Текст книги "Механика от античности до наших дней"

Автор книги: Ашот Григорьян

сообщить о нарушении

Текущая страница: 11 (всего у книги 32 страниц)

За этим вскоре последовало опубликование классических «Начал». Первая книга была написана почти целиком в период с декабря 1684 по апрель 1686 г. Осенью того же года была закончена вторая книга, а редактирование третьей завершено в марте 1687 г.

Выше мы приводили ньютоново определение количества материи как величины, пропорциональной плотности, указав, что такое определение требует допущения корпускулярного строения материи (плотность подразумевалась как число частиц на единицу объема). Но на той же странице «Начал» Ньютон наметил другое определение, отождествив понятие количества материи с понятием массы. Массу, как и вес, можно мыслить чисто математически, сосредоточенными в одной точке. Именно такое абстрактное рассмотрение позволило Ньютону пойти дальше геометрико-механических моделей картезианства.

Ньютон отмечал, что специфической особенностью силы тяготения является ее происхождение от некоторой причины, которая «действует не пропорционально величине поверхности частиц, испытывающих ее воздействие (как это обыкновенно имеет место для механических причин), но пропорционально количеству твердого вещества», т. е. массе^{121}.

Исследуя, по его собственным словам, явления механики «математически», а не «физически», Ньютон попытался придать своим «Началам» строго геометрическую форму по образцу «Начал» Евклида: за определениями и аксиомами следуют предложения, или теоремы, со следствиями (короллариями) и поучениями (схолиями). На первых же страницах ньютоновских «Начал» сделана попытка как бы кодифицировать основные положения, уже открытые ранее (например, закон инерции) или «носившиеся в воздухе». Многое, однако, осталось неполным; многое, предполагаемое само собой разумеющимся, осталось невыясненным, вместо того чтобы быть формулированным в виде аксиом. Присмотримся к общей структуре знаменитых «Начал».

Первая книга, состоящая из 14 отделов, построена в нарочито абстрактном математическом плане. Только в следствиях и поучениях (схолиях) теорем просвечивают иногда те физические или астрономические применения, которые впоследствии эти теоремы находят. Основное содержание книги – движение материальных точек и твердых тел под действием центральных сил.

Вторая книга, состоящая из девяти отделов, рассматривает движения и действия сил с учетом влияния среды. В ней доказываются теоремы важные для гидростатики, гидродинамики и баллистики. Но, кроме того, она имеет завуалированный полемический аспект: в ней Ньютон фактически учиняет разгром картезианской физики, и в частности декартовского учения о вихрях «тончайшей жидкой материи», наполняющей мировое пространство.

Напомним, что, по Декарту, вихревое движение тонкой флюидной материи, происходящее вокруг Солнца, увлекает за собой планеты, вращающиеся и вокруг своей оси, – по аналогии с тем, что можно наблюдать на примере кусков дерева, увлекаемых вихревым движением воды и одновременно приводимых во вращательное движение. До известного расстояния от Солнца величина частиц тонкой материи и их угловая скорость убывают, дальше и та и другая становятся постоянными. Каждая планета имеет свою плотность и соответственно разное количество движения, рассматриваемое как произведение плотности на линейную скорость.

Планета остается на своей орбите там, где количество движения частиц тонкой материи равно количеству ее движения. На более близком расстоянии центробежная тенденция берет верх над центростремительным воздействием частиц тонкой материи, на расстоянии же более далеком, наоборот, перевешивает это центростремительное воздействие.

Ньютон опровергает эту концепцию прежде всего ссылкой на данные гидродинамики: «Если в однородной и беспредельной жидкости вращается равномерно около постоянной оси твердый шар и жидкость приводится во вращательное движение единственно только этим натиском (импульсом) и всякая ее часть продолжает сохранять свое равномерное движение», то тогда «времена оборотов частиц жидкости будут пропорциональны квадратам их расстояний до центра шара»^{122}.[25]25
  В примечании А. Н. Крылова указано на ошибку Ньютона. Должно быть: кубам.


