Текст книги "Пуанкаре"

Автор книги: Алексей Тяпкин

Соавторы: Анатолий Шибанов
сообщить о нарушении

Текущая страница: 13 (всего у книги 34 страниц)

Рождение нового метода

«Пуанкаре начинает как Коши», – одобрительно заметил как-то один из ведущих профессоров Сорбонны. Он имел в виду широкое разнообразие работ молодого математика, опубликовавшего статьи по фуксовым функциям, по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, по теории дифференциальных уравнений с частными производными, по алгебре, по теории чисел и по многим другим разделам математики. Но некоторые его работы невозможно было отнести к какому-либо разделу этой науки, так как раздела такого не существовало. Он только еще рождался в заметках и мемуарах Пуанкаре.

Занимаясь поисками новых (фуксовых) функций, с помощью которых можно было бы представить решение Я линейного дифференциального уравнения, Пуанкаре уже осознавал ограниченные возможности такого представления. Полученная формула решения позволит для любого момента времени рассчитать положение и скорость тела, движение которого описывается дифференциальным уравнением. Ну а если этого недостаточно? Если знание числовых характеристик движения в отдельных точках не удовлетворяет исследователя и ему нужно объять мысленным взором сразу весь путь, проходимый телом? Именно такая потребность возникает во многих прикладных, практически важных задачах. Например, зная положение и скорость кометы только в отдельные моменты времени, не всегда можно ответить на вопрос: вернется ли она в будущем, и если вернется, то когда именно? Для этого нужно представить себе ее движение в целом, иметь сведения о том, замкнут ее путь или же начало и конец его теряются в глубинах вселенной. В этом случае чисто качественная, информация о характере движения гораздо важнее отдельных количественных показателей.

Если решение дифференциального уравнения выражается достаточно простой формулой, то немного потребуется усилий для того, чтобы воспроизвести по этой формуле воображаемую кривую, описываемую движущимся телом, или хотя бы осознать характерные особенности его движения. Но когда сталкиваешься со сложными трансцендентными функциями, да еще решение представляется замысловатой комбинацией этих функций, совсем не так легко представить себе, каков же проходимый телом путь. Получается парадоксальная ситуация: хоть уравнение проинтегрировано и решение записано в виде формулы, исследователь ничего не может сказать о движении в целом. Такие формулы хороши только для расчетных работ. Мало того, далеко не для всех дифференциальных уравнений удается найти формульную запись решения. Так не попытаться ли извлечь все качественные сведения о движении прямо из самого дифференциального уравнения, минуя непроходимые порой трудности интегрирования?

До этого никому и в голову не приходила столь дерзкая мысль. У Пуанкаре она возникла, по-видимому, как необычный аспект идеи, высказанной в свое время Брио и Буке: судить о свойствах решения дифференциального уравнения непосредственно по самому уравнению. Он уже использовал этот подход во время поисков фуксовых функций, определив таким образом, что неизвестные функции Должны быть периодическими функциями особого рода. Теперь требовалось нечто иное: не решая дифференциального уравнения, только по его внешнему виду выяснить геометрию определяемого им пути движения, чтобы можно было предсказать его форму, найти выпуклость кривой в течение всего периода движения, установить область пространства, внутри которого движение происходит, распознать, периодично движение или нет. Что-то вроде графологии, которой так увлекался муж Алины, философ Эмиль Бутру, с той лишь существенной разницей, что в почерке черты характера человека проявляются случайным образом, в то время как в дифференциальном уравнении сконцентрирована вся первичная информация о движении тела. Этот искусный обходной маневр – вместо сложной, а то и просто невыполнимой операции интегрирования заполучить сразу общий вид кривой, представляющей решение дифференциального уравнения, – показывает, как совершенно по-новому умел Пуанкаре видеть классические задачи математики и механики, к каким весьма нетрадиционным проблемам умел он их сводить.

Математики уже знали, что поведение кривой, определяемой дифференциальным уравнением, будет различным в зависимости от того, рассматривается ли она в своей обычной, ничем не примечательной точке или в какой-то особой точке, в которой возможны некоторые аномалии. Через обычные точки кривая проходит плавно и монотонно, словно рельсовый путь. Особая точка уподобляется узловой станции, стрелке или тупику. Чтобы ознакомиться с железнодорожным маршрутом, достаточно простого перечисления встречающихся на пути следования станций и отходящих от основной магистрали веток. Точно так же, чтобы представить себе всю кривую в целом, нужно знать, как расположены ее особые точки и что происходит в этих точках с кривой. Тогда легко проследить весь непрерывный путь от одной особой точки к другой. Изучить кривую по определяющему ее дифференциальному уравнению означало прежде всего научиться извлекать из этого уравнения всю информацию об особых точках. С решения именно этой задачи и начал свои исследования Пуанкаре.

