Текст книги "Фейнмановские лекции по гравитации"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 22 страниц)

5.5. Собственная энергия гравитационного поля

Вернёмся к менее спекулятивной и более точной материи. При развитии и проведении модификаций нашей полевой теории мы пренебрегали тем, чтобы проверить, является ли наша теория внутренне непротиворечивой. Мы написали полный лагранжиан, имеющий полевой член, член, описывающий материю, и член, характеризующий взаимодействие. Мы получили полевое уравнение, используя условие, что дивергенция тензора энергии-импульса должна быть равна нулю. Такая процедура очевидно некорректна, так как мы написали тензор давления, который не включал в себя энергию самого гравитационного поля. Таким образом, наша нынешняя теория не выдерживает критики с точки зрения физики, так как энергия вещества не сохраняется.

Мы попробуем исправить этот теоретический недостаток путём поиска нового тензора, который складывается со старым тензором 𝑇^μν. который мог бы разрешить эту проблему, так что

(

𝑇

^μν

+

χ

^μ,ν

)

_,ν

=

0,

(5.5.1)

и в то же самое время полная энергия поля правильно учтена. Как мы найдём этот член? Мы могли бы попытаться построить правильный полный тензор, используя формулу Вентцеля и полный лагранжиан. Результат даёт несимметричный тензор, если мы проведём его симметризацию, проведём также вычисления, то оказывается, что выражение для прецессии перигелия Меркурия получается неверным. Это другой пример эмпирического определения физических теорий: теории, не возникающие из некоторого рода вариационного принципа, такого как принцип минимального действия, могут в конечном счёте приводить к волнениям и противоречиям.

Сделаем попытку другого рода согласно общей линии нашего построения, заключающегося в испытаниях различных теорий в последовательном порядке увеличения сложности. Физически мы знаем, что мы пытаемся описать нелинейный эффект: гравитационное поле образовано энергией, энергия этого поля есть источник других полей. Здесь мы можем приступить к получению важного результата. Конечно возможно, что такая нелинейность может приниматься в расчёт для малого остаточного отличия в прецессии перигелия Меркурия. Мы будем требовать, чтобы полевые уравнения получались из вариации некоторого действия, и будем задавать себе вопрос о том, какого вида член должен быть добавлен к лагранжиану для того, чтобы получить член, похожий на член χ^μν чтобы придти к уравнению движения

ℎ

^μν,σ

_,σ

–

2

ℎ

^μ

_σ

^,νσ

=-

λ(

𝑇

^μ,ν

+

χ

^μ,ν

),

(5.5.2)

и такого, что соотношение (5.5.1) оказывается выполненным? Как может выглядеть выражение χ^μν, если оно представляет вид гравитационной энергии? Несомненно, что, по крайней мере, частично эта величина пропорциональна квадратам полевых сил; это есть произведение двух градиентов потенциалов. Возможно, поэтому, χ^μν есть сумма членов, похожих на ℎ^μσ_,λℎ^νλ_,σ + т.д., каждый из которых с двумя компонентами ℎ и двумя производными.

Мы будем требовать, чтобы наши уравнения были выводимы из вариационного принципа такого, как наименьшее действие. Когда мы вариируем эти произведения, мы уменьшаем число компонент ℎ, так что для лагранжиана, который используется для вычисления вариации действия, требуется связывающий член третьего порядка по ℎ_μν, который будем называть 𝐹³; мы будем пытаться сделать преобразования так, что вариация 𝐹³ приводит к члену χ^μν

δ𝐹³

δℎ_μν

=

λχ

^μν

.

(5.5.3)

Алгебраическое выражение 𝐹³ должно быть таким, чтобы оно включало в себя произведения трёх компонентов ℎ и имело два индекса, по которым берётся производная. Типичный член 𝐹³ может быть вида

𝐹³

=

𝑎

ℎ

_μν

ℎ

^μσ,λ

ℎ

_σλ

^,ν

+

… .

(5.5.4)

Когда мы записываем все возможные такие произведения, мы находим, что их 24. Мы могли бы в дальнейшем уменьшить это число, замечая, что некоторые члены могут быть сведены к комбинациям других интегрированием дважды по частям, эти соображения приводят нас к тому, чтобы записать 18 различных и независимых выражений. Следовательно, мы приходим к выражению для χ^μν через компоненты ℎ и 18 независимых констант.

Дальнейшая процедура очевидна. Мы пытаемся определить константы, исходя их условия, что

(

𝑇

^μν

+

χ

^μν

)

_,ν

=

0.

(5.5.5)

Эти условия дают множество более, чем 18 уравнений для 18 констант. Тем не менее, оказывается, что все уравнения совместны и 18 констант определяются однозначно. Когда мы сделаем это, у нас будет уточнённая теория, которая правильно учитывает энергию самого гравитационного поля во втором порядке по ℎ_μν.

Лекция 6

6.1. Билинейные члены тензора энергии-импульса

Наша нынешняя теория линейна в том смысле, что мы написали уравнение относительно гравитационного поля ℎ_μν связывающего его с тензором давления 𝑇_μν

ℎ

_μν,λ

^,λ

–

2

ℎ

_μλ,ν

^,λ

=-

λ𝑇

_μν

.

