Текст книги "Далекое будущее Вселенной Эсхатология в космической перспективе"

Автор книги: Джордж Эллис

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 34 страниц)

Лекция II. Физика

В этой лекции я вслед за Исламом (1977) разберу вопрос о физических процессах, происходящих в открытой вселенной на протяжении очень долгих временных периодов. При этом я говорю о естественной вселенной, не учитывая влияния на нее жизни и разума. Жизнь и разум мы обсудим в лекциях 3 и 4.

В основе нашего рассуждения лежат два предположения. (1) Законы физики не меняются со временем. (2) Все важные для нашей темы физические законы нам уже известны. Эти два предположения уже были выдвинуты Уэйнбергом (1977) в его описании прошлого. Я обосновываю их так же, как и он. Верим мы или нет, что ныне известные законы физики являются конечной и неизменной истиной – весьма полезно проследить следствия действия этих законов как в прошлом, так и в будущем. В экстраполяции наших знаний от известного к неизвестному лучше проявить излишнюю смелость, чем излишнюю робость. Может случиться, как уже случилось с космологическими рассуждениями Альфера, Германа и Гамова (1948), что наивное распространение известных нам законов на новую территорию приведет нас к постановке новых и важных вопросов.

В других местах (Dyson, 1972, 1978) я суммировал свидетельства в пользу того, что законы физики не меняются. Самое поразительное свидетельство недавно получено Шляхтером (1976) при измерении соотношений изотопов в образцах руды, взятой из естественного ядерного реактора, существовавшего около 2 миллиардов лет назад в урановой шахте Окло в Габоне (Maurette, 1976). Основное полученное им число – соотношение ( ¹⁴⁹Sm/ ¹⁴⁷Sm) между двумя легкими изотопами самария, не являющимися продуктами ядерной реакции. У нормального самария это соотношение составляет около 0,9; в реакторе Окло – около 0,02. По–видимому, количество ¹⁴⁹Sm было сильно уменьшено дозой горячих нейтронов, воздействию которых этот изотоп подвергся во время ядерной реакции. Если в современном реакторе мы померим сечение захвата горячих нейтронов у ¹⁴⁹Sm, то получим значение 55 kb, с сильным резонансом захвата при энергии нейтронов 0,1 eV. Детальный анализ соотношений изотопов в Окло приводит нас к выводу, что два миллиарда лет назад сечение ¹⁴⁹Sm находилось в интервале 55 ± 8 kb. Это означает, что за 2∙10 ⁹лет значение резонанса захвата не сдвигалось более, чем на 0,02 eV. Однако положение этого резонанса соответствует различию между энергиями связи в основном состоянии ¹⁴⁹Sm и в производном состоянии ¹⁵⁰Sm, захватившем нейтрон. Каждая из этих энергий составляет порядка 10 ⁹eV и сложным образом зависит от силы ядерного и кулоновского взаимодействий. То, что на протяжении 2∙10 ⁹лет между этими энергиями связи сохраняется баланс с точностью 2 доли на 10 ¹¹, показывает, что изменения величин ядерной и кулоновской сил не могли быть больше, чем несколько долей на 10 ¹⁸в год. На сегодняшний день это наиболее убедительное доказательство неизменности законов физики. То, что никаких свидетельств изменений не обнаружено, разумеется, не доказывает, что законы строго постоянны. В особенности нельзя исключить возможности вариаций в величине гравитационных сил, причем во временной период гораздо короче, чем 10 ¹⁸лет. Но для простоты мы примем, что законы физики строго постоянны. Всякое иное предположение создаст нам большие сложности, заставив вводить произвольные дополнительные гипотезы.

