Текст книги "Фейнмановские лекции по гравитации"

Автор книги: Ричард Фейнман

сообщить о нарушении

Текущая страница: 21 (всего у книги 22 страниц)

Рис. 16.5.

Мягкий гравитон может быть испущен, когда две частицы рассеиваются при любом процессе, включающим в себя обмен гравитоном. Диаграммы первого порядка, которые описывают такие процессы, показаны на рис. 16.5. В низкоэнергетическом пределе важны только диаграммы типа (а), которые являются такими диаграммами, где вершина гравитона соединена со свободной частицей. Процессы, описываемые двумя другими диаграммами, являются много менее вероятными, если импульс гравитона много меньше, чем перенос импульса 𝑞. в диаграмме (б), например, почти нет свободной частицы, которая бы двигалась, отсюда следует, что нет малого знаменателя. В диаграмме (в) второй пропагатор есть величина порядка 1/(𝑞-𝑘)²≈1/𝑞². Насколько мы интересуемся излучением, точная природа процессов общего рассеяния не важна. Я подчёркиваю это последнее утверждение, потому что всегда найдутся какие-нибудь теоретики, которые постоянно приводят какие-то мистические аргументы, для того чтобы утверждать, что излучение не происходит, если рассеяние является гравитационным – нет оснований для таких утверждений; что касается этого вопроса, излучение гравитационных волн является настолько реальным, насколько это возможно; вращение в системе Солнце – Земля может быть источником гравитационных волн. На самом деле, в этом разделе мы, возможно, должны ограничить наши размышления рассеяниями частиц; для движений таких больших объектов, как планеты или звёзды, может быть более последовательно работать в классическом пределе. Гравитация не всегда является пренебрежимо слабой, это происходит только в процессах атомных столкновений.

Структура четырёх амплитуд, соответствующих диаграммам, таким как показанные на рис. 16.5(a), является такой же, как и при распадах частиц. Если мы описываем поляризацию гравитона тензором 𝑒, то полная амплитуда пропорциональна амплитуде рассеяния в отсутствии гравитона, некоторым энергетическим множителям и величине

𝑎

∑

𝑖

(-)

_𝑖

𝑝⋅𝑒⋅^𝑖𝑣

1-^𝑖𝑣 cos θ

.

(16.4.1)

Знаменатель представляет собой произведение ^𝑖𝑝⋅𝑘=𝐸ω-𝒑⋅𝒌 когда значения энергии 𝐸 и ω вынесены в качестве множителей. Так как 𝒑=𝐸𝒗 верхние индексы 𝑖 относятся к каждой из четырёх частичных ветвей в столкновении. Числитель содержит свёрнутое произведение тензора поляризации 𝑒_μν с двумя импульсами (до и после) частицы, с которой он связан, это единственный физический тензор тензор второго порядка, который может быть построен для скалярной частицы.

Ответы, которые мы получили, являются весьма близкими к тем, что имеют место при испускании фотона; существенное различие состоит в том, что взаимодействие в электромагнетизме осуществляется вектором, в то время как в гравитации тензором. Для быстро движущейся частицы 𝑣≈𝑐, так что знаменатель в соотношении (16.4.1) может быть очень мал и амплитуда может становиться очень большой вблизи θ≈0. С другой стороны, тензор поляризации всегда поперечен к импульсу гравитона. В электромагнетизме вектор поляризации также поперечен импульсу фотона; существует только одно скалярное произведение в числителе, так что когда величина θ мала и 𝑣≈𝑐,

𝑎

_e.m

→

𝑝⋅𝑒

1-𝑣 cos θ

∝

sin θ

1-cos θ

≈

2

θ

.

(16.4.2)

Рис. 16.6.

Излучение фотона может быть очень большим для малых углов. На самом деле взрыва не происходит, поскольку величина 𝑣. никогда не бывает в точности равной 𝑐. Диаграмма направленности, соответствующая одиночной частице, имеет две полости, как показано на рис. 16.6. В гравитации взаимодействие осуществляется тензорным полем и таким образом является вдвойне трансверсальным; в пределе θ→0 и 𝑣=1,

𝑎

_g

→

𝑝⋅𝑒⋅𝑝

1-𝑣 cos θ

∝

sin²θ

1-𝑣 cos θ

≈

2,

(16.4.3)

так что диаграмма направленности не направлена строго вперёд, но в целом более однородна по сравнению с электромагнетизмом (рис. 16.6 (б)). Это различие может быть замечено интуитивно, будучи следствием того факта, что при формировании излучения спин два требует больше ”трансверсальности”, чем спин, равный единице.

