Текст книги "Фейнмановские лекции по гравитации"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 20 (всего у книги 22 страниц)

Лекция 15

15.1 Физическая топология решений Шварцшильда

В предыдущей лекции у нас были сделаны некоторые предположения о том, что распределение действительного вещества не может сконденсировать вещество внутри сферы с радиусом меньшим, чем величина гравитационного радиуса 2𝑚; даже если мы в порядке рабочей гипотезы приходим к выводу о том, что ”кротовые норы” не могут быть образованы из реального вещества, остаётся вопрос, который касается того, действительно ли решение Шварцшильда представляет случай, в котором тензор 𝐺^μ_ν равен нулю всюду, случай, в котором вещества нет вовсе, может выглядеть как вещество, которое рассматривается с расстояния. Следовательно, давайте попытаемся продолжить решение Шварцшильда внутрь критического радиуса 2𝑚. Мы полагаем, что это должно быть возможным потому, что хотя метрика

(𝑑𝑠)²

=

⎛

⎜

⎝

1

–

2𝑚

𝑟

⎞

⎟

⎠

(𝑑𝑡)²

–

(𝑑𝑟)²

1-2𝑚/𝑟

–

𝑟²(

(𝑑θ)²

+

sin²θ

(𝑑φ)²

)

(15.1.1)

имеет очевидную сингулярность при 𝑟=2𝑚, компоненты тензора кривизны являются гладкими в этой точке. Компоненты тензора кривизны становятся сингулярными в начале координат 𝑟=0, так что действительно происходит что-то ужасное с пространством в начале координат. Космический корабль, падающий в начало координат, может быть катастрофическим образом искривлён, потому что приливные силы становятся бесконечными, это есть тип ужасного поведения, который следует из сингулярности тензора кривизны. Всё, что происходит при 𝑟=2𝑚, состоит в том, что коэффициенты перед членами (𝑑𝑡)² и (𝑑𝑟)² меняют знак в соотношении (15.1.1), тем не менее, пространство остаётся по-прежнему с сигнатурой три и один, так что пространство чувствует себя совершенно нормально.

Давайте рассмотрим разложение пространства в окрестности сингулярной точки. Предположим, что мы меняем координаты в окрестности 𝑟=2𝑚, и рассмотрим плоскости 𝑑φ=0, 𝑑θ=0. На языке новой переменной 𝑥, мы имеем

𝑥

=

(1-2𝑚)

,

𝑟

=

2𝑚(1+𝑥)

 при малых значениях

𝑥

,

(𝑑𝑠)²

=

𝑥(𝑑𝑡)²

–

(2𝑚)²

(𝑑𝑥)²

𝑥

,

(15.1.2)

вблизи сингулярной точки. Хотя пространство меняет знак, когда 𝑥 меняет знак, при 𝑥>0 метрика может быть заменена вновь таким образом, что она становится плоской; простое координатное преобразование приводит метрику к ”полярному” виду

𝑥

=

𝑅²

→

(𝑑𝑠)²

=

𝑅²

(𝑑𝑡)²

–

(4𝑚)²

(𝑑𝑅)²

,

(15.1.3)

с использованием этого соотношения метрика легко может быть преобразована в метрику Минковского путём подстановки

𝑣

=

4𝑚𝑅cosh(𝑡/4𝑚)

,

𝑢

=

4𝑚𝑅sinh(𝑡/4𝑚)

,

→(𝑑𝑠)²

=

(𝑑𝑢)²

–

(𝑑𝑣)²

.

(15.1.4)

Эти результаты показывают, что пространство вблизи сингулярной точки ведёт себя совершенно хорошо, так что сингулярность Шварцшильда есть особенность координат, которые мы определили. Для того, чтобы связать геодезические, проходящие через точку 𝑟=2𝑚, уравнение (15.1.4) подсказывает подстановку

𝑥

=

⎛

⎜

⎝

1

–

2𝑚

𝑟

⎞

⎟

⎠

=-

(𝑢²-𝑣²)

(4𝑚)²

,

𝑢

𝑣

=

tanh

⎛

⎜

⎝

𝑡

4𝑚

⎞

⎟

⎠

,

(15.1.5)

на языке координат 𝑢 и 𝑣 пространство и метрика являются гладкими с обеих сторон 𝑟=2𝑚. Подобное преобразование использовалось Фуллером и Уилером [FuWh 62] для того, чтобы получить пересечение промежутка, где имелась координатная особенность. Геодезические, правильно соединяющиеся через значение 𝑟=2𝑚, показывают, что частицы, падающие по направлению к гравитирующей массе, при значениях координаты 𝑟 меньших, чем её критическое значение 2𝑚, не отражаются в какое бы то ни было ”новое" пространство на другой стороне любой горловины, а сохраняют своё падение по направлению к началу координат. Здесь нет противоречия с рассмотрениями, которые привели к предположениям о кротовых норах. Топология типа горловины получается путём разрезания пространства неким особым способом, если положим 𝑑𝑡=0. Тем не менее, движение реальных частиц не происходит в пространстве, в котором 𝑑𝑡=0, и нет основания тому, почему топология подпространства 𝑑𝑡=0 должна бы соответствовать общему свойству четырёхмерного пространства. Тороидальный пончик может быть вырезан из целого куска даже тогда, когда нет ничего тороидального у этого целого куска. Для физических задач топология, которой мы интересуемся, касается геодезических, и здесь не существует времениподобных геодезических, которые бы проходили через кротовую нору.