Доказать, что все физические законы, имеющие значение для отдаленного будущего, уже нам известны, для меня невозможно в принципе. Наиболее серьезный вопрос, касающийся конечной судьбы вселенной, – вопрос о том, абсолютно ли защищен протон от распада на более легкие частицы. Если протон нестабилен – вся материя смертна и обречена рассеяться в радиацию. Выдвигаются серьезные теоретические аргументы (Zeldovich, 1977; Barrow and Tipler, 1978; Feinberg, Goldhaber, and Steigman, 1978) в поддержку мнения, что протоны распадаются с большим периодом полураспада, возможно в ходе процессов, в которых задействуются черные дыры. Экспериментально установленные ограничения на распад протонов (Kropp and Reines, 1965) не исключают существования таких процессов. Однако опять‑таки для простоты мы исключаем эту возможность и предполагаем, что протон абсолютно стабилен. Позже я подробно рассмотрю воздействие реальных процессов, задействующих черные дыры, на стабильность материи в целом.

Теперь я готов начать дискуссию о физических процессах, происходящих в открытой космологии (6) в течение все более и более продолжительных отрезков времени. Сначала рассмотрим классические астрономические процессы, затем – процессы квантовой механики.

Примечание, добавленное в гранках.Со времени публикации этих лекций вышло в свет множество статей, посвященных моделям «великого объединения» в физике элементарных частиц, где протон нестабилен (Nanopoulos, 1978; Pati, 1979; Turner and Schramm, 1979).

А. Эволюция звезд

Самые долгоживущие звезды с низкой массой истощат свое водородное «топливо», сожмутся в белых карликов и остынут до крайне низких температур за период порядка 10 ¹⁴лет. Более тяжелым звездам понадобится меньше времени, чтобы дойти до финального состояния – белого карлика, нейтронной звезды или черной дыры, в зависимости от особенностей эволюции каждой конкретной звезды.

Б. Отделение планет от звезд

Среднее время, необходимое для того, чтобы планета отделилась от звезды в результате близкой встречи со второй звездой, составляет

Т = (pVσ) ^-1, (14)

где р – плотность звезд в пространстве, V – средняя относительная скорость двух звезд и σ – сечение столкновения, вызвавшего отделение. Для системы «Земля–Солнце», двигающейся во внешней области диска спиральной галактики, приблизительные количественные значения следующие:

р = 3∙10–4 ¹км ³, (15)

V = 50 км/с, (16)

σ = 2∙10 ¹⁶км ², (17)

Т= 10 ¹⁵лет. (18)

Временной отрезок для встречи, влекущей за собой серьезные нарушения планетарных орбит, составляет заметно меньше, чем 1015 лет.

В. Отделение звезд от галактик

Динамическая эволюция галактик – сложный и еще не до конца понятный процесс. Здесь мы можем дать только очень грубую оценку сроков. Если галактика состоит из N звезд массой М в радиусе R, то их средняя скорость составляет порядка

V = [GNM/R] ^1/2. (19)

Сечение для близкой встречи двух звезд, заметно изменяющей направление их движения, составляет

σ = (GM/V ²) ²= (R/N) ². (20)

Среднее время, проходящее для одной звезды между двумя столкновениями, составляет

Т = (ρVσ) ¹= (NR ³/GM) ^1/2. (21)

Если мы рассматриваем типичную крупную галактику, в которой N = 10 ¹¹, а R = 3∙10 ¹⁷км, то

Т= 10 ¹⁹лет. (22)

Динамическая релаксация галактики происходит главным образом благодаря встречам звезд на значительном расстоянии друг от друга с характерным временем

T _R= T(logN) ^-1= 10 ¹⁸лет. (23)

В результате объединенного эффекта динамической релаксации и близких столкновений центральные районы галактики коллапсируют в черную дыру, одновременно выталкивая звезды из внешних регионов. Выталкиваемые звезды достигают нужной скорости и отделяются от галактики по прошествии порядка 1019 лет. Мы не знаем, какая часть массы галактики в конце концов погибнет в черной дыре, а какая часть отделится от галактики. Возможно, отделившаяся масса в конечном счете будет составлять от 90 до 99 процентов.

