Текст книги "Самые знаменитые головоломки мира"
Автор книги: Сэм Лойд
сообщить о нарушении
Текущая страница: 15 (всего у книги 17 страниц)
99.Когда Смит впервые встретился со своей будущей женой, он был втрое старше ее, но в день, о котором шла речь, 29 февраля 1896 года, ей было столько же лет, сколько ему было в момент их первой встречи. Значит, в момент первой встречи Тому было 15 лет, а его возлюбленной – 5, так что 29 февраля 1896 года ей должно быть 15 лет, а ему – 25. Следовательно, когда ей исполнится 45 лет, ему будет 55, что в сумме как раз и составит 100 лет.
Однако кое-кто, определив, что Тому 29 февраля 1896 года было 25 лет, впал в ту же ошибку, что и сам Том, утверждая, что в следующем високосном 1900 году ему исполнится 29 лет. На самом же деле ввиду одной из особенностей календаря 1900 год не високосный. Следующим високосным оказывается 1904 год, когда Тому исполняется 33 года.
100. Ответ ясен из рисунка.
101. Полумесяц можно разрезать на 21 кусочек.
[Известно, что в случае круга с помощью ппрямых разрезов можно получить максимум ( п 2+ п)/2+ 1 частей. Однако в случае полумесяца это число возрастает до ( п 2+ 3 п)/2+ 1. – М. Г.]
102. Ответ показан на рисунке.
103. Для того чтобы собрать 100 картофелин, необходимо преодолеть расстояние в 101 000 футов, или чуть больше 19 миль!
Для Гарри лучшая стратегия состоит в том, чтобы выбрать 99-ю картофелину. Том, бегая быстрее Гарри на 2,04 %, возьмет первую картофелину, Гарри – вторую, Том – третью и т. д. Однако Том бегает не настолько быстрее Гарри, чтобы забрать две соседние картофелины. Гарри потребуется преодолеть 49 980 футов, чтобы принести свои 49 картофелин. За то же самое время Том пробежит 50 999,592 фута, а поскольку для того, чтобы собрать все 50 картофелин, он должен покрыть расстояние в 51 000 футов, Гарри выиграет с преимуществом менее полуфута!
104. В этом простом примере «алгебры в картинках» мывстречаемся с фундаментальными принципами подстановки и добавления одинаковых величин в обе части равенства, не нарушающих, так сказать, равновесия. Это показывает справедливость аксиомы, что две какие-то величины, равные порознь третьей величине, равны и между собой.
На первом рисунке мы видим, что волчок и 3 кубика равны 12 шарикам. Из второго рисунка явствует, что один волчок равен по весу кубику и 8 шарикам. Добавим теперь 3 кубика на каждую чашу вторых весов. Поскольку добавление равных по весу количеств к обеим сторонам не нарушает равновесия, мы все еще имеем равенство в весе двух чаш. Но теперь левая чаша весов идентична левой чаше весов, расположенных выше. Следовательно, мы должны сделать вывод, что веса двух правых чаш также равны между собой, то есть что 4 кубика и 8 шариков весят столько же, сколько и 12 шариков. Значит, 4 кубика весят столько же, сколько и 4 шарика. Короче говоря, вес кубика совпадает с весом шарика. Второй рисунок говорит нам о том, что волчок уравновешивается кубиком и 8 шариками; поэтому мы заменяем кубик на шарик и находим, что вес волчка равен весу 9 шариков.
105. В восьмеричной системе 1906 запишется как 3562, то есть 2 единицы, 6 восьмерок, 5 раз по 64 и 3 раза по 512. Самый простой способ перехода к этой записи состоит в том, что сначала мы делим 1906 на 512 и получаем 3 и 370 в остатке. Далее мы делим 370 на 64, получая 5 и 50 в остатке. Затем мы делим 50 на 8, получая 6 и последний остаток – 2, последнюю цифру ответа. Выписывая все результаты деления слева направо, мы и получаем искомую запись. Если бы мы захотели записать 1906 в семеричной системе, то нужно было бы делить это число на соответствующие степени семерки.
106. В путь отправилось 900 участников, которые разместились в 100 вагонах по 9 человек в каждом.
107.
После того как исчезли 9 монахинь, остальные расположились следующим образом:
108. Число в конце каждого абзаца означает количество операций, совершенных в этом абзаце.