15.2. Орбиты частиц в поле Шварцшильда

Поучительно получить описание радиального движения частиц как функции собственного времени 𝑠. Как обычно для задач описания движения в поле центральных сил, движение происходит в одной плоскости (мы выбираем её таким образом, что θ=π/2, и радиальное движение определяется двумя параметрами 𝐾 и 𝐿, связанными с полной энергией и угловым моментом, которые есть первые интегралы уравнения для времени и уравнения для угла, как следует из следующих уравнении: уравнения геодезических

𝑑

𝑑𝑠

⎛

⎜

⎝

𝑔

_μν

𝑑𝑥^μ

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

=

1

2

∂𝑔_αβ

∂𝑥^ν

𝑑𝑥^α

𝑑𝑠

𝑑𝑥^β

𝑑𝑠

,

(15.2.1)

может быть тривиальным образом проинтегрировано, когда ν=3,4 (координаты φ, 𝑡), поскольку метрический тензор не зависит от φ и 𝑡, и, следовательно, правая часть уравнения (15.2.1) равна нулю. Из этого условия определяются следующие интегралы:

𝐾

=

(1-2𝑚/𝑟)

𝑑𝑡

𝑑𝑠

,

𝐿

=

𝑟²

𝑑φ

𝑑𝑠

.

(15.2.2)

Уравнение для описания изменения радиальной координаты может быть получено, если мы положим ν=1 в уравнении (15.2.1), но это требует больше работы, чем это необходимо. Легче получить уравнение для описания изменения радиальной координаты из условия

𝑔

_μν

𝑑𝑥^μ

𝑑𝑠

𝑑𝑥^ν

𝑑𝑠

=

1,

(15.2.3)

которое может быть явным образом записало через величины 𝐿 и 𝐾 следующим образом:

𝐾²

(1-2𝑚/𝑟)

–

1

(1-2𝑚/𝑟)

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑟

𝑑𝑠

⎞²

⎟

⎠

–

𝐿²

𝑟²

=

1.

(15.2.4)

Собственное время, соответствующее пролёту частицы от значения радиуса 𝑟₀ до значения радиуса 𝑟₁, задаётся следующим соотношением:

∫

𝑑𝑠

=

𝑟₁

∫

𝑟₀

𝑑𝑟

⎛

⎝

𝐾

–

(1-2𝑚/𝑟)

(1+𝐿²/𝑟²)

⎞-½

⎠

.

(15.2.5)

Необходимо заметить, что более не происходит ничего ужасного при 𝑟=2𝑚, подынтегральное выражение ведёт себя хорошо, нет никакой задачи соединения траектории, проходящей через какой-либо промежуток (содержащий координатную особенность 𝑟=2𝑚). Если бы мы сначала изучали орбитальные движения и не беспокоились по поводу метрики, мы могли бы не заметить сингулярности в координатах Шварцшильда и могли бы получить правильные ответы, просто используя соотношение (15.2.5).

Появление квадратного корня является довольно обычным при рассмотрении орбитальных движений, и анализ поведения выражения, стоящего под квадратным корнем, является весьма важным. Интегрирование прекращается в том случае, если выражение, стоящее под квадратным корнем, становится отрицательным, меньшие значения радиуса никогда не могут быть достигнуты частицами (движущимися по этим геодезическим). Если угловой момент 𝐿 достаточно велик, то квадратный корень становится мнимым при значении радиуса большем, чем 2𝑚, и орбиты имеют такое же качественное поведение, что и в ньютоновском случае.¹ С другой стороны, если энергия и угловой момент являются такими, что частица должна пересечь значение радиуса 2𝑚, то выражение, стоящее под знаком квадратного корня, не должно стать отрицательным при значениях радиальной координаты меньших, чем 𝑟=2𝑚, и это означает то, что все частицы продолжают своё падение к началу координат. Фактически, как только частица оказалась внутри области 𝑟=2𝑚, частицы с большим угловым моментом 𝐿 падают быстрее, ”центробежная сила” очевидно действует скорее как притяжение, чем как отталкивание.

¹ В метрике Шварцшильда полное решение задачи о сечении захвата частицы, обладающей произвольной скоростью на бесконечности, приведено в работе [Заха 88*] (а обобщение этих соотношений на случай заряженной чёрной дыры получено в работе [Zakh 94*]). (Прим. перев.)

