Фейнмановские лекции по гравитации

Текст добавлен: 15 мая 2018, 03:30

Текст книги "Фейнмановские лекции по гравитации"

Автор книги: Ричард Фейнман

Жанры:

Учебники

сообщить о нарушении

Текущая страница: 16 (всего у книги 22 страниц)

Как только мы проделали эти выкладки сначала в дифференциальной форме, затем в ковариантной форме, тогда мы можем использовать нашу теорию для того, чтобы вычислить, например, уравнение движения вещества в звезде. Рассмотренные процессы могут описываться законами, характеризующими непрозрачность, законами рассеяния и т.д. Что не является допустимым, так это использование законов, которые могли бы нарушить сохранение энергии. Мы не можем, например, сказать ”до свидания” тем нейтрино, которые образовались; эти нейтрино теряют энергию из-за наличия гравитационного потенциала, когда они покидают звезду, и последовательная теория не может быть написана, если мы пренебрегаем этим эффектом и влиянием плотности энергии нейтрино на модификацию гравитационного поля. Следовательно, не будет достаточным записать интегральные уравнения диффузии со свободными траекториями с конечным средним, но мы должны следовать уравнениям движения частиц диффузии, которые описываются полными законами, записанными в виде дифференциальных уравнений.

Для того, чтобы сделать выражения для нас проще, запишем здесь подынтегральную функцию в выражении для действия для полей непосредственно через метрический тензор. Наши предыдущие выражения выглядят проще, поскольку они определяются через комбинации метрического тензора, но этот вид часто оказывается более полезным

-𝑅

√

–𝑔

√-𝑔

𝑔

_νλ,σ

𝑔

_μρ,τ

(

𝑔

^νλ

𝑔

^στ

𝑔

^μρ

–

𝑔

^νμ

𝑔

^λρ

𝑔

^στ

𝑔

^μν

𝑔

^λτ

𝑔

^σρ

–2

𝑔

^τμ

𝑔

^ρσ

𝑔

^νλ

)

⎡

⎣

√

–𝑔

𝑔

_νσ,μ

(

𝑔

^σν

𝑔

^ρν

–

𝑔

^μν

𝑔

^ρσ

)

⎤

⎦,ρ

(10.3.12)

Последний член есть производная, поэтому его интегрирование в выражении для действия даёт в результате нуль, так что часто мы можем вполне обоснованно выбросить этот член из рассмотрения. Для многих задач будет достаточно записать действие как интеграл от первого члена, обозначаемого как 𝐻, так что

δ𝑆

_𝑔

2λ²

∫

𝑑⁴𝑥

𝐻

где

𝐻

√

–𝑔

𝑔

^μν

⎡

⎣

νσ

ρμ

–

μν

ρσ

⎤

⎦

(10.3.13)

Теперь мы снова готовы построить квантовую теорию, после того как мы имеем теорию с эйнштейновской точки зрения. Эта теория является более полной, чем та, которую мы обсуждали с венерианской точки зрения – мы имеем полный лагранжиан, включающий взаимодействие с материей, и который оказывается правильным во всех порядках. Если мы ограничим наше рассмотрение вселенной, которая содержит только гравитационные поля и скалярную материю, то теория поля получается путём анализа разложений через константу взаимодействия:

𝑔

_μν

2λ

ℎ

_μν

(10.3.14)

В этом лагранжиане члены, которые квадратичны, соответствуют просто пропагаторам, члены, включающие в себя произведения двух φ и одного ℎ, и члены, включающие в себя три ℎ и два φ, соответствуют диаграммам, которые показаны на рис. 10.1. Таким путём мы приходим к предписанию для вычисления амплитуд квантовой механики для движения материи после того, как мы начали рассмотрение с геометрической точки зрения.

Рис. 10.1.

Когда придёт время, мы будем пользоваться классической теорией для того, чтобы обсудить движение классических моментов и обсудить космологические вопросы, и мы будем использовать квантовую теорию для того, чтобы вычислить излучение гравитационных волн. Третья альтернативная точка зрения на гравитацию будет представлена после того, как мы обнаружим пути, пользуясь которыми, мы приходим к выводу, что квантово-механическая теория запутывает нас.