Еще в докторской диссертации и в одной из статей 1880 года он уделяет внимание особым точкам. Но только сейчас, в Париже, Пуанкаре по-настоящему глубоко исследует этот вопрос в серии работ, озаглавленных: "О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями". Первый и второй мемуары вышли в декабре 1881 года и в августе 1882 года. В этих работах были заложены идеи и методы, составившие содержание нового раздела математики. Название ему дал сам Пуанкаре: качественные методы теории дифференциальных уравнений. До него этот кардинально новый подход никем даже не затрагивался.

Проанализировав множество особых точек различного рода, он приходит к заключению, что все они сводятся к четырем основным видам: седло, фокус, центр и узел. Это была первая классификация и первые названия, которые сохранились до наших дней. Различаются эти особые точки тем, как ведут себя кривые в их ближайшей окрестности. В точке, которая получила название «седло», две кривые, имеющие вид сломанных под углом прямых, соприкасаются как раз вершинами углов. Остальные кривые через эту точку не проходят, а, словно струи воды, плавно загибаются в углах, ограниченных прямыми линиями, как стенками. Зато в «узле» сходятся сразу все кривые, попадающие в его окрестность. На «фокус» кривая наматывается подобно спирали или же, наоборот, раскручивающейся спиралью выбегает из этой точки. От «центра» кривые расходятся изолированными замкнутыми кольцами, как круги на воде. "Я изучил затем распределение этих особых точек в плоскости, – пишет Пуанкаре о следующем этапе своей работы. – Я показал при этом, что они всегда существуют (на конечном или бесконечном расстоянии) и что всегда выполняется простое соотношение между числом седел, фокусов и центров…" Всевозможные варианты поведения кривых, представляющих решения дифференциальных уравнений, могли теперь быть проиграны без особых затруднений: либо кривые замкнутыми линиями охватывают центр, либо они неограниченными спиралями навиваются на фокус, либо бесконечно удаляющаяся в одну сторону кривая упирается другим своим концом в узел, либо же кривая, исходящая из узла или фокуса, заканчивается в другом узле или фокусе. Была еще одна возможность, для описания которой Пуанкаре пришлось ввести новое понятие – предельный цикл.

Так была названа им особая замкнутая кривая, представляющая одно из решений дифференциального уравнения. Все другие кривые, определяемые этим уравнением, проходя вблизи предельного цикла, наматываются на него либо изнутри, либо снаружи. Неограниченно приближаясь к нему, они тем не менее никогда его не пересекают и даже не соприкасаются с этой недосягаемой для них кривой. Новое понятие оказалось не менее важным, чем понятие особой точки. Если известен предельный цикл, можно быть твердо уверенным, что кривая навсегда останется либо внутри его, либо вне, поскольку перейти эту границу она не может, как бы близко к ней ни подходила, ото значит, что можно указать пределы перемещения тела – либо верхние, либо нижние. Доказав, что число предельных циклов всегда конечно, не считая некоторых исключительных случаев, Пуанкаре разработал способы их обнаружения и дал общий метод для определения их количества.

Перед математиками открылись новые, совершенно необычные возможности. Все богатство решений некоторых видов дифференциальных уравнений становилось наглядным и легкообозримым, словно своеобразный топографический план, на котором вместо возвышенностей и котловин обозначены узлы и фокусы, а вместо линий уровня нанесены предельные циклы. Даже не зная решения дифференциального уравнения, можно было теперь делать выводы о характере движения. Геометрия решения шла впереди его аналитического, формульного представления. Впереди или рядом, потому что оба метода исследования – аналитический и качественный – не подменяли, а дополняли друг друга. Своим открытием фуксовых функций Пуанкаре уже отдал дань старому, аналитическому методу исследования дифференциальных уравнений, обогатив и расширив его возможности. Теперь им был создан еще один метод – качественный, которому предстояло большое будущее.