[Закрыть]

Но если времена обращений вихря должны быть пропорциональны квадратам расстояний до центра, т. е. R² : r² = T: t, то как привести это в согласие с третьим законом Кеплера, согласно которому R³ : r³ = Т² : t²? Это возможно, говорит Ньютон, лишь в двух случаях: а) вещество вихря тем более текуче, чем оно дальше; б) сопротивление, «происходящее от недостатка скользкости частей жидкости, при увеличении скорости разделения частей друг от друга возрастает в большем отношении, нежели эта скорость». Однако, по Ньютону, ни то, ни другое не представляется «сообразным разуму»: ведь к периферии стремятся не более, а менее текучие частицы (если только они не тяготеют к центру), а сопротивление возрастает не в большем, а в меньшем отношении, чем скорость.

«Если же вихри, по мнению некоторых, движутся близ центра скорее, затем до некоторого предела медленнее, затем опять быстрее до окружности, то не может быть получено ни полукубическое, ни какое иное определенное отношение. Пусть философы сами посмотрят, при каком условии может быть объяснено вихрями явление, заключающееся в существовании указанного полукубического отношения».

В следующем за тем предложении Ньютон утверждает: «Тела, которые при переносе вихрем описывают постоянно одну и ту же орбиту, должны обладать одинаковою с вихрем плотностью и двигаться по тому же закону скорости и ее направления, как и части самого вихря».

В поучении (схолии) Ньютон делает отсюда общий вывод: планеты не могут быть переносимы материальными вихрями… И далее еще резче: «Таким образом, гипотеза вихрей совершенно противоречит астрономическим явлениям и приводит не столько к объяснению движений небесных тел, сколько к их запутыванию»^{123}.

То же самое отмечал Ньютон позднее в «Оптике». Против «заполнения неба жидкими средами, если они только не чрезвычайно разрежены», свидетельствуют «правильные и весьма длительные движения планет и комет в небесном пространстве», показывающие, что «небесное пространство лишено всякого заметного сопротивления, а следовательно, и всякой ощутимой материи».

Антикартезианское «Общее поучение», которым заканчиваются «Начала», звучит весьма сурово: «Гипотеза вихрей подавляется многими трудностями. Чтобы планета могла описывать радиусом, проведенным к Солнцу площади, пропорциональные времени, надо, чтобы времена обращений частей вихря были пропорциональны квадратам расстояний их до Солнца. Чтобы времена обращений планет находились в полукубическом отношении их расстояний до Солнца, и времена обращений частей вихря должны находиться в полукубическом же отношении их расстояний до Солнца. Чтобы меньшие вихри вокруг Сатурна, Юпитера и других планет могли сохранять свое обращение и спокойно плавать в вихре Солнца, времена обращения частей солнечного вихря должны быть между собою равны. Вращение Солнца и планет вокруг своих осей, которое должно бы согласоваться с движениями вихрей, совершенно не согласуется с этими пропорциями. Движения комет вполне правильны и следуют тем же законам, как и движения планет, и не могут быть объяснены вихрями. Кометы переносятся по весьма эксцентрическим орбитам во всех областях неба, чего быть не может, если только вихрей не уничтожить»^{124}.

Кульминационным пунктом «Начал» является третья книга, основное содержание которой составляет изложение системы мира. Весьма интересно и важно заявление Ньютона в самом начале этой книги. Из него явствует, что сначала он написал ее, придерживаясь популярного изложения, чтобы она читалась многими. Затем, однако, он переложил сущность этой книги в ряд предложений, по математическому обычаю, так чтобы она читалась лишь теми, кто сперва овладел «Началами». Сделал это Ньютон, по его собственному признанию, для того, чтобы «те, кто, недостаточно поняв начальные положения, а потому совершенно не уяснив силы их следствий и не отбросив привычных им в продолжение многих лет предрассудков, не вовлекли бы дело в пререкания». Интересно также, что Ньютон особо подчеркивал необходимость хорошенько изучить определения, законы движения и первые три отдела первой книги, после чего можно уже прямо переходить к третьей книге и обращаться к другим предложениям, «если того пожелают», лишь в тех местах, где на них сделаны ссылки. Три особо рекомендуемых для понимания третьей книги отдела первой книги посвящены: первый отдел математическому аппарату (методу флюксий, или методу первых и последних отношений, которым, кстати сказать, Ньютон пользуется далеко не везде в своих «Началах»); второй отдел озаглавлен «О нахождении центростремительных сил», и третий – «О движении тел по эксцентричным коническим сечениям». Попробуем последовать указаниям Ньютона и пойти по пути, который он наметил.