Драматические события, наблюдаемые нами сейчас в центральных регионах многих галактик, возможно, вызваны подобным процессом динамической эволюции, происходящем в гораздо более краткосрочном режиме. Согласно (21), срок эволюции и коллапса может быть небольшим, если эволюционирующих объектов немного и они массивны, например, не отдельные звезды, а компактные скопления звезд и газовые облака. Долгие сроки эволюции (22) характерны для галактик, не содержащих в себе динамических объектов крупнее отдельных звезд.

Г. Разрушение орбит гравитационной радиацией

Если некая масса вращается вокруг фиксированного центра со скоростью V, периодом Р и кинетической энергией Е, она будет терять энергию под воздействием гравитационной радиации со скоростью порядка

E _g= (V/c) ⁵(Е/Р). (24)

Всякая гравитационно связанная система объектов, вращающихся друг вокруг друга, будет разрушена благодаря действию радиации в течение срока

T _g= (c/V) ⁵P. (25)

Для земли, вращающейся вокруг солнца, срок действия гравитационной радиации составляет

T _g= 10 ²⁰лет. (26)

Поскольку это гораздо дольше, чем (18), к тому времени, когда гравитационная радиация начнет действовать, земля почти наверняка будет оторвана от солнца. Однако, если случится, что солнце вместе с землей оторвется от галактики, скорее всего, в течение срока (26) земля сольется с солнцем.

Орбиты звезд в галактике также разрушаются под действием гравитационной радиации в течение срока (25), где Р в данном случае – период их галактических орбит. Для галактики типа нашей, в которой V = 200 км/с, а Р = 2,108 лет, срок составляет

T _g= 10 ²⁴лет. (27)

Это опять‑таки гораздо дольше, чем (22), что показывает, что в эволюции галактик динамическая релаксация играет более важную роль, чем гравитационная радиация.

Д. Уничтожение черных дыр путем процесса Хокинга

По Хокингу (1975), всякая черная дыра массой М разрушается путем излучения термальной радиации и полностью исчезает по истечении срока, составляющего

Т = (G ²M ³/hc ⁴). (28)

Срок жизни черной дыры с массой солнца —

Τ = 10 ⁶⁴лет. (29)

Срок жизни черных дыр с массой галактики простирается до 10100 лет. В конце жизни каждая черная дыра на небольшое время ярко вспыхивает. В последнюю секунду своего существования она излучает около 1031 эргов горячей радиации. Таким образом, холодная расширяющаяся вселенная будет время от времени освещаться фейерверками.

Е. При абсолютном нуле материя становится жидкой

Далее мне хотелось бы обсудить группу физических процессов, происходящих с обычной материей при абсолютном нуле в результате проницаемости квантово–механического барьера. Время действия этих процессов вычисляется по формуле Гамова:

Τ = exp(S)T ₀, (30)

где Т ₀– период естественного колебания системы, a S – интеграл действия

S = (2/h) ∫ (2MU(x)) ^1/2dx. (31)

Здесь х – координата, измеряющая состояние системы, проходящей через барьер, a U(x) – высота этого барьера как функция х. Чтобы получить примерную оценку S, я заменяю (31) следующей формулой:

S = (8MUd ²/h ²)" ², (32)

где d – толщина, U – средняя высота барьера, a M – масса объекта, который сквозь него проходит. Рассмотрим процессы, при которых значение S велико, что чрезвычайно увеличивает и их продолжительность (30).

В качестве примера возьмем поведение сгустка плотной материи – астероида или планеты, остуженного до абсолютного нуля. Благодаря силам сцепления и химической связи его атомы застывают в фиксированном положении, казалось бы, навсегда. Однако время от времени они двигаются и изменяют свое положение друг относительно друга, пересекая энергетические барьеры путем квантово–механического туннелирования. Высота барьера, как правило, порядка одной десятой единицы Риндберга:

U = (1/20) (e ⁴m/h ²), (33)

а плотность – порядка радиуса Бора:

d = (h ²me ²), (34)

где m – масса электрона. Таким образом, получаем интеграл действия

S = (2Am _p/5m) ^1/2= 27А ^1/2, (35)

где т _р– масса протона, а А – атомный вес движущегося атома. Для атома железа, у которого А = 56, a S = 200, (30) дает

Т= 10 ⁶⁵лет. (36)

Даже самые прочные материалы не смогут сохранить свою форму или химическую структуру за временной период, сравнимый с (36). В период 10 ⁶⁵лет любой камень начнет вести себя как жидкость, под воздействием гравитации постепенно принимая сферическую форму. Его атомы и молекулы будут непрерывно перемешиваться, как молекулы в капле воды.

Ж. Вся материя превращается в железо

При абсолютном нуле в материи будут продолжаться как ядерные, так и химические реакции. Элементы тяжелее железа будут превращаться в железо посредством различных процессов, таких, как расщепление и альфа–излучение. Элементы легче железа будут соединяться путем реакций слияния ядер и постепенно также превращаться в железо. Рассмотрим, например, реакцию слияния, в которой два ядра, обладающие атомным весом 1/2А и зарядом 1/2Z, объединяются, образуя ядро (A, Z). Кулоновское взаимоотталкивание ядер эффективно экранируется электронами, пока они не приблизятся друг к другу на расстояние

d = Z ^-1/3(h ²/me ²) (37)

Кулоновский барьер обладает толщиной d и высотой

U = (Z ²e ²/4d) = ¼Z ^7/3(e ⁴m/h ²). (38)

Сокращенная масса для относительного движения двух ядер:

М = 4¼Am _р. (39)

Тогда интеграл действия (32) получает значение

S = (½AZ ^5/3(m _p/m)) ^1/2= 30A½Z ^5/6. (40)

Для двух ядер, вместе образующих железо, Z = 26, А = 56, S = 3500, и

Т= 10 ¹⁵⁰⁰лет. (41)

В промежуток времени, описанный формулой (41), обычная материя радиоактивна и постоянно генерирует ядерную энергию.

З. Превращение железных звезд в нейтронные звезды

По истечении срока (41) большая часть материи во вселенной, в обычном состоянии находящаяся в форме звезд с низкой массой, превращается в белые карлики – холодные шары, состоящие из чистого железа. Но железная звезда – это еще не самое низкоэнергетическое состояние. Она может избавиться от огромного количества энергии, если превратится в нейтронную звезду. Чтобы коллапсировать, ей необходимо лишь преодолеть барьер конечной высоты и толщины. Интересно спросить, существует ли асимметричный коллапс, проходящий через более низкую седловую точку, чем симметричный коллапс. Я не смог найти приемлемую асимметричную форму, так что мы предполагаем, что коллапс имеет сферическую симметрию. В интеграле действия (31) координата х становится радиусом звезды, и интеграл берется от г, радиуса нейтронной звезды, до R, радиуса железной звезды, с которого начинается коллапс. Высота барьера U(x) будет зависеть от уравнения состояния материи, которое при близости х к г весьма неопределенно. По счастью, уравнение состояния материи хорошо известно для большей части отрезка интегрирования, когда х велико по сравнению с г и основной вклад в U(x) составляет энергия нерелятивистских дегенерирующих электронов:

U(x) = (N ^5/3h ²/2mx ²), (42)

где N – число электронов в звезде.

Интегрирование по х в (31) дает логарифм:

log(R/R ₀), (43)

где R ₀– радиус, при котором электроны становятся релятивистскими и формула (42) перестает работать. Для звезд с низкой массой этот логарифм будет порядка единицы, а интеграл, соответствующий релятивистской области x0, будет тоже порядка единицы. Масса звезды —

M = 2Nm _p. (44)

Я заменяю логарифм (43) на единицу и для интеграла действия (31) получаю оценку

S = N ^4/3(8m _p/m) ^1/2= 120N ^4/3. (45)

Таким образом, временной срок по формуле (30) —

T = exp(120N ^4/3)T ₀. (46)

Для типичной звезды с низкой массой получаем

В формуле (46) совершенно неважно значение Т ₀, будь это ничтожная доля секунды или множество лет.

