Текст книги "Далекое будущее Вселенной Эсхатология в космической перспективе"

Автор книги: Джордж Эллис

сообщить о нарушении

Текущая страница: 6 (всего у книги 34 страниц)

5.2. Глобальное время

Мы, несомненно, живем во Вселенной, в которой существует глобальное время (или по крайней мере «достаточно глобальное время»), охватывающее историю мира от Большого взрыва до настоящего времени. Более того, есть серьезные основания полагать, что самим нашим существованием мы обязаны факту существования в нашей Вселенной глобального времени: наша жизнь основана на химии углерода, а для возникновения углерода требуется долгая история нескольких поколений звезд. Таким образом, у нас есть все основания спросить: каковы необходимые и достаточные условия для существования глобального времени в модели мира?

Верное предположение, прямо связанное с этим вопросом, высказал Лейбниц. По его мнению, время – не что иное, как упорядоченная последовательность событий (в отличие от взглядов Ньютона и Кларка, считавших, что время первично по отношению к событиям), а порядок событий определен причинно–следственными отношениями (подробнее см. [18], с. 42–50). В общей теории относительности существует красивая теорема, представляющая эту мысль в строго математической форме. Этой теоремой мы обязаны Хокингу [5], и она гласит, что пространство–время допускает функцию глобального времени тогда и только тогда, когда в нем существует стабильная каузальность.Позволю себе объяснить технические термины, употребляемые в этой теореме.

Прежде всего: как описать глобальное время математически? Вообразим себе часы (например, вибрирующую частицу), присутствующие во Вселенной с самых первых мгновений ее существования. Они движутся по кривой в пространстве–времени. Показания этих часов (то есть их последовательные вибрации) можно изобразить как монотонно возрастающую функцию на этой кривой, которая представляет движение со скоростью меньшей, чем скорость света, поскольку часы имеют массу. Это временная функция для этих часов. Теперь представим себе семейство таких часов, заполняющих собой все пространство–время, и предположим, что существует единственная функция пространства–времени, являющаяся временной функцией для всех этих часов. Говоря технически, эта функция называется глобальной временной функцией —ее можно рассматривать как научный синоним глобального времени. Теорема утверждает, что такое глобальное время существует в данном пространстве–времени тогда и только тогда, когда пространство–время стабильно каузально. Что это значит? В общей теории относительности Лейбницевы каузальные отношения, упорядочивающие события, имеют форму так называемых световых конусов. Ограниченная скорость физических сигналов (не больше скорости света) предполагает, что не все события в пространстве–времени могут быть каузально связаны друг с другом. Структура световых конусов определяет, какие события могут служить причинами других событий, а какие не могут. Траектории, по которым каузальные влияния могут распространяться, называются каузальными траекториями.Мы называем пространство–время стабильно каузальным,если в нем нет замкнутых каузальных траекторий (говоря технически, пространство–время строго каузально),и такие траектории не могут возникнуть в результате слабых возмущений гравитационного поля (которое математически выражается так называемой метрикой Лоренца).Появление подобных траекторий приводит к временным петлям, что разрушает саму идею глобального времени [31]31
  Необходимо отметить, что существование глобального времени, понимаемого как глобальная временная функция, не подразумевает существования во всей Вселенной какого‑то единого «настоящего», то есть того, что все часы во Вселенной должны показывать одно и то же. Это потребовало бы более строгих каузальных условий [6].


[Закрыть].

В общей теории относительности гравитационное поле жестко связано с метрическими свойствами пространства–времени, иначе говоря, с теми аспектами пространства и времени, которые поддаются измерению. Не будь пространство–время стабильно каузально, любые слабые возмущения гравитационного поля могли бы приводить к сколь угодно большим различиям в результатах измерений пространства и времени. Иными словами, любая ошибка могла бы менять результаты измерений на любую величину. А поскольку ошибки при измерении неизбежны, в такой ситуации ни одно измерение не давало бы надежных результатов. Под вопросом оказалась бы сама возможность заниматься физикой, по крайней мере заниматься ею так успешно, как мы делали это до сих пор. Здесь мы можем наблюдать необычное взаимодействие хорошей физики и красивой математики. Элегантная теорема Хокинга связывает друг с другом время, причинность и саму возможность физики.

