Текст книги "По ту сторону кванта"

Автор книги: Леонид Пономарев

сообщить о нарушении

Текущая страница: 10 (всего у книги 22 страниц)

2-я часть. ИДЕИ

^{2-я часть}

ГЛАВА ШЕСТАЯ

Теория Бора глазами современников – Явление, образ, понятие, формула – Атомная механика Гейзенберга

Через несколько лет космонавты возвратятся с Марса. Они привезут с собой тонны киноплёнки и образцов. Но не в этом будет главная ценность их полёта – всё это могут доставить и роботы. Космонавты привезут с собой впечатления. Об этих впечатлениях им будет очень трудно рассказать. Прежде всего потому, что в земном языке нет слов, которые бы точно соответствовали всему тому, что их поразило.

^{Глава шестая}

Но с этой трудностью они сообща справятся уже во время долгого обратного пути: перебирая недавние впечатления, они будут вынуждены придумать для них новые слова или непривычные сочетания слов – иначе они просто не смогут между собой договориться.

Настоящие трудности начнутся потом, по возвращении на Землю, когда они захотят рассказать о своих впечатлениях всем остальным. Ведь все те, кто не летал вместе с ними, будут понимать их слова по-старому, по-земному. Пройдёт немалое время, прежде чем слушатели овладеют новыми словами и станут вкладывать в них тот же смысл, что и сами космонавты.

Так происходит всегда: в науке и в искусстве, в технике и политике. Значение слов определяется традицией и привычкой, но их истинный смысл выясняется только в контексте. Узнавая новые явления, человек называет их старыми словами, но вкладывает в них другой смысл – смысл, который нельзя понять, если не знать происхождения новых понятий и их связей с прежними.

Это стремление хоть как-то отделить нужное значение слов от привычного приводит к появлению жаргона в науке, который вызывает понятное недовольство редакторов. Дилетанты от науки впадают в другую крайность: они воспринимают все её утверждения буквально, не зная той сложной системы условностей, которыми окружено любое утверждение науки. Сплошь и рядом из-за этого возникают недоразумения – смешные для физиков, огорчительные для самих дилетантов.

В конце прошлого – начале нашего века физики открыли новый мир – мир атома. Их ошеломило богатство новых явлений, форм и закономерностей. Они наскоро придумали им названия, но не вполне понимали, какой смысл в них надо вкладывать. В поисках однозначности многие из них вообще перестали доверять словам и верили только уравнениям. То было «смутное время» в физике, хотя именно тогда были добыты основные факты, которыми до сих пор жива наука об атоме. Пока что мы стремились узнать как можно больше таких фактов. Теперь попытаемся найти слова, чтобы правильно об этих фактах рассказать.

^{Новый мир – мир атома}

Рассказ о квантовой механике мы начали с определения: квантовая механика – это наука о строении и свойствах атомных объектов и явлений. Сразу же оказалось, что мы не в состоянии определить понятие «атом». Вполне однозначно мы не можем определить его и сейчас, хотя знаем о нём гораздо больше, чем вначале. В первой части мы подробно проследили, как под влиянием опытов умозрительные образы сменялись более сложной, менее наглядной, но зато и более реальной картиной атома.

В начале века уже никто не верил в атомы – твёрдые шарики, и от первоначальных представлений Демокрита сохранилась только одна идея: в природе существует предел делимости материи, после которого она переходит в новое качество.

Учёные постепенно доказали, что атом действительно существует, но совсем не похож на атом Демокрита. Узнали, что он состоит из ядра и электронов. Выяснили, что он может испускать лучи. Установили, что это излучение связано с движением электронов в атоме. Необходимо было найти законы этого движения. И тогда изобрели квантовую механику.

Начал создавать её Нильс Бор: он первый отчётливо понял, что постоянная Планка h не забавная гипотеза, помогающая объяснить спектр абсолютно чёрного тела, а физическая реальность, которую необходимо учитывать при объяснении всех атомных явлений. На основе этой идеи он сформулировал свои знаменитые постулаты – о стационарном состоянии и квантовом скачке. Постулаты Бора противоречили всей прежней физике, однако внесли неожиданный порядок в первозданный хаос новых опытных фактов.

Но наука ничего не принимает на веру – даже если это постулаты Бора. Надо было либо отбросить их, либо устранить их противоречия. Как удалось решить эту задачу и построить последовательную теорию атомных явлений – об этом и будет рассказано дальше.

