Текст книги "Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики"

Автор книги: Алекс Беллос

сообщить о нарушении

Текущая страница: 2 (всего у книги 24 страниц)

Числа выражают количество, но они же выражают и порядок. Эти две концепции связаны друг с другом, но не тождественны. Например, когда я говорю «пять картофелин», я имею в виду, что число картофелин в данной группе равно пяти. Математики называют этот аспект числа его «кардинальностью». С другой стороны, когда я считаю от 1 до 20, я пользуюсь тем удобным свойством, что числа можно расположить по порядку. Я не говорю о двадцати объектах, а просто озвучиваю последовательность. Математики называют этот аспект числа его «ординальностью». В школе нас учат понятиям кардинального числа и ординального числа вместе, и мы без труда перескакиваем от одного к другому. Для шимпанзе, однако, имеющаяся тут связь вовсе не очевидна.

Мацузава сначала внушил Аи, что один красный карандаш обозначается символом 1, а два красных карандаша – символом 2. Вслед за 1 и 2 Аи выучила число 3 и все остальные цифры до 9. Когда ей показывали, скажем, число 5, она знала, что нужно ткнуть в квадрат с пятью точками, а когда показывали квадрат с пятью точками, она знала, что надо показать на цифру 5. Процесс обучения стимулировался наградами: каждый раз, как она правильно выполняла задание компьютера, установленная рядом система выдавала ей что-нибудь вкусное.

Когда Аи овладела кардинальными числами от 1 до 9, Мацузава перешел к заданиям, которые могли бы внушить ей понимание упорядоченности этих чисел: на экране вспыхивали цифры, а от Аи требовалось тыкать в них в порядке их возрастания. Если на экране появлялись 4 и 2, ей надо было сначала дотронуться до 2, а затем до 4, только тогда ей доставался аккуратный кусочек яблока. Аи довольно быстро сообразила, что к чему. Приобретенные ею познания в области как кардинальных, так и ординальных чисел были таковы, что Мацузава теперь мог, и не без основания, утверждать, что его ученица научилась считать. Потрясающие успехи в математике превратили Аи в национальную героиню Японии и выдающуюся представительницу своего вида.

Далее Мацузава познакомил Аи с концепцией нуля. Кардинальность символа 0 она освоила легко. Всякий раз, когда на экране появлялся пустой квадрат, она тыкала в нужную цифру. Далее Мацузава пожелал узнать, сможет ли она овладеть пониманием ординальности нуля. Ей показывали случайную последовательность экранов с двумя цифрами, в точности так же, как когда она осваивала ординальность чисел от 1 до 9, хотя на этот раз одна из цифр представляла собой 0. Где, по ее мнению, располагался нуль среди числового порядка?

Сначала Аи располагала 0 между 6 и 7. В следующий раз она переместила нуль ниже 6, затем ниже 5, затем ниже 4 и, наконец, через несколько сотен попыток, расположила его около 1. Однако она все время путалась, должен ли 0 быть больше или меньше, чем 1. Хотя Аи уже умела очень хорошо обращаться с числами, ей недоставало глубины человеческого понимания.

Тем не менее она приобрела весьма ценный навык – искусство показывать товар лицом. Сейчас она – настоящий профи, и самые лучшие результаты на своем компьютере демонстрирует в присутствии зрителей, особенно когда на нее нацелены телевизионные камеры.

* * *

Ученые активно занимаются исследованием того, как животные управляются с числами. Эксперименты выявили у столь непохожих между собой созданий, как саламандры, крысы и дельфины, неожиданную способность «различать количества». Пусть даже лошади пока не могут извлекать квадратные корни, однако ученые в настоящий момент полагают, что численные способности животных развиты намного сильнее, чем считалось ранее. Все существа, похоже, рождаются с мозгами, предрасположенными к математике.

Как-никак, умение ориентироваться в числах очень важно для выживания в дикой природе. Шимпанзе с меньшей вероятностью проголодается, если, взглянув на дерево, сумеет оценить, достаточно ли на нем спелых плодов на обед. Кэрин Маккоум из Университета Сассекса наблюдала за прайдом львов в Серенгети. Она хотела показать, что львы пользуются понятием числа, когда решают, нападать ли на других львов. Во время одного из экспериментов одинокая львица в сумерках возвращалась в прайд. Маккоум заранее спрятала в кустах звуковые динамики и в нужный момент включила запись рычания одного животного. Наша львица услышала это рычание, но продолжила свой путь домой. В другой раз в эксперименте участвовали пять львиц, а Маккоум воспроизвела через спрятанные динамики рычание трех львиц. Все пять львиц, услышав это рычание, стали смотреть в направлении источника звука. Одна львица зарычала, и вскоре все пятеро пошли на кусты в наступление.