В большой бочке содержится 63 галлона воды, а в малой – 31 1/ 2галлона вина. Наполняем 3 кувшина в 10 галлонов вином, выливаем остальные 1 1/ 2галлона в 2-галлонную меру, опустошив тем самым малую бочку (4).
С помощью 4-галлонной меры наполняем малую бочку из большой, оставляя в итоге 1/ 2галлона в 4-галлонной мере. Отдаем эти 1/ 2галлона верблюду № 1. С помощью 4-галлонной меры возвращаем 28 галлонов воды из малой бочки в большую. Выливаем 1/ 2галлона вина из 2-галлонной меры в 4-галлонную. Выливаем 2 галлона воды из малой бочки в 2-галлонную меру и возвращаем их в большую бочку. Переливаем оставшиеся 1/ 2галлона воды из малой бочки в 2-галлонную меру и даем их верблюду № 2. Переливаем 1 1/ 2галлона вина из 4-галлонной меры в 2-галлонную (37).
Повторяем все операции предыдущего абзаца еще 11 раз, так что 6 верблюдов получат по две полугаллонные порции воды каждый, а 6 других получат по две полуторагаллонные порции. Однако при 10-м и 11-м повторении вместо того, чтобы возвращать 2 галлона в большую бочку, отдадим их любым двум верблюдам, которые уже получили по две полугаллонные порции. Теперь уже 8 верблюдов получили по 3 галлона, а 4 верблюда – по 1 галлону; кроме того, в большой бочке осталось 35 галлонов (407).
Наполним малую бочку из большой с помощью 4-галлонной меры и дадим 1/ 2галлона верблюду № 13. Переливаем 3 галлона из большой бочки в 4-галлонную меру (18).
Возвращаем все вино в большую бочку. Опустошаем малую бочку, перелив ее содержимое в три 10-галлонных кувшина, а оставшиеся 1/ 2галлона перельем в 2-галлонную меру. Вернем содержимое трех кувшинов в малую бочку и перельем 1 1/ 2галлона из 2-галлонной меры в кувшин № 1 (12).
Наполним 2-галлонную меру из 4-галлонной, оставляя 1 галлон в 4-галлонной мере. Наполним малую бочку из 2-галлонной меры и дадим оставшиеся 1/ 2галлона верблюду № 13. Дадим пяти верблюдам по 2 галлона каждому, после чего все верблюды будут напоены (13).
Наполним 2 пустых кувшина из малой бочки и перельем оставшиеся 1/ 2галлона в кувшин № 1. Вернем содержимое кувшинов № 2 и 3 в малую бочку (5).
Перельем 1 галлон из 4-галлонной меры в кувшин № 2. Нальем 6 галлонов вина в кувшин № 3 с помощью 2-галлонной и 4-галлонной мер. Выльем 1 галлон из кувшина № 2 в 4-галлонную меру и наполним эту меру вином из кувшина № 3. Выльем содержимое 4-галлонной меры в кувшин № 2. Перельем 2 галлона воды из малой бочки в кувшин № 2 (10).
Теперь каждый из 13 верблюдов получил по 3 галлона воды, один из 10-галлонных кувшинов содержит 3 галлона воды, второй – 3 галлона вина и третий – смесь из 3 галлонов воды и 3 галлонов вина. В большой бочке находится 25 1/ 2галлонов вина, а в малой – 18 галлонов воды. Общее число операций составляет 506.
[В одном из своих интервью Генри Э. Дьюдени упоминает о том, как С. Лойд в связи с этой задачей обращался к нему за помощью. Дело в том, что Лойд предложил своим читателям денежный приз за лучшее ее решение и хотел избежать выплаты, найдя собственное решение, превосходящее все им полученные. Дьюдени нашел решение в 521 ход. В дальнейшем он снизил число ходов до 506, так что Дьюдени сэкономил Лойду немалую сумму. – М. Г.]
109. Многие даже искушенные математики нередко впадают в ошибку, исходя из того, что имеются 24 отправные и 24 конечные точки. Они утверждают, что правильным ответом будет (24) 2= 576 способов. Однако они проглядели разветвляющиеся пути, которые дают 252 способа достигнуть центра С и столько же способов вернуться назад к граничным W.Поэтому правильным ответом будет (252) 2= 63 504 способа.
110. Если бы в сиамском аквариуме было столько рыб, сколько я получил различных ответов, то там разыгралась бы битва века!
