Текст книги "Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики"

Автор книги: Алекс Беллос

сообщить о нарушении

Текущая страница: 16 (всего у книги 24 страниц)

Глава 8
Золотая лихорадка

Автор встречает лондонца с клешней, утверждающего, что он разгадал секрет красивых зубов.

Как-то раз, когда я был в гостях у Эдди Левина, дантиста на пенсии, он дал мне листок бумаги и попросил написать мое имя заглавными буквами. Левину 75 лет, у него чопорный вид, седые волосы топорщатся над продолговатым лбом. Он живет в северном Лондоне – на улице, которая является образчиком тех пригородов, где селятся преуспевающие и консервативные британцы. Я взял листок и написал: ALEX BELLOS.

Левин взял инструмент из нержавеющей стали, по виду напоминавший небольшую клешню с тремя зубцами. Твердой рукой он приложил ее к листу бумаги и принялся анализировать мою надпись. Он установил свой инструмент над буквой E в моем имени, при этом он был так сосредоточен, что ему позавидовал бы и раввин, делающий обрезание.

– Неплохо, – сказал он.

Этот инструмент – собственное изобретение Левина. Три зубца расположены так, что, когда инструмент раскрыт, их концы остаются на одной линии, причем расстояния между ними находятся в том же отношении друг к другу, как когда инструмент закрыт. Левин разработал его таким образом, что расстояние между средним и верхним зубцами всегда в 1,618 раз больше расстояния между средним и нижним. Поскольку данное число более известно как золотое сечение, он назвал свой инструмент калибром золотого сечения. (Среди других синонимичных названий числа 1,618 имеются золотая пропорция, божественная пропорция и φ,или фи.) Левин наложил свой калибр на написанную мной букву E так, чтобы кончик одного зубца пришелся на верхнюю горизонтальную черту в букве E, кончик среднего – на среднюю горизонтальную черту, а нижний оказался бы на нижней черте. Я полагал, что, выписывая заглавную букву E, я помещаю среднюю черту на равном расстоянии между верхом и низом, но калибр Левина продемонстрировал, что я бессознательно помещаю черту несколько выше середины – так, что она разбивает полную высоту буквы на два отрезка, отношение длин которых равно 1,618. Хотя я написал свое имя довольно небрежно, не успев ни о чем подумать, тем не менее оказалось, что я попал в число соблюдающих золотую пропорцию с поразительной точностью.

Левин улыбнулся и перешел к букве S. Он перенастроил свой калибр так, что зубцы касались самого верхнего и самого нижнего окончания буквы S, и, к моему полному изумлению, средний зубец попал точно на изгиб в букве S.

Точное попадание, – спокойно заметил Левин. – В почерк каждого человека заложена золотая пропорция.

* * *

Золотая пропорция – это число, которое описывает отношение, возникающее при делении отрезка на две части таким образом, что отношение всего отрезка к большему из двух равно отношению большего к меньшему. Другими словами, когда отношение А + В к А равно отношению А к В:

Деление отрезка на две части указанным образом называется золотым сечением. При этом число фи – отношение между большим и меньшим отрезками – можно вычислить, и оно равно (1 + 5√2√2√2√2)/2. Это иррациональное число, десятичное разложение которого начинается как

1,61803398874989484820…

Древних греков зачаровывало число фи. Они познакомились с ним, рассматривая пятиконечную звезду (пентаграмму), которая являлась почитаемым символом Пифагорейского братства. Евклид писал о «делении отрезка в крайнем и среднем отношении», он предложил метод построения правильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки. Начиная с эпохи Возрождения это число интриговало как художников, так и математиков.

Пятиконечная звезда – мистический символ, рожденный в древности, – содержит в себе золотое сечение

Ключевой работой, посвященной золотому сечению, была написанная в 1509 году книга выдающегося итальянского математика францисканца Луки Пачоли (1445–1517) «Божественная пропорция», где описывались многие случаи появления этого числа из геометрических построений. Иллюстрировал книгу друживший с Пачоли Леонардо да Винчи. Итак, Пачоли пришел к выводу, что число фи – послание Бога, источник тайного знания о внутренней красоте вещей.