Вслед за первыми двумя мемуарами, в которых развивалась качественная теория дифференциальных уравнений первого порядка, последовали два других – в 1885 и в 1886 годах, где Пуанкаре рассматривает уже более сложные дифференциальные уравнения второго порядка. В последующие десятилетия математики не раз дополняли и обобщали его результаты, начиная с работ норвежского ученого Бендиксона, который в 1901 году использовал в качественных исследованиях методы теории множеств. Но ничего существенно нового из основных принципов и идей добавлено не было, настолько полной и всеобъемлющей была качественная теория в трудах Пуанкаре. Исключение составила теория центров, изложенная в третьем мемуаре. Она была во многом перекрыта исследованиями русского математика А. М. Ляпунова, который благодаря своим фундаментальным работам по теории устойчивости считается наряду с Пуанкаре создателем качественной теории дифференциальных уравнений.

Глава 7 АКАДЕМИЯ НАУК

Гость на улице Гей-Люссака

Грузный пожилой человек тяжело поднимается по узкой крутой лестнице, которой, казалось, не будет конца. Несмотря на те усилия, которые ему приходится прикладывать, он, не останавливаясь, преодолевает несколько пролетов и, только достигнув третьего этажа, переводит дух. «Прямо голубиное гнездо какое-то, а не жилище», – думает он, отирая платком крупную лысеющую голову. Взгляд его с удивлением останавливается на фигуре молодого человека, показавшегося в дверях. «Боже мой, такой молодой и такой белокурый!» – отмечает гость про себя. «Господин Сильвестр, – полувопросительно обращается к нему хозяин этих вознесенных над землей покоев, – очень рад вас видеть. Прошу».

Да, это был Джон Сильвестр, знаменитый английский математик, который на 71-м году жизни прибыл на континент, чтобы лично встретиться с молодым автором тех многочисленных статей, которые, по его мнению, возвещали о появлении во французской науке нового Коши. Войдя в комнату, гость некоторое время молча вглядывался в юношеское еще лицо коллеги, узнавая и не узнавая столько раз представлявшиеся его воображению черты.

Проходит две-три минуты. Пуанкаре из вежливости не прерывал молчание, давая возможность уважаемому посетителю прийти в себя после трудного подъема по лестнице. Гость… Впрочем, вот как он сам вспоминает об этом визите: "В присутствии этого резервуара интеллектуальной мощи мой язык вначале отказался мне повиноваться, и так продолжалось до тех пор, пока я какое-то время (может быть, две или три минуты) рассматривал и впитывал его внешние юношеские черты. Только после этого я обрел возможность говорить". Свое первое знакомство с Пуанкаре, жившим тогда на улице Гей-Люссака, недалеко от здания Сорбонны, Сильвестр сравнивает с происходившей в начале XVII века встречей изобретателя логарифмов Джона Непера и составителя первой таблицы логарифмов Генри Бриггса. Оба ученых были уже так наслышаны друг о друге и заочно так хорошо были знакомы по своим работам, что, когда Бриггс вошел в комнату, где находился Непер, они в течение нескольких минут с восхищением взирали друг на друга, не в силах произнести ни слова. "Я был проникнут чувствами Бриггса во время его встречи с Непером", – признается Джон Сильвестр.

О чем беседовали прославленный английский математик и его молодой французский коллега, осталось неизвестным. Но можно не сомневаться, что очень скоро они углубились в обсуждение сугубо профессиональных вопросов. Пуанкаре, наверное, рассказывал о своих последних результатах по качественной теории дифференциальных уравнений, о дальнейшем приложении фуксовых функций к решению алгебраических проблем. Как раз незадолго до этого Фукс опубликовал в «Докладах» Берлинской академии статью, весьма заинтересовавшую Пуанкаре. Уже не раз задавал он себе вопрос: нельзя ли применить методы, оказавшиеся столь успешными при интегрировании линейных дифференциальных уравнений, к нелинейным уравнениям, пусть даже не ко всем, а только к некоторым? Существенное различие между линейными и нелинейными дифференциальными уравнениями заключалось в количестве особых точек: у первых их было конечное число, у вторых – бесконечное множество. Если бы среди нелинейных уравнений нашлись такие, которым соответствует ограниченная совокупность особых точек, то можно было бы попытаться применить к ним уже развитый для линейных уравнений подход. И вот Фукс формулирует теорему, в которой высказывает необходимые и достаточные условия для того, чтобы дифференциальное уравнение имело только конечное число особых точек. Повторялась ситуация, сложившаяся накануне открытия фуксовых функций. Немецкий математик снова заразил Пуанкаре лихорадкой поисков новых высших трансцендентных функций, с помощью которых можно было бы интегрировать некоторые из нелинейных дифференциальных уравнений. Но на этот раз после углубленного изучения вопроса Анри пришел к неутешительному итогу. Все нелинейные уравнения, которые удовлетворяли условиям Фукса, либо попросту сводились к линейным, либо же интегрировались с помощью уже известных функций, например эллиптических. Найти новый класс интегрируемых уравнений не удалось.

