Текст книги "Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики"
Автор книги: Алекс Беллос
Жанр:
Научпоп
сообщить о нарушении
Текущая страница: 7 (всего у книги 24 страниц)
Глава 3
Кое-что про ничто
Автор отправляется в Индию, дабы встретиться с индуистским пророком, и открывает кое-какие очень медленные методы арифметических действий, а также некоторые очень быстрые.
Каждый год в расположенный на побережье индийский город Пури стекается миллион паломников. Собираются они ради самого зрелищного фестиваля в индуистском календаре – Рат Ятра («парад колесниц»), во время которого по городу проезжают три гигантские разукрашенные колесницы. Когда я туда приехал, улицы были заполнены любителями цимбал и мантр, босоногими святыми людьми с длинными бородами, а также индийскими туристами – типичными представителями среднего класса, одетыми в модные футболки и сари неоновых цветов. Была середина лета – начало сезона дождей, и, если не лил проливной дождь, работники фестиваля опрыскивали водой лица проходивших мимо, чтобы дать немного прохлады. Хоть и не столь масштабные, процессии фестиваля Рат Ятры проходят одновременно по всей Индии, но праздник в Пури – главное событие, а участвующие в нем колесницы – самые большие.
Фестиваль начинается по-настоящему, только когда местный святой – Шанкарачарья из Пури – предстает перед толпой и благословляет собравшихся. Шанкарачарья – один из самых важных индуистских мудрецов, глава монашеского ордена, корни которого уходят в историю более чем на тысячу лет. Из-за него-то я и отправился в Пури. Он – не только духовный лидер, но и публикующий свои работы математик.
Сразу по прибытии в Индию я обратил внимание на не совсем обычное использование числительных. В гостинице, где я остановился, мне попался номер газеты «Times of India», и я прочел крупный заголовок на первой странице:
Индусов на 5 крор больше, чем считало правительство
«Крор» – индо-английское слово, означающее 10 миллионов, так что в газетной статье говорилось о том, что в Индии внезапно обнаружилось 50 миллионов жителей, о существовании которых никто никогда не подозревал. Как можно не заметить столько граждан своей страны, даже если принять во внимание, что это менее 5 процентов всего населения? Но что озадачило меня гораздо больше – так это само слово «крор». В индийском английском языке для больших чисел используются иные слова, нежели в британском или американском английском. Например, слово «миллион» вообще не применяется. Миллион выражается как «десять лакх», где «лакх» – это сто тысяч. Поскольку о «миллионе» в Индии никогда не слышали, осыпанный «Оскарами» фильм «Миллионер из трущоб» вышел здесь под названием «Кроранер из трущоб». Очень богатым человеком считается владелец крора долларов или рупий, – а вовсе не миллиона указанных единиц. Индийские эквиваленты названий чисел таковы:
| Обозначение | Индийск. | Обозначение | |
| Десять | 10 | Десять | 10 |
| Сто | 100 | Сто | 100 |
| Тысяча | 1000 | Тысяча | 1,000 |
| Десять тысяч | 10 000 | Десять тысяч | 10,000 |
| Сто тысяч | 100 000 | Лакх | 1,00,000 |
| Миллион | 1 000 000 | Десять лакх | 10,00,000 |
| Десять миллионов | 10 000 000 | Крор | 1,00,00,000 |
| Сто миллионов | 100 000 000 | Десять крор | 10,00,00,000 |
Стоит заметить, что для чисел выше тысячи индийцы используют разделительную запятую после каждых двух цифр, тогда как во всем остальном мире, где используется разделительная запятая, принято ставить ее через каждые три цифры.