* * *

С математической точки зрения число фи интересно еще и потому, что оно связано с самой знаменитой последовательностью в математике – последовательностью Фибоначчи. Эта последовательность начинается с чисел 0 и 1, а далее каждый следующий член представляет собой сумму двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… Вот как получаются эти числа:

Прежде чем говорить о том, как связаны число фи и последовательность Фибоначчи, давайте изучим саму последовательность. Природа тяготеет к числам Фибоначчи. Заглянув в сад, вы обнаружите, что у большинства цветков число лепестков равно числам Фибоначчи. У лилий и ирисов – три лепестка, у гвоздик и лютиков – пять, у дельфиниума – восемь, у ноготков – 13, у астр – 21, а у маргариток – 55 или 89. Каждый цветок может и не иметь всегда в точности столько лепестков, но в среднем их число будет одним из чисел Фибоначчи. Например, на стебле клевера обычно три листочка – это тоже число Фибоначчи. Лишь очень редко у клевера бывает четыре листочка, поэтому четырехлистный клевер считается особенным. Они встречаются редко как раз потому, что 4 – нечисло Фибоначчи.

Числа Фибоначчи встречаются также в спиральных узорах, которые образуют чешуйки сосновых шишек и ананасов, соцветия цветной капусты и семена подсолнухов. Можно пересчитывать витки спирали по часовой стрелке или против – все, что вы насчитаете в любом направлении, будет числами Фибоначчи. На ананасах, как правило, 5 и 8 спиралей, или же 8 и 13. На еловых шишках их обычно 8 и 13. У подсолнухов спиралей может быть 21 и 34 или же 34 и 55 – хотя известны примеры с 144 и 233 спиралями. Чем больше семян в подсолнухе, тем больше оказывается число спиралей.

Последовательность Фибоначчи называется так потому, что ее члены впервые появились в написанной Фибоначчи книге «Liber Abaci», в связи с задачей о кроликах. Однако свое имя эта последовательность приобрела лишь через более чем 600 лет после выхода книги – в 1877 году, когда ее изучал теоретико-числовик Эдуар Люка. Именно он решил воздать должное Фибоначчи, назвав последовательность его именем.

В книге «Liber Abaci» эта последовательность возникла из следующей задачи. Пусть у нас имеется пара кроликов, которая через месяц дает потомство – появляется еще пара кроликов. Если у каждой взрослой пары кроликов каждый месяц появляется потомство – пара крольчат, – а крольчатам требуется один месяц, чтобы стать взрослыми, то сколько кроликов получится от первой пары через год? Ответ на этот вопрос можно получить, пересчитывая кроликов из месяца в месяц. В первый месяц имеется всего одна пара. В второй месяц – две, поскольку исходная пара произвела новую. На третий месяц имеется три пары, потому что исходная пара снова размножилась, но другая пара лишь достигла зрелости. На четвертый месяц обе пары взрослых кроликов размножились, что добавит двойку к имеющейся тройке. Последовательность Фибоначчи – это полное число пар, подсчитанное месяц за месяцем:

	Полное число пар
1-й месяц:1 взрослая пара	1
2-й месяц:1 взрослая пара и 1 пара крольчат	2
3-й месяц:2 взрослые пары и 1 пара крольчат	3
4-й месяц:3 взрослые пары и 2 пары крольчат	5
5-й месяц:5 взрослых пар и 3 пары крольчат	8
6-й месяц:8 взрослых пар и 5 пар крольчат	13

Важное свойство последовательности Фибоначчи состоит в том, что она рекуррентная, – то есть каждый новый член порождается предыдущими. Это же помогает понять, почему числа Фибоначчи настолько распространены в природе. Многие живые организмы растут, следуя рекуррентному процессу.

