эффект искался через попытки обнаружения некоторой суточной осцилляции, которая могла бы быть найдена по поведению баланса закручивающего момента для пары масс в ночное и дневное время. Естественно отличия были измерены, некоторые из этих отличий были обусловлены тем, что различные стороны здания имеют различные температуры – трудность проведения таких экспериментов с очень маленькими эффектами заключается в том, что необходимо быть уверенными, что измеряется на самом деле то, о чем идёт речь, а не что-либо иное. Тем не менее, можно сделать заключение из этих экспериментов, что все объекты также хорошо сбалансированы на своих орбитах, как и Земля, с точностью 10⁻⁸. Такая точность 10⁻⁸ уже может сообщить нам множество очень интересных вещей; например энергия связи в ядре порядка б Мэв на нуклон, а массы нуклонов порядка 940 Мэв, или, грубо говоря, энергия связи порядка одного процента общей энергии. Тогда точность 10⁻⁸ говорит нам, что отношение инерциальной и гравитационной массы энергии связи является константой с точностью 10⁻⁶. Мы можем даже проверить отношение энергии связи для электронов, находящихся на нижних уровнях, поскольку 10⁻⁸ массы нуклона составляет порядка 9 эв. Если в дальнейших экспериментах будет достигнута точность 10⁻¹⁰, что, как предполагается, будет сделано в ближайшем будущем, мы будем иметь пяти процентную точность на возможный диапазон значений энергии химической связи, которая порядка двух вольт.

С такой же точностью у нас есть также проверка гравитационного поведения антиматерии. Поразительное сходство электрических и гравитационных сил, заключающееся в зависимости от расстояний по закону обратных квадратов, заставило некоторых учёных придти к заключению, что было бы замечательно, если бы антиматерия отталкивала материю; они говорят, что поскольку в электричестве тела с одинаковым зарядом отталкиваются, а противоположные притягиваются, то было бы замечательно, если бы в гравитации похожие тела притягивались, а непохожие отталкивались; и единственный кандидат для гравитационной ”непохожести” – антиматерия. Но с точностью 10⁻⁸ мы можем проверить гравитационное поведение поправок к энергии взаимодействия 𝐾-электронов в свинце, обусловленной поляризацией вакуума, которая включает виртуальные пары и антивещество. Можно сказать, что в данном случае нет абсолютно никаких свидетельств, которые заставляли бы предположить, что материя и антиматерия отличаются в проявлении гравитационных эффектов. Более того, все свидетельства, экспериментальные и даже некоторые теоретические, оказывается демонстрируют то, что гравитационные эффекты определяются количеством энергии, вовлечённым в гравитацию, и следовательно, так как и материя, и антиматерия характеризуется положительными значениями энергии, гравитация не делает различия между ними.

Другой аргумент следует из того факта, что свет ”падает” в гравитационном поле в соответствии с соотношениями, которые определяются нашей теорией; свет отклоняется Солнцем на измеряемую величину, которая будет вычислена в дальнейшем. Но фотон является своей собственной античастицей, так что мы должны заключить, что и частицы, и античастицы в этом случае ведут себя одинаково с точки зрения гравитации. Может быть забавным упражнением для некоторых людей попытаться построить теорию, в которой фотоны, исходящие из электрона, отличаются от фотонов, исходящих от позитронов. Но так как нет абсолютно никаких свидетельств того, что такая теория необходима для объяснения какого-либо явления, то довольно мало смысла заключено в попытке создания подобной теории; она должна была бы объяснять все известные эффекты также хорошо, как и существующая теория, и очень вероятно, что можно будет показать, что новая теория неверна, поскольку некоторые новые эффекты, предсказываемые новой теорией, не будут обнаружены при экспериментах.

Наиболее прямое свидетельство того, что материя и антиматерия действительно ведут себя идентично по отношению к гравитационным эффектам, приходит из экспериментов по распаду 𝐾₀ и 𝐾₀, проведённых в Массачусетском Технологическом Институте (MIT). Сам по себе этот эксперимент не без своих собственных недостатков, но его результаты возможно могут быть использованы для того, чтобы исключить теорию, в которой возможно было бы неодинаковое поведение материи и антиматерии. Эти аргументы были приведены М. Гудом [Good 61].