Я склонен считать правильным следующее решение. Три маленькие рыбы отвлекают внимание каждой из трех больших рыб, а остальные 4 дьявольские рыбы в 3 мин уничтожают четвертую королевскую рыбу. Затем 5 маленьких рыб набрасываются на одну большую и убивают ее за 2 мин 24 с, пока остальные маленькие рыбы сражаются с другими большими.
Очевидно, что если бы каждой из оставшихся групп помогла еще одна рыба, они бы закончили свое дело за то же самое время, так что у каждой большой рыбы сил осталось бы ровно столько, чтобы привлекать внимание маленькой рыбы в течение 2 мин 24 с. Следовательно, если большую рыбу атакуют 7 маленьких рыб вместо одной, то им потребуется 1/7 этого времени, или 20 4/7 с.
Если распределить теперь силы маленьких рыб для атаки на оставшихся двух больших рыб (7 на одну и 6 на другую королевскую рыбу), то для уничтожения последней большой рыбы в конце 20 4/7 с потребуется усилие, с которым сможет справиться одна маленькая рыба. Но поскольку вместо одной маленькой рыбы. На последнюю королевскую рыбу набросятся все 13 дьявольских рыб, они справятся с ней за 713 этого времени, то есть за 153/91 с.
Складывая теперь все промежутки времени (3 мин, 2 мин 24 с, 204/7 с, 153/91 с), мы получим продолжительность всей битвы – 5 мин 462/13 с.
111. Согласно заданным условиям, одна монета с круглой дыркой стоит 15/11 бит, одна монета с квадратной дыркой стоит 16/11 бит и одна монета с треугольной дыркой стоит 17/11 бит. Щенка стоимостью в 11 бит можно, следовательно, купить за одну монету с квадратной дыркой и 7 монет с круглыми дырками.
112. Круг сыра делится на 2 части с помощью одного разреза, на 4 – с помощью второго, на 8 – с помощью третьего, на 15 – с помощью четвертого, на 26 – с помощью пятого и на 42 части – с помощью шестого разрезов.
[Эти числа равны максимальному количеству частей, порождаемых каждым последовательным разрезом выпуклого тела. С помощью этой последовательности нетрудно вывести следующее кубическое уравнение, выражающее максимальное число частей как функцию числа разрезов п: (п 3+5п)/6+ 1= число частей. – М. Г.]
113. Вероятность того, что ни один из шести человек не возьмет свою собственную шляпу, равна 265/720. [Это получается следующим образом. Число способов, которыми можно выбрать пшляп случайным образом так, чтобы ни один человек не выбрал собственной шляпы, равно n!×(1–1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! -…+– 1/ n!).
Поделив это выражение на п!(общее число способов, которыми можно выбрать пшляп), мы и получим ответ. С ростом пответ стремится к пределу, равному 1/е, давая тем самым забавный эмпирический способ определения трансцендентного числа е.Анализ этой задачи и подобных вопросов дается в книге Ball R. Mathematical Recreations, p. 46. – M. Г.]
114. На рисунке показан единственный правильный способ расположить 8 ворон на снопах пшеницы так, чтобы никакие две птицы не оказались в одном ряду или на одной диагонали. Кроме того, сторож не сможет найти точку, с которой ему удалось бы прицелиться сразу в трех ворон.
115. «Любопытный трюк» состоит в том, что два выступа в кромке средней дыры не видны за головой осужденного! На рисунке показано, как именно следует разрезать доску.
116. Батчер Бой стоил 264 доллара и был продан за 295,68 доллара, что дало прибыль в 12 %. Вторая лошадь стоила 220 долларов и была продана за 198 долларов, так что потери составили 10 %. Общая стоимость двух лошадей составляла 484 доллара, а проданы они были за 493,68 доллара; при этом общая прибыль составила 2 %.
117. Ножницы можно освободить, продвигая конец с петлей назад вдоль двойной веревки: сначала через левое кольцо, затем через правое, далее снова через левое, а потом опять через правое. Теперь перекиньте петлю через все ножницы, и они окажутся свободными, если только в процессе работы вы не запутаете веревку, перекрутив ее неудачным образом.
118. [Независимо от способа передвижения обезьяны (быстро, медленно или прыжками) груз и обезьяна всегда будут находиться на одном уровне. Обезьяна не сможет оказаться выше или ниже груза, даже если она, отпустив веревку, станет падать вниз, а затем снова за нее уцепится.
