Текст книги "Из истории культуры древней Руси"

Автор книги: Борис Рыбаков

сообщить о нарушении

Текущая страница: 8 (всего у книги 23 страниц)

Архитектурная математика древнерусских зодчих

Постройки древнерусских зодчих до сих пор восхищают продуманной соразмерностью, удивительной гармонией своих частей, строгой логикой архитектурного замысла.

Методы архитектурных расчетов XI–XII вв. нам почти неизвестны. Подходя к их раскрытию с нашей современной меркой, рассматривая древнюю архитектуру с точки зрения эвклидовой геометрии, мы можем открыть и математически обосновать заключенные в ней пропорциональные соотношения. Интересная и ценная работа в этом направлении проделана К.Н. Афанасьевым[123]123
  Афанасьев К.Н. Про пропорцiональнiсть пам’ятникiв древньоруськоi архiтектури XI–XII ст. Архiтектурнi пам’ятники. Київ, 1950; он же. Построение архитектурной формы древнерусскими зодчими. Автореф. докт. дисс. М., 1954.


[Закрыть].

Однако у нас нет никакой уверенности в том, что и древнерусские зодчие шли в своих расчетах тем же путем, отправляясь от теоретически безукоризненных положений великого греческого геометра. Наоборот, свидетельства средневековых математиков говорят о применении их современниками приближенных, практически удобных, но теоретически не обоснованных расчетов.

Так, например, знаменитый персидский математик Абуль-Вафа, современник древнейших русских церковных построек, переводчик Эвклида и Диофанта, писал в предисловии к сборнику составленных им геометрических задач: «В настоящей книге мы займемся разложением фигур. Вопрос этот необходим многим практикам и составляет предмет особенных их разысканий… Ввиду этого мы дадим основные (теоретические) начала, которые относятся к данным вопросам, так как все методы, применяемые рабочими, не основанные на каких-либо началах, не заслуживают доверия и весьма ошибочны; между тем на основании таких методов они производят различные действия»[124]124
  Ващенко-Захарченко М.Е. История математики. Т. I. Киев, 1883.


[Закрыть].

К сожалению, эти «методы, применяемые рабочими» (в архитектуре и ремесле), остались нам неизвестны.

Тайна расчетов и рецептов была характерна для всех средневековых мастеров; даже передавая наследие учителей и свой опыт ученикам, они старались зашифровать свои советы, скрывая, например, под именем «желтой ящерицы» золото. Вероятно, и математические расчеты, осужденные Абуль-Вафой, также составляли секрет зодчих.

В русской средневековой литературе есть несколько интересных записей, освещающих отдельные детали расчетно-строительного процесса. В общеизвестном рассказе Киево-Печерского Патерика о постройке в 1073 г. Успенской церкви обычно обращалось внимание лишь на то, как размеряли церковь златым поясом: «20 в ширину и 30 в длину, а 30 в высоту; стены с връхом 50»[125]125
  Киево-Печерский Патерик. Под ред. Д. Абрамовича. Киев, 1931, с. 3. Последнее измерение «стены с връхом 50» затрудняло исследователей. По всей вероятности, здесь описана часть периметра лицевого (западного) фасада, определявшая основной объем здания: высота двух стен до закомар и ширина фасада. Таково по крайней мере, соотношение частей в Спасском соборе 1036 г.


[Закрыть].

Но следует отметить, что кроме этих ценных данных в рассказе Патерика дано почти полное описание процесса подготовки строительной площадки: выбор сухого возвышенного места, где не ложится утренняя роса, выравнивание площадки («долины») для обозначения на ней рвов («якоже ръвом подобно»), изготовление деревянного эталона в меру златого пояса («…древо бяше существом»), разметка сначала ширины, а затем и длины здания в определенных мерах, рытье рвов и, наконец, «водружение корения», т. е. закладка каменного фундамента[126]126
  Там же, с. 8, 9. При закладке фундаментов в их основание были положены мощи тех святых, изображения которых предполагалось потом поместить на стенах церкви над этими местами. Это означает, что у зодчих был заранее разработан весь замысел здания, включая даже размещение живописных сюжетов.


[Закрыть].

Историки архитектуры никогда не обращали внимания на интереснейшие сведения о расчетной работе зодчего, содержащиеся в славянском «Сказании о Соломоне и Китоврасе», являющимся сказочной переработкой повествований о построении соломонова храма (XII в.).

Царю Соломону для начертания плана задуманного им храма понадобился мудрый кентавр – Китоврас. В русском прикладном искусстве и архитектурной орнаментике изображения кентавра-Китовраса довольно часты. Следует упомянуть кентавров с жезлами на стенах Георгиевского собора в Юрьеве-Польском (1236 г.) и мудрого кентавра с пальцем у лба (жест размышления) на створке серебряного браслета XII–XIII вв. из так называемого Тверского клада 1906 г. Мудрый Китоврас изображен здесь в окружении трех стихий (воды, земли и воздуха) и представителей двух царств природы – животного (зверь) и растительного (плодоносящее древо)[127]127
  Рыбаков Б.А. Прикладное искусство и скульптура. История культуры древней Руси. Т. II, М.-Л., 1951, с. 432, 215, рис. 1.


