Текст книги "Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики"

Автор книги: Алекс Беллос

сообщить о нарушении

Текущая страница: 1 (всего у книги 24 страниц)

Алекс Беллос
АЛЕКС В СТРАНЕ ЧИСЕЛ
Необычайное путешествие в волшебный мир математики

Моим родителям посвящается

Предисловие

В школьные годы мне нравилась математика и нравилось сочинять разные истории, а потому я решил, что смогу заниматься и тем и другим, если поступлю в университет и буду изучать там математику и философию – такой совместный курс, одной ногой стоящий в точных науках, а другой – в свободных искусствах. Большую часть времени в университете я посвящал работе в студенческой газете. Поначалу мне удавалось немного публиковаться и в британской национальной прессе, а одну статейку (о том, почему математика – это так круто) напечатали даже в лондонском «Guardian». То была моя первая статья про математику, и она же оказалась последней на протяжении почти двадцати последующих лет.

Окончив университет, я стал журналистом. Мне тогда казалось, что я ухожу из мира чисел в мир слов навсегда. Сначала я работал в вечерней газете в Брайтоне, затем в нескольких газетах в Лондоне и в конце концов стал иностранным корреспондентом в Рио-де-Жанейро. От случая к случаю мое математическое образование оказывалось полезным, например, когда требовалось найти американский штат, который по площади ближе всего к только что расчищенной от леса территории в джунглях Амазонки, или при необходимости вычислять обменные курсы во время финансовых кризисов. Но в общем я полагал, что вся моя математика осталась в далеком прошлом.

Прошло несколько лет, и я вернулся домой в Англию, не очень-то представляя, чем буду заниматься дальше. В качестве временного занятия я продавал футболки с бразильскими футболистами; потом завел себе блог; в какой-то момент мне пришла в голову мысль импортировать тропические фрукты – из этого ничего не вышло, зато тогда я решил снова обратиться к предмету, столь сильно занимавшему меня в юности, и здесь-то нашел искру вдохновения, приведшую к написанию этой книги.

Знакомство с миром математики во взрослом возрасте идет совсем иначе, чем в детстве, когда страх перед экзаменами часто приводит к тому, что по-настоящему интересные вещи просто проскакиваешь. Теперь же у меня была свобода в выборе пути, главное – чтобы он был увлекательным, интересным. Я прочел про «этноматематику» – про то, как различные народы подходят к математике, – и про то, как на формирование математики повлияла религия. Меня заинтересовали и недавние работы по поведенческой психологии и неврологии – авторы этих работ пытаются понять, как наш мозг воспринимает числа.

Мои странствия по миру математики вскоре приобрели и вполне земное, географическое измерение. Я полетел в Индию – узнать, как древние индусы изобрели нуль, совершив таким образом один из величайших интеллектуальных подвигов в истории человечества. Я заказал место в мегаказино в Рино, чтобы самому наблюдать за тем, как вероятности управляют игровой индустрией. А потом я отправился в Японию, где познакомился с самым «арифметическим» шимпанзе в мире.

По мере продвижения в своих изысканиях я оказался в странном положении – одновременно специалиста и профана. Заново изучать школьную математику – словно возобновить дружбу со старыми друзьями, но там вдруг оказалось много приятелей моих приятелей, которых я прежде никогда не встречал, да еще я познакомился с массой совершенно новых, о которых никогда не слышал. До написания этой книги, например, я не знал, что в течение сотен лет велась кампания за то, чтобы ввести два новых числа в нашу систему из десяти чисел. Я не подозревал, что оригами – это серьезный научный метод. И даже не задумывался о теории, скрывающейся за судоку (потому что в мои школьные годы этой игры еще не изобрели). Мне приходилось приезжать в самые разные места – в Германию, в Лейпциг, и в Скоттдейл в Аризоне – и в местных библиотеках натыкаться на совершенно неожиданные книги. А однажды я провел незабываемый день за чтением книги об истории ритуалов, связанных с растениями, дабы понять, почему Пифагор был столь привередлив в еде.

