Текст книги "Самые знаменитые головоломки мира"
Автор книги: Сэм Лойд
сообщить о нарушении
Текущая страница: 2 (всего у книги 17 страниц)
7
Одним росчерком пера нарисуйте эмблему, сделав наименьшее число поворотов
Просматривая фотографии древних греческих руин, обнаруженных во время недавних раскопок, я обратил внимание на неоднократно повторяющуюся высеченную на камнях эмблему – треугольники в круге. Не вдаваясь в дискуссию относительно интерпретации этого знака, которой сведущие люди посвятили не один том, я просто хочу обратить ваше внимание на математическую или головоломную его особенность.
Этот знак стоит после некоторых надписей и, очевидно, выполняет роль печати или подписи. Не без удовольствия я обнаружил, что эмблему можно нарисовать, не отрывая пера или карандаша от бумаги и не проходя дважды по одной линии. Однако, приняв условие, разрешающее проходить по начерченным линиям неограниченное число раз, не отрывая карандаша от бумаги, но с наименьшим возможным числом поворотов, вы в силу ряда странных особенностей этой головоломки обнаружите, что она в своем роде весьма занятна.
8
Помогите фермеру и его жене поймать цыплят
Наблюдая прыжки игривых щенков, котят и других домашних животных, мы часто поражаемся тому, как, войдя во вкус, они наслаждаются самим процессом игры. Но что касается озорного непослушания, или «дьявольского упрямства» животных, как это зачастую называют их хозяева, то я не видел ничего, что могло бы сравниться с поведением двух непослушных цыплят, которых выгоняют или выманивают из огорода. Они никогда не летают и не убегают стремглав, а просто топчутся рядом, держась недалеко от своих преследователей, но так, чтобы их нельзя было достать. Более того, когда неудачливые «охотники» удаляются, цыплята сами превращаются в преследователей и идут буквально по пятам, с кудахтаньем, полным открытого неповиновения и презрения.
На одной из ферм в штате Нью-Джерси, где проводила лето группа горожан, охота на цыплят стала каждодневно практикуемым видом спорта. В огороде всегда находилась пара цыплят, явно бросавших вызов любому, кто захотел бы их поймать. Это напомнило мне игру с металлическим колечком, которым надлежит подцепить рыбку, и натолкнуло на мысль предложить любопытную головоломку, которая, как я с удовлетворением думаю, озадачит не одного из наших экспертов.
Требуется показать, за сколько «ходов» добрый фермер и его жена смогут схватить двух цыплят.
Огород разбит на 64 квадратных участка, размеченных кукурузными побегами. Допустим, что разыгрывается некая партия, где фигуры передвигаются между рядами кукурузных побегов из одного квадрата в другой по прямой вверх или вниз, вправо или влево.
Ходят по очереди. Сначала пусть мужчина и женщина передвинутся каждый на один квадрат. Затем делает ход каждый из цыплят. Игра продолжается до тех пор, пока цыплят удастся перевести в такие положения, что оба они окажутся загнанными в угол и будут схвачены. Цыплята считаются схваченными, когда фермер или его жена могут ступить на квадрат, занятый цыпленком. За сколько ходов вы добьетесь такого положения?
В эту игру можно играть на любой шахматной доске, представив фермера и его жену шашками одного цвета, а петушка с курочкой – другого.
9
Из Биксли в Квиксли
Вот одна любопытная задача, которую я придумал, пока трясся из Биксли в Квиксли верхом на длинноухом муле. Я спросил дона Педро, моего проводника и уроженца этих мест, который шел впереди и тянул мула за повод, может ли мой скакун двигаться с другой скоростью. Он сказал, что может, но та, другая, скорость гораздо меньше этой, так что я продолжал свое путешествие, не пытаясь ничего изменить. Дабы подбодрить дона Педро, который в нашем предприятии служил главным двигателем, я сказал, что нам следовало бы заглянуть по дороге в Пиксли и подкрепиться свежей порцией горючего; естественно, с этого момента дон Педро не мог думать уже ни о чем другом, кроме Пиксли.
Проехав 40 минут, я спросил, какой путь мы проделали, на что дон Педро ответил:
– Ровно вдвое меньше, чем отсюда до Пиксли.
Преодолев еще 7 миль, я спросил:
– Далеко ли до Квиксли?
Он ответил, как и прежде:
– Ровно вдвое меньше, чем отсюда до Пиксли.
Еще через час мы прибыли в Квиксли, что побуждает меня спросить вас, чему равно расстояние от Биксли до Квиксли?