Имеется одна амплитуда с угловой структурой такой же, как и на рис. 16.6(б), в окрестности каждого из четырёх направлений частиц в задаче рассеяния. Интенсивность испускания гравитона является квадратом суммы четырёх амплитуд, так что в общем случае это выражение выглядит достаточно симметричным образом.

Для медленно движущихся частиц 𝑣≪𝑐 знаменатель не играет существенной роли, и диаграмма направленности определяется исключительно числителем. Эта величина может быть выражена как свёрнутое произведение двух тензоров

∑

𝑖

(-)

_𝑖

^𝑖

𝑝

⋅𝑒⋅

^𝑖

𝑣

=

𝑒

^αβ

𝑆

_αβ

,

α,β

=

𝑥,𝑦,𝑧

,

𝑆

_αβ

=

∑

𝑖

(-)

_𝑖

𝑝

_α

𝑣

_β

.

(16.4.4)

Характер излучения полностью определяется тензором 𝑆_αβ, который представляет давление, производимое при столкновении. Мы узнаем, что форма этого выражения в точности аналогична форме давления в движущейся жидкости

Давление

=

ρ𝑣

_α

𝑣

_β

, (

ρ

= плотность массы).

(16.4.5)

Если мы имеем столкновение между двумя частицами, давление 𝑆_αβ имеет простое выражение на языке средних скоростей (до и после) сталкивающихся частиц. Мы положим передачу импульса равной 𝑄=𝑝₂-𝑝₁=-𝑝₄+𝑝₃ (см. рис. 16.5). Запишем средние скорости

𝑣

=

𝑝₂+𝑝₁

2𝑚

,

𝑣'

=

𝑝₃+𝑝₄

2𝑚'

(16.4.6)

На языке этих комбинаций может быть легко показано после соответствующей симметризации, что

𝑆

_αβ

=

2(𝑣'-𝑡)

_α

𝑄

_β

.

(16.4.7)

С помощью этой формулы мы можем теперь ответить на интересный вопрос: при столкновении между лёгкой и тяжёлой частицами, какая из них даёт наибольший вклад в излучение? Приведённая формула говорит нам, что если 𝑣'≪𝑣 излучение зависит только от 𝑣. При рассмотрении излучения от скользящих столкновений очень лёгкой частицы с массивным объектом, мы теперь знаем наверняка, что разрешено рассматривать массивную частицу, как всегда находящуюся в покое. Это правило работает при условии, что ускорение почти перпендикулярно скорости так, что 𝑸⋅𝒗≈0.

Эта формула применяется здесь и для упругих, и для неупругих столкновений, которые могут оставлять одну или обе массы в возбуждённом состоянии.

16.5. Источники классических гравитационных волн

Теперь мы переходим к описанию классического гравитационного излучения. Так же, каик в квантово-механическом случае, мы найдём, что излучателем гравитационных волн также является давление. Исходная точка в нашем обсуждении есть дифференциальное уравнение

□

ℎ

_μν

=

λ𝑆

_μν

.

(16.5.1)

Это решение продолжается в точности также, как и в электродинамике, для решений векторных потенциалов, создаваемых произвольными токами. Если мы предполагаем гармоническое изменение от времени, такое как exp(-𝑖ω𝑡) для всех величин, то векторный потенциал задаётся соотношением:

𝐴

_μ

(1)

=

∫

𝑑𝑉₂

𝑗_μ(2)⋅exp(𝑖ω𝑟₁₂)

4π𝑟₁₂

,

(16.5.2)

где индексы 1 и 2 относятся к различным пространственным положениям; (1) есть место, в котором мы вычисляем потенциалы 𝐴_μ, (2) есть места, где находятся токи, и 𝑟₁₂ – расстояние между этими точками. Один из наиболее простейших случаев излучения соответствует осциллирующему диполю такому, что токи ограничиваются небольшой областью пространства. Довольно непосредственными выкладками проводим вычисления пространственных компонент 𝐴_𝑥, 𝐴_𝑦, 𝐴_𝑧 ; временной компонент или скалярный потенциал наиболее легко получается из дивергентного условия на 𝐴_μ

𝐴

^μ

_,μ

=

0

→

𝑖ω𝐴

_𝑡

=

∇⋅𝑨

.

(16.5.3)

Эта ситуация в точности аналогична той, которая имеет место в гравитации. Временные части полей ℎ_μν наиболее легко получаются из дивергентных условий после вычислений пространственных частей по следующему правилу:

ℎ

_μν

(1)

=-

λ

4π

∫

𝑑𝑉₂

𝑆

_μν

(2)

exp(𝑖ω𝑟₁₂)

𝑟₁₂

.

(16.5.4)

Рис. 16.7.