Сначала об определениях. Ньютон различает приложенную силу (силу в современном смысле) и силу, которая «врождена» материи или заключена в ней. Первая есть «действие, производимое над телом, чтобы изменить его состояние покоя или равномерного прямолинейного движения», вторая – присущая материи «способность сопротивления, по которой всякое отдельно взятое тело, поскольку оно предоставлено самому себе, удерживает свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения». Эту «силу» Ньютон называет также «инерцией материи», являющейся причиной того, что всякое тело лишь с трудом выводится из своего покоя и движения.

Ньютон говорит, что «эта сила всегда пропорциональная массе и если отличается от инерции массы, то разве только воззрением на нее».

Вслед за тем Ньютон дает определение центростремительной силы, которая составляет главный предмет первой книги «Начал». Это есть та сила, «с которою тела к некоторой точке, как к центру, отовсюду притягиваются, гонятся или как бы то ни было стремятся».

Как математик, Ньютон не вдается, следовательно, в физическую природу силы. Кроме абсолютной величины центростремительной силы Ньютон различает ускорительную и движущую величину ее. Первая есть «мера, пропорциональная той скорости, которую центростремительная сила производит в течение данного времени». Вторая пропорциональна количеству движения, которое производится центростремительной силой в течение данного времени. Отсюда следует, что

или, иначе, движущая сила пропорциональна ускорительной силе, умноженной на массу.

Второй отдел первой книги «Начал» есть «математическая прелюдия» к третьей книге. Первое предложение определяет зависимость между площадями, которые описывают радиусы, и временами (основа для последующего вывода второго закона Кеплера). «Площади, описываемые радиусами, проводимыми от обращающегося тела к неподвижному центру сил, лежат в одной плоскости и пропорциональны времени описания их». Наоборот, «если тело движется по какой-либо плоской кривой так, что радиусом, проведенным к неподвижной точке или к точке, движущейся равномерно и прямолинейно, описываются площади, пропорциональные времени, то это тело находится под действием центростремительной силы, направленной к указанной точке».

В третьем отделе Ньютон рассматривает движение тел по эксцентричным коническим сечениям под действием центростремительной силы, направленной к фокусу кривой. Отдельно для эллипса (предложение 11), гиперболы (предложение 12) и параболы (предложение 13) доказывается, что величина силы обратно пропорциональна квадрату расстояния до центра силы. Отсюда выводится основа второго и третьего законов Кеплера, а именно: «Если несколько тел обращаются около общего центра сил, причем центростремительные силы обратно пропорциональны квадрату расстояния до центра, то главные параметры орбит пропорциональны квадратам площадей, описываемых проведенными к телам радиусами в одно и то же время». И в следующем предложении: «При тех же предположениях утверждаю, что времена оборотов по эллипсам относятся между собою, как большие полуоси в степени ³/₂».

Третьей книге предпосланы «Правила философствования», о которых мы скажем позднее, и «Явления», т. е. обобщенные данные астрономических наблюдений. Явление 1 относится к спутникам Юпитера, орбиты которых «не отличаются чувствительно» от кругов с центрами в центре этой планеты; к ним применим закон площадей (второй закон Кеплера) и третий закон Кеплера. Явление 2 – то же относительно спутников Сатурна. В явлениях 3—5 утверждается справедливость второго и третьего законов Кеплера относительно пяти «главных планет» (Меркурия, Венеры, Марса, Юпитера и Сатурна), а в явлении 6 – применимость закона площадей к движению Луны.