[Закрыть].

«Сказание о Соломоне и Китоврасе» сохранило нам древнерусское наименование архитектурного плана – «очертание». Соломон говорит Китоврасу: «не на потребу тя приведох собе, но на упрос очертанию святая святых»[128]128
  Веселовский А.Н. Из истории литературного общения Востока и Запада. Славянские сказания о Соломоне и Китоврасе и западные легенды о Морольфе и Мерлине. Спб., 1872; Палея Толковая 1477 г. воспроизведение Синодальной рукописи № 210. Вып. 1, Спб., 1892; На Васильевских вратах 1336 г. рядом с Китоврасом помещен дом, внутри которого изображены человек, рисующий на листе, и строительные(?) инструменты. См.: Лазарев В.Н. Васильевские врата 1336 г., – СА, 1953, № XVIII, с. 425–426, рис. 27; В сказаниях о царе Давиде рассказывается о получении им «образа церковного» и об изготовлении им для царя Соломона чертежа храма. См.: Келтуяла В.А. Курс истории русской литературы. Ч. I, кн. 1, Спб., 1913, с. 190.


[Закрыть].

Самым важным в этом эпизоде является то, что Китоврас, зная заранее, что он призван царем для изготовления плана будущего храма, явился к нему с деревянными мерилами, эталонами каких-то мер: «Он же (Китоврас) умеря прут 4 локоть и вшед пред царя, поклонися и поверже пруты пред царем молча…»

Здесь для нас особенно интересно то, что главными инструментами архитектора, необходимыми ему для создания «очертания», являются деревянные мерила (описанные во множественном числе) по 4 локтя в каждом. Обращение к древнерусской метрологии показывает полную достоверность сообщений «Сказания»: во-первых, в древней Руси применялось одновременно несколько видов саженей, а во-вторых, каждая сажень подразделялась именно на 4 локтя; такое деление просуществовало до XVI в.

Очевидно, волшебный архитектор Китоврас был наделен автором сказания реальными принадлежностями русского зодчего в виде изготовленных из дерева саженей, подразделенных на 4 локтя.

Эти два упоминания в литературе XII–XIII вв. о начальной стадии постройки зданий – в Патерике и в «Сказании о Соломоне и Китоврасе» – одинаково говорят о значении установленных мер, их портативных эталонов и самого процесса размеривания «очертания» храма на выровненной «долине».

Все это заставляет нас с особым вниманием отнестись к вопросу о древнерусских мерах длины и их применению в архитектуре; это поможет раскрыть методы работы древних архитекторов. Некоторых зодчих мы знаем по именам, сохраненным летописями.

Единственное изображение, которое предположительно связывают с русским архитектором Петром, известным по летописи, обнаружено в башне Антоньева монастыря в Новгороде.

В 1949 г. мною была сделана попытка пересмотра русской средневековой метрологии в целях использования мер длины при анализе архитектурных сооружений[129]129
  Рыбаков Б.А. Русские системы мер длины XI–XV вв. – СЭ, 1949, № 1. Поводом к этой работе послужило открытие в Чернигове в 1946 г. части фундаментов Благовещенского собора 1186 г. Приложение метрологического анализа и использование аналогий позволили дать реконструкцию всего плана этого замечательного здания. (Рыбаков Б.О. Благовiщенська церква у Чернiгов 1186 р. за даними розкопок. – Архiтектурнi пам’ятники. Київ, 1950, рис. 63). Продолжение работ по исследованию фундаментов в 1947 г. полностью подтвердило первоначальную реконструкцию. (Там же, рис. 59).


[Закрыть].

Основные выводы таковы:

1. В древней Руси с XI по XVII в. существовало семь видов саженей и локтей, бытовавших одновременно.

Наблюдения над русской метрологией показали, что очень мелких и дробных делений в древней Руси не применяли, а использовали многообразие мер, применяя, скажем, «локти» и «пяди» разных систем. Древнерусские меры длины могут быть сведены в следующую таблицу:

2. Известен ряд случаев, когда одно и то же лицо производило измерение одного и того же объекта одновременно разными видами саженей.

Так, при ремонте Софийского собора в Новгороде в XVII в. измерения велись двумя видами саженей: «А внутри главы кругом, где окна – 12 сажен (до 152 см. – Б.Р.), а от спасова образа ото лбу до моста церковного – 15 сажен мерных (по 176 см. – Б.Р.)»

При постройке засечной черты в 1638 г. «валили вал в ширину 25 сажен косых, а простых 40 сажен»[130]130
  Другие примеры см.: Рыбаков Б.А. Русские системы мер…, с. 72, 74, 78.


[Закрыть].

Анализ архитектурных памятников XI–XV вв. позволил утверждать, что древнерусские зодчие широко применяли одновременное пользование двумя или даже тремя видами саженей[131]131
  Там же, с. 82–84.


[Закрыть].

3. Непонятное для нас одновременное пользование разными мерами длины объясняется заложенными в этих мерах при их создании строгими геометрическими соотношениями.

Геометрическая сопряженность древнерусских саженей особенно ясна в наименовании «прямой» и «косой» сажени. Оказалось, что прямая сажень есть сторона квадрата, а косая – его диагональ (216 = 152,7 √2). Такое же соотношение существует между «мерной» и «великой» (косой) саженями: 249,4 = 176,4 √2 (рис. 11).

«Сажень без чети» оказалась искусственно созданной мерой, являвшейся диагональю половины квадрата, сторона которого равна мерной сажени[132]132
  Проверка выдвинутых мною принципов геометрической соподчиненности мер и одновременного употребления разных мер при постройке одного здания, произведенная В.Л. Ворониной на примере архитектуры Средней Азии, показала их правильность. Воронина В.Л. К вопросу о древней метрологии Средней Азии. – КСИИМК, XXXIX, 1951, с. 66.


[Закрыть].

Рис. 11. Геометрические свойства русских саженей.

4. Графическим выражением двух систем мер длины (одной, основанной на «простой» сажени, и другой, основанной на «мерной» сажени) являются хорошо известные по древним изображениям «вавилоны», представляющие собой систему вписанных квадратов. Наименование «вавилоны» взято из русских источников XVII в. (рис. 12, 13).

Рис. 12. «Вавилон» и русские меры длины (сажень, локоть).

Рис. 13. Антропометрическое происхождение народных мер.

5. Дошедшие до нас изображения «вавилонов» в основе своей являются схемой плана священного храма-зиккурата с его ступенями и лестницами, но почти все они далеки от точности и могли служить лишь каким-то символом, например, символом зодческой мудрости. Этот древний символ давно уже нашел отражение в играх, и нам известны игральные доски, воспроизводящие «вавилон» (игра «мельница»)[133]133
  Рыбаков Б.А. Русские системы мер…, с. 89 и 91, рис. 4, фиг. 11.


[Закрыть].

В последние годы в Новгороде и Пскове были найдены игральные доски XII–XIII вв., которые можно сопоставить с древнерусской игрой «тавлѣей» (от латинского tabula).

6. Предпринятые мною в 1949 г. попытки применить описанные выше графики к анализу русской архитектуры дали интересные, но ограниченные результаты; проследить полностью весь процесс создания плана сооружения древнерусским зодчим мне тогда не удалось.

* * *

Новые находки загадочных чертежей – «вавилонов» – на Таманском городище (древней Тмутаракани) и Старо-Рязанском городище, относящиеся к IX–XII вв., позволяют значительно углубить анализ этих чертежей и установить их тесную связь с процессом архитектурного расчета (рис. 14, 15, 16).

Рис. 14, 15, 16. «Вавилоны» из строительного слоя Успенской церкви в Тмутаракани. 1023 г.

На территории Тмутаракани в центральной части города за время работ Таманской экспедиции (1952–1955) нами было найдено пять «вавилонов». Все они связаны с определенными зданиями.

1. В фундаментах шестигранного здания хазарского периода (IX – начало X в.), построенных из камня и кирпича закавказского типа, найден обломок глиняной плиты, на которую в сыром виде нанесли чертеж, состоящий из вписанных прямоугольников.

2–3. В фундаментах небольшого крестообразного в плане храма середины X в., расположенного на той же центральной городской площади, найден кусок черепицы X в., на котором с обеих сторон нацарапаны «вавилоны»; на одной – три вписанных квадрата, а на другой – три вписанных прямоугольника.

4. Среди остатков каменотесной мастерской, созданной в процессе постройки храма Мстиславом Владимировичем Тмутараканским в 1023 г., была найдена расколотая плита розового новороссийского песчаника с начертанным на ней квадратным «вавилоном». Этот розовый песчаник служил для самых различных частей здания: из него тесались плиты для вымостки пола, устои для алтарной преграды, резались орнаментальные вставки для тимпанов и т. п.

Чертеж врезан четко и определенно; сторона наибольшего квадрата равна 19 см, т. е. русской «малой пяди» (1/8 прямой сажени). Все это может говорить в пользу практического применения данного чертежа тмутараканскими каменотесами при определении размеров тех или иных деталей.

5. В этой же каменотесной мастерской найдено горло амфоры XI в. со схематическим изображением трех вписанных квадратов. Единственное значение, которое мог иметь этот знак в XI в., это служить тамгой артели строителей храма; как знак собственности строителей или каменотесов он и попал на сосуд для вина.

Как видим, все тмутараканские находки связаны с определенными архитектурными сооружениями и, что особенно важно отметить, все они стратиграфически залегают на уровне фундаментов, на уровне строительной «долины».