Для того, чтобы вычислить такие величины, как мощность излучаемых гравитационных волн, мы рассмотрим точку (1), расположенную достаточно далеко от системы, на некотором расстоянии, которое много больше, чем размеры области, где, как ожидается, величина 𝑆_μν(2) является достаточно большой, как это показано на рис. 16.7. Мы можем разложить расстояние 𝑟₁₂, как степенные ряды от радиальных расстояний точек (1) и (2) от некоторого начала координат вблизи точки (2), и мы находим, что

𝑟₁₂

=

⎛

⎝

𝑟

2

1

+

𝑟

2

2

–

2𝑟₁𝑟₂

cos θ

⎞½

⎠

=

𝑟₁

⎛

⎜

⎝

1

–

2𝑟₂

𝑟₁

cos θ

+…

⎞½

⎟

⎠

≈

≈

𝑟₁

–

𝑟₂

cos θ

+… ,

(16.5.5)

когда 𝑟₂≪𝑟₁ Здесь cos θ – косинус угла между векторами 𝑟₂ и 𝑟₁. Так как любые волны, наблюдаемые в точке (1), будут иметь вектор импульса, направленный вдоль 𝑟₁, мы получаем следующее выражение для ℎ_μν(1)

ℎ

_μν

(1)

=-

λ

4π𝑟₁

exp(𝑖ω𝑟₁)

∫

𝑑³𝑟₂

𝑆

_μν

(2)

exp(-𝑖𝑲⋅𝒓₂)

.

(16.5.6)

Интеграл, появляющийся в соотношении (16.5.6), теперь не зависит от точки (1), мы видим, что тензор давления 𝑆_μν(2) является источником сферических волн.

В случае электромагнетизма наипростейшие случаи излучения часто соответствуют дипольному приближению, которое представляет собой первый ненулевой член в последовательности интегралов, соответствующих разложению экспоненты. Поскольку источник гравитационных волн является тензором вместо того, чтобы быть вектором (как в случае электромагнетизма), первый ненулевой член в гравитации имеет квадрупольный характер. Использование этого разложения оказывается оправданным, если частоты такие, что 𝑲⋅𝒓₂ много меньше, чем 1, в области, где величина 𝑆_μν оказывается значимой. Для всех вращающихся масс таких, как двойные звёзды или системы типа звезда – планета, периоды движения (скажем, ~ 1 год для системы Земля – Солнце) много больше, чем время, которое требуется гравитации для того, чтобы пройти расстояние порядка размера системы (~ 16 минут для системы Земля – Солнце), так что члены разложения очень быстро становятся всё меньше и меньше. Таким образом, почти во всех случаях, представляющих астрономический интерес, длины волн много больше, чем размеры объекта. Результат состоит в том, что поля ℎ_μν пропорциональны интегралам поперечных давлений (полное поперечное давление)

ℎ

_𝑎𝑏

=-

λ

exp(𝑖ω𝑟)

4π𝑅

𝑆

_𝑎𝑏

, где

𝑆

_𝑎𝑏

=

∫

𝑆

_𝑎𝑏

(𝑟)

.

(16.5.7)

Значения давления в направлении вдоль волнового вектора не относятся к делу. Любое качественное правило, которое полезно в электромагнетизме, целиком переносится в гравитацию.

Какова мощность, испускаемая такой волной? Существует огромное количество специалистов, которые в силу многолетнего предрассудка, что гравитация является чем-то таинственным и отличным от всего остального, напрасно обеспокоены этим вопросом; они считают, что гравитационные волны не переносят энергии совсем. Мы можем определённо показать, что гравитационные волны могут на самом деле нагреть стенку, так что нет вопроса об энергосодержании в гравитационных волнах. Эта ситуация в точности аналогична той, которая имеет место в электромагнетизме, и в квантовой интерпретации каждый испускаемый гравитон уносит величину энергии ℏω.

Список литературы

[Alva 89] Alvarez, Enrique (1989). ”Quantum gravity: an introduction to some recent results,” Reviews of Modem Physics, 61, 561-604.

[Asht 86] Ashtekar, A. (1986). ”New variables for classical and quantum gravity,” Physical Review Letters, 57, 2244-2247.

[Asht 87] Ashtekar, A. (1987). ”A new Hamiltonian formulation of general relativity,” Physical Review D, 36, 1587-1603.

[Baad 52] Baade, Walter. (1952). ”Report of the Commission on Extragalactic Nebulae,” Transactions of the International Astronomical Union, 8, 397-399.

[Bard 65] Bardin, James M. (1965). "Stability and dynamics of spherically symmetric masses in general relativity,” unpublished Ph.D. thesis, California Institute of Technology.

[BBIP 91] Balbinot, Roberto, Brady, Patric R., Israel, Werner, and Poisson, Eric (1991). ”How singular are black-hole interiors?”, Physics Letters A, 161, 223-226.

[Birk 43] Birkhoff, G. (1943). ”Matter, electricity, and gravitation in flat spacetime,” Proc. Nat. Acad. Sci. U.S., 29, 231-239.

[BTM 66] Bardeen, James М., Thorne, Kip S., and Meltzer, David W. (1966). ” A catalog of methods for studying the normal modes of radial pulsation of general relativistic stellar models,” Astrophysical Journal, 145, 505-513.

[Bond 57] Bondi, Hermann. (1957). ”Plane gravitational waves in general relativity,” Nature, 179, 1072-1073.

[BoDe 75] Boulware, David G. and Deser, Stanley (1975). ”Classical general relativity derived from quantum gravity,” Annals of Physics, 89, 193-240.

[Cart 28] Сartan, Elie. (1928). ”Leçons sur la Géométrie des Espaces de Riemann,” Memorial des Sciences Mathématiques, Fascicule IX (Gauthier-Villars, Paris, Prance).

[Chan 64] Chandrasekhar, S. (1964). ”Dynamical instability of gaseous masses approaching the Schwarzschild limit in general relativity,” Physical Review Letters, 12, 114-116.

[ChHa 82] Chandrasekhar, S. and Hartle, James B. (1982). ”On crossing the Cauchy horizon of a Reissner-Nordström black hole,” Proceedings of the Royal Society of London A, 384, 301-315.

[Cock 65] Cocke, W. John (1965). ”A maximum entropy principle in general relativity and the stability of fluid spheres,” Annales de Vlnstitut Henri Poincare, A, 2, 283-306.

[Dese 70] Deser, Stanley. (1970). ”Self-interaction and gauge invariance,” General Relativity and Gravitation, 1, 9-18.

[Dese 87] Deser, Stanley. (1987). ”Gravity from self-interaction in curved background,” Classical and Quantum Gravity, 4, L99-L105.

[DeWi 57] DeWitt, Cecile M. (1957). Conference on the Role of Gravitation in Physics at the University of North California, Chapel Hill, March 1957; WADC Technical Report 57-216 (Wright Air Development Center, Air Research and Development Command, United States Air Force, Wright Patterson Air Force Base, Ohio).

[DeWi 67а] DeWitt, Bryce S. (1967). ”Quantum theory of gravity, II,” Physical Review, 162, 1195-1239 (имеется русский перевод в книге: Девитт Б. Динамическая теория групп и полей (1987), (Наука, Москва), 239.

[DeWi 67b] DeWitt, Bryce S. (1967). ”Quantum theory of gravity, III,” Physical Review, 162, 1239-1256.

[DeWi 94] DeWitt, Bryce S. (1994). Private Communication.

[Dira 37] Dirac, P. A. M. (1937). ”The cosmological constants,” Nature, 139, 323.

[Dira 38] Dirac, P. A. M. (1938). ”New basis for cosmology,” Proc. R. Soc. London A, 165, 199-208.

[DrMa 77] Drechsler, W. and Mayer, М. E. (1977). Fiber Bundle Techniques in Gauge Theories (Lecture Notes in Physics, Volume 67, Springer-Verlag, New York).

[Eddi 31] Eddington, A. (1931). ”Preliminary note on the masses of the electron, the proton, and the universe,” Proc. Cambridge Phil. Soc., 27, 15-19.

[Eddi 36] Eddington, A. (1936). Relativity Theory of Protons and Electrons (Cambridge University Press, Cambridge).

[Eddi 46] Eddington, A. (1946). Fundamental Theory (Cambridge University Press, Cambridge).

[Eins 39] Einstein, Albert (1939). ”On a stationary system with spherical symmetry consisting of many gravitating masses,” Annals of Mathematics, 40, 922-936.

[FaPo 67] Faddeev, L. D. and Popov, V. N. (1967). ”Feynman diagrams for the Yang-Mills Field,” Physics Letters B, 25, 29-30.

[Feyn 57] Feynman, Richard P. (1957). ”Conference on the Role of Gravitation in physics, an expanded version of the remarks by R. P. Feynman on the reality of gravitational waves, mentioned briefly on page 143 of the Report [DeWi 57],” typescript in Box 91, File 2 of The Papers of Richard P. Feynman, the Archives, California Institute of Technology.

[Feyn 61] Feynman, Richard P. (1961). Unpublished letter to Victor F. Weisskopf, January 4-February 11, 1961; in Box 3, File 8 of the Papers of Richard P. Feynman, the Archives, California Institute of Technology.