Льюис Кэрролл ставит эту задачу в своем «Дневнике»; ее обсуждению посвящена обширная литература. – М. Г.]
119.Вы можете разделить гамак на две части, проведя 12 разрезов, как показано на рисунке.
120. Повар купил 16 яиц, но бакалейщик добавил ему еще 2 яйца, так что всего у повара оказалось 18 яиц.
121. Круглый пирог с помощью семи прямых разрезов можно разделить на 29 частей.
Искомый прямоугольный треугольник имеет стороны длиной в 47, 1104 и 1105 жердей. Шут не случайно назвал именно цифру 47, так как только она дает ответ в целых числах. Если бы он назвал цифру 48, то число ответов равнялось бы 10.
Я буквально краснею, приводя ответ шута относительно дамоклова меча: он кривой потому, что должен подходить к своим ножнам.
122. Молочник продал 32 кварты цельного молока на первой улице, 24 кварты – на второй, 18 – на третьей и 13 1/2 кварт – на четвертой, что в сумме составляет 87 1/2 кварт.
123. Для того чтобы выиграть, Рип должен сбить кеглю № 6. При этом кегли разобьются на группы из одной, трех и семи штук. Далее, как бы ни играл противник Рипа, он безусловно проиграет, если Рип станет придерживаться наилучшей стратегии. Чтобы выиграть, его противник должен был бы сбить с самого начала кеглю № 7, дабы разбить кегли на две группы по 6 штук. Затем, что бы ни сбивал Рип в одной из групп, гном должен повторять его ходы в другой группе, пока не выиграет.
[Замечание Лойда об истории игры в кегли не следует принимать всерьез. Рип может выиграть также, сбив кеглю № 10, ибо при этом снова получатся группы по 1, 3 и 7 штук. Относительно анализа этой игры см. задачу № 73 в сборнике Г. Дьюдени «Кентерберийские головоломки» (М.: Мир, 1978). – М. Г.]
124. «Свинскую» задачу Пэта можно решить только с помощью трюка, поместив один загон внутри другого, как показано на рисунке.
125. Путь, указанный на рисунке, содержит только 14 поворотов под прямым углом.
126. Джонсы продали на 220 газет больше, чем Смиты. Первоначальное число газет равнялось 1020.
127. Мэри 27 лет и 6 месяцев.
128. Расстояние между Плезантвиллем и Джойтауном составляет 126 миль. [Пусть х– расстояние от места встречи до Плезантвилля, а х+ 18 – расстояние от Джой-тауна до места встречи. Тогда скорость Вилли равна х,деленному на 13 1/ 2, а скорость Дасти составляет (х+ 18), деленное на 24. Время, за которое Вилли прошел х+ 18 миль, равно этому расстоянию, деленному на скорость Вилли. Оно, как мы знаем, равно времени, за которое Дасти прошел хмиль, равному, в свою очередь, х,деленному на скорость Дасти. Это приводит к квадратному уравнению, что дает для хзначение в 54 мили. То есть точка встречи находится в 54 милях от Плезантвилля и в 72 милях от Джойтауна. – М. Г.]
129. Дабы решить эту задачу, не привлекая число я, необходимо напомнить замечательное открытие Архимеда, состоящее в том, что объем шара равен 2/ 3объема цилиндрического ящика, в который шар как раз помещается. [30]30
Другими словами, объем шара равен 2/3 объема цилиндра, описанного около этого шара. Действительно, если радиус шара равен R,то площадь основания цилиндра равна πR2, а его высота составляет 2R.Значит, объем цилиндра равен 2πR,a объем шара равен 4/3 πR3. – Прим. перев.
[Закрыть]Диаметр клубка проволоки равен 24 дюймам; значит, его объем равен объему цилиндра с диаметром основания в 24 дюйма и высотой в 16 дюймов.
Далее, проволока – это всего лишь очень тонкий и длинный цилиндр. Сколько кусков проволоки длиной в 16 дюймов и с диаметром основания в 0,01 дюйма равны по объему цилиндру высотой в 16 дюймов и с диаметром основания в 24 дюйма? Площади кругов относятся, как квадраты их диаметров. Квадрат 0,01 равен 0,0001, а квадрат 24 равен 576. Поэтому объем цилиндра равен суммарному объему 5 760 000 кусков нашей проволоки, каждый из которых имеет в длину 16 дюймов. Следовательно, общая длина проволоки составляет 5 760 000×16 = 92 160 000 дюймов, что равно 1454 милям и 2880 футам.