В 1952 г. прямоугольный «вавилон» был найден в Болгарии в Преславе на надгробной плите вельможи Мостича, датируемой 950-960-ми годами (рис. 17, 18)[134]134
  Станчев Ст., Иванова В. и др. Надписът на чъргубиля Мостич. София, 1955, с. 5, 15, 40 (рис. 16), 61. «Чъргубиль» – крупный придворный чин при болгарских царях Симеоне и Петре. Имя этого вельможи В.И. Иванова связывает со словом «мост» (с. 61). Наличие на его надгробии символа зодческой мудрости не может ли быть истолковано как указание на должность придворного архитектора?


[Закрыть].

Рис. 17. «Вавилон», начертанный на гробнице болгарского архитектора X в. Мостича.

Рис. 18. Реконструкция облика архитектора Мостича по черепу из гробницы. Софийский Исторический музей.

Одной из важнейших находок является открытая в 1948 г. в Старой Рязани глиняная плита с самым точным из всех известных до сих пор чертежей[135]135
  См.: Монгайт А.Л. Старая Рязань. – МИД, 1955, № 49, с. 82.


[Закрыть]. Плита с чертежом найдена на уровне пола в западном притворе собора, названного А.Л. Монгайтом Борисоглебским (хотя ввиду полного тождества плана этого здания с Успенской церковью в Чернигове, его правильнее было бы назвать тоже Успенским)[136]136
  Корзухина-Воронина Г.Ф. Рязань в сложении архитектурных форм XII–XIII вв. Сб. Бюро по делам аспирантов. – ГАИМК, вып. 1, Л., 1929, с. 77.


[Закрыть]. Дата здания – середина XII в.

Из перечисленных семи новых находок особенно важны для нас, во-первых, таманская черепица X в. с двумя чертежами и, во-вторых, старорязанская плита. Тмутараканская черепица показала, что могут быть «вавилоны» двух видов – квадратные и прямоугольные. Начерчены они небрежно и служить непосредственно «рабочими чертежами», разумеется, не могли. Однако, несмотря на неточности выполнения, здесь легко угадываются те геометрические фигуры, которые древний тмутараканец стремился воспроизвести на глаз. Наложение точного чертежа, выполненного циркулем и угольником на эти рисунки, убеждает в существовании определенных закономерностей. Не подлежит сомнению, что один из рисунков на черепице изображает систему трех вписанных квадратов; середины сторон всех трех квадратов соответственно соединены четырьмя линиями, перпендикулярными этим сторонам («лестницы зиккурата»).

Второй рисунок, сделанный более тщательно, представляет собой три вписанных прямоугольника, размеры сторон которых находятся в зависимости от размеров первой фигуры: длинная сторона большого (внешнего) прямоугольника равна стороне большого квадрата, а его короткая, боковая сторона равна стороне среднего квадрата (или, что одно и то же, половине диагонали большого квадрата). Два внутренних прямоугольника второй фигуры дают следующие закономерности: длинная сторона каждого из них равна короткой стороне следующего по величине (бо́льшего) прямоугольника, середины сторон также соединены линиями. Геометрически построить такую фигуру, как три вписанных прямоугольника с отношением длинных сторон к коротким как a:(a√2)/2 можно только при помощи вспомогательного чертежа в виде трех вписанных квадратов.

По счастью, этот вспомогательный чертеж был сделан на этом же самом куске черепицы.

«Вавилоны» тмутараканской церкви середины X в. мы должны рассматривать как два сопряженных между собой чертежа: три вписанных квадрата были вспомогательным чертежом (выполненным более небрежно), необходимым для построения второго чертежа, состоящего из прямоугольников.

Каким же целям должен был служить этот сложный чертеж, ради чего создавалась такая геометрическая композиция?

Ответить на эти вопросы можно лишь, ознакомившись с математическими свойствами этого чертежа. Оказывается, что стороны прямоугольников и расстояния между узловыми точками чертежа (углами и пересечениями линий) таят в себе множество различных соотношений, которые известны в архитектуре и прикладной геометрии средневековья.

Обозначим все точки нашей фигуры буквами русского алфавита, – перечислим соотношения линий. В основе фигуры лежат шесть пар прямых линий (сторон прямоугольников), разделенных пополам, и две пары пересекающих их линий, каждая из которых разделяется на две неравные части. Если же учитывать не только изображенные на чертеже линии, но и те, которые могут быть проведены от точки к точке, то количество линий возрастет до 42 (рис. 19).

Рис. 19. Прямоугольный «вавилон». Слева – условные обозначения, справа метрические соотношения отдельных отрезков.

Все линии «вавилона» можно подразделить на три группы.

1. Часть линий является долями длинных сторон ВД – АЖ внешнего прямоугольника:

ВГ = ГД = (ВД)/2 = АЗ = ЗЖ = (АЖ)/2 = ЛН = ИП = УХ = СЧ;

БТ = ЦЕ = (ВД)/4 = (ВГ)/2 = и т. д.

