Текст книги "Пуанкаре"

Автор книги: Алексей Тяпкин

Соавторы: Анатолий Шибанов
сообщить о нарушении

Текущая страница: 16 (всего у книги 34 страниц)

Глава 8 ОТ ЛАПЛАСА ДО МАКСВЕЛЛА

Взгляд, обращенный к небесам

Трудно сказать, какие таланты и склонности пробудились в Пуанкаре прежде всего. Но есть несомненное свидетельство о том, какой из объектов научного исследования первым привлек его внимание. Анри было девять месяцев, он только недавно начал говорить. Однажды, обратив свой взор на ночное небо, он увидел звезду. Придя в сильнейшее возбуждение, Анри настойчиво указывает матери на ярко светящуюся таинственную точку. Такое же удивление и восхищение испытывает он на следующий вечер, на третий и четвертый… Величественный спектакль звездной ночи пленил его младенческий ум. Отыскивая звезды на небе, будущий знаменитый ученый, по-видимому, впервые познал чувство, которое сродни наслаждению первооткрывателя. «Этим вечером вы вошли в первый контакт с бесконечностью и положили начало вашим лекциям по астрономии», – шутливо скажет пятидесятипятилетнему академику Пуанкаре член Французской академии Ф. Массон. А сам Пуанкаре напишет в одной из своих статей: «Звезды шлют нам не только видимый и ощущаемый свет, действующий на наше плотское зрение; от них исходит также иной, более тонкий свет, проясняющий наш ум». Этот утонченный «свет» постигаемой истины увидел и он своим внутренним зрением, когда интерес его обратился к законам движения небесных тел.

В конце XVIII века в ученом мире произошло знаменательное событие: к тесному содружеству точных наук присоединилась еще одна обширная область знания. Официальным актом, оформившим рождение новой науки, следует считать первый том наиболее известного сочинения выдающегося французского ученого Пьера Лапласа. Откроем первые страницы этого классического труда и прочитаем всего лишь один абзац: "В конце прошлого столетия Ньютон обнародовал свой закон всемирного тяготения. С тех пор ученые стараются свести все известные явления природы к этому великому закону и дать, таким образом, теориям и астрономическим таблицам непредвиденную точность. Я поставил своей целью представить эти теории, рассеянные в большом числе сочинений, с одной и той же точки зрения. Эти теории, обнимающие все результаты всемирного тяготения по равновесию и движениям твердых и жидких тел, составляющих солнечную систему и ей подобные, рассеянные во вселенной, образуют небесную механику". Заветное слово произнесено! Отныне оно прочно укоренится в научном лексиконе, дав название одной из ведущих наук. Прекрасное и гордое название. Многотомное сочинение Лапласа тоже названо «Трактатом по небесной механике».

В пяти томах «Трактата», переведенного вскоре на немецкий и английский языки, автор не только излагает многие свои результаты, но и подводит итог огромного совокупного труда ученых, притом итог исчерпывающий для небесной механики того времени. Недаром в научных работах XIX века Лапласа, не называя по имени, величают порой "бессмертным (или знаменитым) автором "Небесной механики". Это фундаментальное сочинение, включающее теорию движения небесных тел под действием сил притяжения, а также теорию фигур равновесия применительно к планетам, переиздавалось во Франции не один раз. Последнее, четвертое издание было предпринято в 1878–1882 годах. Таким образом, Пуанкаре, будучи молодым преподавателем Сорбонны, мог держать в руках еще свежие, пахнущие типографской краской тома своего великого соотечественника. Но, восхищаясь изложенными там методами и теориями, он все же не мог ими полностью удовлетвориться, как не удовлетворяли они и его ученых коллег. За те десятилетия, которые прошли со времен первого издания «Трактата», техника интегрирования дифференциальных уравнений ушла далеко вперед, создав действенные и мощные средства решения задач небесной механики. Назрела настоятельная необходимость привести в систему и упорядочить все то новое, что появилось в этой науке за прошедший период. Небесная механика ждала нового Лапласа, который мог бы критически переосмыслить все знания, рассеянные во множестве работ математиков и механиков разных времен и стран. Лишь двое отважились на этот подвиг, подобный подвигу Геракла. Это были известные французские ученые – Франсуа Тиссеран и Анри Пуанкаре.