(6.1.1)

Но мы определили 𝑇_μν, выразив его только через распределение материи, как будто на материю не действует гравитация, как будто энергия гравитационного поля сама по себе не является источником полей. Эффекты, связанные с влиянием гравитации на материю, которые мы хотели бы включить в рассмотрение, могут быть проиллюстрированы рассмотрением того, что может произойти, когда мы соединяем массы объектов 1 и 2 вместе в присутствии третьего объекта. Часть работы, которая произведена, может пойти на нагревание третьего объекта, так что энергия не сохраняется при рассмотрении только масс объектов 1 и 2 и полей, которые они порождают. Таким образом, энергия не сохранялась бы, если бы мы рассматривали только подсистемы; ящики, показанные штриховыми линиями на рис. 6.1, не имели бы одинаковый вес. Нелинейный эффект, обусловленный влиянием энергии поля, является более знакомым; мы вычислили поля, обусловленные распределением массы, как первое приближение; следующее приближение состоит в том, чтобы включить поля первого порядка как источники, и так мы приходим к самосогласованному решению.

Рис. 6.1.

Мы построим новый тензор давления из нашего старого тензора добавлением члена, который будет выводим из той части лагранжиана, которой пренебрегали ранее, и который обозначим 𝐹³, путём вариации

^new

𝑇

^μν

=

^old

𝑇

^μν

+

χ

^μν

,

λχ

^μν

=

δ𝐹³[ℎ]

δℎ_μν

,

(6.1.2)

и надеемся, что эти трудности будут устранены, по крайней мере, в более высоких порядках по ℎ_μν

Так как мы пытаемся построить χ^μν для того, чтобы устрашить тот недостаток тензора энергии-импульса ^old𝑇^μν≡^o𝑇^μν, связанный с сохранением энергии ^o𝑇^μν_,ν≠0, мы получаем намёк на структуру χ^μν, вычисляя дивергенцию ^o𝑇^μν_,ν. Дивергенция χ^μν взаимно уничтожила бы ненулевую часть этой дивергенции ^o𝑇^μν_,ν, по крайней мере, в первом ненулевом порядке. Для того, чтобы вычислить эту дивергенцию, мы сначала перепишем тензор ^o𝑇^μν для движущейся частицы в новой форме, которая выглядит сначала непривычной, но с которой проще проводить преобразования. На языке интеграла по скалярному параметру, который также может быть собственным временем 𝑠 (мы обозначаем точками производные по собственному времени 𝑠), получаем следующее выражение для этого тензора

^o

𝑇

^μν

(𝑥)

=

𝑚₀

∫

𝑑𝑠δ⁴

(𝑥-𝑧(𝑠))

𝑧̇

^μ

𝑧̇

^ν

.

(6.1.3)

То, что это выражение для тензора ^o𝑇^μν эквивалентно тому, которое было использовано ранее, может быть проверено сравнением соответствующих членов действия

λ

∫

𝑑⁴𝑥

^o

𝑇

^μν

(𝑥)

ℎ

_μν

(𝑥)

=

λ

𝑚₀

∫

𝑑𝑠

ℎ

_μν

(𝑧)

𝑧̇

^μ

𝑧̇

^ν

.

(6.1.4)

Существует простой физический путь для интерпретации смысла δ-функции в соотношении (6.1.3); в этом выражении попросту утверждается то, что нет энергии взаимодействия, за исключением того места, где на самом деле находится частица. Возможно проще понять, насколько удачно подобраны эти выражения, переписывая обычную электродинамику на том же самом языке; член в лагранжиане, описывающий взаимодействие, есть объёмный интеграл от -𝑗^μ𝐴_μ а 𝑗^μ связывается со скоростью частицы следующим образом:

𝑗

^μ

(𝑥)

=

𝑒

∫

𝑑𝑠δ⁴

(𝑥-𝑧(𝑠))

𝑧̇

^μ

,

𝑆(внутр)

=-

𝑒

∫

𝑑𝑠

𝐴

_μ

(𝑧)

𝑧̇

^μ

.

(6.1.5)

Параллелизм с нашими гравитационно-полевыми выражениями (6.1.3) и (6.1.4) очевиден.

Вычислим дивергенцию ^o𝑇^μν_,ν из соотношения (6.1.3). Сначала проверим, что δ-функция симметрична по переменным 𝑥 и 𝑧, так что производная по переменной 𝑥^ν может быть заменена (со знаком "-") производной по переменной 𝑧^ν. Тогда мы будем использовать следующее тождество

𝑧̇

^ν

∂

∂𝑧^ν

ƒ[𝑧(𝑠)]

=

𝑑

𝑑𝑠

ƒ[𝑧(𝑠)]

(6.1.6)

для того, чтобы получить выражение для дивергенции тензора ^o𝑇^μν

^o

𝑇

^μν

_,ν

=

𝑚₀

∫

𝑑𝑠δ⁴

(𝑥-𝑧(𝑠))

𝑧̈

^μ

.