Предположим, что гравитация действует на 𝐾₀ и 𝐾₀, в противном случае данный аргумент не работает. Эти две частицы являются античастицами друг для друга. Итак посмотрим, что происходит, если одна из них притягивается, а другая отталкивается гравитацией. Эти частицы имеют две моды распада, которые могут описываться как

𝐾₁

=

1

√2

(

𝐾₀

+

𝐾₀

),

𝐾₂

=

1

√2

(

𝐾₀

–

𝐾₀

).

Амплитуды для распада по этим модам интерферируют, эксперимент обнаружил эту интерференцию и установил значение Δ𝑚 разности масс такое, что Δ𝑚<ℏ/(10⁻¹⁰ 𝑐). Эта величина не согласуется с идеей, что вещество притягивается, а антивещество отталкивается, поскольку данный эксперимент проводился в гравитационном поле Земли, и если гравитационный потенциал есть φ, то имеется увеличение или уменьшение массы для одной моды 𝑚φ и -𝑚φ для другой, и такая разность масс была бы больше, чем ограничение, полученное в эксперименте MIT. Если мы рассмотрим гравитационный потенциал не Земли, а Солнца, который больше Земного, или рассмотрим даже Галактический потенциал, то получим всё более и более лучшие пределы на степень того, насколько гравитационное взаимодействие должно быть одинаковым для материи и антиматерии. Однако подобная аргументация может быть отвергнута теми, кто считает, что антиматерия отталкивается, но для этого ими должно быть признано, что 𝐾₀ и 𝐾₀ не являются гравитирующими частицами, а для этого уже требуется ввести новое специальное предположение. Очевидно, что любой единичный экспериментальный факт может быть проигнорирован, если мы готовы придумать особенную причину тому, почему данный эксперимент должен показывать такой результат, какой наблюдается.

Известно также, что одиночные свободные нейтроны падают в гравитационном поле так, как это ожидается. Этот факт известен с превосходной точностью, поскольку он должен учитываться при создании нейтронных интерферометров; медленные нейтроны из реактора могут коллимироваться в узкие пучки и детектироваться на некотором расстоянии от него, которое порядка нескольких сотен футов. Обнаружено, что они падают в гравитационном потенциале Земли так же, как и любые другие частицы, которые мы можем измерить. Резюмируя вышесказанное, можно утверждать, что первый изумительный факт, связанный с гравитацией, заключается в том, что отношение инерциальной и гравитационной массы постоянно, где бы мы его ни проверяли.

Второй изумительный факт, связанный с гравитацией, заключается в том, что это взаимодействие очень слабое. Сила гравитационного взаимодействия настолько слаба, что если венериане называют взаимодействия при β-распаде ”слабыми” взаимодействиями, то открытие гравитации вызвало бы гигантские затруднения. Очевидно, что гравитация играет очень важную роль в нашей жизни, хотя силы гравитации, действующие на наше тело, сравнимы с силами мускулов наших ног; а это значит, что гравитационные силы очень слабы сравнительно с другими силами, существующими между частицами. Это сравнение предположительно более универсально, чем сравнение сил гравитации с силой человека. Давайте для примера вычислим отношение гравитационной и электрической силы между двумя электронами. Тогда получаем следующий результат:

