Текст книги "Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в волшебный мир математики"

Автор книги: Алекс Беллос

сообщить о нарушении

Текущая страница: 3 (всего у книги 24 страниц)

Действительно, в последнее время в неврологии сделано немало новых важных открытий в области исследований числовой когнитивности. Например, появилась возможность увидеть, что происходит с отдельными нейронами в мозгу у обезьяны, когда она думает о точном числе точек.

Андреас Нидер из Университета Тюбингена, расположенного на юге Германии, научил макак-резусов думать о числах. Он добился этого, показывая им на экране компьютера один набор точек, а затем, после интервала в одну секунду, – другой набор точек. Обезьянок обучили, что если во втором наборе будет столько же точек, сколько и в первом, и они нажмут на рычаг, то получат награду в виде яблочного сока. Если же во втором наборе окажется другое число точек, а они все равно нажмут на рычаг, то яблочного сока не будет. Примерно через год обезьянки научились нажимать рычаг только в том случае, когда число точек в первом наборе совпадало с числом точек во втором. Нидер и его коллеги утверждают, что в течение той секунды, которая проходит перед появлением на экране компьютера второй картинки, обезьянки думают о числе точек, которые они увидели на первой картинке.

Далее Нидер решил, что теперь надо выяснить, что происходит у обезьянок в мозгу в то время, когда они держат эти числа у себя в голове. Для этого он, просверлив дырочку в обезьяньем черепе, внедрил в нервную ткань мозга электрод диаметром в два микрона. Этот электрод настолько мал, что никак не вредит мозгу и не вызывает болевых ощущений. (Внедрение электродов в человеческий мозг для исследований считается превышением этических норм, хотя и допустимо по медицинским показаниям, например при лечении эпилепсии.) Нидер располагал электрод в обезьяньем мозгу так, чтобы он находился напротив префронтальной коры, а затем начинал эксперимент с точками.

Электрод настолько чувствителен, что может улавливать электрический импульс в отдельных нейронах. Когда обезьянки «думают» о числах, Нидер видит, что определенные нейроны активизируются, – у обезьянок целые области в мозгу «зажигаются». Исследуя эту картину подробнее, он пришел к чрезвычайно интересному открытию. Чувствительные к числам нейроны реагируют с различной степенью интенсивности в зависимости от того, о каком числе обезьянка в данный момент думает. Причем у каждого нейрона есть «любимое» число – то, из-за которого данный нейрон становится максимально активным. Имеется, например, кластер из нескольких тысяч нейронов, которые «любят» число 1. Эти нейроны ярко сияют, когда обезьяна думает о единице, менее ярко – о двойке, еще менее ярко – о тройке и т. д. Имеется другая группа нейронов, которые предпочитают число 2. Эти нейроны сияют ярче всего, когда обезьяна думает о двойке; менее ярко, когда она думает о единице или тройке, и становятся совсем тусклыми, когда обезьяна думает о четверке. Другая группа нейронов полюбила число 3, а еще одна – число 4. Нидер проводил эксперименты вплоть до 30, и для каждого числа он нашел нейроны, которые предпочитают именно это число.

Результаты, полученные Нидером, позволяют объяснить, почему наша интуиция тяготеет к приближенному восприятию чисел. Когда обезьянка думает о числе 4, наиболее активны, конечно, нейроны, которые предпочитают число 4. Но нейроны, которые предпочитают тройку, и нейроны, которые предпочитают пятерку, тоже активны, хотя и в меньшей степени. Это, по-видимому, связано с тем, что мозг обезьянки при этом одновременно думает и о числах, окружающих четверку. «Восприятие числа размыто шумом, – объясняет Нидер. – Обезьяны способны представлять себе кардинальности только приблизительным образом».

Можно быть почти уверенным, что то же самое происходит и в человеческом мозгу. Тут возникает интересный вопрос; если наш мозг способен представлять числа только на оценочном уровне, то как же мы вообще сумели их «изобрести»? «Восприятие чисел в точном смысле – это уникальное свойство человеческого мозга, которое, скорее всего, развилось из нашей способности точно выражать числа с помощью символов», – заключает Нидер. Таким образом, числа – артефакт, продукт человеческой культуры, а не что-то, данное нам от природы.

Глава 1
Культурный счет

Автор узнает о тирании десяти и о тех, кто замышляет ее ниспровержение, а затем посещает внеклассные занятия в Токио, где ученики осваивают вычисления, думая о бусинках.

В Средние века в Англии, в Линкольншире, «pimp» плюс «dik» равнялось «bumfit». И в том не было ничего необычного. Эти слова просто обозначали числа пять, десять и пятнадцать на жаргоне, которым при счете овец пользовались пастухи. Полный набор этих числительных выглядел так:

1. Yan	11. Yan-a-dik
2. Tan	12. Tan-a-dik
3. Tethera	13. Tethera-dik
4. Pethera	14. Pethera-dik
5. Pimp	15. Bumfit
6. Sethera	16. Yan-a-bumfit
7. Lethera	17. Tan-a-bumfit
8. Hovera	18. Tethera-bumfit
9. Covera	19. Pethera-bumfit
10. Dik	20. Piggot

В наши дни мы считаем по-другому, – и дело не только в том, что тут все слова незнакомые. Линкольнширские пастухи организовывали числа в группы по двадцать, начиная счет со слова уапи заканчивая словом piggot.Если у пастуха было более двадцати овец – при условии, что он не заснет, занимаясь их пересчетом, – ему приходилось делать отметку о том, что он закончил один цикл, например положив камешек в карман или проведя линию на земле. После этого он опять начинал считать сначала: «Yan, tan, tethera». Если у него восемьдесят овец, то в кармане у него в конце концов окажется четыре камушка или же на земле будут нарисованы четыре линии.

В современном мире мы, разумеется, группируем числа десятками, так что в нашей числовой системе десять цифр. Число, выражающее размер группы, используемой при счете, – которое к тому же часто совпадает с числом используемых символов, – называется основанием системы счисления, так что наша десятичная система имеет основание десять, а принятая у английских пастухов – двадцать.

Если при счете не пользоваться каким-либо разумным основанием, с числами вообще невозможно иметь дело. Представим себе, что у пастухов система счета с основанием единица. Это означает, что у них имеется только одно слово для чисел, уап, обозначающее единицу. «Два» тогда будет уап уап.«Три» – уап уап уап.Восемьдесят овец потребуют произнесения слова уапвосемьдесят раз. Такая система достаточно бесполезна для счета чего бы то ни было, превосходящего числом тройку. С другой стороны, вообразим, что каждое число выражается отдельным новым словом, так что способность досчитать до восьмидесяти потребует запоминания восьмидесяти разных слов. Попробуйте-ка теперь досчитать до тысячи!

Многие сообщества людей, живущих в изоляции, до сих пор используют нестандартные основания. Представители племени арара, живущие в Амазонии, например, считают парами, выражая числа от одного до восьми таким образом: анане, адак, адак анане, адак адак, адак адак анане, адак адак адак анане, адак адак адак адак.Счет двойками – не слишком большое усовершенствование по сравнению со счетом единицами. Чтобы добраться до сотни, придется повторить адакпятьдесят раз подряд – спорить и торговаться на базаре окажется делом, занимающим немало времени. В Амазонии также встречаются системы счета с основаниями 3 и 4.

Число, являющееся основанием, должно быть достаточно большим, чтобы позволять проговаривать числа типа сотни, не сбиваясь с дыхания, но при этом не настолько большим, чтобы нам приходилось перенапрягать память. Наиболее распространенные в истории основания – это 5, 10 и 20, и нетрудно понять почему. Эти числа получены из человеческого тела. У нас пять пальцев на руке, так что пять – первое число, которое просится, чтобы на нем перевели дух при счете от одного и выше. Следующая естественная пауза происходит из-за наличия двух рук, или десяти пальцев, а вслед за тем – двадцати пальцах на руках и ногах. (Некоторые системы – составные. Например, Линкольнширский лексикон для счета овец содержит основания 5 и 10, а также основание 20: первые десять чисел уникальны, а следующие десять сгруппированы в пятерки.) Роль, которую исторически сыграли пальцы, отражена в используемых словах, не в последнюю очередь – в наличии двух значений слова «digit» [2]2
  Два значения – цифра (то есть однозначное число) и палец. ( Примеч. перев.)


[Закрыть]. Например, в России число «пять» соотносится со словом «пясть», обозначающим раскрытую ладонь. Аналогичным же образом, слово «пять» на санскрите – панча– связано с персидским пенча, что также обозначает руку.

С того самого момента, как люди начали считать, они пользовались пальцами для облегчения счета, и не будет преувеличением сказать, в большой степени научный прогресс обязан ловкости наших пальцев. До того как бумага и карандаш стали доступны всем и везде, числа нередко выражались на хитром языке, связанном со счетом на пальцах. В VIII столетии англосаксонский теолог, бенедиктинский монах Беда Достопочтенный предложил систему счета до миллиона, которая отчасти была основана на арифметике, а отчасти – на использовании быстрых движений пальцев и рук. Единицы и десятки представлялись там левыми пальцами, включая большой; сотни и тысячи – правыми. Более высокие порядки выражались движениями рук вдоль тела; дело дошло до не вполне подобающего священнику способа представить число 90 000: «левой рукой обхвати себя за чресла, большой палец направив в сторону гениталий», – писал Беда. Знак «миллион», от которого требовалось выражение свершенности и удовлетворения достигнутым, был гораздо более изысканным: руки сложены вместе, а пальцы переплетены.

* * *

Системы с основанием 10 (десятичные) были в ходу на Западе в течение тысячелетий. Впрочем, несмотря на их соответствие устройству нашего тела, многие задавались вопросом, самое ли это подходящее основание для счета. Говорили, что идти на поводу у нашего телесного устройства – не вполне удачное решение. Шведский король Карл XII отвергал основание 10 как придумку «неотесанных простолюдинов», которые всюду лезут своими пальцами. В современной Скандинавии, считал он, требовалось основание, «доставляющее более удобств и преимуществ в использовании». Поэтому в 1716 году он приказал ученому Эмануэлю Сведенборгу разработать новую систему счета с основанием 64. Король остановил свой выбор на этом неординарном числе, потому что оно возникало из куба, как 4 × 4 × 4. Карл, который сражался в Великой Северной войне – и проиграл ее, – считал, что требуемые в военном деле вычисления, подобно измерению объема ящика с порохом, должны выполняться легче, если в основании системы будет лежать куб. Однако идея, которой он облагодетельствовал подданных, как писал Вольтер, «доказала единственно то, что он любил все необычное и сложное». Основание 64 требует для чисел 64 уникальных названия (и 64 символа), что делает счет довольно неудобным. Поэтому Сведенборг упростил систему до основания 8 и предложил новые обозначения, в которых 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 переименовывались в o, l, s, n, m, t, f, u. В этой системе, таким образом, 1 + 1 = x, а m × m = so. (Среди слов для новых чисел были поистине чудесные. Степени числа 8, которые предстояло записывать в виде lо, loo, looo, loooo и looooo, предлагалось произносить, или йодлить(на манер тирольского пения), как лу, ло, ли, ле, ла.) В 1718 году, однако, незадолго до того, как Сведенборг должен был завершить работу над своей системой, пуля оборвала жизнь короля, положив конец и его амбициозным начинаниям.

Однако идеи Карла XII были не лишены логики. На каком основании мы должны придерживаться десятичной системы лишь из-за того, что она возникла из числа пальцев у нас на руках и на ногах? Если бы люди были, например, кем-то вроде диснеевских персонажей всего с четырьмя пальцами на каждой руке, то почти наверняка мы бы жили в мире с основанием 8: ставили отметки исходя из высшего балла 8, составляли бы списки первых восьми победителей, а в гривеннике было бы восемь копеек. Математика нисколько не изменилась бы из-за введения альтернативного способа группировки чисел. Воинственный швед был прав, ставя вопрос о том, какое основание лучше всего подходит к нашим научным потребностям, и не полагаясь на систему, которая в максимальной степени соответствует нашей анатомии.

* * *

Как-то раз субботним утром в конце 1970-х годов в Чикаго Майкл де Флигер смотрел по телику мультфильмы. Начался очередной мультик. Сначала зазвучала музыка – диссонансное сочетание звуков расстроенного пианино, бренчания гитары и зловещего рева контрабаса. Действие происходило ночью, на небе ярко светила луна и сияли звезды. Вдруг появился странный гуманоид – во фраке в бело-синюю полоску, на голове – цилиндр. У гуманоида были светлые волосы и вытянутый нос, что до некоторой степени соответствовало моде той эпохи глэм-рока. И последний штрих в довершение отталкивающего образа – по шесть пальцев на руках и на ногах. «Это было что-то уродское, типа привидения, – вспоминает Майкл. – Мультик, называвшийся „Little Twelvetoes“ („Маленькие Двенадцатипальчики“), оказался образовательным фильмом, посвященным счету с основанием 12. Подозреваю, что подавляющая часть американцев вообще не врубилась в то, что там происходило. Но мне это показалось очень даже крутым».

Сейчас Майклу 38 лет. Я встретился с ним в его офисе, который размещается в жилой части Сент-Луиса, штат Миссури. У него густые темные волосы с первыми признаками седины, круглое лицо, темные глаза и смугловатая кожа. Его мать – филиппинка, а отец – белый. Из-за принадлежности к смешанной расе все детство Майкл страдал от насмешек. Будучи умным и чувствительным ребенком с развитым воображением, он решил изобрести свой собственный язык, чтобы одноклассники не могли прочитать, что записано у него в тетрадях. Мультик «Little Twelvetoes» вдохновил его на то, чтобы сделать то же самое и с числами, – и для своего личного пользования он выбрал основание 12.

Основанию 12 соответствуют двенадцать цифр. Это цифры от 0 до 9 и еще две, обозначающие десять и одиннадцать. Стандартные обозначения для этих двух «трансдецимальных» цифр – Χ и Ƹ. Вот, значит, как выглядит счет до 12:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Χ, Ƹ, 10.

Новые цифры получили новые имена, дабы избегать недоразумений: Χ называется дек, а Ƹ – эл. Снабдим еще цифру 10 именем дю, что есть сокращение от «дюжины», чтобы не путать ее с цифрой 10 по основанию 10. Двенадцатеричный счет от дю и далее ведется так: дю-один – это 11, дю-два – 12, дю-три – 13 и т. д. до дю-девять, что есть 19, дю-дек – 1Χ, дю эл —1Ƹ и, наконец, два-дю – 20 [3]3
  Отметим на всякий случай, что только что выписанные семь чисел выражаются в десятичной системе соответственно как 13, 14, 15 и 21, 22, 23, 24. ( Примеч. перев.)


[Закрыть].

Майкл придумал свой личный календарь, построенный на основании 12. Каждая дата в этом календаре представляла собой число дней, посчитанных по основанию 12 начиная со дня его рождения. Он до сих пор его использует, и после нашей встречи сказал мне, что я приехал к нему на 80Ƹ9-й день его жизни [4]4
  Потренируемся в переводе двенадцатеричного числа в десятичное: (80Ƹ9)12 = 8 × 12 ³+ 0 × 12 ²+ Ƹ × 12 + 9 = 8 × 1728 + 11 × 12 + 9 = 13 965. Это число дней – немного больше 38 лет. ( Примеч. перев.)


[Закрыть].

Майкл принял основание 12 по причинам личной безопасности, но далеко не он один подпал под очарование этой системы. Многие серьезные мыслители аргументированно утверждали, что 12 – лучшее основание для числовой системы, потому что это число многостороннее, чем 10. На самом деле числовая система с основанием 12 – больше чем числовая система, это политико-математическое явление. Одним из самых первых ее пропагандистов был Джошуа Джордейн, который в 1687 году самостоятельно опубликовал книгу «Duodecimal Arithmetick». По его утверждению, «нет ничего более естественного и неподдельного», чем счет дюжинами. В XIX столетии к числу высокопоставленных дуодецифилов относились англичане Айзек Питман, снискавший себе немалую славу изобретением широко распространившейся системы скорописи, и выдающийся философ и социолог Викторианской эпохи Герберт Спенсер. Спенсер настаивал на необходимости реформы основания числовой системы ради «рабочих людей, людей скудного достатка и мелких лавочников, помогающих им в их нуждах». Американский изобретатель и инженер Джон В. Найстром также был фанатом двенадцатеричной системы. Он говорил об основании 12 как о «дуоденальном» – и похоже, это самое неудачное из двусмысленностей в истории науки (дуоденуме – двенадцатиперстная кишка).

Причина, по которой число 12 может считаться лучше числа 10, – это его свойства делимости. 12 делится на 2, 3, 4 и 6, тогда как 10 – только на 2 и 5. По мнению сторонников двенадцатеричной системы, в нашей повседневной жизни гораздо чаще приходится делить на 3 или 4, чем на 5. Возьмем, к примеру, хозяина магазинчика. Если у него имеется двенадцать яблок, то он может разделить их на две упаковки по шесть яблок, на три упаковки по четыре, на четыре по три или на шесть упаковок по два яблока каждая. Это гораздо практичнее, чем дележ десяти яблок, когда все имеющиеся возможности – это две упаковки по пять яблок или пять упаковок по два яблока. Само слово «grocer» – бакалейщик – на самом деле является свидетельством предпочтения, которое торговцы оказывали числу 12: оно произошло от слова «gross», означающего дюжину дюжин, то есть 144. Разнообразная делимость числа 12 также объясняет преимущество, которым обладают футы и дюймы по сравнению с метрами и сантиметрами: фут, в отличие от метра, можно легко и просто разделить на два, три и четыре – большое удобство, например для плотников и закройщиков.

Свойства делимости влияют также и на таблицу умножения. Самое простое для запоминания умножение в системе с любым основанием – это умножение на числа, на которые это основание делится. Вот почему при основании 10 таблицу умножения на 2 и 5 – где в результате могут получиться только четные числа и числа, оканчивающиеся на 5 или 0, – так легко запомнить. Подобным же образом при основании 12 простейшая часть таблицы умножения – это умножение на делители основания, то есть 2, 3, 4 и 6:

2 × 1 = 2,	3 × 1 = 3,	4 × 1 = 4,	6 × 1 = 6,
2 × 2 = 4,	3 × 2 = 6,	4 × 2 = 8,	6 × 2 = 10,
2 × 3 = 6,	3 × 3 = 9,	4 × 3 = 10,	6 × 3 = 16,
2 × 4 = 8,	3 × 4 = 10,	4 × 4 = 14,	6 × 4 = 20,
2 × 5 = Χ,	3 × 5 = 13,	4 × 5 = 18,	6 × 5 = 26,
2 × 6 = 10,	3 × 6 = 16,	4 × 6 = 20,	6 × 6 = 30,
2 × 7 = 12,	3 × 7 = 19,	4 × 7 = 24,	6 × 7 = 36,
2 × 8 = 14,	3 × 8 = 20,	4 × 8 = 28,	6 × 8 = 40,
2 × 9 = 16,	3 × 9 = 23,	4 × 9 = 30,	6 × 9 = 46,
2 × Χ = 18,	3 × Χ = 26,	4 × Χ = 34,	6 × Χ = 50,
2 × 1Ƹ = 1Χ,	3 × Ƹ = 29,	4 × Ƹ = 38,	6 × Ƹ = 56,
2 × 10 = 20,	3 × 10 = 30,	4 × 10 = 40,	6 × 10 = 60.

Посмотрите на последние цифры в каждом столбце, и вы увидите замечательную закономерность. При умножении на 2 вы, конечно, получаете четные числа; при умножении на 3 – числа, оканчивающиеся на 3, 6, 9 и 0; при умножении на 4 – числа, оканчивающиеся на 4, 8 и 0, а при умножении на 6 – числа, оканчивающиеся на 6 или 0. Другими словами, при основании 12 мы получаем таблицу умножения на 2, 3, 4 и 6 «забесплатно». Поскольку многие дети испытывают сложности в запоминании таблицы умножения, переход к основанию 12 был бы гуманитарным актом величайшего масштаба. Так, по крайней мере, утверждают некоторые ученые.

Самым знаменитым призывом к борьбе за дюжину стала статья писателя Ф. Эмерсона Эндрюса, опубликованная в «Atlantic Monthly» в октябре 1934 года. Эта статья привела к созданию Американского дуодецимального общества (АДО). (Впоследствии название было изменено на Американское дюжинное общество). Эндрюс утверждал, что принятие десятичной системы означало «не имеющую оправдания недальновидность, и ставил вопрос о том, будет ли отказ от нее сопряжен с „колоссальными потерями“». «Duodecimal Bulletin», который продолжает выходить по сей день, представляет собой отличное издание и единственное место за пределами медицинской литературы, где появляются статьи о гексадактильности – шести пальцах при рождении. (Она распространена более широко, чем можно было бы подумать: один из каждых 500 людей рождается по крайней мере с одним лишним пальцем на руках или ногах.) Юношеская страсть Майкла де Флигера к основанию 12 не увяла; в настоящий момент он является президентом АДО. Майкл столь привержен к этой системе, что использует ее в своей работе дизайнера цифровых архитектурных моделей.

Как мы уже отмечали, таблицу умножения с основанием 12 учить определенно легче. Но еще одно величайшее преимущество этого основания заключается в том, что оно облегчает действия с дробями. Когда вы собираетесь поделить одно число на другое, основание 10 зачастую проявляет изрядную строптивость. Например, одна треть от 10 равна 3,33…, где тройки продолжаются до бесконечности. Четверть от 10 равна 2,5, где потребовался разряд после запятой. При основании же 12 треть от 10 – это 4, а четверть от 10 – это 3. Неплохо, правда? Будучи выражена в процентах, треть становится 40 процентами [5]5
  Терминология, как это часто бывает при работе с другими основаниями, требует осторожности. Речь идет не о про центах,то есть не о сотых долях, а о сто сорок четвертых долях. Для полной ясности выполним деление, пользуясь десятичной системой, а затем переведем результат в двенадцатеричную. Будем указывать основание в виде нижнего индекса: 100 ₁₂/3 = 144 ₁₀/3 = 48 ₁₀= 40 ₁₂( Примеч. перев.)


[Закрыть], а четверть – 30 процентами. На самом деле, если посмотреть, как именно 100 делится на числа от 1 до 12, то станет ясно, что основание 12 приводит к более компактной системе:

Доля от 100	Десятичн.	Дюжинн.
Целое	100	100
Половина	50	60
Треть	33,333…	40
Четверть	25	30
Пятая	20	24;97…
Шестая	16,666…	20
Седьмая	14,285	18;6Χ35…
Восьмая	12,5	16
Девятая	11,111…	14
Десятая	10	12;497…
Одиннадцатая	9,09…	11;11…
Двенадцатая	8,333…	10

(точка с запятой означает «дюжинную запятую»)

Именно из-за этой возросшей точности основание 12 оказывается лучше приспособлено к тому, что требуется Майклу. Пусть даже его клиенты сообщают ему замеры в десятичной системе, он все равно предпочитает перевести их в дюжинную. «У меня появляется больше свободы, когда дело касается разбиения на несколько частей, – говорит он. – Когда не имеешь дела с путаными дробями, легче удостовериться, что все ко всему подходит. Иногда, из-за сжатых сроков или внесенных в последний момент изменений, мне приходится быстро много чего поменять прямо на месте, – сделать такое, что не укладывается в первоначальную разметку. Вот тогда важно иметь предсказуемые простые отношения. Для дюжин у меня больше выбора, с ними проще, чем с десятками, и делается все быстрее». Более того, Майкл полагает, что использование основания 12 дает его бизнесу определенное преимущество, подобное тому, что получают велосипедисты и пловцы, полностью сбривая волосы на ногах.

Первейшая задача АДО состоит в том, чтобы числительные, выражающие дек и эл, присутствовали в стандарте кодирования «Unicode» – наборе текстовых символов, используемом большинством компьютеров. На самом деле в обществе ведутся серьезные дебаты о том, какие именно символы использовать. Принятые в АДО стандартные символы Χ и Ƹ изобрел в 1940-х годах Уильям Эддисон Двиггинс – один из самых значительных дизайнеров типографских шрифтов в Соединенных Штатах, создавший шрифты Futura, Caledonia и Electra. Французский приверженец основания 12 Жан Эссиг предпочитает символы  и . Некоторые, настроенные более практично, склонны использовать символы * и #, потому что они уже присутствуют среди 12 кнопок на панели телефона. Выбор слов для этих чисел – также дело вкуса. «Учебник по дюжинной системе» (написанный в 1960 – или, если считать по-дюжинному, в 1174 году) рекомендует термины дек, эл и дю (а еще гро для 100, мо для 1000 и дю-мо, гро-мо, би-мо и три-мо для следующих в порядке возрастания степеней числа дю). Другое предложение состоит в том, чтобы сохранить слова десять, одиннадцать и двенадцать, но далее продолжать счет как двен-один, двен-два. Вопрос о терминологии оказался столь чувствительным, что АДО благоразумно не спешит пропагандировать какую-либо одну систему.

Пристрастие Майкла к авангардным основаниям не ограничилось числом 12. Он побаловался немного с числом 8 – его он иногда использует, когда мастерит что-нибудь по дому. «Я использую основания как инструменты», – говорит он. Он экспериментирует и увеличивая основания – так он добрался до основания 60. Эта задача потребовала от него изобретения 50 новых символов в дополнение к тем 10 цифрам, что уже имеются. Здесь он не ставил перед собой задач практических. По его словам, работа в системе с основанием 60 – это как подъем на высокую гору. «Я не в состоянии там жить. Слишком большая группировка получается. Внизу, в долине, числа группируются по десять, и там я могу дышать. Но при подъеме на гору мне открывается впечатляющий вид». Он составил таблицу делителей по основанию 60 – что называется еще шестидесятеричной системой – и зачарованный глядел на открывающиеся там закономерности. «Определенно там скрывается красота», – сказал он мне.

Хотя использование основания 60 может показаться плодом нездорового воображения, шестидесятеричная система имеет солидную историческую родословную. Это и в самом деле самая древняя из известных нам основных систем счисления.

* * *

Простейшие обозначения для чисел – это насечки или зарубки. В различных формах они использовались по всему миру. Инки вели счет, завязывая узелки на веревке, а обитатели пещер наносили метки на скальные стены. С момента изобретения деревянной мебели столбики кровати размечаются – по крайней мере, метафорически – насечками. Полагают, что самый древний из открытых «математических артефактов» – найденная в пещере в Свазиленде счетная палочка, сделанная из берцовой кости бабуина, ее возраст насчитывает 35 000 лет. На этой палочке, называемой «костью из Лебомбо», нацарапаны 29 линий, вероятно обозначавших лунный цикл.

Как мы видели в предыдущей главе, люди способны очень быстро заметить различие между одним предметом и двумя, между двумя и тремя, но после четырех это становится трудней. То же касается и насечек. Во всякой системе организации насечек, которая претендует на удобство в использовании, насечки требуется группировать. В Соединенных Штатах принято сначала ставить четыре вертикальные линии, а затем пятой перечеркивать их по диагонали – получаются так называемые «five-bar gate» – «ворота из пяти перекладин». В Южной Америке предпочитают другой стиль, когда первые четыре линии образуют квадрат, а пятая представляет собой диагональ в этом квадрате. Японцы, китайцы и корейцы используют более изощренный метод, собирая черточка за черточкой иероглиф , означающий «правильно» или «верно». (Когда вы в следующий раз будете в суши-баре, попросите официанта показать, как он считает выбранные вами тарелочки.)

Около 8000 года до н. э. наши предки начали использовать небольшие кусочки глины с нанесенными на них отметками для оценки количества различных предметов. Таким способом записывалось, например, число продаваемых или покупаемых овец. Различные кусочки глины соответствовали различным объектам или различному количеству объектов. В результате стало возможным пересчитывать овец без необходимого участия их самих, что значительно упростило торговлю. Этот момент и знаменует рождение того, что мы теперь понимаем под числами.

В четвертом тысячелетии до н. э. в Шумере, древнем государстве, находившемся на территории современного Ирака, эта система символов превратилась в систему записи – на незатвердевшей глине заостренной палочкой из тростника делались специальные отметки. Числа сначала записывались как кружки или овалы, подобные форме ногтей. Около 2700 года до н. э. у палочки для письма появился плоский край, и отметки стали выглядеть примерно как следы, оставленные птичьими лапками, причем отметки различной формы соответствовали различным числам. Возникшее таким образом письмо, названное клинописью, ознаменовало начало долгой истории западных систем письма. И тут просто напрашивается занятная мысль: а ведь вся писменность (и литература), в конце концов, оказалась побочным продуктом развития системы численных обозначений!

В клинописи имелись символы только для чисел 1, 10, 60 и 3600, а это означает, что система представляла собой смесь систем с основанием 60 и с основанием 10, ведь основные клинописные символы соответствуют числам 1, 10, 60 и 60 × 60. Почему шумеры группировали числа в шестидесятки? Сегодня это одна из величайших неразгаданных тайн в истории арифметики. Высказывались предположения, что такая система явилась результатом слияния двух более ранних систем – с основаниями 5 и 12, – хотя никаких твердых свидетельств тому найдено не было.

Вавилоняне, совершившие колоссальный вклад в развитие математики и астрономии, приняли шумерскую шестидесятеричную систему. Вслед за ними египтяне, а потом и греки положили вавилонскую систему в основу измерения времени – именно по этой причине и поныне в минуте 60 секунд, а в часе 60 минут. Мы настолько привыкли выражать время по основанию 60, что никогда не задаемся вопросом, почему так делаем, хотя в действительности объяснить это нелегко. В революционной Франции, впрочем, нашлись такие, которые страстно возжелали устранить все то, что не укладывалось в десятичную систему. В 1793 году, когда Национальный Конвент учредил метрическую систему мер и весов, была также сделана попытка перейти на метрическое время. Был подписан декрет, устанавливающий, что каждый день следует делить на десять часов, каждый час – на 100 минут, а каждую минуту – на 100 секунд [6]6
  Система имеет своих приверженцев и поныне. Любопытны ссылки http://dock.catlair.ru/и http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_time. Установить (работающие) метрические часы на свой компьютер можно отсюда: http://sites.google.com/site/davidkbainbridge/metricclock. ( Примеч. перев.)


[Закрыть]. Как несложно посчитать, в сутках тем самым оказалось 100 000 секунд – вместо обычных 86 400 (что есть 60 × 60 × 24). Революционная секунда при этом имела продолжительность несколько меньшую, чем обычная. В 1794 году десятичное время стало обязательным, и тогда же стали выпускать часы с циферблатом, на котором были указаны цифры от одного до десяти. Однако большинство населения нашло новую систему сбивающей с толка, и спустя лишь немногим более полугода от нее пришлось отказаться. Помимо просто непривычности революционного времени сыграл свою роль и тот факт, что час из 100 минут не так удобен, как час из 60 минут, потому что у 100 не так много делителей, как у 60. Число 100 делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25 и 50, а 60 – на 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 и 30.

Провалился и другой проект по децимализации времени, имевший место в более близкую к нам эпоху. В 1998 году швейцарская компания «Swatch» предложила «Swatch Internet Time», где сутки были разделены на 1000 частей, названных «битами» (продолжительностью 1 минута 26,4 секунды). Компания выпустила специальные часы, выражавшие «революционный взгляд на время». Они продавались около года, после чего стыдливо исчезли из магазинов и каталогов.

По правде говоря, французы и швейцарцы – не единственные из западных наций, кто еще не так давно пытался использовать для счета довольно нелепые процедуры. Счетные палочки с насечками, морально устаревшие уже в те времена, когда первый шумерский писец создал свою первую клинописную табличку, использовались в Великобритании как средство денежного обращения вплоть до 1826 года. Банк Англии [7]7
  Банк Англии был основан в 1694 году. Вероятно, имеется в виду Государственное казначейство. ( Примеч. перев.)


[Закрыть]выпускал «откалиброванные» счетные палочки (так называемые «бирки»), денежная стоимость которых определялась на основании нанесенных на них насечек. Документ, составленный в 1186 году лордом-казначеем епископом Ричардом Фицнилом, устанавливал следующие денежные эквиваленты для бирок: