Текст книги "Пуанкаре"

Автор книги: Алексей Тяпкин

Соавторы: Анатолий Шибанов
сообщить о нарушении

Текущая страница: 9 (всего у книги 34 страниц)

Горный инженер

Прибыв по месту своего назначения, Анри впервые ощутил себя по-настоящему самостоятельным и по-настоящему одиноким. Самый близкий к Нанси пост, где он мог занять должность горного инженера, – это Везуль. С апреля 1879 года выпускник Горной школы Анри Пуанкаре распределен туда простым инженером шахт третьего класса. В его обязанности входит наблюдение, контроль и инспектирование каменноугольных копей Роншан. Кроме того, он состоит на службе контроля и эксплуатации железных дорог.

Предоставленный самому себе, один в чужом городе, он сразу оказался без друзей, без близких и знакомых. Лишившись уже привычной для него опеки, Анри не испытывает растерянности не приспособленного к повседневным бытовым мелочам человека. Его требования к практической стороне жизни настолько минимальны, что он легко расправляется с возникающими житейскими неудобствами с помощью одной лишь иронии. «На днях я нашел свои ножницы на их обычном месте, то есть в моих руках, – пишет он в Нанси. – Моя лампа работает хорошо: сорок спичек на каждый раз, как я ее зажигаю, и порой мне случается сделать пожар». Все это для него лишь прозаическая изнанка повседневности, побочные стороны жизни, теряющиеся в тени того, что составляет главное ее содержание. Анри делит свое время между профессиональными заботами, подготовкой к защите диссертации, которая передана на Факультет наук в Париже, и… романом, который он начал писать сразу же после переезда в Везуль.

Разъезжая по территории подопечного округа, он обследует шахты, составляет заключения, отчеты, доклады, рапорты. В июне Пуанкаре посещает шахты Сен-Шарля, со скрупулезной точностью отмечая основные характеристики этой залежи. В сентябре он уже на шахтах Сен-Полин, спускается в их аспидно-черную глубину, заглядывает в горизонтальные галереи, интересуясь состоянием рудничной вентиляции, выделением газов и притоком грунтовых вод. В конце октября Анри уже можно встретить под низко оседающими сводами штолен в шахтах Сен-Жозеф. Он инспектирует работы по креплению. В конце ноября на очереди месторождение Мани. Это будет последний его инспекционный визит за время недолгого пребывания в должности горного инженера.

Через Везуль Анри Пуанкаре прошел транзитным пассажиром, как через промежуточную станцию между порой надежд и порой свершений. Этот короткий отрезок его жизни нельзя даже рассматривать как передышку в его творческой деятельности. Скорее это ожидание перед прыжком, а еще точнее – подготовка к самому прыжку, который последует незамедлительно. Не без оснований можно предполагать, что, помимо множества исполняемых им дел – обязанности инженера, защита диссертации, написание романа, – в нем уже совершается непрерывная и никем не примечаемая внутренняя работа, вовсе с ними не связанная, роятся и зреют идеи и замыслы его ближайших математических открытий. При всей кажущейся монотонности и внешнем однообразии жизни время, проведенное Анри в Везуле, нельзя считать периодом, потерянным для его будущих научных трудов. Его можно уподобить периоду скрытого созревания, инкубационному периоду его творчества. Впрочем, не всегда его существование выглядело спокойно-деловитым даже внешне.

Ранним утром 1 сентября, еще до рассвета, инженер Пуанкаре был срочно вызван на шахты Мани. Прибыв на место, он увидел во дворе глухо гудящую толпу углекопов среди темных куч отсортированного угля. Тревожно-надсадное дыхание парового подъемника перекрывало гул голосов. Пройдя в контору, Анри узнает, что произошел взрыв рудничного газа и неизвестна судьба около двух десятков шахтеров, оставшихся под землей. Исполняя свой долг, он спускается вместе со спасательно-поисковой группой в зияющее жерло шахты навстречу полной неизвестности. В последовавшей затем суматохе администрация как будто бы даже сообщила о гибели инженера Пуанкаре при расследовании обстоятельств аварии. К счастью, это была ошибка. Он благополучно поднялся на поверхность земли, выяснив размеры и причины происшедшей катастрофы. Шестнадцать человеческих жизней – таков итог трагедии, разыгравшейся на многометровой глубине под толщей угольных пластов.