Таким образом, сделала вывод Маккоум, львицы умеют оценивать и сравнивать число соперниц. В ситуации «одна против одной» нападение сопряжено со слишком большим риском, но при наличии численного перевеса, в случае «пять к трем», можно и атаковать.

Не все исследования взаимоотношений животных с числами столь же эффектны, как эксперименты с львицами Серенгети или со знаменитой шимпанзе. В Университете Ульма в Германии ученые помещали муравьев, обитающих в пустыне Сахара, у одного конца туннеля и отправляли их на поиски пищи. Однако как только муравьи находили еду, у некоторых из них отрывали нижние части ножек, а другим их наращивали, приделывая «ходули» из свиной щетины. (На самом деле это не так уж жестоко, как может показаться, потому что ножки у пустынных муравьев регулярно снашиваются под солнцем Сахары.) Муравьи с укороченными ножками не доходят до дома, тогда как те, у кого их удлинили, проскакивают мимо. Напрашивается вывод: муравьи судят о пройденном расстоянии не визуально, а с помощью встроенного внутреннего «шагомера». Потрясающие способности муравьев к многочасовым прогулкам, после которых они всегда находят обратную дорогу к своему муравейнику, также могут иметь в своей основе сноровку в подсчете шагов.

* * *

Исследования числовых навыков у животных имели неожиданные следствия. Оказалось, математические возможности шимпанзе хоть и существуют, но явно ограничены, зато Мацузава обнаружил, что им присущи другие когнитивные способности, причем намного превосходящие наши, людские.

В 2000 году Аи родила сына, которого назвали Аюму. В тот день, когда я приехал в Институт исследования приматов, Аюму сидел на занятиях рядом с мамочкой. Он меньше ее ростом, у него более розовая кожа, а волосы на руках и на лице – чернее. Аюму сидел перед своим собственным компьютером, тыкая в экран, когда там возникали числа, и жадно поглощал кусочки яблока, когда ему удавалось их заработать. Аюму – вполне уверенный в себе юноша, своим образом жизни оправдывающий привилегированный статус сына доминантной самки в группе.

Аюму никто специально не обучал, как именно пользоваться дисплеями сенсорных экранов (тачскрин-дисплеями), хотя он с младенчества сопровождал свою мамочку на ежедневные занятия. Однажды Мацузава приоткрыл дверь в класс только наполовину, как раз настолько, чтобы Аюму смог войти, но недостаточно для того, чтобы Аи последовала за ним. Аюму направился прямо к компьютерному монитору. Весь персонал сгорал от нетерпения, желая узнать, чему же он успел научиться. Для начала он ткнул в экран, и там появились цифры 1 и 2. То была простая задача на упорядочение. Аюму клинул на 2. Неправильно. Он продолжал нажимать на 2. Снова неправильно. Тогда он попробовал нажимать на 1 и 2 одновременно. Неправильно. В конце концов он сделал то, что требовалось: нажал на 1, а затем на 2, – кусочек яблока выпал ему на ладонь. Прошло немного времени, и Аюму стал выполнять все компьютерные задания лучше своей мамочки!

Пару лет назад Мацузава стал задавать ему задачи нового типа, тоже с числами. При нажатии на кнопку «Старт» на экране случайным образом высвечивались числа от 1 до 5. Через 0,65 секунды числа превращались в белые квадратики. Задание состояло в том, чтобы нажать на белые квадратики в правильном порядке – предварительно запомнив, на месте какого числа возник какой квадратик.

Аюму выполнял это задание правильно в 80 процентах случаев, что составляет примерно столько же, что и в контрольной группе японских детей. Тогда Мацузава уменьшил до 0,43 секунды время, в течение которого числа оставались видны на экране. Аюму не почувствовал серьезной разницы, в то время как показатели, продемонстрированные детьми, существенно упали – процент успешного выполнения стал равен примерно 60. Когда Мацузава уменьшил время, в течение которого числа оставались видимыми, до 0,21 секунды, Аюму по-прежнему показывал 80 процентов, дети же опустились до 40 процентов.