130. После 12 ч две стрелки впервые указывают в противоположных направлениях в 12 ч 32 8/11, мин и далее через интервалы в 1 ч 5 5/11 мин. Положение секундной стрелки показывает, что пуля должна была попасть в циферблат в 10 ч 21 9/11 мин (49 и 1/11 с).
131. Когда паромы встречаются в точке X(см. рисунок), то они находятся на расстоянии в 720 ярдов от одного из берегов. Суммарное расстояние, которое они прошли к этому моменту, равно ширине реки. Когда они достигают противоположных берегов, суммарное расстояние, пройденное ими, составляет удвоенную ширину реки. На обратном пути они встречаются в точке Z, пройдя к этому времени утроенную ширину реки, так что каждый паром прошел теперь в три раза большее расстояние, чем к моменту их первой встречи.
При первой встрече один паром прошел 720 ярдов, так что когда он достигает Z, то проходит к этому моменту втрое большее расстояние, то есть 2160 ярдов. Как видно из рисунка, это расстояние на 400 ярдов превышает ширину реки, и, значит, нам остается только вычесть 400 из 2160, чтобы получить ответ, равный 1760 ярдам, то есть ровно 1 миле.
Время, которое каждый паром затрачивает на перевозку пассажиров, не влияет на ответ.
132. Девять спичек располагают таким образом, чтобы они образовали английское слово TEN (десять), а из шести спичек следует составить слово NIX (ничто).
133. Из условий задачи вытекает, что Джек ест постную свинину со скоростью 1 бочонок за 10 недель; значит, полбочонка постной свинины он «порешит» за 5 недель. За то же самое время его жена (которая ест жирную свинину со скоростью 1 бочонок за 12 недель) справится с 5/12 бочонка жирной свинины. Поэтому им обоим останется съесть 1/12 бочонка жирной свинины со скоростью 1 бочонок за 60 дней. Супруги справятся с таким заданием за 5 дней, так что всего им потребуется 35 дней плюс 5 дней, или 40 дней.
134. Поскольку скупец мог разделить монеты каждого достоинства поровну на 4, 5 и 6 частей, у него должно было быть не менее 69 монет каждого достоинства, что в сумме составляет 2100 долларов.
135. [Решение Лойда, содержащее 6 частей, показано на рисунке. Совершенно другое решение из 10 частей приведено у Генри Э. Дьюдени в «Кентерберийских головоломках» (М.: Мир, 1978), задача 37. – М. Г.]
136. Хитрость Дженни состояла в том, чтобы один кружок слева перенести далеко вправо, как показано на рисунке.
137. Каждый из рабочих запросил следующую сумму (в долларах):
138. Точное время равно 8 ч 186/13 мин, или 8 ч 18 мин 279/13 с.
139. [Общее время, которое затрачивает на весь путь вверх и вниз по склону Джек, составляет ровно 6,3 мин, то есть 6 мин 18 с. Задача решается алгебраически. Положим, что скорость Джека в гору составляет 2х,его скорость под гору – Зд:, скорость Джилла в гору – 2уи скорость его под гору – 3 у.Приравняем время, прошедшее до встречи Джека и Джилла. Затем общее время Джека плюс полминуты приравняем к общему времени Джилла. Теперь, решив систему из двух уравнений, находим хи у. – М. Г.]
140. Обозначим один 10-галлонный бидон через Л, а второй – через 2?. Далее будем действовать следующим образом:
наполним 5-квартовую кастрюлю из бидона А,
наполним 4-квартовую кастрюлю из 5-квартовой, оставив в последней 1 кварту,
выльем содержимое 4-квартовой кастрюли в бидон А,
перельем 1 кварту из 5-квартовой в 4-квартовую кастрюлю,
наполним 5-квартовую кастрюлю из бидона А,
наполним 4-квартовую кастрюлю из 5-квартовой, оставив в последней 2 кварты,
выльем содержимое 4-квартовой кастрюли в бидон В,дольем из 4-квартовой кастрюли бидон Адоверху, оставив в ней 2 кварты.
Каждая кастрюля содержит теперь по 2 кварты, бидон Аполон, а в бидоне Вне хватает 4 кварт.
141. Обозначим вагоны и паровозы слева направо через A, B, C, D,E, F, G, Н, I. Е– это вышедший из строя паровоз, a F– паровоз, который выполняет всю работу. Задача решается за 31 изменение в направлении движения паровоза следующим образом.
Паровоз Fдвижется прямо к паровозу Е,цепляет его и тянет на участок Dразъезда (1 изменение).
Fпроходит через разъезд, цепляет Dи тянет его на участок Dразъезда, толкая в то же время вправо Е(3 изменения).
Fснова проходит через разъезд, цепляет С и тянет его на участок Д толкая вправо вагон D(3 изменения).
Fпроходит через разъезд, цепляет Ви тянет его на участок Д толкая вправо вагон С(3 изменения).
Fпроходит через разъезд, цепляет Аи тянет его на участок Д толкая вправо вагон В(3 изменения).
Fпроходит через разъезд, затем движется вправо, подгоняя Ак B.Вагоны A, B, C, D,E, Gсцеплены (3 изменения).
Fперегоняет вагоны A, B, C, D,E, Gвлево, затем толкает Gна участок разъезда А(2 изменения).
Fтянет вагоны A, B, C, D,Евлево, затем толкает их вправо (2 изменения).
Fодин движется влево, вспять и цепляет G,тянет его влево (3 изменения).
Fдвижется вправо, толкая G к A. Gприцеплен к А,затем Fтянет весь состав из вагонов и паровоза влево (2 изменения).
Fвспять отгоняет Hи Iна,участки Аи Вразъезда, тянет G, A, B, C, D,Евлево, затем толкает их всех вправо (3 изменения).
Fтянет Gвлево, движется вспять и цепляет Gи Н,тянет G, H, I,влево и продолжает движение. При этом экспресс вместе со своими вагонами, расположенными позади паровоза в прежнем порядке, остается на прямолинейном пути справа от разъезда (3 изменения).
142. Самый рациональный способ сделать цепь из 6 кусков по 5 звеньев состоит в том, чтобы распилить все 5 звеньев одного куска и с их помощью соединить остальные 5 кусков. При этом общая стоимость работы составит 1 доллар 30 центов, что на 20 центов дешевле стоимости новой цепи.
143. Решение первой задачи показано на рисунке.
[Наилучшее решение второй задачи следующее.
Каждая из частей содержит по 29 маленьких квадратиков. Если кто-либо из читателей сумеет улучшить это решение, я буду рад об этом узнать. – М. Г.]
144. У Хэнка было 11 голов скота, у Джима – 7 и у Дьюка – 21, а вместе это составляет 39 голов.
145. В решении задач такого типа сначала следует определить расстояние, которое пробежал бы человек до того, как схватить свинью, если бы свинья и человек бежали вперед по прямой. К этому расстоянию надо прибавить расстояние, которое пробежал бы человек до того, как схватить свинью, если бы оба бежали по прямой, но уже навстречу друг другу. Разделив полученный результат на 2, вы найдете искомое расстояние.
В нашем случае свинья находится от человека на расстоянии 250 ярдов, а скорости человека и свиньи относятся как 4: 3. Поэтому если бы оба они бежали вперед по прямой, то человек до того, как поймает свинью, пробежал бы 1000 ярдов. Если бы они бежали навстречу друг другу, то человек пробежал бы 4/7 от 250 ярдов, то есть 142 6/7 ярда. Сложив эти два расстояния и разделив их на 2, мы получим 571 3/7 ярда. Это и есть искомое расстояние, которое пробежал человек. Поскольку скорость свиньи составляет 3/4 скорости человека, то она проделала за то же время 428 4/7 ярда.
[Если бы свинья бежала с той же скоростью, что и человек, или быстрее, то, пользуясь правилом Лойда, можно легко показать, что Тому никогда не удалось бы схватить ее. Но если скорость человека превосходит скорость животного, то свинью можно схватить всегда. Путь человека дает один из простейших примеров так называемой «линии погони», изучение которой составляет интересный раздел того, что можно было бы назвать «развлекательным анализом». [31]31
Линия погони фигурирует отнюдь не только в занимательных задачах, но и в таком важном разделе прикладной математики, как теория оптимального управления. – Прим. перев.
[Закрыть]– М. Г.]
146. Сорок лет назад Бидди было 18 лет, а сейчас ей 58.
147. У Джона и Мэри должно было быть 300 цыплят, которым хватало корма на 60 дней.
148. Мячик пройдет расстояние в 218,77777… футов, то есть в 218 футов 9 1/ 3дюйма.
149. На рисунке показан путь, при котором Клэнси сможет пройти мимо всех домов.
150. Существует бесконечно много способов, позволяющих разделить греческий крест на части, из которых удается сложить правильный квадрат. На рис. 1 показан один из них. Самое поразительное что если вы проведете любые два прямых разреза, параллельные данным, то результат не изменится. Из получившихся при этом четырех частей всегда можно сложить квадрат!
Ответы на следующие вопросы вы видите на рис. 2 и 3.
151. Если леди купила xшнурков, то она должна была купить 4 xкоробочек с булавками и 8 x: платков. Сумма квадратов этих величин равна 3,24 доллара, откуда x= 2. Таким образом, леди купила 2 шнурка, 8 коробочек с булавками и 16 платков.
152. Бутылку и щетку можно переставить за 17 ходов, действуя следующим образом:
1) бутылка,
2) щетка,
3) утюг,
4) бутылка,
5) перечница,
6) мышеловка,
7) бутылка,
8) утюг,
9) щетка,
10) перечница,
11) утюг,
12) бутылка,
13) мышеловка,
14) утюг,
15) перечница,
16) щетка,
17) бутылка.
153. Поскольку колеса на внешней стороне круга вращаются вдвое быстрее колес на внутренней стороне, длина внешней окружности должна вдвое превышать длину внутренней окружности. Следовательно, 5 футов между внутренними и внешними колесами должны равняться половине радиуса внешней окружности. Другими словами, диаметр внешней окружности равен 20 футам, а ее длина составляет 20π, или около 62,832 фута.
154. Мисс Покахонт 24 года, а маленькому Капитану Джону 3 года.
155. Покупатель приобрел бочки с маслом в 13 и 15 галлонов, заплатив по 50 центов за галлон, и бочки с уксусом в 8, 17 и 31 галлон, заплатив по 25 центов за галлон. При этом осталась бочка в 19 галлонов, которая может содержать либо масло, либо уксус.
156. Каждая следующая цена составляет 2/ 5предыдущей, так что после очередного снижения шляпа будет продаваться за 51,2 цента.
157. На верхнем рисунке показаны пути пяти стражей, а на нижнем отмечено, как тюремщик добирался до черной камеры, сделав всего лишь 16 поворотов.
158. Пять мальчиков вылетят, если вместо числа 13 взять 14, а счет начинать по-прежнему с девочки без шляпки, двигаясь по часовой стрелке.
159.Ответ ясен из рисунка.
160. [Пусть х– стоимость купленной шляпы Рубена, а у– стоимость его пиджака. Шляпка, купленная Синтией, также стоит у,а ее платье х– 1. Мы знаем, что х+ у= 15. Поэтому если 15 долларов, которые они истратили на шляпы, разделить на две части, из которых одна в полтора раза больше другой, то мы получим, что новые цены шляп составляют соответственно 6 и 9 долларов. Исходя из условий задачи, мы можем составить следующее уравнение:
9 + х – 1 = 6 + 15 – x.
Отсюда х= 6,5 доллара – цена, которую Рубен заплатил за шляпу. Значит, за пиджак он заплатил 8,5 доллара, а Синтия заплатила 8,5 доллара за шляпу и 5,5 доллара за платье. Общая сумма, истраченная парой, составляет 29 долларов. – М. Г.]
161. В стаде мисс Ку-Ку было 8 овец. Изгородь из 8 столбов, расположенных в виде квадрата, ограничивает поле той же площади, что и продолговатая изгородь из 10 столбов, у которой на длинной стороне находится 5, а на короткой 2 столба.
162. Фидо 10 лет, а сестре 30.
163. Хорошее правило, которое может пригодиться при обращении с «жульническими» весами рычажного типа, состоит в следующем. Взвесьте интересующий вас предмет сначала на одной чаше весов, а затем на другой, перемножьте полученные результаты и извлеките из произведения квадратный корень; при этом вы получите истинный вес предмета.
Зная, что пирамидка весит 1 унцию, мы в результате первого взвешивания устанавливаем, что кубик вееит 3/8 унции. Второе взвешивание дает для него значение в 6 унций. Далее, 6 х 3/8 = 18/8 = 9/4. Квадратный корень из этого числа равен 3/2. Следовательно, кубик весит 1 1 /2унции, и на нормальных весах 8 кубиков уравновесили бы 12 пирамидок.