Поскольку в первой книге «Начал» законы Кеплера уже были выведены теоретически из закона центростремительной силы, а в только что упомянутых «Явлениях» констатировано, что эти законы распространяются на планеты и их спутники, постольку в первых предложениях третьей книги Ньютону уже не остается ничего другого, как сослаться на уже сказанное. Это сделано в полном соответствии с правилами изложения по обычаю геометров, т. е. по образцу «Начал» Евклида. В качестве примера достаточно привести лишь текст предложения 1 и его доказательства: «Силы, которыми спутники Юпитера постоянно отклоняются от прямолинейного движения и удерживаются на своих орбитах, направлены к центру Юпитера и обратно пропорциональны квадратам расстояний мест до этого центра». Доказательство сводится к фразе: «Первая часть предложения следует из явления 1 и предложения 2 или 3 книги I; последняя часть – из явления 1 и следствия 6 предложения 4 той же книги». Далее Ньютон добавляет: «То же самое разумей и о спутниках Сатурна на основании явления 2».

Центральное место в III книге занимает предложение 4: «Луна тяготеет к Земле и силою тяготения постоянно отклоняется от прямолинейного движения и удерживается на своей орбите».

Отсюда Ньютон делает свой знаменитый вывод, что сила, которая удерживает Луну на ее орбите, есть та самая сила, которая называется тяжестью, или тяготением.

Этот вывод Ньютон основывает на первом и втором правилах философствования, или, как переводит А.Н. Крылов, правилах умозаключений в физике. Первое правило гласит: «Не должно принимать в природе иных причин сверх тех, которые истинны и достаточны для объяснений явлений». В этой связи Ньютон ссылается на старое утверждение философов, что «природа ничего не делает напрасно», что «природа проста и не роскошествует излишними причинами вещей». Отсюда второе правило: «поскольку возможно, должно приписывать те же причины того же рода проявлениям природы».

Следовательно, сила, которая удерживает Луну на ее орбите, и сила тяготения – одна и та же. На основании того же второго правила Ньютон распространяет сказанное на спутники других планет и самые планеты.

Если сопоставить только что сказанное с ранее приведенными положениями Ньютона, нетрудно видеть, что порядок изложения «Начал» – от общих абстрактных выводов к проверке их конкретными эмпирическими данными – вовсе не соответствует историческому ходу мысли самого Ньютона, где обнаруживается сложнейшее переплетение абстрактного и конкретного. Уместно напомнить, что как раз в годы написания «Начал» (1686—1687) Ньютон беспрестанно обращался к астроному Флемстиду с вопросами относительно точных данных, касающихся орбит Юпитера и Сатурна, сплющенности Юпитера у полюсов, расхождений между новыми наблюдениями Сатурна и таблицами Кеплера и т. д.

Ньютон несколько раз решительно заявлял, что в «Началах» он исследует силы не как физик, а как математик. Так, он писал: «Я придаю тот же самый смысл названиям ускорительные и движущие притяжения и натиски (импульсы). Названия же притяжение, натиск (импульс) или стремление я употребляю безразлично одно вместо другого, рассматривая эти силы не физически, а математически». Ньютон заявляет, что не хочет этими названиями определить самый характер действия или физические причины происхождения этих сил или же приписывать центрам (которые суть математические точки) и физические силы, хотя и будет говорить о «силах центров и о притяжении центрами»^{125}.

В первой книге «Начал» Ньютон рассматривает центростремительную силу как «притяжение», хотя «следовало бы, если выражаться физически, именовать ее более правильно напором (impulsis)». «Но теперь, – продолжает он, – мы занимаемся математикой и, оставляя в стороне физические споры, будем пользоваться более обычным названием, чтобы быть понятнее читателям-математикам».