2. Другие линии представляют собой фракции диагонали квадрата, сторона которого равна ВД или АЖ:

АВ = ДЖ = ЛН = ИП = (ВД√2)/2 = (АЖ√2)/2;

СУ = ХЧ = АВ/2 = ДЖ/2 = (ВД√2)/4 = (АЖ√2)/2;

ГФ = ШЗ = АВ/2 = ДЖ/2 СУ/2 = ХЧ/2 = (УФ√2)/2 = (БТ√2)/2 = (УХ√2)/4 = (ВД√2)/8

3. Третья группа самых коротких линий тоже представляет сочетание сторон и диагоналей квадрата; эти линии получены как разность между длинными и короткими сторонами прямоугольников.

БК = ОЕ; ГМ = РЗ = КТ = ЦО = (БК√2)/2 = (ОЕ√2)/2;

ФМ = ШР = БК/2 = ОЕ/2 = (ГМ√2)/2

Если для простоты обозначить длинную сторону через А, то при помощи этой величины мы сможем выразить все линии «вавилона». Одни из них будут представлять последовательное деление на 2: А; А/2; А/4, другие могут быть представлены иррационально:

(А√2)/2; (А√2)/4; (А√2)/8, третьи являются разностью:

А/2– (А√2)/4; (А√2)/4 – А/4; А/4 – (А√2)/8 (см. рис. 13 справа).

Линии «вавилона» образуют несколько пропорциональных рядов. Вот, например, один из них: МФ:МГ = МГ:БК = ГФ:БТ = УС:УХ = АВ:ВД.

Среди линий «вавилона» нетрудно подыскать свыше десятка отношений, очень близких к «золотому сечению»: м:М = М:(м+М). Приближенность решений определяется только при математическом анализе, но практически она неуловима. Наиболее точным является отношение: ВК:АЛ = АЛ:(ВК+ЛЛ) = АЛ:ВД. Здесь суммой двух отрезков является длинная сторона прямоугольника А.

Погрешность равна 0,003 этой стороны; при практических построениях она была мало заметна.

При помощи изучаемого нами графика можно быстро и с достаточной для практических целей точностью решить все важнейшие задачи средневековых геометров. Упомянутый выше Абуль-Вафа (940–998 гг.) посвятил специальную книгу задачам на построение равновеликих фигур. Со всей строгостью настоящего ученого обрушился он на «методы, применяемые рабочими, не основанные на каких-либо началах», и дал взамен их математически безупречные, но необычайно сложные и громоздкие решения этих задач, руководствуясь «началами» Эвклида. Однако не все задачи, интересовавшие тогдашних практиков, могли быть решены строго математически – такова, например, была древняя задача о нахождении геометрическим путем квадрата, равновеликого кругу, задача «квадратуры круга»[137]137
  Древние египтяне очень хитро решили эту задачу, вычислив ее арифметически и подобрав соответствующие меры длины. Египетский локоть в 46 см – это сторона квадрата, а царский локоть в 52 см – диаметр круга 46/52 = 1/2×√π = 0,886. Беляев Г.Н. О древних и нынешних русских мерах протяжения и веса. (Seminarium Kondakovianum). Т. I. Прага, 1927, с. 258.


[Закрыть].

Современный Абуль-Вафе тмутараканский график из трех вписанных прямоугольников позволяет с очень большой степенью точности (хотя и не всегда теоретически верно) почти моментально решать все подобные задачи, включая и «квадратуру круга».

Рассмотрим несколько примеров, взяв за основу квадрат, сторона которого равна длинной стороне внешнего прямоугольника «вавилона» (А).

1. Удвоение квадрата, (рис. 20):

Рис. 20. Приближенное решение квадратуры круга и других задач на равновеликость с помощью «вавилона».

Сторона удвоенного квадрата равна удвоенной боковой стороне «вавилона» (т. е. 2АВ или 2ДЖ).

2. Построение двух равных квадратов, сумма площадей которых равна площади основного квадрата:

Сторона каждого малого квадрата равна АВ или ДЖ.

3. Построение трех квадратов на тех же условиях:

Удвоенная линия БЛ (или три другие, ей соответствующие – БИ, ЕН, ЕП) является стороной искомого квадрата.

4. Построение равностороннего треугольника, равновеликого квадрату: сторона треугольника равна удвоенной линии АЧ. Высота его будет равна удвоенной линии ТН.

5. Построение правильного шестиугольника, равновеликого квадрату:

Стороной шестиугольника будет больший отрезок стороны квадрата, разделенной в «золотом сечении», т. е. линия АЛ.

6. Построение квадрата, равновеликого кругу («квадратура круга»).