(6.1.7)

Мы видим, что эта дивергенция есть плотность ускорения. Здесь мы будем предполагать, что мы уже правильно включили в наш лагранжиан все взаимодействия, отличные от гравитации, так что ускорение 𝑧̈^μ представляет влияние гравитации, задаваемое уравнением движения

𝑔

_μλ

𝑧̈

^μ

=-

1

2

[

𝑔

_μλ,ν

+

𝑔

_νλ,μ

–

𝑔

_μν,λ

]

𝑧̇

^μ

𝑧̇

^ν

=-

[μν,λ]

_𝑧

𝑧̇

^μ

𝑧̇

^ν

.

(6.1.8)

Нижний индекс 𝑧 на скобке напоминает нам, к какой переменной относятся индексы. Теперь умножим дивергенцию, полученную в соотношении (6.1.7), на 𝑔_μλ(𝑥) и заменим 𝑔_μν𝑧̈^μ на -[μν,λ]_𝑧𝑧̇^μ𝑧̇^ν. Заметим, что из-за наличия δ-функции величина [μν,λ]_𝑧 приводит к тому же эффекту, что и [μν,λ]_𝑥. Это означает, что знак скобки может быть вынесен за знак интеграла, приводя нас к выражению, в которое включена только дивергенция ^o𝑇^μν_,ν и исходный тензор ^o𝑇^μν:

𝑔

_σλ

(𝑥)

^o

𝑇

^σν

_,ν

(𝑥)

=-

[μν,λ]

^o

𝑇

^μν

(𝑥)

.

(6.1.9)

Это точное уравнение, которому должен удовлетворять тензор ^o𝑇^μν. В настоящем время мы используем его только в первом порядке малости по ℎ. Мы можем разделить тензор 𝑔_σλ на два слагаемых η_σλ+2λℎ_σλ и получить уравнение,¹ которое говорит нам, что дивергенция ^o𝑇^μν_,ν начинается с линейного члена по константе связи λ:

^o

𝑇

_λν

^,ν

=-

[μν,λ]

^o

𝑇

^μν

–

2λ

ℎ

_σλ

^o

𝑇

^σν

_,ν

,

(6.1.10)

¹ При переводе мы не меняли не очень удачные обозначения Фейнмана, когда λ обозначает одновременно как индекс, так и множитель, т.е. две совершенно различные величины. (Прим. перев.)

так как знак ”скобка” включает в себя производные, которые делают нулевой порядок η_μν тензора 𝑔_μν не играющим никакой роли.

Когда мы сравниваем это соотношение с требованием, что новый тензор ^new𝑇^μν≡ⁿ𝑇^μν должен иметь нулевую дивергенцию,

ⁿ

𝑇

^μν

_,ν

=

^o

𝑇

^μν

_,ν

+

χ

^μν

_,ν

,

(6.1.11)

и если мы предполагаем, что само выражение для χ^μν – билинейно по полям, мы видим, что дивергенция χ^μν_,ν должна иметь следующее выражение:

χ

^μν

_,ν

=

[σν,μ]

^o

𝑇

^σν

+

𝒪(λ²)

… .

(6.1.12)

Знание дивергенции не определяет для нас χ^μν. У нас есть дополнительное требование, используя которое мы надеемся вывести χ^μν из вариации 𝐹³ по отношению к ℎ_μν, согласно соотношению (6.1.2). Если мы возьмём 𝐹³ как сумму по всем возможным независимым произведениям, включающим в себя всевозможные трилинейные произведения полевых компонент и два независимых индекса, по которым берутся производные, то эти два требования определяют величину 𝐹³ однозначно. Мы не будем проводить здесь определение 18 констант, но отметим, что это результат больших и трудоёмких алгебраических вычислений

𝐹³

=-

λ

⎡

⎢

⎣

ℎ

^αβ

ℎ

^γδ

ℎ

_αβ,γδ

+

ℎ

_γ

^β

ℎ

^γα

ℎ

_αβ,δ

^,δ

–

-

2ℎ

^αβ

ℎ

_βδ

ℎ

_αγ

^,γδ

+

2

ℎ

_αβ

ℎ

^σα

_,σ

ℎ

^τβ

_,τ

+

+

⎛

⎜

⎝

1

2

ℎ

_αβ

ℎ

^αβ

+

1

4

ℎ

^α

_α

ℎ

^β

_β

⎞

⎟

⎠

ℎ

^στ

_,στ

⎤

⎥

⎦

.

(6.1.13)

Теперь для нас оказывается возможным, используя метод малых возмущений, вычислить все эффекты, которые рассматривались ранее. Для случая движения планет включение выражения для 𝐹³ в интеграл от лагранжиана приводит к следующим выражениям φ и ψ, которые должны быть использованы для вычислений орбит:

φ

=

Φ

+

1

2

Φ²

…

ψ

=

Φ

–

3

8

Φ²

…

Φ

=-

2𝑀𝐺/𝑟

.

(6.1.14)

Эти поправки приводят к полному согласию нашей теории с наблюдениями по прецессии перигелия Меркурия, так что последнее оставшееся расхождение между теорией и наблюдениями исчезает.