Сорокапятилетний астроном-теоретик, член Парижской академии Ф. Тиссеран опубликовал свое четырехтомное сочинение в период с 1889 по 1896 год, дав ему название знаменитого труда Лапласа: "Трактат по небесной механике". Эти книги содержали все сколько-нибудь существенное, что было сделано к тому времени в небесной механике. Тиссеран последовательно рассматривает основные задачи и методы их решения, сопровождая изложение историческими справками и подробной библиографией. Созданная им энциклопедия небесномеханических знаний не потеряла свой интерес до сих пор. В двадцать седьмой главе последнего, четвертого тома кратко излагались результаты Пуанкаре по задаче трех тел, удостоенные премии Оскара II. Всего лишь одна глава из огромного четырехтомного сочинения, в котором один только четвертый том содержит 29 глав! Но такова была цель Тиссерана: дать по возможности полный обзор всего многообразия работ, не выделяя особенно никого из авторов. Да и не было уже необходимости подробно останавливаться на достижениях Пуанкаре. К моменту появления четвертого, заключительного тома «Трактата» Тиссерана вышли в свет два из трех томов сочинения Пуанкаре по небесной механике. Его труд издается практически одновременно с трудом Тиссерана, запаздывая лишь на три года. Была ли какая-нибудь необходимость в таком дублировании?

Тиссеран подвел итоги развития небесной механики вплоть до последнего десятилетия XIX века. Задача почетная и исключительно важная для науки. Но после ознакомления с его «Трактатом» неизбежно возникал вопрос: а что же дальше? Ответ можно было найти в трехтомном труде Пуанкаре, первый том которого вышел в 1892 году, второй – год спустя, а третий – в 1899 году. Направленность этого сочинения уже другая – открыть новые перспективы и новые возможности в небесной механике. Оно так и называется: "Новые методы небесной механики". Излагаются в нем почти исключительно собственные, оригинальные результаты автора. Его конкурсная работа по задаче трех тел почти целиком вошла в один из этих томов.

Необыкновенного богатства идей и обилия новых плодотворных методов, развитых Пуанкаре в этом труде, вполне хватило бы, чтобы прославить не одного ученого. Подобно тому как в свое время Эйлер на основе успехов математической мысли XVIII века обогатил теоретическую астрономию новыми средствами решения задач, удовлетворив ее потребности на многие десятилетия, так и Пуанкаре за короткий срок творчески переосмыслил и обновил складывавшийся в течение двух столетий математический аппарат небесной механики, использовав самые последние достижения математики. Исключительно высоко оценивает его труд известный советский ученый и большой знаток истории небесной механики Г. Н. Дубошин: "Это сочинение по его значению для небесной механики, а также для механики вообще, для математики и физики можно сравнить разве только с другим бессмертным сочинением… – «Началами» великого Ньютона". Это был новый ураган научных идей и методов, которые немедленно перекочевали в другие разделы точного естествознания, став незаменимым инструментом глубокого теоретического исследования самых различных задач. До сих пор при первом знакомстве с ними они оставляют ощущение оригинальности и неожиданности.

Сведя воедино около тридцати своих статей и мемуаров по небесной механике, Пуанкаре как бы замкнул определенный этап своего творчества, если так можно сказать о творчестве, не прекращавшемся ни на минуту. Подобно Лапласу, он тоже обращается на первых страницах своего труда к фундаментальнейшему закону науки – закону всемирного тяготения: "Конечная цель небесной механики состоит в разрешении великого вопроса, может ли закон Ньютона, и только он один, объяснить все астрономические явления". Но интонация этого предваряющего высказывания уже несколько иная, чем у его знаменитого предшественника. Взгляды ученых на содержание и назначение небесной механики проэволюционировали вместе с этой наукой от Лапласа к Тиссерану и Пуанкаре. Тот факт, что все три классических труда по небесной механике написаны французскими авторами, свидетельствует о ведущей роли французской школы в этой области знания.

Возмутитель спокойствия

Явление большого ученого – это не только переосмысление старых проблем науки с помощью новых, оригинальных методов, это еще и новое прочтение старых, уже испытанных методов исследования под совершенно необычным углом зрения.

По мере того как все яснее становилась практическая неразрешимость большей части дифференциальных уравнений, математики постепенно меняли свое мнение о том, что понимать под их решением. Первоначально само собой разумелось, что результаты интегрирования должны представляться известными функциями. Но круг интегрируемых таким образом уравнений оставался весьма узким. Поэтому согласились считать решением всего лишь промежуточный результат на пути к нему – некое математическое выражение, стоящее под знаком интеграла. Примирились с тем, что не удается довести дело до желаемого конца и записать итог в более приемлемом виде. Вскоре и такое решение расширенного толка показалось не всегда доступной роскошью. Тогда математики, продолжая следовать по пути снижения своих требований, стали включать в понятие «решение» еще более странные математические объекты.

Еще в XVIII веке результат интегрирования дифференциального уравнения выражали порой в виде бесконечного ряда слагаемых, каждое из которых строилось с помощью известных функций по определенному правилу. Обоснованное истолкование этого метода было получено в первой половине XIX века, когда математики убедились, что такие бесконечные ряды тоже являются своеобразными функциями. Более того, каждую известную в то время функцию можно было разложить в подобный бесконечный ряд, но далеко не каждому ряду можно было сопоставить какую-либо функцию. Это наталкивало на мысль, что ряды образуют более широкий класс функций, намного перекрывающий всю совокупность алгебраических, трансцендентных и высших трансцендентных функций. Тогда естественно было искать решение дифференциального уравнения в виде бесконечного ряда, если его невозможно получить в обычных функциях.

Интегрирование дифференциальных уравнений рядами имело исключительно важное значение для небесной механики. Этот метод позволял рассчитывать координаты небесных тел на небосводе для любого момента времени, то есть удовлетворял основную насущную потребность практической астрономии. Необходимо только, чтобы полная сумма всех членов ряда была конечной величиной, несмотря на бесконечное число слагаемых. Ничего парадоксального в этом требовании не было. Например, бесконечная сумма чисел: 1/2 +1/4 +1/8+ и так далее, в которой каждое последующее слагаемое вдвое меньше предыдущего, равна в точности единице. Математики, уже много раз имевшие дело с аналогичными рядами, только составленными из функций, а не из чисел, называли их сходящимися. Слагаемые в таком бесконечном сходящемся ряду должны неуклонно уменьшаться по величине с удалением от начала ряда. Тогда для практических расчетов можно ограничиться суммой некоторого числа первых, наибольших членов ряда и получить приближенное значение решения. Вклад неучтенных, отброшенных слагаемых в общую сумму будет существенно меньшим. Так, в приведенном выше числовом ряду сумма первых трех слагаемых равна 7/8, то есть близка к единице, и только 1/8 приходится на долю бесконечной вереницы оставшихся его членов.

При таком методе абсолютно точное решение остается неизвестным, поскольку невозможно просуммировать бесконечное число слагаемых. Но астрономов-практиков вполне устраивали их приближенные расчеты. Ведь ограничения на точность были чисто техническими. Всегда можно добавить к вычисленной сумме одно-два слагаемых и тем самым еще приблизиться к истинному значению искомой величины. При желании такое уточнение можно продолжать беспредельно, сдерживает только непомерно возрастающий объем вычислений. Да и не нужны чересчур уж скрупулезные расчеты, точность которых превышает возможности астрономических приборов. А если у кого-то и были претензии к приближенным теоретическим результатам, так ведь точное решение все равно недоступно. Поэтому математики продолжали совершенствовать метод интегрирования дифференциальных уравнений рядами.

Очень многое зависело от того, каким бесконечным рядом представляется решение. Хорошо, если слагаемые достаточно быстро уменьшаются по величине с удалением от начала ряда. Тогда не приходится много считать: просуммировав несколько первых членов, можно получить нужную точность решения. Поэтому астрономы и математики самое серьезное внимание уделяли подбору рядов. Но долгое время им не везло. Во всех рядах появлялись слагаемые, в которые время входило в качестве сомножителя. При астрономических прогнозах на длительный период сомножитель этот получался большим, содержащие его слагаемые убывали очень медленно, а то и вовсе не убывали, сходимость ряда в таких случаях нарушалась или находилась под сомнением. Избавление от так называемых «вековых» членов, содержащих время сомножителем, стало самой актуальной проблемой небесной механики XIX века.

Первым добился успеха французский астроном Ш. Делоне, который в 1860 году показал, что положение Луны может быть рассчитано с помощью ряда, слагаемые которого состоят только из тригонометрических функций, без всяких «вековых» членов. В 1874 году американский астроном С. Ньюком доказал, что чисто тригонометрические ряды пригодны для вычисления положений планет. Вслед за ними Г. Хилл, А. Линдстедт, Г. Гильден, Ф. Тиссеран и другие ученые всесторонне исследовали различные способы интегрирования дифференциальных уравнений рядами, не содержащими «вековые» члены. Доведенный их коллективными усилиями до высокой степени совершенства метод рассматривался тогда как крупная победа. Астрономы и математики не могли нарадоваться на чудесные ряды, которые с успехом использовались ими во многих задачах небесной механики, например в задаче трех тел, и, казалось бы, удовлетворяли всем запросам. Но снизошедшие на них довольство и успокоение длились недолго!

Гром грянул неожиданно, когда в печати появилась работа Пуанкаре, удостоенная премии Оскара II. Полностью его исследования бесконечных рядов, используемых в небесной механике, были изложены во втором томе "Новых методов". Этот том так и озаглавлен – "Методы Ньюкома, Гильдена, Линдстедта и Болина". К величайшему изумлению астрономов, Пуанкаре безукоризненными математическими выкладками доказывает, что предложенные этими учеными ряды, составлявшие предмет всеобщей гордости и поклонения, расходятся. Бесконечная совокупность их слагаемых не выражает в сумме никакой конечной величины. Его результаты вызвали настоящее замешательство у всех, кто в своих исследованиях прибегал к тригонометрическим рядам. Шутка ли, точное решение, которое подразумевалось ими в недосягаемом пределе и к которому, как им казалось, они стремятся, является фикцией, плодом их воображения! Чего стоят тогда все их достижения? Строго говоря, этими расходящимися рядами никто не имел права пользоваться. Их создатели не угадали в свое время скрытый в них дефект, и вот теперь наступает расплата.

Разочарование было столь велико, что тот первоначальный энтузиазм, с которым астрономы ревностно пропагандировали новые ряды, мгновенно угас. Именно это имел в виду Вейерштрасс, когда в письме к Ковалевской подчеркивал, что "достоинство исследований Пуанкаре состоит больше в их отрицательных, а не в положительных результатах". Об этом же он пишет Миттаг-Леффлеру, указывая, что астрономов эта работа "не очень-то ободрит, так как уничтожает некоторые их давнишние иллюзии и опровергает многое из того, что казалось им прежде обоснованным. Например, доказывается расходимость рядов, к которым приводят методы Ньюкома, Линдстедта и других".

Однако обескураживающим выводам Пуанкаре кое-что противоречило. Почему применение этих непригодных рядов почти всегда приводит к хорошему совпадению теоретических расчетов с непосредственными астрономическими наблюдениями? Пуанкаре сумел разгадать и этот парадокс. Оказывается, эти расходящиеся ряды обладают весьма замечательным свойством: слагаемые их сначала очень быстро убывают, а затем начинают медленно возрастать. Астрономы при своих практических расчетах ограничивались лишь суммой некоторого числа первых членов. Вся их работа протекала на том начальном участке ряда, где он ведет себя как сходящийся. Именно поэтому теоретические результаты с весьма приемлемой точностью представляли реальное движение планет. Но если бы кому-то вздумалось прихватить еще некоторое количество слагаемых, чтобы повысить точность расчетов, он добился бы, к своему удивлению, прямо противоположного эффекта. С увеличением числа суммируемых членов ряда несовпадение теоретических результатов с данными наблюдений только усугубилось бы. Ведь после первых уточняющих членов следует расходящийся бесконечный «хвост» ряда.

Так Пуанкаре вскрыл истинную сущность основных рабочих методов небесной механики, дал совершенно новое видение применяемых в ней математических средств. Он развенчал широко использовавшиеся астрономами ряды, которые казались некоторым истиной в последней инстанции. Но это не было бесплодным отрицанием, обрекающим их на забвение. Пуанкаре оправдал применение этих рядов в определенных пределах и указал те границы, в которых они дают верные результаты. По существу, он дал еще одно толкование понятия «решение» дифференциального уравнения, еще один его вариант – интегрируемость расходящимися рядами. С этой целью Пуанкаре четко разграничивает два различных понимания термина «сходимость». Чистые математики говорят, что ряд сходится и может служить решением дифференциального уравнения, если сумма его членов стремится в пределе к какой-то конечной величине. При этом их совершенно не волнует то обстоятельство, что первые слагаемые могут убывать чрезвычайно медленно и при практических расчетах с такими рядами получается чересчур низкая, никого не устраивающая точность. Астрономы же будут считать ряд сходящимся и пригодным для решения своих задач, если взятые подряд его первые члены, скажем, в количестве двадцати, быстро убывают, пусть даже все следующие после них слагаемые неограниченно возрастают. Обе точки зрения законны, считает Пуанкаре, одна в сугубо математических исследованиях, Другая в прикладных численных расчетах. Но второй подход давал право на плодотворную жизнь расходящимся бесконечным рядам, которые до этого считались практически совершенно бесполезными.

Именно после работ Пуанкаре интерес к расходящимся рядам настолько возрос, что в 1898 году Парижская академия объявила конкурс на тему "Исследование возрастающей роли расходящихся рядов в анализе". Большим призом был отмечен мемуар молодого, только что завоевавшего известность математика Эмиля Бореля, которому предстояло в ближайшем будущем существенно продвинуть вперед теорию решения дифференциальных уравнений с помощью расходящихся рядов. На последних страницах книги мы еще встретимся с этим уже ставшим знаменитым математиком, который сыграет немаловажную роль в упрочении посмертной славы Анри Пуанкаре.

Таким образом, несмотря на расходимость рядов, ничто не мешало астрономам использовать их в своей практической работе. Нужно было только помнить о том, что точность решения, которое можно вычислить с их помощью, в принципе ограничена, и невозможно сколь угодно близко подходить к истинной предельной величине.

Периодические решения

Если Париж не веселится и не поет в свой традиционный июньский праздник – это самый верный признак его недовольства. Особенно мрачно и уныло выглядел в июньские дни 1893 года Латинский квартал. Не видно и тени всегдашнего безудержного веселья, захлестывавшего некогда его улицы. Пуанкаре с семьей по-прежнему обитает в этом районе столицы (теперь уже на улице Клода Бернара), оказавшись в центре последних трагических событий, взбудораживших весь город.

Началось все с судебного приговора по делу устроителей бала "Четырех искусств", наделавшего много шума прошедшей зимой. Сенатор Беранже и академики Жюль Симон и Пасси, основываясь на сообщениях одной газеты, обратились к прокурору с требованием наказать учеников парижских художественных мастерских – зачинщиков этого безнравственного, по их мнению, мероприятия. Хроникер газеты сообщил о том, что костюмы некоторых особ женского пола на этом балу имели якобы весьма фривольный вид. Состоявшееся несколько месяцев спустя заседание суда носило довольно забавный характер. Все очевидцы, в том числе полицейский комиссар, в один голос утверждали, что на балу не происходило ничего предосудительного. На маскарадах Большой оперы можно наблюдать во, много раз более безнравственные сцены, которые тем не менее никем не осуждаются. Адвокаты подсудимых изощряли свое остроумие по поводу возбудивших дело ревнителей морали преклонного возраста, вспоминая басню о лисице и винограде. Продемонстрировал свою склонность к иронии и суд, применив к обвиняемым закон, автором которого был сам сенатор Беранже и согласно которому впервые привлеченные к суду лица могут не подвергаться наказанию до совершения вторичного проступка.

Около двух тысяч студентов отпраздновали свою победу, устроив под окнами Беранже и Симона кошачьи концерты. Но несколько позднее, когда веселящаяся толпа молодежи с виноградными листьями на головных уборах и в петлицах вернулась на бульвар Сен-Мишель, на нее набросился отряд полиции, нанося налево и направо удары кулаками, ногами и даже саблями в ножнах. Один юноша ударом в висок был убит полицейским наповал. После этого события приняли уже совсем иной оборот.

Возвращаясь из университета, Пуанкаре с удивлением замечает группы возбужденных студентов, возводящих баррикады из киосков, скамеек, фонарных столбов. Вскоре в ход пошли проезжавшие мимо экипажи и омнибусы. Решив обогнуть этот неспокойный участок, он сворачивает в сторону и, миновав несколько улиц, наталкивается на застывший в выжидательной позиции кирасирский полк. Вечером ему сообщают, что объявлено осадное положение. В течение нескольких дней Латинский квартал оставался ареной ожесточенных столкновений между студентами и полицией. В Палате депутатов вспыхивают яростные, скандальные дебаты. Радикальная и социалистическая партии обнародовали свои манифесты по поводу происходящих событий. Прохожим на улицах раздают воззвания, отпечатанные на ярко-красной бумаге. Все настороженно ждут, не перекинутся ли беспорядки в Бельвилль и другие рабочие предместья Парижа. По железной дороге в город спешно прибывают 15 тысяч кавалеристов.

После безжалостного подавления студенческих волнений на стенах домов появляются призывы к парижанам не принимать участия в официально проводимом празднестве. Большая часть жителей столицы, возмущенных бесчинствами полиции, действительно не примкнула к праздничным шествиям и гуляньям. Ежегодно проводимые торжества на этот раз состоялись при скудном стечении публики.

В омраченном настроении Пуанкаре покинул Париж, чтобы под сенью тихого сада в Лозере засесть над страницами третьего тома "Новых методов". Часами просиживает он над большими листами линованной бумаги, с поразительной быстротой покрывая их формулами и строками текста, написанными тонким, угловатым почерком. Порой его рука машинально выписывает подряд одну и ту же формулу, как бы побуждая замершую мысль следовать прихотливой цепи математических ассоциаций. Пишет Пуанкаре легко, ясным, точным языком, не стремясь к какой-либо эстетической выразительности оборотов своей речи. Но неправильная орфография его всегда коробила. В оставшихся после него рукописях очень мало помарок. Исправления автор вносит только для того, чтобы придать больше силы и убедительности своему изложению, чтобы лучше оттенить тончайшие нюансы мысли. Кроме точности выражения, у него нет другой заботы.

Прежде чем приступить к новой главе, он набрасывает порой кое-какие предварительные заметки или же просто располагает на листе бумаги в определенном порядке те положения, которые ему следует развивать. Закончив главу, он уже больше к ней не возвращается, даже если сознает, что она еще далека от стилистического совершенства. Очень редко Пуанкаре редактировал свои статьи и мемуары. Издатели жаловались, что с трудом могут заставить его хотя бы просмотреть корректурные листы. Но происходило это не от небрежности и не от отсутствия внутренней потребности в совершенстве, о чем свидетельствует его собственное признание: "Никогда еще я не закончил ни одной работы, не испытав чувства неудовлетворенности тем, как я ее отредактировал, или принятым мною планом". Могучий напор идей, обилие новых мыслей и догадок, требующих математической проверки и доказательства, не оставляют ему ни сил, ни времени для последующей литературной обработки своего произведения.

По замыслу Пуанкаре, заключительный том его "Новых методов" должен был резко отличаться от уже выходящего из печати второго тома, посвященного интегрированию дифференциальных уравнений рядами. В нем он снова возвращается к разработанным им ранее качественным методам исследования дифференциальных уравнений, применение которых в задачах небесной механики было продемонстрировано еще в отдельных главах первого тома.

Ровно десять лет назад, в 1883 году, молодой преподаватель Сорбонны Анри Пуанкаре, заинтересовавшись периодическими решениями дифференциальных уравнений, опубликовал по этому вопросу свои первые результаты. Никаких общих методов нахождения таких решений в небесной механике не было. В свое время Эйлер и Лагранж указали для задачи трех тел пять частных случаев, когда при особых начальных условиях движение принимает периодический характер. И вот теперь от единичных, разрозненных фактов Пуанкаре поднимается до глубоких теоретических обобщений. В первом томе его труда периодическим решениям и их применению в небесной механике посвящены две главы. В них заложена основа того, что и сейчас еще представляется астрономам-теоретикам весьма актуальным и многообещающим направлением в исследовании движений небесных тел. Еще большее значение имела эта теория для предсказания эволюции планетных орбит в солнечной системе.

Не случайно Пуанкаре придавал столь важное значение периодическим решениям, представляемым замкнутыми орбитами. По его замыслам, они должны были стать опорой в изучении всех других, непериодических движений. Вкратце идея его такова: если замкнутых, периодических орбит много и расположены они достаточно густо, то можно предугадать, как пройдут зажатые между ними кривые, соответствующие непериодическим движениям. Словно огненные линии, прочерчиваемые трассирующими очередями, периодические кривые разграничивают все пространство на простреливаемые, просматриваемые участки. "Что делает для нас эти решения столь ценными, – пишет сам Пуанкаре о периодических решениях, – это то, что они являются, так сказать, единственной брешью, через которую мы можем проникнуть в область, считавшуюся до сих пор совершенно недоступной". Поэтому так важно было научиться находить периодические решения, даже не имея возможности проинтегрировать дифференциальное уравнение, только по одному его внешнему виду. Типичная задача качественной теории дифференциальных уравнений.

Пуанкаре не только набрасывает схему использования периодических решений в небесной механике, но и разрабатывает методы ее практического претворения. Его метод малого параметра стал одним из наиболее действенных и незаменимых инструментов теоретического исследования. И не только в астрономии, но и во многих других областях механики и физики. Вслед за Эйлером и Лагранжем он находит много новых и интересных периодических решений для задачи трех тел. А практическую плодотворность своей идеи автор демонстрирует па примере некоторых малых планет типа Гекубы. Кстати, идея эта стала одной из наиболее привлекательных для Пуанкаре. На всем протяжении своего творческого пути он не раз возвращается к периодическим решениям, до самых последних дней стремится превратить их в универсальное орудие изучения всяких движений. И под конец книги мы снова встретимся с его работой, нацеленной на эту великую задачу небесной механики.

Большая часть третьего тома посвящена другой важной проблеме, к решению которой Пуанкаре тоже привлекает качественные методы. Это была проблема устойчивости движения небесных тел, вековая проблема, вот уже два столетия живо волновавшая многих выдающихся механиков и астрономов. Заинтересовавшись этим вопросом, Пуанкаре проводит кропотливое математическое исследование и приходит к выводу, что, даже если небесные координаты планет представляются сходящимся тригонометрическим рядом, это вовсе не доказывает устойчивости планетной системы. Проблема оказалась куда сложнее, чем предполагали астрономы. Наиболее обстоятельно автор "Новых методов" исследует частный случай задачи трех тел, когда одна масса во много раз меньше двух других. Почти любое движение оказалось при этом устойчивым в некотором смысле. К столь важному выводу Пуанкаре пришел с помощью нового, введенного им в третьем томе понятия – "интегрального инварианта". Так он назвал некоторые величины, выражаемые математически с помощью интегралов, которые остаются постоянными, неизменными при движении изучаемой системы тел. Физический смысл этих величин может быть порой весьма сложным или попросту не наглядным, но в качестве примера простейшего "интегрального инварианта" можно назвать объем некоторого количества несжимаемой жидкости. Величина его вычисляется с помощью интегралов и при любом течении жидкости остается постоянной, так как жидкость не сжимается и не расширяется.

Метод исследования движений с помощью "интегральных инвариантов" оказался столь плодотворным и привлекательным, что вслед за Пуанкаре его подхватывают и используют другие исследователи. Шази этим методом еще раз анализирует задачу трех тел и приходит к новым интересным выводам, а Вилькенс получает важные результаты, изучая движение астероидов и комет. В наше время "интегральные инварианты" перекочевали уже на страницы учебников и монографий, став классическим средством теоретического исследования не только в механике и астрономии, но и в статистической физике, и в квантовой механике.