Этот эксперимент показал, что Аюму обладает необычайной фотографической памятью. Такая память есть и у других шимпанзе в Инуяме, но ни у одного из них она не развита так хорошо. В дальнейших экспериментах Мацузава увеличил количество цифр, и теперь Аюму запоминает расположение восьми цифр, которые видны лишь в продолжение 0,21 секунды. Кроме того, Мацузава уменьшил и интервал времени для запоминания – оказалось, Аюму способен запомнить расположение пяти цифр, видимых только в течение 0,09 секунды, чего человеческому глазу едва хватает, чтобы зафиксировать числа сами по себе, не говоря уж о том, чтобы их запомнить. Этот потрясающий талант к мгновенному запоминанию, скорее всего, связан с необходимостью принятия быстрых решений – например, о количестве врагов, – что жизненно важно в мире дикой природы.

* * *

Изучение пределов способностей животных к восприятию чисел естественным образом подводит нас к вопросу о наших врожденных способностях. Ученым, которые хотят исследовать мозг, не засоренный приобретенными знаниями (насколько это вообще возможно), требуются испытуемые возраста столь юного, сколь это возможно. Проверка врожденного математического восприятия у младенцев возрастом в несколько месяцев стала в наши дни обычным делом. Поскольку в этом возрасте дети еще не умеют не только говорить, но даже толком контролировать свое собственное тело, признаки математической одаренности определяют по глазам, точнее, по времени, в течение которого ребенок удерживает взгляд на каком-то объекте. Считается, что малыши будут дольше удерживать взгляд на картинке, которую сочтут интересной. В 1980 году Принтер Старки из Университета Пенсильвании показывал младенцам от 16 до 30 недель от роду экран с двумя точками, а затем другой экран, с двумя точками. Младенцы смотрели на второй экран в течение 1,9 секунды. Но когда Старки повторил опыт, показывая экран с тремя точками, младенцы смотрели на него в течение 2,5 секунды – почти на треть дольше. Старки сделал вывод, что, поскольку младенцы разглядывали картинку с тремя точками дольше, чем картинку с двумя точками, они заметили какие-то отличия, а следовательно, обладают рудиментарным представлением о числе. Подобный метод определения способности распознавания чисел на основании продолжительности отрезка времени, в течение которого взгляд фиксируется на картинке, сегодня стал стандартным. В 2000 году Элизабет Спелке из Гарварда показала, что шестимесячные дети могут заметить различие между 8 и 16 точками, а в 2005 году – что они способны различать 16 и 32 точки.

Похожие исследования продемонстрировали, что младенцы обладают и арифметическими навыками. В 1992 году Кэрин Винн из Университета Аризоны провела такой эксперимент. Она сажала пятимесячного младенца перед небольшим столиком. Взрослый клал на столик игрушечного Микки Мауса, а затем ставил экран, чтобы скрыть его. Потом взрослый клал перед экраном второго Микки Мауса, после чего экран убирали, так что становились видны обе игрушки. В другой раз Винн делала все то же самое, но только после того, как экран убирали, обнаруживалось неправильное число игрушек: или всего одна, или три. В случае, когда в конце на столике оказывались одна или три игрушки, ребенок рассматривал их дольше, чем когда их оказывалось две. Это означало, что ребенок удивлен неправильным числом. Дети понимают, заключает Винн, что одна игрушка плюс еще одна игрушка равно двум игрушкам.

Эксперимент, аналогичный эксперименту с Микки Маусом, проводили с разными игрушками, например с Элмо и Эрни, персонажами «Улицы Сезам». Элмо сажали на столик. Опускался экран. Затем позади экрана клали второго Элмо или Эрни. Экран убирали. Иногда на столике оказывались два Элмо, иногда Элмо и Эрни, а иногда один только Элмо или один Эрни. Дети рассматривали игрушки дольше, когда оставалась только одна кукла, чем когда оставались две неправильныекуклы. Другими словами, арифметическая невозможность равенства 1 + 1 = 1 беспокоила их гораздо сильнее, чем превращение Элмо в Эрни. По-видимому, знания детей о законах математических гораздо глубже, чем знания о законах физических.