ТЕОРИЯ БОРА ГЛАЗАМИ СОВРЕМЕННИКОВ

В 1949 году Альберт Эйнштейн так вспоминал об эпохе создания квантовой механики.

«Все мои попытки приспособить теоретические основы физики к новым результатам потерпели полную неудачу. Это было так, точно из-под ног ушла земля и нигде не видно было твёрдой почвы, на которой можно было бы строить. Мне всегда казалось чудом, что этой колеблющейся и полной противоречий основы оказалось достаточно, чтобы позволить Бору – человеку с гениальной интуицией и тонким чутьём – найти главнейшие законы спектральных линий и электронных оболочек атомов, включая их значение для химии. Это мне кажется чудом и теперь. Это наивысшая музыкальность в области мысли».

Издали всегда много легче и надёжнее оценивать значение открытий. Современникам гораздо труднее: они ещё слишком мало знают, чтобы отличить достоинства теории от её недостатков. Современники Бора, несмотря на все успехи его теории, были глубоко не удовлетворены.

То, что они писали и говорили в то время, для нас непривычно и поучительно.

«Если это правильно, то это означает конец физики как науки»

(А.Эйнштейн, 1913).

«Атом существует вечно, мы это, бесспорно, знаем. Но понимаем ли мы это? Нет, не понимаем. Наше непонимание мы прикрываем непонятными же квантовыми условиями. Процесс лучеиспускания – это акт возрождения разрушенного атома. Механизм его нам непонятен. Своё непонимание мы вновь прикрываем непонятным квантовым условием, второй гипотезой Бора… Весь этот метод Бора основан на квантовании – совершенно слепом, мало логическом процессе мысли, на формальной, если можно так выразиться, интуиции»

(Д. С. Рождественский, 1919).

«Теория квантов подобна другим победам в науке: месяцами вы улыбаетесь им, а затем годами плачете»

(Г. Крамерс, 1920).

«Законы квантования в своей теперешней формулировке носят до некоторой степени теологический характер, для натуралиста совершенно неприемлемый, так что многие учёные по справедливости возмущаются этими Bauern-Regeln (крестьянскими законами)»

(П. Эпштейн, 1922).

«Мы неизмеримо далеки от такого описания атомного механизма, которое позволило бы проследить, например, все движения электрона в атоме или понять роль стационарных состояний…

…Теорию квантов можно сравнить с лекарством, излечивающим болезнь, но убивающим больного»

(Г. Крамерс, X. Гольст, 1923).

«Физика теперь снова зашла в тупик, во всяком случае для меня она слишком трудна, и я предпочёл бы быть комиком в кино или кем-нибудь вроде этого и не слышать ничего о физике!»

(В. Паули, 21 мая 1925 г.).

Даже у самого Бора тогдашнее положение теории вызывало «чувство грусти и безнадёжности».

Это единодушное недовольство трудно понять тем, кто совсем незнаком со структурой и методами нынешней физики. Чтобы осознать причину подобного недовольства, необходимо хотя бы в общих чертах представить себе внутреннюю логику естественных наук. Занятие это непривычное и, пожалуй, непростое, однако для понимания квантовой механики абсолютно необходимое.

В учебнике квантовой механики человека неискушённого прежде всего поражает обилие формул и уравнений. Довольно скоро он убеждается, однако, что это необходимая, но не самая трудная часть науки об атоме. Гораздо сложнее понять, что скрывается за формулами или, как принято говорить в физике, «понять физический смысл формул». Трудности эти не следует преувеличивать, но, поскольку они всё-таки реально существуют, помнить о них полезно. Их суть в том, что многие слова, привычные нам с детства, в квантовой механике мы вынуждены использовать в необычном смысле.

^{Теория Бора глазами современников}

ЯВЛЕНИЕ, ОБРАЗ, ПОНЯТИЕ, ФОРМУЛА

Всякое познание природы начинается с ощущений: ребёнок трогает рукой деревянную лошадь, слушает голос матери, сосёт соску – словом, с первых же дней жизни он попадает в мир явлений, которые рождают у него свои образы. Для этих явлений и образов у него нет пока даже названий – лишь постепенно он начинает узнавать слова, им соответствующие, и обучается понимать, какие образы скрываются за словами других людей. Довольно скоро он догадывается, что одни и те же слова рождают у разных людей различные образы, и, наконец, выясняет, что есть слова (или группы слов), которые не связаны непосредственно с образами, хотя и появились благодаря им. Это понятия.