[Feyn 63a] Feynman, Richard P., Leighton, Robert B., and Sands, Matthew (1963). The Feynman Lectures on Physics (Addison-Wesley, Reading, Massachusetts) (Имеется русский перевод: Фейнман Р., Лейтон P., Сэндс М. (1965-1967) Фейнмановские лекции по физике, тт. 1-9 (Мир, Москва).

[Feyn 63b] Feynman, Richard P. (1963). ”Quantum theory of gravitation”, Acta Physica Polonica, 24, 697-722.

[Feyn 67] Feynman, Richard P. (1967). The Character of Physical Law (M.I.T., Cambridge). (Имеется руссхий перевод: Фейнман P. (1968) Характер физических законов (Мир, Москва)).

[Feyn 72] Feynman, Richard P. (1972). ”Closed loop and tree diagrams” and ”Problems in quantizing the gravitational field, and the massless Yang-Mills field,” in Magic Without Magic: John Archibald Wheeler, edited by John R. Klauder (W.H. Freeman, San Francisco), pp. 355-408.

[Feyn 85] Feynman, Richard P., as told Leighton, Ralph (1985). Surely You’re Joking, Mr. Feynman! (W.W. Norton, New York).

[Feyn 88] Feynman, Richard P., as told Leighton, Ralph (1988). What Do You Care What Other People Think? (W.W. Norton, New York).

[Feyn 89] ”Feynman’s office: The last blackboards,” Physics Today, 42 (2), 88 (1989).

[FiPa 39] Fierz, M. and Pauli, W. (1939). ”Relativistic wave equations for particles of arbitrary spin in an electromagnetic field,” Proceedings of the Royal Society of London A, 173, 211-232.

[Fink 58] Finkelstein, David (1958). ”Past-future asymmetry of the gravitational field of a point particle,” Physical Review, 110, 965-967.

[Fowl 64] Fowler, William A, (1964). ”Massive stars, relativistic polytropes, and gravitational radiation,” Reviews of Modem Physics, 36, 545-555.

[FuWh 62] Fuller, Robert W. and Wheeler, John A. (1962). ”Causality and multiply connected space-time,” Physical Review, 128, 919-929.

[FWML 74] Fairbank, W., Witteborn, F., Madey, J., and Lockhart, J. (1974). ”Experiments to determine the force of gravity on single electrons and positrons,” Experimental Gravitation: Proceedings of the International School of Physics ”Enrico Fermi," Course LVI, B.Bertotti, ed. (Academic Press, New York) 310-330.

[Gell 89] Gell-Mann, Murray (1989). ”Dick Feynman-The guy in the office down the hall,” Physics Today, 42 (2), 50-54.

[Good 61] Good, M.L. (1961). "K⁰₁ and the equivalence principle,” Physical Review, 121, 311-313.

[GoSa 86] Goroff, M. and Sagnotti, A. (1986). Nuclear Physics B, 266, 709.

[GrBr 60] Graves, John C. and Brill, Dieter R. (1960). "Oscillatory character of Reissner-Nordström metric for an ideal charged wormhole,” Physical Review, 120,1507-1513.

[GSW 87] Green, М., Schwarz, J., and Witten, E. (1987). Superstring theory (Cambridge University Press, Cambridge, England).

[GrPe 88] Gross, D. and Periwal, V. (1988). ”String perturbation theory diverges,” Physical Review Letters, 60, 2105-2108.

[Gupt 54] Gupta, Suraj N. (1954). ”Gravitation and electromagnetism,” Physical Review, 96, 1683-1685.

[Guth 81] Guth, Alan H. (1981). ”Inflationary universe: a possible solution to the horizon and flatness problems,” Physical Review D, 23, 347-356.

[HaEl 73] Hawking, Stephen W. and Ellis, George F.W. (1973). The Large Scale Structure of Space-time, (Cambridge University Press, Cambridge, England). (Имеется русский перевод: Хокинг С., Эллис Дж. (1977) Структура пространства-времени (Мир, Москва)).

[Hatf 92] Hatfield, В. (1992). Quantum Field Theory of Point Particles and Strings, (Addison-Wesley, Reading, MA).

[Hilb 15] Hilbert, D. (1915). ”Die Grundlagen der Physik,” Konigl. Gesell. d.Wise. Göttingen, Nachhr. Math.-Phys. Kl., 395-407. (Имеется русский перевод в сб.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации, (1979), с. 133—145 (Мир, Москва)).

[HoFo 63] Hoyle, Fred, and Fowler, William A. (1963). ”On the nature of strong radio sources,” Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 125, 169-176.