Примем диаметр окружности равным большой стороне «вавилона». Сторона искомого квадрата будет равна сумме боковой стороны «вавилона» и линии ГФ (поперечной линии, соединяющей длинные стороны всех трех прямоугольников). Погрешность здесь будет очень невелика и практически почти неощутима – 0,0023 диаметра; ошибки в задачах 3 и 5 тоже очень малы и не превышают 0,005-0,003. Наименее точно решение задачи 4 (ошибка равна 0,08). Задачи 1, 2 решаются точно.

Как видим, для средневековых практиков, осужденных Абуль-Вафой, все подобные задачи решались поразительно просто – располагая «вавилоном» в определенную меру (например, с большой стороной в «локоть»), мастера и архитекторы должны были только знать, который из 42 размеров этого графика нужно взять в качестве стороны искомой фигуры.

Зная свойства «вавилона», можно было быстро, не производя ни расчетов, ни геометрических построений, сразу же разделить локоть в отношении «золотого сечения», найти фигуры, равновеликие квадратному локтю, дать несколько пропорциональных рядов, дать графическое изображение ряда иррациональных величин:

а√2, а√3, а√4, а√4, а√6…

Неудивительно, что этот математически универсальный замечательный график мог стать еще в глубокой вавилонской древности символом зодческой мудрости, «хытрости храмоздательской».

* * *

Перечисленными выше примерами далеко не исчерпываются расчетные возможности прямоугольного «вавилона».

Обращение к древнерусским мерам длины открывает нам еще одну область применения нашего графика.

Возьмем за основу ту меру, которую сами древнерусские люди считали основной и называли «мерной саженью». Размер ее колеблется по разным данным между 176,0-176,8 см[138]138
  Рыбаков Б.А. Русские системы мер…, с. 74, 86.


[Закрыть].

Примем среднюю величину в 176,4 см и построим квадрат со стороной в мерную сажень, а на основе квадрата – прямоугольный «вавилон», длинная сторона которого будет, как известно, тоже равна мерной сажени в 176,4 см.

Все виды древнерусских саженей займут положение основных геометрических линий этой фигуры, (рис. 21):

Рис. 21. Общая геометрическая система древнерусских саженей (сторона квадрата равна 1 мерной сажени).

Великая сажень (249,46 см) – диагональ квадрата.

«Сажень без чети» (197,21 см) – диагональ половины квадрата.

Мерная сажень (176,4 см) – сторона квадрата.

Косая сажень (216,04 см) – диагональ «вавилона».

Прямая сажень (152,76 см) – диагональ короткой половины «вавилона».

«Трубная сажень» (187,08 см) – диагональ длинной половины «вавилона».

Половина великой сажени (124,73 см) – короткая сторона «вавилона».

Только так называемая «морская сажень» не занимает здесь основного положения и может быть приурочена к линии АН (184 см).

Все стороны внутренних прямоугольников «вавилона» являются здесь фракциями двух саженей – мерной и великой.

Пересекающие линии «вавилона» («лестницы зиккурата») также оказываются выраженными в мерах длины: линии БТ и ЦЕ равны локтю (44,1 см), равны 1/4 мерной сажени. Линии ГФ и ШЗ равны 1/2 локтя «смоленского» (31,18 см), равны 1/8 великой сажени.

Таким образом, для построения такого «вавилона» нужно иметь только два «прута по четыре локтя», из которых один равен стороне квадрата, а другой – его диагонали.

Геометрическая сопряженность всех древнерусских мер длины, связанность их определенной общностью, принадлежностью к единой системе становятся особенно ясными тогда, когда мы рассмотрим их с точки зрения «метода построения по системе диагоналей», широко применявшегося еще в архитектуре древнего царства Египта[139]139
  Владимиров В.Н. Пропорции в египетской архитектуре. Всеобщая история архитектуры. Т. 1, М., 1944, с. 81, 83, рис. 2.


[Закрыть].

Если мы построим квадрат, сторона которого равна половине мерной сажени, то диагональ его будет равна половине великой сажени. Отложим диагональ на продолжении двух сторон квадрата, соединим точки и получим прямоугольник со сторонами А и А√2. Диагональ его будет равна А√3 = прямой сажени.

Продолжив построение по этому «принципу диагоналей» новых прямоугольников, мы получим последовательно, (рис. 22):

Рис. 22. Древнерусские сажени в их отношении к мерной сажени (176,4 см).

А√3 = 152,76 – прямая сажень;

А√4 = 176,4 – мерная сажень;

А√5 = 197,21 – «сажень без чети»;

А√6 = 216,04 – косая сажень;

А√8 = 249,46 – великая сажень.

Следовательно, основной принцип архитектурных пропорций древней Руси был заложен в самой системе мер длины. Мы не можем считать их исключительно русскими, так как большинство этих мер, легко воспроизводимых человеком (размах рук, поднятие руки и т. п.), было распространено и у других народов.