5.3. Удивительные алгебры

Приведенная выше «история глобального времени» полностью основана на классической физике, иными словами, выстроена без учета квантовых эффектов. Мы знаем, однако, что достаточно близко к изначальной сингулярности (математически соответствующей Большому взрыву) и достаточно глубоко в структуре Вселенной (ниже так называемого планковского масштаба)на сцене доминируют квантовые эффекты, и в этом случае предстающая нам картина разительно отличается от того, к чему мы привыкли в классической физике. Из‑за принципа неопределенности Гейзенберга пространство–время становится размытым, и мы уже не можем представить историю какой‑либо частицы в пространстве–времени в виде четко определенной траектории. Ниже планковского масштаба вещество Вселенной можно представить себе как собрание квантовых флуктуации, множество состояний, непрерывно возникающих и распадающихся.

Эти представления идут из квантовой механики, однако мы вполне уверены, что на фундаментальном уровне (ниже планковского масштаба) квантовую физику следует объединить с теорией гравитации. Наилучший классический кандидат на теорию гравитации – общая теория относительности Эйнштейна. Нам необходима модель мира, в которой пространство–время общей теории относительности возникает из квантовых флуктуации, когда эволюция пересекает планковский порог. В наше время общепризнанной модели такого рода не существует, хотя известны многочисленные попытки ее создать. В дальнейшем я представлю красивую математическую структуру, по–видимому, обладающую всеми необходимыми для объединения свойствами. Даже если эта структура не будет использоваться в окончательном объединении, она открывает увлекательные перспективы возможного взаимодействия между такими важными понятиями физики, как пространство, время, динамика, каузальность и вероятность – понятиями, которые, несомненно, будут использоваться при объединении. Эта математическая структура называется С*-алгеброй [32]32
  Для целей нашей статьи определение С*-алгебры необязательно; его можно найти в любом учебнике по функциональному анализу или по высшей квантовой механике.


[Закрыть].

С*-алгебры хорошо известны в квантовой механике. Стандартная математическая формулировка этой физической теории дается в терминах состояний данной квантовой системы, которые представляются как векторы в пространстве, называемом гильбертовым.Однако существует и другая формулировка квантовой механики, а именно формулировка в терминах С*-алгебр. Эта формулировка даже более удовлетворительна, чем стандартная. Почему? Потому что элементами этой алгебры являются измеряемые свойства квантовых систем (так называемые наблюдаемые); а измеряемые свойства в физике всегда более фундаментальны, чем чисто теоретические.

Как ни удивительно, С*-алгебры можно использовать и для формулирования общей теории относительности Эйнштейна. Обычно общая теория относительности формулируется в терминах пространственно–временной геометрии, но Роберт Герох [4] продемонстрировал, что возможна эквивалентнаяформулировка в терминах семейства всех гладких функций в пространстве–времени, а это семейство собственно и есть С*-алгебра. Иными словами, можно забыть о самом пространстве–времени и иметь дело исключительно с С*-алгеброй гладких функций [33]33
  Идея Героха была развита далее в [8, 9, 16, 17].


[Закрыть].

Эта алгебра гладких функций обладает одним простым свойством: умножение двух функций не зависит от порядка факторов, то есть если fи g– гладкие функции в пространстве–времени, то f∙ g =g∙ f; такое умножение мы называем коммутативным,а алгебры, обладающие таким свойством, – коммутативными алгебрами.Оказывается, от этого простого свойства зависят многие важные черты геометрических пространств. Это становится очевидно, если мы от него избавимся. Алгебры, лишенные этого свойства, именуются некоммутативными алгебрами.Ален Коннэ [1] предложил рассматривать эти алгебры так же, как алгебры гладких функций, и допустить, что они также определяют некоторые пространства. Эта идея сработала, и эти новые пространства сейчас называются соответственно некоммутативными пространствами.Геометрическая теория, выросшая из исходной работы Коннэ, названа некоммутативной геометрией.Особую роль в этой новой геометрической теории играют пространства, определяемые в терминах некоммутативных С*-алгебр.

Некоммутативные пространства представляют собой мощные обобщения обычных (коммутативных) пространств. Многие пространства, которые до сих пор считались трудно описываемыми или патологическими, изящно ложатся в картину некоммутативной геометрии. Удивительное свойство некоммутативных пространств – их глобальный характер. В понятийном поле некоммутативной геометрии все локальные понятия, такие, как понятия точки и ее окрестностей, бессмысленны в принципе.

Подведем итоги. С*-алгебры можно использовать:

1. Для формулировки квантовой механики.

2. Для формулировки общей теории относительности.

3. Для определения некоммутативного пространства.

В свете этих результатов вполне естественно искать С*-алгебру, которая могла бы выполнять все это вместе. При этом квантовая механика и общая теория относительности были бы соответственно обобщены и объединены в теоретическом поле некоммутативного пространства. Ценой такого объединения стала бы нелокальность. Дальше я приму, что такая С*-алгебра (обозначим ее буквой А) найдена, и предположу, что она корректно описывает модель физики ниже планковского порога. Отметим, что, даже не зная точной формы алгебры А, из самого ее существования можно вывести множество важных фактов, касающихся гипотетического фундаментального уровня [34]34
  В сущности, кандидатура на роль такой алгебры предлагается в [11, 12, 14, 15]. Однако, поскольку модель, представленная в этих работах, очевидно, не окончательная, мы не станем здесь углубляться в ее детализацию.


[Закрыть]. Важно отметить, что недавно были обнаружены некоторые глубокие связи между некоммутативной геометрией и такими популярными кандидатурами на финальное объединение, как теория суперструн и М–теория [3, 19].

5.4. Возникновение времени

В некоммутативной геометрии не существует понятия времени как последовательности моментов (поскольку моменты – понятия локальные), но понятие состояния физической системы остается валидным. Это вызвано тем, что понятие состояния нелокально: находиться в том или ином состоянии может система в целом. С каждой С*-алгеброй может быть связана другая алгебра, называемая алгеброй фон Неймана.Грубо говоря, алгебра фон Неймана – это С*-алгебра вместе с определенным состоянием [35]35
  Точное определение см., напр., в [20].


[Закрыть]. Это состояние исполняет две функции.

Во–первых, оно позволяет нам определить параметр t, имитирующий время.Необходимо подчеркнуть, что это не обычное время: он только имитирует время (говоря технически, t – параметр однопараметрической группы). Он подобен времени, поскольку, используя параметр t, мы можем записать динамическое уравнение, описывающее поведение системы, однако это не время в обычном смысле слова, поскольку параметр t зависит от состояния: если система переходит в иное состояние, значение параметра t меняется и вместе с ним меняется также весь динамический режим.

Во–вторых, состояние, определяемое алгеброй фон Неймана, можно рассматривать как обобщенную вероятность(обобщенную по отношению к вероятности, с которой мы встречаемся при стандартном вычислении вероятностей; строго говоря, это обобщенная мера вероятности).По определению, состояние – это функционал на алгебре фон Неймана, положительный и нормированный к единице точно так же, как всякая мера вероятности. В контексте некоммутативной геометрии вообще невозможно говорить о вероятности отдельных событий, и отсутствие времени в обычном смысле не позволяет связывать с вероятностью чувство «неопределенного ожидания». Тот, кто любит воображаемые картины, может представить себе эту обобщенную вероятность как «поле глобальных возможностей», обладающее, однако, определенной степенью реальности.

Как видим, алгебры фон Неймана являются одновременно «динамическими объектами» и «вероятностными объектами». В некоммутативном режиме любая динамика вероятностна, а у каждой вероятности есть динамический аспект. Только после прохождения планковского порога динамика и вероятность расщепляются и становятся независимыми понятиями. Квантовую механику можно рассматривать как промежуточную ступень, на которой еще сохраняется определенная связь между динамикой и вероятностью. Хорошо известно, что динамическое уравнение квантовой механики (уравнение Шредингера) описывает эволюцию вероятностей: в каждый момент времени возможны различные результаты измерений (данной измеримой величины), каждое со строго определенной вероятностью. Однако в момент измерения это «поле возможностей» схлопывается в единственное значение – то самое, которое мы получаем в результате измерения. Этот эффект, широко обсуждаемый в квантовой механике, известен под именем коллапса волновой функции(или редукции вектора состояния).До сих пор с удовлетворительным объяснением этого эффекта имеются серьезные трудности; однако в рамках некоммутативной модели оно дается очень легко [15].

Но что же у нас со временем? Как оно возникает за пределами некоммутативной эры? Математика решает эту проблему очень красиво. Если с помощью определенного отношения эквивалентности мы склеим некоторые элементы первоначальной алгебры А, то картина становится грубее: она выглядит так, как будто в дело вступают некие усредняющие процессы, и в результате различные «параметры t» сливаются воедино и делаются независимыми от состояния. Так рождается известное нам время [11].

5.5. История начала и конца

Начало и конец Вселенной в классической космологии (то есть не принимающей во внимание эффекты квантовой гравитации) известны под техническими наименованиями начальнойи конечной сингулярностей.Доказано несколько важных теорем, утверждающих, что эти сингулярности неизбежны при самых общих условиях, которым, как предполагается, удовлетворяет любая неквантовая вселенная [6]. Но что, если мы все‑таки примем во внимание эффекты квантовой гравитации? Хотя широко распространено мнение, что будущая теория квантовой гравитации (или какая‑либо иная конечная теория) избавит нас от сингулярностей, существует несколько работающих моделей, свидетельствующих об обратном. Во всяком случае, здесь возможно и «да», и «нет».

Точное математическое описание сингулярностей представляет собой сложную проблему. Тот факт, что некоторые физические величины (такие, как плотность материи и кривизна пространства–времени) при приближении к сингулярности уходят в бесконечность, заставляет нас рассматривать сингулярности не как размещенные в пространстве–времени, но, скорее, как своего рода границы пространства–времени, и если мы пытаемся распространить на эти «сингулярные границы» стандартные геометрические методы – эти методы не работают. Это – безошибочный знак того, что стандартные методы нуждаются в обобщении. Если так, почему бы не испробовать новые методы некоммутативной геометрии? И что же – оказывается, они действительно работают!

К немалому нашему удивлению, все виды сингулярности (даже сильнейшие), возникающие в общей теории относительности, поддаются анализу в терминах некоммутативной геометрии [10, 13]. Более того, этот анализ помогает нам понять, как сингулярности возникают [36]36
  Эти результаты не зависят от некоммутативной модели объединения, коротко представленной в предыдущем разделе.


[Закрыть]. Как мы уже знаем, на уровне некоммутативной геометрии понятие локализации в принципе бессмысленно, однако до некоторой степени может быть заменено понятием состояния. Показано, что в некоммутативном режиме нет разницы между сингулярным и несингулярным состояниями: все состояния существуют на равных. Однако, если мы перейдем от некоммутативного описания Вселенной к обычному коммутативному описанию, возникает обычное пространство–время со своими четко локализованными событиями, а некоторые состояния превращаются в сингулярности.

Если мы свяжем эти строгие математические результаты с предложением (кратко обрисованным в предыдущем разделе) смоделировать с помощью некоммутативной геометрии фундаментальный уровень физики, то нам откроется возможность новой интерпретации. Как мы уже видели, на вопрос о том, может ли будущая теория квантовой гравитации изгнать из нашего космологического сценария сингулярности, давались два взаимоисключающих ответа – «да» и «нет»; теперь же на сцену выходит третья возможность – фундаментальный уровень физики (ниже планковского масштаба) оказывается вневременным и внепространственным, и вопрос о существовании начальной и конечной сингулярностей в отношении этой эры лишен смысла. С некоммутативной точки зрения мир «регулярен», хотя и резко отличается от мира постпланковской эпохи. Только когда Вселенная совершает «фазовый переход» от некоммутативной геометрии к коммутативной, возникает пространство–время вместе со своими сингулярными границами. Следовательно, с точки зрения макроскопического наблюдателя, всегда находящегося в пространстве–времени, это выглядит так, как будто Вселенная имела начало (начальную сингулярность) в конечном прошлом и, возможно, встретит свой конец (конечную сингулярность) в конечном будущем. Сами понятия начала и конца становятся осмысленными только тогда, когда в распоряжении макроскопического наблюдателя имеется глобальное время, простирающееся (или текущее) из прошлого в будущее.

Рассмотрим дальше точку зрения макроскопического наблюдателя. Мы ищем планковскую эру «в двух направлениях»: назад во времени, пока не достигнем планковской плотности ρ _PI=10 ⁹³g.cm ^-3; и все глубже и глубже в пространстве, пока не достигнем планковского расстояния L _PI=10 ^–33cm. С нашей макроскопической точки зрения эти два направления различны, но на фундаментальном уровне нет ни пространства, ни времени; следовательно, эти два направления суть одно и то же. В этом смысле начало и конец Вселенной существуют всегда и везде.

5.6. Результаты и предположения

В предыдущих разделах я представил некоторые новые идеи, относящиеся к проблеме времени в современных космологических и физических исследованиях. Я сделал это в том порядке, который кажется мне наиболее подходящим для читателя, пробирающегося по логическим лабиринтам современных физических теорий и моделей. Попробуем теперь сложить из кусочков информации, добытых на этом пути, более связный космический сценарий.

Начнем с фундаментального уровня. Пространства нет, времени – тоже. Слова «начало» и «конец» не имеют никакого смысла. Вселенная просто существует. Мало сказать, что все физические силы едины – это целое максимально замкнуто на понятийном уровне. Такие, казалось бы, различные понятия, как динамика, причинность, вероятность (и некоторые другие, о которых я не имел случая упомянуть) всего лишь различные аспекты одной и той же математической структуры. Отсюда вопрос: почему это «совершенное состояние» оказалось нестабильным, почему Вселенная вынуждена была перешагнуть через планковский порог? Думаю, этот вопрос неверно поставлен. Мы склонны думать об этой «зародышевой эпохе» как о находящейся «в начале». Однако, как мы уже видели, можно считать, что на расстояниях ниже планковского масштаба она существует даже и сейчас. Если это так, то фундаментальный уровень все еще существует [37]37
  Слова «все еще» не вполне адекватны по отношению к существованию вне времени, однако сейчас мы говорим со своей точки зрения, для которой время существует.


[Закрыть], и он не перешагнул через планковский. Существование порога и все, что происходит на нашей стороне – просто часть некоммутативной игры [38]38
  Некоторые технические детали, вероятно, помогут читателю лучше понять эти рассуждения. Математическая структура некоммутативного режима определяется С*-алгеброй А. Алгебра А имеет так называемый центр —подмножество элементов А, коммутирующих со всеми остальными элементами А. Переход к коммутативной геометрии представляет собой сужение алгебры А до ее центра (или до его подмножества). Однако центр всегда принадлежит А; он относится к самой сути некоммутативного режима. Именно в этом центре обитаем мы.