6.2. Формулировка теории, справедливой во всех порядках

Мы достаточно преуспели в нашей задаче, которую мы поставили перед собой в самом начале, построить полевую теорию гравитации по аналогии с другими хорошо известными полевыми теориями, которые бы адекватно описывали все известные характеристики феномена гравитации. Таким образом, наша воображаемая венерианская точка зрения оказалась плодотворной. Имеются некоторые слабые места в нашей теории; мы могли бы представить себе, что самые трудолюбивые венерианские теоретики могли бы не удовлетвориться теорией, в которой оставлены неопределёнными эффекты третьего порядка малости, и некоторые из них могли бы продолжить исследование функций 𝐹⁴ и 𝐹⁵ и т.д., которые должны быть добавлены к интегралу от лагранжиана для того, чтобы сделать теорию согласованной в более высоких порядках. Этот подход есть невероятно сложная процедура вычисления ненаблюдаемых поправок, и мы не будем соревноваться с нашими воображаемыми венерианами в этом отношении.

В физических теориях подчас возникает такая ситуация, что хотя поправки более высокого порядка в полном разложении удручающе скучно вычислять, возможно построить теорию, в которой суммируются все поправки более высокого порядка, для того, чтобы получить ответ, который является достижимым. Таким образом, представим себе честолюбивого и самоуверенного венерианина, который решил сделать попытку вывести полное разложение для функции 𝐹=𝐹²+𝐹³+𝐹⁴+𝐹⁵+… Мы будем искать функционал 𝐹 описывающий действие, которое должно быть провариировано, по следующим эмпирическим причинам: по-видимому, не существует достаточно удовлетворительной теории, которая не является выводимой с использованием вариационного принципа, первый этап применения которого заключается в выписывании функционала, связанного с лагранжианом или гамильтонианом (обе формулировки являются эквивалентными) .

В настоящее время нет определённости относительно того, отражают ли неуспехи нелагранжевых теорий некоторую фундаментальную истину о природе. Возможно, что фундаментальная истина может быть в том, что физические процессы происходят согласно принципу минимальной фазы и что действия в классической физике или квантовой физике есть выражения для этой фазы, которые верны в некотором приближении. Амбициозная попытка облечь гравитацию в нелагранжеву формулировку была сделана Бирхгоффом [Birk 43]. Он сохранил линейные уравнения для полей, но изменил уравнения движения для частиц. Полученная в результате классическая теория была совершенно удовлетворительна, но она не позволяла непротиворечивого квантования. Было показано, что волновое движение волновых пакетов не следует постулированным классическим уравнениям, но следует уравнениям Эйнштейна! Кажется вероятным, что эта попытка квантования открыла некоторую скрытую несогласованность в этих полевых уравнениях.

Следовательно, мы будем искать полный функционал 𝐹,

𝐹

=

𝐹²

+

𝐹³

+

𝐹⁴

+

… ,

(6.2.1)

который определяется из требования того, что результирующее уравнение есть уравнение движения

δ𝐹

δℎ_μν

=

λ𝑇

^μν

,

(6.2.2)

которое автоматически имеет следствием условие на дивергенцию 𝑇^μν (6.1.9). Функционал 𝐹 должен, следовательно, удовлетворять следующему дифференциальному функциональному уравнению:

𝑔

_σλ

⎛

⎜

⎝

δ𝐹

δℎ_σν

⎞

⎟

⎠,ν

+

[μν,λ]

⎛

⎜

⎝

δ𝐹

δℎ_μν

⎞

⎟

⎠

=

0,

(6.2.3)

которое мы должны решить. Это в общем случае представляет чрезвычайно трудную задачу, и нет процедуры для получения решений таких уравнений. Мы должны будем положиться на нашу изобретательность в придумывании функционалов, которые есть решения в том смысле, что они удовлетворяют уравнению (6.2.2) при подстановке в него. Нет единственного общего решения этого уравнения, даже если мы добавим, что для малого значения ℎ мы будем выбирать такое решение, главные члены которого 𝐹² и 𝐹³ выводятся нами другими методами. Тем не менее, имеется очевидное ”наипростейшее” решение (включающее наименьшее число производных метрического тензора 𝑔_μν – только две производных). Мы выбираем это решение. Когда этот выбор сделан, мы придём к теории, которая идентична эйнштейновской. С этого места мы откажемся от венерианской точки зрения и приступим к изучению теории гравитации с земной точки зрения, которая была изложена Эйнштейном.

6.3. Построение инвариантов по отношению к инфинитезимальным преобразованиям

Для того, чтобы решить задачу построения решений, удовлетворяющих уравнению (6.2.3), мы преобразуем это уравнение в некоторое эквивалентное утверждение о свойствах функционала 𝐹. Вначале заметим, что уравнение (6.2.3) есть векторное уравнение. Если мы возьмём скалярное произведение этого уравнения с произвольным вектором 𝐴^λ(𝑥). и проинтегрируем по всему пространству, то мы получим уравнение, которое выглядит несколько иначе

∫

𝑑τ

⎡

⎢

⎣

𝐴

^λ

(𝑥)

𝑔

_σλ

(𝑥)

⎛

⎜

⎝

δ𝐹

δℎ_σν

⎞

⎟

⎠,ν

+

𝐴

^λ

(𝑥)

[σν,λ]

⎛

⎜

⎝

δ𝐹

δℎ_σν

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

=

0.