Понятия обобщают коллективный опыт, они намеренно лишены деталей, присущих конкретным образам, и потому пригодны для общения разных людей между собой.

Развиваясь, ребёнок начинает мыслить понятиями, он вдруг понимает, что «деревянная лошадь» – только одна из «игрушек», а «вода» – это не обязательно морская вода, вода из реки или из-под крана, – это просто вода. Способность к абстракции – первый признак взрослого человека и непременное условие всякой науки. Иначе она превратилась бы в беспорядочный набор фактов.

Однако и понятия не вполне однозначны – хотя бы потому, что рождают у разных людей различные образы. Даже в повседневной жизни подобное может привести к недоразумениям. В науке это ещё опаснее: ведь её результаты претендуют на объективный смысл и не должны зависеть от капризов воображения или мнений отдельных людей. Поэтому в науке каждому понятию сопоставлен набор символов и чисел и заданы строго определённые правила действий над ними. Этим достигается та однозначность науки, которая позволяет общаться между собой учёным разных стран и поколений.

Связь:

явление → образ → понятие → формула

можно изобразить схематически и пояснить на примере возникновения понятия волна.

^{Понятие волна}

Люди наблюдали различные явления: волны на море и круги от брошенного камня в пруду, распространение света и колебания струны. У них при этом возникали вполне конкретные образы. Постепенно им стало ясно, что этим разным явлениям присуще нечто общее: все они связаны с некоторым периодическим процессом, характерные признаки которого – явления интерференции и дифракции (о них мы подробно говорили раньше). Так возникло новое понятие волна. А чтобы сделать его вполне однозначным, с ним связали четыре характеристики: амплитуду A, скорость распространения v, длину волны λ и частоту ν.

Точно так же понятие частица не предполагает, что у вас при этом возникает конкретный образ бильярдного шара, дроби или пылинки. Физику вполне достаточно знать, что частица – это некий объект, внутренним строением которого он не интересуется, но у которого есть масса m, скорость v, импульс p=m∙v и траектория движения, которую физик может проследить.

Траектория – ещё одно новое понятие, которое необходимо использовать, определяя понятие «движение частицы». На первый взгляд процесс этот беспределен: чтобы определить понятие, нужно использовать другое понятие, которое вновь необходимо определять, и т. д. Однако это не так. В физике существует несколько первичных понятий, которые можно определить без ссылок на другие, а именно – задав точные рецепты измерения величин, которые этим понятиям соответствуют. Таковы понятия: время t, координата x, заряд e и т. д.

Траектория движения частицы задана, если в каждый момент времени t мы можем указать положение частицы – её координаты x – в пространстве. Нужно только либо измерить координаты x в моменты времени t, либо вычислить их. Первую задачу решает экспериментальная физика, вторую – теоретическая. Однако вторую задачу можно решить лишь в том случае, если известны физические законы, по которым частица движется.

Что есть физический закон? Это постоянная связь явлений и величин, записанная с помощью математических символов в виде уравнений. Для каждой группы явлений существуют свои законы движения: в механике – одни законы (уравнения Ньютона), в электродинамике – другие (уравнения Максвелла). А всё вместе взятое в совокупности: понятия, физические законы, формулы, их выражающие, и следствия из них – принято называть точной наукой.

Каждая законченная наука должна быть логически непротиворечива. Это означает, в частности, что каждое понятие в рамках этой науки можно употреблять только в одном строго определённом смысле. Добиться этого трудно, но необходимо, поскольку учёные, как и все люди, общаются между собой не формулами, а с помощью слов. Формулы нужны им лишь для однозначной записи результатов исследований.

^{Логическая непротиворечивость}

Примером логически завершённой науки долгое время служила механика, которую за её совершенство назвали классической. Механика – это наука о движении тел. Её законам подчиняются почти все видимые движения в природе – будь то порхание мотылька или полёт планет. Классическое совершенство механики долгое время гипнотизировало учёных, и они пытались объяснить с её помощью не только механические, но и все другие движения в природе.

«Все единодушно признают, что задачей физики является подведение всех явлений природы под простые законы механики»,

– писал Генрих Герц даже в 1894 году, на пороге революции в физике.