Слова «лакх» и «крор» – наследие Древней Индии. Они происходят из слов «лакх» и «карод» (хинди), которые, в свою очередь, происходят из санскритских названий этих чисел – «лакш» и «коти». В Древней Индии изобретение слов для больших чисел было научным и религиозным предприятием. Например, в «Латисвара Сутра» – тексте на санскрите, датируемом самое позднее началом VI столетия, – перед Буддой встает проблема выразить числа большие чем сто «коти». На что он говорит:
«Одна сотня „коти“ называется „аюта“, сотня „ают“ дает „пиюту“, сотня „пиют“ дает „канкару“, сотня „канкар“ дает „вивару“, а сотня „вивар“ – это „кшобхья“».
Будда продолжает счет числами, кратными ста, пока не добирается до «таллакшана», что есть десять миллионов, умноженные на сто 23 раза, – как можно видеть, это 10, за которым следуют 53 нуля, или, другими словами, 10 53. Это колоссально большое число – настолько большое, что если измерить всю Вселенную от края до края в метрах, а потом возвести полученное число в квадрат, то получится как раз нечто в районе 10 53.
Но Будда на этом не остановился. Он разъяснил, что описал только лишь счетную систему таллакшана, и выше нее имеется другая система, в которой такое же количество членов. А выше той – еще одна, и в ней снова 24 названия для чисел. Но и это еще не все – кроме них есть еще шесть других систем, каковые Будда, разумеется, полностью перечислил. Последнее число в самой последней системе эквивалентно 10 421– это единица с 421 нулем.
Пожалуй, стоит перевести дух и оглядеться. Во Вселенной, по имеющимся оценкам, примерно 10 80атомов. Если взять наименьший из измеримых отрезков времени – так называемое планковское время – настолько малых, что в секунде их насчитывается 10 43, то окажется, что с момента Большого взрыва прошло «всего лишь» 10 140таких отрезков времени, что во много (во много!!!) раз меньше, чем 10 421. Упомянутые Буддой большие числа лишены практического применения – по крайней мере, в отношении пересчета того, что существует в нашем мире.
Будда не только оказался способен измерить непредставимо большое, но и с неменьшим блеском прошелся по области непредставимо малого, дав объяснение того, сколь много атомов имеется в йоджане – древней единице длины порядка 10 километров. Йоджана, заметил он, имеет следующие эквиваленты:
Четыре кроша, каждый из которых есть длина в Одну тысячу арк, каждый из которых есть длина в
Четыре локтя, каждый из которых есть длина в Две пяди, каждая из которых есть длина в Двенадцать пальцев, каждый из которых есть длина в
Семь зернышек, каждое из которых есть длина в Семь семечек горчицы, каждое из которых есть длина в
Семь маковых зернышек, каждое из которых есть длина в
Семь частиц пыли, поднятой коровой, каждая из которых есть длина в Семь частиц пыли, поднятой бараном, каждая из которых есть длина в
Семь частиц пыли, поднятой зайцем, каждая из которых есть длина в
Семь частиц пыли, уносимой ветром, каждая из которых есть длина в
Семь крошенных пылинок, каждая из которых есть длина в
Семь малюсеньких пылинок, каждая из которых есть длина в
Семь частиц первых атомов.
На самом деле получается довольно неплохая оценка. Пусть, скажем, длина пальца – 4 сантиметра. «Первые атомы» Будды, таким образом, имеют длину 4 сантиметра, деленную на 7 десять раз, что составляет 0,04 м × 7 -10, или 0,000000000416 м, что более или менее соответствует размеру атома углерода.
Будда никоим образом не был единственным древним индийцем, который интересовался невероятно большим и невообразимо малым; литература на санскрите полна астрономически больших чисел. Некоторые из них использовались для нужд астрономии – науки, развитой в Индии в совершенстве, – но не все. Последователи джайнизма (религии, близкой индуизму) ввели единицу «раджа» как расстояние, которое бог проходит за шесть месяцев, если преодолевает 100 000 йоджан за каждое мигание глаза. Время, называемое «палья», определялось как продолжительность, необходимая для опустошения гигантского куба, имеющего размер йоджаны и заполненного шерстью новорожденных ягнят, если одна шерстинка вынимается из него раз в столетие. Зацикленность на больших (и малых) числах была в основе своей метафизической – некоторым интуитивным способом осознания бесконечного и попыткой разрешить экзистенциальные проблемы жизни.