[Закрыть].

Мы знаем механизм, действующий в планковскую эпоху, который приводит к появлению (независимого от состояния) времени в постпланковскую эпоху (он описан в разделе 4). Однако нам нужно нечто большее – время должно быть глобальным. Некоторые признаки указывают на то, что глобальный характер времени связан с некоммутативным происхождением энтропии и второго закона термодинамики [2].

Некоммутативная модель фундаментального уровня, исследованная в этой статье, весьма привлекательна с концептуальной точки зрения, однако на настоящей стадии развития носит чисто гипотетический характер. Чтобы создать из нее конкурентоспособный сценарий происхождения космоса, требуется еще много работы. Настоящая история начинается по нашу сторону планковского порога. Эта история началась, и она открыта в далекое будущее.

Литература

1. Connes, A., Non‑commutative Geometry(Academic Press, New York, London, 1994).

2. Connes, A, and Rovelli, C, "Von Neumann Algebra Automorphisms ant Time‑Thermodynamics Relation in Generally Covariant Quantum Theories", Class. Q. Grav., 11,2899–917 (1994).

3. Frohlich, J., Grandjean, O., and Recknagel, A, "Supersymmetric Quantum Theory and (Non‑commutative) Geometry", Commun. Math. Phys., 193,527–94 (1998). Hep‑th/9612205.

4. Geroch, R., "Einstein Algebras", Commun. Math. Phys., 26,271–275 (1972).

5. Hawking, S. W., "The Existence of Cosmic Time Functions", Proc. Roy. Soc. Lond., A 308,433–35 (1968).

6. Hawking S. W., and Ellis, G. F.R., The Large Scale Structure of Space‑Time(Cambridge University Press, Cambridge, 1973).

7. Heller, M., Theoretical Foundations of Cosmology(World Scientific, Singapore, London, 1992).

8. Heller, M., "Einstein Algebras and General Relativity", Int. J. Theor. Phys., 31,277–88 (1995).

9. Heller, M., and Sasin, W., "Sheaves of Eindtein Algebras", Int. J. Theor. Phys., 34,387–98 (1995).

10. Heller, M., and Sasin, W., "Non‑Commutative Structure of Singularities in General Relativity", J. Math. Phys., 37,5665–71 (1996).

11. Heller, M., and Sasin, W., "Emergence of Time", Phys. Lett. A250, 48–54 (1998).

12. Heller, M., and Sasin, W., "Non‑Commutative Unification of General Relativity and Quantum Mechanics", Int. J. Theor. Phys., 38,1619–42 (1999).

13. Heller, M., and Sasin, W., "Origin of Classical Singularities", Gen. Rel. Grav., 31,555–70 (1999).

14. Heller, M., Sasin, W., and Lambert, D., "Groupoid Approach to Non‑commutative Quantization of Gravity", J Math. Phys., 38,5840–53 (1997).

15. Heller, М., Sasin, W., and Odrzygozdz, Z., "State Vector Reduction as a Shadow of Non‑commutative Dynamics", J. Math. Phys., 41,5168–79 (2000).

16. Landi, G., and Marmo, G., "Lie Algebra Extensions and Abelian Monopoles", Phys. Lett., В 195,429–34 (1987).

17. Landi, G., and Marmo, G., "Einstein Algebras and the KaluzaKlein Monopole", Phys. Lett., В 210,68–72 (1988).

18. Mehlberg, H., Time, Causality, and Quantum Theory,vol.1: Essay on the Causal Theory of Time(Reidel, Dordrecht, Boston, London, 1980).

19. Seiberg, N., and Witten, E., "String Theory and Non‑commutative Geometry", J. High‑Energy Phys., 9909,32 (1999), hep‑th/9908142.

20. Sunder, V. S., An Invitation to von Neumann Algebras(Springer, New York, Berlin, Heidelberg, 1987).