Мы не знаем, каждое ли превращение железной звезды в нейтронную звезду будет вызывать взрыв сверхновой. Во всяком случае, его результатом будет становиться мощный выброс энергии в форме нейтрино и другой, более скромный выброс энергии в форме рентгеновских лучей и видимого света. Таким образом, вплоть до самого конца срока, описанного в (47), вселенная будет освещаться фейерверками.

И. Превращение обычной материи в черные дыры

Долгий срок жизни (47) железных звезд верен лишь в том случае, если в ходе этого срока они не превратятся в черные дыры. Для коллапса любого сгустка материи в черную дыру верны те же формулы, что и для коллапса в нейтронную звезду. Единственная разница в том, что предел интегрирования в интеграле действия (31) теперь равен не радиусу нейтронной звезды, а радиусу черной дыры. Основная часть интеграла, происходящая из больших значений х, в обоих случаях одинакова. Таким образом, время коллапса материи в черную дыру задается формулой (46). Однако имеется важное изменение в значении N. Если возможны маленькие черные дыры, то превратиться в черную дыру может небольшая часть звезды. Сформировавшись, она в короткий срок поглотит остальную звезду. Срок коллапса звезды задается формулой:

T = exp(120N _B ^4/3)T ₀, (48)

где N _B– число электронов в куске железа, массой равном минимальной массе М _вчерной дыры. Срок (48) таков же для любого сгустка материи массой больше М _в. Сгустки материи, обладающие массой меньшей, чем М _в, абсолютно стабильны. Подробную дискуссию о превращении материи в черные дыры см. у Harrison, Thorne, Wakano, and Wheeler (1965).

Числовое значение срока (48) зависит от значения М _в. Все, что мы знаем точно – это:

0≤М _В≤М _С, (49)

где

М _с= (hc/G)3/2m _p ^-2= 4∙10 ³³g (50)

– это масса Чандрасекара. Черные дыры должны существовать для любой массы, большей М _с, поскольку звезды с массой, большей М _с, не имеют стабильного финального состояния и неминуемо должны коллапсировать.

Приведем четыре гипотезы, касающиеся М _в.

М _в= 0. Существуют черные дыры произвольно малой массы, и формула (48) бессмысленна. В этом случае вся материя нестабильна и должна коллапсировать в достаточно короткий срок, как предположил Зельдович (Zeldovich, 1977).

М _вравна массе Планка:

М _в= M _PL= (hc/G) ^1/2= 210–5g. (51)

Такое значение М _впредполагает теория излучения черных дыр, предложенная Хокингом (Hawking, 1975), согласно которой каждая черная дыра теряет массу, пока не достигнет массы порядка M _PL, после чего исчезает во взрыве радиации. В этом случае формула (48) дает

М _вравна квантовой массе:

M _B=M _Q= (hc/Gm _p) = 3∙10 ¹⁴g, (53)

как предполагают Harrison, Thorne, Takano и Wheeler (1965). Здесь M _Q– масса самой маленькой черной дыры, для которой имеет смысл классическое определение. Только для масс больше M _Qфизически оправдана формула преодоления барьера (31). Если мы принимаем (53), то

М _вравна массе Чандрасекара (50). В этом случае срок коллапса звезды в черную дыру будет того же порядка, что и срок коллапса в нейтронную звезду (47).

Долгосрочное будущее вселенной во многом зависит от того, какая из этих альтернатив верна. Если верно (iv), звезды могут превратиться в черные дыры, а затем рассеяться чистой радиацией, но массы планетарного размера будут существовать вечно. Если верно (iii), планеты также исчезнут в срок (54), но останутся стабильными материальные объекты массой до нескольких миллионов тонн. Если верно (ii), объекты размером с человека исчезнут в срок (52), но пылинки диаметром менее 100 μ будут существовать вечно. Если верно (i), исчезнут все материальные объекты без исключений, останется лишь радиация.

Если бы мне предложили выбрать самую вероятную альтернативу, я бы выбрал (ii). (iii) и (iv) кажутся мне маловероятными, поскольку противоречат теории Хокинга об излучении черных дыр. (i) представляется невероятной, поскольку трудно понять, почему протон, способный распасться, не может распасться быстро. Однако сейчас мы так мало знаем, что не можем исключать ни одной из этих четырех возможностей.