В другом месте Ньютон говорит, что в своих «Началах» он исследует не виды сил и физические свойства их, а лишь их величины и математические соотношения между ними. «Математическому исследованию подлежат величины сил и те соотношения, которые следуют из произвольно поставленных условий. Затем, обращаясь к физике, надо эти выводы сопоставить с совершающимися явлениями, чтобы распознать, какие же условия относительно сил соответствуют отдельным видам обладающих притягательною способностью тел. После того, как это сделано, можно будет с большею уверенностью рассуждать о родах сил, их причинах и физических между ними соотношениях»^{126}.

Поэтому в известном смысле был прав анонимный рецензент «Начал» (по всей вероятности, ученик Декарта Режи), когда писал вскоре после выхода в свет труда Ньютона, что труд это есть «чистая механика, самая совершенная, какую только можно вообразить». Это значило в глазах рецензента, что Ньютон еще должен доказать физическую правильность своих абстрактных механических положений.

Воспитанный в атмосфере декартовских идей, но все более отходивший от правоверного картезианства, Мальбранш развивал в сущности те же мысли и до и после выхода «Начал». Природа не абстрактна; рычаги и колеса механические – не математические линии и круги. Геометрия, по словам Мальбранша, иногда «бывает для нас поводом к заблуждению». «Мы так увлекаемся очевидными и приятными доказательствами этой науки, что недостаточно наблюдаем природу. Вот главная причина, почему не все изобретенные машины бывают удачны… Почему самые точные астрономические вычисления не предсказывают хорошо продолжительности и времени затмений… В движении планет нет полной правильности; носясь в громадных пространствах, они неравномерно увлекаются жидкой материей, окружающей их».

Мальбранш готов признать, что «заблуждения, в которые мы впадаем в астрономии, механике, музыке и во всех науках, где применяется геометрия, происходят не от геометрии, науки неоспоримой». Дело в ложном применении ее, в истолковании математических и механических абстракций как вполне точных отражений физической действительности. «Так, например, предполагают, что планеты в своих движениях описывают совершенно правильные круги и эллипсы, а это неверно. Такое предположение необходимо для рассуждений, и оно почти верно; но мы должны всегда помнить, что принцип, на основании которого мы рассуждаем, есть только предположение. Точно так же в механике мы предполагаем, что рычаги и колеса совершенно тверды и подобны математическим линиям и кругам, не имеющим тяжести и трения»^{127}.

В другом месте Мальбранш указывал, что астрономы Нового времени открыли эллиптическую форму планетных движений. Но если они утверждают, что эти эллипсы вполне правильны, они впадают в заблуждение, и такое заблуждение «тем труднее исправить, что наблюдения, производимые над течением планет, не могут быть ни достаточно точны, ни достаточно верны, чтобы обнаружить неправильность их движения». Только одна физика, заключал Мальбранш, может поправить эту ошибку.

Получалась парадоксальная картина. Картезианцы объявляли отвлеченной гипотезой всю теоретическую механику Ньютона и усматривали в картезианской физике вихрей подлинно физическое объяснение, тогда как Ньютон, наоборот, заявлял, что не измышляет гипотез, и объявлял всю картезианскую физику сплошной гипотезой в самом дурном, порицательном значении слова.

Но то, что картезианцы были склонны поставить Ньютону в упрек, было в действительности основным достоинством его основополагающих «Начал».

Напомним слова В.И. Ленина из его «Философских тетрадей»: «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному, не отходит – если оно правильное…– от истины, а подходит к ней. Абстракция материи, закона природы, абстракция стоимости и т. д., одним словом, все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике – таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности»^{128}.

Если бы Ньютон последовал советам Мальбранша, можно смело сказать, что не было бы «Математических начал натуральной философии». Как математик, он умел ставить проблемы во всей их абстрактной общности, отвлекаясь от осложняющих моментов, но наряду с этим он же ставил столь же математически вопрос о праве не принимать во внимание до поры до времени подобные «осложняющие» моменты. Так, говоря о взаимодействии Луны и Земли, Ньютон считал возможным пренебречь действием Солнца, но одновременно он выяснял величину этого действия. Именно им были поставлены вопросы о возмущениях близких к круговому движению двух тел (Луны и Земли) под действием третьего, от них весьма далекого (Солнца).