Анри только что, в августе месяце, успешно защитил в Париже диссертацию. И вот несчастный случай мог оборвать его жизнь на самом пороге творческой зрелости. Почти два года спустя именно так погиб при исполнении своих обязанностей его друг, первый выпускник Политехнической школы и второй выпускник Горной школы инженер Бонфуа. Судьба вообще оказалась немилостивой к первой тройке выпускников этих школ. В 1884 году преждевременно скончался Петидидье. Из всей троицы слепой рок пощадил лишь одного Пуанкаре, которому предстояло, как показало будущее, стать первым ученым Франции.

А недавнее прошлое, лицейские годы говорят еще и о том, что он, быть может, мог стать украшением французской литературы. Не так просто ему было распрощаться с этим прошлым. Подспудно скрываемый талант, словно упрямый родниковый ключ, пытается пробиться сквозь толщу последующих наслоений. Биографы гадали: почему весной 1879 года Анри Пуанкаре засел за литературный труд? Было ли это приятным творческим развлечением одинокого молодого человека, заброшенного судьбой в маленький провинциальный город? Или, быть может, Анри держал пари с кузеном Раймоном, продолжая их памятные литературно-философские споры?[9]9
  [9] Известно, что Раймон Пуанкаре примерно в это же время, тоже отдал дань литературному творчеству, но оба его романа были потеряны.


[Закрыть] Самое простое и, по-видимому, наиболее правдоподобное объяснение заключается в том, что Пуанкаре недаром был бакалавром словесности. Бремя былых литературных увлечений не сбросишь с плеч, как ненужный балласт. И вот в руках его тетрадь с твердым переплетом, обтянутым суровым полотном, с укрепленными медью уголками. Плотно заполняя страницы, не оставляя даже полей, он пишет одну главу за другой. Разворачивается и живет рожденное его воображением действие.

Мадам Эмиль Фовель, весьма красивая женщина, совсем молодой была выдана замуж за преуспевающего чиновника, который старше ее на много лет. Как естественное следствие этого неестественного брака в ней пробуждается чувство, объектом которого становится господин де Лабланкетт, супрефект. Но супрефекту вскоре наскучило это рискованное приключение с замужней женщиной. Внимание его переключается на Жюльетту, ее дочь, В этот момент господин Фовель узнает о тайной связи своей жены с де Лабланкеттом, обнаружив компрометирующее их письмо. В маленьком провинциальном городке разыгрывается настоящая драма: выстрелом из пистолета господин Фовель убивает себя. Супрефект спешно покидает этот край. Потрясенная происшедшим Жюльетта переходит жить к своей тете. Позднее она выйдет замуж за художника Жана Баланса, с которым встретилась еще на первом своем балу. Что же касается мадам Фовель, то через некоторое время она последует за своим возлюбленным, который появился однажды, чтобы увидеться с ней.

Несомненно, что Анри вложил в это произведение свой пока еще небогатый жизненный опыт. В любой из двадцати глав можно найти характерные приметы общественной жизни той эпохи. В романе перемешаны жестокая ирония и снисходительность, тонкие психологические наблюдения, анализ мельчайших, интимнейших переживаний героев, зарисовки провинциальных нравов и быта. Автор словно предчувствует надвигающуюся волну увлечения психологизмом, которое охватит французскую литературу в восьмидесятых годах прошлого века, идя на смену натурализму и его крайностям. Особенно ярко это направление проявится в психологических романах Ги де Мопассана, один из которых обнаруживает удивительное сюжетное сходство с романом Пуанкаре, написанным десятью годами раньше. «Сильна, как смерть» – так назвал Мопассан свое произведение, сюжет которого ему подсказала госпожа Леконт де Нуи. Роман Пуанкаре не имеет названия и, начатый с большим старанием, был весьма поспешно завершен весной следующего года. Причины этого станут ясными в следующей главе.

Диссертация давала Анри Пуанкаре право преподавать в высших учебных заведениях. И он не замедлил этим воспользоваться. Получив от министра общественных работ разрешение преподавать в университете, он 1 декабря 1879 года отбывает в Кан, где был назначен преподавателем курса математического анализа на Факультете наук. Первоначально он думал, что сможет совместить обе должности – преподавателя и инженера. Кто-то ему сказал, что Лекорню, назначенный инженером в свой родной город Кан, хочет изменить место жительства. Если бы это оказалось правдой, Анри смог бы занять освободившуюся должность. 15 ноября 1879 года он посылает Лекорню телеграмму с просьбой ответить ему, правильны ли его сведения. Лекорню отвечает Пуанкаре, что он был неправильно осведомлен. Таким образом, Пуанкаре вынужден заниматься в Кане только преподаванием. Покинув Везуль, он никогда больше не вернется к деятельности горного инженера, но по-прежнему будет числиться по своему ведомству, время от времени получая повышения в звании.