Таблица 1. Сроки протекания физических процессов

Результаты этой лекции суммированы в таблице 1. Этот список, в котором перечислены временные сроки физических процессов, не претендует на полноту. Несомненно, в те же и даже более продолжительные сроки могут происходить и многие другие физические процессы, не упомянутые мною. Основное заключение, которое я хотел вывести из своего анализа, следующее: насколько бы мы не заглянули в будущее, мы видим там какие‑то события. В открытой космологии история не имеет конца.

Лекция III. Биология

Обращаясь к истории жизни в прошлом, мы видим, что на возникновение и развитие нового вида уходит около 10 ^блет, нового рода – около 10 ⁷лет, нового класса – около 10 ⁸лет, нового типа – около 10 ⁹лет; и, наконец, менее 10 ^юлет потребовалось на возникновение и развитие жизни в целом, от первых одноклеточных существ до homo sapiens. Если в будущем жизнь продолжит развиваться с той же скоростью, невозможно поставить пределы тому многообразию физических форм, которого она может достигнуть. Какие перемены, достойные встать рядом с переменами прошлого, принесут нам следующие 10 ¹⁰лет? Вполне возможно, что за этот период жизнь сбросит с себя оболочку из плоти и крови и воплотится в межзвездном темном облаке (Hoyle, 1957) или в разумном компьютере (Čapek, 1923).

Перечислим основные вопросы, касающиеся природы жизни и сознания:

Что является основой сознания – материя или структура?

Возможны ли разумные темные облака (или компьютеры)?

Применимы ли в биологии законы масштабирования?

Мы не знаем, как ответить на эти вопросы. Но это не значит, что они не имеют ответов вообще. Вполне возможно, что прогресс в экспериментальной биологии позволит нам достаточно скоро найти ответы.

Позвольте мне подробнее остановиться на значении вопроса (i). Мое сознание каким‑то образом связано с набором органических молекул у меня в голове. Вопрос в том, зависит ли существование моего сознания от этого конкретного набора молекул или только от их структуры. Иными словами, если создать копию моего мозга с той же структурой, но из другого материала, будет ли она думать, как я?

Если ответ на первый вопрос – «материя», значит, жизнь и сознание никогда не смогут оторваться от плоти и крови. В этом случае на вопросы (ii) и (iii) ответы отрицательные. Жизнь может существовать только в теплой среде, при наличии жидкой воды и достаточного количества свободной энергии, необходимой для поддержки постоянного уровня обмена веществ. В таком случае, поскольку запасы энергии в галактике конечны, конечно и существование жизни. По мере расширения и остывания вселенной запасы свободной энергии, требуемой жизнью для обмена веществ, неизбежно истощатся.

Поскольку я придерживаюсь оптимистической философии, то принимаю как рабочую гипотезу, что ответ на вопрос (i) – «структура». Это значит, что жизнь свободна принимать любое материальное воплощение, наилучшим образом отвечающее ее целям. Тогда, при утвердительных ответах на вопросы (ii) и (iii), становятся возможны количественные прикидки относительно будущего жизни во вселенной. Если выяснится, например, что материя защищена от превращения в черные дыры, только будучи раздроблена на пылинки по несколько микронов в диаметре, тогда, очевидно, наилучшей формой для существования жизни в отдаленном будущем станет нечто вроде «темного облака» Хойла: собрание пылевых частиц, обладающих положительными и отрицательными зарядами, самоорганизующихся и общающихся между собой с помощью электромагнитных сил. Мы не можем представить себе в деталях, как это облако будет поддерживать то состояние динамического равновесия, которое мы зовем жизнью. Но и архитектуру живой клетки протоплазмы мы никогда не смогли бы себе представить, если бы ее не увидели.

Чтобы предоставить конкретное описание того, как жизнь может адаптироваться к низким температурам, мне необходимо вывести закон масштабирования, независимый от конкретного материального воплощения жизни. Вот строгая формулировка моего закона:

Гипотеза биологического масштабирования. Если мы копируем живое существо, так что одно квантовое состояние копируется другим квантовым состоянием и гамильтониан копии равен

НC = λUHU-1, (55)

где Н – гамильтониан существа, U – унитарный оператор, а λ – положительный масштабный фактор; и если окружающая среда копируется таким же образом, так что температуры окружающей среды оригинала и копии равняются соответственно Т и λT, то копия живет и является субъективно идентичной оригиналу, с той лишь разницей, что скорость всех ее жизненных функций снижается в соответствии с тем же фактором λ.

Достоверность этой гипотезы обеспечивает структура уравнения Шредингера, где время и энергия действуют как взаимосвязанные переменные. В настоящее время это чисто теоретическая гипотеза, никакая экспериментальная ее проверка невозможна. Дабы избежать неверного понимания, подчеркну, что закон масштабирования неприменим к изменениям уровня обмена веществ в данном организме как функции от температуры. Например, когда змея или ящерица меняют температуру тела, скорость их обмена веществ зависит от Т скорее экспоненциально, чем линейно. Линейный закон масштабирования применим к набору копий змеи, каждая из которых приспособлена к определенной температуре. К отдельной змее с изменяющимся Т он отношения не имеет.

Итак, с этого момента я считаю гипотезу масштабирования валидной и намерен рассмотреть ее последствия для возможностей жизни. Первое следствие – это то, что субъективное время, переживаемое живым существом, не является физическим временем t, но определяется по формуле:

u(t) = f ∫ ₀ ^tθ(f') dt', (56)

где θ(t) – температура существа, a f = (300 deg sec) ^-1– фактор шкалы, позволяющей сделать и безразмерным. Я называю и «субъективным временем». Второе следствие временного закона – то, что любое существо характеризуется числом Q, обозначающим скорость производимой им энтропии в единицу субъективного времени. Если энтропия измеряется в единицах информации или битах и если и измеряется в «моментах сознания», то Q – число, обозначающее объем информации, достаточный для того, чтобы поддержать жизнь существа на мгновение, достаточное для мысли: «Cogito, ergo sum» [я мыслю – следовательно, существую]. Я называю Q сложностью живого существа. Например, при температуре 300 К человек расходует мощность около 200 ватт, причем каждый момент сознания продолжается около секунды. Таким образом, Q человека равно

Q = 10 ²³бит. (57)

Таким образом, Q – это единица сложности молекулярных структур, задействованных в единичном акте человеческого сознания. Для человеческого рода в целом

Q = 10 ³³бит (58)

– число, сообщающее нам, какое множество материальных ресурсов требуется для поддержания жизни разумного сообщества.

Существо или сообщество существ с данным Q и данной температурой θ будет тратить энергию со скоростью:

m = kfQθ ². (59)

Здесь m – скорость обмена веществ, измеряемая в эргах в секунду, k – константа Больцмана, a f – коэффициент, использовавшийся в (56). Важно отметить, что m пропорционально квадрату θ, причем один фактор θ происходит из взаимоотношений между энергией и энтропией, а второй фактор θ – из принятой зависимости скорости жизненных процессов от температуры.

Я предполагаю, что жизнь свободна выбирать себе температуру θ(t) таким образом, чтобы максимально увеличить свои шансы на выживание. Существуют два физических ограничения на θ(t). Первое – θ(t) всегда должна быть выше температуры универсальной фоновой радиации, являющейся самой низкой из достижимых температур. Иначе говоря,

θ(t) >aR ^-1, а = 3∙10 ²⁸deg cm, (60)

где R – радиус вселенной, изменяющийся в зависимости от t, согласно (7) и (8). В настоящее время условие (60) удовлетворяется со 100–кратным запасом. Второе ограничение θ(t) – это то, что физический механизм может существовать, лишь выделяя в пространство огромное количество лишнего тепла, возникающего в результате обмена веществ. Чтобы сформулировать второе ограничение количественно, примем, что лишнее тепло удаляется из организма посредством излучения и что единственная значимая форма излучения – электромагнитное. Тогда мы получаем абсолютный верхний предел