[Hoyl 48] Hoyle, Fred (1948). ”A new model for the expanding universe,” Mon. Not. R. Astron. Soc., 108, 372-382.

[HWWh 58] Harrison, B. Kent, Wakano, Masami, and Wheeler, John A. (1958). ”Matter-energy at high density; endpoint of thermonuclear evolution,” in Onzieme Conseil de Physique Solvay, La Structure et I’Evolution de I’Univers, (Editions R. Stoops, Brussels), pp. 124-148.

[Iben 63] Iben, Icko, Jr. (1963). ”Massive stars in quasistatic equilibrium,” Astrophysical Journal, 138, 1090-1096.

[JaSm 88] Jacobson, T. and Smolin, L. (1988). ”Nonperturbative quantum geometries,” Nuclear Physics B, 299, 295-345.

[JeDG 53] Jennison, R. C. and Das Gupta, М. K. (1953). ”Fine structure of the extra-terrestrial radio source Cygnus 1,” Nature, 172, 996-997.

[Klei 89] Kleinert, H. (1989). ”Quantum mechanics and path integrals in spaces with curvature and torsion," Modem Physics Letters A, 4, 2329-2337.

[Kore 74] Корепин, Владимир (1974). Неопубликованный диплом, Ленинградский Государственный Университет.

[Krai 47] Kraichnan, Robert H. (1947). ”Quantum theory of the linear gravitational field,” unpublished B.S. thesis, Massachusetts Institute of Technology.

[Krai 55] Kraichnan, Robert H. (1955). "Special relativistic derivation of generally covariant gravitation theory,” Physical Review, 98, 1118-1122.

[Krai 56] Kraichnan, Robert H. (1956). ”Possibility of unequal gravitational and inertial masses,” Physical Review, 101, 482-488.

[Krus 60] Kruskal, Martin (1960). "Maximal extension of the Schwarzschild metric,” Physical Review, 119, 1743-1745.

[LaLi 51] Landau, L .D. and Lifshitz, E. M. (1951). The Classical Theory of Fields, translated by M. Hammermesh (Addison-Wesley, Reading, Massachusetts) (Имеются оригинальные русские издания, например, Ландау Л.Д., Лифишц Е.М. (1988) Теория поля (Наука, Москва)).

[LiBr 90] Lightman, Alan and Brawer, Roberta (1990). Origins: The Lives and Worlds of Modem Cosmologists, (Harvard University Press, Cambridge).

[MaWh 66] May, Michael M. and White, Richard H. (1966). ”Hydrodynamical calculations of general relativistic collapse,” Physical Review, 141, 1232-1241.

[Mich 63] Michael, F. Curtis (1963). ”Collapse of massive stars,” Astrophysical Journal, 138, 1097-1103.

[Miln 34] Milne, E. (1934). Quart. J. Math (Oxford), 5, 64; McCrea, W. and Milne, E. (1934). Quart. J. Math (Oxford), 5, 73.

[MiWh 57] Misner, Charles W. and Wheeler, John A. (1957). ”Classical physics as geometry: gravitation, electromagnetism, unquantized charge, and mass as properties of curved empty space,” Annals of Physics, 2, 525-603 reprinted in [Whee 62].

[MTW 73] Misner, Charles W., Thorne, Kip S., and Wheeler, John A. (1973). Gravitation, (W.H. Freeman, San Francisco). (Имеется русский перевод Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. (1977) Гравитация, тт. 1-3 (Мир, Москва)).

[NiGo 91] Nieto, М. and Goldman, Т. (1991). ”The arguments against ”antigravity” and the gravitational acceleration of antimatter,” Physics Reports, 205, 221-281.

[OpSn 39] Oppenheimer, J. Robert and Shyder, Hartland (1939). ”On Continued Gravitational Contraction," Physical Review, 56, 455-459. (Имеется руссхий перевод в сб.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации, (1979), 353-361 (Мир, Москва)).

[Репг 65] Penrose, Roger (1965). ”Gravitational collapse and spacetime singularities,” Physical Review Letters, 14, 57-59. (Имеется русский перевод в сб.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации, (1979), 390-395 (Мир, Москва)).

[Podu 64] Подурец М. А. (1964). ”Коллапс звезды с учётом противодавления,” Доклады Академии Наук, 154, 300-301.

[RoSm 88] Rovelli, С. and Smolin, L. (1988). ”Loop representation for quantum general relativity,” Nuclear Physics B, 331, 80-152.

[Schi 58] Schiff, L. (1958). ”Sign of the gravitational mass of the positron,” Physical Review Letters, 1, 254-255.