Возможно, что именно их геометрическая сопряженность и позволила им сохраниться на Руси в таком полном комплекте. Одна мера была основной («мерная сажень»), а другие были геометрическими производными от нее и могли служить при тех или иных пропорциональных расчетах[140]140
  Некоторые историки архитектуры придают большое значение в пропорциональных расчетах делению окружности на 10 частей (например: Мессель Э. Пропорции в античности и в средние века. М., 1936). Не присоединяясь к этим взглядам, я отмечу лишь, что древнерусские сажени и локти, представляющие определенные отрезки «вавилона», позволяли очень просто найти необходимый для деления окружности на 10 частей размер хорды с очень незначительной погрешностью. Для окружности, диаметр которой равен мерной сажени, такой хордой будет 1/4 косой сажени – локоть в 54 см. В общей форме это может быть выражено так: для деления окружности на 10 частей достаточно взять 1/4 диагонали «вавилона», сторона которого равна диаметру окружности. Отмечу еще одно направление взаимных связей русских мер: высота равностороннего треугольника со стороной в мерную сажень равна прямой сажени, а со стороной в великую сажень – косой сажени.


[Закрыть].

Звеном, связывающим символические изображения «вавилона» с конкретной архитектурной действительностью, является драгоценная находка в Старой Рязани.

На глиняной плите размером 25,9×18 см аккуратно и точно нанесены три прямоугольника разных размеров. Один внутри другого, но так, что одна из боковых сторон каждого из них опирается на одну общую для всех прямую линию.

Вся фигура имеет вид как бы трех букв П, написанных одна в другой и опирающихся на общую черту; над верхним П начерчена небольшая дужка. Следует особо отметить, что человек, исполнявший этот чертеж, был очень тщателен и стремился нанести линии с максимальной точностью, соблюдая их параллельность и правильность прямых углов.

Анализ рязанского чертежа убеждает в том, что здесь перед нами отобранные для каких-то целей линии «вавилона».

Размеры того «вавилона», который послужил основой для чертежа, почти совпадают с размерами самой плиты, а этот размер, в свою очередь, является одним из самых ходовых, самых распространенных форматов древнерусского кирпича[141]141
  В той самой Успенской церкви, где найден чертеж, основным размером кирпича является 26×18,5×5; 25×18×4,5 см. (Монгайт А.Л. Указ. соч., с. 79). То же самое мы встречаем и в двойнике этой церкви, вернее образце ее – в Успенской церкви Елецкого монастыря в Чернигове.
  Все обозначения линий указаны в моей статье «Архитектурная математика древнерусских зодчих» (СА, 1957, № 1, рис. 17; с. 99).


[Закрыть].

Устойчивость формата 25×18 см и в то же время несовпадение его с древнерусскими мерами заставляют нас поискать основу его за пределами локтей и пядей.

Поиски направляют нас к уже известному нам «вавилону» со стороной в мерную сажень. Как выяснено выше, все древнерусские меры укладываются в этот график. Оказалось, что в него укладывается и интересующий нас распространенный в XII в. формат кирпича: длинная сторона кирпича равна большему отрезку поперечной линии БТ (линии БК), а короткая сторона кирпича равна меньшему отрезку этой линии (линии КТ).

Другими словами, если в «вавилоне» со стороной в 176,4 см мы продолжим линии среднего по величине прямоугольника до пересечения их со сторонами наибольшего прямоугольника, то по углам «вавилона» мы получим маленькие прямоугольники со сторонами 25,835 см и 18,265 см, т. е. соответствующие как ходовому формату русского кирпича, так и размерам старорязанской плиты с чертежом.

Все линии старорязанского чертежа взяты из «вавилона», длинная сторона которого – 25,835, а короткая – 18,265 см, т. е. они находятся в определенном геометрическом соотношении с основной русской мерой – мерной саженью[142]142
  Следует отметить только одно несовпадение – левая сторона наибольшего прямоугольника меньше правой на 0,8 см. Возможно, что это несовпадение – результат дефекта плиты, на которой есть трещины (рис. 12).


[Закрыть].

Степень точности рязанского чертежа ясна из следующей таблицы, где фактические размеры сопоставлены с размерами «вавилона», вычисленными алгебраически с точностью до трех знаков.

В результате проведенного сопоставления мы можем утверждать, что происхождение всех величин рязанского чертежа установлено – они получены при помощи графика из трех прямоугольников, являющегося, в свою очередь, производным от мерной сажени в 176,4 см.

По месту находки рязанского чертежа – в строительном горизонте здания XII в. – мы можем считать его автора причастным к строительству.

В отличие от всех известных нам находок «вавилонов», являющихся лишь изображением графика (порой очень приблизительными), рязанскую плиту мы вправе назвать точным чертежом, на который чертежник счел нужным перенести только шесть линий из всего многообразия линий «вавилона» (Расшифровку обозначений см.: СА, 1957, № I, рис. 17).

Математические свойства их таковы:

1. Линия Р. Если построить «вавилон» с основанием, равным линии F, то диагональ его будет равна стороне исходного «вавилона» – 25,835 см, линия R = F/2.