* * *

Последовательность Фибоначчи не только описывает формирование плодов и процесс безостановочного размножения кроликов, но и обладает разнообразными увлекательными математическими свойствами. Закономерность будет легче увидеть, если мы выпишем первые 20 чисел. Каждое число Фибоначчи традиционно записывается с использованием буквы F, снабженной нижним индексом, который обозначает положение данного числа в последовательности:

F 0= 0.
F 1= 1.	F 6= 8,	F 11= 89,	F 16= 987,
F 2= 1.	F 7= 13,	F 12= 144.	F 17= 1597,
F 3= 2,	F 8= 21,	F 13= 233,	F 18= 2584,
F 4= 3,	F 9= 34,	F 14= 377,	F 19= 4181,
F 5= 5,	F 10. = 55,	F 15= 610,	F 20= 6765.

При более близком рассмотрении удается заметить, что наша последовательность воспроизводит саму себя многими и весьма неожиданными способами. Взглянем на числа F ₃, F ₆, F ₉—другими словами, на каждое третье F-число. Все они делятся на 2. А числа F ₄, F ₈, F ₁₂—то есть каждое четвертое F-число – делятся на 3. Каждое пятое F-число делится на 5, каждое шестое F-число делится на 8, и каждое седьмое – на 13. Эти делители в точности являются F-числами из самой последовательности.

Другой впечатляющий пример получается при вычислении 1/ F ₁₁, то есть ¹/ ₈₉. Это число равно сумме чисел

0,0

0,01

0,001

0,0002

0,00003

0,000005

0,0000008

0,00000013

0,000000021

0,0000000034

Таким образом, здесь снова высовывает голову последовательность Фибоначчи [51]51
  Надо продолжать складывать. Сумма одних лишь указанных чисел отличается от ¹/ ₈₉на 6,561797754461862… × 10 ^-10. Прибавление еще двух слагаемых, 0,00000000055 и 0,000000000089, приближает к ¹/ ₈₉уже на 1,7179774963738126… × 10 ^-11. ( Примеч. перев.)


[Закрыть].

А вот другое интересное математическое свойство этого ряда. Возьмем любые три последовательных F-числа. Произведение первого на третье всегда на 1 отличается от квадрата второго числа.

Для F ₄, F ₅, F ₆имеем F ₄× F ₆= F ₅× F ₅– 1 (24 = 25 – 1).

Для F ₅, F ₆, F ₇имеем F ₅× F ₇= F ₆× F ₆+1 (65 = 64 + 1).

Для F ₁₈, F ₁₉, F ₂₀: F ₁₈× F ₂₀= F ₁₉× F ₁₉– 1 (17 480 760 = 17 480 761 – 1).

Это свойство лежит в основе магического фокуса возрастом в несколько сотен лет. Фокус состоит в том, что квадрат, состоящий из 64 единичных квадратов, можно разрезать на четыре куска так, что, сложив их по-другому, мы получим прямоугольник из 65 единичных квадратов. Вот как это делается: нарисуем квадрат, составленный из 64 маленьких квадратиков. Сторона большого квадрата имеет длину 8. В последовательности Фибоначчи два F-числа, идущие перед 8, – это 5 и 3. Разделим большой квадрат на куски, используя длины 5 и 3. Куски можно сложить по-другому в прямоугольник со сторонами длиной 5 и 13, и площадь этого прямоугольника равна 65:

Разгадка фокуса состоит в том, что после изменения конфигурации куски не точно прилегают друг к другу. Хотя этого и не видно сразу невооруженным глазом, на самом деле имеется тонкий длинный зазор вдоль средней диагонали, и площадь этого зазора равна площади одного маленького квадратика.

В начале XVII столетия немецкий астроном Иоганн Кеплер писал, что «как 5 относится к 8, так же, примерно, 8 относится к 13, и как 8 относится к 13, так же, примерно, 13 относится к 21». Другими словами, он обратил внимание, что отношения последовательных F-чисел близки друг к другу. Столетие спустя шотландский математик Роберт Симсон усмотрел нечто еще более невероятное. Если взять отношения последовательных F-чисел и расположить их в последовательность

или (с точностью в три десятичных разряда)

1, 2, 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615, 1,619, 1,618…

то эти числа будут все ближе и ближе подходить к числу фи – золотому сечению.