10
Два индюка
– Вот эти два индюка вместе весят двадцать фунтов, – сказал мясник. – Однако фунт мяса индюшонка стоит на два цента дороже, чем фунт мяса крупного индюка.
Миссис Смит купила индюшонка за 82 цента, а миссис Браун заплатила 2 доллара 96 центов за большого индюка. Сколько весил каждый индюк?
11
Закройте паланкин, разрезав его на возможно меньшее число частей
– Что касается транспорта в Китае, – говорит один писатель, который большую часть жизни провел в Поднебесной, – то там очень скоро привыкаешь передвигаться в паланкине, что гораздо удобнее и быстрее наемного экипажа. Эти паланкины сплетены из ивовых прутьев и напоминают маленькие китайские коробочки из цветной соломки, сделанные так искусно, что вам никак не удается обнаружить места соединения.
Этот рассказ породил головоломку. Дело в том, что во время дождя паланкины закрываются, причем таким образом, что при самом внимательном изучении не удается найти места соединения отдельных частей. Вам предлагается разрезать изображенный на рисунке паланкин на возможно меньшее число частей, сложив которые нужным образом, вы получите правильный квадрат.
12
Какой убыток понес лавочник?
Торговля пеньковыми веревками и канатами издавна служила важной статьей дохода на Филиппинах и в значительной степени контролировалась китайскими экспортерами, которые развозили эти товары на своих судах по всему свету. Местными же лавками владели главным образом японцы, которые вели дела на свой собственный оригинальный манер. Отсутствие твердых цен очень часто приводило к спорам. Вот как это обычно выглядело.
Китайский моряк, войдя в лавку, спрашивает (мы не могли не заменить в этом диалоге сочных местных эпитетов):
– Не могли бы вы указать мне приличный магазин, где продаются хорошие веревки?
Лавочник-японец, проглотив оскорбление, отвечает:
– У меня продается только отборный товар, но, видно, самые худшие из моих веревок лучше того, что вам нужно.
– Покажите мне ваши самые лучшие. Они могут пригодиться, пока я не найду что-нибудь поприличнее. Сколько вы просите за этот канат?
– Семь долларов за бухту в сто футов.
– Это слишком много и слишком дорого. Я никогда не плачу больше доллара за бухту хорошего товара, а этот канат-то гнилой.
– Стандартный канат, – отвечает лавочник, показывая пломбу, гарантирующую длину и качество. – Если у вас не хватает денег, возьмите сколько вам нужно по два цента за фут.
– Отрежьте двадцать футов, – говорит моряк, доставая из кармана золотую монету в пять долларов, чтобы показать, что у него есть чем платить.
Лавочник отмеряет 20 футов, он делает это с таким тщанием, якобы у него и в мыслях нет обмерить покупателя. Моряк замечает, однако, что деревянный ярд, которым пользуется лавочник, на 3 дюйма короче обычного и кончается на отметке 33 дюйма. [3]3
В 1 ярде содержится 3 фута, или 36 дюймов. – Прим. перев.
[Закрыть]Подождав, пока канат будет отрезан, моряк холодно указывает на длинный конец и говорит:
– Я беру вот этот кусок в восемьдесят футов. Нет, вам не нужно его посылать, я заберу его сам.
Затем он кидает на прилавок фальшивую монету в 5 долларов, которую лавочник идет менять к соседу. Получив сдачу и ухватив канат под мышку, моряк уходит. Головоломка состоит в том, чтобы выяснить, какой убыток понес на этой операции лавочник, если учесть, что впоследствии сосед потребовал заменить фальшивую монету и что фут каната и в самом деле стоит 2 цента?
13
На торгах
Описывая, что произошло с ним на торгах, Смит сказал, что за полчаса он спустил половину своих денег и у него осталось столько же центов, сколько было первоначально долларов, и ровно вдвое меньше долларов, чем было первоначально центов. Сколько денег Смит истратил на торгах?
14
Какой величины точильный круг достался второму компаньону?
Рассказывают, что два честных сирийца, сложив свои сбережения, купили точильный круг. Поскольку они жили в нескольких милях друг от друга, то решили, что сначала кругом будет пользоваться старший из владельцев, а когда круг уменьшится ровно вдвое, он передаст его второму компаньону.
Круг имел в диаметре ровно 22 дюйма, в середине его имелось отверстие для оси диаметром 3 1/7 дюйма, как показано на рисунке. Чему должен равняться диаметр круга, когда его получит второй компаньон?
15
Кто выиграет в забеге?
Много лет назад, когда цирк Барнума действительно был «самым захватывающим зрелищем в мире», знаменитый мастер шоу попросил меня приготовить для него в рекламных целях серию призовых головоломок. Они стали широко известны благодаря крупным призам, предлагавшимся каждому, кто сумеет с ними справиться, и получили название загадок Сфинкса.
Барнум был особенно доволен задачей о состязании кошки с собакой. Он широко оповестил всех и вся, что в первый день апреля огласит ответ и раздаст призы или, по его словам, «вынет кота из мешка».
Головоломка формулировалась следующим образом.
Специально обученные собака и кошка участвуют в забеге: 100 футов вперед по прямой и обратно. Собака преодолевает за один прыжок 3 фута, а кошка – только 2; но зато она делает 3 прыжка в то время, как ее соперник делает 2. Скажите, каков при этих обстоятельствах возможный исход состязания?
Того факта, что оглашение ответа назначалось на первое апреля, и намека на «кота в мешке» было достаточно, чтобы заподозрить со стороны великого мастера зрелищных аттракционов какую-то ловушку.
16
Расположите эти десять частей так, чтобы змея кусала свой хвост
Профессор фон Шафскопфен, известный натуралист, был весьма озадачен противоречивыми рассказами о змее-обруче, названной так потому, что она имела обыкновение передвигаться довольно странным образом: взяв в рот конец своего хвоста, змея катилась словно обруч. Эта особенность подотряда Ophidiaописана многими натуралистами, а один профессор колледжа утверждает, что видел трех змей, образовавших один большой обруч, который пронесся, как молния, а потом исчез, ибо змеи проглотили друг друга.
Никто не отрицает возможность такого исчезновения, но возникают сомнения относительно существования змеи-обруча. Профессор Шафскопфен рыскал по всей стране, пока, наконец, в дебрях Обручевых гор не нашел великолепный экземпляр окаменевшей змеи-обруча, которая так и погибла с кончиком своего хвоста во рту. Пользуясь острой пилой, профессор распилил змею на 10 частей, бережно обложил их ватой, упаковал и с триумфом привез свою добычу домой. Вот тут-то он и потерпел полный крах в попытках сложить части так, чтобы хвост оказался во рту.
Математики утверждают, что из этих десяти частей можно сложить 362 882 различные змеи, ни одна из которых не будет представлять собой замкнутый обруч. Это дало повод скептикам поставить 362 882 против 1 за то, что такая змея никогда и не существовала!
17
Чему равен доход?
Один делец продал велосипед за 50 долларов, затем выкупил его назад за 40 долларов, что, очевидно, принесло ему доход в 10 долларов, поскольку в итоге у него оказался тот же велосипед да еще 10 долларов впридачу. Далее, выкупив велосипед за 40 долларов, он перепродал его за 45 долларов, получив дополнительный доход в 5 долларов, так что общий доход составил 15 долларов.
– Постойте, – сказал бухгалтер. – Но ведь человек начал с велосипеда стоимостью в 50 долларов, а после вторичной продажи у него осталось 55 долларов. Как же он умудрился получить доход, превышающий 5 долларов? Ведь продав велосипед за 50 долларов, он просто совершил обмен, не получив дохода и не понеся убытков. Когда же он купил его за 40, а продал за 45 долларов, то получил при этом доход в 5 долларов. Вот и все.
– А я полагаю, – возразил счетовод, – что когда он продал велосипед за 50 долларов, а выкупил его за 40 долларов, то совершенно ясно, он получил доход в 10 долларов, ибо имел после этого тот же самый велосипед да еще 10 долларов. Но вот когда он вновь продал велосипед за 45 долларов, то просто совершил уже упомянутый ранее обмен, так что на этой операции у него не было ни дохода, ни убытков. Причем последняя операция не затронула первый доход; поэтому в итоге доход человека оказался равным 10 долларам.
Все эти операции крайне просты; относящиеся сюда подсчеты может сделать в уме любой первоклассник. И тем не менее перед нами – три разных ответа! Который из них, по вашему мнению, правильный?
18
Какова наиболее экономичная форма бака вместимостью 1000 кубических футов?