Глава 5 КАНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Брожение идей

Перемена была разительной во всех отношениях. От восточных окраин Франции, от вздыбленных, поросших лесом предгорий Вогезов Пуанкаре перенесся на западное побережье, к влажному дыханию океана, к открытым зеленым лугам Нижней Нормандии; вместо слепящего мрака штолен и закопченных угольной пылью зданий контор его ждали высокие и светлые аудитории университета. Только Анри с его надежно защищенным внутренним миром, стойким к внешней стороне бытия, мог спокойно, как должное воспринять этот переломный момент своей жизненной судьбы. Но даже его, уроженца Нанси, которого трудно было удивить городской стариной, пленил старофранцузский город Кан. Нигде не видел он такого количества старинных домов, привлекающих к себе внимание выступающими башенками, аркадами и тончайшим каменным кружевом готических стев, не говоря уже о средневековом замке и многочисленных церквах – архитектурных памятниках X и XI веков. Расположенный на реке Орн, Кан был не только крупным нормандским городом, но и весьма оживленным портом. Полноводная река позволяла подходить к его причалам даже крупным морским судам.

Нанси слывет университетским городом, но Кан смело можно было причислить к самым ученым городам Франции по числу его высших и средних учебных заведений, по активности его ученых обществ. Его библиотека была одной из лучших среди провинциальных библиотек, а старейший во Франции университет насчитывал уже четыре с половиною сотни лет.

Лекции Пуанкаре не вызывали у слушателей восторга. Об этом свидетельствует Лекорню, единственный близкий его знакомый в Кане. Манера изложения у нового лектора была весьма неактивная, нерешительная. К тому же он вовсе не стремился прояснить студентам то, что ему самому казалось интуитивно понятным и очевидным. Не способствовала успеху преподавания и всегдашняя рассеянность Анри, которая в этот период особенно усугубилась. Если в Везуле его напряженная внутренняя жизнь была скрыта от окружающих, разве лишь листы тетради хранили тайну другого, писательского бытия молодого выпускника Горной школы, то в Кане следы незримых, глубинных процессов, завладевших его сознанием, выплескиваются на поверхность. Порой он невпопад отвечает на вопросы, порой попросту забывает, где он находится. Что-то неотступное, навязчивое постоянно осаждает его ум, отвлекает от повседневных дел и занятий. Весьма показателен в этом отношении рассказ Лекорню о том, как они вместе встречали новый, 1880 год.

Понимая, как одиноко Пуанкаре на первых порах в Кане, Лекорню пригласил его провести новогодний вечер у своих родителей. Анри принял приглашение и, явившись в назначенный час, повел себя в высшей степени непонятно, если не сказать невежливо. «Он провел вечер, прогуливаясь взад и вперед, – вспоминал впоследствии Лекорню, – не слушая то, что ему говорят, или отвечая с трудом и односложными словами». Сосредоточенный на своих мыслях, обуреваемый наплывом неведомых дум, гость до такой степени замкнулся в своей внутренней уединенности, что не заметил, как пробило полночь. «…Я осторожно напомнил ему, что мы уже в 1880 году», – рассказывает Лекорню. Будто бы разом спустившись на землю, Анри смущенно распрощался и ушел.

Что же так занимало его ум и властвовало в душе? Неужели до такой степени увлек его неоконченный роман? Последующее замечание Лекорню проливает свет на этот вопрос. Когда несколько дней спустя они встретились на набережной порта и разговорились, Анри с невозмутимым видом произнес: «Я теперь умею интегрировать любые дифференциальные уравнения». «Я догадываюсь, о чем он думал, переходя из 1879 в 1880 год», – добавляет Лекорню. Оказывается, мысли Анри были обращены к дифференциальным уравнениям и методам их решения. И судя по всему – уже не первый месяц.

В области математических наук XVIII век завещал XIX веку великую проблему, которая не решена полностью и по сию пору, – интегрирование дифференциальных уравнений. Это была проблема номер один для математиков прошлого столетия, но решения ее ждали представители всего точного естествознания, потому что дифференциальные уравнения были единственной математической формой описания естественных процессов. Когда ученые хотят выразить на математическом языке движущиеся, изменяющиеся или развивающиеся явления, они вынуждены вводить в уравнения характеристики этого движения, изменения – скорости, а то и ускорения. Так появляются в науке дифференциальные уравнения, в которые величины входят не сами по себе, как в алгебраические уравнения с «иксами», не под знаком логарифма или тригонометрической функции, как в трансцендентные уравнения, а в продифференцированном виде, в виде скоростей их изменения. Подавляющее большинство природных процессов описывается именно такими уравнениями.

Построить физическую теорию для ученых прошлого века означало прежде всего найти дифференциальные уравнения, описывающие движение всех частей исследуемой системы, будь это планеты, вращающиеся вокруг Солнца, или мельчайшие, невидимые глазу частицы газа. В начале XIX столетия Лаплас считал даже, что вся вселенная с математической точки зрения представляет собой лишь огромную совокупность дифференциальных уравнений и ничего больше. Ум, способный разом охватить и решить эти уравнения, мог бы предсказывать будущее мира. К концу XIX века дифференциальные уравнения все еще выступали основной формой представления точного знания. Поэтому умение их решать, интегрировать, как говорят математики, являлось насущной потребностью времени.

Но очень скоро ученые убедились, что они могут справиться лишь с крайне незначительным числом таких уравнений. Скрытую в них неизвестную величину не удавалось порой выразить никакой комбинацией математических функций. Уж не погоня ли это за призраком? Быть может, уравнения эти в принципе неразрешимы? Такие сомнения были отметены знаменитым французским математиком Огюстеном Коши, который в первой половине XIX века строго доказал, что при известных условиях всегда существует решение дифференциального уравнения. Подстегиваемые твердым убеждением, что искомое существует, ученые тщетно пытались отлить его в какую-нибудь знакомую математическую форму. Решение ускользало, как неясная мысль, которую не удается высказать словами. Слишком беден был математический язык науки, слишком скуден запас функций на складе математики. В дополнение к хорошо известным элементарным функциям уже были открыты и изучены некоторые новые, например гамма-функции, зета-функции, цилиндрические функции. В начале XIX века к ним присоединился новый класс функций – эллиптических. Но среди них не находилось подходящих, в которых могло бы воплотиться все богатство решений дифференциальных уравнений. Математики познали «муки слова», которые до сих пор считались уделом мастеров поэзии и прозы.

Такую картину застал Анри Пуанкаре, когда он занялся теорией дифференциальных уравнений. Изо дня в день он ходит в университет, читает лекции, ведет занятия, принимает экзамены, гуляет по городу, встречается с немногочисленными знакомыми, почти автоматически выполняет массу неизбежных повседневных дел и терпеливо и неотступно вынашивает свои идеи. Цель ясна, да и не ему одному, но не видно к ней никаких подступов. Один за другим отпадают рождающиеся в его мозгу варианты, такие заманчивые и многообещающие на первый взгляд, но не выдерживающие сколько-нибудь пристального критического рассмотрения.

Задумчиво перелистывая как-то математический журнал, Анри заинтересовался одной статьей. Немецкий математик Лазарь Фукс тоже работает над теорией дифференциальных уравнений и много преуспел в этой области. Анри не нужно повторно читать статью, он и так сумел схватить самую ее суть. Одна мысль автора захватила его воображение: построить функции, через которые выражаются решения дифференциальных уравнений, как выражаются решения алгебраических уравнений через абелевы трансцендентные функции. Анри словно заглянул в затянутый туманной дымкой, неясный, но внушающий надежду мир. Не попытаться ли расширить таким образом наличный состав математических функций, пополнить их новыми функциями, которые позволили бы наконец выразить искомые решения дифференциальных уравнений? Он тщательно анализирует выводы немецкого математика, проверяет его выкладки и доказательства, находит в них ряд сомнительных мест. Попутно у него рождаются собственные идеи и догадки, которые тоже требуют проверки.

Как раз в это время завершался срок подачи работ на конкурс «Гран-при» по математике, объявленный Академией наук. Тема конкурса была как нельзя более подходящей: усовершенствовать в некоторых пунктах теорию интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Забыта тетрадь с неоконченным романом, который Анри дописывал первое время после переезда в Кан. Отныне он одержим только одной идеей, которой отдает все свои силы и время. Призрачный, туманный мир все больше проясняется перед его внутренним взором. Уже 28 мая Пуанкаре представляет на конкурс свой мемуар,[10]10
  [10] Так называют во Франции научные статьи.


[Закрыть] содержащий анализ и дальнейшее развитие идей, изложенных Л. Фуксом.