Швейцарский психолог Жан Пиаже (1896–1980) утверждал, что младенцы строят восприятие чисел медленно, через опыт, так что нет смысла обучать арифметике детей младше шести или семи лет. Эта точка зрения оказала влияние на поколения учителей, которые нередко предпочитали, чтобы дети на занятиях просто играли в кубики, чем знакомились с формальной математикой. Сейчас взгляды Пиаже считаются устаревшими. В наше время дети усваивают арабские цифры и учатся решать примеры уже в самых младших классах.

* * *

Эксперименты с точками играют ключевую роль и в исследованиях числовой когнитивности взрослых. В классическом опыте испытуемому показывают точки на экране и спрашивают, сколько он их видит. В случае одной, двух или трех точек ответ всегда следует практически немедленно. Когда же точек четыре, ответ занимает существенно больше времени, и еще больше – если точек пять.

И что же? – спросите вы. Возможно, этим скорее всего объясняется, почему в ряде культур числительные для 1, 2 и 3 содержат одну, две и три линии, тогда как число 4 непредставляется четырьмя линиями. Когда имеется три или меньшее число линии, мы можем немедленно сказать, сколько их, но, когда их четыре, нашему мозгу задается слишком серьезная задача. Китайские иероглифы для чисел от 1 до 4 имеют вид , ,  и . Древние индийские числительные выглядели как , ,  и . (Если соединить здесь кое-какие линии, то будет видно, как они превращаются в современные 1, 2, 3 и 4.)

На самом деле не ясно, каково число линий, которые мы можем зафиксировать мгновенно, – три или четыре? У римлян в действительности были два возможных способа написания четверки – IIII и IV. Зрительно намного быстрее распознается IV, но на циферблатах часов – быть может, по эстетическим причинам – имеется тенденция использовать IIII. Без сомнения, число линий, точек или саблезубых тигров, которое мы можем распознать быстро, уверенно и точно, – не более четырех.

При том что у нас есть точное ощущение чисел 1, 2 и 3, за пределами числа 4 наши способности ослабевают и суждения о числах становятся приблизительными.Попробуйте, например, быстро определить, сколько точек здесь изображено:

Это невозможно. (Не считая того случая, когда вы – аутист с незаурядными умственными способностями, как персонаж Дастина Хоффмана в фильме «Человек дождя», который мог бы через долю секунды сказать «семьдесят пять».) Все, что нам доступно, – это оценка, и она вполне может оказаться неточной.

Исследователи протестировали, насколько далеко простирается наше интуитивное восприятие чисел. Добровольцам показывали картинки с различным числом точек и спрашивали, на какой картинке точек больше. Оказалось, что умение распознавать точки подчиняется регулярным закономерностям. Например, легче выявить различие между группой из 80 точек и группой из 100 точек, чем между группами из 81 и 82 точек. Аналогичным образом, легче провести различие между группами из 20 и 40 точек, чем между группами из 80 и 100 точек. Кроме того, ученых на самом деле очень удивляет, сколь строго наши способности к сравнению следуют математическим законам, таким как принцип мультипликативности. В своей книге «Чувство числа» французский специалист по когнитивным наукам Станислас Деэн приводит пример человека, который может отличить группу из 10 точек от группы из 13 точек с 90-процентной точностью. Если же число точек в первой группе удвоить, так что их станет 20, то сколько точек надо включить во вторую группу, чтобы этот человек по-прежнему различал их с 90-процентной точностью? Ответ: 26, то есть в точности удвоенное значение исходного числа во второй группе.

Животные также обладают способностью сравнивать группы точек. Хотя результаты у них далеко не такие высокие, как у нас, их умениями управляют, по-видимому, те же математические законы. Это довольно нетривиальная вещь. Люди – единственные, кто обладает прекрасно развитой системой счета. Наша жизнь заполнена числами. И тем не менее, при всех наших математических талантах, когда дело доходит до восприятия и оценки больших чисел, наш мозг функционирует в точности как мозги наших пернатых и мохнатых друзей.