В этом месте я хочу упомянуть некоторые своеобразные результаты, которые получаются, когда делается предположение, что поле Шварцшильда соответствует заряженному объекту, на который смотрят с расстояния. Легко может быть показало, что единственное изменение в метрике заключено в следующей замене

(1-2𝑚/𝑟)

→

(1-2𝑚/𝑟+𝑞²/𝑟²)

,

(15.2.6)

где 𝑞 – видимый заряд. Когда такое выражение подставлено в соответствующий интервал собственного времени (15.2.5), квадратный корень неизбежно является мнимым для достаточно малых значений радиуса, так что частица никогда не попадает в начало координат, а всегда отражается назад. Это отталкивание не обусловлено действием электрической силы между частицами, оно является присущим этой метрике свойством, если мы настаиваем на том, что поля должны бы соответствовать таким полям, которые образует при больших значениях радиуса 𝑟 заряженная частица, находящаяся в начале координат. Таким образом, это отталкивание должны были бы чувствовать даже нейтральные частицы, падающие в заряженный центр.

Метрика, соответствующая заряженной массе и определяемая соотношением (15.2.6), очевидно имеет две сингулярные точки. Представляет некоторый интерес изучить продолжение геодезических падающей частицы через эти две сингулярности; не представляется немыслимым, что частица может вылететь наружу так, что отражённая частица выходит наружу раньше, чем она начала двигаться по направлению к такому объекту! Я предполагаю такую возможность, потому что очевидно, что падающей частице требуется бесконечное время для того, чтобы достичь первую особенность (с точки зрения внешнего наблюдателя), хотя целая траектория, входящая в данный объект и выходящая из него с точки зрения самой частицы, может занимать конечное время.

15.3. О будущем геометродинамики

Длительные обсуждения, которые мы проводили по исследованию решений Шварцшильда, являются симптомом того, что мы имеем теорию, которая не исследовала полностью. Настало время переходить к изучению других тем, однако, я хочу представить вам мои соображения, каковы могут быть ответы, как только теория будет более полно исследовала. Оригинальные размышления Дж.А. Уилера о кротовых норах были основаны на идее, что возможно построить решения уравнений Эйнштейна, для которых 𝐺^μ_ν=0 всюду, и которые, тем не менее, действовали бы или чувствовали бы (гравитационное поле), как будто они являются настоящими массами. Топология кротовых нор такова, что было интуитивно ясно, что линии электрического поля, входящие в кротовую нору и выходящие где-то из кротовой норы, должны были бы очень хорошо соответствовать существованию положительных и отрицательных зарядов в точности одной и той же величины. Даже хотя мы продемонстрировали то, что топология геодезического пространства является не такой как топология кротовой норы, идея того, что вещество и заряд есть проявление топологии пространства, очень красивая и заманчивая, и никак не дискредитируется тем, что она не приносит никакого количественного результата, выраженного на языке решения Шварцшильда. На самом деле было бы очень замечательно иметь 𝐺^μ_ν=0 всюду, так чтобы, говоря словами, используемыми недавно для описания геометродинамики, материя возникла из того, что не есть материя, и заряд возник из того, что не есть заряд.

В ближайшем будущем можно исследовать свойства решения Шварцшильда в начале координат 𝑟=0. Я полагаю, что невозможно продемонстрировать то, что 𝐺^μ_ν=0 всюду, но предпочтительнее 𝐺^μ_ν=δ(𝑥) или что-либо такого рода. Объяснение поведения зарядов будет требовать дальнейшего детального изучения; я уверен в том, что такое ”отталкивание” в начале координат будет являться неверным заключением, в общем обусловленным имеющейся противоречивостью в предположении точечного заряда; плотность заряда в окрестности точечного заряда растёт как 𝐸² или 1/𝑟⁴, что означает, что масса, находящаяся внутри шара любого конечного радиуса, должна быть бесконечной. Если масса не является бесконечной, то мы должны записать нечто вроде

Масса внутри

=

(Константа)

–

𝑞²

2𝑟

.

(15.3.1)

Если нет отрицательной массы внутри шара любого радиуса, то тогда нам не разрешается двигаться внутрь шара радиуса 𝑎, где 𝑎 определяется условием (Константа) = 𝑞²/𝑎. Величина этой константы могла бы быть произвольной, если масса, находящаяся в начале координат, не являлась бы чисто электромагнитной. В области вне шара радиуса 𝑎, мы могли бы иметь следующие выражения для гравитационного поля и потенциала:

Поле

=-

𝑞²

2𝑟²

⎛

⎜

⎝

1

𝑎

–

1

𝑟

⎞

⎟

⎠

,

Потенциал

=

𝑞²

2𝑟

⎛

⎜

⎝

1

𝑎

–

1

2𝑟

⎞

⎟

⎠

.