(6.3.1)

Если функционал 𝐹 удовлетворяет уравнению (6.3.1) для произвольного вектора 𝐴_λ, тогда этот функционал удовлетворяет уравнению (6.2.3). Теперь мы можем проинтегрировать по частям первый член в подынтегральном выражении, так что мы избавляемся от градиента по отношению к ν. Мы получаем, что

∫

𝑑τ

⎛

⎜

⎝

δ𝐹

δℎ_σν

⎞

⎟

⎠

⎡

⎢

⎣

–(

𝐴

_λ

(𝑥)

𝑖

_λσ

(𝑥)

)

_,ν

+

[σν,λ]

𝐴

_λ

(𝑥)

⎤

⎥

⎦

=

0.

(6.3.2)

Мы поместили черту под дифференциалом 𝑑τ для того, чтобы он напоминал нам, что мы должны взять усреднение этого интеграла, и в соответствующем интеграле, имеющем индексы σ и ν, происходит чередование индексов, а так как тензор ℎ_σν – симметричен, то имеющее смысл математическое тождество получается только в том случае, если скобка также симметрична по индексам σ и ν. Мы можем проинтерпретировать это уравнение (6.3.2) другим способом. Мы замечаем, что если мы делаем замену в первом порядке в тензоре ℎ, скажем, пусть ℎ_σν меняется на ℎ_σν+ξ_σν то величина функционала 𝐹 меняется следующим образом:

𝐹[ℎ

_σν

+ξ

_σν

]

=

𝐹[ℎ

_σν

]

+

ξ

_σν

δ𝐹

δℎ_σν

+

… .

(6.3.3)

Следовательно, наше уравнение (6.3.2) говорит нам, что для инфинитезимального ξ_σν и в форме, появляющейся в уравнении (6.3.2), величина 𝐹 остаётся неизменным.

Пусть тензорное поле ℎ_μν меняется инфинитезимальным преобразованием 𝐴^λ на тензор ℎ'_μν. Выражаем ℎ'_μν согласно правилу, подразумеваемому в соотношении (6.3.2), как показано в следующем соотношении (мы должны помнить, что надо симметризовать выражение по индексам σν и использовать явное выражение для [σν,λ]):

ℎ'

_σν

=

ℎ

_σν

–

1

2

𝑔

_σν,λ

𝐴

^λ

–

𝑔_λσ𝐴^λ_,ν

.

(6.3.4)

Положим для удобства -λ𝐴^ν=ζ^ν и запишем уравнение через 𝑔_μν вместо ℎ_μν следующим образом:

𝑔'

_σν

=

𝑔

_σν

+

𝑔

_σλ

ζ

^λ

_,ν

+

𝑔

_νλ

ζ

^λ

_,σ

+

ζ

^λ

𝑔

_σν,λ

.

(6.3.5)

Тогда наша задача становится следующей: найти выражение для функционала 𝐹 от метрики 𝑔_μν такое, что при инфинитезимальных преобразованиях, описываемых соотношениями (6.3.5), которые меняют тензор 𝑔_μν на тензор 𝑔'_μν, функционал 𝐹 не меняется в первом порядке малости по ζ^λ при любом ζ^λ(𝑥). Методы для решения уравнений, аналогичных исследуемому нами, были разработаны математиками¹, работающими в дифференциальной геометрии (фактически очень близкая задача решается в дифференциальной геометрии), итак мы будем предполагать, как и хорошо образованные венерианские физики, что книги, дающие нам намёки на то, как приступить к решению, являются доступными.

¹ См., например, книгу Веблена [Vebl 27].

Фактически, можно проверить, что преобразование, определяемое соотношением (6.3.5), есть преобразование тензорного поля при инфинитезимальном преобразовании координат 𝑥^λ=𝑥'^λ+ζ^λ. Однако, мы будем продолжать играть в нашу игру и попытаемся вывести наши результаты как венериане, не осознающие никакой геометрической интерпретации. Конечно, мы будем возвращаться назад и обсуждать геометрическую точку зрения при обсуждении точки зрения Эйнштейна.

Теперь приступим к нахождению желаемого инвариантного выражения для 𝐹. Для того, чтобы найти это выражение, полезно определить матрицу, которая обратна 𝑔_μν, используя верхние индексы вместо нижних, что оказывается в данном случае предпочтительным, т.е.

𝑔

^μν

𝑔

_νσ

=

δ

μ

σ

,

(6.3.6)

где теперь

δ

μ

σ

– правильный символ Кронекера, который равен 1, если μ=σ, и нулю, если μ≠σ.

Обратная к матрице 𝐴'=𝐴+𝐵, если 𝐵 – инфинитезимальна, задаётся следующим выражением:

1

𝐴'

=

1

𝐴

–

1

𝐴

𝐵

1

𝐴

+

1

𝐴

𝐵

1

𝐴

𝐵

1

𝐴

– … .

(6.3.7)

Так как вектор ζ^λ инфинитезимален, мы можем легко построить тензор, обратный к тензору 𝑔'_σν, согласно правилу, выраженному в соотношении (6.3.7)

𝑔'

^αβ

=

𝑔

^αβ

–

ζ

^α

_,ν

𝑔

^νβ

–

ζ

^β

_,ν

𝑔

^να

–

ζ

^λ

𝑔

^ασ

𝑔

^βν

𝑔

_σν,λ

+ … .