Другими словами, приближением к золотому сечению служат отношения последовательных чисел Фибоначчи, причем точность приближения возрастает с каждым новым членом последовательности.

А теперь рассмотрим некую последовательность типа последовательности Фибоначчи, начинающуюся с двух случайных чисел, но продолжающуюся в соответствии с тем же правилом сложения двух последовательных членов. Начнем, скажем, с чисел 4 и 10; следующий член тогда равен 14, а идущий за ним – 24. Далее получаем:

4, 10, 14, 24, 38, 62, 100, 162, 262, 424…

Посмотрим на отношения соседних членов:

или

2,5, 1,4, 1,714, 1,583, 1,632, 1,612, 1,620, 1,617, 1,618…

Заложенный в последовательность Фибоначчи рекуррентный алгоритм, согласно которому надо складывать два соседних члена в последовательности, чтобы получить следующий, оказывается настолько мощным, что с каких бы двух чисел мы ни начали, отношения последовательных членов всегда сходятся к числу фи. Я думаю, это совершенно потрясающий математический феномен.

* * *

Повсеместное присутствие чисел Фибоначчи в природе означает, что число фи тоже вездесуще. И это возвращает нас к дантисту-пенсионеру Эдди Левину. В начале своей профессиональной карьеры он провел немало времени, протезируя зубы, однако это не приносило ему полного удовлетворения, поскольку, как он ни старался, улыбка пациента все равно получалась какой-то кривоватой.

– Я трудился до кровавого пота, – говорил он. – Но как бы я ни старался, зубы все равно не выглядели настоящими.

Примерно тогда же Левин начал посещать занятия по математике и спиритуализму, где он и узнал о числе фи. Узнал Левин и о «Божественной пропорции» Пачоли – и немало этим воодушевился. Что, если число фи, которое согласно Пачоли выражало истинную красоту, также содержало в себе секрет божественных зубных протезов? Эта мысль осенила его в два часа ночи, и он помчался в свой кабинет.

– Остаток ночи я провел за измерением зубов, – рассказывает он мне.

Левин перелопатил множество фотографий и обнаружил, что в самой привлекательной улыбке центральный передний зуб – центральный резец – шире следующего за ним (бокового резца) на множитель, равный числу фи. Боковой резец был также шире соседнего с ним зуба (клыка), и тоже на множитель, равный фи. А клык был шире следующего за ним зуба (первый премоляр – малый коренной зуб), и также на множитель, равный фи [52]52
  Итак, получается, что премоляр уже,чем центральный резец, в число раз, равное φ ³= 4,236 – то есть более чем в четыре раза. (Примеч. перев.)


[Закрыть]. Левин измерял не реальную ширину зубов, но видимый размер зуба на фотографии, сделанной анфас. Как бы то ни было, он полагал, что совершил историческое открытие: красота совершенной улыбки управляется числом фи!

– Я пришел в необычайное возбуждение, – вспоминает Левин.

На работе он рассказал о своих открытиях коллегам, но те отнеслись к этому как к чудачеству. Это не остановило его – он продолжал развивать свои идеи, и в 1978 году опубликовал статью с их подробным изложением в «Journal of Prosthetic Dentistry».

– И тогда люди этим заинтересовались, – говорит он. – Сейчас ни одна лекция о зубной эстетике не обходится без раздела о золотой пропорции.

Левин постоянно использовал число фи в своей работе, так что в начале 1980-х годов он попросил одного инженера сделать для него инструмент, с помощью которого можно было бы определить, находятся ли два зуба в золотой пропорции. В результате появился трехзубый калибр золотого сечения. Старый дантист сейчас продолжает продавать его своим коллегам по всему миру.