Движение – одно из самых сложных понятий физики. С ним воображению вольно связывать любые образы – от шелеста листьев до бегущего носорога. Однако даже самые фантастические картины движения, доступные нашему воображению, содержат нечто общее: перемещение одних объектов относительно других с течением времени. После введения понятия траектории понятие движения становится более определённым – вероятно, потому, что при этом оно вновь приобретает черты наглядности. Только теперь эта наглядность особого сорта: возникающий образ никак не похож на мотылька или носорога. И всё же наглядность, связанная с понятием траектории, опасна. Действительно, частое повторение словосочетания «траектория движения» приводит к тому, что оба понятия просто перестают различать, хотя совпадают они только для одного вида движений – механических. Но поскольку условия развития и воспитания человека таковы, что ему трудно вообразить иное движение, кроме механического, то и все другие виды движения он пытается осмыслить также с помощью понятия траектории. Это ему, естественно, не удаётся, например, при попытке осмыслить электрические движения. Можно, конечно, представить себе высоковольтную линию передачи или междугородный телефон и вообразить, что провода и есть «траектории» электрических сигналов, однако реального смысла такие образы не имеют: волны электрических сигналов не жидкость, текущая по проводам.

Определить понятие движения в квантовой механике ещё сложнее. Более того: именно тот день, когда это понятие удалось определить непротиворечиво, можно считать днём рождения современной квантовой механики.

АТОМНАЯ МЕХАНИКА ГЕЙЗЕНБЕРГА

Когда прошёл восторг первых успехов теории Бора, все вдруг трезво осознали простую истину: схема Бора противоречива. От такого факта некуда было укрыться, и им объясняется тогдашний пессимизм Эйнштейна, равно как и отчаяние Паули.

Физики вновь и вновь убеждались, что электрон при движении в атоме не подчиняется законам электродинамики: он не падает на ядро и даже не излучает, если атом не возбуждён. Всё это было настолько необычно, что не укладывалось в голове: электрон, который «произошёл» от электродинамики, вдруг вышел из-под контроля её законов. При любой попытке найти логический выход из подобного порочного круга учёные всегда приходили к выводу: атом Бора существовать не может.

Однако природе нет дела до наших логических построений: атомы вопреки всякой логике устойчивы и, насколько мы знаем, существуют вечно. А если законы электродинамики не могут обеспечить устойчивость атома, тем хуже для них, значит, движение электрона в атоме подчиняется каким-то другим законам.

Впоследствии оказалось, что постулаты Бора – это удачная догадка о тогда ещё неизвестных, но фундаментальных законах, которые чуть позже назовут законами квантовой механики.

Квантовая механика – это наука о движении электронов в атоме. Она первоначально так и называлась: атомная механика. А Вернер Карл Гейзенберг – первый из тех, кому выпало счастье эту науку создавать.

Весной 1925 года по приглашению Бора Гейзенберг приехал в Копенгаген из Мюнхена, где только что закончил университет под руководством Зоммерфельда. В Дании он сразу же попал в обстановку научных споров, в среду людей, для которых физика стала главным делом жизни. Полгода прошли в работе и бесконечных дискуссиях всё о том же: почему электрон – объект электродинамики – не подчиняется её законам в атоме и в чём причина удивительной силы нелогичных постулатов Бора? Наконец, что означает в этом случае само понятие «движение»?

Наступило лето. В июне заболевший Гейзенберг уехал отдохнуть на остров Гельголанд в Балтийском море. Отдохнуть ему не удалось – там он вдруг понял неожиданную истину: нельзя представлять себе движение электрона в атоме как движение маленького шарика по траектории. Нельзя, потому что электрон не шарик, а нечто более сложное, и проследить движение этого «нечто» столь же просто, как движение бильярдного шара, нельзя. И если эта догадка верна, то, пытаясь проследить траекторию электрона в атоме, мы задаём природе незаконные вопросы вроде тех, которые задавали в древности: «На чём держится Земля?», «Где у неё край?» А немного позднее: «Где у неё верх и низ?»

Гейзенберг утверждал: уравнения, с помощью которых мы хотим описать движение в атоме, не должны содержать никаких величин, кроме тех, которые можно измерить на опыте. А из опытов следовало, что атом устойчив, состоит из ядра и электронов и может испускать лучи, если его вывести из состояния равновесия. Эти лучи имеют строго определённую длину волны и, если верить Бору, возникают при перескоке электрона с одной стационарной орбиты на другую. При этом схема Бора ничего не говорила о том, что происходит с электроном в момент скачка, так сказать «в полёте» между двумя стационарными состояниями. А все, и Гейзенберг в том числе, по привычке добивались ответа именно на этот вопрос. Но в какой-то момент ему стало ясно: электрон не бывает «между» стационарными состояниями, такого свойства у него просто нет!