(15.3.2)

Если мы возьмём константу не бесконечной и в явном виде, то мы не можем получить отталкивания. На языке новых координат 𝑢 и 𝑣 весь действительный мир содержится в подобласти, и геодезические падающих частиц попадают в барьер при 𝑟=0. Доставляющий беспокойство промежуток при 𝑟=𝑚+√𝑚²-𝑞² соответствует совершенно хорошо ведущей себя области пространства, где геодезические даже не имеют петли (см. рис. 15.1). Большой интерес представляет изучение геометрии такой заряженной массы, в том случай, если мы делаем её всё меньше и меньше.

Рис. 15.1.

Хотя геометродинамика, как она развивается Дж.А. Уилером и его соавторами, не принесла ещё никаких количественных результатов, эта теория содержит ростки уверенных представлений, которые, всё же, могут привести к эффектным успехам в нашем понимании физики. Необходимо дать кредит Уилеру для действительного понимания этих признаков наших нынешних теорий, которые до конца неисследованы, но кажутся многообещающими. В течение некоторого времени я был ассистентом Дж.А. Уилера, я многократно получал пользу от гения его интуиции для понимания того, в каком направлении лежит ответ. Одно время я пытался построить теорию классической электродинамики, в которой заряды взаимодействуют только с другими зарядами, вместо взаимодействия с другими полями, я чувствовал, что поля должны бы исчезать, оставаясь как способ прослеживания запаздывания. Всё очень хорошо продвигалось вперёд до тех пор, пока не пришло время объяснить реакцию излучения, в которой сила чувствуется ускоряющейся частицей задолго до того, как эти поля имели время путешествовать к другим зарядам и обратно. Когда я рассказал Уилеру о моих проблемах, он сказал ”Почему Вы не используете опережающий потенциал?” Опережающий потенциал? Это было нечто такое, что каждый выбрасывал как ненужное. Было очевидно, что это понятие лишено физического смысла, предполагать его использование было беспрецедентно смелым поступком. Тем не менее, некоторое время спустя количественная теория использования опережающего потенциала была разработана, и мы имели теорию электродинамики, в которой заряды действовали только на другие заряды, путём использования потенциала, половина из которого запаздывающий потенциал и половина опережающий потенциал.

Рис. 15.2.

В другом случае был телефонный звонок от него в середине ночи, когда он сказал мне: ”Я знаю, почему все электроны и позитроны имеют одинаковый заряд!” Затем он объяснял мне дальше: ” Все они являются одним и тем же электроном!” Его идея состояла в том, что если один и тот же объект имеет мировую линию, которая является предельна сложной, то когда мы смотрим на него в подпространстве ”сейчас”, мы видим его во многих разных местах (См. рис. 15.2.) Позднее, я оказался способен создать качественную идею такого сорта, путём интерпретации позитрона как существование электрона, чья фаза изменяется обратным образом от времени, и развития упрощённых методов для вычисления матричных элементов, включающих в себя аннигиляцию и образование пар. Было бы действительно очень замечательно, если бы идея кротовых нор и геометродинамики могла бы быть завершена для того, чтобы усовершенствовать наше понимание Природы, и зная Уилера, мне не кажется невероятным то, что его интуиция может когда-нибудь подтвердиться.

Этими комментариями о проблемах, представляющих значительный интерес в настоящее время, мы заканчиваем обсуждение классической теории гравитации.

Лекция 16

16.1. Связь между полями вещества и гравитацией

В лекции 10 мы выписали члены действия, соответствующие распространению свободных частиц и полей. Всё, что не вошло ранее в полное действие, может быть рассмотрено как взаимодействие между полями, и мы можем приступить к вычислению различных процессов путём использования теории возмущений. В этом случае нет необходимости в том, чтобы оправдываться в использовании возмущений, так как гравитация намного слабее других полей, для которых кажется, что теория возмущений даёт предельно точные предсказания. Известные части общего действия являются следующими:

-

1

2λ²

∫

𝑑⁴𝑥

√

–𝑔

𝑅

+

1

2

∫

𝑑⁴𝑥

√

–𝑔

⎛

⎝

𝑔

^μν

φ

_,μ

φ

_,ν

–

𝑚²φ²

⎞

⎠

–

-α

∫

𝑑⁴𝑥

√

–𝑔

𝑅

φ²

.

(16.1.1)

Первое приближение, которое мы сделаем, состоит в том, что мы положим коэффициент α равным нулю. Если оставить такой член в действии, то обычно ухудшается ситуация, связанная со многими проблемами расходимости, с которыми мы столкнёмся позже, и в этом случае увеличивается объём вычислений. Поскольку любой выбор этого коэффициента может быть произвольным в нынешнем состоянии искусства эксперимента, мы выбираем значение, которое упрощает вычисления наиболее удобным для нас образом. Второй шаг состоит в том, чтобы вытащить член, представляющий пропагатор этих полей, путём введения разложения

𝑔

_μν

=

η

_μν

+

2λ

ℎ

_μν

.