Левин рассказал мне, что его калибр стал для него больше чем просто инструментом для работы – он начал измерять и другие объекты, не только зубы, и – обнаружил число фи в структуре цветов, в распределении веток вдоль ствола дерева и листьев вдоль веток. Он брал с собой калибр, когда уезжал в отпуск, и находил число фи в пропорциях зданий. Кроме того, он видел число фи в различных частях человеческого тела: в длине фаланг пальцев и в относительном расположении носа, губ и подбородка. В конце концов он выяснил, что число фи присутствует в почерке большинства людей – как, например, в моем.

Чем больше Левин искал число фи, тем чаще он его находил.

– Я обнаружил так много совпадений, что поневоле стал задумываться, что бы все это значило. – Он открыл свой лэптоп и показал мне фотографии, на каждой из которых все три зубца калибра в точности указывали, где скрывалось золотое сечение. Там были изображения крыльев бабочки, перьев павлина, ЭКГ здорового человеческого сердца, картины Мондриана и даже автомобиль.

* * *

Построив прямоугольник таким образом, что отношение двух его сторон равно числу фи, мы получаем так называемый «золотой прямоугольник», изображенный на рисунке.

Этот прямоугольник обладает тем полезным свойством, что если мы обрежем его вертикально, так, чтобы с одной стороны получился квадрат, то оставшаяся часть также будет золотым прямоугольником. Чудесной матери чудесное дитя. Если продолжить этот процесс, появляются внуки, правнуки и т. д., до бесконечности. Теперь в самом большом квадрате нарисуем четверть окружности, поставив циркуль в правый нижний угол и проведя им дугу из одного из соседних углов в другой. Повторим то же самое во втором по величине квадрате, поставив циркуль в левый нижний угол и прочертив еще четверть окружности; затем проделаем это с последующими, все уменьшающимися квадратами. Получившаяся кривая будет приближением к логарифмической спирали.

Золотой прямоугольник и логарифмическая спираль

Настоящая логарифмическая спираль проходит через те же самые углы в тех же самых квадратах, но она закругляется более гладко, чем получившаяся у нас кривая, изображенная на рисунке, – наша кривая претерпевает небольшие скачки кривизны в тех местах, где соединяются четвертинки окружностей. В логарифмической спирали прямая линия, проведенная из центра спирали – «полюса», – пересекает саму спираль под одним и тем же углом во всех точках; по этой причине Декарт назвал логарифмическую спираль «равноугловой спиралью».

Логарифмическая спираль – одна из самых пленительных кривых в математике. Впервые ее свойства тщательно исследовал выдающийся швейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705). Он назвал ее «spira mirabilis»– чудесной спиралью и распорядился выгравировать ее на его надгробии. (По ошибке скульптор изобразил спираль другого типа.)

Фундаментальное свойство логарифмической спирали состоит в том, что, сколько бы она ни росла, она никогда не меняет форму. Бернулли выразил это фразой «Eadem mutata resurgo»(«Меняясь, остаюсь прежней»), которую просил высечь на своем надгробии. Данная спираль совершает бесконечное число оборотов, прежде чем достигает полюса. Если взять микроскоп и взглянуть на ее центральную область, то окажется, что ее форма в точности та же самая, как если бы логарифмическая спираль, изображенная на рисунке, продолжилась бы наружу и достигла размеров галактики, а мы бы смотрели на нее из другой солнечной системы. Немало галактик имеют форму логарифмических спиралей. Подобно фракталу, логарифмическая спираль самоподобна: любая ее малая часть подобна большей.

Наиболее ошеломляющий пример логарифмической спирали в природе – раковина головоногого моллюска. По мере роста раковины каждая последующая камера имеет больший размер, сохраняя при этом ту же форму, что и предыдущая. Единственная спираль, образованная из частей с одинаковыми относительными размерами, – это «spira mirabilis»Бернулли.

Раковина головоногого моллюска

Как заметил Декарт, прямая линия, проведенная из полюса логарифмической спирали, всегда пересекает ее под одним и тем же неизменным углом, и это свойство объясняет, почему данную спираль используют соколы-сапсаны, когда они нападают на свою добычу. Сапсаны не бросаются прямо вниз, а скорее устремляются к своей добыче, описывая вокруг нее спираль. В 2000 году Вэнс Такер из Университета Дьюк понял, почему дело обстоит именно так. У соколов глаза расположены по бокам головы, так что если им надо смотреть прямо перед собой, то приходится поворачивать голову на 40 градусов. Вэнс испытывал соколов в аэродинамической трубе и показал, что, когда голова птицы повернута под таким углом, сила сопротивления воздуха, действующая на сокола, на 50 процентов больше, чем когда его голова повернута прямо. Траектория, при которой птице удается держать голову в наиболее выгодном аэродинамическом положении, но в то же время постоянно смотреть на добычу под одним и тем же углом, и представляет собой логарифмическую спираль.

* * *

Листья растений располагаются вокруг стебля так, чтобы количество солнечного света, падающего на каждый из листьев, было максимально. Именно поэтому они не растут в точности друг над другом, иначе те, что снизу, света не получали бы вовсе.

По мере роста стебля каждый новый лист появляется под фиксированным углом относительно предыдущего листа. Это угол, при котором количество солнечного света максимально. Он не равен 180 градусам (половине полного оборота), потому что тогда третий лист окажется в точности над первым. Не равен он и 90 градусам (четверти полного оборота), поскольку тогда пятый лист оказался бы ровно над первым, а кроме того, первые три листа использовали бы только одну сторону стебля, что было бы недопустимой растратой солнечного света, падающего на другую сторону. Оказывается, угол, обеспечивающий наилучшее расположение листьев, – 137,5 градуса.

На рисунке показано, как располагаются листья, если каждый следующий лист растет повернутым под данным углом по отношению к предыдущему. Первые три листа расположены на достаточном угловом удалении друг от друга. Следующие два (листья четыре и пять) разнесены на более чем 50 градусов относительно ближайших к ним листьев – такой угол все еще оставляет им достаточно места. Шестой лист повернут на 32,5 градуса относительно первого. Это меньшее угловое расстояние, чем было между предыдущими листьями, что, конечно, неизбежно, поскольку появляются все новые листья, но тем не менее имеющийся угловой разнос по-прежнему достаточно широк.

Как листья обвивают стебель по спирали

Угол 137,5 градуса известен как золотой угол. Это тот угол, который получается, когда мы делим угол 360 градусов на два угла так, что отношение большего угла к меньшему равно фи, то есть 1,618. Получаемые два угла составляют 222,5 градуса и 137,5 градуса (с точностью до одного знака после запятой). Меньший из двух и есть золотой угол.

С математической точки зрения причина, по которой золотой угол обеспечивает наилучшую организацию расположения листьев вокруг ствола, связана с концепцией иррациональных чисел – то есть таких чисел, которые невозможно выразить в виде дроби. Если некий угол равен иррациональному числу, то сколько бы оборотов мы ни делали вокруг окружности, мы никогда не вернемся к начальному положению. Перефразируя Оруэлла, можно сказать, что некоторые иррациональные числа более иррациональны, чем другие. И ни одно число не является более иррациональным, чем золотое сечение. (Краткое объяснение дается в приложении 6 на сайте, посвященном данной книге.)

Золотой угол объясняет, почему на стебле растения, как правило, число листьев и число оборотов, после которого лист прорастает более или менее точно над первым, дается одним из чисел Фибоначчи. Например, у роз 5 листьев на каждые 2 оборота, у астр – 8 листьев на каждые 3 оборота, а миндальные деревья имеют 13 листьев на каждые 5 оборотов. Числа Фибоначчи возникают здесь потому, что они дают наилучшее приближение к золотому углу среди углов, выраженных в виде отношения целых чисел. Если растение выпускает 8 листьев на каждые 3 оборота, то каждый следующий лист прорастает через ³/ ₈оборота, что соответствует 135 градусам – очень хорошее приближение к золотому углу.