Рассматривая эти члены в действии, мы могли бы проанализировать, почему полевое слагаемое может не включать в себя определённую пропорцию Λ величины ∫𝑑⁴𝑥√-𝑔. Эта величина должна быть интегралом, пропорциональным объёму Вселенной, который предположительно есть константа. Получившееся в результате уравнение для такого поля ведёт себя до некоторой степени так же, как если бы гравитоны имели массу и универсальный источник. Рассмотрение предельно большого радиуса действия гравитационных сил делает довольно бессмысленным введение такого слагаемого в действие, даже если бы это приводило к согласованной теории. Уравнения движения, получающиеся из подобного рассмотрения, есть

𝐺

_μν

Λ𝑔

_μν

λ²𝑇

_μν

(10.3.15)

Постоянная Λ известна как ”космологическая постоянная”. Эйнштейн хотел, чтобы Вселенная была замкнутой, так что он определил эту постоянную как значение, которое допускает для такой Вселенной стационарные решения. Позднее Эйнштейн ссылался на введение космологической постоянной как на свою Великую Ошибку; хотя он выбрал её значение равным нулю, он мог бы придти к заключению, что Вселенная могла бы расширяться (или сжиматься). И только позднее Хабблом было открыто, что удалённые галактики движутся от нас и Вселенная расширяется. С того времени, как такое изменение эйнштейновской теории вселенной было введено, космология была ”испорчена” трудностями, связанными с определением значения космологической постоянной. Я согласен со второй гипотезой Эйнштейна и думаю, что значение Λ=0 является наиболее вероятным.

Лекция 11

11.1. Кривизна в окрестности сферической звезды

Теперь мы обратим внимание на нахождение решений уравнений Эйнштейна для некоторых случаев, которые представляют физический интерес. Оказывается, что имеется очень небольшое число наблюдений, связанных с гравитацией, которые не могут быть адекватно объяснены ньютоновской теорией гравитации, и имеются только два решения уравнений Эйнштейна, которые пытались найти.¹ Одно из них есть решение, которое описывает гравитационное поле в окрестности звезды (которое должно точно определять отклонение луча света и прецессию орбиты Меркурия). Другое решение связано с описанием распределений массы, близких к однородным, и тем самым, это есть решение, которое представляет интерес при рассмотрении космологических моделей.

¹ В настоящее время известно очень много точных решений уравнений Эйнштейна. Например, большое число точных решений можно найти а книге [КШМХ 82*]. (Прим. перев.)

Если мы предполагаем наличие сферической симметрии, мы ожидаем, что метрический тензор будет давать в результате выражение возможно следующего вида для квадрата интервала собственного времени

(𝑑𝑠)²

𝐴(𝑑𝑡)²

𝐵𝑑𝑟𝑑𝑡

–

𝐶(𝑑𝑟)²

–

𝐷

⎛

⎝

(𝑑θ)²

sin²θ

(𝑑φ)²

⎞

⎠

𝑟²

(11.1.1)

где символы 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, обозначают функции, которые могут зависеть от координат (𝑟,𝑡) но не от (θ,φ). Такое решение допускает динамические решения, в которых движение материи является чисто радиальным.

Можно уменьшить число неизвестных функций, сделав разумный выбор новых координат. Например, заменим масштаб координаты 𝑟 согласно следующему правилу:

𝑟'

√

𝐷(𝑟,𝑡)

𝑟

(11.1.2)

получившееся в результате выражение (𝑑𝑠)² через 𝑟' и 𝑑𝑟' вместо 𝑟 и 𝑑𝑟 имеет тот же самый вид, но новая функция 𝐷 есть в точности 𝐷=1. Таким образом, функция 𝐷 оказывается излишней, так как 𝐷=1 соответствует нашей задаче без потери общности.

Второе преобразование делается путём замены масштаба времени. Мы положим

𝑡'

𝑡'(𝑡,𝑟)

(11.1.3)

Используя это преобразование, мы вводим новую функцию, которая может быть выбрана так, что коэффициент при произведении 𝑑𝑟𝑑𝑡' равен нулю. Это означает, что если положить 𝐵=0, то потери общности не происходит.