* * *
Прежде чем арабские числительные получили всеобщее международное признание, люди изобрели много других способов записи чисел. Первыми обозначениями для чисел, появившимися на Западе, были зарубки, клинописные знаки и иероглифы. Когда люди, говорившие на разных языках, развили свои собственные алфавиты, для представления чисел стали использовать буквы. Говорившие на иврите евреи использовали букву алеф (א) для обозначения 1, бет (ב) для обозначения 2 и т. д. Десятая буква – йод (י) – обозначала 10, после чего численные значения букв шли через десяток, а по достижении 100 – через сотни. Двадцать вторая, и последняя, буква древнееврейского алфавита – тав (ת) – имела значение 400. Использование букв для обозначения чисел не было лишено некоторой путаницы, а кроме того, способствовало развитию нумерологического подхода к счету. Например, гематриазаключалась в сложении чисел, выражаемых буквами в словах на иврите. Получившееся значение воспринималось как проявление боговдохновения и становилось основой для пророчеств.
Похожую систему использовали и древние греки – у них альфа (α) обозначала единицу, бета (β) – двойку и т. д. до 27-й буквы имевшегося в их распоряжении алфавита, сампи (ϡ), которая обозначала число 900. Греческой математической культуре – самой развитой в Древнем мире – не была свойственна жажда индусов к овладению колоссальными числами. Названием для самого большого из чисел, имевшихся в распоряжении древних греков, было слово «мириада», означавшее десять тысяч, что записывалось как заглавная буква М.
В основе римских числительных также лежал алфавит, хотя римская система имела более древние корни, чем даже греческая или еврейская. Символ для единицы выглядел как I – возможно, происходил он из засечки на счетной палочке. Пять обозначалось как V – возможно, из-за схожести с тем, как выглядит рука. Другие числа выглядели как X, L, С, D, M и соответственно обозначали 10, 50, 100, 500, 1000. Все остальные числа строились с использованием этих семи заглавных букв. Использование всего лишь семи символов в сравнении с 22 из иврита и 27 из греческого алфавита делало римскую систему более удобной, вот почему она оставалась основной числовой системой в Европе на протяжении более тысячи лет.
Тем не менее римские числительные очень плохо приспособлены к нуждам арифметики. Давайте попробуем вычислить 57 × 43. Лучшим способом решить эту задачу является хитроумный, но медленный метод, получивший название египетского или крестьянского умножения, поскольку возник он в Древнем Египте.
Для начала разложим одно из чисел, подлежащих умножению, по степеням двойки (эти степени, напомним, равны 1, 2, 4, 8, 16, 32 и т. д., где каждый раз происходит удвоение), а затем составим таблицу удвоений другого числа. В нашем примере – (57 × 43) – надо разложить число 57 и выписать таблицу удвоений числа 43. Я буду использовать арабские числительные, чтобы продемонстрировать, как это делается, но процесс остается тем же самым и при использовании римских числительных.
Разложение: 57 = 32 +16 + 8 +1.
Таблица удвоений:
1 × 43 = 43
2 × 43 = 86
4 × 43 = 172
8 × 43 = 344
16 × 43 = 688
32 × 43 = 1376
Умножение 57 × 43 эквивалентно сложению результатов из правого столбца в таблице удвоений, которые отвечают степеням двойки в разложении. Это, возможно, звучит не слишком понятно, но в действительности оказывается не так уж сложно. Наше разложение содержит в себе числа 32, 16, 8 и 1. В таблице 32 отвечает числу 1376, 16 – числу 688, 8 – числу 344, а 1 – числу 43. Таким образом, результат нашего умножения равен 1376 + 688 + 344 + 43, что дает 2451.