(6.3.8)

Теперь исследуем кратко один инвариант, который может быть легко найден, для того, чтобы понять используемые методы, а в следующем разделе построим более сложный инвариант, который приведёт нас к нашей полной теории.

Рассмотрим, как меняется определитель матрицы, если мы слегка меняем матрицу. Мы используем следующее выражение для определителя:

Det 𝐴

=

exp(Tr log 𝐴)

.

(6.3.9)

Мы не будем останавливаться здесь для обсуждения доказательства такого равенства;¹ однако для того, чтобы показать, что оно выглядит разумным, мы могли бы заметить, что это утверждение становится тривиальным справедливым утверждением в случае, если матрица записала в диагональном виде:

Det 𝐴

=

𝐴₁₁

𝐴₂₂

𝐴₃₃

…

=

=

exp(

log 𝐴₁₁

+

log 𝐴₂₂

+…

)=

exp(Tr log 𝐴)

.

(6.3.10)

¹ Это равенство является простым следствием из утверждения о существовании матричного логарифма невырожденной матрицы, которое доказано, например, в книгах [Гант 88*, Белл 76*]. (Прим. перев.)

Теперь мы применяем правило, выраженное соотношением (6.3.9), для вычисления определителя матрицы (𝐴+𝐵), где 𝐵 – инфинитезимальная матрица. Нам необходимо вычислить матричный логарифм матрицы 𝐴+𝐵; соответствующее разложение имеет вид

Det

⎡

⎢

⎣

𝐴

⎛

⎜

⎝

1

+

1

𝐴

𝐵

⎞

⎟

⎠

⎤

⎥

⎦

=

Det 𝐴⋅Det

⎛

⎜

⎝

1

+

1

𝐴

𝐵

⎞

⎟

⎠

=

=

Det 𝐴

exp

⎡

⎢

⎣

Tr

⎧

⎪

⎩

log

⎛

⎜

⎝

1

+

1

𝐴

𝐵

⎞

⎟

⎠

⎫

⎪

⎭

⎤

⎥

⎦

=

=

Det 𝐴

exp

⎛

⎜

⎝

Tr

1

𝐴

𝐵

⎞

⎟

⎠

.

(6.3.11)

Теперь мы используем это правило для того, чтобы вычислить определитель 𝑔'_μν и взять логарифм результирующего выражения

log(-Det 𝑔')

=

log(-Det 𝑔)

+

2ζ

^λ

_,λ

+

ζ

^λ

𝑔

_σν,λ

𝑔

^σν

.

(6.3.12)

Произведение матриц 𝑔 в последнем члене может быть связано с определителем следующим образом:

𝑔

_σν,λ

𝑔

^σν

=

[log(-Det 𝑔)]

_,λ

(6.3.13)

Наше достижение состоит в том, что мы получили новое соотношение, в которое включены ξ^λ и его градиенты совместно с числами, но не матрицами. Мы положим 𝐶=log(-Det 𝑔) и перепишем получившееся в результате уравнение как

𝐶'

=

𝐶

+

2ζ

^λ

_,λ

+

𝐶

_,λ

ζ

^λ

.

(6.3.14)

Если бы это выражение было бы полной производной, мы могли бы проинтегрировать по всему пространству для того, чтобы получить наш инвариант. Вид последних двух членов наводит на мысль, что exp(𝐶/2) есть интегрирующий множитель. Следовательно, мы ищем инвариант вида exp(α𝐶'), регулируя соответствующим образом параметр α. Так как вектор ξ^λ – инфинитезимален, то разложение, в котором сохранены только первые члены, даёт

exp(α𝐶')

=

exp[α(

𝐶

+

2ζ

^λ

_,λ

+

𝐶

_,λ

ζ

^λ

)]

=

=

exp(α𝐶)

+

exp(α𝐶)

(

2αζ

^λ

_,λ

+

α𝐶

_,λ

ζ

^λ

).

(6.3.15)

Второй член этого выражения имеет вид, который может быть преобразован в полную производную; мы замечаем, что

⎛

⎝

exp(α𝐶)ζ

^λ

⎞

⎠,λ

=

exp(α𝐶)

ζ

^λ

_,λ

+

α𝐶

_,λ

ζ

^λ

exp(α𝐶)

,

(6.3.16)

что есть такая же величина, как и второй член выражения для (6.3.15) при α=1/2. Когда мы интегрируем выражение (6.3.15) по всему пространству, то при α=1/2 интеграл от второго члена обращается в нуль, и мы приходим к равенству

∫

𝑑τ

exp(𝐶'/2)

=

∫

𝑑τ

exp(𝐶/2)

.

(6.3.17)

Инвариантное решение, выраженное через матрицу 𝑔_μν, есть, следовательно,

^o

𝐹

=

∫

𝑑τ

√

–Det 𝑔

.

(6.3.18)

6.4. Лагранжиан теории, справедливой во всех порядках

Инвариант ^o𝐹, полученный в предыдущем разделе, есть на самом деле решение дифференциального функционального уравнения (6.2.3), но это не есть то решение, которое необходимо для нашей теории, так как это решение не включает в себя производные. В данном разделе мы будем строить решение, необходимое для нашей теории, аналогичным методом. Успех этих манипуляций основан на нахождении точной дивергенции, которая может быть интегрирована по всему пространству.

Исходная точка наших рассуждений есть вновь уравнение (6.3.5), в которое включены вектор ζ_λ и его первые производные. Используемое нами правило есть следующее: мы надеемся найти комбинации 𝑔_μν и их производные, причём эти комбинации не включают в себя ζ (или, по-крайней мере, полный дифференциал от этой величины), когда они преобразуются. Мы имеем в уравнении (6.3.5) первые производные ζ. Если мы вычисляем 𝑔'_μν,σ, то появляются вторые производные, такие как ζ^λ_,σν и т.п. Выглядит это так, как будто сложность даже увеличилась. Но если производная самого высокого порядка есть ζ^λ_,σν и этот порядок появляется только в одном отдельном члене, мы можем исключить этот член путём вычитания члена с переставленными индексами. (На самом деле, в нашем случае мы не будем делать этого, выражение для ζ^λ_,σν само по себе автоматически симметрично, но мы делаем аналогичную манипуляцию с более высокими производными.) Тогда сначала образуем выражение 𝑔'_μν,σ, которое даёт вторые производные ζ вида ζ^λ_,σν, но имеется две таких производных, ζ^λ_,νσ и ζ^λ_,μσ. Мы попытаемся преобразовать их, комбинируя с другими производными, такими как 𝑔'_μσ,ν. Получается, что мы можем избавиться от двух членов, но появляется равное число новых членов, так что никакого упрощения не достигается. Но когда мы рассмотрим третье возможное упорядочение индексов 𝑔'_νσ,μ, мы получаем путём сложений и вычитаний новое соотношение, в котором два члена могут добавляться, потому что они являются такими же. Одна трудность состоит в том, что так как мы вычисляем производные произведений, число членов стремительно растёт, например

𝑔'

_μν,σ

=

𝑔

_μν,σ

+

𝑔

_μλ,σ

ζ

^λ

_,ν

+

𝑔

_μλ,σ

ζ

^λ

_,μ

+

𝑔

_μλ

ζ

^λ

_,νσ

+

+

𝑔

_νλ

ζ

^λ

_,μσ

+

ζ

^λ

𝑔

_μν,λσ

+

ζ

^λ

_,σ

𝑔

_μν,λ

,

(6.4.1)

но когда все операции сложения и вычитания, жонглирования индексами проведены, выполнена симметризация, мы находим

[μν,σ]'

=

[μν,σ]

+

[μλ,σ]

ζ

^λ

_,ν

+

[νλ,σ]

ζ

^λ

_,μ

+

+

[μν,λ]

ζ

^λ

_,σ

+

ζ

^λ

[μν,σ]

_,λ

–

𝑔

_σλ

ζ

^λ

_,μν

,

(6.4.2)

где появляется только одна вторая производная ζ^λ_,μν. Теперь мы должны избавиться от компонент метрического тензора с нижними индексами, умножая на обратную матрицу. Сначала введём новое обозначение, которое упростит преобразования. Мы положим

𝑔

^τσ

[μν,σ]

=

Γ

τ

μν

.

(6.4.3)

Если мы умножаем соотношение (6.4.2) на 𝑔^στ для того, чтобы отделить оставшуюся вторую производную, то соотношение принимает вид, где используются новые символы (называемые коэффициентами голономной связности или символами Кристоффеля)

Γ

τ

μν

'

=

Γ

τ

μν

+

Γ

τ

μλ

ζ

^λ

_,ν

+

Γ

τ

νλ

ζ

^λ

_,μ

–

Γ

λ

μν

ζ

^τ

_,λ

+

+

Γ

τ

μν,λ

ζ

^λ

–

ζ

^τ

_,μν

.

(6.4.4)

Это соотношение автоматически симметрично по μν. Для того, чтобы продвинуться дальше в наших рассуждениях, продифференцируем ещё раз. Если мы дифференцируем это соотношение по новому индексу ρ и вычитаем соответствующее уравнение, имеющее переставленные индексы ρ и ν, то только следующие члены остаются не сокращёнными при этом вычитании

Γ

τ

μν,ρ

'

–

Γ

τ

μρ,ν

'

=

Γ

τ

μλ,ρ

ζ

^λ

_,ν

+

Γ

τ

νλ,ρ

ζ

^λ

_,μ

+

Γ

τ

μν,ρλ

ζ

^λ

+

+

Γ

τ

ρλ

ζ

^λ

_,μν

–

Γ

λ

μν

ζ

^τ

_,λρ

–

– минус члены, где индексы ν и ρ переставлены.