Обычно с этого места, чтобы продвинуться в вычислениях, принято работать не с функциями 𝐴 и 𝐶, а с новыми функциями ν и λ, которые определяются следующим образом:

𝐴

𝑒

^ν

𝐶

𝑒

^λ

(11.1.4)

(в этих обозначениях мы следуем Шварцшильду). Метрический тензор является диагональным, и если мы выберем обозначения индексов (1,2,3,4) для координат (𝑟,θ,φ,𝑡), то компоненты метрического тензора являются следующими:

𝑔₄₄

𝑒

^ν

𝑔₁₁

𝑒

^λ

𝑔₂₂

𝑟²

𝑔₃₃

𝑟²

sin²θ

(11.1.5)

Поскольку тензор является диагональным, элементы обратного тензора являются обратными элементами соответствующих компонентов более точно имеем следующие выражения:

𝑔⁴⁴

𝑒

^-ν

𝑔¹¹

𝑒

^-λ

𝑔²²

𝑟²

𝑔³³

𝑟²sin²θ

(11.1.6)

Теперь может быть проведено вычисление элементов тензора кривизны. Эти вычисления напрямую приводят к цели, однако они скучны и утомительны, поскольку в символах Кристоффеля имеется достаточно много производных и должно быть вычислено довольно много сумм.

Когда всё это проделано, то компоненты тензора кривизны могут быть вычислены через функции ν и λ и их производные по отношению ко времени 𝑡 и радиальной координате 𝑟. Для того, чтобы запись была более экономной, мы используем штрихи и точки для обозначения производных следующим образом:

ν'

∂ν

∂𝑟

ν̇

∂ν

∂𝑡

и т.д.

(11.1.7)

Точные выражения для тензора Римана являются следующими:

𝑅⁴²₄₁

𝑒

^-λ

⎛

⎜

⎝

ν''

(ν)²

–

λ'ν'

⎞

⎟

⎠

𝑒

^-ν

⎛

⎜

⎝

λ̈

(λ̇)²

–

λ̇ν̇

⎞

⎟

⎠

𝑅⁴²₄₂

𝑅⁴³₄₃

2𝑟

ν'𝑒

^-λ

𝑅²¹₂₁

𝑅³¹₃₁

2𝑟

λ'𝑒

^-λ

𝑅³²₃₂

𝑟²

⎛

⎝

𝑒

^-λ

–

⎞

⎠

𝑅⁴²₁₂

𝑅⁴³₁₃

2𝑟

λ̇𝑒

^-ν

(11.1.8)

Все остальные компоненты равны нулю, за исключением тех, которые могут быть получены тривиальной перестановкой индексов некоторого элемента в соотношениях (11.1.8).

11.2. О связи между материей и кривизной

Именно тензоры, которые выводятся из тензора кривизны, связаны с тензором энергии-импульса. Комбинации, включающие в себя тензор кривизны и необходимые нам в дальнейшем, есть следующие

𝐺

^μ

_ν

𝑅

^μ

_ν

–

𝑔

^μ

_ν

𝑅

(11.2.1)

Компоненты тензора 𝐺^μ_ν имеют довольно простое выражения через суммы элементов 𝑅^μν_στ. Например, диагональные элементы есть

𝐺⁴₄

𝑅¹²₁₂

𝑅¹³₁₃

𝑅²³₂₃

𝐺¹₁

𝑅⁴²₄₂

𝑅⁴³₄₃

𝑅³²₃₂

(11.2.2)

Другими словами, каждый из этих компонентов включает в себя сумму по таким элементам 𝑅^μν_στ, в индексы которых не включён диагональный индекс. Для недиагональных элементов мы также получаем очень простые выражения. Например,

𝐺⁴₁

𝑅²⁴₁₂

𝑅³⁴₁₃

𝐺²₁

𝑅³²₁₃

𝑅⁴²₁₄

(11.2.3)

и по аналогии с этими компонентами мы можем легко записать соответствующие выражения для других компонентов.

Простота выражений рассмотренных сумм может навести нас на мысль об интерпретации кривизны через характеристики распределения вещества. Мы ранее обсудили кривизну двумерной поверхности через относительное изменение длины окружности или площади круга по отношению к их величинам в плоском пространстве через измеренную величину их радиуса:

Длина окружности

2π𝑟

(1-

𝐾×

площадь)

(11.2.4)

где 𝐾 – коэффициент. Для трёхмерного мира изменение длины окружностей зависит от плоскости, на которой рисуются круги, о которых идёт речь, но можно определить среднюю кривизну посредством измерения отличия от 4π𝑟² площади сферы радиуса 𝑟. Получаемый результат должен быть следующим

площадь

4π𝑟²

⎛

⎜

⎝

𝑟²𝑅

⎞

⎟

⎠

(11.2.5)

где 𝑅 – скаляр, получаемый двойной свёрткой тензора кривизны.

Связь этой идеи с теорией гравитации может быть получена, если мы попытаемся придать концептуальное значение сумме 𝑅¹²₁₂+𝑅²³₂₃+𝑅¹³₁₃, что есть компонент тензора 𝐺⁴₄, который равен компоненту 44 тензора энергии-импульса.

Эта сумма есть в точности то, что мы должны называть средней кривизной трёхмерного пространства, которое перпендикулярно оси времени. Таким образом, мы можем дать словесную интерпретацию теории гравитации следующим образом: рассмотрим небольшую трёхмерную сферу с заданной площадью поверхности. Её действительный радиус превышает радиус, вычисляемый в евклидовой геометрии (√площадь/4π), на величину, которая пропорциональна количеству вещества внутри этой сферы (𝑟-√площадь/4π=𝐺/3𝑐²𝑚_внутри) (один ферми на 4 миллиарда метрических тонн).

Эта интерпретация используется прямо для компонента 44, который есть плотность вещества (или энергии) для вещества внутри этой сферы. Другие компоненты тензора кривизны правильно выводятся, когда мы требуем, чтобы один и тот же результат получался в любой координатной системе независимо от её скорости.

11.3. Метрика Шварцшильда, поле вне сферической звезды

Выражения для компонентов тензора 𝐺^μ_ν через функции ν и λ являются следующими

𝐺⁴₄

𝑟

λ'𝑒

^-λ

–

𝑟²

(𝑒

^-λ

–1)

𝑟²

𝑑

𝑑𝑟

⎛

⎝

𝑟

(𝑒

^-λ

–1)

⎞

⎠

𝐺¹₁

𝑟

ν'𝑒

^-λ

–

𝑟²

(𝑒

^-λ

–1)

𝐺⁴₁

𝑟

λ̇𝑒

^-ν

𝐺¹₄

𝑟

λ̇𝑒

^-λ

𝐺²₂

𝑒^-λ

2𝑟

(λ'-ν')

–

𝑒^-λ

(2ν''+(ν')²-λ'ν')

𝑒^-ν

(λ̈+(λ̇)²-λ̇ν̇)

(11.3.1)

Только выражение для компонента 𝐺²₂ является громоздким, но так происходит, что его точное выражение редко бывает необходимо использовать. Важное положение состоит в том, что дивергенция этого тензора должна быть равна нулю. Если мы имеем выражение для других компонентов, то требование обращения в нуль дивергенции часто помогает избежать использования точного выражения для 𝐺²₂. В этом месте могут быть предложены следующие упражнения.

Доказать, что если нет материи внутри сферы радиуса 𝑏 и распределение материи вне этой сферы является сферически симметричным, то пространство внутри сферы – плоское с метрикой 𝑔_μν=η_μν.

Доказать, что если тензор энергии-импульса 𝑇^μν известен всюду внутри сферы радиуса 𝑏, то каким бы он ни был вне этой сферы, это не повлияет на физику внутри сферы радиуса 𝑏. (Предполагается, что вне этой сферы тензор энергии-импульса характеризуется сферически симметричным распределением.)

Решение вне сферически симметричного распределения массы получается, если мы положим 𝑇_μν=0=𝐺_μν и решим получившиеся дифференциальные уравнения.

Мы начнём с того, что заметим, что 𝐺⁴₄ зависит только от λ. Так как 𝐺⁴₄ равен нулю, то мы получаем

𝑟(𝑒

^-λ

–1)

constant

–2𝑚

(11.3.2)

Множитель 2 взят для удобства, так что постоянная величина 𝑚 есть полная масса звезды, умноженная на ньютоновскую гравитационную постоянную. Если внутри сферы радиуса 𝑎, где находится вся масса, нет особенностей, то постоянная должна быть равна

𝑎

∫

𝑑𝑟

𝑟²

𝐺⁴₄

2𝑚

(11.3.3)

Мы уверены, что зависимость от времени отсутствует, поскольку

𝐺¹₄

𝑟

λ̇

𝑒

^-λ

так что λ вообще не зависит от времени. Последняя задача состоит в том, чтобы получить выражение для ν. Мы делаем это, приравнивая 𝐺¹₁ и 𝐺⁴₄, так как обе эти величины равны нулю. Отсюда приходим к выводу, что

ν'

λ'

(11.3.4)

которое может происходить только в том случае, если функция ν имеет следующий вид:

ƒ(𝑡)

(11.3.5)

где ƒ(𝑡) – произвольная функция времени. Тем не менее, так как функция ν появляется в коэффициенте при величине (𝑑𝑡)² в метрике следующим образом:

𝑒

^ν

(𝑑𝑡)²

𝑒

^-λ

𝑒

^ƒ(𝑡)

(𝑑𝑡)²

мы можем исключить множитель exp(ƒ(𝑡)), изменяя масштаб временной координаты. Другие элементы метрического тензора не изменяются при такой замене, так как в них включена только функция λ(𝑟). Полученный результат известен как метрика Шварцшильда

(𝑑𝑠)²

⎛

⎜

⎝

–

2𝑚

𝑟

⎞

⎟

⎠

(𝑑𝑡)²

–

(𝑑𝑟)²

1-2𝑚/𝑟

–

𝑟²

(

sin²θ(𝑑φ)²)

(𝑑θ)²

(11.3.6)

Интересно, что полученная метрика не зависит от времени, хотя мы никогда не говорили о том, что мы ищем статическое решение. Отсутствие зависимости от времени метрики Шварцшильда следует из предположения о сферической симметрии и того, что мы рассматриваем метрику в области с нулевой плотностью давления.

Для случая реальной звезды такой, как Солнце, точной сферической симметрии нет, поскольку имеется вращение и поскольку имеется утолщение (балдж) на экваторе. Тем не менее, эти отличия вызывают лишь небольшие отклонения от случая сферической симметрии. Если имеется световой поток от звезды, то будут появляться другие поправки, поскольку плотность энергии не будет равной нулю в пространстве вне звезды. Тем не менее, решение Шварцшильда достаточно точно описывает ситуацию с Солнцем, так что прецессия перигелия Меркурия задаётся правильно в пределах ошибок измерения.

11.4. Сингулярность Шварцшильда

Метрика, представленная в соотношении (11.3.6), имеет особенность при 𝑟=2𝑚. Для того, чтобы узнать, является ли эта особенность, причиняющей беспокойство и имеющей физический смысл, мы должны посмотреть, соответствует ли эта особенность физическому значению измеряемого радиуса от начала координат (что не есть то же самое, что наша координата 𝑟)

𝑅

ƒ(𝑟)

(11.4.1)

Мы получаем ответ, рассматривал эту метрику с использованием другого подхода. Мы могли бы предположить, что правильное описание сферически симметричной метрики должно было бы иметь следующий вид:

(𝑑𝑠)²

𝐻(𝑅)

(𝑑𝑡)²

–

𝐹(𝑅)

(

(𝑑𝑥)²

(𝑑𝑦)²

(𝑑𝑧)²

(11.4.2)

где 𝑅²=𝑥²+𝑦²+𝑧². Метрика Шварцшильда приводится к такому виду путём подстановки

𝑟

𝑅

𝑚²

4𝑅

𝑚

(11.4.3)

используя которую, получаем следующее выражение

(𝑑𝑠)²

⎛

⎜

⎝ 1 -

𝑚

2𝑅

⎞²

⎟

⎠

⎛

⎜

⎝ 1 +

𝑚

2𝑅

⎞

⎟

⎠

(𝑑𝑡)²

–

⎛

⎜

⎝

𝑚

2𝑅

⎞⁴

⎟

⎠

(

(𝑑𝑥)²

(𝑑𝑦)²

(𝑑𝑧)²

(11.4.4)

Особенность в интервале собственного времени исчезла. Мы видим, что это было следствием особенности в определении радиальной координаты 𝑟. Тем не менее, метрика (11.4.4) выделяет частное значение радиуса 𝑅=𝑚/2 как положение, в котором обращается в нуль коэффициент при (𝑑𝑡)². Нам ещё следует исследовать, что происходит с физическими процессами в этой точке.

Эти результаты не нуждаются ни в каком непосредственном наблюдательном следствии. Когда мы подставляем величины, соответствующие массе Солнца, мы находим, что такой критический радиус существовал бы, если бы масса Солнца была сосредоточена внутри сферы, имеющей радиус, равный всего 1.5 км. Тем не менее, хотя очевидно эта ситуация не будет иметь место в Солнечной системе, разумно исследовать это критическое значение радиуса как свойство нашей теории.

Физическая интерпретация этого особого значения радиальной координаты связана со скоростью, на которой процессы, происходящие вблизи Солнца, проявлялись бы для удалённых наблюдателей. Ранее мы вычислили, как свет из областей с более низким гравитационным потенциалом сдвигается вниз по частоте, так что все объекты выглядят краснее. Радиус 𝑅=𝑚/2 соответствует потенциалу, который настолько низок, что свет не был бы достаточно энергичен для того, чтобы покинуть звезду, так что никакой свет не достиг бы наблюдателя, который находится на большом расстоянии от звезды.

Мы можем увидеть, происходит ли что-либо катастрофическое с геометрией пространства в этой точке, в точности вычисляя компоненты тензора кривизны. Получено, что эти компоненты равны

𝑅¹²₁₂

𝑅¹³₁₃

𝑚/𝑟³

𝑅²³₂₃

2𝑚/𝑟³

𝑅⁴¹₄₁

2𝑚/𝑟³

𝑅⁴²₄₂

𝑅⁴³₄₃

𝑚/𝑟³

(11.4.5)

Мы видим, что пространство в этой критической точке – гладкое. Такая ”особенность ” не может быть ничем иным как результатом частного способа выбора координат. В нашем примере с жуком, ползающим по поверхности сферы, была особенность в описании сферы при пересечении экватора. Но конечно, в физическом смысле (предполагается, что) пространство является в точности таким же гладким в окрестности этой особенности, как всюду на действительной сфере.

Результат, который мы только что получили, что кривизна пропорциональна 1/𝑟³, выглядит настолько просто, что мы можем попробовать поискать простой способ получения этого результата. У меня всегда было ощущение, что простой результат следовало бы получать простым способом. Следовательно, мы будем рассматривать геометрическую аргументацию, которая воспроизведёт зависимость 1/𝑟³ для рассматриваемого случал. Нам снова понадобится понятие средней кривизны в трёхмерном пространстве, определяемого путём рассмотрения четырёхмерного пространства для фиксированного момента времени. В этом подпространстве компоненты кривизны аналогичны компонентам давления. Для давлений (или угловых моментов) кривизна определяет нечто в плоскости, и мы можем пометить компоненты или парами индексов, которые определяют плоскость, или индексом оси, перпендикулярной плоскости. Таким образом, у нас есть следующее отождествление

𝑅¹²₁₂

→

𝑃³₃

𝑅¹³₁₃

→

𝑃²₂

(11.4.6)

и т.д. Далее мы покажем, что требование, что дивергенция таких ”давлений” обращается в нуль, эквивалентно тождеству Бианки;

𝑃³₃

₃

𝑃³₁

₁

𝑃³₂

₂

(11.4.7)

которое означает, что в этом пространстве (о котором идёт речь), такое ”давление” приводит к нулевой результирующей силе. Верхние индексы соответствуют плоскости, в которой рассматриваются компоненты кривизны.

Рис. 11.1.

Когда мы имеем дело с давлениями, след тензора давления есть давление. В нашем случае след нашего давления есть средняя кривизна, которая в свою очередь есть плотность вещества. Мы получаем зависимость от 1/𝑟³, требуя в полярных координатах, чтобы физическое равновесие было бы в месте, где давление равно нулю. Мы должны быть внимательны в определении площадей поперёк направлений действия давлений, поскольку это должны быть физические площади, измеряемые вдоль геодезических. Мы определяем расстояние вдоль дуги при постоянном значении 𝑟 как θ₀𝑟 где θ₀ – небольшой угол. Измерение величины θ₀ хорошо определено, так как если мы обходим окружность один раз, то называем полный угол 2π Если радиальное давление обозначим буквой 𝑇, а давление в перпендикулярном направлении как 𝑆 (см. рис. 11.1), мы имеем для элемента объёма 𝑟²𝑑𝑟 θ(sin(θ) 𝑑φ), для которого θ₀=sin(θ)𝑑φ, что эти силы оказываются неуравновешенными, если не выполнены следующие условия

𝑑(

𝑇

𝑟²

)

2𝑆

𝑟

𝑑𝑟

Если для величины 𝑇 допускается зависимость только от 𝑟, мы получаем следующее дифференциальное уравнение, связывающее величины 𝑇 и 𝑅

𝑑𝑇

𝑑𝑟

2𝑆

𝑟

–

2𝑇

𝑟

(11.4.8)

которое выполняется в общем случае. Теперь мы можем рассмотреть ситуацию в пустом пространстве, в котором след тензора равен нулю

След

𝑇

2𝑆

𝑇

2𝑆

(11.4.9)

Дифференциальное уравнение в этом случае имеет вид:

𝑑𝑇

𝑑𝑟

3𝑇

𝑟

(11.4.10)

отсюда получаем решение 𝑇=1/𝑟³.

Двигаясь таким путём, мы видим, почему выполнение тождества Бианки означает, что компоненты кривизны всюду пропорциональны 1/𝑟³. Связь функции exp(-λ) с величиной 𝑇 может быть получена с использованием аналогичных простых рассмотрений, которые приводят к заключению, что exp(-λ) отличается от 1 на множитель, обратно пропорциональный 𝑟³ (11.4.5).

11.5. Размышления о понятии кротовой норы

Рис. 11.2.

Рассуждения, приведённые в предыдущем разделе, показали нам, как сферически симметричное распределение массы в достаточно небольшом объёме приводит к возникновению компонентов тензора кривизны, пропорциональных всюду 𝑚/𝑟³. Двумерный аналог такой ситуации мог бы быть использован жуком, ползающим по поверхности, имеющей форму ”водоворота”. Давайте представим кривую, вращающуюся вокруг оси 𝑧, причём эта кривая пересекает ось 𝑥𝑦 под прямыми углами, как показано на рис. 11.2. Такая поверхность может представлять наше пространство при заданном моменте времени (𝑑𝑡=0) и при определённом значении азимутального угла, скажем φ=0. Если уравнение поверхности задаётся функцией 𝑧(𝑟), то длина дуги при постоянном значении θ задаётся следующим соотношением:

(𝑑𝑠)²

(𝑑𝑟)²

⎛

⎜

⎝

∂𝑧

∂𝑟

⎞²

⎟

⎠

(𝑑𝑟)²

⎡

⎢

⎣

⎛

⎜

⎝

∂𝑧

∂𝑟

⎞²

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

(𝑑𝑟)²

(11.5.1)

Мы можем положить множитель перед величиной (𝑑𝑟)² равным соответствующей величине в метрике Шварцшильда

⎛

⎜

⎝

∂𝑧

∂𝑟

⎞²

⎟

⎠

1-2𝑚/𝑟

(11.5.2)

и определить отсюда функцию 𝑧(𝑟) Можно легко получить ответ в этом случае

𝑧²(𝑟)

8𝑚

(𝑟-2𝑚)

(11.5.3)

Другими словами, пространство – параболическое, ”горловина” которого расположена на расстоянии 𝑟=2𝑚 от начала координат.

Существуют некоторые в высшей степени соблазнительные аспекты этого результата. В области 𝑟>2𝑚 пространство в точности такое, которое могло бы описываться как результат, вызываемый действием массы 𝑚, находящейся в начале координат (или более точно, масса распределена сферически симметрично в малой окрестности начала координат). Если мы приближаемся к началу координат, мы никогда не можем достичь расстояния 𝑟<2𝑚, но можем перейти к пространству, которое есть двойник тому пространству, в котором мы исходно находились. Это рассмотрение приводит к идее (разработанной, в частности, Уилером), что эффекты, которые мы называли "массовыми”, могут быть ничем иным, как особенностью топологии пространства, в котором мы находимся, и что нигде нет ”истинных” источников гравитации.

Любопытно было бы предположить, что все частицы с массой должны иметь такие горловины радиуса 2𝑚, ассоциированные с ними, и может оказаться так, что элементарные частицы есть ничто иное, как области пространства, через которые мы можем перейти в другое пространство, протискиваясь через дыру. Эти дыры названы Дж.А. Уилером ”кротовыми норами”. Если частицы заряжены, силовые линии электрического поля могут быть непрерывны вдоль этой поверхности, входя на одной стороне кротовой норы и выходя на другой стороне, так что существование двойного пространства может быть связано с существованием пар частица – античастица.

Пока оказалось невозможным получить согласованную качественную картину элементарных частиц, как такие кротовые норы. Вероятно, нет никакого возможного экспериментального наблюдения какого бы то ни было эффекта, обусловленного существованием кротовых нор. Мы не знаем никаких звёзд, которые достигали бы такой плотности массы, необходимой для того, чтобы критический радиус был близок к действительному радиусу. Если бы существовала звезда с радиусом меньшим, чем их критическое значение, мы не могли бы увидеть эту звезду, поскольку свет не может покинуть эту поверхность, так что до сих пор считается, что такие объекты могут существовать. Все известные элементарные частицы имеют известную структуру, много большую, чем диаметр, ассоциированной с этой частицей кротовой норы. Например, для нейтрона мы имеем 𝑟=2𝑚≈10⁻³³ см, примерно в 10²⁰ меньше, чем известный радиус нейтрона. Можно было бы взять частицу с массой 10⁻⁵ грамм, чтобы диаметр кротовой норы был бы той же величины, что и комптоновская длина волны ℎ/𝑚𝑐.