Если разбивать вычисления на удобоваримые кусочки, сводящиеся только к удвоению и сложению, то римские числительные оказываются вещью вполне пригодной. И тем не менее нам пришлось выполнить работы куда больше, чем это на самом деле нужно.
Сравним приведенное вычисление с умножением столбиком, которое все мы изучали:
Имеется очень простая причина, по которой наш метод и проще, и быстрее. Дело в том, что ни римляне, ни греки, ни евреи не изобрели символа для нуля. А когда дело доходит до вычислений, то именно 0, то есть ничто, становится невероятно важным и меняет все кардинальным образом.
* * *
Веды, священные индуистские тексты, передавались из поколения в поколение из уст в уста, пока наконец их не перевели на санскрит около двух тысяч лет назад. В одном ведическом пассаже о построении алтарей перечисляются следующие слова, обозначающие числа:
| Даса | 10 | Арбуда | 10 000 000 |
| Сата | 100 | Ньярбуда | 100 000 000 |
| Сахастра | 1000 | Самудра | 1 000 000 000 |
| Аюта | 10 000 | Мадхья | 10 000 000 000 |
| Ньюта | 100 000 | Анта | 100 000 000 000 |
| Праюта | 1 000 000 | Парардха | 1 000 000 000 000 |
При наличии названий для каждого числа, кратного десяти, удается эффективно описать большие числа, из чего астрономы и астрологи (и, надо полагать, строители алтарей) почерпнули подходящий к своим задачам лексикон для огромных величин, требуемых в их вычислениях. В этом одна из причин, по которым индийская астрономия опережала свое время. Возьмем число 422 396. Индусы начинали с самой младшей цифры – той, что справа, – и последовательно описывали число, переходя справа налево: «шесть и девять дасы и три сахастры и две аюты и две ньюты и четыре праюты». Не так уж сложно осознать, что при этом можно не указывать степени десятки, потому что значение числа в списке определяется его положением. Другими словами, приведенное выше число можно было бы записать и просто как «шесть, девять, три, два, два, четыре».
Исчисление такого типа известно как «позиционная» система, и мы рассматривали ее выше. Бусинка на абаке имеет различные значения в зависимости от того, к какому столбцу она относится. Подобным же образом каждое число в приведенном выше списке имеет значение в зависимости от своей позиции. Но при этом позиционная система требует какой-то идеи для «заполнения места» в том случае, когда в данном столбце или в данной позиции никакого числа нет. Например, если в числе имеется две дасы, ни одной саты и три сахастры, то его нельзя записать как «два, три», потому что такая запись указывает на число, в котором две дасы и три саты. Заполнитель места требуется для того, чтобы ясно сигнализировать отсутствие саты, и индусы использовали для этого слово «шунья», означавшее «пустота». Наше число поэтому есть «два, шунья, три».
Индусы были не первыми, кто ввел в обиход заполнитель места. Честь этого изобретения, судя по всему, принадлежит вавилонянам, которые записывали свои числовые символы в столбцы, применяя систему с основанием 60. Одна колонна отводилась для единиц, вторая – для «шестидесяток», следующая – для чисел, кратных 3600, и т. д. Если в числе не было значения, соответствующего заданному столбцу, то изначально там не писали ничего. Но это приводило к путанице, так что в конце концов вавилоняне ввели символ, обозначавший отсутствие значения. Правда, этот символ использовался только как элемент разметки.
Индусы же, приняв шунью за заполнитель места, на этом не остановились, а, наоборот, повысили его в ранг полноценного числа – нуля. В наши дни нет ничего сложного в том, чтобы воспринимать нуль как число. Но на самом деле эта идея далеко не очевидна. Западные цивилизации, например, так и не пришли ни к чему подобному даже за тысячи лет математических изысканий. Действительный масштаб концептуального скачка, совершенного в Индии, хорошо иллюстрируется тем фактом, что Древний мир, имея нуль перед своим носом, глядел прямо сквозь него. Абак содержал в себе концепцию нуля уже потому, что он опирался на позиционную идею. Когда римлянин желал выразить число «одна сотня и один», он передвигал бусинку в первом столбце для обозначения одной сотни, не передвигал ничего во втором столбце, что означало отсутствие десятков, и передвигал бусинку в третьем столбце, чтобы указать просто единицу. Второй, оставленный в покое столбец выражал «ничто». Вычислители на абаке знали, что к нетронутым столбцам надо относиться с тем же вниманием, что и к тем, в котором бусинки меняли положения. Но никто из них не снабдил числовым именем или символом значение, которое выражалось нетронутым столбцом.
Свои первые робкие шаги в роли полноправного числа нуль проделал под покровительством знаменитого индийского математика Брахмагупты, жившего в VII веке. Именно Брахмагупта показал, как шунья ведет себя по отношению к своим числовым братьям и сестрам. «Данное число минус шунья дает данное число», – писал он, понимая под этим, что если из положительного числа вычесть нуль, то получится то же самое положительное число: а -0 = а.А если умножить шунью на любое число, то получится шунья – другими словами, 0 × а= 0.
Числа исходно возникли как средство счета, как абстракции, описывающие количества. Но нуль не был числом для счета в том же смысле; понимание его значения потребовало более высокого уровня абстракции. Однако чем меньше математика оказывалась привязанной к реальным вещам, тем более мощной она становилась. Обращение с нулем как с числом означало, что позиционную систему, превратившую абак в наилучший способ вычисления, прекрасно можно использовать и для записи символов. Но это не все – нуль сделал возможным появление таких понятий, как отрицательные числа и десятичные дроби, – понятий, которые мы ныне без труда постигаем в школе и которые глубоко внедрены в нашу повседневную жизнь, но ведь они вовсе не являются самоочевидными. Древние греки сумели совершить фантастические математические открытия без использования нуля, отрицательных чисел или десятичных дробей – потому что полагались на существенно пространственное понимание математики. Им представлялось бессмыслицей, что ничто может быть «чем-то». Пифагору вообразить отрицательное число было столь же трудно, как отрицательный треугольник.
* * *
Среди всех новаторских способов обращения с числами в Древней Индии самым, пожалуй, занятным был лексикон, применявшийся для описания чисел от нуля до девяти. Вместо того чтобы закрепить за каждой цифрой уникальное имя, они применяли колоритный набор синонимов. Нуль, как мы уже знаем, назывался шинья, но еще и «эфиром», «точкой», «дырой» или «змеем вечности». Единица – «землей», «луной», «путеводной звездой» или «свернувшимся молоком». Двойка выступала под названием «рука», тройка была «огнем», а четверка – «вульвой». То или иное имя выбиралось в зависимости от контекста и следовало принятым в санскрите строгим правилам версификации и просодии. Например, следующий стих представляет собой отрывок из описания манипуляций с числами в одном древнем астрологическом тексте:
Перевод таков:
[Число обращений] апсидов Луны в [космическом цикле есть]
Три. Нуль. Два. Восемь. Восемь. Четыре [то есть 488 203],
и в ее ущербном узле.
Восемь. Три. Два. Два. Три. Два [то есть 232 238].
На первый взгляд использование витиеватых альтернативных названий для каждого числа может показаться бесполезным, но на самом деле оно совершенно осмысленно. В те периоды в истории, когда рукописи были недолговечны и легко портились, астрономам и астрологам требовался способ резервного хранения данных для точной передачи чисел. Последовательности цифр легче запомнить, если они описаны в стихах с использованием разнообразных имен, нежели когда при их записи используется набор безликих, похожих друг на друга обозначений.