Но самым поразительным образом уникальные свойства золотого угла проявляются в расположении семян. Представим себе, что семена сначала возникают в центре цветка, и далее ряды следуют, заворачиваясь под фиксированным углом. Новые семена выталкивают старые все дальше и дальше от центра. На рисунке показаны различные расположения семян, возникающие при различных величинах этого угла: немного меньше золотого, в точности равный ему и чуть-чуть больше.

Неожиданным здесь оказывается то, сколь малое изменение угла влечет колоссальное изменение в расположении семян. Если угол в точности равен золотому, соцветие подсолнуха представляет собой завораживающий узор из взаимопроникающих логарифмических спиралей. Это самое компактное из всех возможных расположений. Природа выбирает золотой угол из-за этой компактности – семена располагаются очень тесно друг к другу, и весь организм от этого становится сильнее.

* * *

В конце XIX столетия немецкий философ и поэт Адольф Цейзинг (1810–1876) самым настойчивым образом продвигал идею о том, что золотая пропорция представляет собой воплощение красоты, – он писал, что золотое сечение – это универсальный закон, «который, как высший духовный идеал, пронизывает все структуры, формы и пропорции, будь они космические или индивидуальные, органические или неорганические, акустические или оптические, и при этом он находит свое высшее воплощение в человеке». Цейзинг был первым, кто заявил, что фасад Парфенона имеет форму золотого прямоугольника. В действительности нет документальных свидетельств, что те, кто отвечал за сей архитектурный проект (а среди них был скульптор Фидий), использовали золотое сечение. Более того, если приглядеться, то золотой прямоугольник не вполне точно подходит к фасаду – края цоколя выступают наружу. И тем не менее именно имя строителя Парфенона Фидия около 1909 года побудило американского математика Марка Барра обозначить золотое сечение буквой φ.

Несмотря на эксцентричный стиль работ Цейзинга, его на полном серьезе воспринял Густав Фехнер (1801–1887) – известный немецкий ученый, один из основателей психофизиологии. Желая выяснить, действительно ли имеются какие-либо эмпирические свидетельства в пользу того, что человеческая мысль воспринимает золотой прямоугольник как более совершенный по сравнению со всеми другими видами прямоугольников, Фехнер изобрел тест, в котором испытуемым показывали ряд различных прямоугольников и просили указать на те, которые им больше понравились.

Результаты Фехнера, казалось, подтвердили идеи Цейзинга. Чаще всего выбирали прямоугольник, наиболее близкий к золотому, – его предпочитали больше трети испытуемых. И хотя методы Фехнера были достаточно грубыми, его «прямоугольные» тесты открыли новое направление в науке – экспериментальную психологию искусства, а заодно и более узкую дисциплину – «эстетику прямоугольников». Многие физиологи провели аналогичные исследования на тему привлекательности прямоугольников, что на самом деле не столь абсурдно, сколь это звучит. Ведь если существует «самый желанный» прямоугольник, то именно эту форму должны использовать дизайнеры при создании коммерческой продукции. И в самом деле, кредитные карты, пачки сигарет и книги часто приближаются по пропорциям к золотому прямоугольнику. К несчастью для фанатов числа фи, самые недавние и подробные исследования, проведенные группой Криса Макмануса из Лондонского университетского колледжа показывают, что Фехнер был не прав. В статье, опубликованной в 2008 году, говорится, что «более столетия экспериментальных исследований показывают, что золотое сечение в действительности играет незначительную роль при выборе наиболее предпочтительных форм прямоугольников». И тем не менее авторы этой статьи не считают, что подобные тесты – пустая трата времени. Вовсе нет. Они утверждают, что в эстетическом восприятии прямоугольников разными людьми важную роль играют их индивидуальные различия, которые несомненно заслуживают дальнейших исследований.