(16.1.2)

После того, как мы записали действие на языке полей ℎ_μν и скалярного материального поля, мы получаем следующее соотношение:

Действие

=

∫

𝑑⁴𝑥

𝐹²

[ℎ

_μν

]

+

∫

𝑑⁴𝑥

𝐼[ℎ

_μν

,φ]

+

(16.1.3)

+

∫

𝑑⁴𝑥

𝑀[φ]

,

где

𝐹²[ℎ

_μν

]

=

1

2

⎡

⎣

ℎ

^μν,λ

ℎ

^μν

_,λ

–

2

ℎ

^μλ

_,λ

ℎ

_μν

^,ν

⎤

⎦

,

𝑀

=

1

2

⎛

⎝

η

^μν

φ

_,μ

φ

_,ν

–

𝑚²φ

⎞

⎠

.

Вариации функции 𝐼 по отношению к полям ℎ_μν или φ представляют члены источника в дифференциальных уравнениях полей. Эти уравнения могут быть записаны в следующем виде в пространственном и импульсном представлениях:

□φ

–

𝑚²φ

=-

⎛

⎜

⎝

δ𝐼

δφ

⎞

⎟

⎠

→φ

=-

1

(𝑘²-𝑚²+𝑖ε)

𝐼

⎛

⎜

⎝

δ𝐼

δφ

⎞

⎟

⎠

,

-ℎ

_μν,λ

^,λ

+

ℎ

_μλ,ν

^,λ

+

ℎ

_νλ,ν

^,λ

=

λ

𝑆

_μν

,

где

𝑆

^μν

=-

1

λ

⎛

⎜

⎝

δ𝐼

δℎ_μν

⎞

⎟

⎠

.

(16.1.4)

Заметим, что 𝑆_μν есть та величина, которую мы называли ^new𝑇_μν в лекции 6 (см. соотношение (6.1.2)). Что мы должны делать дальше? Из-за тщательного построения первоначального действия как инвариантного интеграла может быть показано, что обыкновенная дивергенция тензора источника 𝑆_μν тождественно равна нулю. В импульсном представлении

𝑘

^μ

𝑆

_μν

=

0.

(16.1.5)

Тензор источника содержит в себе и источники материи, и источники гравитации. Из-за свободы, которую мы имеем в выборе калибровки, мы можем сделать тензор с чертой ℎ_μν бездивергентным и, таким образом, получить решение

𝑘

^ν

ℎ

_μν

=

0→

𝑘²

ℎ

_μν

=

λ

𝑆

_μν

,

ℎ

_μν

=

λ

𝑘²+𝑖ε

𝑆

_μν

.

(16.1.6)

Тензор, стоящий справа, есть не просто тензор неизвестного источника: теперь он хорошо определён на языке первоначального действия (16.1.1) и разложения (16.1.2), так что уравнения являются совместными и энергия сохраняется. Раз у нас есть разложение по степеням константы связи λ, мы можем, используя обычные правила теории возмущения, приступить к вычислению всех диаграмм каждого заданного порядка λ. Ключевыми разложениями являются разложение 𝑔^μν и разложение √𝑔. Первое легко может быть выписано по аналогии с разложением (1+𝑥)⁻¹, когда 𝑥 есть малая величина. Мы имеем

𝑔

^μν

=

⎛

⎝

η

_μν

+

2λ

ℎ

_μν

⎞⁻¹

⎠

=

=

η

^μν

–

2λ

ℎ

^μν

+

4λ²

ℎ

^μ

_β

ℎ

^βν

–

3λ³

ℎ

^μβ

ℎ

_βτ

ℎ

^τν

+… ,

(16.1.7)

где необходимо помнить правило суммирования для плоского пространства-времени, как в соотношении (4.1.6). Выражение для разложения √-𝑔 может быть вычислено посредством манипуляций, описанных в лекции 6. Используя соотношение (6.3.11) при

𝑔

_μν

=

η

_μβ

⎛

⎝

δ

^β

_ν

+

2λ

ℎ

^β

_ν

⎞

⎠

,

мы имеем

√

–Det 𝑔

_μν

=

=

√

–Det η

_μν

exp

⎡

⎢

⎣

1

2

Tr log

⎛

⎝

δ

^β

_ν

+

2λ

ℎ

^β

_ν

⎞

⎠

⎤

⎥

⎦

=

exp

⎡

⎢

⎣

½Tr

⎛

⎜

⎝

2λ

ℎ

^β

_ν

–

1

2

(2λ)²

ℎ

^β

_τ

ℎ

^τ

_ν

+

1

3

(2λ)³

ℎ

^β

_τ

ℎ

^τ

_σ

ℎ

^σ

_ν

+…

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

=

exp

⎡

⎢

⎣

1

2

⎛

⎜

⎝

2λ

ℎ

^β

_β

–

1

2

2(λ)²

ℎ

^β

_τ

ℎ

^τ

_β

+

1

3

(2λ)³

ℎ

^β

_τ

ℎ

^τ

_σ

ℎ

^σ

_β

+…

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

=

1

+

λ

ℎ

^β

_β

–

λ²

⎛

⎝

ℎ

^β

_ρ

ℎ

^ρ

_β

+… .