Другая причина, по которой числа передавались изустно, состояла в том, что имена числительные, возникавшие в различных районах Индии для чисел от одного до девяти (к нулю мы вернемся чуть позже), были разными. Два человека из разных районов и использующие разные числительные, могли говорить о числах и понимать друг друга, произнося слова, обозначавшие числа. К 500 году в Индии, однако, установилось определенное единство в использовании числительных и были узаконены три основных элемента, которые составляют современную десятичную числовую систему: десять цифр, зависимость значения от позиции, а также – к всеобщей радости – нуль.
Из-за простоты использования индийский метод быстро распространился по Ближнему Востоку и прочно утвердился в исламском мире, вот почему эта система приобрела известность под неправильным названием арабской. Далее метод проник в Европу благодаря предприимчивому итальянцу Леонардо Фибоначчи (Фибоначчи на итальянском языке означает «сын Боначчи»). Фибоначчи впервые познакомился с индийскими числительными еще в детстве, в городе Буджия (теперь это алжирский город), где его отец работал на Пизанской таможне. Осознав, что эта система намного превосходит римскую, Фибоначчи написал книгу о десятичной позиционной системе и опубликовал ее в 1202 году под названием «Liber Abaci». Книга начинается с хорошей новости:
Имеется девять индийских цифр
9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
Используя эти девять цифр вместе со знаком 0, который арабы называют «зефир», можно записать любое число, как и будет продемонстрировано.
Знакомством с индийской системой Запад во многом обязан именно «Liber Abaci» – гораздо больше, чем какой бы то ни было другой книге. В своем труде Фибоначчи описал, как можно умножать и делить, используя значительно более быстрые и элегантные методы, чем те, что были до того известны европейцам. В наши дни основы арифметики с использованием арабских числительных могут показаться безотрадно скучными, но в начале XIII века они воспринимались как настоящее чудо.
Впрочем, не все сразу согласились сменить привычки. Во-первых, профессиональные вычислители на абаке ощущали угрозу, исходящую от более простого метода, а во-вторых, время для публикации книги оказалось не очень удачным: «Liber Abaci» вышла в период Крестовых походов, и церковь испытывала понятную подозрительность ко всему, что имело арабскую, исламскую, подоплеку. Некоторые даже усмотрели в новой арифметике дело рук дьявола – причем как раз по причине ее гениальной изобретательности. Страх перед арабскими числительными проявился и в этимологии некоторых современных слов. Из зефира возник «зеро», то есть нуль, но кроме того и португальское «chifre», означающее рога [дьявола], а также английское слово «cipher» – шифр, код. Некоторые ученые видят причину этого в том, что с числами, включающими «зефир», работали втайне, вопреки воле церкви.
В 1299 году во Флоренции арабские числительные были запрещены, потому что, как утверждалось, плавно написанные арабские символы легче подделать, чем ясные и выразительные римские V и I. Из 0 можно сделать 6 или 9, а 1 ничего не стоит преобразовать в 7. Как следствие, римские числительные окончательно ушли со сцены лишь примерно в конце XV века. Отметим, что для утверждения отрицательных чисел потребовалось гораздо больше времени – это произошло лишь в XV столетии, – поскольку многие были уверены, что они используются при вычислениях незаконных денежных ссуд или при ростовщических сделках, считавшихся святотатственными.
С принятием арабских чисел арифметика смогла соединиться с геометрией и превратиться из инструмента лавочников в настоящий составной элемент западноевропейской математики. И тем самым открыла путь, ведущий к научной революции.
* * *
Еще один, менее далекий по времени, вклад Индии в мир чисел – это арифметические приемы, собрание которых известно как ведическая математика. Их открыл в начале XX века молодой свами [21]21
Свами– святой мудрец в Индии. ( Примеч. перев.)
[Закрыть]– Бхарати Кришна Тиртха [22]22
Шанкарачарья Шри Бхарати Кришна Тиртха(1884–1960) – выдающийся индийский философ, математик и религиозный деятель. ( Примеч. перев.)