Ньютон озаглавил свой труд «Математические начала натуральной философии». Мы видели, в каком смысле следует понимать слова «математические начала». Но изложил ли он в своем произведении математические начала всей натуральной философии? Он рассмотрел ряд важнейших явлений (небесные движения, приливы моря, удар тел, движение брошенных тел и т. д.). Однако не случайно восклицал он: «О если бы и остальные явления природы можно было также вывести путем того же способа аргументации из начал механики!» В деятельности Ньютона оставались области, которые не подвергались и еще не могли подвергнуться подобной математизации.

Особые усилия прилагал Ньютон к тому, чтобы добиться союза математики и физики в области оптики. В оставшихся забытыми «Лекциях по оптике» он писал: «Так же как астрономия, география, мореплавание, оптика и механика почитаются науками математическими, ибо в них дело идет о вещах физических, небе, земле, кораблях, свете и местном движении, так же точно и цвета относятся к физике, и науку о них следует почитать математической, поскольку она излагается математическим рассуждением. Точная наука о цветах относится к труднейшим из тех, кои желательны были бы философу. Я надеюсь на этом примере показать, что значит математика в натуральной философии, и побудить геометров ближе подойти к исследованию природы, а жадных до естественной науки сначала выучиться геометрии, чтобы первые не тратили все время на рассуждения, бесполезные для жизни человеческой, а вторые, старательно выполнявшие до сих пор свою работу превратным методом, разобрались бы в своих надеждах, чтобы философствующие геометры и философы, применяющие геометрию, вместо домыслов и возможностей, выхваляемых всюду, укрепляли бы науку о природе высшими доказательствами»^{129}.

Обращая внимание на эти малоизвестные строки «Лекций», С.И. Вавилов писал: «Сложное учение о цветах Ньютон впервые поставил на почву измерительного физического опыта и математического расчета. Учение о цветах наряду с геометрической оптикой заняло законное место в «quadrivium»^{130}.

Нет сомнения, что в этой и в аналогичных областях эксперимент и наблюдение должны были играть совершенно иную роль, чем при математическом исследовании математических начал натуральной философии.

Так наука на рубеже XVIII в. оказалась лицом к лицу с новыми проблемами математико-механического истолкования явлений и новой необозримой областью научного экспериментирования.

Ньютон сформулировал основную задачу, которую решает наука в этой новой области. Он говорил о двух вопросах, ответы на которые содержатся в «Началах натуральной философии». Один вопрос – это вопрос о поведении тел, об их положениях, скоростях и ускорениях, когда заданы действующие на них силы. Это механика в собственном смысле. Второй вопрос о силах, когда заданы положения тел. Как мы видели, этот второй вопрос был центральным вопросом ньютоновой теории тяготения. Последняя стала образцом для появившихся впоследствии концепций магнитного и электрического полей с тем, впрочем, различием, что эти поля зависят, как оказалось, одно от другого. Но такое отличие уже выводило науку за рамки ньютоновой схемы и означало эмансипацию физики от власти механики. Следующим актом этой эмансипации было подчинение самой механики более общим понятиям теории поля.

Но нас сейчас интересует история механики, причем в этой главе – история ее начальных этапов. Сопоставление двух вопросов, поставленных Ньютоном в «Началах натуральной философии» – определения движений и положений тел по заданным силам и определения сил по заданному положению тел, – бросает свет на характерную и важную особенность этих этапов. Классическая механика уже в XVII в. включала понятия и идеи, которые открывали ей дорогу к руководящей роли в науке, к сведению закономерностей природы к механике. И вместе с тем классическая механика содержала понятия и идеи, которые при своем дальнейшем развитии означали эмансипацию физики и, более того, изменении фундаментальных основ классической механики, заложенных в XVII в.