* * *

Книга начинается с главы о – мне хотелось подчеркнуть, что то, о чем в ней говорится, еще предматематика. В этой главе рассказывается о том, как возникли числа. К началу главы 1 числа становятся существенным элементом человеческой жизни – и тут уже мы переходим к делу. Я свел технические подробности к минимуму, но не стал выбрасывать все уравнения и доказательства. Мне хотелось, чтобы у читателя была возможность прочувствовать красоту некоторых из этих шедевров математического искусства и самому оценить их элегантность. Тем не менее я написал книгу таким образом, что, если вам неохота следить за каким бы то ни было уравнением или доказательством, вы можете просто перейти к следующему разделу. Главы, кроме того, можно читать в любом порядке; каждая из них самодостаточна, то есть для ее понимания не требуется прочтения предыдущих глав. Тем не менее я надеюсь, что вы прочтете все главы от первой до последней, поскольку они примерно соответствуют хронологии в истории математических открытий и я все-таки иногда ссылаюсь на что-то из обсуждавшегося ранее.

Я включил в книгу немало исторического материала, ведь рассказ о математике – это прежде всего рассказ об истории математики. В отличие от гуманитарного знания, находящегося в непрерывном состоянии переизобретения по мере того, как новые идеи и новая мода вытесняют старые, и в отличие от прикладных наук, где теории постоянно уточняются, математика не подвержена возрасту. Теоремы Пифагора и Евклида верны сегодня в той же степени, в какой они были верны и в античную эпоху. Пифагор и Евклид – самые древние ученые, о которых мы узнаем из школьного курса математики. К 16 годам школьники едва ли изучают что-нибудь из того, что не было бы известно в середине XVII столетия, а к 18 годам, аналогичным образом, они не выбираются за середину XVIII века. (Математика, которая требовалась для моего диплома, относилась к 1920-м годам.)

Работая над книгой, я постоянно испытывал желание поделиться с будущими читателями своим восхищением математическими открытиями. Еще мне хотелось показать, что математики умеют веселиться. Они – короли логики, что в колоссальной степени обостряет их восприятие всего нелогичного. Математика страдает от репутации – принято считать, что она суха и трудна. Она такой бывает. Но вместе с тем эта наука может быть воодушевляющей, вполне постижимой и, самое главное, наполненной истинным творчеством. Абстрактное математическое мышление – одно из величайших достижений человечества, и, пожалуй, именно оно определяет прогресс общественной мысли.

Так давайте же совершим путешествие в мир математики – и обещаю, вам будет нескучно!

Глава 0
Голова для чисел

Автор пытается выяснить, откуда взялись числа, ибо им не так уж много лет от роду. Он встречается с человеком, который поселился в джунглях, и с шимпанзе, которая жила в городе.

Войдя в тесноватую парижскую квартиру Пьера Пика, я ощутил почти невыносимый запах средств от насекомых. Пика только что вернулся из тропических лесов Амазонии, где провел пять месяцев в обществе индейцев, и сейчас занимался тем, что обеззараживал привезенные оттуда подарки. Стены его кабинета украшали туземные маски, головные уборы из перьев и плетеные корзинки. Полки были завалены научными книгами. На столе лежал несобранный кубик Рубика.

Я поинтересовался у Пика, как прошла его поездка.

– Непросто, – ответил он.

Пика – лингвист и, быть может, по этой причине говорит медленно и тщательно, старательно выговаривая отдельные слова, тихо. Ему слегка за сорок, но выглядит он моложаво: сияющие голубые глаза, румяное лицо и мягкие, растрепанные седеющие волосы.

Пика, ученик известного американского лингвиста и общественного деятеля Ноама Хомского, работает во французском Национальном центре научных исследований и последние десять лет изучает мундуруку – племя туземцев численностью около 7000 человек, проживающих в бразильской Амазонии. Мундуруку – охотники и собиратели, они живут в небольших селениях, раскиданных в тропических лесах на территории размером со штат Нью-Джерси. Пика изучает язык мундуруку: в нем нет времен глаголов, множественного числа и слов для чисел больше пяти.

Полевые работы для Пика означают путешествия, которым могли бы позавидовать знаменитые искатели приключений. Ближайший к его индейцам аэропорт находится в Сантареме, городе, расположенном в 500 милях от Атлантического океана вверх по Амазонке. В Сантареме Пика садится на паром вверх по реке Тапажос, который за 15 часов проплывает почти 200 миль и довозит его до Итаитубы – города, в свое время пережившего золотую лихорадку. Это последнее место на его пути, где можно пополнить запасы еды и топлива. В свою самую последнюю поездку Пика взял напрокат в Итаитубе джип, загрузил в него снаряжение – компьютеры, панели солнечных батарей, аккумуляторы, книги и 120 галлонов бензина – и отправился по Трансамазонской автостраде, небезопасной, а порой просто непроходимой грунтовой дороге, оставшейся от одного из безрассудных национальных проектов 1970-х годов.

Целью Пика было Жакареаканги – небольшое поселение в 200 милях на юго-запад от Итаитубы. Я спросил его, сколько времени занимает этот путь.

– Бывает по-всякому, – пожал он плечами. – Может, полжизни. А может, и два дня.

– А в этотраз сколько? – повторил я свой вопрос.

– Никогда не знаешь, сколько времени уйдет на дорогу, потому что каждый раз получается по-разному. В сезон дождей – что-то от десяти до двенадцати часов. Это если все хорошо.

Жакареаканга находится на самом краю территории проживания мундуруку. Чтобы попасть туда, Пика пришлось дожидаться, пока появится кто-нибудь из индейцев, с кем можно было бы договориться, чтобы его отвезли на каноэ.

– И сколько вы ждали? – полюбопытствовал я.

– Ждал я порядком. Но опять же не спрашивайте меня сколько.

– Пару дней, наверное? – рискнул я предположить.

В течение нескольких секунд он морщил лоб.

– Около двух недель.

Итак, больше чем через месяц после отъезда из Парижа Пика наконец приблизился к цели своего путешествия. Разумеется, мне хотелось знать, сколько времени занял путь от Жакареаканги до индейских деревень.

Но тут я почувствовал, что Пика перестал сдерживать раздражение по поводу моих расспросов:

– Еще раз вам говорю – по-разному получается!

Но я не отступал.

– А на этот разсколько времени ушло?

Он запнулся.

– Ну не знаю. Думаю, может быть, два дня, а может, один.

Чем больше я наседал на Пика по поводу цифр и фактов, тем больше он раздражался. Я тоже начал терять терпение. Мне было непонятно, что им движет – французская строптивость, научный педантизм или простое упрямство. Я временно прекратил расспросы, и мы поменяли тему беседы. И лишь спустя несколько часов, когда мы заговорили о том, каково это – возвращаться домой после столь долгого пребывания в такой глуши, он немного оттаял.

– Когда я приезжаю из Амазонии, у меня пропадают ощущения времени и смысла чисел, а может, даже и понятие пространства, – сказал он.

Он забывает о назначенных встречах. Теряет дорогу там, где совсем просто пройти.

– Мне невероятно трудно заново приспособиться к Парижу, со всеми его углами и прямыми.

То, что Пика отказывался сообщить мне количественные данные о своем путешествии, представляло собой часть культурного шока. Он провел так много времени с этими людьми, мундуруку, которые едва умеют считать, что сам потерял способность описывать наш мир, используя числа.

* * *

Точно никто не знает, но по всей вероятности, числам не более 10 000 лет от роду. Я имею в виду работающую систему слов и символов для чисел. Одна из теорий состоит в том, что ее появление связано с развитием сельского хозяйства и торговли, поскольку числа абсолютно необходимы при подсчете запасов и товаров – каждая сторона должна убедиться, что ее не надули. У мундуруку только натуральное хозяйство, деньги вошли в обращение лишь недавно, так что у них решительно не было времени, чтобы развить навыки счета. Насчет некоторых туземных племен в Папуа – Новой Гвинее есть мнение, что появление чисел у них было вызвано развитием обычая обмена подарками. Но в Амазонии таких традиций нет.

Десятки тысяч лет назад, задолго до появления чисел, у наших предков должны были быть какие-то способы для восприятия количества. Им, надо думать, приходилось отличать одного мамонта от двух мамонтов, а также понимать, что одна ночь – это не то же самое, что две ночи. Однако интеллектуальный скачок от идеи двух вещей к изобретению символа или слова для абстрактной идеи «два», потребовал многих веков. Стадия его осуществления – это на самом деле как раз то состояние, до которого добрались в наше время некоторые сообщества в Амазонии. Там есть племена, у которых для чисел имеются лишь слова «один», «два» и «много». Мундуруку, успешно добравшиеся до пятерки, представляют собой относительно продвинутый отряд.

Числа настолько широко распространены в нашей жизни, что нелегко и представить себе, как люди могут обходиться без них. Однако когда Пьер Пика живет среди мундуруку, он без труда переходит в состояние «бесчисленного» существования. Он спит в гамаке и ходит на охоту, ест мясо тапира, броненосца и дикого кабана, а время определяет по положению солнца. Если идет дождь, он не выходит из хижины, а если солнечно – то выходит. И у него не возникает необходимости что-либо посчитать.

И все же мне показалось странным, что числа больше пяти никак не проявляются в повседневной жизни племен Амазонии. Я спросил Пика, как бы индейцы сказали «шесть рыб». Например, представим себе, что кто-то из них собирается приготовить еду на шесть человек и хочет быть уверенным, что каждому достанется по рыбе.

– Это невозможно, – сказал он. – Предложения «Мне нужно шесть рыб для шести людей» не существует.

– А что, если вы спросите у кого-то из мундуруку, имеющего шесть детей: «Сколько у тебя детей?»

Пика ответил, как и предыдущий раз:

– Он скажет «Я не знаю». Это невозможно выразить.

Однако, добавил Пика, дело здесь касается культуры. Ответ «Я не знаю» вовсе неозначает, что мундуруку сначала сосчитает своего первого ребенка, потом второго, потом третьего, четвертого, пятого, а потом начнет чесать в затылке из-за того, что пришлось остановиться, потому что он не знает, что делать дальше. Для мундуруку сама по себе идея подсчета детей представляется нелепой. Более того, идея вообще что бы то ни было посчитать выглядит абсурдной.

– С чего бы взрослому мундуруку захотеть считать своих детей? – спросил Пика. – За детьми присматривают все взрослые племени. И никто не занимается подсчетом того, кто из детей кому принадлежит.

Пика сравнил ситуацию с французским выражением «J’ai une grande famille», или «Я из большой семьи».

– Когда я говорю, что у меня большая семья, я сообщаю вам, что не знаю точно, сколько именно людей имею в виду. Где заканчивается моя семья и где начинается чья-то другая? Я не знаю. Никто никогда мне этого не сообщал. Аналогичным же образом, если вы спросите взрослого мундуруку, за скольких детей он несет ответственность, на такой вопрос не найдется правильного ответа. Он скажет «Я не знаю», и это будет правдой.

Кроме мундуруку, истории известны и другие примеры человеческих сообществ, представители которых не считают, сколько людей в них, в эти сообщества, входит. Когда царь Давид посчитал свой собственный народ, он был наказан тремя днями мора и 77 000 смертями. Подразумевается, что евреи могут пересчитывать евреев только косвенно, и именно поэтому в синагоге способ удостовериться в присутствии десяти человек – миньян,числа, достаточного для молитв, – состоит в произнесении молитвы из десяти слов, при этом при произнесении каждого слова указывают на одного из присутствующих. Пересчет людей с помощью чисел воспринимается как способ разобщить этих людей, что делает их более восприимчивыми к вредным влияниям. Попросите правоверного раввина сосчитать его детей – и вы увидите, что шансы услышать от него ответ равны шансам услышать ответ от многодетного отца из племени мундуруку.

Однажды я разговаривал с одной бразильской учительницей, которая долго работала среди аборигенов. Она заметила, что индейцы воспринимают постоянные вопросы о числе детей, которые им задают приезжие, как некую странную манию, тогда как на самом деле гости задавали этот вопрос, просто желая проявить вежливость. Что толку пересчитывать детей? У индейцев такие вопросы вызывают сильное недоверие.

Первые письменные упоминания о мундуруку относятся к 1768 году, когда белые поселенцы заметили одного из них на берегу реки. Спустя столетие францисканские миссионеры основали на землях мундуруку свою миссию. В конце XIX века во время каучукового бума, когда здесь появились охотники за каучуком, белые стали больше контактировать с мундуруку. Однако племя по-прежнему живет в относительной изоляции, но, как и многие другие группы индейцев, долгое время общавшиеся с чужаками, они стали носить в основном западную одежду – футболки и шорты. В конце концов в их мир с неизбежностью войдут и другие стороны современной жизни, такие как электричество и телевидение. И конечно, числа. На самом деле некоторые мундуруку, живущие на границах их территории, выучили португальский, национальный язык Бразилии, и могут считать по-португальски.

– Они считают ит, dois, três и далее до сотни и более, – рассказывает Пика. – Но когда у них спрашиваешь: «Кстати, сколько будет пять минус три?» – он утрированно пожимает плечами на французский манер, – ответа не дождешься.

* * *

Свои исследования в тропических лесах Пика проводит, используя лэптоп, который работает от солнечных батарей. Поддерживать оборудование в рабочем состоянии там исключительно непросто из-за жары и влажности – но еще сложнее может оказаться собрать вместе всех участников исследования. Как-то раз старейшина племени потребовал, чтобы Пика съел большого красного муравья sauba, —только после этого он был готов разрешить ему расспрашивать о чем-то ребенка. Верность науке одержала верх, и Пика, скорчив гримасу, с хрустом разгрыз и проглотил насекомое.

Цель, ради которой изучаются математические способности людей, умеющих считать лишь на пальцах одной руки, состоит в том, чтобы понять природу свойственного нам фундаментального восприятия чисел на интуитивном уровне. Пика хотел знать, где лежат универсалии, присущие всем людям, а где – результат воздействия культуры. В одном из самых увлекательных экспериментов Пика исследовал пространственное восприятие чисел индейцами. Как они представляют себе расположение чисел вдоль прямой? В современном мире мы постоянно сталкиваемся с линейным упорядочением чисел – на рулетках, линейках, графиках, в виде нумерации домов вдоль улицы. Поскольку у мундуруку чисел как таковых нет, Пика в своих опытах использовал наборы точек на экране. Каждому добровольному испытуемому на экране показывали неразмеченную прямую. Слева от прямой располагалась одна точка, а справа – десять точек. Затем испытуемому показывали случайные группы, содержащие от одной до десяти точек. Для каждого набора предлагалось указать, где на прямой, по мнению испытуемого, эти точки должны располагаться. Пика передвигал туда курсор и кликал. Анализируя статистику этих кликов, он мог в точности сказать, как мундуруку размещают на прямой числа от единицы до десяти.

Когда тот же тест предлагается взрослым американцам, они располагают числа вдоль прямой на равных интервалах. Тем самым они воспроизводят числовую прямую, которую все мы изучали в школе, – на ней соседние числа находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, как на линейке. Однако мундуруку отвечали совсем по-другому. Они считают, что сначала интервалы между числами больше, а потом становятся все меньше и меньше по мере того, как числа растут. Например, расстояния между отметками, соответствующими одной точке и двум точкам, и между отметками, соответствующими двум точкам и трем точкам, оказались намного больше, чем расстояние между отметками, соответствующими семи и восьми точкам или восьми и девяти точкам.

Эти результаты оказались довольно неожиданными. Вообще говоря, тот факт, что числа разнесены на равные расстояния, считается очевидным. Нас этому учат в школе, и мы легко это воспринимаем, на этом основаны все измерения и все научное знание. И тем не менее для мундуруку мир устроен по-другому. Они представляют себе величины совершенно иным способом.

Если числа нанесены на линейку равномерно, то такая шкала называется линейной. Если числа располагаются все теснее по мере их возрастания, то такая шкала называется логарифмической [1]1
  На самом деле для получения логарифмической шкалы требуется, чтобы числа усаживались теснее по вполне определенному закону.


[Закрыть]. Оказалось, что логарифмический подход присущ не только индейцам Амазонии. У всех у нас от рождения имеется подобное восприятие чисел. В 2004 году Роберт Сиглер и Джули Бут из Университета Карнеги Меллон в Пенсильвании провели аналогичный эксперимент с числами на прямой среди детей из группы детского сада (со средним возрастом 5,8 года), первоклассников (6,9 года) и второклассников (7,8 года). Результаты показали, каким образом практика счета оказывает влияние на наше интуитивное восприятие. Детсадовские дети, у которых не было никакого систематического математического образования, располагали числа логарифмически. К первому году в школе, когда учеников обучают словам и символам для обозначения чисел, шкала выравнивается. И ко второму классу числа наконец располагаются равномерно вдоль прямой.