Большой приз по математике за 1880 год присудили Жоржу Альфану, работа Пуанкаре была для этого еще слишком незрелой и слишком поспешной. Ведь он только коснулся благодатного источника, породившего в нем могучий каскад идей. В его мемуаре лишь эскизно намечался тот грандиозный план, который столь блистательно был осуществлен им в последующие годы. Но оригинальность и плодотворность его идей не ускользнули от опытного, проницательного взора Шарля Эрмита. В своем докладе по работам, поданным на конкурс безымянными, он особо отметил исследование, девизом которого служило латинское изречение. Глава французской школы математиков призывал неизвестного автора неуклонно следовать по избранному им пути, который представлялся ему в высшей степени обнадеживающим. Это была работа Анри Пуанкаре.

Диалог с математиком из Гейдельберга

Уже на следующий день после представления своей работы на конкурс, то есть 29 мая 1880 года, Пуанкаре пишет Лазарю Фуксу письмо. Завершив свой многодневный напряженный труд, он решает выяснить некоторые мучившие его сомнения и воздать должную дань восхищения автору статьи, оказавшей на него столь сильное влияние. Анри сообщает, что с большим интересом прочитал мемуар и просит разрешения задать ряд вопросов. Одновременно он высказывает свои соображения относительно выводов, сделанных в этом исследовании. «…Я должен признаться, монсеньор, что эти размышления вызвали у меня некоторые сомнения относительно общности результата, о котором вы сообщаете, и я решил вам об этом сказать в надежде, что вы не сочтете за труд их рассеять».

Сорокасемилетний гейдельбергский профессор, ученик знаменитого Вейерштрасса, читавший лекции в Берлинском университете, когда Пуанкаре еще ходил в младшие классы лицея, вовсе не помышляя о карьере математика, поначалу снисходительно отнесся к молодому и неизвестному французскому коллеге. Разрабатывая теорию линейных дифференциальных уравнений, Лазарь Фукс создал вместе со своими учениками целый цикл работ, которые составили новое мощное направление в математике прошлого века. Во многих европейских странах находились последователи этой известной научной школы. Вклад немецкого математика в теорию линейных дифференциальных уравнений был столь велик, что само имя Фукса воспринималось тогда как синоним этой теории. Между прочим, непосредственным толчком к занятиям дифференциальными уравнениями явилась для Фукса, как и для Пуанкаре, знаменитая монография Брио и Буке.

Письмо Анри не возмутило спокойствия главы гейдельбергских математиков. Он вежливо отвечает ему 5 июня на немецком языке: «Глубокоуважаемый коллега, примите прежде всего мою глубокую благодарность не только за тот интерес, который вы проявили к моей последней работе, но также и за то, что ваше письмо привлекло внимание к теореме в моей статье, сформулированной с недостаточной точностью…» Пуанкаре отвечает письмом от 12 июня, в котором он решается обратить внимание Фукса на некоторые неясности в его исследовании. Далее он пишет: «…Функции, которые вы определили, обладают весьма замечательными свойствами, и так как я намерен опубликовать полученные мною результаты, прошу вашего разрешения дать им имя фуксовых Функций, поскольку это вы их открыли. Я у вас прошу также разрешения показать ваше письмо мсье Эрмиту, который очень интересуется этим вопросом…»

Фукс отвечает вторым, на этот раз последним письмом, в котором сообщает, что в июле в печати появится его новая работа, делающая «излишней всю эту обширную дискуссию». Поспешив закрыть полемику, он не осознает еще всей серьезности ситуации, упорно отказывается признать обнаруженные у него грубые ошибки. Его больше волнует внимание со стороны Эрмита, чем придирки молодого коллеги: «Само собою разумеется, что вы можете показать мое послание Эрмиту. Интерес, который проявляет этот великий математик к моей работе, является для меня высшим удовлетворением…» Впрочем, Фукс не возражает против присвоения новым функциям его имени: «Вы имели доброту дать мое имя этим функциям, что является для меня большой честью и обязывает меня поблагодарить вас за это».

В двух своих следующих письмах Пуанкаре дает уже подробное описание самой функции, что показывает, насколько далеко продвинулся он в разработке этого вопроса. «…Фуксова функция имеет большую аналогию с эллиптическими функциями, – пишет Анри, – она существует лишь внутри определенной окружности и остается мероморфной внутри этой окружности. Она выражается на всей окружности частным двух сходящихся рядов». Термин «фуксова функция» здесь уже встречается неоднократно.