А что есть? Есть нечто, чему он не знал пока даже названия, но был убеждён: оно должно зависеть только от того, куда перешёл электрон и откуда.

До сих пор, исходя из уравнений электродинамики, все пытались найти гипотетическую траекторию электрона в атоме, которая непрерывно зависит от времени и которую можно задать рядом чисел x₁, x₂, x₃, …, отмечающих положение электрона в моменты времени t₁, t₂, t₃. Гейзенберг утверждал: такой траектории в атоме нет, а вместо непрерывной кривой X(t) есть набор дискретных чисел X_nk, значения которых зависят от номеров n и k начального и конечного состояний электрона.

Это важное и довольно сложное утверждение можно пояснить простой аналогией. Представьте, что перед вами шахматная доска, по которой ползёт муха. При желании можно очень подробно проследить её путь, если в каждый момент времени t отмечать её положение x. По этим измерениям вы затем легко сможете начертить кривую X(t), то есть траекторию движения мухи. Если у вас нет такого желания, то вы можете ограничиться только указанием квадратов, которые посетила муха на своём пути. Это тоже даст некую информацию о её перемещении, но легко сообразить, что с точки зрения классической механики такое описание будет неполным.

Теперь представьте, что вы за той же доской играете в шахматы и решили, например, сделать традиционный ход e2-e4. В этом случае результат вашего хода совершенно не зависит от того, по какому пути вы передвинули пешку. Это и понятно: правила шахматной игры не зависят от законов механики, а потому и не нуждаются в понятии траектории.

Гейзенберг сообразил, что «правила атомной игры» тоже не требуют знания траектории. В соответствии с этим ой представил состояние атома в виде бесконечной шахматной доски, в каждом квадрате которой написаны числа X_nk. Естественно, что значения этих чисел зависят от положения квадрата на «атомной доске», то есть от номера n строки (начальное состояние) и номера столбца k (конечное состояние), на пересечении которых стоит число X_nk.

^{Состояние атома в виде бесконечной шахматной доски}

Никого не удивляет тот факт, что запись шахматной партии позволяет повторить её даже много лет спустя. Конечно, при этом мы не узнаем, как долго она длилась в действительности, что переживали при этом шахматисты и как именно двигали они пешки и фигуры. Но это и неважно, коль скоро нам интересна только игра сама по себе.

Точно так же, если нам известны числа X_nk– эта своеобразная запись «атомной игры», – мы знаем об атоме всё необходимое, чтобы предсказать его наблюдаемые свойства: спектр атома, интенсивность его спектральных линий, число и скорость электронов, выбитых из атома ультрафиолетовыми лучами, а также многое другое.

Числа X_nk нельзя назвать координатами электрона в атоме. Они заменяют их, или, как стали говорить позже, представляют их. Но что означают эти слова – на первых порах не понимал и сам Гейзенберг.

Действительно, вместо таблицы чисел {Х_nk} с таким же успехом можно нарисовать всё, что угодно, скажем цветок, и сказать, что именно он представляет движение электрона в атоме. Однако тут же с помощью Макса Борна (1882–1970) и Паскуаля Иордана удалось понять, что таблица чисел {Х_nk} не просто таблица, а матрица.

Что означает это слово? Математика имеет дело с величинами и символами, и каждый символ в ней подчиняется своим правилам действия. Например, простые числа можно складывать и вычитать, умножать и делить, и результат этих действий не зависит от того, в каком порядке мы эти действия производим: 5+3 = 3+5 и 5∙3 = 3∙5.

Но в математике есть и более сложные объекты: отрицательные и комплексные числа, матрицы и т. д. Матрицы – это таблицы величин типа {X_nk}, для которых существуют свои строго определённые операции сложения и умножения.

^{Матрицы}

В частности, результат перемножения двух матриц зависит от порядка, в котором они перемножаются, и

{X_nk}∙{P_nk} ≠ {P_nk}∙{X_nk}

Это правило может показаться странным и подозрительным, но никакого произвола в себе не содержит. По существу, именно это правило отличает матрицы от других величин. Менять его по своей прихоти мы не вправе – в математике тоже есть свои незыблемые законы. Законы эти, независимые от физики и всех других наук, закрепляют на языке символов все мыслимые логические связи в природе. Причём заранее неизвестно, реализуются ли все эти связи в действительности.