⎞

⎠

(16.1.8)

Подставляя эти выражения для √-𝑔 и для 𝑔^μν в действие, мы получаем явные выражения для связи материи и гравитации; результат для второго члена соотношения (16.1.1) есть, например, следующий:

𝑆

_𝑚

=

1

2

∫

⎡

⎢

⎣

⎛

⎝

η

^μν

–

2λ

ℎ

^μν

+

(2λ)²

ℎ

^μβ

ℎ

_β

^ν

+…

⎞

⎠

(φ

_,μ

φ

_,ν

)

–

𝑚²φ²

⎤

⎥

⎦

×

×

⎛

⎝

1+λ

ℎ

^ρ

_ρ

–

λ²

(ℎ

^σ

_ρ

ℎ

^ρ

_σ

)

+…

⎞

⎠

𝑑⁴𝑥

=

=

1

2

∫

𝑑⁴𝑥

(

φ

^,μ

φ

_,μ

–

𝑚²φ²

)-λ

∫

𝑑⁴𝑥

ℎ

^μν

⎡

⎣

φ

_,μ

φ

_,ν

+

1

2

𝑚²φ²

η

_μν

⎤

⎦

–

-λ²

∫

𝑑⁴𝑥

⎡

⎢

⎣

1

2

ℎ

^λ

_ρ

ℎ

^ρ

_λ

(

φ

^,μ

φ

_,μ

–

𝑚²φ²

)-

2ℎ

^μρ

ℎ

_ρ

^ν

φ

_,μ

φ

_,ν

⎤

⎥

⎦

.

(16.1.9)

Рис. 16.1.

Члены самого наиболее низкого порядка включают в себя взаимодействие двух полей φ и одного ℎ, что соответствует вершине, показанной на рис. 16.1(a). В каждой вершине мы требуем, чтобы импульсы сохранялись. Это правило происходит от объёмного интегрирования в действии: нет вклада от члена, полная фаза которого не равна нулю. Запишем решение типа плоской волны следующим образом :

ℎ

_μν

=

𝑒

_μν

exp(𝑖𝑞⋅𝑥)

,

φ

=

exp(𝑖𝑝⋅𝑥)

;

(16.1.10)

на языке тензора поляризации 𝑒_μν амплитуда в вершине первого порядка

-2λ

⎡

⎢

⎣

𝑒

^μν

¹𝑝

_μ

²𝑝

_ν

–

1

2

𝑒

^ρ

_ρ

¹𝑝

_τ

²𝑝

^τ

–

𝑚²

⎤

⎥

⎦

.

(16.1.11)

Рис. 16.2.

Любая диаграмма, которая включает в себя только такие вершины, теперь могла бы быть вычислена путём простой подстановки в соответствующие амплитуды в каждой вершине и пропагаторы частиц и гравитонов между вершинами в точности так же, как и в электродинамике.

Давайте посмотрим на следующий порядок. Члены, показанные в (16.1.9), включают в себя произведения двух ℎ и φ, так что две прямых и две волнистых линии сходятся вместе в некоторой точке, как показано на рис. 16.1 (б). Имеются также члены, возникающие от разложения первого члена в соотношении (16.1.1), включающего в себя произведения трёх ℎ, соответствующие диаграммам, в которых три волнистых линии сходятся в точке, как показано на рис. 16.1 (в). Обилие неявных сумм по трём индексам приводит к членам, которые очень и очень громоздки, когда они записаны явным образом. Например, один из членов, в котором три волнистых кривых сходятся вместе, есть ℎ_μν,βℎ^μβℎ^να_,α; когда мы переводам это на язык импульсов и компонент поляризации, мы получаем члены, соответствующие всем перестановкам трёх гравитонов, например,

^𝑎

𝑞

_β

^𝑎

𝑒

_μν

^𝑏

𝑒

^μβ

^𝑐

𝑞

_α

^𝑐

𝑒

^μα

+

^𝑏

𝑞

_β

^𝑏

𝑒

_μν

^𝑎

𝑒

^μβ

^𝑐

𝑞

_α

^𝑐

𝑒

^μα

+

+

^𝑏

𝑞

_β

^𝑏

𝑒

_μν

^𝑐

𝑒

^μβ

^𝑎

𝑞

_α

^𝑎

𝑒

^μα

+… .

(16.1.12)

Эта сложность сопровождает одиночную вершину, которая всегда соответствует одной части амплитуды; когда мы соединяем эти выражения, как, например, при вычислении диаграммы, подобной показанной на рис. 16.2 (а), мы можем получить ни много ни мало как 108 членов.

16.2. Завершение теории: простой пример гравитационного излучения

В предыдущем разделе мы привели полное описание теории. Осталось продолжить вычисления соответствующих диаграмм для любых физических процессов в соответствии с теми же самыми правилами, которые используются в электродинамике. Характерные примеры некоторых простейших диаграмм были разрешены в лекции 4; например, амплитуда рассеяния при обмене одиночным гравитоном задаётся в соотношении (4.3.5). На практике, при соответствующей симметризации некоторых выражений необходима определённая тщательность, но при наличии некоторого опыта это становится довольно простым, и обозначения типа ”черты” очень полезны для того, чтобы избежать чрезмерных алгебраических вычислений.

В самом низком порядке теория завершается путём этого уточнения. Все процессы, подходящим образом описываемые ”древесными” диаграммами, не имеют трудностей для описания. "Древесными” диаграммами являются такие диаграммы, которые не содержат ни пузырей, ни замкнутых петлей типа изображённых на рис. 16.2. Такое название очевидным образом связывается с тем фактом, что ветви дерева никогда сами по себе не замыкаются.

В более высоких порядках, когда мы допускаем пузыри и петли в диаграммах, теория оказывается неудовлетворительной, так как в этом случае она приводит к глупым результатам. Методы лечения этой болезни оказываются успешными только для одно-кольцевых диаграмм. Для того, чтобы обсудить эти средства лечения, для нас было бы проще изучить вкратце теорию векторного мезона Янга – Миллса, которая вызывает такие же трудности, но с этими трудностями значительно проще работать. Некоторые из этих трудностей имеют дело с отсутствием унитарности некоторых сумм диаграмм. Мы обсудим группу соотношений, которые выполнены между различными видами диаграмм. Эти соотношения не имеют прямых тестов, связанных с экспериментами по гравитации, но некоторые из них оказываются привычными по работе с другими полевыми теориями.

Я не знаю, возможно ли развить подобное средство лечения для анализа мультикольцевых диаграмм. Я полагаю, что нет; другими словами, я полагаю, что теория неперенормируема. Является ли это существенным возражением против теории, когда мы утверждаем, что она является неперенормируемой, я не знаю.

Рис. 16.3.

Наиболее интересная из тех проблем, с которыми мы будем иметь дело, это, возможно, проблема излучения гравитационных волн. Давайте в качестве исходного примера рассмотрим излучение одиночного гравитона, следующего распаду некоторых подходящих частиц. Так как мы будем использовать скалярную теорию вещества, возможно будет наилучшим то, что мы рассматриваем некоторый распад скалярных частиц, таких как 𝐾→2π. Испускание низкочастотных гравитонов необходимо для того, чтобы сказать гравитационным образом внешнему миру, что распад произошёл, в основном так же, как фотон низкой энергии должен быть испущен при аналогичном распаде, когда некоторый заряд ускоряется. Вклад многих диаграммы, которые могут быть записаны так, что в них гравитон выходит из вершины распада, обычно много меньше, так что нам не нужды рассматривать этот случай сначала. В качестве упражнения могло бы быть полезным разрешить последние три диаграммы, показанные на рис. 16.3.

16.3. Излучение гравитонов при распаде частиц

Связь гравитонов с материей является настолько слабой, что поистине нет надежды пронаблюдать квантовые гравитационные эффекты, связанные с событиями, происходящими с элементарными частицами. В этом смысле вычисления, о которых мы говорим, что мы должны их делать, оказываются абсолютно не имеющими никакого отношения к практике. Тем не менее, мы предложили определённую теорию, и эти ненаблюдаемые процессы являются простейшими эффектами, которые наша теория предсказывает; они могут быть наблюдаемыми и важными в том случае, если взаимодействие будет сильнее.

Рис. 16.4.

Существует много одногравитонных диаграмм при распаде частицы. Для иллюстрации мы берём в рис. 16.4 а 𝑎→𝑏+𝑐. Амплитуда в вершине 𝑎-гравитона задаётся соотношением

-2λ

𝑒

^μν

⎡

⎢

⎣

¹𝑝

_μ

²𝑝

_ν

–

1

2

η

_μν

⎛

⎝

¹𝑝

_α

²𝑝

^α

–

𝑚²

⎞

⎠

⎤

⎥

⎦

,

(16.3.1)

где предшествующие верхние индексы 1 и 2 обозначают материальную частицу до и после вершины. После испускания частица 𝑎 движется с импульсом (^𝑎𝑝-𝑘) к вершине распада, отсюда ²𝑝^α=(^𝑎𝑝-𝑘)^α. Если мы положим, что амплитуда распада представляется величиной 𝐴, зависящей от импульса трёх частиц (𝑎,𝑏,𝑐) чьи траектории проникают в чёрный ящик, выражение для амплитуды есть

-2λ

𝑒

^μν

⎡

⎢

⎣

^𝑎

𝑝

_μ

(

^𝑎

𝑝-𝑘)

_ν

–

1

2

η

_μν

⎧

⎩

^𝑎

𝑝

⋅

(

^𝑎

𝑝-𝑘)

–𝑚

2

𝑎

⎫

⎭

⎤

⎥

⎦

×

×

⎛

⎝

(

^𝑎

𝑝

–

𝑘

)²-

𝑚

2

𝑎

⎞⁻¹

⎠

⎡

⎢

⎣

𝐴

⎛

⎝

^𝑎

𝑝

–

𝑘,

^𝑏

𝑝,

^𝑐

𝑝

⎞

⎠

⎤

⎥

⎦

.