[Закрыть]. Он утверждал, что обнаружил их в Ведах. (Как бы вы реагировали, если бы некий священник заявил, что нашел в Библии метод решения квадратных уравнений?) Ведическая математика основана на следующем списке из 16 коротких изречений, или сутр, которые, согласно Тиртхе, не прописаны где бы то ни было в Ведах в явном виде, но извлекаются оттуда «с помощью интуитивного озарения»:
1. На единицу больше, чем предыдущий
2. Все из 9 и последнее из 10
3. Вертикально и крест-накрест
4. Переставляй и применяй
5. Если сумма та же самая, то нуль
6. Если один в отношении, то другой есть нуль
7. Умножением и вычитанием
8. Дополнением и не-дополнением
9. Дифференциальное исчисление
10. По недостающему количеству
11. Частное и общее
12. Остатки по последней цифре
13. Последнее и дважды предпоследнее
14. На единицу меньше, чем предыдущий
15. Произведение суммы
16. Все множители
Всерьез ли это писалось? Да, и абсолютно всерьез. Тиртха был одним из наиболее уважаемых мудрецов своего поколения. В детстве он был вундеркиндом и к двадцати годам изучил санскрит, философию, английский язык, математику, историю и естественные науки, кроме того, стал талантливым оратором. Уже в самом начале своей взрослой жизни он понял, что ему предназначено судьбой занять видное положение в религиозных кругах Индии. Действительно, в 1925 году Тиртха был признан воплощением Шанкарачарьи и получил в свое ведение основанный древним святым, имеющий национальное значение монастырь в Пури, Орисса, на берегу Бенгальского залива. Этот пост – один из самых высокопоставленных в традиционном индуистском обществе. Как раз в Пури – центр фестиваля колесниц Рат Ятра – я и приехал, надеясь встретить там Шанкарачарью, официального главу ведической математики.
В 1930-х и 1940-х годах, исполняя роль Шанкарачарьи, Тиртха регулярно путешествовал по Индии – читал проповеди перед десятками тысяч людей и раздавал духовные наставления, но кроме того еще и пропагандировал свой новый способ вычислений. Те 16 сутр, учил он, следовало использовать так, как если бы они были математическими формулами. Хотя некоторые из них и могут показаться не слишком внятными, подобно названиям глав в книге для инженеров или нумерологическим мантрам, на самом деле они указывают на ясные правила. Одно из самых простых и понятных – правило номер два: «Все из 9 и последнее из 10». Его надо применять всякий раз, когда производится вычитание числа из степени десятки, например, 1000. Если я желаю вычислить, скажем, 1000 – 456, то я буду вычитать 4 из 9, 5 из 9 и 6 из 10: другими словами, первые два числа из 9, а последнее из 10. Ответ равен 544. (Остальные сутры предназначены для применения в других ситуациях, часть из которых мы рассмотрим ниже.)
Тиртха пропагандировал ведическую математику в качестве дара, который он бескорыстно преподносил своему народу. Тиртха утверждал, что математику, изучаемую в школе примерно 15 лет, можно выучить всего за восемь месяцев – нужно только использовать его сутры. Более того, он утверждал, что его систему можно распространить не только на арифметику, но и на алгебру, геометрию, математический анализ и астрономию. Благодаря моральному авторитету Тиртхи, его харизме и ораторскому таланту люди его просто обожали. На широкую публику, писал он, ведическая математика «произвела колоссальное впечатление, мало того – она вызывала трепет, изумляла и ошеломляла!». Для тех, кто спрашивал, является ли его метод математикой или магией, у него был готовый ответ: «Тут и то и другое. Магия, до тех пор, пока ты ее не понял, и математика, как только это случится».