* * *

Гэри Майзнер – 53-летний бизнес-консультант из Теннесси. Он называет себя Фи-Парнем и продает через свой сайт товары сувенирного толка, включая фи-футболки и фи-кружки. Однако из всего ассортимента лучше всего продается фи-матрица – программный продукт, который создает на экране вашего компьютера сетку для проверки изображений на предмет их близости к золотому сечению. Большинство пользователей используют ее для дизайна столовых приборов, мебели и интерьеров. Некоторые применяют ее для финансовых спекуляций, накладывая сетку на графики биржевых показателей и используя число фи для предсказания будущих трендов.

– Один парень с Карибов использовал мою матрицу для торговли нефтью, а один китаец – для спекуляции на курсах валют, – рассказывает Майзнер.

Золотое сечение привлекло Майзнера по причине его духовных устремлений – по словам этого Фи-Парня, оно помогло ему понять Вселенную. Но даже он полагает, что его коллеги по цеху иногда заходят слишком далеко. Например, его совершенно не убеждают трейдеры.

– Когда оглядываешься назад в прошлое, не так уж сложно найти в истории рыночных отношений такие, что подходили бы под число фи, – говорит он. – Реальная же проблема состоит в том, что оглядываться назад – это далеко не то же самое, что смотреть через лобовое стекло.

Благодаря своему веб-сайту Майзнер стал главным авторитетом для всех фанатов числа фи. Месяцем раньше он получил имейл от одного безработного, который считает, что единственный способ попасть на собеседование по устройству на работу – это оформить свое резюме согласно пропорциям золотого сечения. Чувствуя, что человек заблуждается, Майзнер все же решил ему помочь. Он подсказал ему несколько приемов фи-дизайна, но намекнул, что эффективней было бы сосредоточиться на более традиционных методах поиска работы, например, посмотреть сайты вакансий.

– И вот сегодня утром я получил от него письмо. – Майзнер явно удивлен. – Этот чудак пишет, что получил приглашение на собеседование! И он абсолютно уверен, что это все из-за нового дизайна резюме!

* * *

Вернувшись в Лондон, я рассказал Эдди Левину историю о золотом резюме в качестве примера чрезмерной экстравагантности. Левин, однако, не нашел эту историю забавной. Он тоже считает, что резюме, выполненное в фи-пропорции, привлекательней обычного.

– Оно будет красивее выглядеть, поэтому тот, кто его прочтет, решит, что оно привлекательнее других.

После 30 лет изучения золотого сечения Левин убежден, что везде, где присутствует красота, найдется число фи.

– Во всякой картине, которая нравится людям, доминирует золотая пропорция, – говорит он.

Левин отдает себе отчет в том, что далеко не все разделяют его точку зрения, хотя бы в силу того, что она предписывает наличие формулы для такого понятия, как красота, однако он гарантирует, что сможет найти число фи в любом шедевре.

Инстинктивно я весьма скептически воспринимаю одержимость Левина числом фи. Во-первых, я не уверен, что его калибр достаточно прецизионен, чтобы с нужной точностью измерить отношение 1,618. Обнаружить «примерное число фи» в пропорциях картины или здания не так уж сложно, особенно если выбирать, какие именно части измерять. А еще, поскольку отношения соседних членов в последовательности Фибоначчи дают хорошее приближение к 1,618, всякий раз при появлении структур 5 × 3, 8 × 5, 13 × 8 и т. д. будет видеться золотой прямоугольник. Нечего удивляться, что золотая пропорция оказывается столь распространенной.

И тем не менее в приводимых Левином примерах есть нечто неотразимое. Я испытывал восторг и упоение чудом всякий раз, как он показывал мне новое изображение. Число фи действительно присутствует везде! Да, золотое сечение всегда привлекало сумасбродов, но это не означает, что все теории по этому поводу сумасбродные. Некоторые, причем весьма уважаемые ученые утверждают, что число фи действительно создает красоту, в частности в структуре музыкальных произведений. Так что идея о том, что суть человеческого существования, возможно, сводится к пропорции, служащей наилучшим выражением естественного роста и воспроизведения, не кажется слишком уж притянутой за уши.