11.6. Проблемы теоретических исследований кротовых нор

Имеются различные вопросы, которые могут быть заданы, и эти вопросы образуют основу для теоретических исследований. Эти проблемы стоило бы исследовать, поскольку они имеют очень большое значение. Прежде всего, мы можем, используя наше нынешнее знание о поведении материи, спросить, возможно ли, чтобы достаточно большая масса оказывалась в достаточно малом объёме и коллапсировала в область, радиус которой меньше критического радиуса? Предположим, что в качестве начальной конфигурации имелась пыль, распределённая практически однородно по достаточно большой области пространства. В этой конфигурации начался бы гравитационный коллапс, вещество стало бы нагреваться, начались бы сначала химические, а затем ядерные реакции. Когда масса оказывается в достаточно большой степени сжата, то имелась бы точка, в которой электроны производили бы гигантское давление, препятствующее сжатию, так как они не могут быть сжаты вместе ближе, чем это допустимо принципом запрета (принципом Паули). Но для достаточно больших масс гравитационное притяжение является достаточно сильным для того, чтобы выдавить электроны и позволить нуклонам сохранять сжатие.

Детально процесс такого сжатия всё ещё не исследован теоретически. Мне кажется, что перед тем, как мы что-либо узнаем о наших кротовых норах, нам необходимо решить задачи классической теории гравитации, в которых анализируется поведение очень больших масс. Если коллапс некоторого объекта внутрь сферы с радиусом меньшим, чем критическое значение, возможен, то мы никогда не увидим, находясь вне этой сферы, этот объект, поскольку свет (предполагаем, что он излучает в оптическом диапазоне) становится всё краснее и краснее, затем становится инфракрасным, затем излучаемым в радиодиапазоне, и наконец, обнаруживается только по непосредственной связи с ним (по его гравитационному полю). Существует физический смысл в вопросе о том, каким он будет, став частью коллапсирующей массы.

Давайте посмотрим, как мы могли бы взяться за описание физических процессов, происходящих в относительной системе отсчёта, движущейся с падающей материей. Уравнение состояния включало бы в себя давление 𝑝 и плотность вещества ρ. В статическом случае мы бы имели

𝑇¹₁

𝑇²₂

𝑇³₃

–𝑝

𝑇⁴₄

ρ.

(11.6.1)

Как выглядит этот тензор для движущегося элемента материи? Используя величины

𝑢

𝑣

√1-𝑣²/𝑐²

𝑤

√1-𝑣²/𝑐²

ρ₀

𝑝,

(11.6.2)

мы находим, что

𝑇⁴₄

ρ₀

𝑤²

𝑝,

𝑇¹₁

ρ₀

𝑢²

𝑝,

𝑇²₂

𝑇³₃

𝑝,

𝑇⁴₁

ρ₀

𝑢𝑤

(11.6.3)

Для того, чтобы решить задачу о сжатии пылевого облака, мы можем действовать следующим образом. Сначала мы предполагаем, что ситуация описывается функциями λ и ν, зависящими от радиальной координаты и времени. Мы предполагаем, что состояние материи описывается плотностью вещества ρ и давлением 𝑝. Нам необходимо также уравнение состояния, связывающее 𝑝 и ρ;

𝑝

ƒ(ρ)

(11.6.4)

В качестве первой попытки мы можем посмотреть, что происходит, если давление 𝑝 и плотность ρ связаны адиабатическим законом. Позднее мы можем посмотреть, что происходит, если мы предполагаем охлаждение, как следствие светового излучения, нагрев ядерными реакциями и т.д. В результате мы хотим получить функцию, описывающую радиальную скорость элемента вещества – 𝑢(𝑟,𝑡)

Задача, в которую мы включили рассмотрение тепловых потоков и непрозрачности, и много другой всякой всячины, не должна быть слишком переусложнённой, так что ответ должен быть получаем как решение системы уравнений с частными производными. Надежда в том, что эта система будет согласованной и соответствующие зависимости могут быть распутаны, так что уравнения могли бы быть решены в соответствии с некоторой процедурой. Было бы слишком хорошо надеяться на то, что решения могут быть получены в замкнутом виде. Тем не менее, если дифференциальные уравнения распутываются, мы могли бы надеяться, что компьютеры могли бы обеспечить нас численными решениями этой системы дифференциальных уравнений.

Назад к карточке книги "Фейнмановские лекции по гравитации"