* * *
В 1958 году, в уже весьма почтенном возрасте, Тиртха посетил Соединенные Штаты, что вызвало большую полемику – индуистским духовным лидерам не разрешалось покидать страну, и то был первый раз, когда какой бы то ни было Шанкарачарья выезжал за пределы Индии. Его поездка вызвала колоссальное любопытство в Соединенных Штатах, и, когда Тиртха добрался до Калифорнии, газета «Los Angeles Times» назвала его «одним из самых значительных – и наименее известных – людей в мире».
Программа пребывания Тиртхи была плотно забита лекциями и выступлениями на телевидении. Как правило, он говорил о мире во всем мире, однако одну лекцию он полностью посвятил ведической математике. Местом действия был Калифорнийский технологический институт, знаменитый Калтех – одно из самых престижных научных учреждений в мире. Тиртха, весивший не более пятидесяти килограммов, в традиционных одеяниях, торжественно уселся в кресло перед слушателями и тихим голосом, в котором, однако, слышались командные нотки, заговорил: «С самого детства я в равной степени увлекался как метафизикой, так и математикой. И не нахожу в этом ничего сложного».
Тиртха начал с того, что показал, как умножить 9 × 8 без использования таблицы умножения. Для этого надо воспользоваться сутрой «Все из 9 и последнее из 10», хотя лишь задним числом становится ясно почему.
Сначала он написал мелом на доске цифру 9, а за ней – разность между 9 из 10, составляющую -1. Ниже он написал цифру 8, а затем – разность между 8 и 10, составляющую -2:
Первую цифру ответа можно получить четырьмя различными способами: сложить числа в первом столбце и вычесть десять (9 + 8 – 10 = 7);
сложить числа во втором столбце и прибавить десять (-1 – 2 + 10 = 7);
сложить числа, стоящие на любой из диагоналей (9 – 2 = 7 или 8 – 1 = 7). В результате неизменно получается семь:
Вторая цифра ответа вычисляется путем перемножения двух чисел во втором столбце: (-1) × (-2) = 2. Окончательный ответ равен 72:
меня этот трюк вызывает чувство глубочайшего удовлетворения. Запись однозначного числа рядом с числом, выражающим его отличие от десяти, до некоторой степени подобна разборке данного числа на части с целью увидеть его внутреннее содержание, выявить его эго и альтерэго. Таким путем достигается более глубокое понимание поведения чисел. Пример типа 9 × 8, конечно, совершенно обыденный, но стоит только копнуть поглубже, как неожиданно проступят изящество и порядок. Данный метод работает не только для 9 × 8, но и для любой пары чисел. Тиртха далее написал мелом другой пример, 8 × 7:
Как и раньше, первую цифру ответа можно получить любым из четырех способов: 8 + 7 – 10 = 5, или -2 – 3 + 10 = 5, или 8 – 3 = 5, или же 7 – 2 = 5. Вторая цифра есть произведение цифр во втором столбце: (-2) × (-3) = 6. Ответ равен 56.
Способ, которым действует Тиртха, сводит умножение двух однозначных чисел к сложению и умножению разниц между исходными числами и числом десять. Другими словами, умножение двух однозначных чисел больше пяти сводится к некоторому сложению и умножению двух чисел меньше пяти. А это означает, что можно умножать на шесть, семь, восемь и девять без обращения к верхней (выше пятерки) части таблицы умножения. Это полезно для тех, кому запоминание таблицы умножения дается с трудом.
Этот метод по сути подобен вычислению на пальцах, который использовался в Европе по крайней мере с эпохи Возрождения и применялся во французских и российских деревнях чуть ли не до конца 1950-х годов. На каждой руке пальцам приписаны числа от 6 до 10. Чтобы перемножить два числа, скажем 8 и 7, соединим палец 8 с пальцем 7. Число цифр выше соединенных пальцев с одной стороны вычитаем из числа, соответствующего соединенному пальцу с другой стороны (или 7 – 2, или 8 – 3), что дает 5. Число цифр выше соединенных пальцев с каждой из сторон – 2 и 3 – затем перемножается, что дает 6. Ответ, как и раньше, равен 56.