Конечно, математики о матрицах знали задолго до Гейзенберга и умели с ними работать. Однако для всех было полной неожиданностью, что эти странные объекты с непривычными свойствами соответствуют чему-то реальному в мире атомных явлений. Заслуга Гейзенберга и Борна в том и состоит, что они преодолели психологический барьер, нашли соответствие между свойствами матриц и особенностями движения электронов в атоме и тем самым основали новую, атомную, квантовую, матричную механику.

Атомную – потому, что она описывает движение электронов в атоме.

Квантовую – ибо главную роль в этом описании играет понятие кванта действия h.

Матричную – поскольку математический аппарат, необходимый для этого, – матрицы.

В новой механике каждой характеристике электрона: координате x, импульсу p, энергии E – сопоставлялись соответствующие матрицы: {X_nk}, {P_nk} и {E_nk} – и уже для них (а не для чисел) записывали уравнения движения, известные из классической механики. А затем надо было только проследить, чтобы все действия над величинами {X_nk}, {P_nk}, {E_nk} не нарушали правил математики.

Гейзенберг установил даже нечто большее: он выяснил, что квантовомеханические матрицы координаты {X_nk} и импульса {P_nk} – это не вообще матрицы, а только те из них, которые подчиняются коммутационному (или перестановочному) соотношению:

{X_nk}∙{P_nk} − {P_nk}∙{X_nk} = i ħ,

где i = √ (−1), а ħ = h/2π.

В новой механике это перестановочное соотношение играло точно такую же роль, как условие квантования Бора в старой механике. И точно так же, как условия Бора выделяли стационарные орбиты из набора всех возможных, коммутационное соотношение Гейзенберга выбирает из множества всех матриц только квантовомеханические.

Не случайно, что в обоих случаях – и в условиях квантования Бора, и в уравнениях Гейзенберга – необходимо присутствует постоянная Планка h. Как мы увидим в дальнейшем, постоянная Планка непременно входит во все уравнения квантовой механики, и по этому признаку их можно безошибочно отличить от всех других уравнений.

Новые уравнения, которые нашёл Гейзенберг, были непохожи ни на уравнения механики, ни на уравнения электродинамики и потому никак не могли их нарушить. С точки зрения этих уравнений состояние атома полностью задано, если известны все числа X_nk или P_nk, то есть известны матрицы {X_nk} или {P_nk}. Причём структура этих матриц такова, что в невозбуждённом состоянии атом не излучает.

Обратите внимание: в наших рассуждениях нигде не использовано понятие «движение электрона в атоме». Теперь оно просто не нужно. Согласно Гейзенбергу движение – это не перемещение электрона-шарика по какой-либо траектории вокруг ядра.

Движение – это изменение состояния системы во времени, которое описывается матрицами {X_nk} и {P_nk}.

Вместе с вопросами о характере движения электрона в атоме сам собой отпал и вопрос, об устойчивости атома. С новой точки зрения в невозбуждённом атоме электрон покоится, а потому и не должен излучать.

Теория Гейзенберга была внутренне непротиворечива, чего схеме Бора так недоставало. Вместе с тем она приводила к таким же результатам, что и правила квантования Бора. Кроме того, с её помощью удалось наконец показать, что гипотеза Планка о квантах излучения E=h∙ν – это простое и естественное следствие новой механики.

Можно и дальше пытаться без формул излагать следствия механики Гейзенберга. Однако это будет так же неестественно, как попытка пересказать словами музыку.

Чтобы постигнуть глубины квантовой механики, необходимо штудировать математику, учиться работать с матрицами – одним словом, надо овладевать ремеслом физика.

В матрицах нет ничего мистического или непостижимого: изучить их значительно проще, чем усвоить, скажем, латынь. Но, пожалуй, не стоит этого делать в автобусе. Этому, как и музыке, надо учиться специально. Иначе неприятный осадок полузнания отравит даже то удовольствие, которое доступно каждому: без формул и вычислений почувствовать красоту образов и законченность понятий любой глубокой науки.

^{Глубины математики}

Появление матричной механики Гейзенберга физики встретили с огромным облегчением:

«Механика Гейзенберга снова вернула мне радость жизни и надежду. Хотя она и не даёт решения загадки, но я верю, что теперь снова можно продвигаться вперёд»,

– писал Паули 9 октября 1925 года.

^{Возвращение радости жизни}

Свою веру он вскоре сам же и оправдал. Применив новую механику к атому водорода, он получил те же формулы, что и Нильс Бор на основе своих постулатов. Конечно, при этом возникли новые трудности, однако это уже были трудности роста, а не безнадёжность тупика.