Работа Фукса послужила для Пуанкаре отправной точкой, но насколько смелее, дерзновеннее и изобретательнее оказался он в исконных владениях немецкого математика. За строчками прочитанной им статьи Анри увидел много больше того, что было написано, и, как оказалось впоследствии, много больше того, что представлял себе сам автор. Фукс лишь указал на возможность существования нового вида функций, оставалось доказать, что они действительно существуют, и сконструировать эти функции практически. По существу, надо было проделать полностью всю работу – приступить к разработке проблемы и закончить ее. Пуанкаре блестяще справился с этой задачей. Мысль Фукса упала на подготовленную почву, поэтому тут же развилась и стала плодоносить. Анри успел уже глубоко вдуматься в проблему интегрирования дифференциальных уравнений, когда статья Фукса указала ему направление приложения сил. Она сыграла роль железнодорожной стрелки, которую он проскочил настолько стремительно, что, если бы не его собственные признания, вряд ли кто-нибудь угадал бы в последующих результатах Пуанкаре какие-то отзвуки работ немецкого математика. Слишком далеко вперед ушел он в своих исследованиях.

К теории новых фуксовых функций Пуанкаре пришел на основе обобщения понятия эллиптических функций. Он сам свидетельствует об этом: «…путеводной нитью в моих поисках мне служила аналогия с эллиптическими функциями». Сами же эллиптические функции обобщают понятие простых периодических функций. Примером простейшей периодической функции является математическая запись колебаний маятника. Если заставить слабо раскачивающийся маятник чертить своим концом непрерывную линию на равномерно движущейся бумажной ленте, то он изобразит извилистую, волнообразную кривую, монотонное чередование гребней и впадин. Так представляются графически синус и косинус, хорошо известные периодические функции из разряда трансцендентных, определяющие зависимость величины отклонения маятника от времени.

Время, за которое маятник, совершив полное колебание, возвращается в исходное положение, называют периодом. Если точно через период бросать взгляд на маятник, то невозможно угадать, движется он или нет: маятник каждый раз оказывается в одном и том же положении. Периодическая функция тоже нечувствительна к изменению своей переменной величины на период. Сколько периодов ни приплюсовывай к какому-нибудь моменту времени, значение функции остается тем же самым, так как в конце каждого периода она возвращается к тому, с чего этот период начинала. Чтобы построить полный график такой функции, достаточно иметь лишь небольшой его участок – укладывающиеся на одном периоде гребень и провал. Ведь вся волнообразная линия, вычерчиваемая маятником, представляет собой не что иное, как последовательное повторение одной и той же «волны» Длительностью в период. Сдвигая по оси времени отрезок, равный периоду, и каждый раз воспроизводя над ним стандартную «волну», можно как угодно далеко протянуть кривую синуса или косинуса.

Этому простому понятию периодичности в первой половине XIX века был придан более общий смысл. В 1827 году гениальный норвежский математик Нильс Генрик Абель приступил к разработке теории эллиптических функций. Его исследования подхватил молодой кенигсбергский профессор Карл Густав Якоби. Трудами этих двух ученых в математику были введены совершенно новые трансцендентные функции, двоякопериодические.

Эллиптическая, функция изображается уже не линией над осью времени, а целой поверхностью над плоскостью. Поэтому период ее «плоский», двухмерный, а не линейный, как у синуса или косинуса. Вся «неповторимость» эллиптической функции умещается в пределах некоторого ограниченного участка плоскости – параллелограмма, называемого параллелограммом периода. Над всей остальной плоскостью функция только повторяет один и тот же фрагмент своей поверхности, который обрисован над этим параллелограммом. Чтобы построить полный график функции, то есть полную ее поверхность, достаточно переставлять на плоскости параллелограмм периода вместе с тем куском поверхности, который над ним расположен, как если бы ровную площадь застраивали совершенно одинаковыми, вплотную примыкающими друг к другу домами. Море повторяющихся крыш, рельефная мозаика, выложенная из одного-единственного фрагмента, – вот что такое эллиптическая функция, периодичная на плоскости.

Введение эллиптических функций оказалось настолько полезным, позволило решить столько задач, казавшихся до этого неразрешимыми, что математики уже не раз задумывались над тем, как бы еще больше углубить и расширить понятие периодичности. Быть может, на этом пути их ожидают еще более грандиозные удачи и достижения? Эти надежды были осуществлены в первых работах Пуанкаре.