𝐹_гравит

𝐹_электр

=

1

4.17×10⁴²

,

Другими словами, сила гравитации действительно слаба. Подобное сравнение на языке отношения сил является более значимым, чем обычное сравнение на языке констант взаимодействия; например, часто говорят, что электромагнитные силы являются ”слабыми”, потому, что величина 𝑒/ℏ𝑐 – мала, а именно 1/137. Но ссылка на значение константы 1/137 не является слишком значимой, т.к. мы могли бы также хорошо представить, что более значимой величиной для ссылки являлся бы безразмерный заряд электрона, который равен √(4π²/ℏ𝑐), что выглядит весьма отлично от величины 1/137, но имеет то же самое физическое содержание. Таким образом, когда говорится, что слабое взаимодействие (взаимодействие при β-распаде) должно быть слабым потому, что сила взаимодействия есть ”малая величина” 𝐺𝑀_𝑝=10⁻⁵, мы можем спросить, почему в данное соотношение включается масса протона? Если слабое взаимодействие передаётся с помощью некоторого мезона, называемого в настоящее время 𝐵-мезоном, то может быть более естественным учесть в предыдущем соотношении массу 𝐵-мезона, которая может быть много больше, чем масса нуклона, достаточная для того, чтобы константа взаимодействия была весьма отличной от ”малой” константы 10⁻⁵.

Все другие поля, которые нам известны, являются много более сильными, чем гравитация, что приводит к тому предположению, что гравитация никогда не может быть объяснена как некоторая поправка, как некоторые члены, которыми ранее пренебрегали в теории, которая бы объединяла все другие поля, которые нам известны. Число 10⁴² так чрезвычайно велико, что появляется весьма заманчивая перспектива поискать другие большие числа, которые могут быть связаны с этим числом. Подобная идея первоначально была предложена А. Эддингтоном [Eddi 31, Eddi 36, Eddi 46].¹ Существование одного большого числа весьма загадочно, в случае существования двух таких чисел ситуация была бы ещё хуже, и ситуация могла бы быть улучшена для нас, если бы эти числа были связаны так, что большая величина одного приводила бы к большой величине другого; существование же одной большой величины могло бы быть объяснено значительно более просто, чем двух больших чисел. Эддингтон предположил, что 10⁴²=2¹³⁷, однако некоторые части его книги настолько непонятны, что можно было бы сказать, что книга Эддингтона не содержит полезной теории, поскольку изложение крайне туманно. Мы будем искать объяснения большого числа 10⁴² в другом направлении. Мы знаем о других таких больших числах, например числе атомов или частиц в нас, но как и ранее, нам бы хотелось уйти от нашей человеческой природы при проведении подобных сравнений. Интересно, что гравитационные силы играют определяющую роль для движения таких огромных объектов, как галактики, так что можно было бы поискать связь между величиной гравитационных сил и размером вселенной.

¹ Интересное обсуждение возможности совпадения больших чисел и некоторых других вопросов, рассматриваемых в лекции, приведено в книге П.Девиса [Деви 85’]. (Прим. перев.)

В настоящее время размер вселенной очень большой, и её границы нельзя считать хорошо известными, однако можно определить некоторую величину, которая называется радиусом вселенной. Существует наблюдательный факт, что свет, приходящий от удалённых звёзд и галактик, сдвигается в сторону более низких частот, как будто они разбегаются от нас со скоростями, пропорциональными расстояниям от нас до этих объектов. Этот факт может быть объяснён в рамках так называемой теории Большого Взрыва Вселенной. Как мы увидим, теория гравитации очень важна при рассмотрении космологических моделей, и мы будем обсуждать их позднее в нашем курсе. Однако сейчас предположим, что галактики образованы из материи, которая начала двигаться из некоторого пятна в Большом Взрыве; тогда пропорциональность между скоростью от центра и расстоянием получается довольно естественно, поскольку вещество, которое находится дальше, движется быстрее. Такая пропорциональность имеет вид 𝑅/𝑉=𝑇, где 𝑇 – время, прошедшее с момента такого гипотетического взрыва. Это время (обратная величина которого известна как постоянная Хаббла) характеризуется величиной порядка 13×10¹⁰ лет. Ошибка в этой величине составляет довольно существенную часть, несколько лет назад для этой величины приводилось значение 2×10¹⁰ лет. Ошибки определения этой величины связаны с ошибками определения расстояний; допплеровские сдвиги измеряются значительно проще, чем расстояния до далёких галактик.