2. Линия Q делит сторону «вавилона» в отношении «золотого сечения». Погрешность около 0,017.

3. Линия S уже известна нам по задаче о превращении квадрата в три равновеликих ему квадрата.

4. Линия G тоже известна нам по задаче о построении равновеликого треугольника.

5. Линия N является половиной стороны «вавилона» в 25,8 см.

Как видим, все линии отобраны рязанским зодчим с определенным смыслом.

Каков же был практический смысл подобного отбора?

Естественней всего обратиться к мелким архитектурным деталям, для расчета которых мог быть нужен тот или иной геометрический расчет.

К сожалению, в Успенской церкви Старорязанского городища кроме обломков лекального кирпича от аркатурного пояса ничего не сохранилось.

На помощь нам приходит двойник рязанской церкви – Успенская церковь Елецкого монастыря в Чернигове, построенная в одно время с рязанской. Чернигов и Рязань составляли тогда единую епархию, и один из черниговских епископов середины XII в. построил, очевидно, церкви в черниговском монастыре и в Старой Рязани. У этих двух зданий одинаковы все размеры, одинаков план, одинаково применялось сочетание красного и желтого кирпича, кирпич штамповался одинаковыми клеймами; обе церкви имеют одинаковые крещальни для новообращенных язычников.

Пожалуй, во всей древнерусской архитектуре трудно найти два здания, более похожие друг на друга, чем рязанская и черниговская Успенские церкви. Поэтому за поисками архитектурных деталей, которые мы могли бы сравнить с рязанским чертежом, мы обратимся к Елецкой церкви в Чернигове[143]143
  Iполiт Моргилевський. Успеньска церква Елецького монастиря в Черниговi. Чернигiв Пiвнiчне Левобережжя. Київ, 1928; Корзухина-Воронина Г.Ф. Указ. соч., с. 77; Рыбаков Б.А. Древности Чернигова. – МИА, 1949, № 11, с. 83–89, рис. 46, 47, 51.


[Закрыть].

Стены этого стройного здания украшены только пилястрами с полуколоннами и белокаменным аркатурным поясом, расчленявшим стены по горизонтали. Белокаменные арочки опирались на белокаменные консоли, для заполнения арок и их разветвлений применялись керамические вставки в виде полукругов и сферических треугольников.

Весь аркатурный пояс представляет собой продуманное гармоничное украшение здания, пронизанное отношениями «золотого сечения» (например, внутренняя высота арки и ширина консоли; расстояние между консолями и высота укладки треугольников; высота фриза до поребрика и радиус керамического полукружия и т. д.).

Чувствуется, что при создании аркатуры черниговский зодчий тщательно математически рассчитывал все ее детали.

Сопоставим аркатурный пояс Елецкой церкви с чертежом из развалин старорязанской церкви.

Линия Q, отмеченная на чертеже полукругом, оказывается равной радиусу керамического полукружия. Внутренний радиус арки равен линии G, а внешний радиус – линии F.

Консоли построены при помощи линий R и S и расстояний между линиями F-N и R-S. Расстояние от консолей до поребрика равно стороне «вавилона» (2N).

Фриз из кирпичей построен при помощи линии S и расстояния RS.

Расстояние между двумя полукружьями равно линии между консолями – 2G.

Обнаружив такое поразительное совпадение, я вычертил все детали аркатурного пояса в натуральную величину, пользуясь только линиями рязанского чертежа, и кальку с полученного рисунка наложил на рисунок подлинного елецкого аркатурного пояса. Совпадение получилось полное; даже строительные допуски не исказили общего сходства (рис. 23, 24)[144]144
  Обмерный чертеж аркатурного пояса Елецкой церкви опубликован: Памятники архитектуры X–XV вв. Чертежи и фотографии, вып. 1, М., 1953, табл. 10.


[Закрыть].

Рис. 23. Теоретический чертеж аркатурного пояса Елецкой церкви XII в. в Чернигове (по «вавилону»).

Рис. 24. Реальный обмерный чертеж того же пояса.

Для построения всего аркатурного пояса оказалось достаточно только тех линий, которые были отобраны на рязанском чертеже, но зато все эти линии и все расстояния между ними оказались использованными при построении аркатуры в натуральную величину.

Это позволяет сделать очень важный вывод: приступая к созданию единственной декоративной детали собора, аркатурного пояса, русский зодчий середины XII в. составил (на основе «мерной сажени») специальный график – «вавилон» и, зная математические свойства этой фигуры, отобрал несколько таких линий, которые позволили бы ему создать наиболее гармоничный рисунок аркатуры. Необходимость перенесения отобранных линий на глиняную плиту, создание прочного и портативного эталона вызывались тем, что вычерчиванием рисунка будущей аркатуры задача зодчего не ограничивалась. Для всего собора нужно было около 200 керамических полукружий, 200 белокаменных консолей, 400 белокаменных блоков (дуги по 90°) для арок и т. д.