(16.3.2)

Для наших целей точная природа амплитуды 𝐴 неважна; она представляет собой всё, что здесь происходило бы без гравитона.

Амплитуда, описываемая соотношением (16.3.2), оказывается большой только в том случае, когда пропагатор имеет очень маленькую величину, т.е. когда 𝑘 много меньше, чем ^𝑎𝑝, то движение соответствует движению практически свободной частицы. В предельном случае слабых гравитонов этот процесс идентичен процессу торможения излучения, тормозному излучению слабых фотонов; этот процесс тесно связан с классическим пределом, так как он зависит от того, как зарядовые (массовые) токи движутся. Знаменатель есть -2^𝑎𝑝⋅𝑘, и в пределе, когда частоты ω величины 𝑘 являются очень малыми, мы можем положить 𝑘=0 в числителе. Если мы выносим множитель λ/ω, то второй множитель в амплитуде имеет определённый предел, зависящий только от направления гравитона, его поляризации и амплитуды распада

λ

ω

⋅

𝑒^{μν 𝑎}𝑝_ν ^𝑎𝑝_μ

^𝑎𝑝⋅𝑘/ω

⋅

𝐴(

^𝑎

𝑝,

^𝑏

𝑝,

^𝑐

𝑝

).

(16.3.3)

Имеется три похожих диаграммы, соответствующих испусканию гравитона из любой из этих трёх частиц (𝑎,𝑏,𝑐) Диаграмма, соответствующая гравитону, выходящему из чёрного ящика, как может быть легко показано, много меньше по значению; это происходит потому, что почти нет свободной частицы, которая бы двигалась, отсюда следует, что нет ”малого” знаменателя, который бы увеличил этот член. Если мы пренебрегаем этим членом и более высокими порядками, мы находим, что амплитуда испускания некоторого количества гравитонов есть

λ

ω

⋅

𝑎

⋅

𝐴(

^𝑎

𝑝,

^𝑏

𝑝,

^𝑐

𝑝

);

𝐴

=

∑

𝑖

^𝑖

𝑝

_μ

^𝑖

𝑝

_ν

(-)

_𝑖

𝑒^μν

^𝑖𝑝⋅(𝑘/ω)

,

(16.3.4)

где 𝑖 представляет частицу, соединённую с вершиной гравитона, и где (-)_𝑖 есть множитель, равный +1 для входящей частицы и -1 для выходящей частицы. Величина 𝑎 есть кинематический игеометрический множитель. Для того, чтобы вычислить вероятность перехода, мы возводим в квадрат амплитуду, подставляем множитель плотности состояния 𝑘² 𝑑𝑘 𝑑Ω/(2π)³ и множитель нормализации, который есть π/(2𝐸_𝑖) где 𝐸_𝑖 есть энергия каждой частицы. Получаем следующий результат

𝒫

=

𝑎²

𝑑Ω

4π

𝑑ω

ω

λ²

4π²

,

(16.3.5)

задающий вероятность испускания гравитона при одном распаде. Множитель λ² делает эту вероятность предельно малой, настолько малой, что шансы весьма и весьма велики против того, чтобы был зарегистрирован измеряемый отскок в камере Вильсона, в водородной пузырьковой камере или соответствующее событие в искровой камере. Множитель с обратной зависимостью от энергии 1/ω приводит к тому, что эта величина очень велика при экстремально малых значениях энергии гравитона; тем не менее, этот факт почти не относится к делу, так как величина λ²/ω становится близкой к 1 только при значениях энергии настолько низких, что длина волны гравитона должна была бы превосходить радиус вселенной на некоторый множитель, такой как 10³⁹.

Хотя мы разрабатывали теорию, предполагающую наличие скалярных частиц, в низкоэнергетическом пределе ответ оказывается тем же самым вне зависимости от того, какой может быть спин частиц. Это происходит потому, что в низкоэнергетическом пределе к делу относятся только массовые токи и движение масс. В нашем ответе, конечно, имеется инфракрасная расходимость, так что вероятность испускания гравитона (если его энергия не относится к нашему рассмотрению) оказывается бесконечно большой. Это беспокойство является не более серьёзным, чем инфракрасная расходимость для излучения низкоэнергетических фотонов, и эти проблемы могут быть устранены теми же самыми трюками, как и в низкочастотном ”тормозном излучении.”

16.4. Излучение гравитонов при рассеянии частиц