Эта константа описывает время жизни вселенной; не обязательно мы должны верить в то, что вселенная образовалась 𝑇 лет назад, скорее эта величина характеризует фундаментальную размерность вселенной, причём значительно в большей степени, чем величина 𝑒²/𝑚𝑐² представляет ”радиус электрона”. Аналогично, величина 𝑇𝑐 описывает некоторую длину, которая может называться ”радиусом” вселенной. Посмотрим, как можно было бы получить коэффициент порядка 10⁴² каким-либо образом из постоянной Хаббла. Мы можем взять для примера отношение времени, которое требуется свету, чтобы пройти расстояние, равное комптоновской длине волны электрона ℏ/𝑚𝑐² или протона ℏ/𝑀_𝑝𝑐², к постоянной Хаббла, кроме того, мы надеемся, что эта величина представляет собой нечто более значительное, чем просто некоторое количество секунд в нашей человеческой шкале измерений. Эти времена равны соответственно ℏ/𝑚𝑐²=10⁻²¹ с, или ℏ/𝑀_𝑝𝑐²=10⁻²⁴ с, время жизни вселенной 𝑇=10¹⁷ сек, таким образом, это отношение порядка 10⁴¹ для протонов, и можно сказать, пользуясь подобными соотношениями, что эта величина находится не слишком далеко от отношения электрических и гравитационных сил для протона, которое примерно равно 10³⁶. Если мы рассмотрим электроны, то это отношение равно 10³⁸, что также не слишком близко к величине 10⁴², но мы должны иметь в виду, что мы пустились на самые смелые размышления с целью посмотреть на то, получим ли мы хоть какие-то осмысленные результаты. Можно напомнить такой факт, что П. Дирак [Dira 37, Dira 38] пытался построить некоторую теорию гравитации, в которой гравитационная константа была бы в точности этой величины. Одна из трудностей такой теории состоит в том, что необходимо вводить зависимость от времени силы гравитации, так как вселенная всё время стареет в единицах времени, соответствующих комптоновской длине волны. Однако очень трудно определить, что значит сказать, что силы гравитации зависят от времени, в то время как всё остальное ”остаётся тем же самым”. Так как эти значимые величины являются безразмерными отношениями некоторых физических величин, то эту ситуацию можно было бы описывать, предполагая, что электрический заряд зависит от времени, так что теория на самом деле, не является хорошо определённой. В данный момент попытаемся взглянуть поверх этих трудностей теории и посмотреть, хотя бы интуитивно, какие мы можем вывести следствия из зависимости от времени гравитационной константы. Некоторые учёные говорят, что этот факт может помочь объяснить землетрясения, поскольку, когда гравитационные силы слабеют, Земля слегка вытягивается, и могут возникать трещины. Однако, альтернативная теория, в которой рассматриваются токи в магме, находящейся внутри Земли, лучше описывает то, почему землетрясения происходят в высоко локализованных областях Земной коры. Итак, приятным является то, что некоторые выводы могут использоваться в теории землетрясений.

Можно было бы попытаться опровергнуть идею об изменении гравитационной постоянной 𝐺, основываясь на следствиях теории звёзд; мы не будем детально изучать звёзды, однако вкратце можно сказать, какие процессы в них происходят. Вещество звезды падает к центру, выделяемая гравитационная энергия нагревает вещество до температуры, при которой происходят ядерные реакции, а в результате давление сохраняет звезду в состоянии равновесия, энергетические потери компенсируются энерговыделением при ядерных реакциях, и давление не позволяет веществу коллапсировать дальше. Если мы предполагаем, что гравитационная константа зависит от времени и имела большее значение в прошлом, мы должны предположить, что скорость энерговыделения в прошлом была выше для того, чтобы компенсировать больший вес; детальное рассмотрение показывает, что мы могли бы ожидать, что светимость звезды зависит от гравитационной постоянной как 𝐺⁶; качественно, если постоянная больше, то больше и центральная температура, необходимая, чтобы силы газового давления поддерживали больший вес вещества, так что ядерные реакции происходят с большим энерговыделением. Мы можем спросить, какое влияние всё это могло бы оказать на наше Солнце и отсюда на поверхностную температуру Земли; мы утверждаем, что имеются некоторые ограничения на поверхностную температуру Земли, исходя из того факта, что на нашей планете жизнь существует (по крайней мере, в каком-то виде) уже 10⁹ лет. Если гравитационная константа раньше была больше, то светимость Солнца была бы больше, согласно закону 𝐺⁶, и орбита Земли должна была бы быть ближе к Солнцу, чем сейчас. В этом случае световой поток, падающий на Землю, должен был бы быть пропорционален 𝐺⁸. Сейчас мы можем сделать некоторую оценку земной температуры; получить точную оценку довольно трудно, потому что плохо известна отражающая способность поверхности Земли (альбедо), достаточно трудно учесть влияние облаков и другие усложнения подобного рода, но мы можем получить оценку, основываясь на предположении, что Земля является чёрным телом. Чёрное тело испускает энергию, зависящую от температуры поверхности как 𝑇⁴, и поскольку Земля вращается, температура приходит в равновесие с энергией, получаемой от Солнца. Если сравнить полученные оценки с имеющимися данными об измеренных температурах поверхностей планет, то это сравнение показывает, что простая оценка оказывается весьма точной (во всех тех случаях, когда поверхностная температура известна). Итак, мы можем использовать эту оценку для получения оценки температуры земной поверхности миллиард лет тому назад, предполагая, что гравитационная константа была в то время на 8% больше. Энергия, падающая на поверхность Земли, связана с температурой в соответствии с законом 𝑇⁴, эта энергия связана с гравитационной постоянной как 𝐺⁸, таким образом температура поверхности Земли пропорциональна 𝐺² и на 16%, или на 48°С, была выше миллиард лет тому назад, чем сейчас.

Теперь можно спросить геофизиков и биохимиков, что было бы, если бы температура Земной поверхности была бы такая, как 75°С. Эта температура ещё не достаточно высока, чтобы моря закипели, так что мы ещё не можем отвергнуть полностью такую теорию. Можно предположить, что жизнь действительно зародилась при такой температуре воды. Известны некоторые места на Земле, такие как горячие источники в Йеллоустоне, где некоторые бактерии живут в воде при аналогичных температурах. Это была бы довольно странная жизнь, которая могла бы существовать при таких температурах; найденные древнейшие ископаемые остатки не демонстрируют никаких особенностей, которые могли бы быть разумным свидетельством существования таких больших температур, тем не менее, насколько я знаю, мы не можем предъявить решающего свидетельства против более высокой температуры в более ранние времена.

Существенно большая светимость звёзд в том случае, если бы гравитационная постоянная была больше в прошлом, поменяла бы эволюционные масштабы времени некоторых звёзд. Я знаю, что некоторые астрономы пытаются увидеть, согласуются ли эти выводы с наблюдениями, но я не знаю, получили ли они на этот счёт строгое заключение.

Другое замечательное совпадение, связывающее гравитационную константу с размером вселенной, получается из рассмотрения полной энергии. Полная гравитационная энергия всех частиц вселенной есть что-то вроде 𝐺𝑀𝑀/𝑅 где 𝑅=𝑇𝑐 и 𝑇 – хаббловское время. На самом деле, если вселенная является сферой с постоянной плотностью, необходимо учесть множитель 3/5, но мы будем пренебрегать им, поскольку наша космологическая модель не во всем хорошо известна. Мы сравним эту величину с общей массой вселенной, 𝑀𝑐². И вдруг, о чудо! Мы получаем замечательный результат, 𝐺𝑀²/𝑅=𝑀𝑐², так что полная масса вселенной равна нулю.¹ На самом деле, мы не знаем ни плотности вещества, ни радиуса во вселенной с достаточной точностью для того, чтобы говорить о равенстве, но тот факт, что эти два больших числа должны были бы иметь одинаковые порядки величин, представляет собой поистине замечательное совпадение. Отсюда можно придти к весьма смелой мысли, что это ”ничто” рождает новые частицы, так как мы можем создать их в центре вселенной, где имеется отрицательная гравитационная энергия, равная 𝑀𝑐².