Почему индейцы и дети полагают, что большие числа сидят ближе друг к другу, чем меньшие числа? Объяснение этому простое. Как мы уже говорили, во время экспериментов добровольным участникам показывали наборы точек и спрашивали их, где – по их мнению – данный набор должен располагаться на прямой линии, в левой части которой поставлена одна точка, а в правой части – десять точек. (В эксперименте с детьми речь шла о 100 точках.) Представьте себе, что мундуруку видит перед собой пять точек. Он внимательно их рассмотрит и обнаружит, что пять точек в пять разбольше, чем одна точка, но десять точек всего в два разабольше, чем пять точек. И мундуруку, и дети, по-видимому, принимают решения о том, как расположены числа, основываясь на оценке величин. При этом если рассматривать именно эти оценки, то представляется вполне логичным, что расстояние между пятеркой и единицей намного больше, чем расстояние между десяткой и пятеркой. Таким образом, если вы делаете заключения, основываясь на оценках, то вы всегда получите логарифмическую шкалу.

Пика убежден: понимание величин в терминах их примерных оценок – врожденное свойство нашего интуитивного восприятия. Действительно, люди незнакомые с числами – например, индейцы и маленькие дети – просто не умеют воспринимать мир иначе. Напротив, восприятие величин в терминах точных значений – не врожденное свойство, а продукт культуры. По мнению Пика, ведущая роль, исходно отводимая приближениям и оценкам по сравнению с точными значениями, определяется тем, что оценки гораздо важнее для выживания в дикой природе, чем способность к точному счету. При неожиданной встрече с вооруженными копьями врагами требуется немедленно оценить – кого больше – своих или чужих. При взгляде на два дерева требуется сразу оценить, на каком из них больше плодов. Ни в том ни в другом случае нет необходимости в пересчете всех врагов или всех плодов по отдельности. Ключевой момент состоит в способности быстро оценить приближенное количество.

Логарифмическая шкала также хорошо отвечает нашему восприятию расстояния (и, возможно, поэтому оно выглядит столь противоречащим интуиции). Она учитывает законы перспективы. Например, если мы смотрим на дерево, находящееся на расстоянии 100 метров от нас, и на другое дерево, находящееся в 100 метрах позади первого, то вторые 100 метров кажутся короче. Для мундуруку идея о том, что каждые 100 метров должны выглядеть как одно и то же расстояние, отражает их искаженное восприятие окружающего мира.

Итак, точные числа отвечают линейной шкале, противоречащей нашему интуитивному логарифмическому восприятию. В самом деле, наше совершенное владение точными числами означает, что логарифмическое восприятие в большинстве ситуаций оказывается подавленным. Но оно не исчезло вовсе. Мы существуем, сохраняя как линейное, так и логарифмическое восприятие величин. Например, чувство времени часто логарифмическое. Я помню, в детстве годы проходили медленно, а сейчас они просто летят. И наоборот – бывает, кажется, вчерашний день длился намного дольше, чем вся последняя неделя. Глубоко встроенный в нас логарифмический инстинкт проступает наружу наиболее явственно, когда дело доходит до очень больших чисел. Например, всем понятно различие между единицей и десятью. Исключительно маловероятно, чтобы мы спутали пинту пива с десятью пинтами пива. А как насчет различия между миллиардом галлонов воды и десятью миллиардами галлонов воды? Несмотря на то что разница колоссальна, мы склонны воспринимать обе этих величины как довольно близкие – просто как очень большое количество воды. Подобным же образом словами «миллионер» и «миллиардер» бросаются почти как синонимами, как если бы не было особой разницы между очень богатыми и очень-очень богатыми. Однако же миллиардер в тысячу раз богаче миллионера. Чем больше становятся числа, тем более близкими (тесно сидящими на шкале) они воспринимаются.

Тот факт, что Пика временно позабыл, как пользоваться числами, проведя всего лишь несколько месяцев в джунглях, говорит о том, что наше линейное восприятие чисел укоренилось в наших головах не столь глубоко, как логарифмическое. И вообще – наше восприятие чисел на удивление хрупко, и именно поэтому, не пользуясь им регулярно, мы теряем способность обращаться с точными числами и возвращаемся на базисный уровень интуитивного восприятия, когда количества понимаются приблизительно, то есть просто оцениваются.