Рассказывая об этих и других своих исследованиях, Пуанкаре, быть может, посвятил гостя в еще один круг своих научных интересов, весьма отличный от всего, чем он занимался до сих пор. Находясь под глубоким впечатлением только что вышедшей из печати статьи Ковалевской, посвященной кольцу Сатурна, он решил заняться этой интереснейшей проблемой, увлекавшей многие великие умы на протяжении веков.

Как ни ярка, как ни своеобычна индивидуальность ученого, она беспомощна в мировом размахе науки, если не сцеплена неразрывными связями с переживаниями всего коллективного научного творчества, если мысль ее не бьется в унисон с мыслями многих других творцов. Разум Пуанкаре, как тонко резонирующая струна, живо отзывается на все созвучные его внутреннему настрою волнения в бесконечно разнообразном океане научной жизни, а широта диапазона его «резонаторов» свидетельствует о необычном богатстве палитры его интеллекта. Уж сколько раз первотолчком, стимулом к действию служило для Пуанкаре чужое творение. Он на лету схватывает мысль автора, мозг его молниеносно проделывает всю необходимую работу, и вот уже включается в работу творческое воображение, которое увлекает ученого вперед, далеко за пределы горизонта самого автора.

Пуанкаре, но свидетельству его племянника Пьера Бутру, читал математические труды своим особым методом. Он не мог заставить себя терпеливо прослеживать длинную цепь выводов, определений и теорем. Мысль его сразу же устремлялась к главному результату, который представлялся ему центром всей проблемы. От него Пуанкаре двигался уже к периферии, быстрым, уверенным взглядом охватывая все утверждения, теоремы и выводы, которые окружали основную идею работы. Почти то же самое говорит Поль Аппель; у Пуанкаре был "гениальный дар интуитивного проникновения, в основную мысль каждого вопроса, откуда она происходит и место, которое она занимает в общей системе". Этим объясняются проворство и живость его мысли, не отстававшей от его поистине универсальной любознательности. Теперь своеобразным умственным возбудителем явилась для Пуанкаре статья Ковалевской, обратившая его внимание на давно уже волновавшую ученых загадку кольца Сатурна.

В свое время существовали три гипотезы относительно природы этого кольца. По одной из них оно предполагалось таким же твердым, как планетная твердь, по другой – оно считалось жидким, а по третьей – состоящим из роя частиц. Лаплас в начале XIX века доказал, что однородное твердое кольцо не может быть устойчивым: оно обязательно упало бы на поверхность планеты. Если же считать твердое кольцо неоднородным, то, по расчетам английского ученого Дж. Максвелла, проделанным в середине XIX века, выходило, что почти вся его масса должна быть сосредоточена в одном месте. Неоднородное твердое кольцо получалось уже не кольцом, а обычным спутником планеты. Исследуя равновесную форму жидкого кольца, Ковалевская уточнила результаты Лапласа и доказала, что поперечное сечение такого кольца представляет собой овал. Но жидкое кольцо оказывалось, по ее расчетам, тоже неустойчивым, то есть не могло существовать. Об этом же свидетельствовали выкладки Максвелла, который, исходя из данных астрономических наблюдений, показал, что плотность кольца, если только оно жидкое, не превышает одной трехсотой доли плотности самого Сатурна. Никакая жидкость не могла удовлетворять этому условию.

Продолжив исследования Ковалевской, Пуанкаре приходит к выводу, что жидкое кольцо может быть устойчивым, если плотность его ниже плотности вещества планеты не более чем в шесть раз. Так как это явно противоречило результатам Максвелла, то следовало окончательно отбросить уже скомпрометированную гипотезу жидкого кольца Сатурна. "Этот анализ, как кажется, подтверждает гипотезу Трувело, который считает, что кольца составлены из множества чрезвычайно мелких спутников, и не думает, что можно как-либо иначе объяснить некоторые наблюдаемые явления", – пишет Пуанкаре о результатах своей работы. Но главный итог его усилий заключается не в том, что он подвел черту под многолетними исследованиями кольца Сатурна. Рассмотрев устойчивость жидкого кольца, Пуанкаре обратился к общей задаче устойчивости вращающейся жидкой массы.