Вот практический урок, который заинтересует тех, у кого есть склонность к математике. Водопроводчики и жестянщики считают, что 7 1/2 галлонов равны 1 кубическому футу. Разумеется, математик нам скажет, что в кубическом футе содержится 1728 кубических дюймов, ибо 12 х 12 х 12 = 1728, тогда как в 7 1/2галлонах содержится 173 1/2 кубических дюйма. Но водопроводчики народ покладистый, и они бодро отбрасывают эти 4 1/2 лишних дюйма.
Некий жестянщик хотел оценить наименьшую возможную стоимость медного бака вместимостью 1000 кубических футов. Сделать бак следовало из медных листов по 3 квадратных фута в каждом, причем 1 квадратный фут стоил 1 доллар. Таким образом, задача состоит в том, чтобы определить размеры наиболее экономичного прямоугольного бака вместимостью 1000 кубических футов.
Само собой разумеется, что если взять кубический бак размером 10 × 10 х 10, то он как раз и будет обладать нужной вместимостью.
Так-то это так, да вот уйдет на такой бак 500 квадратных футов меди (100 на дно и столько же на каждую из четырех боковых сторон). Нам же надо определить наиболее экономичные размеры бака, при которых на него уйдет наименьшее возможное количество меди.
Это простое задание, взятое из повседневной жизни, и любой механик справился бы с ним по своим представлениям вполне удовлетворительно, но математики обнаружили бы, что попутно он совершил «удвоение куба».
19
Отыщите звезду
Можете ли вы обнаружить на приведенном здесь рисунке правильную пятиконечную звезду?
20
Разделите греческий крест на возможно меньшее число частей, из которых можно было бы сложить два греческих креста одинаковых размеров
Во всем огромном царстве головоломок трудно найти что-либо более захватывающее, чем задачи о греческом кресте и его взаимосвязях с квадратом, параллелограммом и другими симметричными фигурами.
Широко известна задача о превращении греческого креста в квадрат с помощью наименьшего числа разрезов, но мы хотим привлечь ваше внимание к другой любопытной задаче, где речь идет о превращении одного греческого креста в два других.
Представьте себе раненого, который возвращается домой после того, как его вернула к жизни самоотверженная сестра милосердия из Красного Креста. Он просит подарить ему на счастье красный крест с ее рукава. Как всегда преисполненная доброты, сестра берет ножницы и, взмахнув ими несколько раз, разрезает крест на части, из которых можно сложить два креста одинаковых размеров.
Это простой, но красивый трюк, и, добравшись до решения, вы не можете не испытать чувства удовлетворения.
21
Передвиньте кубики так, чтобы их номера располагались в правильном порядке
Старые обитатели страны головоломок, наверное, помнят, как в начале семидесятых годов [4]4
Имеются в виду семидесятые годы прошлого века. – Прим. перев.
[Закрыть]я свел с ума весь мир маленькой коробочкой, заполненной небольшими кубиками, которая называлась игрой в 14–15. Пятнадцать перенумерованных кубиков лежали в квадратной коробке в правильном порядке, за исключением кубиков с номерами 14 и 15, которые поменялись местами, как показано на рисунке. Головоломка состоит в том, чтобы, передвигая по очереди по одному кубику, добиться того, чтобы номера 14 и 15 поменялись местами и чтобы все кубики лежали по порядку, причем после всех перестановок правый нижний угол должен остаться свободным, как в начале игры.
Приз в 1000 долларов, предлагавшийся за первое правильное решение, никогда никому не был присужден, хотя тысячи людей утверждали, будто они решили задачу.
Люди буквально помешались на этой головоломке. Из уст в уста передавались удивительные рассказы о лавочнике, забывшем открыть свой магазинчик, об одном почтенном священнике, простоявшем под уличным фонарем долгую зимнюю ночь в надежде вспомнить, как ему удалось решить задачу. Таинственная особенность данной головоломки состоит в том, что, видимо, никто не в состоянии вспомнить последовательность ходов, тогда как многие совершенно уверены, что они добились успеха. Говорят, лоцманы сажали свои корабли на рифы, а паровозные машинисты проносились мимо станций. Один известный издатель из Балтимора отправился в полдень на ленч и лишь после полуночи был обнаружен сбившимися с ног и отчаявшимися сотрудниками газеты сидящим за столом и гоняющим по подносу маленькие кусочки пирога! Да что там, фермеры забывали о своем плуге! Подобную ситуацию вы видите на рисунке.
Несколько новых задач, представляющих собой дальнейшее развитие этой головоломки, стоят того, чтобы над ними подумать.