[Schi 59] Schiff, L. (1959). "Gravitational properties of antimatter,” Proc. Nat. Acad. Sci., 45, 69-80.

[Schm 63] Schmidt, Maarten A. (1963). ”3C 273: A star-like object with large red-shift,” Nature, 197, 254-255.

[Schu 85] Schutz, Bernard F. (1985). A First Course in General Relativity (Cambridge University Press, Cambridge).

[Schw 16] Schwazschild, Karl (1916). ”Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie,” Sitzungsberichte der Deutschen Akademie der Wissenschaften zu Berlinn, Klasse für Mathematik, Physik, und Technik, 1916, 189-196. (Имеется русский перевод в сб.: Альберт Эйнштейн и теория гравитации, (1979), 199-207 (Мир, Москва)).

[Syke 94] Sykes, Christopher (1994). No ordinary genius: the illustrated Richard Feynman (W. W. Norton, New York).

[Thir 18] Thirring, H. (1918). ”Über die Wirkung rotierender ferner Massen in der Einsteinschen Gravitationstheorie,” Phys. Z., 19, 33-39; Thirring, H. and Lense, J. (1918). ”Über den Einflufder Eigenrotation der Zentralkorper auf die Bewegung der Planeten und Monde nach der Einsteinschen Gravitationstheorie”, Phys. Z., 19, 156-163; Thirring, H. (1921). ”Berichtigung zu meiner Arbeit: ’Über die Wirkung rotierender ferner Massen in der Einsteinschen Gravitationstheorie’,” Phys. A., 22, 29-30.

[tHVe 74] t’Hooft, G. and Veltman, M. (1974). Ann. Inst. Henri Poincare, 20, 69.

[Thor 94] Thorne, Kip S. (1994). Black Holes and Time Warps: Einstein’s Outrageous Legacy, (W. W. Norton, New York).

[Toop 66] Tooper, Robert F. (1966). ”The’standard model’ for massive stars in general relativity,” Astrophysical Journal, 143, 465-482.

[vanN 81] van Nieuwenhuizen, Peter (1981). ”Supergravity,” Physics Reports, 68, 189-398.

[Vebl 27] Veblen, O. (1927). Invariants of Quadratic Differential Forms, (Cambridge Tracts in Math and Math Phys., Cambridge University Press, London). (Имеется руссхий перевод: Веблен О. (1948) Инварианты дифференциальных квадратичных форм (Гостехиздат, Москва)).

[Wald 84] Wald, Robert М. (1984). General Relativity, (University of Chicago Press, Chicago).

[Wald 86] Wald, Robert M. (1986). ”Spin-two fields and general covariance,” Physical Review, D33, 3613-3625.

[Wein 64a] Weinberg, Steven (1964). ”Derivation of gauge invariance and the equivalence principle from Lorentz invariance of the S-matrix,” Physics Letters, 9, 357-359.

[Wein 64b] Weinberg, Steven (1964). "Photons and gravitons in S-matrix theory: derivation of charge conservation and equality of gravitational and inertial mass,” Physical Review, 135, B1049-B1056.

[Wein 72] Weinberg, Steven (1972). Gravitation and Cosmology (Wiley, New York). (Имеется русский перевод Вейнберг С. (1975) Гравитация и космология (Мир, Москва)).

[Wein 79] Weinberg, Steven (1979). ”Ultraviolet divergences in quantum theories of gravitation,” in General Relativity: An Einstein Centenary Volume, edited by S. W. Hawking and W. Israel (Cambridge University Press, Cambridge, England), pp. 790-831. (Имеется руссхий перевод в сб.: Общая теория относительности, сс. 407-455, (Мир, Мосхва, 1983)).

[Wein 89] Weinberg, Steven (1989). ”The cosmological constant problem,” Reviews of Modem Physics, 61, 1-22.

[Went 49] Wentzel, G. (1949). Quantum Theory of Fields, (Interscience, New York).

[Whee 62] Wheeler, John A. (1962). Geometrodynamics, (Academic Press, New York).

[Whee 90] Wheeler, John A. (1990). A Journey into Gravity and Spacetime (Scientific American Library, W. H. Freeman, New York).

[WhFe 45] Wheeler, John A. and Feynman, Richard P. (1945). ”Interaction with the absorber as the mechanism of radiation,” Reviews of Modern Physics, 17, 157-181.

[WhFe 49] Wheeler, John A. and Feynman, Richard P. (1949). ”Classical electrodynamics in terms of direct interparticle action,” Reviews of Modem Physics, 21, 425-433.