164. На рисунке показано, каким образом следует расположить 16 пешек, чтобы удовлетворялись все условия задачи. Условие, согласно которому две пешки должны занимать клетки в центре, позволяет отбросить многие решения, в противном случае также оказавшиеся бы справедливыми.
165. Обычно, отвечая на вопрос этой задачи, берут среднее арифметическое обеих скоростей, поскольку полагают, что ветер в одном направлении замедляет скорость велосипедиста настолько же, насколько увеличивает ее в противоположном. Это не верно, ибо ветер помогает велосипедисту только 3 мин, а мешает ему 4 мин. Если за 3 мин, двигаясь по ветру, он проезжал 1 милю, то за 4 мин он преодолевал 1 1/3 мили. Возвращаясь против ветра, он за те же 4 мин проезжал 1 милю. Таким образом, за 8 мин велосипедист мог преодолеть 2 1/3 мили, двигаясь половину времени по ветру, а половину – против него. Значит, действием ветра можно пренебречь, и, следовательно, в отсутствие ветра велосипедист проезжал бы 2 1/3 мили за 8 мин, или 1 милю за 3 3/7 мин.
166. Число детей, катавшихся на карусели, включая самого Сэмми, равно 13.
167. Задание можно выполнить, сделав один прямой разрез через центр звезды, соединяющий концы полумесяца и передвинув темную часть А(см. рисунок) вправо.
168. В прошлом году миссис Виг вырастила 11 025 кочанов капусты на квадратном поле со стороной в 105 кочанов. В этом году она вырастила 11 236 кочанов на квадратном поле со стороной в 106 кочанов.
169. [Лойд в своем ответе приводит решения, которые нельзя считать верными. Например,
Здесь вопреки условиям требуются два сложения.
Лойд также приводит 6 ответов с дробями (где, очевидно, две точки используются вместо черты в записи правильной дроби). Например,
Однако если использовать точки для указания периода десятичных дробей, как это делает сам Лойд в «Задаче Колумба», то головоломку можно решить следующим образом
– М.Г.]
170. Из того, как делились каштаны, мы знаем, что возраст девочек находится в отношении 9: 12: 14. Следовательно, младшая девочка получила 198, средняя – 264 и старшая – 308 каштанов. Что касается возраста девочек, то он не определяется однозначно. Зная отношение их возрастов и глядя на рисунок, можно предположить, что более всего подходят 4 1/2, 6 и 7 лет.
171. Любителям головоломок следовало бы знать, что высоту башни или столба можно оценить по длине отбрасываемой ими тени. Подтверждение тому мы находим в романе Артура Конан-Дойля «Белый отряд».
«Седой лучник взял у своих товарищей несколько кусков веревки и, связав их вместе, вытянул вдоль длинной тени, которую в лучах восходящего солнца отбрасывала хмурая башня. Затем он поставил вертикально древко своего лука и измерил длинную, темную прямую, которую оно отбрасывало на землю. "Древко в шесть футов отбрасывает двенадцатифутовую тень, – пробормотал он. – А башня отбрасывает тень в шестьдесят футов, значит, веревки в тридцать футов будет достаточно"».
В этом весь секрет головоломки. Все тени на рисунке находятся в одинаковом отношении к высоте предметов, которые их отбрасывают. Вертикальная прямая, проведенная от кончика пальца человека, который показывает на мальчика, говорит нам о том, что длина теней составляет треть высоты соответствующих предметов. Следовательно, высота столба втрое превышает длину тени от центра его основания до конца. Измерив ширину трамвайного пути в месте, где падает тень, и помня, что эта ширина составляет 4 фута 8 дюймов, нетрудно догадаться, что высота столба близка к 19 футам 8 дюймам.
172. [К решению этой маленькой сбивающей с толку задачи можно подойти многими путями. Так, мы можем обозначить через tскорость поезда, через с– скорость дилижанса и через х– расстояние от Глазго до места встречи. Тогда расстояние от Инвернесс до места встречи будет равно 189 – х.Время, за которое дилижанс добрался от Инвернесс до места встречи, составит 189 – 2 х(разность в милях между указанными двумя расстояниями). Но, в свою очередь, это равно времени, за которое поезд дошел от Глазго до места встречи. Отсюда мы можем определить, что скорость дилижанса на 1 милю в час превосходила скорость поезда. [32]32
(189– x)/c = 189 – 2 x; x/t =189 – 2 x. Отсюда с – t = 1. – Прим. перев.
[Закрыть]