Пика считает, что как его собственные исследования математического интуитивного восприятия, так и исследования других ученых могут иметь серьезные последствия для развития математического образования – будь то в Амазонии или в цивилизованном мире. Нам требуется понимание линейной числовой прямой для успешного функционирования в современном обществе, поскольку именно на этом основаны все измерения и это облегчает вычисления. Но в своей зависимости от линейности не зашли ли мы слишком далеко, подавляя врожденное логарифмическое восприятие? Вероятно, сказал Пика, в этом и состоит причина того, почему столь многим людям математика представляется трудной для понимания. Вероятно, следует уделять больше внимания оценкам величин, а не действиям с точными значениями. И тогда учить представителей племени мундуруку считать так же, как это делаем мы, возможно, и неправильно, поскольку кто знает, а вдруг это лишит их врожденного математического восприятия величин и знаний, необходимых для выживания в их мире?

* * *

Интерес к математическим возможностям тех, у кого нет слов или символов для чисел, традиционно концентрировался вокруг животных. Одним из самых известных объектов исследований была лошадь рысистой породы по кличке Умный Ханс. В начале 1900-х годов в одном берлинском дворике регулярно собирались толпы, чтобы взглянуть, как хозяин Ханса – вышедший на пенсию преподаватель математики Вильгельм фон Остен – задавал лошади простые арифметические примеры. Ханс отвечал, стуча копытом по земле правильное число раз. В его репертуаре были сложение и вычитание, а также дроби, квадратные корни и разложение на множители. Популярность Ханса напополам с подозрением, что демонстрируемые умственные способности лошади являются результатом какого-то фокуса, привели к тому, что в дело вмешалась комиссия из известных ученых. Они пришли к выводу, что – jawohl! – Ханс и вправду выполнял математические действия. Чтобы разоблачить этого лошадиного Эйнштейна, потребовалось вмешательство менее известного, но более скрупулезного психолога Оскара Пфюнгста. Ученый обратил внимание на то, что Ханс воспринимает мимику фон Остена. Ханс начинал стучать по земле копытом и останавливался, только когда замечал, что выражение лица хозяина изменилось, – это означало, что Ханс добрался до ответа. Ханс оказался восприимчив к самым тонким зрительным сигналам, таким как наклон головы, подъем бровей и даже расширение ноздрей. Фон Остен и сам не подозревал, что производит все эти знаки.

Урок, преподнесенный Умным Хансом, состоит в том, что при обучении животных счету следует самым тщательным образом позаботиться о том, чтобы исключить невольные подсказки и побуждения со стороны людей. В том, что касается математического образования Аи – шимпанзе, привезенной в Японию из Западной Африки в конце 1970-х годов, – вероятность подсказок со стороны людей была исключена, потому что обучение проходило с использованием компьютера с сенсорным экраном.

Аи сейчас 31 год, она живет в Институте исследования приматов в Инуяме – туристическом городке в Центральной Японии. У обезьяны высокий лысеющий лоб, на подбородке – седая щетина. Она смотрит глубоким взглядом темных глаз, присущим всем приматам среднего возраста. О ней говорят как об «ученице» и никогда как об «объекте исследования». Каждый день с Аи проводят занятия, во время которых ей дают задания. Аи приходит ровно в 9 утра, проведя ночь с другими шимпанзе в открытом вольере на напоминающей дерево гигантской конструкции из бревен, металлических труб и веревок. В тот день, когда я увидел Аи, она сидела, наклонившись к компьютеру, и тыкала пальцами в последовательности цифр, появлявшихся на экране. Когда она правильно выполнила задание, справа от нее из трубки выпал квадратный кусочек яблока размером около сантиметра. Аи схватила его и немедленно слопала. Отсутствующий взгляд, бестолковое постукивание по мигающему и гудящему компьютеру, рутинное поощрение, которое дозированно ей подбрасывалось, – Аи была похожа на пожилую леди, поглощенную игрой на игровом автомате.

Еще в детстве Аи стала самой великой, во всех смыслах этого слова, человекообразной обезьяной – первым нечеловеком, умеющим считать, используя арабские числительные (то есть символы 1, 2, 3 и так далее, которыми пользуются почти во всех странах, за исключением, как ни парадоксально, части арабского мира.) Чтобы она хорошо с этим справлялась, директору Института исследования приматов Тецуро Мацузаве потребовалось обучить ее двум элементам, которые и составляют человеческое восприятие числа: величине и порядку.