Эстафета веков

Впервые задача эта была рассмотрена еще Ньютоном в его знаменитых «Началах». Первооткрыватель закона всемирного тяготения заметил, что закон этот может объяснить не только движение небесных тел, но и их форму. По известной гипотезе, каждая планета первоначально находилась в жидком состоянии, причем настоящую свою форму она приобрела еще до отвердения. Поэтому небесные тела должны иметь одну из тех фигур, которые принимает вращающаяся вокруг оси жидкая масса, частицы которой взаимно притягиваются по закону Ньютона. Вопрос о формах равновесия вращающейся жидкости приобрел важное научное и мировоззренческое значение.

Исследования Ньютона показали, что под влиянием центробежных сил и сил притяжения вращающаяся жидкая масса должна принять форму шара, сжатого у полюсов. Такая фигура называется эллипсоидом вращения. В середине XVIII века шотландский ученый К. Маклорен математически доказал, что эллипсоид вращения действительно будет равновесной фигурой вращающегося жидкого тела. С тех пор эту фигуру равновесия стали называть эллипсоидом Маклорена.

Долгое время считали эллипсоиды вращения единственными фигурами равновесия вращающейся жидкости. Лишь почти сто лет спустя, в 1834 году, выдающийся немецкий механик и математик К. Якоби показал, что это не так. Вращающаяся жидкая масса необязательно должна принимать форму тела вращения, словно ее обрабатывают на гончарном круге. Фигурой равновесия может стать и трехосный эллипсоид, получающийся из шара, который сжимают не только у полюсов, но и по экваториалыюму диаметру. Вывод Якоби вызвал немалое удивление в научном мире. Он явно противоречил наглядным представлениям и физической интуиции. Делались даже попытки опровергнуть его доказательство. Но профессор Сорбонны Ж. Лиувилль, проведя полный математический анализ проблемы, подтвердил правильность этих результатов. В учении о формах равновесия вращающейся жидкости появился новый термин – эллипсоид Якоби.

После этих исчерпывающих, казалось бы, исследований задача снова была предана забвению на несколько десятков лет. Но в 1883 году вышло третье издание известной книги английских ученых В. Томсона и П. Тэта "Трактат о натуральной философии". Авторы ее пополнили коллекцию фигур равновесия вращающейся жидкости. Они показали, что при некоторых условиях эллипсоид Якоби, вытягиваясь, разделяется на два не связанных между собой тела. Эллипсоид перерождается в нечто совершенно отличное от всех прежних форм равновесия. Это были не только новые данные, но и новые проблемы. Сами авторы указывали на существенный пробел в своих изысканиях: ничего не было известно о промежуточных, переходных формах жидкости, предшествующих делению эллипсоида.

Желая восполнить недостающее звено в результатах Томсона и Тэта, Пуанкаре переключается с кольца Сатурна на новый объект. Но логика исследования увлекает его к более общей и фундаментальной задаче: проверить, не существуют ли наряду с эллипсоидами Маклорена и Якоби другие родственные им фигуры равновесия вращающейся жидкости. Он смело принимает эстафету, в течение полутора веков передававшуюся от одного поколения ученых к другому. Смело, поскольку после работ Лиувилля проблема считалась достаточно подробно рассмотренной и закрытой. Рассчитывать в этих условиях на открытие, подобное открытию Якоби, казалось многим неоправданным оптимизмом. К тому же математические трудности представлялись неодолимыми. Задача сводилась к весьма сложному нелинейному интегральному уравнению. Даже сейчас нет полной теории решения таких уравнений, а в конце XIX века не разработана была теория решения и более простых, линейных интегральных уравнений. Тем более удивительны те успехи, которых удалось достигнуть Пуанкаре.