(6.4.5)

Теперь трюк заключается в том, чтобы избавиться от двух вторых производных. Они умножаются на индексы Кристоффеля. Но в соотношении (6.4.4) мы имеем выражение, которое даёт как раз ζ^λ_,μν. Мы будем использовать это выражение для того, чтобы заместить члены на те, которые стоят в соотношении (6.4.5). Это может быть выполнено путём вычисления произведения двух соотношений, таких как (6.4.4); мы видим, что индексы у символов Кристоффеля Γ одного члена такие же, как и индексы у ζ в другом члене; так что взяв произведения двух соотношений (6.4.4), одно из которых берётся со множеством индексов (τρλ), другое со множеством (λμν), переставляя (τ,μ,ν) и складывая с соотношением (6.4.5), вторые производные сокращаются.

Введём новую величину 𝑅^τ_μνρ, определённую следующим образом

𝑅

^τ

_μνρ

=

Γ

τ

μν,ρ

+

Γ

τ

ρλ

Γ

λ

μν

–

Γ

τ

μρ,ν

–

Γ

τ

νλ

Γ

λ

μρ

.

(6.4.6)

Заметим, что этот тензор явно антисимметричен по индексам ρ и ν. Используя это обозначение, получаем наконец следующее соотношение

𝑅'

^τ

_μνρ

=

𝑅

^τ

_μνρ

+

ζ

^λ

_,ν

𝑅

^τ

_μλρ

+

ζ

^λ

_,ρ

𝑅

^τ

_μνλ

+

+

ζ

^λ

_,ν

𝑅

^τ

_λνρ

+

ζ

^τ

_,λ

𝑅

^λ

_μρν

+

ζ

^λ

𝑅

^τ

_μνρ,λ

.

(6.4.7)

То, что мы должны теперь делать, это обращаться с этим уравнением так же, как мы обращались с уравнением (6.3.5), которое имеет ту же самую форму, исключая то, что тензор в последнем соотношении предпочтительнее включать тензор 𝑅^τ_μνρ, а не 𝑔_σν. Процедура, полностью аналогичная той, которая была рассмотрена ранее, приводит к ответу для инвариантной величины 𝐹:

𝐹

=-

1

2λ²

∫

𝑑τ

𝑔

^μν

𝑅

^τ

_μνρ

√

–Det 𝑔

_αβ

.

(6.4.8)

Эта величина, как мы увидим ниже, есть часть действия в теории, справедливой во всех порядках.

6.5. Уравнение Эйнштейна для тензора энергии-импульса

Функционал 𝐹, который был только что выведен, даёт результаты в венерианской теории гравитации, идентичные тем, которые были получены Эйнштейном. Если мы делаем разложение функционала, когда гравитационные поля слабы, мы получаем главные члены нашего разложения такие же, как 𝐹² и 𝐹³ в нашей более ранней теории. Мы можем сказать, следовательно, что наша венерианская точка зрения была успешна в достижении нашей цели построения самосогласованной теории гравитации посредством успешных логических шагов, предполагаемых по аналогии, но без видимого требования сверхчеловечески острой интуиции. Сам Эйнштейн, конечно, пришёл к тому же самому лагранжиану, но без помощи развитой теории поля, и я должен допустить, что у меня даже нет идеи, как он отгадал конечный результат. У нас было достаточно волнений при получении нашей окончательной теории, но я чувствую, что он создал свою теорию, плавая под водой, будучи с завязанными глазами и с руками, находящимися сзади! Тем не менее теперь, когда мы пришли к эквивалентной теории, мы откажемся от венерианской точки зрения и обсудим земную точку зрения согласно Эйнштейну.

Будем использовать следующее стандартное обозначение для трёх тензоров, выведенных из нашего тензора 𝑅^τ_μνρ, умножением на тензор 𝑔_αβ и свёртыванием:

𝑔

_τσ

𝑅

^τ

_μνρ

=

Антисимметричен по индексам

(σμ)

и

(νρ)

,

𝑅

^τ

_μντ

=

𝑅

_μν

,

𝑔

^μν

𝑅

_μν

=

𝑅.

(6.5.1)

Величина 𝑅_σμνρ есть тензор (тензор Римана). Он антисимметричен при перемене индексов ν и ρ, также антисимметричен при перемене σ и μ и симметричен, если пара (σμ) меняется с (νρ). 𝑅_μν (тензор Риччи) – симметричен.

Вариация функционала 𝐹, описываемого соотношением (6.4.8), по отношению к 𝑔_μν приводит к следующему соотношению:

2

δ𝐹

δ𝑔_μν

=-

1

λ²

δ(√-𝑔𝑅)

δ𝑔_μν

=-

1

λ²

√

–𝑔

⎛

⎜

⎝

𝑅

^μν

–

1

2

𝑔

^μν

𝑅

⎞

⎟

⎠

,

(6.5.2)

где 𝑔≡Det 𝑔_μν. Последняя величина в соотношении (6.5.2) есть тензор энергии-импульса нашей теории (см. соотношение (6.2.2)) и удовлетворяет следующему соотношению

𝑔

_σλ

𝑇

^λν

_,ν

=-

[μν,σ]

𝑇

^μν

 (или

𝑇

^λν

_,ν

=-

Γ

λ

μν

𝑇

^μν

),

(6.5.3)

если сделана замена 𝑇^μν как мы требовали это сделать. Отсюда следует, что полные уравнения гравитационного поля, правильные во всех порядках, являются следующими: