Текст книги "Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики"

Автор книги: Алекс Беллос

сообщить о нарушении

Текущая страница: 21 (всего у книги 24 страниц)

Оглядываясь назад, не так уж сложно заметить, что оценочные критерии – такие, как уровень интеллекта или расовая чистота, – могут порождать дискриминацию и слепой фанатизм. Поскольку колоколообразная кривая появляется, как только какие-то человеческие качества подвергаются измерению, она стала неким сигналом, говорящим о том, что предпринимаются попытки объявить некоторых людей априори лучше других. Примером, наделавшим много шума, стала публикация в 1994 году книги Ричарда Дж. Херрнстайна и Чарльза Мюррея «Колоколообразная кривая». Эта книга вызвала яростную полемику. Название ее апеллирует к результатам распределения тестов на IQ: авторы этого труда утверждают, что различия в IQ между расовыми группами свидетельствуют о биологических различиях. Гальтон писал, что колоколообразная кривая правит «невозмутимо и незаметно». Ее наследие, однако, оказалось каким угодно, но только не спокойным и не незаметным.

* * *

Другой способ получить те наборы цифр, которые мы наблюдаем, рассматривая распределение шариков в квинканксе, состоит в том, чтобы сложить из них нечто вроде числовой пирамиды. Организованные таким образом цифры более известны как треугольник Паскаля.

Треугольник Паскаля можно построить методом гораздо более простым, чем изучение распределения шариков, случайным образом просеивающихся через квинканкс. Начнем с 1 в первой строке, а под ней расположим две 1 так, чтобы все они образовывали треугольник. В следующих строках всегда будем помещать по 1 в начале и в конце, а во всех остальных положениях будем писать сумму двух чисел, расположенных выше.

Этот треугольник назван по имени Блеза Паскаля, хотя Паскаль был далеко не первым, кого очаровала эта конструкция. Индийские, китайские и персидские математики знали об этой структуре за столетия до Паскаля. Правда, Паскаль, в отличие от предшественников, написал книгу о том, что он называл «le triangle arithmetique».Его зачаровывала математическая глубина открытых им структур. «Удивительно, насколько изобилен он (имелся в виду треугольник) в своих свойствах», – поражался Паскаль, добавляя, что в книгу он смог поместить меньшую часть того, что ему известно.

Мне в треугольнике Паскаля больше всего нравится вот какое свойство. Пусть каждое число сидит в квадратике. Закрасим черным все квадратики с нечетными числами, а все квадратики с четными числами оставим белыми. В результате получается чудесная мозаика:

Возникающий узор напоминает ковер Серпинского – кусок математической фрактальной структуры, похожий на обивку, о котором говорилось во второй главе (квадрат делится на девять подквадратов, а потом центральный подквадрат удаляется, и тот же процесс повторяется для каждого из оставшихся подквадратов до бесконечности). Треугольный вариант ковра Серпинского называется треугольником Серпинского: в данном случае равносторонний треугольник делится на четыре одинаковых равносторонних треугольника, средний из которых затем удаляется, а три оставшихся снова подвергаются той же операции – разбиению на четыре и удалению среднего. Вот как выглядят первые три итерации:

Если распространить описанный выше метод закрашивания треугольника Паскаля на все большее и большее количество строк, то возникающая структура будет все более напоминать треугольник Серпинского. На самом деле в бесконечном пределе треугольник Паскаля становится треугольником Серпинского.

Серпинский – не единственный наш знакомец, кого можно встретить на этом черно-белом паркете. Рассмотрим белые треугольники, расположенные внизу по центру основного треугольника. Первый из них составлен из одного квадрата, второй – из 6 квадратов, третий – из 28, а далее идут числа 120 и 496. Ничего не напоминает? Три из этих чисел – 6, 28 и 496 – это совершенные числа, рассматривавшиеся в седьмой главе. Их появление – замечательное и очень наглядное выражение абстрактных идей, с виду никак не связанных.

* * *

Интерес древних индийцев к треугольнику Паскаля был вызван задачей о комбинациях объектов. Пусть, например, у нас имеется три фрукта: манго, личи и банан и всего одна их комбинация: манго, личи, банан. Если же мы желаем выбрать только два фрукта, то сделать это можно тремя различными способами: взять манго и личи, или манго и банан, или же личи и банан. Также тремя способами можно выбрать какой-то один фрукт. Наконец, надо рассмотреть и случай, когда выбирается нуль фруктов, и это можно сделать только одним-единственным способом. Другими словами, число комбинаций трех различных фруктов дает последовательность 1, 3, 3, 1 – третью строчку в треугольнике Паскаля.

С четырьмя объектами число комбинаций, в которых не выбирается а) ни одного объекта, б) выбирается один, в) два сразу, г) три сразу и д) четыре сразу, равны, соответственно, 1, 4, 6, 4, 1, что представляет собой четвертую строчку в треугольнике Паскаля. Подсчет можно продолжить для все большего числа объектов, и окажется, что треугольник Паскаля – это справочная таблица для числа комбинаций. Если у нас есть  nпредметов и нас интересует, сколько комбинаций можно составить, беря из них mштук, за ответом надо обратиться к m-му элементу в n-й строке в треугольнике Паскаля. (Замечание: примем соглашение, что самой левой 1 в каждой строке приписано нулевое положение в строке.) Например, каково число способов взять три фрукта из имеющихся семи? Таких способов 35, потому что третий элемент в седьмой строке равен 35.

Давайте теперь перейдем к комбинированию математических объектов. Рассмотрим выражение x+ у.Что представляет собой ( x+ у) ²? Это то же самое, что ( x+ у)( x+ у). Чтобы разложить это выражение, умножим каждый член в первой скобке на каждый член во второй. Таким образом, получится xx+ xy+ yх+ yy,или х ²+ 2ху+ у ².Дальнейшие вычисления делают структуру более ясной. Коэффициенты перед отдельными членами – это строки из треугольника Паскаля:

(x + у) ²= х ²+ 2ху + у ²,

(x + у) ³= х ³+ 3х ²у + 3ху ²+ y ³,

(x + y) ⁴= х ⁴+ 4х ³y+ 6х ²у ²+ 4ху ³+ у ⁴.

В начале XVIII столетия математик Абрахам де Муавр (1667–1754) – француз и гугенот, нашедший убежище в Лондоне, – первым понял, что коэффициенты в этих равенствах все лучше ложатся на кривую-колокол по мере, того как ( x+ у) всебольшее число раз умножается само на себя. Он не назвал то, что получилось, ни колоколообразной кривой, ни кривой ошибок, ни нормальным распределением, ни даже гауссовым распределением – все эти имена были даны ей позже. Данная кривая впервые появилась в математической литературе в написанной в 1718 году книге Муавра об играх – «Теория случайностей» («The Doctrine of Chances»). To был первый учебник по теории вероятностей, а заодно и пример того, как азартные игры способствовали прогрессу научного знания.

* * *

Я говорил о колоколообразной кривой так, как если бы это была одна кривая; на самом же деле это семейство кривых. Все они выглядят похожими на колокол, но одни уже, а другие шире.

Вот объяснение, почему ширина бывает различной. Если бы Галилей, скажем, в своих астрономических измерениях пользовался телескопом XXI века, то ошибка была бы меньше, чем при использовании телескопа XVI столетия. Современный инструмент дал бы гораздо более узкую колоколообразную кривую, чем первый телескоп. Ошибки были бы намного меньше, но все равно были бы распределены нормально.

Колоколообразные кривые с различными отклонениями

Помимо среднего значения, колоколообразная кривая характеризуется еще шириной, называемой отклонением.Если известны среднее и отклонение, то полностью известна и форма кривой. Это исключительное удобство связано с тем фактом, что нормальную кривую можно описать, используя всего два параметра. Ну или, быть может, это даже слишком удобно. Те, кто имеет дело со статистикой, нередко принимают желаемое за действительное, стремясь обнаружить колоколообразную кривую во всех своих результатах. Билл Робинсон – экономист, возглавляющий отдел судебной бухгалтерии в KPMG [66]66
  KPMG – одна из крупнейших аудиторских компаний мира. ( Примеч. перев.)


[Закрыть]в Лондоне, признает, что подобное имеет место. «Мы обожаем работать с нормальными распределениями, потому что их математические свойства очень хорошо изучены. Стоит нам только узнать, что речь идет о нормальном распределении, как мы уже готовы делать всяческие интересные утверждения».

Работа Робинсона, грубо говоря, состоит в том, чтобы, исследуя структуру колоссальных объемов данных, сказать, не намухлевал ли кто в бухгалтерской отчетности. Робинсон придерживается той же стратегии, что использовал Пуанкаре, ежедневно взвешивая хлеб, с той лишь разницей, что он – британский экономист – ежедневно анализирует гигабайты финансовых данных и применяет для этого гораздо более продвинутые средства.

Робинсон говорит, что сотрудники его отдела имеют склонность работать, исходя из предположения, что любому набору данных априорно свойственно нормальное распределение. «Я полагаю, что в отношении финансовых рынков истина состоит в том, что мы зачастую предполагаем наличие нормального распределения там, где оно, возможно, не работает». В последние годы и правда наблюдалось некоторое попятное движение – как в мире науки, так и в мире финансов – прочь от исторически сложившейся практики опираться на нормальное распределение.

Когда некоторое распределение сконцентрировано вблизи среднего в меньшей степени, чем колоколообразная кривая, про него говорят, что оно плосковершинное или что у него эксцесс меньше нормального. Наоборот, когда распределение в большей степени сконцентрировано вблизи среднего, говорят, что оно островершинное, или что оно имеет положительный эксцесс. Уильям Сили Госсет, специалист по статистике, работавший на пивоварне Гиннесса в Дублине [67]67
  Госсет У. С.(1876–1937) более известен под псевдонимом Стьюдент («распределение Стьюдента», «критерий Стьюдента» в статистике). Госсет взял себе псевдоним, чтобы иметь возможность публиковаться, используя в своих работах данные, полученные им на заводе Гиннесса и составлявшие коммерческую тайну. ( Примеч. перев.)


[Закрыть], придумал в 1908 году памятку, облегчающую запоминание того, что есть что: «У утконоса с плоским утиным носом (и плоской спиной) плосковершинное распределение, а у целующихся кенгуру – островершинное». Он выбрал кенгуру из-за того, что они «высоко скачут, хотя, честно говоря, по той же самой причине можно было выбрать и зайцев!». Поскольку в составленной Госсетом памятке главные действующие лица – животные, далекие правые и далекие левые участки кривых, описывающих распределения, называют хвостами.

Плосковершинное и островершинное распределения

Когда экономисты говорят, что у распределения «толстые» или «тяжелые» хвосты, они имеют в виду, что кривые в далеких от среднего областях проходят выше, то есть на большем удалении от горизонтальной оси, чем кривая нормального распределения, как если бы у госсетовских животных хвосты были толще средних. Эти кривые описывают распределения, в которых крайние события более вероятны, чем в случае нормального распределения. Например, если вариации в цене акций имеют толстые хвосты, это означает, что вероятность резкого падения или, наоборот, резкого роста этих акций в цене больше, чем в случае нормального распределения. По этой причине иногда довольно безрассудно предполагать колоколообразную кривую там, где распределение имеет толстые хвосты.

В своем бестселлере «Черный лебедь» [68]68
  Талеб Н. Н.Черный лебедь. Под знаком непредсказуемости. Москва: КоЛибри. 2012.


[Закрыть]экономист Нассим Николас Талеб утверждает, что нам свойственна тенденция к недооценке размера и важности хвостов кривых, описывающих распределения. Его аргумент состоит в том, что колоколообразная кривая – это исторически дефективная модель, потому что она не позволяет предсказывать ни появление очень редких, крайних событий, ни производимый ими эффект, – а к таким событиям могут относиться ключевые научные открытия, подобные изобретению Интернета, или нападение террористов, подобное атаке и сентября 2001 года. Вездесущность нормального распределения не относится к числу свойств окружающего мира, утверждает он, – тут проблема нашего восприятия, порожденная тем, как мы смотрим на те или иные явления.

Желание всюду усматривать колоколообразную кривую, пожалуй, сильнее всего проявляется в образовании. Расстановка оценок от А до F на экзаменах [69]69
  А, В, С и D – проходные оценки, F («failure» – провал, неудача) – аналог отечественной двойки. ( Примеч. перев.)


[Закрыть]в конце учебного года основана на том, как набранные учащимися баллы ложатся на колоколообразную кривую, – причем предполагается, что она и в самом деле будет аппроксимировать полученные оценки. Затем данная кривая разбивается на участки, и оценка А выставляется тем, чьи баллы попали в самый верхний участок, В – в следующий и т. д. Во избежание резких встрясок образовательной системы важно, чтобы из года в год процент учащихся, получающих оценки от А до F, оставался примерно постоянным. Если в какой-то год получается слишком много оценок А или слишком много оценок F, то потом на некоторых курсах окажется слишком много или слишком мало студентов, что, в свою очередь, повлечет изменение требований к преподавательскому составу. Экзамены целенаправленно устроены таким образом, чтобы распределение результатов по возможности наилучшим образом ложилось на колоколообразную кривую, независимо от того, насколько точно это отражает реальный уровень знаний.

Высказывалось мнение, что почтение, питаемое некоторыми учеными к колоколообразной кривой, поощряет небрежность в работе. Из нашего примера с квинканксом мы видели, что случайные ошибки распределены нормально. Так что чем больше случайных ошибок мы сможем внести в измерение, тем более вероятно, что данные будут описываться колоколообразной кривой – даже если измеряемые явления сами по себе не распределены нормально. Когда же нормальное распределение обнаруживают в наборе данных, причина этого может состоять просто в том, что измерения делались недостаточно тщательно.

* * *

Что и возвращает нас к багетам. Действительно ли их веса были распределены нормально? Был ли хвост распределения узким или широким? Как вы помните, я взвесил в общей сложности 100 багетов. Результаты продемонстрировали определенные обнадеживающие тенденции: среднее оказалось равным примерно 400 граммам, а разброс был более или менее симметричным – между 380 и 420 граммами. Если бы я был неутомим в той же степени, что и Анри Пуанкаре, я продолжил бы эксперимент и взвешивал багеты в течение года, получил бы 365 (плюс-минус несколько штук с учетом тех дней, когда пекарня закрыта) весов, которые мог бы сравнивать. При наличии большего объема данных характер распределения был бы яснее. И тем не менее моя скромная выборка оказалась достаточной, чтобы примерно представить себе, как формируется результат. Я использовал трюк, состоящий в «сжатии» полученных данных: нарисовал график, на котором сгруппировал багеты по весу со шкалой не в 1 грамм, а в 8 граммов. Вот что у меня получилось:

Нарисовав это, я почувствовал облегчение, поскольку и в самом деле было похоже, что в моем эксперименте с багетами веса укладываются на колоколообразную кривую. Но при ближайшем рассмотрении оказалось, что график вовсе не является колоколообразной кривой. Да, веса группировались вокруг среднего значения, но кривая с очевидностью не обладала симметрией. Левая ее сторона оказалась не такой крутой, как правая, словно какой-то невидимый магнит немного вытягивал кривую влево.

Отсюда следовало два возможных вывода. Или веса багетов от «Греггса» не распределены нормально, или же они распределены нормально, но в ход моего эксперимента вкралась какая-то систематическая ошибка. У меня были определенные соображения, что это могла быть за ошибка. Несъеденные багеты скапливались у меня на кухне, и теперь я решил взвесить один из них. К моему удивлению, в нем был всего 321 грамм – существенно меньше, чем самый малый из весов, что появлялся в ходе моего эксперимента. И тут меня осенило: вес багета – величина не постоянная, багет становится легче по мере высыхания! Я снова отправился в магазин и выяснил, что багет теряет около 15 граммов веса за время от 8 утра до полудня.

Мне стало ясно, что мой эксперимент далеко не идеален. Я не учитывал время дня, в которое осуществлял свои измерения. Вне всякого сомнения, именно это внесло систематическую ошибку в распределение весов. Чаще всего я приходил в магазин к открытию и взвешивал свой хлеб около 8:10 утра; но иногда я вставал поздно. Эта случайная переменная нераспределена нормально, потому что среднее время попадает куда-то между 8 и 9 утра, но нет никакого хвоста, описывающего период до 8 утра, поскольку магазин в это время еще закрыт. Зато с другой стороны хвост тянулся до самого обеда. И тогда мне пришло в голову кое-что еще. А как обстояло дело с окружающей температурой? Я начал свои опыты в начале весны, а закончил их в начале лета, когда стало существенно теплее. Я взглянул на цифры и обнаружил, что веса моих багетов в целом уменьшались по мере приближения к концу эксперимента. Летняя жара, заключил я, способствовала их более быстрому высыханию. И опять же, этот фактор мог влиять на вытягивание кривой влево.

Из моего эксперимента можно, наверное, заключить, что веса багетов аппроксимируются слегка искаженной колоколообразной кривой, но главный урок, который я для себя извлек, состоял в том, что измерение – вовсе не простая штука. Нормальное распределение – это теоретический идеал, и нельзя предполагать, что все результаты будут ему соответствовать. Тогда я задумался об Анри Пуанкаре. Когда он взвешивал свой хлеб, исключил ли он систематические ошибки, связанные с парижской погодой или временем измерений? Быть может, из его экспериментов вовсе не следовало, что ему продавали 950-граммовый хлеб вместо килограммового, а следовало лишь, что между выпечкой и взвешиванием килограммовый хлеб теряет в весе 50 граммов? Вся история колоколообразной кривой в действительности представляет собой прекрасную аллегорию нетривиального взаимоотношения теоретических и прикладных областей знания. Однажды Пуанкаре получил письмо от французского физика Габриэля Липмана, который блестяще выразил, почему нормальное распределение столь высоко превозносится: «Все верят в колоколообразную кривую: экспериментаторы – поскольку полагают, что ее присутствие доказано математически; математики – поскольку считают, что она следует из наблюдений». В науке, как и во многих других сферах, мы часто выбираем то, что устраивает нас более всего.

Глава 11
Конец прямой

Автор завершает свое путешествие, остановившись на картофельных чипсах. Снова вспомнив Евклида, он оказывается в гостинице с бесконечным числом номеров, которая никак не может справиться с внезапным наплывом постояльцев.

Несколько лет тому назад Дайна Таймина сидела откинувшись на диване у себя дома в Итаке, штат Нью-Йорк, где она преподает в Корнеллском университете. Кто-то из домочадцев спросил ее, чем это она занимается.

– Пробую связать крючком гиперболическую плоскость, – ответила она, имея в виду конструкцию, которая одновременно озадачивала и пленяла математиков в течение почти двух столетий.

– Разве математики умеют вязать крючком? – презрительно обронил ее собеседник.

Несмотря на такое пренебрежительное отношение к ее занятию, Дайна только укрепилась в своем намерении использовать женское рукоделие для развития науки. И ей это удалось: она изобрела так называемое «гиперболическое вязание» – технику, в результате которой получаются очаровательные изделия, – а кроме того, внесла вклад в понимание геометрии, причем таким способом, о котором математики до этого и не подозревали.

Гиперболическое вязание

Чуть ниже я дам подробное определение понятию гиперболическийи расскажу о том, что дает возможность понять модели, связанные Дайной, пока же все, что нам надо знать, – это то, что гиперболическая геометрия идет полностью вразрез с геометрией интуитивной, а правила игры, столь тщательно прописанные Евклидом в его «Началах», полагаются там неверными. Возникновение в начале XIX столетия «неевклидовой» геометрии ознаменовало появление в математике водораздела, который отсек геометрию, отвечающую нашему опыту, от новой геометрии, целиком и полностью ему противоречащей, что, впрочем, вовсе не делает ее математически противоречивой – наоборот, математически она верна в той же степени, что и родившаяся до нее евклидова система.

Позднее в том же столетии выдающийся немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) совершил интеллектуальный прорыв не меньшего значения: Кантор поставил наше интуитивное понимание бесконечности с ног на голову, доказав, что бесконечность может иметь различные размеры. Неевклидова геометрия и теория множеств Кантора стали вратами в необычные и чудесные миры, которые мы посетим на ближайших страницах.

* * *

«Начала» Евклида, как мы уже говорили, были и остаются самым влиятельным во все времена учебником по математике; в них заложены основы геометрии древних греков. Кроме того, в «Началах» установлен аксиоматический метод;Евклид исходил из ясных определений используемых терминов и правил, которым надлежало следовать, а затем строил из них весь корпус своих теорем. Правила, или аксиомы, представляют собой утверждения, которые принимаются без доказательства, и поэтому математики всегда стараются сделать их простыми и самоочевидными настолько, насколько это возможно.

Евклид доказал в «Началах» 465 теорем, исходя всего лишь из пяти аксиом, которые приобрели широкую известность как пять евклидовых постулатов:

1. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2. Каждую ограниченную прямую можно продолжить неопределенно.

3. Из всякого центра всяким радиусом можно описать окружность.

4. Все прямые углы равны между собой.

5. Если прямая, пересекающая две прямые, образует с ними внутренние односторонние углы меньшие, чем два прямых угла, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Когда мы добираемся до пятого постулата, закрадывается подозрение, что тут не все в порядке. Начинаются постулаты достаточно бодро. Первые четыре легко формулируются, их несложно понять и легко принять. Но что же в их компании делает пятый? Он многоречивый, сложный и не слишком самоочевидный. Да и не столь уж фундаментальный: первый раз он требуется в «Началах» в предложении 29.

Несмотря на свою любовь к дедуктивному методу Евклида, математики невзлюбили его пятый постулат; он не только посягал на их чувство прекрасного, но и заставлял подозревать, что там принимается слишком много для простой аксиомы. И действительно, в течение 2000 лет много великих умов делали попытки изменить статус пятого постулата, пытаясь вывести его из остальных постулатов и тем самым разжаловать в теорему. Но никто в этом так и не преуспел. Быть может, величайшее свидетельство гения Евклида состоит как раз в понимании того, что и пятый постулат необходимо принимать без доказательства.

Больший успех сопутствовал математикам в попытках переформулировать постулат в других терминах. Например, англичанин Джон Уоллис еще в XVII веке понял, что все, имеющееся в «Началах», можно доказать, взяв первые четыре постулата неизменными и заменив пятый постулат следующим альтернативным вариантом: если задан любой треугольник, его можно увеличить или, наоборот, сжать до любого размера таким образом, чтобы длины сторон оставались в неизменном отношении друг к другу, а углы между сторонами не менялись.Хотя осознание того, что пятый постулат можно перефразировать как утверждение о треугольниках, а не о прямых, означало глубокое проникновение в суть происходящего, это не развеяло беспокойства математиков: альтернативный постулат Уоллиса, может, и был более (хотя и не так уж) интуитивным, чем пятый постулат, но он все равно не получался столь же простым или очевидным, как первые четыре. Были открыты и другие эквиваленты пятого постулата; Евклидовы теоремы по-прежнему оставались верными, если заменить пятый постулат утверждением о том, что сумма углов треугольника составляет 180 градусов, или что верна теорема Пифагора, или что для всех окружностей отношение длины окружности к диаметру равно π.Сколь бы неожиданным такое ни показалось, все эти утверждения математически взаимозаменяемы. Эквивалентное утверждение, которое наиболее удобным образом выражает суть пятого постулата, однако, касается поведения параллельных линий. Начиная с XVIII столетия математики, изучавшие Евклида, стали отдавать предпочтение следующему варианту, известному как постулат о параллельных:

Для заданной прямой и точки вне ее существует самое большее одна прямая, проходящая через эту точку и параллельная данной прямой.

Можно показать, что постулат о параллельных имеет отношение к геометрии двух различных типов поверхности, где все зависит от фразы «самое большее одна прямая», которая на языке математики означает «или одна прямая, или ни одной». В первом случае, проиллюстрированном на рисунке, для любой прямой Lи точки  Pсуществует только однапроходящая через  Pпрямая, параллельная L(она обозначена как L').Этот вариант постулата о параллельных применим к поверхности наиболее очевидного типа – плоской поверхности, такой как лист бумаги, лежащий у вас на столе.

Постулат о параллельных

Теперь рассмотрим второй вариант постулата, в котором для любой прямой Lи точки  Pвне ее нетни одной прямой, проходящей через  Pи параллельной L.С ходу нелегко сообразить, что это может быть за поверхность. В какую ужасную даль от Земли нам придется отправляться на ее поиски?

Да никуда не придется. Мы так и останемся на Земле! Представим себе, например, что наша линия L —это экватор, и вообразим, что точка  P —это Северный полюс. Единственные прямые линии, идущие через Северный полюс, – это линии долготы, такие как Гринвичский меридиан, и при этом все линии долготы пересекают экватор. Таким образом, прямой линии, которая проходила бы через Северный полюс и была бы при этом параллельна экватору, просто нет.

Постулат о параллельных говорит о том, что кроме геометрии поверхностей существует еще и геометрия поверхностей сферических. «Начала» имели дело с плоскими поверхностями, и в течение 2000 лет именно они оставались в фокусе математических изысканий. Сферические же поверхности, например поверхность Земли, представляли тогда больший интерес для штурманов и астрономов, чем для теоретиков. Лишь к началу XIX века математики создали теорию, которая охватывала как плоские, так и сферические поверхности, а произошло это только после того, как ученые познакомились с поверхностями третьего типа – гиперболическими.

* * *

Среди вознамерившихся вывести постулат о параллельных из первых четырех постулатов и тем самым доказать, что это вовсе не постулат, а теорема, решительнее всех был настроен, пожалуй, Янош Бойяи (1802–1860) – студент из Трансильвании, обучавшийся инженерному делу. Его отец Фаркаш – тоже математик! – исходя из собственного неудачного опыта хорошо представлял себе, какие испытания уготованы сыну на сем пути. «Бога ради, заклинаю тебя, брось это дело, – убеждал он сына. – Оно опаснее, чем чувственные удовольствия, поскольку способно точно так же поглотить все твое время и лишить тебя здоровья, душевного спокойствия и счастья в жизни». Но Янош упрямо игнорировал отцовские увещевания; более того, в своем бунтарстве он был даже готов рассматривать возможность ложности этого евклидовского постулата! Не надо забывать, что для математиков «Начала» были чем-то вроде Библии для христиан – книгой, содержащей непререкаемую, священную истину. И хотя вопрос о том, является ли пятый постулат аксиомой или теоремой, обсуждался, и довольно активно, никто до Бояйи-младшего не осмеливался предположить, что это утверждение Евклида не совсем верно. Прошло время, и оказалось, что постановка этого вопроса открыла окно в новый мир.

Постулат о параллельных утверждает, что для любой заданной прямой и точки вне ее существует самое большееодна параллельная прямая, проходящая через указанную точку. Яношу хватило смелости предложить, что для любой заданной прямой и точки вне ее имеется более однойпараллельной прямой, проходящей через эту точку. Хотя было не слишком ясно, как представить себе поверхность, для которой это утверждение верно, Янош понял, что геометрия, следующая из этого утверждения, взятого вместе с первыми четырьмя постулатами, по-прежнему остается математически последовательной. Это было революционным открытием, и Янош сумел осознать его судьбоносное значение. В 1823 году Янош написал отцу письмо, в котором заявлял: «Из ничего я создал новую вселенную».

На руку Яношу, вероятно, было то обстоятельство, что он работал один, и вне стен какого-либо математического заведения, и потому был в меньшей степени зажат в рамки традиционных воззрений. Более того, даже уже совершив свое великое открытие, он не думал, что станет математиком. После окончания университета Бояйи вступил в Австро-Венгерскую армию, где, по имеющимся отзывам, проявил себя среди сослуживцев как один из лучших фехтовальщиков и танцоров. Кроме этого, он был замечательным музыкантом и однажды, вызвав на дуэль сразу 13 офицеров, поставил условие, что в случае победы сыграет проигравшему пьесу на скрипке.

А тем временем другой, неизвестный Яношу математик, живший в еще большем, чем Трансильвания, удалении от европейских научных центров, тоже размышлял о пятом постулате. Он неуклонно продвигался вперед, несмотря на то что никто из коллег не поддерживал и не принимал его работы. В 1826 году профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) направил свою статью, в которой подвергал сомнению истинность постулата о параллельных, в журнал «Записки физико-математического отделения». Статью (она называлась «О началах геометрии») не приняли, после чего Лобачевский решил напечатать ее в университетском «Казанском вестнике», где ее, естественно, почти никто не заметил. Позже петербургские профессора подвергли его работу жесточайшей критике.

Ирония судьбы – в истории низвержения пятого постулата Евклида с пьедестала незыблемой истины был еще один драматичный момент: за несколько десятилетий до Яноша Бойяи и Николая Лобачевского еще один ученый сделал то же самое открытие, причем произошло это в самом сердце математической науки; однако этот человек не стал обнародовать свои результаты среди коллег. Почему Карл Фридрих Гаусс – величайший математик своего времени [70]70
  И по мнению многих – величайший математик из когда-либо живших. ( Примеч. перев.)


[Закрыть]– решил сохранить свою работу о постулате о параллельных в тайне, до сих пор точно не знает никто. Принято считать, что он не хотел вступать в распри с университетскими коллегами по поводу авторитета Евклида.

Однако, прочитав о результатах Яноша, опубликованных в 1831 году в приложении к книге его отца Фаркаша, Гаусс дал понять, что он еще раньше высказал предположение о возможной неправомерности постулата о параллельных. Гаусс написал своему старому университетскому товарищу Фаркашу письмо, в котором отозвался о Яноше как о «гении первой величины», однако же добавил, что не может воздать должной похвалы его замечательному научному открытию: «Ибо хвалить его означало бы хвалить самого себя. Содержание его труда целиком совпадает с моими собственными открытиями, некоторым из которых исполнилось уже 30 или 35 лет. Поначалу я собирался записать все это, дабы оно по крайней мере не ушло в небытие вместе со мной. Поэтому приятной неожиданностью стало известие, что я избавлен от сего труда, и в особенности я рад, что не кто иной, как сын моего старого друга, помог мне в этом деле». Узнав, что первым к цели пришел Гаусс, Янош очень огорчился. Когда же, уже годы спустя, он узнал, что русский математик Лобачевский тоже опубликовал доказательство раньше него, он был просто потрясен, а потом уверовал в то, что Лобачевский – вымышленный персонаж, изобретенный Гауссом в качестве изощренной уловки с целью лишить его, Яноша, первенства.