Помимо эллипсоидов, он обнаружил новые фигуры равновесия, отличающиеся от эллипсоидальных. Среди них были даже грушевидные. Эти-то фигуры и позволили перекинуть мост от эллипсоидов Маклорена к двухмассовым равновесным формам, представленным Томсоном и Тэтом. Сам Пуанкаре иллюстрирует эту возможность следующим гипотетическим примером, непосредственно относящимся к астрономии. Вообразим расплавленную жидкую массу, вращающуюся вокруг оси и сжимающуюся при охлаждении. Вначале это будет эллипсоид вращения, очень близкий к сфере. По мере охлаждения сжатие возрастает, и фигура непрерывно меняется. Все более и более уплощаясь, она перерождается в эллипсоид Якоби с тремя неравными осями. При последующем охлаждении большая часть жидкости, стремясь принять шарообразную форму, будет скапливаться в одном месте большой оси эллипсоида, а меньшая часть, обособляясь, переместится к противоположному концу большой оси. Образуется новая фигура равновесия, имеющая вид груши. Так будет продолжаться до тех пор, пока фигура, все более и более сжимаясь в своей средней, самой узкой части, не распадется на два различных, неравных тела.

Свои исследования Пуанкаре опубликовал в серии заметок и статей и в обширном мемуаре, вышедшем в 1885 году в журнале "Акта математика". Новые неожиданные результаты по столь старой и, казалось бы, досконально изученной проблеме вызвали исключительный интерес. Особенно оживились астрономы, решившие применить эти результаты к решению своих задач. Они надеялись, что открытые Пуанкаре грушевидные фигуры равновесия помогут объяснить процессы образования двойных звезд. Некоторые из них думали, что двойные звезды типа беты Лиры представляют те самые переходные формы, которые рассмотрены в его работах. Но сам Пуанкаре понимал, что все рассуждения о фигурах равновесия применительно к небесным телам справедливы лишь в том случае, если эти фигуры устойчивы. Только тогда они могут сохраняться неограниченно долго. Между тем об их устойчивости и методах ее исследования в работах предшественников можно было найти весьма скудные сведения. Например, методы, разработанные Лапласом и Лиувиллем, годились только для некоторых частных случаев и в смысле точности оставляли желать много лучшего.

Все оценки устойчивости механических систем опирались на принцип Лагранжа, согласно которому устойчивое равновесие характеризуется наименьшей величиной потенциальной энергии. Отклоненный от вертикального положения маятник потому так упорно к нему возвращается, что среди всех его возможных положений оно наинизшее и потенциальная энергия в нем принимает наименьшее значение. Но не так просто было применить этот критерий к жидкому вращающемуся телу. Если мысленно отклонить его от равновесной конфигурации, слегка деформировать, то очень трудно сказать наверняка, вернется ли оно, подобно маятнику, в границы прежних своих очертаний или, наоборот, будет неуклонно удаляться от них до тех пор, пока не успокоится, приняв новую, на этот раз устойчивую форму. Смещения частиц жидкости приводят к появлению новых сил, называемых гироскопическими, которые существенно усложняют всю картину. Бессилие принципа Лагранжа заключалось именно в том, что он не мог учесть действия этих дополнительных сил.

Не всегда решение научной проблемы, долгое время не поддававшейся усилиям исследователей, связано с рождением новых методов. Долгожданный эффект приносит порой переосмысление старых, испытанных средств. Такой подход к решению проблемы устойчивости фигур равновесия продемонстрировал Пуанкаре, обобщив принцип Лагранжа на новые, не входившие ранее в круг его рассмотрения ситуации. В качестве критерия устойчивости он принял не потенциальную энергию, а некоторую ее модификацию, как бы дополненную потенциальную энергию, учитывавшую влияние гироскопических сил. Каждой фигуре равновесия ему удалось сопоставить некоторые числовые величины, которые были названы им коэффициентами устойчивости, потому что только в том случае, когда эти коэффициенты положительны, выполняется условие устойчивости. Меняются очертания фигуры, меняются и значения коэффициентов, оставаясь положительными, если она не выходит за пределы своей устойчивости. Но если хотя бы один из коэффициентов обратится в нуль, это уже предостерегающий сигнал. Это значит, что данная фигура равновесия лежит на распутье и от нее ответвляется семейство других фигур равновесия. Перейдя этот рубеж, старые равновесные формы становятся неустойчивыми, зато обнаруживается устойчивость у новой серии фигур. Оба семейства фигур равновесия как бы обмениваются на стыке своей устойчивостью.

Такие же результаты были получены несколько раньше другим ученым. В далеком Петербурге молодой математик А. М. Ляпунов, два года работавший над задачей устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости, защищает в январе 1885 года магистерскую диссертацию. Но в то время Пуанкаре еще ничего об этом не знал.