I(θ)<2γ(Ne ²/mh ²c ³) (kθ) ³(61)

мощности, которая может испускаться материальным источником, содержащим в себе N электронов, при температуре Θ. Здесь

– высота максимума спектра планковского излучения. Поскольку формулы (61) я в учебниках не нашел, приведу краткое доказательство, используя статью Бета и Сэлпитера (Bethe and Salpeter, 1957). Формула мощности, выделяемой излучением электрического диполя, следующая:

Здесь p – поляризационный вектор фотона, испускаемого внутри угла dΩ, i – начальное, a j – конечное состояния излучателя,

ρ _i= Z ^-1exp (-Е _i/kθ) (64)

– вероятность, что излучатель изначально находится в состоянии i,

ω _ij=h ^-1(E _i-E _j) (65)

– частота фотона, a Dij – матричный элемент дипольного момента излучателя между состояниями i и j. Сумма (63) определяется только между парами состояний (i, j), причем

Е _i>Е _j. (66)

Теперь у нас есть точное правило суммирования дипольных моментов:

Однако использовать формулу (67) для нахождения связи с (63) следует с осторожностью, поскольку некоторые члены в (67) отрицательные. Здесь может помочь следующая хитрость. В каждом члене (63) ω^, согласно (66), положительно; таким образом, (62) дает нам:

ρ _iω _ij ³< γρ _ί(kθ/h) ³(exp(hω _ij/ kθ) – 1) = γ (ρ _j– ρ _i) (kθ/h) (68)

Таким образом, из (63) следует:

Теперь индексы суммирования (i, j) можно поменять в той части формулы (69), которая содержит ρ _i. Получаем результат:

где суммирование теперь проводится по всем (i, j) независимо от того, выполняется (66) или нет. Правило суммирования (67) можно затем использовать в (70) и получить результат (61).

Это доказательство (61) предполагает, что все частицы, кроме электронов, обладают такой большой массой, что при расчетах генерируемого излучения ими можно пренебречь. Оно предполагает также, что можно пренебречь магнитным дипольным и многополюсным излучением. Интересно было бы узнать, можно ли доказать (61), не используя дипольное приближение (63).

С первого взгляда может показаться странным, что правая сторона (61) пропорциональна θ ³, а не θ ⁴, поскольку стандартная формула Стефана–Больцмана для мощности, испускаемой черным телом, пропорциональна θ ⁴. Однако в этом случае формула Стефана–Больцмана неприменима, поскольку она требует от излучателя оптической плотности. Максимум испускаемой мощности, заданный (61), может быть достигнут, только если излучатель оптически прозрачен.

Сделав это небольшое отступление в область физики, вернемся к биологии. Второе ограничение на температуру θ связано с тем, что скорость траты энергии (59) не должна превышать мощность (61), способную выделяться в пространство. Это ограничение накладывает на нас нижний температурный предел:

kθ >(Q/N)ε = (Q/N) 10 ²⁸erg, (71)

ε = (137/2γ)(hf/k)mc ², (72)

θ >(Q/N) (ε/κ) = (Q/N) 10 ^–12deg. (73)

Соотношение (Q/N) между сложностью сообщества и числом электронов, находящихся в его распоряжении, не может быть произвольно мало. Для современного человечества, с Q, заданным (58), и

N= 10 ⁴²(74)

(количество электронов в биосфере земли), соотношение равно 10–9. С течением развития и усложнения общества это соотношение скорее увеличивается, чем уменьшается. Таким образом, (73) и (59) предполагают более низкий предел скорости излучения энергии для общества заданной сложности. Поскольку общий объем энергии, доступной сообществу, конечен, конечно и время его существования. Мы пришли к печальному заключению, что одного замедления обмена веществ, описанного в моей гипотезе биологического времени, недостаточно для того, чтобы сообщество жило вечно.