Вторая задача.Начиная с расположения, указанного на картинке, передвиньте кубики так, чтобы они расположились в правильном порядке, причем пустой квадратик должен оказаться в левом верхнем, а не в правом нижнем углу:
Третья задача.Начиная с того же расположения кубиков, что и в предыдущем случае, поверните коробочку на четверть оборота и передвиньте кубики так, чтобы они расположились следующим образом:
Четвертая задача. Начиная с прежнего расположения, передвиньте кубики так, чтобы они образовали «магический квадрат», у которого сумма чисел вдоль каждой вертикали, горизонтали и каждой из двух диагоналей равнялась бы 30.
22
Больной племянник
Вот одна небольшая и довольно странная задача о родственных отношениях, которая имеет любопытный ответ. Дядя Ройбен навестил в большом городе свою сестру Мэри Энн. Гуляя вместе по одной из улиц, они подошли к скромному отелю.
– Прежде, чем мы пойдем дальше, – сказал Ройбен своей сестре, – я должен заглянуть сюда, чтобы справиться о здоровье моего больного племянника, который живет в этом отеле.
– Хорошо, – ответила Мэри Энн, – поскольку у меня нет больного племянника, я сейчас пойду домой, а потом, после полудня, мы продолжим нашу прогулку.
Каковы родственные отношения Мэри Энн и загадочного племянника?
23
Как разделить заработок?
Эта простая головоломка настолько лишена математических трудностей, что я даже колебался, стоит ли ее предлагать вниманию читателей. И все же я верю, что она может открыть двери интересной дискуссии.
За 5 долларов Хоббс и Ноббс согласились посадить картошку на поле фермера Сноббса. Ноббс может засадить картошкой борозду за 40 минут и с той же скоростью засыпать борозду землей. Хоббс же способен засадить картошкой борозду всего за 20 минут, но зато, пока он засыпает землей 2 борозды, Ноббс засыпает целых 3.
Хоббс и Ноббс работали все время с постоянной скоростью, пока не обработали все поле, причем каждый из них и сажал картошку, и засыпал ее землей. Зная, что на поле сделано 12 борозд, как показано на рисунке, скажите, каким образом следует разделить 5 долларов, чтобы каждый получил свою долю пропорционально проделанной им работе?
24
Куда исчезает квадратный дюйм?
Эта головоломка наглядно показывает, как просто надуть человека, приобретающего золотой кирпич. Большой квадрат на рисунке изображает золотой кирпич, который фермер захотел купить у незнакомца в шляпе. Стороны квадрата разделены каждая на 24 равные части.
Если сторона квадрата содержит 24 дюйма, то площадь самого квадрата должна равняться 24 х 24 = 576 квадратным дюймам. Обратите внимание на диагональ, которая идет из одного угла в другой. Разрезав квадрат вдоль этой диагонали и передвинув верхнюю часть на одно деление вверх вдоль разреза, мы получим маленький треугольник А, который высунется справа. Если мы отрежем его и поместим в положение В в левом верхнем углу, то получим прямоугольник шириной в 23 и высотой в 25 дюймов. Но 23, умноженное на 25, даст только 575 квадратных дюймов. Куда же исчез квадратный дюйм?
Говорят, что последний том «Начал» Евклида был целиком посвящен геометрическим заблуждениям такого рода; другими словами – задачам и головоломкам, содержащим умно спрятанные ошибки. К несчастью, этот том утерян, но, без сомнений, это была величайшая из написанных автором книг.
25
Чему равна глубина озера?
Поэт Г. Лонгфелло был прекрасным математиком и не раз отмечал, сколь плодотворное воздействие на фантазию студента оказывают привлекательные одежды, в которые, не в пример сухому языку учебников, можно облечь математические задачи.
Задача о водяной лилии – одна из задач, которые Лонгфелло ввел в свой роман «Каванаг». Она столь проста, что по силам всякому даже не очень сведущему в математике человеку, но столь ярко иллюстрирует важный геометрический факт, что он становится памятен уже навсегда. Я не помню, как дословно сформулировал эту задачу в нашей беседе Лонгфелло, но суть ее сводилась к следующему. Лилия, на одну пядь поднимавшаяся над поверхностью воды, под порывом свежего ветра коснулась поверхности озера в двух локтях от прежнего места; исходя из этого, требовалось определить глубину озера.
Предположим, что, как это показано на рисунке, лилия на 10 дюймов поднимается над поверхностью воды, а если ее потянуть в сторону, то она исчезнет под водой в точке, отстоящей на 21 дюйм от того места, где она находилась первоначально. Чему равна глубина озера?