[WiFa 67] Witteborn, F. and Fairbank, W. (1967). ”Experimental comparison of the gravitational force on freely failing electrons and mettaiic electrons,” Physical Review Letters, 19, 1049-1052.

[Yang 77] Yang, C. N. (1977). Ann. New York Acad. Sci., 294, 86.

[Белл 76*] Беллман P. (1976) Введение в теорию матриц (Наука, Москва).

[Берг 47*] Бергман П.Г., (1947) Введение в теорию относительности (Гос. издат. иностр. лит., Москва).

[Берк 85*] Берке У. (1985) Пространство-время, геометрия, космология (Мир, Москва).

[БеКо 89*] Берков А.В., Кобзарев И.Ю. (1989) Теория тяготения Эйнштейна. Общие принципы и экспериментальные следствия (МИФИ, Москва); Берков А.В., Кобзарев И.Ю. (1990) Приложения теории тяготения Эйнштейна к астрофизике и космологии (МИФИ, Москва).

[БоШи 80*] Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. (1980) Квантовые поля (Наука, Москва).

[Гант 88*] Гантмахер Ф.Р. (1988) Теория матриц (Наука, Москва).

[Грав 96*] Гравитация. Дискуссионный журнал, 2, вып. 2 (1996, Санкт-Петербург).

[Деви 85*] Девис П. (1985) Случайная Вселенная (Мир, Москва).

[ДЗС 88*] Долгов А.Д., Зельдович Я.Б., Сажин М.В. (1988) Космология ранней Вселенной (МГУ, Москва).

[ДНФ 86*] Дубровин Б.Л., Новиков С.П., Фоменко А.Т. (1986) Современная геометрия (Наука, Москва).

[Заха 88*] Захаров А.Ф. (1988), ”Об эффективном сечении захвата частиц чёрной дырой Шварцшильда”, Астрон, ж., 65, 877-879.

[Заха 97*] Захаров А.Ф. (1997) Гравитационные линзы и микролинзы (Янус-К, Москва).

[Заха 98*] Захаров А.Ф., Сажин М.В. (1998), "Гравитационное микролинзирование”, Успехи физ. наук, 168, 1041 -1082.

[Заха 99*] Захаров А.Ф. (1999), ”Физика чёрных дыр”, Успехи физ. наук, 169, 1041-1045.

[КШМХ 82*] Крамер Д., Штефани X., Мак-Каллум М., Херльт Э. (1982) Точные решения уравнений Эйнштейна (Энергоиздат, Москва).

[ЛППТ 79*] Лайтман А., Пресс В., Прайс Р., Тюкольски С. (1979) Сборник задач по теории относительности и гравитации (Мир, Москва).

[ЛПП 97*] Липунов В.М., Постнов К.А., Прохоров М.Е. (1997), ”Чёрные дыры и гравитационные волны: возможность одновременного обнаружения лазерными интерферометрами первого поколения”, Письма в астрон. ж., 23, 563-568.

[Логу 89*] Логунов А.А., Мествиришвили М.А. (1989) Релятивистская теория гравитации (Наука, Москва); Логунов А.А. (1995), Успехи физ. наук, 165, 187 – 203; Logunov A.A., Mestvirishvili М.А. (1996) ”Energy-momentum tensor of matter as a source of the gravitational field”, in Proceedings of the XVIII Workshop on High Energy Physics and Field Theory: Quanta, Relativity, Gravitation, pp. 65 -86.

[ННП 78*] Надежин Д.К., Новиков И.Д., Полнарев А.Г. (1978) "Гидродинамика образования первичных чёрных дыр”, Астрон. ж., 55, с. 216-230.

[Паул 83*] Паули В. (1983) Теория относительности (Наука, Москва).

[Раше 67*] Рашевский П.К. (1967) Риманова геометрия и тензорный анализ (Наука, Москва).

[Синг 63*] Синг Дж. (1963) Общая теория относительности (Изд. Иностранной литературы, Москва).

[Соко 71*] Сокольников И. (1971) Тензорный анализ (Наука, Москва).

[Утия 79’] Утияма Р. (1979) Теория относительности (Атомиздат, Москва).

[Фейн 78*] Фейнман Р. (1978) Теория фундаментальных процессов (Наука, Москва).

[Фейн 86*] Фейнман Р.Ф. (1986), ”Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман?”, Успехи физ. наук, 148, 509-526.

[Фейн 88*] Фейнман Р. (1988) КЭД – странная теория света и вещества (Наука, Москва).

[Фок 61*] Фок В.А. (1961) Теория пространства-времени и тяготения (Физматгиз, Москва).

[Чанд 86*] Чандрасекар С. (1986) Математическая теория чёрных дыр т. 1,2 (Мир, Москва).