* * *

Интуитивные человеческие представления о величинах непрерывно развивались в течение миллионов лет, и в конце концов в жизни людей появились числа. Нет возможности в точности узнать, как это произошло, но разумно допустить, что числа возникли из желания отслеживать количество самых разных вещей, таких как луна, горы, хищники или удары в барабан. Сначала, по-видимому, использовались наглядные символы, к примеру пальцы или засечки на деревяшке, находящиеся во взаимно-однозначном соответствии с самими объектами, подлежащими отслеживанию, – две засечки или два пальца для двух мамонтов, три засечки или три пальца – для трех и т. д. Позднее появились слова, выражавшие идеи «двух зарубок» или «трех пальцев». По мере вовлечения все новых и новых объектов, за количеством которых надо было следить, словарный запас расширялся и появлялись новые символы для чисел, так что в конце концов – если перескочить прямо к нашему времени – мы получили полностью развитую систему точных чисел и теперь можем ни в чем себе не отказывать, если хотим что-либо посчитать. Наши способности оперировать точными числами, например возможность подсчитать, что на приведенной выше картинке имеется в точности 75 точек, как нельзя более тесно связаны с более фундаментальной способностью воспринимать подобные величины приблизительно. Мы выбираем, какой стратегии придерживаться, в зависимости от обстоятельств: в супермаркете, например, пользуемся нашими знаниями о точных числах, когда смотрим на цену продуктов. Но, решая, в какую кассу самая короткая очередь, мы используем наше интуитивное, оценочное восприятие. Мы не пересчитываем всех людей в каждой очереди – просто смотрим на имеющиеся очереди и оцениваем, в какой из них меньше людей.

На самом деле приближенный подход к числам мы используем постоянно, даже когда употребляем «точную» терминологию. Спросите людей, сколько времени они добираются работы, и чаще всего в ответе будет указан «диапазон», например, «тридцать пять – сорок минут». Как-то я заметил, что часто не в состоянии ответить на вопрос о величине чего-либо, используя только одно число. «Сколько людей было на вечеринке?» – «Двадцать-тридцать». – «Сколько времени вы там провели?» – «Три с половиной – четыре часа». – «Сколько бокалов коктейля выпили?» – «Четыре-пять, а может, и десять». Раньше я полагал, что подобные ответы просто означают, что я колеблюсь, но теперь далеко не так в этом уверен и скорее склонен думать, что таким образом я обращаюсь к своему внутреннему представлению о числе: интуитивному, животному стремлению оперировать приближениями.

Коль скоро приближенное восприятие чисел существенно для выживания, можно было бы подумать, что все люди в этом отношении должны обладать примерно одинаковыми способностями. В 2008 году психологи из Университета Джонса Хопкинса и Института Кеннеди Кригера исследовали этот вопрос на группе 14-летних подростков. В течение 0,2 секунды им показывали на экране группы из желтых и синих точек, а затем спрашивали, каких точек было больше – синих или желтых. Результаты потрясли исследователей, поскольку продемонстрировали неожиданно широкий разброс.

Некоторым испытуемым было легко зафиксировать разницу между девятью синими точками и десятью желтыми, в то же время способности других не сильно отличались от способностей младенцев – они едва были в состоянии отметить, что пять желтых точек – это больше, чем три синих.

Еще более озадачивающие результаты обнаружились, когда успехи подростков по сравниванию чисел разноцветных точек сопоставили с их оценками по математике, полученными начиная с детского сада. До того исследователи полагали, что интуитивные способности различать количество предметов не оказывают значительного влияния на то, насколько успешно данный ученик выполняет задания по решению уравнений и построению треугольников. Однако в данном исследовании выяснилось наличие сильной корреляции между способностями к оценке количества точек и успехами в формальной математике. Чем лучше ученику дается приблизительное восприятие чисел, тем выше, как оказалось, его школьные результаты. Этот результат может иметь важные последствия для развития методов образования. Если склонность к оценочному восприятию напрямую связана с математическими способностями, то тогда занятия математикой должны в меньшей степени состоять из таблицы умножения, а в большей – из отработки навыков сравнивания наборов точек.

* * *

Вскоре после того, как Станислас Деэн в 1997 году опубликовал свою книгу «Чувство числа», он встретился с Пьером Пика, который тогда как раз вернулся из поездки к мундуруку. Познакомившись, они решили сотрудничать. Деэн придумывал эксперименты, которые Пика смог бы осуществить в Амазонии. Цель одного из них был очень простой: узнать, что именно индейцы понимают под словами, с помощью которых они выражают числа. Снова отправившись в тропические леса, Пика там собрал группу добровольных испытуемых. Он показывал им точки на экране и просил сказать вслух, сколько точек они видят.

Числа у мундуруку таковы:

один	пюг
два	ксеп ксеп
три	ебапюг
четыре	ебадипдип
пять	пюг погби

Когда на экране появлялась одна точка, мундуруку говорили пюг.

Когда точек было две, они произносили ксеп ксеп.Но после двух они выражались уже не так определенно. Когда появлялись три точки, слово ебапюгсказали только около 80 процентов испытуемых. Слово ебадипдипбыло реакцией на четыре точки только в 70 процентах случаев. Когда же индейцам показывали пять точек, пюг погбипроизнесли только 28 процентов из них, а 15 процентов ответили ебадипдип.Таким образом, слова, используемые мундуруку для чисел начиная с трех, были на самом деле просто оценками. Они считают как «один», «два», «околотрех», «околочетырех», «околопяти». Пика начал задумываться, в самом ли деле слово пюг погби,буквально означающее «пригоршня», можно отнести к словам для обозначения чисел. Может быть, на самом деле мундуруку умели считать не до пяти, а только до «околочетырех»?

Пика также заметил интересное лингвистическое свойство используемых мундуруку слов для обозначения чисел. Он обратил мое внимание, что в словах от одного до четырех число слогов в каждом слове равно самому числу. Это наблюдение привело его в немалое волнение. «Выглядит так, будто слоги – способ счета „на слух“», – сказал он. Подобно тому как римляне использовали для счета знаки I, II, III и IIII, но для пятерки переходили на V, мундуруку начинают с одного слога для единицы, добавляют еще один слог для двойки, еще один для тройки, еще один для четырех, но не используют пяти слогов для числа 5. Несмотря на то что слова для обозначения чисел 3 и 4 не всегда применяются точно, они содержат точное число слогов. Когда число слогов становится более не важным, слово уже может вовсе и не быть словом для обозначения числа. «Это потрясающе, поскольку, по-видимому, подтверждает мысль о том, что люди обладают интуитивной числовой системой, которая способна к отслеживанию только до четырех точных объектов одновременно», – говорит Пика.

Пика также изучал способности мундуруку к оценке больших чисел. В одном эксперименте испытуемым показывали компьютерную анимацию: на экране два набора точек ссыпались в банку. Потом индейцев просили сказать, верно ли, что эти два набора точек – упавшие в банку и теперь невидимые, – взятые вместе, превосходят третий набор точек, который в следующий момент появлялся на экране. Таким способом Пика проверял, могли ли индейцы приближенно выполнять сложение. Оказалось, что очень даже могли, причем ничуть не хуже, чем группа взрослых французов, выполнявших то же задание.

В другом эксперименте Пика показывал на экране компьютера анимацию, на которой сначала шесть точек падали в банку, а потом четыре точки вылетали из нее. Затем он просил мундуруку выбрать один из трех ответов на вопрос о том, сколько точек осталось в банке. Другими словами, нужно было ответить на вопрос, чему равно 6 – 4. Тест был нацелен на то, чтобы узнать, понимают ли мундуруку числа, для которых у них нет слов. Индейцы не смогли выполнить это задание. Когда им показывали анимацию с вычитанием с участием шести, семи или восьми точек, решение задачки от них ускользало.

Результаты этих экспериментов с точками показали, что мундуруку довольно неплохо обращаются с приближенными количествами, но абсолютные профаны в том, что касается точных величин, превосходящих пять. Пика был совершенно зачарован обнаруженным таким образом сходством между мундуруку и представителями западной цивилизации: и у тех и у других имеется полнофункциональная точная система для операций с малыми числами и приближенная система для оценок больших чисел. Существенная же разница заключается в том, что мундуруку даже не пытались соединить эти две независимые системы друг с другом, чтобы охватить числа, лежащие дальше чем число 5. Пика заметил, что это, вероятно, связано с тем, что подобное раздельное существование двух систем оказалось полезней для жизни мундуруку. Он предположил, что в интересах культурного многообразия важно постараться сохранить используемый мундуруку способ счета, потому что его существованию, очевидно, угрожают контакты между индейцами и другими жителями Бразилии, которые год от года становятся все более и более интенсивными.

Тем не менее тот факт, что некоторые мундуруку освоили счет по-португальски, но при этом по-прежнему не могут справиться с простой арифметикой, говорит о том, насколько сильна их собственная математическая система и как хорошо она приспособлена к их потребностям. Отсюда также видно, насколько нетривиален тот концептуальный скачок, который необходимо сделать, чтобы начать должным образом воспринимать точные числа выше пяти.

* * *

Другое направление работы Станисласа Деэна – это исследование состояния, называемого дискалькулия, или «числовой дальтонизм», при котором нарушено восприятие чисел. По оценкам, оно может наблюдаться у 3–6 процентов населения. Подверженные дискалькулии не «ухватывают» числа так, как это делают большинство людей. Например, какое из этих двух чисел больше:

65 или 24?

Что ж тут сложного, скажете вы, конечно 65. Почти каждый из нас найдет правильный ответ менее чем за полсекунды. Но если у вас дискалькулия, то, чтобы ответить на этот вопрос, вам понадобится не менее трех секунд. Люди могут быть подвержены этому состоянию в разной степени, но те, кому все же поставлен диагноз «дискалькулия», как правило, часто испытывают сложности в установлении корреляций между символами для чисел (например, 5) и самими числами, представляемыми этими символами. Кроме того, им трудно считать. Дискалькулия не означает полную неспособность считать, но те, кто страдает ею, как правило, лишены фундаментальных интуитивных навыков в отношении чисел и вместо этого полагаются на альтернативные стратегии, позволяющие справляться с числами в быту, например чаще используя пальцы. В тяжелых случаях страдающие дискалькулией с трудом определяют время, глядя на часы.

Если вы отлично успевали в школе по всем предметам, кроме математики, вы вполне можете оказаться дискалькуликом. (Впрочем, если у вас с математикой всегда было плохо, то вряд ли вы возьметесь читать эту книгу.) Это состояние считается главной причиной неспособности к математическому мышлению. Понимание дискалькулии имеет актуальное социальное содержание, потому что люди, малоспособные к восприятию чисел, с гораздо большей вероятностью испытывают трудности при поиске работы или подвергаются различного рода дискриминации. Дискалькулия плохо изучена. Ее можно воспринимать как «числовой аналог» дислексии; оба этих состояния похожи тем, что затрагивают примерно одинаковый процент людей и, по-видимому, не влияют на уровень интеллекта в целом. Однако о дислексии известно гораздо больше, чем о дискалькулии. Имеются даже оценки, согласно которым научных статей по дислексии примерно в десять раз больше, чем статей по дискалькулии. Одна из причин того, почему исследования дискалькулии так сильно отстают, заключается в том, что имеется также много других причин, из-за которых человек может оказаться не в ладах с математикой, – эту науку часто плохо преподают в школе, по математике легко отстать, если вы пропустили много занятий, на которых объясняются ключевые концепции. Помимо этого, в социальном плане скорее допустимо плохо управляться с числами, чем плохо уметь читать.

Невролог Брайен Баттеруорт из Университетского колледжа в Лондоне часто пишет рекомендации для людей, которых он проверил на дискалькулию, объясняя потенциальным работодателям, что плохие оценки по математике в школьном аттестате не являются результатом лени или отсутствия умственных способностей. Дискалькулики могут добиваться высоких достижений во всех других областях, кроме мира чисел. Возможно даже, говорит Баттеруорт, быть дискалькуликом и при этом добиваться успехов в математике. Имеется несколько областей математики, такие как логика и геометрия, где приоритет отдается дедуктивным рассуждениям или пространственному воображению, а не числам и уравнениям. В целом, однако, дискалькулики вообще плохо успевают по математике.

Значительная часть исследований по дискалькулии – бихевиористские. Например, компьютерное тестирование десятков тысяч школьников. Во время тестов они должны просто сказать, какое из двух предложенных чисел больше. Некоторые исследования – неврологические, в них сравниваются сделанные с помощью метода магнитного резонанса изображения мозга людей, страдающих и не страдающих дискалькулией, чтобы увидеть, как различаются протекающие в них токи. В когнитивных науках продвижение в понимании различных умственных способностей часто происходит как результат изучения случаев нарушения данной способности. Постепенно формируется более ясная картина того, что же представляет собой дискалькулия, и того, как работает мозг в процессе восприятия чисел.